Equações Diferenciais de Primeira Ordem

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de equações diferenciais.
PROPÓSITO
Definir as equações diferenciais e resolver as equações diferenciais de primeira ordem.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta, uma calculadora científica ou a calculadora de seu smartphone ou computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais de uma equação diferencial
MÓDULO 2
Classificar as equações diferenciais
MÓDULO 3
Calcular equações diferenciais de primeira ordem
MÓDULO 4
Reconhecer situações possíveis de serem modeladas por equações diferenciais de primeira ordem
Processing math: 38%
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos iniciais de uma equação diferencial
CONCEITOS INICIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Alguns problemas, em diversas áreas da Ciência e da Engenharia, podem ser modelados por uma equação que envolve uma variável e suas taxas de
variação representadas por suas derivadas. Essas equações são denominadas equações diferenciais e têm uma função matemática como solução.
As equações diferenciais representam um ramo importantíssimo da Matemática e tem diversas aplicações práticas. Neste módulo, serão apresentados
os conceitos iniciais da equação diferencial.
CONCEITOS INICIAIS
A busca pela solução de um problema, no ramo da Engenharia ou da Ciência, pode ser feita por meio da modelagem de uma equação matemática.
Em outras palavras, busca-se obter a solução do problema por meio da resolução de uma equação. Você já solucionou diversas vezes equações
algébricas que envolviam variáveis e suas funções. No entanto, grande variedade desses problemas serão modelados por uma equação que
representa o relacionamento entre a variável estudada e as suas taxas de variação.
EQUAÇÃO ALGÉBRICA VERSUS EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Processing math: 38%
AS EQUAÇÕES QUE RELACIONAM UMA VARIÁVEL E SUAS DERIVADAS SÃO DENOMINADAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS — EXPRESSÃO UTILIZADA DESDE 1676, QUANDO FOI CRIADA PELO
MATEMÁTICO LEIBNIZ.
A diferença entre uma equação algébrica e uma equação diferencial é que esta última envolve a(s) derivada(s) ou a(s) derivadas parciais de
determinada variável.
A VARIÁVEL PARA A QUAL SE BUSCA A SOLUÇÃO RECEBE O NOME DE VARIÁVEL DEPENDENTE
OU INCÓGNITA DA EQUAÇÃO.
As derivadas são obtidas pela taxa de variação da variável dependente em relação a uma ou mais variáveis independentes da equação.
Lembre-se de que:
Variável Independente:
Entrada da equação

Variável Dependente:
Saída da equação, isto é, a solução desejada a ser obtida
A solução de uma equação diferencial, caso exista, será uma função matemática que representa de que modo a variável estudada — dependente —
irá depender de uma ou mais variáveis independentes.
VARIÁVEL INDEPENDENTE
VOCÊ SE LEMBRA DE QUANDO ESTUDOU CINEMÁTICA NA DISCIPLINA DE FÍSICA?
Na ocasião, os problemas para os quais se desejava obter a posição de um objeto — representada pela variável s — em relação a uma variável
independente — o tempo (t). Desse modo, era preciso obter a função s(t), que seria uma função matemática que solucionaria o modelo estudado. Em
outras palavras, s(t) representa como a posição varia em função do tempo.
Relacionávamos, para isso, a posição do objeto com as suas taxas de variação com o tempo (t), que eram a velocidade (v) — primeira derivada de s
em função de t — e a aceleração (a) — segunda derivada de s em função de t. Portanto, modelávamos o problema por uma equação diferencial.
 EXEMPLO
Poderia ser uma equação do tipo:
s(t) = m + n v(t) + p a(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com m, n e p sendo números reais.
No entanto,
v(t) =
ds
dt
(t) = s ′(t)
e
a(t) =
dv
dt
(t) = v ′(t) = s ′′(t)
, de forma que:
s(t) = m + n s ′(t) + p s ′′(t)
Processing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com m, n e p sendo números reais.
Repare que a equação envolve a variável independente s e suas derivadas s’ e s’’, constituindo uma equação diferencial.
Vejamos, a seguir, um exemplo com números. Nesse caso, um problema poderia ser modelado por:
S(T) = 2 + S′(T) + 4 S′′(T)
, PARA
T ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na equação apresentada, os coeficientes m, n e p são constantes reais. No entanto, os coeficientes de uma equação diferencial também podem ser
uma função matemática que dependa da variável independente. Por exemplo:
S(T) = E −T + 2S′(T) −
1
T + 1 S
′′(T)
, PARA
T ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vimos, até aqui, que a equação diferencial envolve a variável e suas derivadas, e apresenta os seguintes elementos:
Uma variável dependente

Uma ou mais variáveis independentes

E seus coeficientes
TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Existem dois tipos de equações diferenciais — as equações diferenciais ordinárias (EDO) e as equações diferenciais parciais (EDP). Vamos
conhecê-las a seguir:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS – EDO
As equações diferenciais podem envolver uma variável dependente que dependa apenas de uma variável independente, por exemplo
f(x) + 2f ′(x) = 4x
Processing math: 38%
javascript:void(0)
.
Observe que f é a variável dependente ou incógnita, x é a variável independente e os coeficientes dessa equação serão o 1, 2 e 4x. A variável
dependente é normalmente representada por um símbolo, e não por uma função. Vejamos:
y + 2y ′ = 4x
Na qual y = f(x).
Tal equação terá como solução uma função f(x) que depende apenas da variável x. Esse tipo de equação diferencial é denominado de equação
diferencial ordinária ou (EDO).
Vejamos outro exemplo de EDO já estudada em Física.
Lembre-se da Mecânica e das Leis de Newton. Você estudou que a aceleração de um objeto, de massa m, dependia da força aplicada nele. Vamos
imaginar uma força h conhecida que depende do tempo(t) aplicado a esse objeto. Com isso, teremos:
h(t) = ma(t)
como
a(t) = s ′′(t)
s ′′(t) =
1
m
h(t)
Conhecendo-se a função h(t), pode-se obter a função s(t), que representa a posição do objeto de massa m em relação ao tempo. Dessa forma,
resolve-se a equação diferencial dada, por exemplo:
s ′′ = 4cos(2t)
,
t ≥ 0
Repare que, na equação, aparece derivada de segunda ordem da variável s, constituindo uma equação diferencial. Além disso, existe apenas uma
variável independente — a variável t —, de modo que se trata de uma EDO.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDP)
Outro tipo de equação diferencial é quando a variável dependente depende de mais de uma variável independente. Nesse caso, na equação,
aparecerão derivadas parciais de diversas ordens. A solução da equação será uma função escalar que dependerá das variáveis envolvidas.
A equação, a seguir, muito utilizada no eletromagnetismo, exemplifica esse tipo de equação:
∂2f
∂x2
(x, y, z) +
∂2f
∂y2
(x, y, z) +
∂2f
∂z2
(x, y, z) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a variável f depende das variáveis x,y e z. A solução, então, será uma função f(x,y,z), que apresenta a dependência de f com as variáveis
independentes. Trata-se do tipo de equação denominada equação diferencial parcial ou EDP.
Nos próximos módulos, estudaremos apenas as equações do tipo ordinárias (EDO). Porém, é fundamental saber reconhecer se uma equação é
diferencial ou não, e de que tipo.
CLASSIFIQUE AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, A SEGUIR, EM ALGÉBRICA, EDP OU
EDO:
A)
3Y + Y′ − 2COS(X) = 4
B)
3Y + X2– COS(X) = 2Processing math: 38%
javascript:void(0)
C)
Z − 2
∂Z
∂X +
∂2Z
∂X∂Y = X + Y
D)
D2M
DT2
= 4 + 2T −
DM
DT
RESOLUÇÃO
A equação da letra A é uma equação diferencial ordinária (EDO), pois apresenta a variável y relacionada com as suas derivadas e com a variável x.
Por isso, y é a variável dependente que depende apenas de uma variável independente x.
A equação da letra B é uma equação algébrica, pois não apresenta nenhuma derivada. Nessaequação, definimos y dependendo de x, ou x
dependendo de y. Depende de qual das duas é conhecida no problema.
A equação da letra C é uma equação diferencial, pois envolve derivadas em seus termos. Como as derivadas que aparecem são derivadas parciais,
será uma equação diferencial parcial (EDP). Nesse caso, z será a variável dependente, e x e y serão as variáveis independentes.
A equação da letra D, por fim, também é uma EDO, pois relaciona as derivadas da variável dependente m com a variável independente t.
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
COMO OBTER A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL?
 RESPOSTA
Não existe um método único para resolver todos os tipos de equações diferenciais. Há, no entanto, alguns métodos de grande abrangência, isto é, que
resolvem grande número de equações (veremos esses métodos em módulos posteriores).
LEMBRE-SE DE QUE A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL, SE EXISTIR, SERÁ UMA
FUNÇÃO QUE ATENDE A EQUAÇÃO APRESENTADA.
A solução será uma ou mais famílias de funções. A família de funções que atende a equação diferencial é denominada solução geral da equação
diferencial. Para determinar uma função específica, isto é, uma solução particular, são necessárias algumas informações adicionais, que
denominaremos condições iniciais ou condições de contorno. A descoberta de uma solução particular, às vezes, é denominada problema de valor
inicial.
 EXEMPLO
Seja a equação
s ′′ = s ′ + 2 sen(2t) − 4cos(2t)
Para essa equação, uma possível solução seria s(t) = cos (2t). Ainda iremos aprender a determinar a solução dessa equação, mas já podemos
verificar se a função s(t) apresentada é ou não solução da equação diferencial.
Como sabemos, a solução será a função que satisfará a equação dada, de modo que:
Se, então
s(t) = cos(2t)
, entãoProcessing math: 38%
s ′(t) = − 2sen(2t)
e
s ′′(t) = − 4 cos(2t)
Substituindo, verifica-se que
s ′′ = s ′ + 2 sen(2t) − 4cos(2t)
, satisfazendo a EDO apresentada. Dessa maneira, s(t) = cos (2t) é solução da equação diferencial.
REPARE QUE NÃO APENAS COS (2T) SERÁ SOLUÇÃO, MAS TODA FAMÍLIA DE FUNÇÃO DO TIPO
S(T) = COS(2T) + K
, COM K REAL. OBTENHA A PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS E VEJA QUE A FAMÍLIA DE
FUNÇÕES SATISFAZ A EQUAÇÃO. ESSA FAMÍLIA DE FUNÇÕES SERÁ DENOMINADA SOLUÇÃO
GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL.
Para um valor de k, por exemplo k = 3, tendo-se s(t) = cos (2t) + 3, temos uma solução particular. A própria função s(t) = cos (2t) é uma outra solução
particular. Vamos testar, agora, se a função
s(t) = t2 + 2
é ou não solução da equação diferencial dada. Se
s(t) = t2 + 2
, então
s ′(t) = 2t
e
s ′′(t) = 2
. Assim, não satisfaz a equação, já que:
S′′ ≠ S′ + 2 SEN(2T) − 4COS(2T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não é a solução da equação dada.
VERIFIQUE SE A FUNÇÃO
Y = COSX(SENX − K)
, COM K REAL, É UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′ + TG(X)Y − COS2X = 0
.
RESOLUÇÃO
Usando as regras de derivação, temos: se
y = cosx(senx − k)
, então:
Processing math: 38%
Y′ = ( − SENX)(SENX − K) + COSX(COSX) = − SEN2X + KSENX + COS2X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
Y′ + TG(X)Y − COS2X = − SEN2X + KSENX + COS2X + TGX COSX(SENX − K) − COS2X =
= − SEN2X + KSENX + COS2X + SENX (SENX − K) − COS2X =
= − SEN2X + KSENX + COS2X + SEN2X − KSENX − COS2X = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comprovando que
y = cosx(senx − k)
é solução geral para equação diferencial dada.
DETERMINE A SOLUÇÃO PARTICULAR QUE ATENDE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′ + TG(X)Y − COS2X = 0
E A CONDIÇÃO INICIAL DE
Y = – 1
PARA
X = 0
.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, vimos que a solução geral da equação será
y = cosx(senx − k)
, com k real. Quando
x = 0 → y = cos0(sen0 − k) = 1(0 − k) = − k
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, para x = 0 temos y = – 1, portanto – 1 = – k, de modo que k = 1.
Assim, a solução particular será
y = cosx(senx − 1)Processing math: 38%
.
VERIFIQUE SE A FUNÇÃO ESCALAR
U(X, T) = E − 4TCOS(2X)
É UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
∂2U
∂X2
−
∂U
∂T = 0
.
RESOLUÇÃO
Precisamos testar se a função u(x,t) dada satisfaz a equação. Repare que, agora, temos uma EDP.
Precisamos lembrar de como fazer derivadas parciais. Derivamos em função da variável mantendo todas as demais como constantes.
SE
U(X, T) = E − 4TCOS (2X) →
∂U
∂T = ( − 4)E
− 4TCOS (2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, obteremos a derivada parcial de segunda ordem
∂2u
∂x2
SE
U(X, T) = E − 4TCOS (2X) →
∂U
∂X = ( − 2)E
− 4TSEN (2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SE
∂U
∂X = ( − 2)E
− 4TSEN (2X) →
∂2U
∂X2
= ( − 2)(2)E − 4TCOS (2X) = ( − 4)E − 4TCOS (2X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
SE
Processing math: 38%
∂2U
∂X2
−
∂U
∂T = ( − 4)E
− 4TCOS (2X) − ( − 4)E − 4TCOS (2X) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, satisfaz a equação, provando que
(x, t) = e − 4tcos(2x)
é uma solução da equação diferencial.
TEORIA NA PRÁTICA
Seja um objeto de massa m, medida em kg, presa na extremidade de uma mola com constante elástica k, medida em N/m. Considere que o ponto de
equilíbrio da mola se encontre na origem, isto é, x = 0.
Quando comprimimos ou esticamos a mola de x, medido em metros, o objeto ficará sujeito a uma força elástica dada por
→
F = − kx.
Pela Lei de Newton, essa força será igual à massa do objeto vezes a aceleração. Com isso, teremos:
SE
→
F = M→A = M
D2X
DT2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
m
d2x
dt2
= − kx
Verifique se a função
x(t) = sen √80 t + C
, C real, é solução da equação diferencial que representa o movimento de um objeto de 5kg preso em uma mola de constante elástica 400 N/m.
Determine a solução particular sabendo que para t = 0 a posição do objeto vale x = 0.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL
( )
Processing math: 38%
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO QUE NÃO É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL:
A)
dy
dx
=
4
x
(3 − y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
= cos(x + y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
s ′′ + cos(x)s ′ = 4x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
u + lnv = (u + v)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
d2x
dt2
= − 2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EDP:
A)
4
dx
dt
= 3t − 2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
∂2y
∂x2
+
∂y
∂z
− ysen(x + y + z) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
m ′′ + ln(n)m = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
x + y + z = sen(x + y + z)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
Processing math: 38%
cos(v) =
2u
v − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
U
DV
DU − 3V = U
2
. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SENTENÇA ERRADA EM RELAÇÃO A ESSA EQUAÇÃO
A) Trata-se de uma equação diferencial ordinária.
B) A variável independente é a variável u.
C) A variável dependente é a variável v.
D) A família de funções
v(u) = k u3 − u2
, com k real, é uma solução geral dessa equação.
E) A função
v(u) = u2
é uma solução particular dessa equação.
4. SABENDO QUE UMA DAS SOLUÇÕES GERAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
S′ − S + U = 0
É A FUNÇÃO
S(U) = 1 − KEU + U
, COM K REAL, DETERMINE A SOLUÇÃO PARTICULAR DESSA FAMÍLIADE SOLUÇÃO QUE ATENDA A CONDIÇÃO
INICIAL S(0) = 2.
A)
s(u) = 2u + 1
B)
s(u) = 1 + eu + u
C)
s(u) = 1 − eu + u
D)
s(u) = eu + u
E)
s(u) = 1 + 3eu + u
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO GERAL PARA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y − 2X + XY′ = 0
:
Processing math: 38%
A)
y = cos(2x) + 3k
, com k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
y = 3k ln(x)
, com k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
y = x −
k
x
, com k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
y =
k
2x
, com k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
y = kx +
1
x
, com k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. SABE-SE QUE A FAMÍLIA DE FUNÇÕES
V(X, Y) = M LN X2 + Y2 + N
, M E N REAIS
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
É UMA SOLUÇÃO GERAL PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
∂2V
∂X2
+
∂2V
∂Y2
= 0
. SABENDO QUE V = 1, PARA QUANDO
X2 + Y2 = 1
, E QUE V = 4, PARA QUANDO
X2 + Y2 = E
, DETERMINE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DESSA SOLUÇÃO GERAL QUE
ATENDA AS CONDIÇÕES DE CONTORNO DADAS.
A)
( )
Processing math: 38%
v(x, y) = 2 ln x2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
v(x, y) = 2 exp x2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
v(x, y) = 3 ln x2 + y2 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
v(x, y) = ln x2 + y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
v(x, y) = 2 ln x2 + y2 − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação que não é uma equação diferencial:
A alternativa "D " está correta.
Como já vimos, uma equação diferencial é aquela que envolve as derivadas da variável analisada. Na equação da letra A, verifica-se que a variável
dependente é y e a variável independente é x. Na equação, aparece a derivada de primeira ordem de y em relação a x, sendo, então, uma EDO.
Na equação da letra B, verifica-se que a variável dependente é v, e as variáveis independentes são x e y. Na equação, aparecem as derivadas parciais
de segunda ordem de v, sendo, portanto, uma EDP.
Na equação da letra C, verifica-se que a variável dependente é s e a variável independente é x. Na equação, aparece a derivada de primeira e
segunda ordem de s em relação a x, sendo, assim, uma EDO.
Na equação da letra D, não aparece nenhuma derivada, de modo que se trata de uma equação algébrica que envolve as variáveis u e v. Sendo assim,
a resposta da questão.
Na equação da letra E, verifica-se que a variável dependente é x e a variável independente é t. Na equação, aparece a derivada de segunda ordem, de
x em relação a t, sendo, portanto, uma EDO.
2. Marque a alternativa que apresenta uma EDP:
A alternativa "B " está correta.
Como já estudamos, uma equação diferencial é aquela que envolve as derivadas da variável analisada. EDP é a equação diferencial na qual a variável
dependente depende de mais de uma variável independente.
Repara que apenas a equação da letra B apresenta uma variável y que depende de duas variáveis x e z. Como aparecem, nessa equação, as
derivadas parciais, trata-se de uma equação diferencial parcial, sendo a resposta da questão.
As equações da letra A e da letra C são EDOs.
As equações da letra D e letra E são equações algébricas. Atenção, apesar da equação da letra D apresentar uma variável que depende de outras
duas, ela não tem nenhuma derivada entre seus termos, não sendo uma equação diferencial.
3. Seja a equação diferencial
u
dv
du − 3v = u
2
( )
( )
( )
( )
( )
Processing math: 38%
. Marque a alternativa que apresenta uma sentença ERRADA em relação a essa equação
A alternativa "E " está correta.
Veja a solução no vídeo abaixo:
4. Sabendo que uma das soluções gerais da equação diferencial
s′ − s + u = 0
é a função
s(u) = 1 − keu + u
, com k real, determine a solução particular dessa família de solução que atenda a condição inicial s(0) = 2.
A alternativa "B " está correta.
Inicialmente, como exercício, você pode testar e confirmar que a solução geral satisfaz a equação diferencial dada. Vejamos:
Se
s(u) = 1 − keu + u → s ′ = − keu + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo:
s ′ − s + u = − keu + 1 − 1 − keu + u + u = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para que a solução particular seja parte da família da solução geral, ela deve ser obtida por meio de um valor da constante k.
Observe que as equações das letras A e E não podem ser obtidas da solução geral
s(u) = 1 − keu + u
. Isto é, para nenhum valor de k é possível partir da equação geral e obter essas equações.
Agora, vamos analisar qual a solução particular da família
s(u) = 1 − keu + u
em que se tem s = 2 quando u = 0.
s(u) = 1 − keu + u → s(0) = 1 − ke0 + 0 = 1 − k = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
k = 1– 2 = – 1
Logo, a solução particular será
s(u) = 1 − ( − 1)eu + u = 1 + eu + u
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que está na letra B.
5. Marque a alternativa que apresenta uma solução geral para a equação diferencial
y − 2x + xy′ = 0
:
A alternativa "C " está correta.
( )
Processing math: 38%
É preciso testar todas as alternativas e verificar se satisfazem ou não a equação apresentada no enunciado. Usando as regras de derivação, temos:
LETRA A
Se
y = cos(2x) + 3k → y ′ = − 2sen(2x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = cos(2x) + 3k − 2x + x( − 2sen(2x)) ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução
LETRA B
Se
y = 3kln(x) → y ′ =
3k
x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = 3kln(x) − 2x + x
3k
x ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução
LETRA C
Se
y = x −
k
x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
y ′ = 1 − k( − 1)
1
x2
= 1 +
k
x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = x −
k
x − 2x + x 1 +
k
x2
= x −
k
x − 2x + x +
k
x = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
y = x −
k
x
é uma solução geral da equação dada, sendo a resposta da questão.
LETRA D
Se
y =
k
2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
( )
Processing math: 38%
y ′ = k( − 1)
1
2x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = 
k
2x
− 2x + x
−k
2x2
=
k
2x
− 2x −
k
2x
= − 2x ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução
LETRA E
Se
y = kx +
1
x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
y ′ = k −
1
x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
y − 2x + xy ′ = kx +
k
x
− 2x + x k −
k
x2
= kx +
k
x
− 2x + kx −
k
x
≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução
6. Sabe-se que a família de funções
v(x, y) = m ln x2 + y2 + n
, m e n reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é uma solução geral para equação diferencial
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
= 0
. Sabendo que v = 1, para quando
x2 + y2 = 1
, e que v = 4, para quando
x2 + y2 = e
, determine a alternativa que apresenta uma solução particular dessa solução geral que atenda ascondições de contorno dadas.
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, como exercício, podemos testar e confirmar que a solução geral satisfaz a equação diferencial dada. Para que a solução particular seja
parte da família da solução geral, ela deve ser obtida por um valor da constante k. Com isso, eliminamos a alternativa B.
Precisamos testar se a função v(x,y) dada satisfaz a equação. Agora, vamos analisar qual a solução particular da família
v(x, y) = m ln x2 + y2 + n
em que se tem v = 1 para quando
( )
( )
( )
( )
Processing math: 38%
x2 + y2 = 1
e v = 4 para quando
x2 + y2 = e
v(x, y) = m ln x2 + y2 + n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando
x2 + y2 = 1 → v = m ln(1) + n = m.0 + n = n = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto
n = 1e v(x, y) = m ln x2 + y2 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando
x2 + y2 = e → v = m ln(e) + 1 = m.1 + 1 = m + 1 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, m=3
Logo, a resposta está na letra C, com
v(x, y) = 3 ln x2 + y2 + 1
.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO QUE NÃO É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL:
A)
y
dx
dy
= 3x − y
B)
s ′′ + 2s = 3u − 2
C)
∂v
∂t
= 3t + 1 + 2s
D)
3x + y = 2z − 1
E)
∂2x
∂u2
− 2v
∂2x
∂v2
= u
( )
( )
( )
Processing math: 38%
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′′ − 2Y′ + Y = 0
.
A)
y = xex
B)
y = 2cos(x)
C)
y = xe −x
D)
y = sen(x)
E)
y = e −x
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação que NÃO é uma equação diferencial:
A alternativa "D " está correta.
 
