EP02_Pre Calculo engenharia gabaraito

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EP 02 – Gabarito Pré-Cálculo para Engenharia 
 
1. Sejam IR. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a 
sua resposta. 
a. Se 𝑥! = 𝑦! então 𝑥 = 𝑦 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
 
Solução: 
a. Afirmação falsa. 
Faça por exemplo, e . 
Temos que satisfazendo a hipótese. No entanto, 
não satisfaz a tese. Logo essa afirmação é falsa já que nem sempre quando a hipótese é satisfeita a 
tese também é. 
 
b. Afirmação falsa. 
O lado direito da igualdade exige que , mas o lado esquerdo permite que , já que 
para todo . 
Para que a igualdade seja verdadeira é preciso impor restrições ao valor de . É preciso que 
. 
Logo a afirmação é falsa para todos os números reais. 
 
c. Afirmação falsa. 
O lado direito da igualdade exige que , mas o lado esquerdo exige que , pois 
assim . 
Para que a igualdade seja verdadeira é preciso impor restrições ao valor de . É preciso que 
. 
 
d. Afirmação falsa. 
Faça por exemplo, e . 
Substituindo esses valores na expressão , obtemos 
 
Para que a igualdade seja verdadeira é preciso impor restrições aos valores de e . É 
preciso que e ou e ou e . 
 
e. Afirmação falsa. 
O lado direito da igualdade exige que e . Mas o lado esquerdo da igualdade 
permite que e , pois nesse caso, e a raiz quadrada pode ser 
calculada. 
Para que a igualdade seja verdadeira é preciso impor restrições aos valores de e . É 
preciso que e . 
f. Afirmação falsa. 
Îyx ,
22 )( xx =
xx -=-
yxyx +=+
yxyx =
y
x
y
x
=
2-=x 2=y
2222 )2(4)2( yx ===-= yx =¹-= 22
0³x IRÎx
02 ³x IRÎx
x
0³x
0³x 0£x
0³- x
x
0=x
9=x 16=y
yxyx +=+
169437525169 +=+=¹==+
x y
0( =x )0=y 0( ³x )0=y 0( =x )0³y
0³x 0³y
0£x 0£y 0³yx yx
x y
0³x 0³y
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O lado direito da igualdade exige que e . Mas o lado esquerdo da igualdade 
permite que e , pois nesse caso, e a raiz quadrada pode ser 
calculada. 
Para que a igualdade seja verdadeira é preciso impor restrições aos valores de e . É 
preciso que e . 
 
 
2. Quais das frações a seguir são iguais: 
a. e 
b. e . 
 
Solução: 
a. Vamos racionalizar a fração e simplificar quando for possível. 
. 
As frações são iguais. 
 
b. e . 
Vamos racionalizar a fração e simplificar quando for possível. 
 
Temos também que 
 
As frações são iguais. 
 
 
3. Escreva o conjunto $−2;	"
#
$ ∪ *−√2;	$"$ ∪ $
√$
$
; 8$ como uma união de intervalos disjuntos. 
Dica: Faça isso usando intervalos de maior comprimento possível, que tenham como extremos 
exatamente os extremos dos intervalos da união dada. 
Solução: 
 
É preciso observar que 
0³x 0>y
0£x 0<y 0³
y
x
y
x
x y
0³x 0>y
62
8
3
3
8
320
2
10
62
8
3
3
6
32
6
43
6
12
62
622
662
642
62
8
==
´
==
×
×
=
×
×´
=
8
320
2
10
8
320
5
8
524
8
5416
8
320
=
´´
=
´´
=
5
2
52
2
54
2
20
22
210
2
10
==
´
==
´
´
=
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§ , pois . 
§ . 
Lembrando que para todos números reais positivos. Temos 
 
. 
 
Como a última desigualdade é verdadeira então a primeira também é. 
 
Além disso, 
§ . 
§ . 
Logo,
. 
 
4. Determine $√$
$
; 	√&&
$
* ∩ $√!
!
; 	√5*. 
Dica: Compare os números reais √$
$
; 		√&&
$
; 	√!
!
	 ; 	√5. 
Solução: 
É preciso observar que 
§ 
. 
Como a última desigualdade é verdadeira então a primeira também é. 
 
Por outro lado, 
§ 
. 
Como a última desigualdade é verdadeira então a primeira também é. 
 
Finalmente, 
§ 
22 -<- 22 <
3
302 <<-
22 baba <Û< ba ,
Û×<×Û×<×Û< 22 )33()35(3335
5
3
3
3
8175)3()3()3()5( 2222 <Û×<×
7
5
57
55
57
52
75
21
75
73
5
3
=
´
´
=
´
<
´
=
´
´
=
81
7
5
<<
÷
÷
ø
ö
ê
ë
é
È÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-È÷÷
ø
ö
ê
ë
é
- 8,
3
3
5
3,2
7
5,2 =
[ ] ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
Èú
û
ù
çç
è
æ
Èú
û
ù
ç
ç
è
æ
Èú
û
ù
ç
ç
è
æ
-È--= 8,
7
5
7
5,
5
3
5
3,
3
3
3
3,22,2
Û×<×Û×<×Û< 22 )32()32(3232
2
2
3
3
1812)3()2()3()2( 2222 <Û×<×
Û×<×Û×<×Û< 22 )211()23(21123
3
11
2
2
4418)2()11()2()3( 2222 <Û×<×
Û<×Û<×Û< 22 )53()111(531115
3
11
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. 
Como a última desigualdade é verdadeira então a primeira também é. 
 
Logo, . Assim, 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
5. Coloque em ordem crescente os números reais √&&'√!
√#(√$
 e √#'√$
√&&'√!
. 
 
Solução: 
Vamos reduzir as duas frações ao mesmo denominador para poder comparar apenas os 
seus numeradores. 
 
 
 
Como , então, 
. 
6. Sabendo que 1,2 < √2! < 1,3 e 1,7 < √3 < 1,8, faça uma estimativa para. 
a. √3 − √2! b. 
√$
√!!
 
 
Solução: 
 
a. √3 − √2! 
Multiplicamos a estimativa por e obtemos . 
Somando as desigualdades: e , obtemos
. 
Consequentemente, uma estimativa para é 
. 
 
b. √$
√!!
 
Invertendo a estimativa de , obtemos . 
Multiplicando as estimativas: 
4511)5()3()11()1( 2222 <Û×<×
3
3
<
2
2
<
11
3
< 5
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
Ç
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
5,
2
2
3
11
,
3
3
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
3
11
,
2
2
11 − 2
7 + 3
=
( 11 − 2 ) ⋅ ( 11 + 2 )
( 7 + 3 ) ⋅( 11 + 2 )
=
11 − 2
( 7 + 3 ) ⋅( 11 + 2 )
=
9
( 7 + 3 ) ⋅( 11 + 2 )
7 − 3
11 + 2
=
( 7 − 3 ) ⋅ ( 7+ 3 )
( 11 + 2 ) ⋅ ( 7+ 3 )
=
7 − 3
( 11 + 2 ) ⋅ ( 7+ 3 )
=
4
( 11 + 2 ) ⋅ ( 7+ 3 )
4 < 9
<
+
-
211
37
37
211
+
-
3,122,1 3 << 1- 3,122,1 3 ->->-
2,123,1 3 -<-<- 8,137,1 <<
6,0234,0 3 <-<
3 23 -
5
323
5
2 3 <-<
3 2
2,1
1
2
1
3,1
1
3
<<
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e , obtemos , ou seja, 
. 
Consequentemente, uma estimativa para é 
. 
_________________________________________________________________________________ 
7. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas? 
Justifique sua resposta. 
a. Se 𝑥! > 0, então, 𝑥 > 0. 
b. Se 𝑥$ < 0, então, 𝑥 < 0. 
c. Se 𝑥 > 𝑦, então, 𝑥! > 𝑥𝑦. 
d. Se 𝑥!𝑦 < 0, então, 𝑦 < 0. 
e. Se 𝑥 < −1 e 𝑦 < 2, então, 𝑥𝑦 <
−2. 
f. Se 𝑥𝑦 < 0, então, 𝑥 + 𝑦 < 0. 
g. Se 𝑥 < −5, então, 𝑥! < −5𝑥. 
h. Se 𝑥 < 1, então 𝑥! < 𝑥. 
 
Solução: 
Em Matemática, para afirmarmos que uma sentença é verdadeira, ela tem que ser em todos os casos 
possíveis. Por outro lado, para ser falsa, basta que ela seja em um caso. Por isso, as afirmações falsas são 
justificadas com um exemplo, enquanto que as verdadeiras precisam ser provadas. 
 
a. Se 𝑥! > 0, então, 𝑥 > 0. 
Afirmação falsa. 
Faça, por exemplo, . 
Substituindo esse valor na expressão , obtemos , satisfazendo a 
hipótese. No entanto , é negativo e não satisfaz a tese. 
 
b. Se 𝑥$ < 0, então, 𝑥 < 0. 
Afirmação verdadeira. 
Observe que se então , pois o produto de três números positivos é um 
número positivo. Se então . Logo, se então , pois se 
então . 
 