Uma equação diferencial é aquela que envolve as derivadas da variável analisada.
Na equação da letra A, verifica-se que a variável dependente é x e a variável independente é y. Na equação, aparece a derivada de primeira ordem de
x em relação a y, sendo, então, uma EDO.
Na equação da letra B, verifica-se que a variável dependente é s e a variável independente é u. Na equação, aparece a derivada de segunda ordem de
s em relação a u, sendo também uma EDO.
Na equação da letra C, verifica-se que a variável dependente é v e as variáveis independentes são t e s. Na equação, aparece a derivada parcial de v
em relação a t, sendo, assim, uma EDP.
A equação da letra D não apresenta nenhuma derivada, de modo que a resposta da questão é uma equação algébrica.
Na equação da letra E, por fim, verifica-se que a variável dependente é x e as variáveis independentes são u e v. A equação apresenta derivadas
parciais de x em relação a u e v, sendo uma EDP. Portanto, a resposta correta é a letra D.
2. Marque a alternativa que apresenta uma solução para equação diferencial
y′′ − 2y′ + y = 0
.
A alternativa "A " está correta.
 
Para verificar qual a função é solução da equação, necessitamos verificar se a função satisfaz a equação.
LETRA A
Se
y = xex → y ′ = ex + xex → y ′′ = ex + ex + xex = 2ex + xex
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
Processing math: 38%
y ′′ − 2y ′ + y = 2ex + xex − 2 ex + xex + xex = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se, dessa forma, da solução da equação e a resposta da questão.
LETRA B
Se
y = 2cos(x) → y ′ = − 2 sen(x) → y ′′ = − 2cos(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
y ′′ − 2y ′ + y = − 2 cos(x) − 2( − 2 sen(x)) + 2cos(x) = − 4 sen(x) ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução da equação.
LETRA C
Se
y = xe −x → y ′ = e −x − xe −x → y ′′ = − e −x − e −x + xe −x = − 2e −x + xe −x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
y ′′ − 2y ′ + y = − 2e −x + xe −x − 2 e −x − xex + xe −x ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução da equação.
LETRA D
Se
y = sen (x) → y ′ = cos(x) → y ′′ = − sen(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
y ′′ − 2y ′ + y = − sen(x) − 2cos(x) + sen(x) = − 2 cos(x) ≠ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução da equação.
LETRA E
Se
y = e −x → y ′ = −e −x → y ′′ = e −x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
y ′′ − 2y ′ + y = e −x − 2( − e −x) + e −x = 4e −x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não é a solução da equação.
MÓDULO 2
( )
( )
Processing math: 38%
 Classificar as equações diferenciais
CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
TIPOS DE CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
No módulo anterior, vimos os conceitos iniciais da equação diferencial, e conhecemos as equações diferenciais ordinária e parcial. Neste módulo,
veremos que as equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas, e conheceremos algumas delas, principalmente a classificação
quanto à ordem e ao grau.
VOCÊ JÁ SABE DISTINGUIR UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE UMA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL PARCIAL, CERTO?
Equação ordinária
A incógnita depende apenas de uma variável independente, e aparecem, na equação, as derivadas dessa incógnita em relação à variável
independente, em suas diversas ordens.

Equação parcial
A incógnita a ser descoberta depende de duas ou mais variáveis independentes e, na equação, aparecem derivadas parciais dessa incógnita em
relação às variáveis independentes.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que a solução da EDO — caso exista — é uma função real, e solução da EDP — caso exista — é uma função escalar.
As equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas. A seguir, veremos a classificação da equação diferencial quanto à ordem, ao
grau e à linearidade.
ORDEM DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
As derivadas ou derivadas parciais que aparecem na equação diferencial podem ser de diversas ordens:
DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR
A derivada de uma função também é uma função. Dessa forma, a função derivada também pode possuir uma derivada. Nesse sentido, a derivação de
uma função derivada é denominada derivação de ordem superior. A ordem de uma derivada corresponde ao número de vezes que derivamos aProcessing math: 38%
função.
Suponha a função
y = x6 + 5
A primeira derivada de y, ou derivada de primeira ordem, será
y ′ =
dy
dx
= 6x5.
A segunda derivada de y, ou derivada de segunda ordem, será a derivada da primeira derivada, de modo que:
y ′′ =
dy ′
dx
=
d2y
dx2
= 30x4
, e assim sucessivamente.
A derivada de ordem n, portanto, será a derivada da derivada de ordem n – 1 da função. Representamos a derivada de ordem superior n – n inteiro
positivo – por f(n)(x) ou D(n)f(x).
Utilizando a notação de Leibniz, representaremos a derivada de ordem n por:
DNY
DXN
=
D
D
DN− 1Y
DXN− 1
=
D
DX
D
DX
DN− 2Y
DXN− 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As derivadas parciais de ordem superior seguem raciocínio semelhante.
DERIVAÇÃO PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR
A derivada parcial de uma função escalar também é uma função escalar. Por serem funções escalares, também podemos determinar as suas
derivadas parciais em relação às variáveis independentes.
A derivada parcial de uma função que já é derivada parcial de uma função é denominada derivada parcial de segunda ordem. Se repetirmos o
processo, teremos as derivadas parciais de terceira, quarta, quinta, até a enésima ordem. Essas derivadas parciais são conhecidas como derivadas
parciais de ordem superior.
Por exemplo, seja
f(x, y) = 8x2y3
, então:
FX(X, Y) = 16XY3
E
FY(X, Y) = 24X2Y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, determinar as derivadas parciais de segunda ordem,isto é, a derivada parcial da função escalar
fx(x, y) = 16xy
3
( ) ( ( ))
Processing math: 38%
FX(X, Y) = 16XY
3 →
∂FX
∂X = 16Y
3
FX(X, Y) = 16XY3 →
∂FX
∂Y = 48XY
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relembre a notação:
∂FX
∂X =
∂
∂X
∂F
∂X =
∂2F
∂X2
= 16Y3
OU
FX X = FXX = 16Y
3
∂FX
∂Y =
∂
∂Y
∂F
∂X =
∂2F
∂Y∂X = 48XY
2
OU
FX Y = FXY = 48XY
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As funções
fx(x, y)
e
fy(x, y)
são denominadas derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x, y)
. Já as funções
fxx(x, y)
( )
( )
( )
( )
Processing math: 38%
,
fxy(x, y)
,
fyx(x, y)
e
fyy(x, y)
são as derivadas de segunda ordem da função f(x,y). Podemos repetir esse processo sucessivamente.
 SAIBA MAIS
A ordem de uma equação diferencial será a ordem da mais alta derivada ou da derivada parcial da função incógnita que aparece na equação.
Para entender o conceito na prática, vamos estudar os seguintes exemplos:
DETERMINE A ORDEM DAS SEGUINTES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:
A)
S′ − 2S + 5X4 = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
Z2 −
D3Y
DZ − 4 =
D2Y
DZ2
− LN(Z)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3M
∂Z3
− XYZ = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
UVW −
∂U
∂V =
∂2U
∂V∂W
Processing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
s ′ − 2s + 5x4 = cosx
Temos, aqui, uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita s — ou variável dependente — está relacionada apenas com uma variável
dependente x. Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a primeira derivada, de forma que a ordem dessa EDO é 1.
b)
z2 −
d3y
dz
− 4 =
d2y
dz2
− ln(z)
Nesse caso, temos uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y está relacionada apenas com uma variável dependente z. A
equação apresenta mais de uma derivada, mas a derivada de mais alta ordem é a terceira derivada de y em função de z. Com isso, a ordem dessa
EDO é 3.
c)
∂3m
∂z3
− xyz = 2
Aqui temos uma equação diferencial parcial, na qual a variável dependente m depende das variáveis x,y e z. Observe que a equação e a derivada
parcial de mais alta ordem é uma derivada parcial de terceira ordem. Desse modo, essa EDP apresenta ordem 3
d)
uvw − 6
∂u
∂v
= 3
∂2u
∂v∂w
A equação da letra D é novamente uma equação diferencial parcial em que a variável u depende das variáveis v e w. Nessa equação, temos uma
derivada parcial de primeira ordem e uma derivada parcial de ordem 2. Desse modo, a EDP terá ordem 2.
FORMA PADRÃO
Toda vez que o coeficiente que multiplica a derivada de mais alta ordem da equação diferencial for um, dizemos que a equação diferencial está na sua
forma padrão.
No exemplo anterior, as equações diferenciais da letra A e da letra C estão na forma padrão. Já as equações da letra B e D não estão, mas podem ser
colocadas. Vejamos:
z2 −
d3y
dz
− 4 =
d2y
dz2
− ln(z) → −z2 +
d3y
dz
+ 4 = −
d2y
dz2
+ ln(z)
, multiplicando-se todos os coeficientes por ( – 1).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
uvw − 6
∂u
∂v
= 3
∂2u
∂v∂w
→
1
3
uvw − 2
∂u
∂v
=
∂2u
∂v∂w
, dividindo-se todos os coeficientes por 3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AS EDOS SEMPRE PODEM SER COLOCADAS NA SUA FORMA PADRÃO.
GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Processing math: 38%
Uma equação diferencial também é classificada quanto ao seu grau. Nesse caso, o grau será o expoente da derivada mais alta que existe na equação
diferencial.
 ATENÇÃO
É preciso observar a derivada de mais alta ordem para definir a ordem da equação diferencial. Para isso, basta analisar essa derivada e ver o
expoente a que ela está submetida. Dessa forma, iremos definir seu grau.
Se olharmos o exemplo anterior, veremos que todas as equações diferenciais apresentadas têm grau 1, já que as derivadas de maior ordem estão
sempre elevadas ao expoente um. Para entender melhor, vamos estudar alguns exemplos.
DETERMINE A ORDEM E O GRAU DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APRESENTADAS
A)
Y′ − 3X Y′′ 3 − X4 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
DS
DU
3
−
D3S
DU3
2
= S5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3Z
∂U∂V∂W
2
+
∂2Z
∂W2
= 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
y ′ − 3x y ′′
3
− x4 = 3
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y depende da variável dependente x.
Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a de segunda derivada, de modo que a ordem dessa EDO é 2. A derivada
está elevada ao expoente três, portanto, o grau dessa EDO vale 3.
b)
( )
( ) ( )
( )
( )
Processing math: 38%
ds
du
3
−
d3s
du3
2
= s5
Nesse caso, também temos uma equação diferencial ordinária, cuja variável dependente s depende da variável u. Observe que derivada de mais alta
ordem é uma derivada de terceira ordem e está elevada ao expoente 2. Com isso, essa EDO é de ordem 3 e grau 2.
c)
∂3z
∂u∂v∂w
2
+
∂2z
∂w2
= 3
Por fim, temos uma equação diferencial parcial, com a incógnita z dependendo das variáveis independentes u,v e w. A derivada de maior grau é a
derivada de ordem 3. Como o termo está elevado ao expoente 2, a EDP tem ordem 3 e grau 2.
LINEARIDADE DA EQUAÇÃO DIFERENCIALO
Outra classificação para as equações diferenciais diz respeito à sua linearidade, isto é, se a equação diferencial é linear ou não linear.
A equação diferencial linear ocorre nos seguintes casos:
A variável dependente e suas derivadas só podem aparecer na forma simples, isto é, elevadas ao expoente um.

Os coeficientes da equação diferencial, isto é, os termos que multiplicam a incógnita ou suas derivadas, só podem depender da(s) variável(is)
independente(s) ou serem números reais.
Já a equação diferencial não linear ocorre nas seguintes situações:
A variável dependente e suas derivadas aparecerem elevadas a um expoente numérico diferente de 1.

Se aparecer algum produto entre a variável dependente e suas derivadas, ou das derivadas das incógnitas entre si.

Se aparecer, como coeficiente, uma função da variável dependente ou de suas derivadas.
É importante enfatizar que as variáveis independentes, nas equações diferenciais lineares, podem aparecer como funções ou com expoentes
diferentes da unidade.
 ATENÇÃO
Como a incógnita e suas derivadas estão sempre elevadas ao expoente 1, toda equação diferencial linear, obrigatoriamente, apresentará um grau 1.
Vamos estudar os exemplos a seguir para compreender melhor.
DETERMINE SE AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A SEGUIR SÃO OU NÃO LINEARES.
A)
( ) ( )
( )
Processing math: 38%
Y′ − 3X Y′′ 3 − X4 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3M
∂Z3
− XYZ = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
YY′ − LNU = Y′′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
y ′ − 3x y ′′ 3 − x4 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Apesar de os coeficientes dependerem apenas da variável independente x ou serem número, na equação, tem-se
uma derivada da incógnita y com expoente 3. Desse modo, a equação é não linear.
b)
sen(u)v − 3v ′ + 4u2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Os coeficientes dependem apenas da variável independente u ou são números. O expoente da incógnita v e de
suas derivadas vale 1, de formaque a equação diferencial é linear.
c)
8z 
∂3m
∂z3
− xyz = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDP. Os coeficientes dependem apenas das variáveis independentes x,y e z. O expoente da derivada parcial da variável
m, que existe na equação, é a unidade. Com isso, a EDP é linear.
( )
( )
Processing math: 38%
d)
yy ′ − lnu = y′′
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Apesar da incógnita y e de suas derivadas estarem elevadas ao expoente 1, existe um produto entre y e a derivada
de y. Logo, a equação é não linear.
EXPRESSÃO DAS EDO LINEARES
As equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n podem e sempre serão expressas da forma
FN(U)S
(N ) + FN− 1(U)S
(N− 1 ) + FN− 2(U)S
(N− 2 ) + … + F1(U)S
′ + FO(U)S = G(U)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, a função incógnita s depende da variável independente
u
e
fj(u)
, com 0 ≤ j ≤ n, são os coeficientes da equação. Se for impossível transformar uma EDO na forma apresentada, ela não será uma equação diferencial
linear. Isso também é verdade para as equações diferenciais parciais.
ELAS SERÃO LINEARES SE FOR POSSÍVEL COLOCAR DA FORMA SEMELHANTE A UM
POLINÔMIO.
Vejamos o exemplo, a seguir, para uma EDP de segunda ordem, em que a variável z depende das variáveis x e y:
F(X, Y)ZXX + G(X, Y)ZXY + H(X, Y)ZYY + P(X, Y)ZX + Q(X, Y)ZY + M(X, Y)Z = W(X, Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
HOMOGENEIDADE E COEFICIENTES
Uma equação linear pode ser classificada como:
HOMOGÊNEA

NÃO HOMOGÊNEA
AS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS SÃO AQUELAS QUE NÃO APRESENTAM TERMOS SEM A
VARIÁVEL DEPENDENTE OU SEM UMA DE SUAS DERIVADAS. NOS EXEMPLOS ANTERIORES, ASProcessing math: 38%
EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS APRESENTAM
G(U)
OU
W(X, Y)
IGUAIS A ZERO. CASO CONTRÁRIO, A EQUAÇÃO SERÁ NÃO HOMOGÊNEA, E O TERMO
G(U)
OU
W(X, Y)
SERÁ DENOMINADO TERMO NÃO HOMOGÊNEO
 ATENÇÃO
SE OS COEFICIENTES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL QUE MULTIPLICAM A VARIÁVEL DEPENDENTE
OU SUAS DERIVADAS FOREM TODOS NÚMEROS REAIS, DIZEMOS QUE A EQUAÇÃO TEM
COEFICIENTES CONSTANTES. A EQUAÇÃO DIFERENCIAL SERÁ DE COEFICIENTES VARIÁVEIS
CASO ALGUM DESSES TERMOS DEPENDA DA(S) VARIÁVEL(IS) INDEPENDENTE(S).
Classifique as equações diferenciais lineares, a seguir, quanto à homogeneidade e indique se são ou não de coeficientes constantes.
A)
S′ − 2S + 5X4 = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
D3Y
DZ − 4Y =
D2Y
DZ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
2Z
∂3M
∂Z3
+ M = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 38%
D)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
A)S′ − 2S + 5X4 = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que os coeficientes que multiplicam a variável dependente e suas derivadas são numéricos, de modo que a equação diferencial é de
coeficientes constantes. O termo independente vale cos x, logo, é diferente de zero, e a equação não homogênea. Podemos reescrever a equação na
forma:
s ′ − 2s = cosx − 5x4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
D3Y
DZ
− 4Y =
D2Y
DZ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A EDO linear tem todos os coeficientes numéricos e não tem nenhum termo que independe de y e de suas derivadas. Portanto, trata-se de uma
equação diferencial de coeficientes constantes e homogênea. Podemos reescrever a equação na forma:
y ′′′ − y ′′ − 4y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
2Z
∂3M
∂Z3
+ SEN W −
∂M
∂W = 2M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial linear é uma EDP com coeficientes que dependem das variáveis independentes z e w. Além disso, apresenta um termo que
independe da variável dependente m, de modo que é uma equação de coeficientes variáveis e não homogênea. Reescrevendo a equação na forma
polinomial, temos:
2z
∂3m
 ∂z3
−
∂m
∂w
− 2m = − sen w
Processing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A EDO linear apresenta coeficientes que são funções da variável independente x, de forma que constitui uma equação de coeficientes variáveis. Não
existe termo que independa da variável y e de suas derivadas, logo, é uma equação homogênea. Ordenando a equação, ficamos com:
3y ′ − (sen(x) + 4x2)y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações diferenciais lineares, assim como as equações algébricas, são mais fáceis de serem resolvidas do que as não lineares. No próximo
módulo, analisaremos a resolução de alguns tipos de equações diferenciais de primeira ordem.
TEORIA NA PRÁTICA
Sabemos que não existe um método único para solucionar qualquer equação diferencial. Existem métodos que são apropriados para grupos de
equações diferenciais. Desse modo, é importante classificar uma equação para definir o método de solução que pode ser utilizado na prática.
Escolha o método para solucionar a equação apresentada a seguir: Classifique quanto à ordem e ao grau, indique se são lineares ou não lineares,
homogênea ou não homogênea e, por fim, se têm coeficientes constantes ou variáveis.
Y′′ + 2X Y′ − 3, 4 Y = X3 + EX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
CLASSIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TERCEIRA ORDEM:
Processing math: 38%
A)
dy
dx
=
4
x
(3 − y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
∂2v
∂x2
+
∂2v
∂y2
2
= cos(x + y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
s ′′ + cos(x)s ′ = 4x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
∂3y
∂u∂v∂w
2
+ 4
∂y
∂w = x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
d4x
dt4
= − 2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE GRAU DOIS:
A)
3
dy
dx
=
4
x
(3 − y2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
∂3v
∂x3
+
∂2v
∂y2
2
− ln(xy) = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
(s′′)2 + cos(x)(s′)3 = 4x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
∂3y
∂u∂v∂w
3
+ 4
∂y
∂w
= x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
d4x
dt4
= − 2x
( )
( )
( )
( )
Processing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR HOMOGÊNEA
A)
∂3v
∂x3
+
∂2v
∂y2
2
− ln(xy) = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
s′′ + cos(x)s′ = 4x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
2xy′– cos(x)y′′ + 4ey = 6x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
du
dv
+ 3v
d2u
dv2
= 5u
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
uv − v ′ + v ′′ 2v ′ + 1 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. QUAL É A ORDEM E O GRAU DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
2 U′′′ 2 − 2V5U + U′′ 3 = 4
?
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) Ordem 2 e grau 3
B) Ordem 3 e grau 5
C) Ordem 1e grau 1
D) Ordem 1 e grau 2
E) Ordem 3 e grau 2
5. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
2Y′ − COS(X)Y′′ + 3Y = 5
, MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA CLASSIFICAÇÃO VERDADEIRA EM RELAÇÃO A ESSA
EQUAÇÃO.
( )
( )
( ) ( )
Processing math: 38%
A) Linear, coeficientes constantes e homogênea
B) Não linear, coeficientes variáveis e homogênea
C) Linear, coeficientes variáveis e não homogênea
D) Não linear, coeficientes constantes e homogênea
E) Linear, coeficientes variáveis e homogênea
6. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL F(X,Y) Y’’ – 2Y’ + Y = X G(X,Y). MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA
VALORES PARA F(X,Y) E G(X,Y) DE FORMA QUE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEJA DE SEGUNDA ORDEM, LINEAR E
HOMOGÊNEA.
A) f(x,y) = 0 e g(x,y) = y
B) f(x,y) = x e g(x,y) = y
C) f(x,y) = y e g(x,y) = 0
D) f(x,y) = x e g(x,y) = x
E) f(x,y) = y e g(x,y) = x
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem:
A alternativa "D " está correta.
Como vimos, uma equação diferencial terá ordem 3 se a derivada de maior ordem for de terceira ordem.
A alternativa A apresenta uma equação diferencial de primeira ordem; as alternativas B e C apresentam equações diferenciais de segunda ordem; a
alternativa E apresenta uma equação diferencial de quarta ordem. Portanto, a resposta é a alternativa D, que apresenta uma derivada parcial de ordem
3 como derivada de maior ordem.
2. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de grau dois:
A alternativa "C " está correta.
Como vimos, uma equação diferencial terá grau dois se a derivada de maior ordem estiver elevada a um expoente 2. Na equação da letra A, a ordem
é um, e a derivada de ordem 1 está elevada ao expoente unitário, sendo grau também um. A ordem da equação diferencial da letra B vale três, pois é
a derivada de mais alta ordem. O grau dessa equação também é um.
A derivada de mais alta ordem na alternativa da letra C é de segunda ordem. A derivada está elevada a um expoente dois. Desse modo, é uma
equação diferencial de ordem 2 e grau 2, sendo a resposta correta. Na letra D, existe uma equação de ordem três e grau três. Por fim, na letra E, a
equação é de ordem quatro e grau um.
3. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea
A alternativa "D " está correta.
A equação, para ser linear, deve conter coeficientes que independam da variável independente. Assim, a alternativa E não é linear. Para ser linear,
tanto a incógnita quanto as derivadas devem ter expoente elevado a um. Com isso, as alternativas A e C não apresentam equações lineares. Já as
alternativas B e D são equações lineares, mas como a alternativa B apresenta um termo que independe da incógnita, a equação é não homogênea.
A equação diferencial da letra D — resposta da questão — não apresenta um termo que independe da função incógnita, de modo que é a uma
equação linear homogênea.
4. Qual é a ordem e o grau da equação diferencial
2 u′′′ 2 − 2v5u + u′′ 3 = 4
?
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
( ) ( )
Processing math: 38%
A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem na equação. Analisando a equação, vemos que existe uma derivada de
terceira ordem e uma de segunda ordem, de forma que a ordem vale 3. O grau é o expoente desta derivada, que está elevada ao expoente dois na
equação, de modo que o grau da equação diferencial vale 2. Então, a letra E é a alternativa correta.
5. Seja a equação diferencial
2y′ − cos(x)y′′ + 3y = 5
, marque a alternativa que apresenta uma classificação verdadeira em relação a essa equação.
A alternativa "C " está correta.
A variável dependente é y, e a independente é a variável x. Como todos os coeficientes independem de y e todas as incógnitas e as derivadas têm
expoente um, trata-se de uma equação diferencial linear. Como existe um coeficiente que é uma função de x, trata-se de uma equação de coeficientes
variáveis. Por fim, existe um termo que independe de y, sendo uma equação não homogênea. Logo, a alternativa que apresenta as características
linear, coeficientes variáveis e não homogênea é a alternativa C.
6. Seja a equação diferencial f(x,y) y’’ – 2y’ + y = x g(x,y). Marque a alternativa que apresenta valores para f(x,y) e g(x,y) de forma que a
equação diferencial seja de segunda ordem, linear e homogênea.
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução no vídeo abaixo
CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DE ORDEM TRÊS E GRAU DOIS.
A)
x ′′′ − yx = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
∂2m
∂v2
− 3v2 = m + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
dv
du
+ cos(u)
d3v
du3
2
= 4v
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Processing math: 38%
D)
∂2y
∂u∂v
3
= 3uv
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E)
(s′′)2 + cos(x)(s′)3 = 4x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
EUV −
DV
DU
2
+ LN(U) =
D2V
DU2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
 
MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA CLASSIFICAÇÃO VERDADEIRA EM RELAÇÃO A ESSA EQUAÇÃO.
A) Ordinária, linear e não homogênea
B) Ordinária, de grau dois e ordem um
C) Parcial, linear e homogênea
D) Parcial, de coeficientes constantes e de segunda ordem
E) Ordinária, linear de grau dois
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta uma equação de ordem três e grau dois.
A alternativa "C " está correta.
 
Na letra A, há uma equação diferencial de terceira ordem, pois é a ordem da mais alta derivada da variável dependente x. Essa derivada está elevada
à unidade, de forma que seu grau é um. A equação da letra B é uma equação diferencial de segunda ordem e, como a derivada de mais alta ordem
está elevada ao expoente um, seu grau também vale um. A letra C, resposta da questão, apresenta a derivada de mais alta ordem de terceira ordem e
elevada ao expoente dois. Assim é uma equação de ordem 3 e grau 2.
Na letra D, a derivada de mais alta ordem é de segunda ordem e está elevada ao expoente três. Com isso, temos uma equação de ordem dois e grau
três. Por fim, uma equação de ordem dois com grau 2, pois há uma derivada de segunda ordem elevada ao expoente dois. A resposta correta, então, é
a letra C.
2. Seja a equação diferencial
euv −
dv
du
2
+ ln(u) =
d2v
du2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Marque a alternativa que apresenta uma classificação verdadeira em relação a essa equação.
A alternativa "A " está correta.
 
( )
( )
( )
Processing math: 38%
Comentário: Analisando a equação, verificamos que a variável dependente é v, e a independente, a variável u. A equação tem derivadas de v em
relação a um, sendo uma equação diferencial ordinária.
A derivada de mais alta ordem é de segunda ordem e está elevada a um expoente unitário, de modo que se trata de uma equação de ordem dois e
grau um.
A equação é linear, já que os coeficientes dependem apenas de u, e não há termo que independa de v, logo, é uma equação homogênea. Por fim,
como os coeficientes são funções de u, é uma equação de coeficientes variáveis. Com isso, a única alternativa verdadeira é a letra A.
MÓDULO 3
 Calcular equações diferenciais de primeira ordem
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
PRIMEIRA ORDEM
SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Nos módulos anteriores, estudamos os conceitos iniciais das equações diferenciais e analisamos como verificar se uma função é ou não solução de
uma equação diferencial. Vimos que não existe um método geral para resolver todos os tipos de equação diferencial. Existem, no entanto, alguns
métodos com grande abrangência que resolvem alguns tipos de equações diferenciais.Neste módulo, estudaremos alguns dos métodos para resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Vale lembrar que a solução de
uma equação diferencial ordinária será uma função real que satisfaz a equação dada.
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
CHAMAREMOS DE SOLUÇÃO GERAL A FAMÍLIA DE FUNÇÕES QUE SATISFAZ A EQUAÇÃO, E DE
SOLUÇÃO PARTICULAR UMA FUNÇÃO QUE FAZ PARTE DESSA SOLUÇÃO GERAL E ATENDE ÀS
CONDIÇÕES INICIAIS FORNECIDAS. ESSE TIPO DE PROBLEMA SERÁ DENOMINADO PROBLEMA
DE VALOR INICIAL.
Veremos, aqui, a solução de equações diferenciais de primeira ordem, portanto a derivada de maior ordem que aparecerá será a derivada de primeira
ordem, elevada ao expoente 1.
A EDO de primeira ordem será do tipo:
Processing math: 38%
Y′ + A(X, Y)Y = B(X, Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mesmo para o caso das EDOs de primeira ordem, não existe um método único que abrange uma solução para todas as EDOs. Analisaremos alguns
métodos de resolução, e todos os que serão apresentados se aplicam para equações diferenciais de primeira ordem que podem ser colocadas na
forma:
Y′ = F(X, Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função f(x,y) será uma função que pode depender da variável independente y e/ou da variável dependente x.
MÉTODO DIRETO
O primeiro método é denominado de método direto e sua solução é mais simples. Ela ocorrerá quando for possível isolar a derivada de y em um lado
e, do outro, uma função que dependa apenas da variável independente x.
Para a solução direta, basta usar, depois, a integração direta para obter a solução. Em outras palavras, quando
f(x, y) = f(x)
.
Y′ = F(X) → DY = F(X)DX → Y = ∫F(X)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos o exemplo:
OBTENHA A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0.
RESOLUÇÃO
Para obter o valor da função incógnita y, devemos tentar isolar e obter o valor da derivada da variável
4X^3-Y^\PRIME-2X^2+1=0\RIGHTARROW Y^\PRIME=4X^3-2X^2+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Processing math: 38%
\FRAC{DY}{DX}=4X^3-2X^2+1
DY=\LEFT(4X^3-2X^2+1\RIGHT)DX
\INT D Y=\INT{(4X^3-2X^2+1)}DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Basta, agora, integrar ambos os lados, de forma que a solução geral da equação diferencial será y=x^4-\frac{2}{3}x^3+x+k , com k número real.
OBTENHA UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 4X^3-Y^\PRIME-
2X^2+1=0, TAL QUE, PARA ATENDER A CONDIÇÃO X = 1, O VALOR DE Y VALE 2.
RESOLUÇÃO
Obtivemos a solução geral y=x^4-\frac{2}{3}x^3+x+k , com k número real. Agora, iremos substituir a condição inicial e obter a solução particular:
Para x = 1 → y=1^4-\frac{2}{3}1^3+1+k=\frac{4}{3}+k
No entanto, y = 2 para x = 1, de forma que \frac{4}{3}+k=2\rightarrow k=\frac{2}{3}
A solução particular será =x^4-\frac{2}{3}x^3+x+\frac{2}{3}
SOLUÇÃO PARTICULAR
Infelizmente, nem sempre será possível realizar a solução da equação geral por meio de uma manipulação matemática, como apresentado no
exemplo. Por isso, torna-se necessário definir métodos que podem ser empregados na obtenção da solução de um conjunto específico de equações.
Analisaremos três métodos:
EQUAÇÕES SEPARÁVEIS