Lembre-se! 
8,137,1 <<
2,1
1
2
1
3,1
1
3
<<
2,1
8,1
2
3
3,1
7,1
3
<<
21
81
2
3
31
71
3
<<
3 2
3
2
3
2
3
31
71
3
<<
3-=x
2x 09)3( 22 >=-=x
3-=x
0>x 03 >=×× xxxx
0=x 03 ==×× xxxx 03 <x 0<x
0³x 03 ³x
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𝒑 ⇒ 𝒒			 ⇔ 			~𝒒 ⇒ ~𝒑 
 
c. Se 𝑥 > 𝑦, então, 𝑥! > 𝑥𝑦. 
Afirmação falsa. 
Se então ao multiplicarmos a desigualdade por , essa desigualdade será invertida 
(propriedade da relação de ordem dos números reais. Por exemplo, , mas 
). 
Faça, por exemplo, e . 
Substituindo esses valores na expressão , obtemos , satisfazendo a hipótese. No 
entanto , e portanto . Assim a 
tese não é satisfeita. 
 
d. Se 𝑥!𝑦 < 0, então, 𝑦 < 0. 
Afirmação verdadeira. 
Se 𝑥!𝑦 < 0	 então	𝑥 ≠ 0, pois se 𝑥 = 0 então, 𝑥! = 0 e o produto 	𝑥!𝑦	 seria nulo. Assim, sendo 
𝑥! > 0	e o produto 𝑥!𝑦 negativo então 𝑦 < 0	, pois se 𝑦 > 0	então o produto 𝑥!𝑦 seria positivo, 
já que o produto de dois números positivos é positivo. 
 
e. Se 𝑥 < −1 e 𝑦 < 2, então, 𝑥𝑦 < −2. 
Afirmação falsa. 
Faça, por exemplo, 𝑥 = −2	e 𝑦 = 1. Temos 𝑥 = −2 < −1 e 𝑦 = 1 < 2, satisfazendo a 
hipótese. No entanto, 𝑥𝑦 = (−2) ⋅ 1 = −2	e −2	não é menor que −2, ou seja, não satisfaza tese. 
 
f. Se 𝑥𝑦 < 0, então, 𝑥 + 𝑦 < 0. 
Afirmação falsa. 
Faça por exemplo, 𝑥 = −2	e 𝑦 = 5. 
Substituindo esses valores na expressão , obtemos , 
satisfazendo a hipótese. No entanto e não satisfaz a tese. 
Logo essa afirmação é falsa. 
 
g. Se 𝑥 < −5, então, 𝑥! < −5𝑥. 
Afirmação falsa. 
0<x yx > x
37 >
3)4(12287)4( ×-=-<-=×-
5-=x 7-=y
yx > 75 ->-
25)5( 22 =-=x 35)7()5( =-×-=yx yxx =<= 35252
yx 0105)2( <-=×-=yx
035)2( >=+-=+ yx
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Sendo então e ao multiplicarmos a desigualdade por um número 
negativo , devemos inverter a desigualdade. 
Faça, por exemplo, 𝑥 = −6. 
Substituindo esse valor na expressão , obtemos , satisfazendo a 
hipótese. No entanto e não satisfaz a tese. Logo essa 
afirmação é falsa. 
 
h. Se 𝑥 < 1, então 𝑥! < 𝑥. 
Afirmação falsa. 
Sendo então pode ser negativo, e ao multiplicarmos a desigualdade por um 
número negativo , devemos inverter a desigualdade. 
Faça, por exemplo, . 
Substituindo esse valor na expressão , obtemos , satisfazendo a hipótese. No 
entanto , e não satisfaz a tese. Logo essa afirmação é falsa. 
_______________________________________________________________________________ 
8. Num exercício para simplificar expressões até a sua forma mais simples, alguns alunos 
apresentaram as soluções abaixo. 
 
a. 
b. 
 
 
c. 
 
Se você concordar com a solução, diga quais propriedades dos números racionais esses alunos 
usaram. 
Se discordar, apresente a sua solução. 
 
Solução: 
a. 
 