EQUAÇÃO EXATA

EQUAÇÕES LINEARES
Processing math: 38%
ANTES DE ANALISARMOS TAIS MÉTODOS, PRECISAMOS NOS PERGUNTAR: COMO GARANTIR
QUE UMA EDO DE PRIMEIRA ORDEM TENHA SEMPRE UMA SOLUÇÃO PARTICULAR PARA O
PROBLEMA E, QUANDO ESSA SOLUÇÃO EXISTIR, QUE ELA SEJA ÚNICA?
 RESPOSTA
Vejamos o teorema: Seja uma EDO do tipo y^\prime=f(x,y), em que f(x,y) é contínua em um retângulo R contendo o ponto (x0,y0), com y(x0) = y0. Essa
EDO terá sempre uma solução no retângulo R que contém (x0,y0) e essa solução será única, sempre que \frac{\partial f}{\partial y} for contínua em R.
Retornando ao nosso exemplo, para EDO y^\prime=4x^3-2x^2+1, repare que f(x,y)=4x^3-2x^2+1 é contínua para todo (x,y) em R^2. Além disso,
\frac{\partial f}{\partial y}=0 é contínua em todo R^2. Portanto, essa EDO terá sempre uma solução para todos os problemas de valor inicial, e a solução
será única em cada caso.
Nos tópicos seguintes, estaremos focados em determinar a solução de uma EDO de primeira ordem para alguns tipos de EDOs de primeira ordem.
EDO SEPARÁVEIS DE PRIMEIRA ORDEM
Estamos estudando a EDO de primeira ordem:
Y^\PRIME=F(X,Y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação será do tipo separável quando for possível transformar a função f(x,y) em um produto h(x)g(y), isto é, em um produto de uma função, que
só depende da variável independente, por outra que só depende da variável dependentes.
Y^\PRIME=H\LEFT(X\RIGHT)G\LEFT(Y\RIGHT)
Resolvendo, temos:
Y^\PRIME=H\LEFT(X\RIGHT)G\LEFT(Y\RIGHT)\RIGHTARROW\FRAC{DY}
{DX}=H\LEFT(X\RIGHT)G\LEFT(Y\RIGHT)\RIGHTARROW\FRAC{DY}
{G\LEFT(Y\RIGHT)}=H\LEFT(X\RIGHT)DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação é possível para um intervalo onde g(y) é diferente de zero. Desse modo, para solucionar a equação vamos aplicar a integral definida em
ambos os lados e obter a solução geral:
\INT{\FRAC{1}{G(Y)}DY}=\INT H\LEFT(X\RIGHT)DX+K,\ COM\ K\ REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Apesar de cada integral definida apresentar uma constante de integração, as duas constantes podem ser substituídas apenas por uma constante de
integração k.
Processing math: 38%
 RELEMBRANDO
Atenção às regras de integração, já que elas serão bastante usadas na solução de equações diferenciais. A solução geral pode ser uma função
implícita relacionado y com o x, não sendo possível, por vezes, explicitar a função.
Vejamos alguns exemplos desse método a seguir:
UMA POPULAÇÃO DE BACTÉRIA P, MEDIDA EM MILHÕES, CRESCE EM RELAÇÃO AO
TEMPO T, MEDIDO EM HORAS, POR MEIO DO SEGUINTE MODELO
\FRAC{DP}{DT}=2(P-1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a quantidade de bactérias que haverá após 5 horas, sabendo que, para t = 0, o valor de p é de 2 milhão de bactérias.
RESOLUÇÃO
Precisamos, inicialmente, solucionar a equação diferencial de primeira ordem para descobrir como p varia com o tempo. Repare que temos uma EDO
separável, uma vez que:
\frac{dp}{dt}=2\left(p-1\right)\rightarrow\frac{1}{p-1}dp=2\ dt, para p\neq1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
\int{\frac{1}{p-1}dp}=\int{2\ dt}\rightarrow ln\left|p-1\right|=2t+k, com k∈𝑅
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como p é maior ou igual a 2, então, p – 1 é positivo, de modo que \left|p-1\right|=p-1
ln\left|p-1\right|=\ln{(p-1)=}2t+k\rightarrow p-1=\exp(2t+k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, a solução geral da EDO será p=1+\exp(2t+k), com k real, mas para t = 0, p = 2.
p=1+\exp{\left(2.0+k\right)}=2
\exp{\left(k\right)}=2-1=1\rightarrow k=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já a solução particular será p=1+\exp(2t).
Para obter a população para t = 5 horas, temos:
p\left(5\right)=1+\exp{\left(2.5\right)}=1+\exp{\left(10\right)}\approx22.028\ milhões
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, no exemplo, a expressão obtida no método levava em conta que p\ \neq1. Como, no exemplo, o valor de p ≥ 2, não se perdeu nenhuma
solução possível.
Pode acontecer em alguns casos, no entanto, que g(y) = 0 forneça solução para equação diferencial analisada. Nesse caso, diz-se que as soluções
são singulares, já que não podem ser obtidas pelo método empregado.
Vejamos o exemplo:
Obtenha a solução da equação y^\prime=x^3y^2
RESOLUÇÃO
Trata-se de uma EDO de primeira ordem. A EDO é do tipo separável, uma vez que:Processing math: 38%
y^\prime=x^3y^2\rightarrow\frac{dy}{dx}=x^3y^2\rightarrow\frac{1}{y^2}dy=x^3dx,com \neq0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira:
\int{\frac{1}{y^2}dy=\int{x^3dx}+k\rightarrow-\frac{1}{y}=\frac{1}{4}x^4+k}, com real.
y=-\frac{1}{\frac{1}{4}x^4+k}=-\frac{4}{x^4+4k}, com k real e para y\ \neq0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vemos, com isso, que essa solução geral não engloba o caso de y = 0.
Se fizermos y = 0 na EDO, observaremos que é solução para a EDO, pois y^\prime=x^3y^2 é atendida para a função y = 0. A função y = 0 seria uma
solução singular para a EDO. Assim, a solução da EDO seria y=-\frac{1}{\frac{1}{4}x^4+k}=-\frac{4}{x^4+4k} , com k real , ou y = 0.
 ATENÇÃO
Às vezes, com uma substituição de variável, podemos transformar uma EDO que não é do tipo separável para uma EDO separável.
Vejamos um exemplo desse caso:
DETERMINE A FUNÇÃO U, QUE É SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
U^\PRIME=2V+2U+V^2+U^2+4V+4U+2UV+8
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
E QUE PARA V = 0 TENHA U = 1.
RESOLUÇÃO
Temos uma EDO de primeira ordem que relaciona a incógnita u com a variável independente v. Inicialmente, não é possível se transformar a EDO para
uma EDO separável, isto é:
u^\prime=f\left(u\right)g(v)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando a equação, no entanto, teremos:
u^\prime=2v+2u+v^2+u^2+4v+4u+2uv+8
u^\prime=\left(2v+2u+4\right)+(v^2+u^2+4+4v+4u+2uv)
u^\prime=2\left(v+u+2\right)+{(v+u+2)}^2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se fizemos w=v+u+2,
u^\prime=2\left(v+u+2\right)+{(v+u+2)}^2\rightarrow u^\prime=2w+w^2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando w em relação à variável independente v, teremos:
{w=v+u+2\rightarrow w}^\prime=1+u\prime
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo w^\prime-1=u\prime=2w+w^2
Então w^\prime=1+2w+w^2, que é uma EDO separável. Com isso:
Processing math: 38%
w^\prime=\frac{dw}{dv}=1+2w+w^2\rightarrow\frac{1}{1+2w+w^2}dw=dv
\int{\frac{1}{1+2w+w^2}dw}=\int{dv+k}
\int{\frac{1}{{(1+w)}^2}dw}=\int d v+k
-\frac{1}{1+w}=v+k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando a variável original, podemos obter uma equação implícita, que relaciona u com v da seguinte forma:
-\frac{1}{1+(v+u+2)}=v+k\rightarrow v+\frac{1}{v+u+3}=\ -k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para v = 0, temos u = 1
0+\frac{1}{0+1+3}=\ -k\rightarrow k=-\frac{1}{4}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim sendo, a função u que atende às condições do problema, em relação a variável v, é obtida pela equação:
v+\frac{1}{v+u+3}=\ \frac{1}{4}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EDO EXATAS DE PRIMEIRA ORDEM
Uma equação diferencial de primeira ordem será considerada exata em um domínio S se puder ser colocada na seguinte forma:
U\LEFT(X,Y\RIGHT)+V\LEFT(X,Y\RIGHT)Y^\PRIME=0
e existir uma função M(x,y), definida em S tal que:
\FRAC{\PARTIAL M}{\PARTIAL X}\LEFT(X,Y\RIGHT)=U(X,Y) E \FRAC{\PARTIAL M}
{\PARTIAL Y}\LEFT(X,Y\RIGHT)=V(X,Y)
para todos os pontos (x,y) da região S.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que u(x,y) e v(x,y) são duas funções escalares de x e y, e serão dadas pela equação diferencial. Uma forma de verificar se a equação é exata
é analisando:
\FRAC{\PARTIAL U}{\PARTIAL Y}=\FRAC{\PARTIAL V}{\PARTIAL
X}=\FRAC{\PARTIAL^2M}{\PARTIAL X\PARTIAL Y}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos:
VERIFICAÇÃO DE EQUAÇÃO EXATA
Processing math: 38%
OBSERVE SE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL 2\LEFT(X^2+Y\RIGHT)Y^\PRIME=-4XY-X^2 É UMA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA.
RESOLUÇÃO
Colocando a equação na forma u\left(x,y\right)+v\left(x,y\right)y^\prime=0
2\left(x^2+y\right)y^\prime=-4xy-x^2\rightarrow2\left(x^2+y\right)y^\prime+\left(4xy+x^2\right)=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
u\left(x,y\right)=4xy+x^2 e v\left(x,y\right)=2\left(x^2+y\right)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtendo \frac{\partial u}{\partial y}\left(x,y\right)=4x e \frac{\partial v}{\partial x}\left(x,y\right)=4x
Retornando a solução da equação de primeira ordem exata, vamos definir a sua solução.
Se a equação diferencial u(x,y)+v(x,y)y^\prime=0 for exata, então a solução da equação diferencial será dada pela equação implícita M(x,y) =
k , com k real. Sendo a função M(x,y) a função tal que
\frac{\partial M}{\partial x}(x,yt)={u}(x,y) e \frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=v(x,y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos provar essa afirmativa:
M(x,y) = k\rightarrow\frac{dM}{dx}=0
Lembrando de o estudo da função escalar, temos:
\frac{dM}{dx}=\frac{\partial M}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial M}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, teremos:
\frac{\partial M}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial M}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0\rightarrow\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial M}{\partial y}y\prime=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas \frac{\partial M}{\partial x}\left(x,y\right)=u(x,y) e \frac{\partial M}{\partial y}\left(x,y\right)=v(x,y), então:
\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial M}{\partial y}y\prime=0\rightarrow u\left(x,y\right)+v\left(x,y\right)y^\prime=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, satisfazemos a equação diferencial apresentada.
Precisamos obter a função M(x,y) para solucionar a equação diferencial exata. A função M(x,y) pode ser obtida por meio da integração. Isso significa
que, se desejarmos obter a função M(x,y), basta resolvermos:
\FRAC{\PARTIAL M}{\PARTIAL X}\LEFT(X,Y\RIGHT)=U(X,Y) E \FRAC{\PARTIAL M}
{\PARTIAL Y}\LEFT(X,Y\RIGHT)=V(X,Y)
Logo, obtemos:
\FRAC{\PARTIAL M}{\PARTIAL X}\LEFT(X,Y\RIGHT)=U\LEFT(X,Y\RIGHT)\RIGHTARROW
M=\INT{U\LEFT(X,Y\RIGHT)DX+G\LEFT(Y\RIGHT)}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que, como estamos integrando em relação a x, e M(x,y) é uma função escalar que depende de x e y, a constante de integração será
uma função de y, representada por g(y).Processing math: 38%
Derivando, parcialmente, M(x,y) em relação a y, teremos:
\FRAC{\PARTIAL M}{\PARTIAL Y}\LEFT(X,Y\RIGHT)=\FRAC{\PARTIAL}{\PARTIAL
Y}\LEFT(\INT{U\LEFT(X,Y\RIGHT)DX+G\LEFT(Y\RIGHT)}\RIGHT)=\FRAC{\PARTIAL}
{\PARTIAL Y}\LEFT(\INT U\LEFT(X,Y\RIGHT)DX\RIGHT)+G\PRIME(Y)
G^\PRIME\LEFT(Y\RIGHT)=\FRAC{\PARTIAL M}{\PARTIAL Y}\LEFT(X,Y\RIGHT)-
\FRAC{\PARTIAL}{\PARTIAL Y}\LEFT(\INT U\LEFT(X,Y\RIGHT)DX\RIGHT)
No entanto:
\FRAC{\PARTIAL M}{\PARTIAL Y}\LEFT(X,Y\RIGHT)=V\LEFT(X,Y\RIGHT) \RIGHTARROW
G^\PRIME\LEFT(Y\RIGHT)=V\LEFT(X,Y\RIGHT)-\FRAC{\PARTIAL}{\PARTIAL Y}\LEFT(\INT
U\LEFT(X,Y\RIGHT)DX\RIGHT)
De modo que:
G\LEFT(Y\RIGHT)=\INT\LEFT[V\LEFT(X,Y\RIGHT)-\FRAC{\PARTIAL}{\PARTIAL
Y}\LEFT(\INT U\LEFT(X,Y\RIGHT)DX\RIGHT)\RIGHT]DY
Substituindo, obtemos:
M(X,Y)=\INT{U\LEFT(X,Y\RIGHT)DX+\INT\LEFT[V\LEFT(X,Y\RIGHT)-\FRAC{\PARTIAL}
{\PARTIAL Y}\LEFT(\INT U\LEFT(X,Y\RIGHT)DX\RIGHT)\RIGHT]DY}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O equacionamento parece complicado, mas basta seguir os passos para obter a solução. Repare que a solução da equação será, normalmente, uma
equação implícita. Veja:
EXEMPLO
DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 2\LEFT(X^2+Y\RIGHT)Y^\PRIME=-4XY-X^2
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, provamos que se trata de uma equação diferencial exata de primeira ordem, com:
u\left(x,y\right)=4xy+x^2 e v\left(x,y\right)=2\left(x^2+y\right)
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
\frac{\partial M}{\partial x}\left(x,y\right)=u\left(x,y\right)=4xy+x^2\rightarrow M=\int{\left(4xy+x^2\right)dx+g(y)=2x^2y+{\frac{1}{3}x}^3+g(y)}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalProcessing math: 38%
Vamos, agora, obter a derivada parcial de M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}\left(x,y\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(2x^2y+{\frac{1}{3}x}^3+g(y)\right)=2x^2+g\prime(y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
\frac{\partial M}{\partial y}\left(x,y\right)=v\left(x,y\right)=2\left(x^2+y\right)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
2x^2+g^\prime\left(y\right)=2x^2+g^\prime\left(y\right)\rightarrow g^\prime\left(y\right)=2y\rightarrow g\left(y\right)=\int2ydy=y^2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, substituindo:
M=2x^2y+{\frac{1}{3}x}^3+g\left(y\right)=2x^2y+{\frac{1}{3}x}^3y^2+y^2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução da equação diferencial será dada pela equação implícita
2x^2y+{\frac{1}{3}x}^3y^2+y^2=k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor de k será obtido por uma condição inicial. Por exemplo, considere que y(0) = 2, de modo que:
2{.0}^2.2+{\frac{1}{3}.0}^32^2+2^2=k\rightarrow k=4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será 2x^2y+{\frac{1}{3}x}^3y^2+y^2=4.
EDO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM
O terceiro método que estudaremos neste módulo é apropriado para as equações diferenciais lineares. A equação ordinária linear de primeira ordem
pode ser sempre expressa na forma:
Y^\PRIME+U\LEFT(X\RIGHT)Y=V(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual u(x) e v(x) são duas funções da variável independente x, dadas na equação diferencial.
Vamos considerar uma função auxiliar dada por P(x) y. Derivando essa função por meio da regra do produto, teremos:
\LEFT[P\LEFT(X\RIGHT)Y\RIGHT]^\PRIME=P^\PRIME\LEFT(X\RIGHT)Y+P\LEFT(X\RIGHT)Y\PR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos partir da equação diferencial linear e multiplicar os dois lados pela função P(x):
P(X)Y^\PRIME+P(X)U\LEFT(X\RIGHT)Y=P(X)V(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 38%
Compare as duas equações. Se fizemos P^\prime\left(x\right)=P(x)u\left(x\right), igualaremos o lado esquerdo da segunda equação com a primeira.
Isto é, se P^\prime\left(x\right)=P(x)u\left(x\right), então \left[P\left(x\right)y\right]^\prime=P(x)v(x).
Integrando ambos os lados, teremos:
\INT{\LEFT[P\LEFT(X\RIGHT)Y\RIGHT]^\PRIME D X}=\INT
P\LEFT(X\RIGHT)V\LEFT(X\RIGHT)DX+K\ ,\ K\ REAL
P\LEFT(X\RIGHT)Y=\INT P\LEFT(X\RIGHT)V\LEFT(X\RIGHT)DX+K\ ,\ K\ REAL
Y=\FRAC{1}{P(X)}\LEFT(\INT P\LEFT(X\RIGHT)V\LEFT(X\RIGHT)DX+K\ \RIGHT),\ K\ REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conseguiremos, então, obter a solução da equação diferencial linear de primeira ordem se escolhermos corretamente a função P(x). A função P(x) é
denominada fator integrante.
CÁLCULO DE P(X)
Vamos, agora, ver como calculamos P(X).
Retornando, P^\prime\left(x\right)=P(x)u\left(x\right), então:
\FRAC{P\PRIME(X)}{P(X)}=U(X)\RIGHTARROW\INT{\FRAC{DP}{P}=\INT
U\LEFT(X\RIGHT)DX}
Assim:
\LN{\LEFT|P(X)\RIGHT|}=\INT U\LEFT(X\RIGHT)DX+C,\ C\ REAL
logo:
P\LEFT(X\RIGHT)=EXP\LEFT(\INT U\LEFT(X\RIGHT)DX+C\RIGHT),\ C\ REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como necessitamos apenas de um P(x) que atenda à condição, não precisamos incluir a constante de integração. Portanto, para obter o fator
integrante, basta resolver:
P\LEFT(X\RIGHT)=EXP\LEFT(\INT U\LEFT(X\RIGHT)DX\RIGHT)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalProcessing math: 38%
Após obter P(x), devemos obter a equação geral da EDO linear de primeira ordem:
Y=\FRAC{1}{P(X)}\LEFT(\INT P\LEFT(X\RIGHT)V\LEFT(X\RIGHT)DX+K\ \RIGHT), K REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPAS
Agora que já entendemos o procedimento, vamos listar o passo a passo para não esquecermos nenhuma etapa do processo:
ETAPA A
Colocar a equação diferencial linear na sua forma padrão, isto é, o coeficiente que multiplica y’ deve ser um.
ETAPA B
Obter o fator integrante, usando o valor de u(x) da equação, pela fórmula:
P\left(x\right)=exp\left(\int u\left(x\right)dx\right)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA C
c) Obter o valor da integral a seguir, usando v(x) da equação diferencial dada:
\int P\left(x\right)v\left(x\right)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA D
Determinar a solução geral da equação diferencial pela fórmula:
y=\frac{1}{P(x)}\left(\int P\left(x\right)v\left(x\right)dx+k\ \right),\ k\ real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A SOLUÇÃO PARTICULAR SERÁ OBTIDA ACHANDO-SE O VALOR DE K REAL POR MEIO DA
CONDIÇÃO INICIAL.
Vejamos um exemplo a seguir:
Vamos obter a equação geral da equação diferencial 2y^\prime-2y-4e^x=0.
RESOLUÇÃO
Vamos colocar a equação diferencial linear na forma padrão:
y^\prime-y=2e^x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, u(x)=–1ev(x)=2e^x.
Agora, devemos obter o fator integrante:
P\left(x\right)=exp\left(\int u\left(x\right)dx\right)=exp\left(\int\left(-1\right)dx\right)=\exp(-x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, teremos:Processing math: 38%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
\int P\left(x\right)v\left(x\right)dx=\int{e^{-x}\ 2e^x\ dx=\int{2\ dx}=2x}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma que:
y=\frac{1}{P(x)}\left(\int P\left(x\right)v\left(x\right)dx+k\ \right)=\frac{1}{e^{-x}}\left(2x+k\ \right)=e^x\left(2x+k\right), k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, a solução geral será:
y=e^x(2x+k), k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos obter a solução que atenda à equação diferencial 2y^\prime-2y-4e^x=0 e que, para x = 0, tenhamos y = 1.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, obtivemos a equação geral y=e^x(2x+k), k real, fazendo
x=0\rightarrow y=e^0\left(2.0+k\right)=1\left(0+k\right)=k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, pela condição fornecida no enunciado, y = 1 = k. Logo, a solução particular será:
y=e^x(2x+1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso em que u(x) e v(x) forem número reais, isto é, a equação diferencial linear seja de coeficientes constantes, a resolução da equação vai ser
um pouco mais simplificada.
Vamos supor que u(x) = a e v(x) = b, com a e b reais. Então, teremos y^\prime+ay=b
Assim:
P\left(x\right)=exp\left(\int u\left(x\right)dx\right)=exp\left(\int{a\ dx}\right)=e^{ax}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
y=\frac{1}{P(x)}\left(\int P\left(x\right)v\left(x\right)dx+k\ \right)=\frac{1}{e^{ax}}\left(\int{b\ e^{ax}dx}+k\ \right)
y=\frac{1}{e^{ax}}\left(b\int{\ e^{ax}dx}+k\ \right)=\frac{1}{e^{ax}}\left(\frac{b}{a}e^{ax}+k\ \right)
y=\frac{b}{a}+ke^{-ax}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, se as funções u(x) e v(x) forem contínuas em um domínio S, podemos garantir que a solução obtida pelo procedimento descrito sempre
existirá e será única.
TEORIA NA PRÁTICA
O modelo logístico é mais sofisticado do que o modelode crescimento exponencial para se trabalhar com crescimentos populacionais. Seja P(t) o
tamanho de uma população em um instante t. Define-se a equação diferencial logística como:
\frac{dP}{dt}=CP\left(1-\frac{P}{K}\right)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual C e K são constante reais. A constante K é denominada de capacidade de suporte. Use o método da equação diferencial separável para obter
a solução da equação diferencial logística:
\frac{dP}{dt}=0,05\ \ P\left(1-\frac{P}{1000}\right)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a condição inicial de que P(0) = 200.Processing math: 38%
RESOLUÇÃO
Precisamos resolver a equação:
\frac{dP}{dt}=0,05P\left(1-\frac{P}{1000}\right)\rightarrow\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{1000}\right)}=0,05\ dt
\frac{1000}{P(1000-P)}dP=\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{1000-P}\right)dP=0,05dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal equação vale para todo P diferente de zero e de 1000.
\int{\frac{1}{P}dP}+\int\frac{1}{1000-P}dP=\int{0,05\ dt}
ln\left|P\right|-ln\left|1000-P\right|=0,05t+k,\ k\ real
ln\left|\frac{P}{1000-P}\right|=0,05t+k
\left|\frac{P}{1000-P}\right|=exp\left(0,05t+k\right)=\exp{\left(0,05t\right)}\exp(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De modo que:
\frac{P}{1000-P}=Be^{0,05t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que B=\pm e^k, com k real.
Resolvendo, teremos:
P=1000Be^{0,05t}-BPe^{0,05t}
P(t)=\frac{1000Be^{0,05t}}{1+Be^{0,05t}}=\frac{1000B}{B+e^{-0,05t}},\ com\ B\ real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
P\left(0\right)=\frac{1000B}{B+e^{-0,05.0}}=\frac{1000B}{B+1}=200\rightarrow1000B=200B+200\rightarrow B=\frac{200}{800}=\frac{1}{4}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será:
P\left(t\right)=\frac{250}{\frac{1}{4}+e^{-0,05t}}=\frac{1000}{1+4e^{-0,05t}}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. OBTENHA A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL S^\PRIME-COSU+{3U}^2+1=0.
A) s=u^3+\cos{u+k\ ,\ k\ real}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) s=u^3-sen{u-u+k\ ,\ k\ real}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) s={-u}^3+\cos{u-1+k\ ,\ k\ real}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) s={-u}^3+sen{u-u+k\ ,\ k\ real}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) s={-u}^3+sen{u-u+k\ ,\ k\ real}Processing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. SEJA A EQUAÇÃO
Y^\PRIME X^3+3Y-6XY^2Y^\PRIME=2Y^3-3X^2Y-3XY\PRIME
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
 
MARQUE A ALTERNATIVA FALSA RELACIONADA A ESSA EQUAÇÃO DIFERENCIAL.
A) É uma equação exata.
B) É uma equação não linear.
C) É uma equação separável.
D) É uma equação de primeira ordem.
E) É uma equação de coeficientes variáveis.
3. DESCUBRA A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SOLUÇÃO PARTICULAR PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y^2Y^\PRIME-X^2-1=0, SABENDO QUE, PARA X = 1, O VALOR DE Y VALE 2.
A) y=x+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) y^3=x^3+3x+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) xy^2=2y+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y^3=3x+5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) x^2+y^2=5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. DETERMINE A SOLUÇÃO PARTICULAR PARA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y^\PRIME X^3+3Y-6XY^2Y^\PRIME=2Y^3-3X^2Y-3XY\PRIME
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
 
E QUE ATENDA À CONDIÇÃO INICIAL DE Y = 1 PARA X = 1.
A) 3yx+x^3y-2xy^3-2=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 3yx+x^3y-2xy^2-1=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 2yx+x^3y+2y^3-2=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) yx-2xy^3-2=0Processing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 3yx+x^3y-2xy^3+4=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. OBTENHA A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
8X^3Y+2Y^\PRIME-16X^3=0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) y=ke^{{-x}^4}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) y=2+ke^{{-x}^4}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) y=2x+ke^{{-x}^4}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y=x^3+ke^{x^3}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) y=k+2e^{x^4}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. OBTENHA A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y^\PRIME-XSEN\ 2X+Y\ TGX=0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
COM X PERTENCENTE AO INTERVALO \LEFT(-\FRAC{\PI}{2},\FRAC{\PI}{2}\RIGHT) QUE ATENDA Y(0)=2
A) y=2 \cos{x+2x{cos}^2x+cos x}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) y=2 senx\cos{x-2x{cos}^2x+2cos x}, K real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) y=2 senx\cos{x-2{cos}^2x+2sen x}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y=2 senx\cos{x+2x{cos}^2x-2cos x}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) y=2 senx{-2xcos x-2}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Obtenha a solução da equação diferencial s^\prime-cosu+{3u}^2+1=0.
A alternativa "D " está correta.
Analisando a equação, verificamos que é possível resolvê-la de forma direta. Vejamos:
s^\prime-cosu+{3u}^2+1=0\rightarrow s^\prime=\cos{u-1-{3u}^2}
Processing math: 38%
\frac{ds}{du}=\cos{u-1-{3u}^2\rightarrow d s=}\ (\cos{u-1-{3u}^2)\ du}
\int d s=\int{(\cos{u-1-{3u}^2)\ du}}\rightarrow s=senu-u-u^3+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa correta é, portanto, a letra D.
2. Seja a equação
y^\prime x^3+3y-6xy^2y^\prime=2y^3-3x^2y-3xy\prime
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Marque a alternativa falsa relacionada a essa equação diferencial.
A alternativa "C " está correta.
Organizando a equação diferencial dada, temos:
y^\prime x^3+3y-6xy^2y^\prime=2y^3-3x^2y-3xy^\prime
y^\prime\left(x^3-6xy^2+3x\right)=2y^3-3y-3x^2y
y^\prime\left(x^3-6xy^2+3x\right)+\left(3y+3x^2y-2y^3\right)=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a derivada de mais alto grau é de primeira ordem, de modo que a EDO é de primeira ordem. Como os coeficientes dependem de x e y,
trata-se de uma equação diferencial com coeficientes variáveis. Por fim, é uma equação não linear, já que aparece um produto de y e y’.
Vamos verificar, agora, se a equação diferencial é exata.
u\left(x,y\right)=3y+3x^2y-2y^3\rightarrow\frac{\partial u}{\partial y}=3+3x^2-6y^2
v\left(x,y\right)=x^3-6xy^2+3x\rightarrow\frac{\partial v}{\partial x}=3x^2-6y^2+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}, trata-se de uma equação diferencial exata. Não é possível colocar a EDO na forma
y’=g(x)h(y), assim a equação é não separável, e a alternativa C apresenta uma afirmativa falsa.
3. Descubraa alternativa que apresenta a solução particular para equação diferencial y^2y^\prime-x^2-1=0, sabendo que, para x = 1, o valor
de y vale 2.
A alternativa "B " está correta.
Analisando a equação, verificamos que se trata de uma equação separável:
y^2y^\prime=x^2+1\rightarrow y^\prime=\frac{x^2+1}{y^2}=g\left(y\right)h(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvemos passando tudo o que depende do y para um lado e tudo o que depende do x para o outro lado. Vejamos:
y^2y^\prime=x^2+1\rightarrow y^2dy={(x}^2+1)dx
\int{y^2dy}=\int{{(x}^2+1)dx}+k\rightarrow\frac{1}{3}y^3=\frac{1}{3}x^3+x+k
y^3=x^3+3x+C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
x=1\rightarrow\ y^3=1+3+C=2^3=8\rightarrow C=4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
y^3=x^3+3x+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Indicado na alternativa B.
4. Determine a solução particular para a equação diferencial
Processing math: 38%
y^\prime x^3+3y-6xy^2y^\prime=2y^3-3x^2y-3xy\prime
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
e que atenda à condição inicial de y = 1 para x = 1.
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução no vídeo abaixo:
5. Obtenha a solução geral da equação diferencial
8x^3y+2y^\prime-16x^3=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Organizando a equação diferencial dada, verificamos que se trata de uma equação linear:
8x^3y+2y^\prime-16x^3=0\rightarrow y^\prime+4x^3y=68
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
u(x) = 4x^3 e v(x) = 8x^3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, temos de obter o fator integrante:
P\left(x\right)=exp\left(\int u\left(x\right)dx\right)=exp\left(\int{4x^3dx}\right)={\exp(x^4)}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, teremos:
P\left(x\right)=exp\left(\int u\left(x\right)dx\right)=exp\left(\int4x^3dx\right)=\exp(x^4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para resolver a integral, vamos fazer
u=x^4\rightarrow du=4x^3
2\int{4x^3\ e^{x^4}dx}=2\int{e^udu}=2e^u=2e^{x^4}
y=\frac{1}{P(x)}\left(\int P\left(x\right)v\left(x\right)dx+k\ \right)=\frac{1}{e^{x^4}}\left(2e^{x^4}+k\ \right)=2+ke^{{-x}^4}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A opção correta é a letra B.
6. Obtenha a solução da equação diferencial
y^\prime-xsen\ 2x+y\ tgx=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com x pertencente ao intervalo \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) que atenda y(0)=2
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução no vídeo abaixo:
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE PRIMEIRA ORDEMProcessing math: 38%
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SOLUÇÃO GERAL PARA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
6X^2-{2E}^X+ 2Y^\PRIME = 0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) y=\ln(x)-{2x}^3+k k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) y=e^{2x}+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) y=x^4+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y=e^x-x^3+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) y={2e}^x-{4x}^2+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SOLUÇÃO PARTICULAR PARA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y^\PRIME\LEFT(3Y-7X-1\RIGHT)+\LEFT(2X-7Y+3\RIGHT)=0
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
 
SABENDO QUE Y(0) = 1.
A) x^2-xy+6x+3y^2-2y-1=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 2x^2-4xy+6x+3y^2-2y-1=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 2x^2-xy+6x+3y^2+2y-4=0Processing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 2x^2-2xy+6x+3y^2+2y-3=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 2x^2-xy-x+y^2-2y-1=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a solução geral para a equação diferencial
6x^2-{2e}^x+ 2y^\prime = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
 
6x^2-{2e}^x+2y^\prime=0
y^\prime=\frac{dy}{dx}=e^x-3x^2
dy=\left(e^x-3x^2\right)dx
\int d y=\int{\left(e^x-3x^2\right)dx+k\rightarrow y=e^x-x^3+k}, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Marque a alternativa que apresenta a solução particular para a equação diferencial
y^\prime\left(3y-7x-1\right)+\left(2x-7y+3\right)=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Sabendo que y(0) = 1.
A alternativa "B " está correta.
 