Esta solução está errada. Os alunos simplificaram incorretamente a parcela do numerador com 
a parcela do denominador. Só podemos simplificar fatores comuns ao numerador e ao 
denominador. Veja. 
5-<x 0<x 5-<x
x
5-<x 56 -<-
)6()5(3036)6( 2 --=>=-
1<x x 1<x
x
2-=x
1<x 12 <-
xx =->=-= 24)2( 22
xxxx
x 2
2
4
2
4
2
2
=
-
-
=
-
-
xyxyxyx
y
yxyx
y
--
=
+--
-
=
-
-
- 222222
11212
22
2
2
2
2
22
xxxx
x
=
-
=
-+
-
xxxx
x 2
2
4
2
4
2
2
=
-
-
=
-
-
2x
2x
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Dizemos que são fatores do produto e são fatores do produto . 
 
Observe. 
 
Para somar duas frações devemos inicialmente fazer uma redução ao mesmo denominador e não, 
somar os numeradores e somar os denominadores. 
Dizemos que são parcelas da soma e são parcelas da soma . 
A simplificação correta é: 
. 
 
 
b. . 
 
Esta solução está errada. 
Os alunos somaram as frações incorretamente, não reduziram ao mesmo denominador. Também 
simplificaram incorretamente o do numerador com o do denominador. 
A simplificação correta é: 
 
 
 
c. . 
 
 
Esta solução está errada. 
Os alunos simplificaram incorretamente o e o do numerador com o e o do 
denominador. 
A simplificação correta é: 
. 
 
 
9. Simplifique você, até a forma mais simples, a expressão. 
 e . 
c
b
c
b
c
b
a
a
ca
ba
=´=´=
´
´ 1
ba , ba´ ca , ca´
ca
baac
c
b
a
a
´
´+´
=+
)()(
ba , ba + ca , ca +
x
x
xx
xx
xx
x 2
)2(
)2()2(
2
4
2
2 +
=
-
+-
=
-
-
xyxyxyx
y
yxyx
y
--
=
+--
-
=
-
-
- 222222
11212
y y
=
+-
--
=
+-
+-
=
-
-
+-
=
-
-
- )()(
2
)()(
)(21
)()(
212
22 yxyx
yxy
yxyx
yxy
yxyxyx
y
yxyx
y
yxyxyx
yx
yxyx
xy
+
-
=
+-
--
=
+-
- 1
)()(
)(
)()(
22
2
2
22
xxx
x
=
-+
-
x 2- x 2-
)2(
2
)2()1(
)1(2
2
22
2 +
=
+-
-
=
-+
-
xxx
x
xx
x
0,0,
)()(
1 2
2
>>
+-
×
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
ba
baba
b
a
b
ba ¹
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9 de 11 
 
Solução: 
 
 
 
Para recordar 
 
 
 
10. Escreva os números a seguir usando notação científica e dê sua ordem de grandeza. 
a. 
b. 
c. 
d. 
 
Solução: 
a. . Ordem de grandeza: . 
 
b. . Ordem de grandeza: . 
 
c. . Ordem de grandeza: . 
 
d. . Ordem de grandeza: . 
 
 
11. Efetue os cálculos seguintes e expresse o resultado em notação científica. Dê sua ordem de 
grandeza. 
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
 
 
Solução: 
a. . Ordem de grandeza: . 
 
=
-
-
=
-
×
-
=
-
×
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
=
+-
×
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
ba
ba
ba
b
b
ba
ba
b
b
a
baba
b
a
b
22
2
2
22
22
2
2
22
2
)()(
1
)()(
1
.)()( ba
ba
baba
+=
-
+-
(a +b )2 = a2 + 2ab +b2 222 2)( bbaaba +-=- 22)()( bababa -=-+ baxbaxbxax ++-=-- )()()( 2
6000001,0 -
201002,201 -´
1210112 ´
8101,70010 -´
( ) 36666 1010000001,0 == --- 3610
1820 100102,21002,201 -- ´=´ 1810-
1412 1012,110112 ´=´ 1410
48 1000101,7101,70010 -- ´=´ 310-
000.90000032,0 ´
000.50
00000046,0
-
( )20000007,0
1717 10231005 ´-´
000.8
0004,000000004,0 ´
2437 1088,2102881091032000.90000032,0 --- ´=´=´´´=´ 210-
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10 de 11 
b. . Ordem de 
grandeza: . 
 
c. . Ordem de grandeza: . 
 
d. . Ordem de grandeza: . 
 
e. 
. Ordem de grandeza: . 
12. Considere os intervalos abaixo: 
 
 
 I. 
 
 
 
II. 
 
 
 
 
 
Assinale a alternativa que descreve os conjuntos acima. 
 
a) {𝑥 ∈ ℝ;−1 < 𝑥 ≤ 5}	e	{𝑥 ∈ ℝ; 0,5 < 𝑥 < 3,14}	
b) {𝑥 ∈ ℝ;−1 < 𝑥 ≤ 5}	e	{𝑥 ∈ ℝ; 0,5 ≤ 𝑥 < 3,14}	
c) {𝑥 ∈ ℝ;−1 ≤ 𝑥 ≤ 5}	e	{𝑥 ∈ ℝ; 0,5 < 𝑥 < 3,14}	
d) {𝑥 ∈ ℝ;−1 ≤ 	𝑥 ≤ 5}	e	{𝑥 ∈ ℝ; 0,5 ≤ 𝑥 ≤ 3,14}	
e) {𝑥 ∈ ℝ;−1 < 𝑥 < 5}	e	{𝑥 ∈ ℝ; 0,5 < 𝑥 < 3,14}	
	
Solução: 
A	atividade	em	questão	tem	o	propósito	de	trabalhar	as	associações,	>	 ,	<	bola	aberta	e	≥,	≤	bola	
fechada,	 assim,	 devemos	 procurar	 a	 alternativa,	 aberto	 em	−1,	 fechado	 em	 5,	 fechado	 em	 0,5	e	
aberto	em	3,14.	A	única	alternativa	com	exatamente	esta	combinação	é	(b).	
Vamos	apresentar	algumas	soluções	aceitáveis	para	cada	uma	das	representações.	
a) {𝑥 ∈ ℝ;−1 < 𝑥 ≤ 5}	ou	 os	 números	 reais	maiores	 que	−1	 e	menores	 ou	 iguais	 a	5	ou	os	
números	reais	entre	−1	e	5,	incluindo	o	número	5	ou	(−1, 5].		
12
48
4
8
4
7
102,9
5
101046
105
1046
105
1046
000.50
0000046,0 ----- ´-=´´-=
´
´
-=
´
´
-=-
1110-
( ) ( ) ( ) 1314272272 109,410491071070000007,0 ---- ´=´=´=´= 1210-
( ) 1817171717 107,2102710235010231050 ´=´=´-=´-´ 1810
( )
=
´
´
=
´
´
=
´
´´´
=
´ ----
3
2
1
12
3
12
3
48
108
1016
108
1016
108
104104
000.8
0004,000000004,0
( ) 109
3
6
3
2
1
122
1
105105,0
108
104
108
1016 ---- ´=´=
´
´
=
´
´
910-
EP 02 – Gabarito – Pré-Cálculo para Engenharia 
 
11 de 11 
Amplitude,	5 − (−1) = 6	
b) {𝑥 ∈ ℝ; 0,5 ≤ 𝑥 < 3,14}	ou	os	números	reais	maiores	ou	iguais	a	0,5	e	menores	que	3,14	ou	
os	números	reais	entre	0,5	e	3,14,	incluindo	o	número	0,5	ou	(0,5	, 3,14]	
Amplitude	3,14 − 0,5 = 2,64	
_____________________________________________________________________________________ 
13. Seja	𝑋 = {0,2}	e	𝑌 = [1,2].	Definimos	o	conjunto	𝑋 + 𝑌		por		
	
𝑋 + 𝑌 = {𝑥 + 𝑦; 𝑥 ∈ 𝑋	𝑒	𝑦 ∈ 𝑌}.	Assinale	a	alternativa	que	represente	este	conjunto.	
	
a) [1,2]	
b) [1,4]	
c) [1,4] ∪ {0}	
d) (1,4] ∪ {0}	
e) [1,2] ∪ [3,4]	
 
Solução: 
Note	que,	se		𝑋 = {0,2},	assim,	para	𝑋 = 0,	
𝑋 + 𝑌 = 0 + 𝑌 = 𝑌 = [1,2]	
Por	outro	lado,	para	𝑋 = 2,		
X+Y=2 + [1,2] = [3,4],	
	daí,	temos	que	𝑋 + 𝑌 = [1,2] ∪ [3,4]	uma	vez	que	é	impossível	obtermos	qualquer	número	entre	2	e	
3	para	este	conjunto	𝑋 + 𝑌.