Repare que se trata de uma equação exata, pois, \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}
u\left(x,y\right)=2x-7y+3\rightarrow\frac{\partial u}{\partial y}=-7
v\left(x,y\right)=3y-7x-1\rightarrow\frac{\partial v}{\partial x}=-7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação diferencial pela solução geral M(x,y) = C, C real. Lembre-se de que
v\left(x,y\right)=3y-7x-1\rightarrow\frac{\partial v}{\partial x}=-7 e \frac{\partial M}{\partial y}\left(x,y\right)=v(x,y)
\frac{\partial M}{\partial x}\left(x,y\right)=u\left(x,y\right)=2x-7y+3\rightarrow M=\int{\left(2x-7y+3\right)dx+g(y)}
M=\int{\left(2x-7y+3\right)dx+g\left(y\right)=x^2-7xy+3x+g(y)}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, obter a derivada parcial de M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}\left(x,y\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2-7xy+3x+g(y)\right)=-7x+g\prime(y)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto:
\frac{\partial M}{\partial y}\left(x,y\right)=v\left(x,y\right)=3y-7x-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
-7x+g^\prime\left(y\right)=3y-7x-1 \rightarrow g^prime\left(y\right)=3y-1
Processing math: 38%
g\left(y\right)=\int\left(3y-1\right)dy=\frac{3}{2}y^2-y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, substituindo, teremos:
M=x^2-7xy+3x+g\left(y\right)=x^2-7xy+3x+\frac{3}{2}y^2-y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução da equação diferencial será dada pela equação implícita:
M(x,y) = C \rightarrow x^2-7xy+3x+\frac{3}{2}y^2-y=C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como y(0) = 1, então:
0^2-7.0.1+3.0+\frac{3}{2}1^2-1=C\rightarrow C=\frac{1}{2}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será:
x^2-7xy+3x+\frac{3}{2}y^2-y=\frac{1}{2}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou
2x^2-4xy+6x+3y^2-2y-1=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Reconhecer situações possíveis de serem modeladas por equações diferenciais de primeira ordem
MODELAGEM POR MEIO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA
ORDEM
MODELAGEM POR EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Diversas são as situações — seja nas Ciências, seja na Engenharia — que envolvem uma incógnita e suas taxas de variação representadas por suas
derivadas. Esses problemas podem ser modelados por uma equação diferencial. Estudaremos, neste módulo,algumas situações que podem ser
modeladas por uma equação diferencial de primeira ordem. Ao analisarmos uma situação prática, buscamos modelar o problema com os dados e as
observações realizadas, de forma a equacionar um modelo para buscar a solução.
Processing math: 38%
APÓS O LEVANTAMENTO DOS DADOS E DO RELACIONAMENTO ENTRE ELES, MONTAMOS UMA
OU MAIS EQUAÇÕES, QUE DEVEM SER RESOLVIDAS. AS EQUAÇÕES DE MODELAMENTO, EM
GERAL, SERÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, QUANDO AS RELAÇÕES DEPENDEM DA INCÓGNITA A
SER OBTIDA E DE SUAS TAXAS DE VARIAÇÃO.
Vejamos algumas situações que podem ser modeladas por meio de uma equação diferencial de primeira ordem.
QUEDA LIVRE DE UM OBJETO SUJEITO À RESISTÊNCIA DO AR
A segunda Lei de Newton relaciona a força, em N, que age em um objeto de massa m, em kg, e sua aceleração em m/s², da seguinte forma:
\VEC{F}=M\VEC{A}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando uma trajetória retilínea, podemos retirar os vetores e trabalhar apenas com os módulos. Devemos lembrar, no entanto, que a
velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, já a aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo.
Dessa forma, a aceleração será a segunda derivada da posição pelo tempo:
A=\FRAC{DV}{DT}=\FRAC{D^2S}{DT^2}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso de um objeto em queda livre, se desprezarmos a resistência do ar, o objeto estará sujeito apenas ao seu peso, e a aceleração será constante
e igual à aceleração da gravidade. Nesse caso, não será necessária uma equação diferencial para modelar o problema.
Na prática, o ar resiste ao movimento de queda livre, com uma força que é proporcional à sua velocidade, de modo que
F_{AR}=KV=K\FRAC{DS}{DT}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
K é uma constante de proporcionalidade determinada experimentalmente. Com isso, um objeto em queda livre de massa m, medida em kg, estará
sujeito ao peso, que empurra o objeto para baixo, e à resistência do ar, contrária ao peso.
Vejamos:
F_R=P-F_{AR}=MA
MG-K\FRAC{DS}{DT}=M\FRAC{D^2S}{DT^2}
em que g é aceleração da gravidade.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conseguimos modelar o problema da posição em relação ao tempo dessa forma. Porém, temos uma equação diferencial de segunda ordem, que
ainda não sabemos resolver. Nesse caso, podemos modelar a velocidade com o tempo:
Processing math: 38%
MG-KV=M\FRAC{DV}{DT}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, agora, uma equação diferencial linear de primeira ordem, que já sabemos resolver.
Resolvendo a equação diferencial da velocidade pelo método para equação linear, obteremos a seguinte solução:
V\LEFT(T\RIGHT)=\FRAC{MG}{K}\LEFT(1-E^{-\FRAC{K}{M}T}\RIGHT)\ M/S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a velocidade, usamos a relação:
V=\FRAC{DS}{DT}\RIGHTARROW S=\INT_{0}^{T}{V\ DT}
De forma que:
S\LEFT(T\RIGHT)=\INT_{0}^{T}{\FRAC{MG}{K}\LEFT(1-E^{-\FRAC{K}{M}T}\RIGHT)DT}
Então:
S\LEFT(T\RIGHT)=\FRAC{MG}{K}\LEFT[T-\FRAC{M}{K}(1-E^{-\FRAC{K}{M}T})\RIGHT]M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
UM OBJETO COM MASSA DE 1 KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM AMBIENTE NO QUAL A
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE DA RESISTÊNCIA DO AR É DE 0,8 NS²/M. O OBJETO SAI
DO REPOUSO. DETERMINE A VELOCIDADE MÁXIMA OBTIDA PELO OBJETO, CONSIDERANDO A
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COMO 10 M/S².
RESOLUÇÃO
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
mg-Kv=m\frac{dv}{dt}\rightarrow\frac{dv}{dt}+0,8v=10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear com \frac{dv}{dt}+a\left(t\right)v=b\left(t\right). Então a(t) = 0,8 e b(t) = 10.
Agora, temos de obter o fator integrante:
P\left(t\right)=exp\left(\int a\left(t\right)dt\right)=exp\left(\int{0,8\ dt}\right)=e^{0,8t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, teremos:
\int P\left(t\right)b\left(t\right)dt=\int{e^{0,8t}10\ dt}=\frac{100}{8}\ e^{0,8t}=12,5e^{0,8t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
v(t)=\frac{1}{P(t)}\left(\int P\left(t\right)b\left(t\right)dt+k\ \right)=\frac{1}{e^{0,8t}}\left(12,5e^{0,8t}+k\ \right)
v(t)=12,5+ke^{-0,8t}m/s\ ,\ k\ realProcessing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
v(0) = 0 \rightarrow\ 0=12,5+ke^{-0}\rightarrow k=\ -12,5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
v\left(t\right)=12,5\ (\ 1-\ e^{-0,8t})m/s, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando t tende ao infinito, a exponencial tenderá a zero, e a velocidade chega no seu valor máximo de 12,5 m/s².
TAXA DE CRESCIMENTO POPULACIONAL EXPONENCIAL
A modelagem do crescimento de uma população — por exemplo, de insetos ou bactérias — é necessária, muitas vezes, em Biologia. Uma forma
simples de modelar o crescimento de uma população é utilizando um modelo exponencial, no qual a taxa de variação da população com o tempo é
proporcional ao tamanho da população.
Desse modo, seja P(t) a população em um instante de tempo t:
\FRAC{DP}{DT}=KP
em que k é a taxa líquida de aumento da população.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O modelo pode ser empregado para o decrescimento exponencial se k for negativa. Se observarmos a equação do modelo, trata-se de uma equação
diferencial linear, de coeficientes constantes e homogênea.
Podemos resolver a equação pelo método estudado no módulo anterior. Assim, a solução do modelo será obtida pela resolução dessa equação
diferencial linear. Para isso, use o método e você obterá a solução geral:
P\LEFT(T\RIGHT)=CE^{KT}, C REAL
Para obter o C, é preciso conhecer uma condição de contorno. Se conhecermos o valor da polução P para t = 0, denominando P0, teremos:
P\LEFT(T\RIGHT)=P_0E^{KT}
Se conhecermos o valor da polução P para t = T, denominando PT, teremos:
P\LEFT(T\RIGHT)=P_TE^{K(T-T)}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Processing math: 38%
O modelo de crescimento populacional na forma exponencial é chamado de Lei de Malthus. Vale saber que esse modelo se torna menos preciso para
valores grandes de tempo.
DECAIMENTO EXPONENCIAL
Vejamos, agora, um modelo para um decaimento exponencial, aplicado em um decaimento radioativo, por exemplo. Considere m(t) a massa
remanescente de uma substância radioativa em um instante t. Nesse caso, a taxa de decaimento será dada por:
\FRAC{DM}{DT}\LEFT(T\RIGHT)=K\ M
em que k é a constante negativa denominada constante de decaimento.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vida média de um material é definida como o tempo necessário para que metade da massa do material radioativo decaia.
Determine a vida média de um material sabendo que a constante de decaimento é de 1,4 10-4 por ano. Considere o decaimento exponencial
RESOLUÇÃO
A equação diferencial que modela o problema será:
\frac{dm}{dt}\left(t\right)=k\ m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação
\frac{1}{m}dm=kdt\rightarrow\int{\frac{\prime}{m}dm}=\int{kdt\rightarrow\ln{m=kt+C,\ C\ real}}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Teremos:
m=\exp{\left(kt+C\right)}=\exp{\left(kt\right)}\exp{\left(C\right)}=Ae^{kt}\ ,\ A\ real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desejamos calcular a vida média do material, que seria o instante em que sua massa chega à metade.
Considerando A0 como t = 0 e tv o tempo vida média, temos:
t=0\rightarrow m=A_0t=t_v\rightarrow m=\frac{A_0}{2}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
\frac{A_0}{2}=A_0e^{kt_v}\rightarrow e^{kt_v}=\frac{1}{2}\rightarrow kt_v=\ln{2\rightarrow}t_v=\frac{1}{k}\ln{2=\frac{1}{1,4\ {10}^4}ln2=4951\ anos}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MISTURA DE SOLUÇÕES
Vamos conhecer agora um problema de química modelado por uma equação diferencial. Um problema de mistura de soluções — por exemplo, a
salmoura — está relacionado com um recipiente de capacidade fixa no qual se mistura uma substância, como o sal, em um líquido, como a água.
A solução, em dada concentração, entra no recipiente a uma taxa fixa. A mistura, bem agitada no tanque, sai do recipiente também com uma taxa fixa,
que pode ser diferente da taxa de entrada
Processing math: 38%
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por \frac{ds}{dt}. Essa taxa será determinada pela diferença entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de
saída, TS, do sal no tanque, ou seja:
\FRAC{DS}{DT}=T_E-T_S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos entender esse processo por meio de um exemplo numérico:
Seja um recipiente com 5000L de água e 20 kg de sal, inicialmente. Insere-se, no recipiente, uma solução (água salgada) com uma concentração de
0,05 kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. A solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 50
L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.
RESOLUÇÃO
Nosso problema é calcular quanto de sal permanece no tanque depois de certo tempo. Seja s(t) a quantidade de sal, em kg, depois de t minutos. Para
t = 0, teremos apenas a quantidade de sal na solução inicial – 20 kg.
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por \frac{ds}{dt}. Essa taxa será dada pela diferença entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de saída,
TS, do sal no tanque, ou seja:
\FRAC{DS}{DT}=T_E-T_S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada, em nosso exemplo, seria dada por 0,05 kg/L vezes 50L/min, de modo que TE = 2,50 kg/min.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada — no exemplo, de 50L/min —, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 5000L.
Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
A taxa de saída do sal será de s(t)/5000 kg/L, que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total, vezes a vazão de saída de 50L/min.
Assim, TS = s(t)/100 kg/min
\FRAC{DS}{DT}=2,50-\ \FRAC{S}{100}=\FRAC{250-S}{100}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear. Com isso, podemos solucionar a equação pelos métodos estudados no módulo
anterior:Processing math: 38%
\FRAC{DS}{250-S}=\FRAC{1}{100}DT\RIGHTARROW\INT\FRAC{DS}{250-
S}=\INT{\FRAC{1}{100}DT}+C,\ C\ REAL
-LN\LEFT|250-S\RIGHT|=\FRAC{T}{100}+C, C REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como t = 0, temos s = 20 kg
-LN\LEFT|250-20\RIGHT|=\FRAC{0}{100}+C\RIGHTARROW C=-\LN{230}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De modo que:
-LN\LEFT|250-S\RIGHT|=\FRAC{T}{100}-\LN{230}
250-S=\EXP{\LEFT(\LN{230}-\FRAC{T}{100}\RIGHT)}=230EXP\LEFT(-\FRAC{T}
{100}\RIGHT)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
S(T)=250-230EXP\LEFT(-\FRAC{T}{100}\RIGHT), COM T EM MINUTOS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VEJA QUE PODEMOS OBTER A QUANTIDADE DE SAL PARA QUALQUER INSTANTE T. ALÉM
DISSO, PODEMOS DETERMINAR A MÁXIMA QUANTIDADE DE SAL NO RECIPIENTE. CONFORME T
TENDE PARA INFINITO, A EXPONENCIAL TENDE A ZERO, DE FORMA QUE SMAX = 250KG.
CIRCUITOS ELÉTRICOS RL OU RC
A resolução de circuitos elétricos com uma resistência e um capacitor em série, denominado RC, ou de um resistor e um indutor em série, denominado
RL, podem ser solucionados por meio de uma equação diferencial de primeira ordem. Vejamos:
Processing math: 38%
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
Usando a lei das malhas para o circuito RL, podemos escrever a seguinte equação diferencial:
V(T)-RI(T)-L\FRAC{DI(T)}{DT}=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conhecendo-se a tensão da fonte v(t) e os componentes do circuito, obtém-se a função i(t), que fornece a corrente elétrica com o tempo. Trata-se de
uma equação linear com coeficientes constantes e não homogênea:
\FRAC{DI(T)}{DT}+\FRAC{R}{L}I\LEFT(T\RIGHT)=\FRAC{1}{L}V(T)
A tensão no indutor pode ser obtida por v_L\left(t\right)=L\frac{di(t)}{dt}.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso do circuito RC, usa-se a lei dos nós do circuito elétrico. O modelo do circuito é obtido pela equação:
\FRAC{V(T)-V_C(T)}{R}=C\FRAC{{DV}_C(T)}{DT}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com esse modelo, dada a tensão da fonte v(t) e os elementos do circuito, obtém-se a dependência da tensão no capacitor com o tempo, vc(t). Para se
obter a corrente i(t), pode-se fazer i\left(t\right)=\ C\frac{{dv}_c(t)}{dt}.
Seja um circuito RL em série com resistência de 15 Ω e indutor de 5 H. A tensão é fornecida por uma fonte contínua de 50 V, que é ligada em t = 0s.
Determine a corrente após 1 s e a corrente limite do circuito.
RESOLUÇÃO
Conforme estudamos, o modelo utilizado será dado pela equação diferencial:
\frac{di(t)}{dt}+\frac{R}{L}i\left(t\right)=\frac{1}{L}v(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema, temos:
\frac{di(t)}{dt}+\frac{15}{5}i\left(t\right)=\frac{1}{5}50\rightarrow\frac{di(t)}{dt}+3i\left(t\right)=10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
\frac{di\left(t\right)}{dt}+a\left(t\right)i\left(t\right)=b\left(t\right)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a(t) = 3 e b(t) = 10.Processing math: 38%
Iremos, agora, obter o fator integrante:
P\left(t\right)=exp\left(\int a\left(t\right)dt\right)=exp\left(\int{3\ dt}\right)=e^{3t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, temos:
\int P\left(t\right)b\left(t\right)dt=\int{e^{3t}10\ dt}=\frac{10}{3}\ e^{3t}\
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
i(t)=\frac{1}{P(t)}\left(\int P\left(t\right)b\left(t\right)dt+k\ \right)=\frac{1}{e^{3t}}\left({\frac{10}{3}e}^{3t}+k\ \right), k real
i(t)=\frac{10}{3}+ke^{-3t}A\ ,\ k\ real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como circuito é ligado em t = 0s, então i(0) = 0, de modo que:
0=\frac{10}{3}+k\rightarrow k=-\frac{10}{3}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
i\left(t\right)=\frac{10}{3}\left(1-e^{-3t}\right)A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando
i(1)=\frac{10}{3}\left(1-e^{-3.1}\right)=3,16\ A
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Quando t\rightarrow\infty temos:
\lim_{t\rightarrow\infty}\left(t\right)=\frac{10}3\left(1-0\right)=\frac{10}3A
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JUROS COMPOSTOS CONTINUAMENTE
A modelagem também pode ser aplicada na matemática financeira. Considere uma aplicação financeira com um valor inicial A0 aplicado a uma taxa de
juros anuais representada por r. O juro do investimento será composto n vezes ao ano. Assim, em cada período de composição, a taxa de juros será
dada por uma taxa de \frac{r}{n}. Após período de n vezes o período de composição t, teremos um capital calculadopor:
A=A_0\LEFT(1+\FRAC{R}{N}\RIGHT)^{NT}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por exemplo, seja um investimento inicial de R$ 1.000,00 com uma taxa de 5% ao ano, mas composto de diversas formas. Após 2 anos de
investimento, o capital será:
COMPOSIÇÃO ANUAL
Em um período de dois anos, teremos dois instantes de composição de juros com uma taxa de 5%:
A=1.000\left(1+\frac{0,05}{1}\right)^2=1.102,50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 38%
javascript:void(0)
COMPOSIÇÃO SEMESTRAL
Em um período de dois anos, teremos quatro instantes de composição de juros com taxa de \frac125\%=2,5\%:
A=1.000\left(1+\frac{0,05}{2}\right)^4=1.103,81
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
COMPOSIÇÃO MENSAL
Em um período de dois anos, teremos 24 instantes de composição de juros com taxa de \frac{1}{12}5\%:
A=1.000\left(1+\frac{0,05}{12}\right)^{24}=1.104,94
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, considerar que n tende ao infinito. Nesse caso, seria denominado juro composto continuamente da seguinte forma:
A=\LIM_{N\RIGHTARROW\INFTY}A_0\LEFT(1+\FRAC
RN\RIGHT)^{NT}=A_0\LIM_{N\RIGHTARROW\INFTY}\LEFT[\LEFT(1+\FRAC
RN\RIGHT)^\FRAC
NR\RIGHT]^{RT}=A_0\LEFT[\LIM_{N\RIGHTARROW\INFTY}\LEFT(1+\FRAC
RN\RIGHT)^\FRAC NR\RIGHT]^{RT}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O limite dentro dos colchetes é um limite fundamental que vale e, de modo que:
A=A_0E^{RT}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando ambos os lados, em relação ao tempo, obtemos um modelo com taxas de juros compostas continuamente:
\FRAC{DA}{DT}=A_0RE^{RT}=RA(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o modelo é uma equação do primeiro grau que diz que a taxa de crescimento do investimento é proporcional ao seu valor.
Um capital de R$ 10.000,00 é investido em uma aplicação com taxa de juros de 5% ao ano composta continuamente. Determine a equação que
modele o problema e o valor de capital, após dois anos de aplicação.
RESOLUÇÃO
Conforme estudado o modelo será dado por:
\FRAC{DA}{DT}=A_0RE^{RT}=RA(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema, temos:
Processing math: 38%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
\FRAC{DA}{DT}=0,05\ A(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação, teremos
\FRAC{DA}{DT}=0,05\ A\RIGHTARROW\FRAC{DA}{A}=0,05\ DT\RIGHTARROW
LNA=0,05T+K\RIGHTARROW A\LEFT(T\RIGHT)=\EXP{\LEFT(0,05T\RIGHT)}\EXP(K)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, A(0) = 10.000 = exp (k)
A\LEFT(T\RIGHT)=10.000E^{0,05T}
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De forma que:
A(2)=10.000 E^{0,05.2}=10.000E^{0,1}=11.051,71
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TRAJETÓRIAS ORTOGONAIS A UMA FAMÍLIA DE CURVAS
Considere uma família de curvas no R2. Nesse caso, podemos obter uma trajetória ortogonal, em qualquer ponto \left(x_0,y_0\right) pertencente a
essas curvas, seguindo o seguinte conceito:
Por meio das equações das curvas, obtemos a relação entre y e x

Derivamos y em relação a x, obtendo o coeficiente angular, isto é, a inclinação da reta tangente às curvas em qualquer ponto.

A inclinação da trajetória ortogonal é obtida pela troca do sinal e pela inversão do coeficiente angular da reta tangente, obtendo-se uma equação
diferencial a ser solucionada.
Vejamos a situação a seguir:
Considere uma família de curvas dadas pela equação y=kx^2 , k real. Determine as trajetórias ortogonais a essa família de curvas dadas.
RESOLUÇÃO
A equação da família de curvas fornece a relação entre y e x, isto é, y=kx^2. Derivando em relação a x, ambos os lados, usando a derivação implícita,
temos:
\FRAC{DY}{DX}=2KXProcessing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos de obter uma inclinação que independa de k. Como y=kx^2\rightarrow k=\frac{y}{x^2}, temos:
\FRAC{DY}{DX}=2\FRAC{Y}{X^2}X=2\FRAC{Y}{X}
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Então
M_T=\FRAC{DY}{DX}=2\FRAC{Y}{X}\RIGHTARROW M_{ORT}=\FRAC{DY}{DX}=-
\FRAC{X}{2Y}
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Precisamos, agora, resolver a equação diferencial
Y^\PRIME=-\FRAC{X}{2Y}\RIGHTARROW2YY^\PRIME=-X\RIGHTARROW2Y\ DY=-XDX
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Usando o método da equação separável, teremos:
\INT{2Y\ DY=\INT{-X\ DX\RIGHTARROW Y^2=-\FRAC{1}
{2}X^2+C}}\RIGHTARROW\FRAC{X^2}{2}+Y^2=C, C REAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que são equações de uma família de elipses centradas na origem.
TEORIA NA PRÁTICA
Você deseja fazer uma aplicação bancária com um capital de R$ 1.000,00. Seu gerente ofereceu um investimento novo que fornecia uma taxa de juros
anual de 5% com composição contínua.
Para ajudar na sua decisão, o gerente informou que se você investisse com uma composição continua, após dez anos, seu capital seria dez por cento
maior, se a composição fosse mensal. Use seus conhecimentos de cálculo para verificar a veracidade da informação dada pelo gerente.
RESOLUÇÃO
Temos, portanto, um investimento de juros anual de 5%. Se aplicarmos com composição de juros mensal durante cinco anos, teremos 10 x 12 = 120
instantes de composição com juros de \frac{1}{12}5\%:
A=1.000\left(1+\frac{0,05}{12}\right)^{120}=1.647,00
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Para uma aplicação de juros contínua, deve-se calcular uma equação diferencial do tipo:
\frac{dA}{dt}=rA(t)
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Substituindo os dados do problema:Processing math: 38%
\frac{dA}{dt}=0,05\ A(t)
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Resolvendo a equação:
\frac{dA}{dt}=0,05\ A\rightarrow\frac{dA}{A}=0,05\ dt\rightarrow lnA=0,05t+k\rightarrow A\left(t\right)=\exp{\left(0,05t\right)}\exp(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, A(0) = 1.000 = exp (k)
A\left(t\right)=1.000e^{0,05t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, após dez anos, teremos
A(10) = 1.000 e^{0,05.10}=1.000e^{0,5}=1.648,72
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor obtido não é 10% maior do que a composição mensal, que obteve um capital de 1.647,00.
MÃO NA MASSA
1. UM CRESCIMENTO POPULACIONAL É MODELADO POR UM CRESCIMENTO EXPONENCIAL. SABE-SE QUE, PARA
T = 0, A POPULAÇÃO É DE 1.000 ESPÉCIES E, PARA T = 2 ANOS, É DE 1000E4 ESPÉCIES. DETERMINE A
POPULAÇÃO PARA UM INSTANTE DE TEMPO DE 5 ANOS:
A) 1000\ e^{10}
B) 2000\ e^{10}
C) 3000\ e^{10}
D) 4000\ e^{10}
E) 5000\ e^{10}
2. UM CAPITAL A0 FOI INVESTIDO EM T = 0 COM UMA TAXA ANUAL DE 10% ANUAIS. ESSE INVESTIMENTO TEVE
COMPOSIÇÃO DE JUROS DE FORMA CONTÍNUA. DETERMINE O VALOR DE A0 SABENDO QUE, DOIS ANOS APÓS O
INÍCIO DO INVESTIMENTO, O CAPITAL ERA DE 2.000E0,2
A) R$ 1.000,00
B) R$ 2.000,00
C) R$ 3.000,00
D) R$ 4.000,00
E) R$ 5.000,00
3. SEJA UMA FAMÍLIA DE ELIPSES CENTRADAS NA ORIGEM DADAS PELA EQUAÇÃO X^2+\FRAC{Y^2}{2}=K, COM
K REAL. DETERMINE AS TRAJETÓRIAS ORTOGONAIS A ESSA FAMÍLIA DE CURVAS DADAS.
A) x=e^{Ky}, k real
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Processing math: 38%
B) y=Kx^2, k real
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C) x=Ky^2, k real
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D) x^2+y^2=K,k real
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E) x=Ky^3+1, k real
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4. SEJA UM RECIPIENTE COM, INICIALMENTE, 10.000L DE ÁGUA E 50KG DE SAL. INSERE-SE, NO RECIPIENTE,
UMA SOLUÇÃO (ÁGUA SALGADA), COM UMA CONCENTRAÇÃO DE 0,1KG DE SAL POR LITRO DE ÁGUA, A UMA
TAXA FIXA DE 50L/MIN. A SOLUÇÃO É MISTURADA COMPLETAMENTE E TEM UMA SAÍDA DO TANQUE COM UMA
TAXA DE 50L/MIN. DETERMINE A QUANTIDADE MÁXIMA DE SAL QUE PERMANECE NO RECIPIENTE.
A) 250 kg
B) 500 kg
C) 750 kg
D) 1.000 kg
E) 1.250 kg
5. UM OBJETO CAI EM QUEDA LIVRE A PARTIR DO REPOUSO A UMA ALTURA DE 100M DO SOLO. O OBJETO TEM
UMA MASSA DE 5KG. CONSIDERE A CONSTANTE DE RESISTÊNCIA DO AR DE 1 NS²/M E A ACELERAÇÃO DA
GRAVIDADE IGUAL A 10M/S². DETERMINE A QUE DISTÂNCIA DO SOLO, APROXIMADAMENTE, O OBJETO ESTARÁ
PARA UM INSTANTE DE 4S APÓS O INÍCIO DA QUEDA.
A) 8,4 m
B) 37,67 m
C) 25,7 m
D) 32,4 m
E) 41,3 m
6. SEJA UM CIRCUITO RC EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE 10 Ω E CAPACITOR DE 5 F. A TENSÃO É FORNECIDA
POR UMA FONTE CONTÍNUA DE 50 V, QUE É LIGADA EM T = 0S. DETERMINE A CORRENTE APÓS 10 S.
A) 5e^{-0,1} A
B) 15e^{-0,5} A
C) 15e^{-0,2} A
D) 5e^{-0,5} A
E) 5e^{-0,2} A
GABARITO
1. Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se que, para t = 0, a população é de 1.000 espécies e,
para t = 2 anos, é de 1000e4 espécies. Determine a população para um instante de tempo de 5 anos:
Processing math: 38%
A alternativa "A " está correta.
Como o modelo segue uma modelagem de crescimento exponencial, temos:
\frac{dP}{dt}=k\ P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
\frac{dP}{P}=kdt\rightarrow\int{\frac{1}{P}dP}=\int{k\ dt}+C
lnP=kt+C\rightarrow P=\exp{\left(kt\right)}\exp{\left(C\right)}=Ae^{kt},\ A\ real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
t = 0 \rightarrow P=1000 = A e^{t.0}=A\rightarrow A=1000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
t = 2 \rightarrow P=1000e^{k.2}= 1000 e^4\rightarrow2k=4\rightarrow k=2\
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, P\left(t\right)=1000e^{2t}
Assim,
t = 5 \rightarrow P=1000\ e^{2.5}=1000\ e^{10}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um capital A0 foi investido em t = 0 com uma taxa anual de 10% anuais. Esse investimento teve composição de juros de forma contínua.
Determine o valor de A0 sabendo que, dois anos após o início do investimento, o capital era de 2.000e0,2
A alternativa "B " está correta.
Conforme estudado, o modelo será dado por:
\frac{dA}{dt}=rA(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema, temos:
\frac{dA}{dt}=0,1\ A(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação, teremos:
\frac{dA}{dt}=0,1\ A\rightarrow\frac{dA}{A}=0,1\ dt\rightarrow lnA=0,1t+k\rightarrow A\left(t\right)=\exp{\left(0,1t\right)}\exp(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas A(0) = A0 = exp (k)
A\left(t\right)=A_0e^{0,1t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma que:
A(2) = A_0e^{0,1.2}=A_0e^{0,2}=2.000\ e^{0,2}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então A0 = R$ 2.000,00
3. Seja uma família de elipses centradas na origem dadas pela equação x^2+\frac{y^2}{2}=k, com k real. Determine as trajetórias ortogonais
a essa família de curvas dadas.
A alternativa "C " está correta.
Processing math: 38%
A equação da família de curvas fornece a relação entre y e x, isto é, x^2+\frac{y^2}{2}=k.
Derivando em relação a x, em ambos os lados, usando a derivação implícita, temos:
2x\frac{dx}{dx}+\frac{1}{2}2y\frac{dy}{dx}=0\rightarrow2x+y\frac{dy}{dx}=0\rightarrow y\frac{dy}{dx}=-2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
m_t=\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{y}\rightarrow m_{ort}=\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É preciso resolver a equação diferencial
y^\prime=\frac{y}{2x}\rightarrow2xy^\prime=y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando o método da equação separável, temos:
\frac{y\prime}{2y}=\frac{1}{x}\rightarrow\int{\frac{1}{2y}dy=\int{\frac{1}{x}dx\rightarrow\frac{1}{2}ln\left|y\right|=ln\left|x\right|+C}}\rightarrow ln{\
y}^2=ln\left|x\right|+C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar a manipulação matemática, vamos transformar a constante C = ln m, com m real:
ln{\ y}^2=ln\left|x\right|+C=ln\left|x\right|+\ln{m}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
y^2=m\left|x\right|\rightarrow x=\frac{1}{m}y^2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo \frac{1}{m}=K, K real \rightarrow x=Ky^2, K real, que corresponde à alternativa C, que são equações de parábolas que passam na origem.
4. Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000L de água e 50kg de sal. Insere-se, no recipiente, uma solução (água salgada), com uma
concentração de 0,1kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. A solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque
com uma taxa de 50L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.
A alternativa "D " está correta.
O modelo utilizado será \frac{ds}{dt}=T_E-T_S
A taxa de entrada seria dada por 0,1kg/L vezes 50L/min, então TE = 5,0 kg/min
O recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 10.000L com uma taxa de saída de 50L/min. Assim a taxa de saída do sal será de
s(t)/10.000kg/L, que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total, vezes a vazão de saída de 50L/min. Assim TS = s(t)/200 kg/min
\frac{ds}{dt}=5,0-\ \frac{s}{200}=\frac{1000-s}{200}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, de forma que podemos solucionar a equação pelos métodos estudados no
módulo anterior. Vejamos:
\frac{ds}{1000-s}=\frac{1}{200}dt\rightarrow\int\frac{ds}{1000-s}=\int{\frac{1}{200}dt}+C, C real
-ln\left|1000-s\right|=\frac{t}{200}+C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como t = 0 se tem s = 50kg
-ln\left|1000-50\right|=\frac{0}{200}+C\rightarrow C=-\ln{950}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
-ln\left|1000-s\right|=\frac{t}{200}-\ln{950}
1000-s=\exp{\left(\ln{950}-\frac{t}{200}\right)}=950exp\left(-\frac{t}{200}\right)
Processing math: 38%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
s(t)=1000-950exp\left(-\frac{t}{200}\right), com t em minutos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme t tende para infinito, a exponencial tende a zero, de modo que smax = 1.000kg.
5. Um objeto cai em queda livre a partir do repouso a uma altura de 100m do solo. O objeto tem uma massa de 5kg. Considere a constante de
resistência do ar de 1 Ns²/m e a aceleração da gravidade igual a 10m/s². Determine a que distância do solo, aproximadamente, o objeto
estará para um instante de 4s após o início da queda.
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução no vídeo abaixo:
QUEDA LIVRE - APLICAÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL PRIMEIRA ORDEM
6. Seja um circuito RC em série com resistência de 10 Ω e capacitor de 5 F. A tensão é fornecida por uma fonte contínua de 50 V, que é ligada
em t = 0s. Determine a corrente após 10 s.
A alternativa "E " está correta.
Veja a solução no vídeo abaixo:
CIRCUITO RC - APLICAÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL PRIMEIRA ORDEM
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM CRESCIMENTOPOPULACIONAL É MODELADO POR UM CRESCIMENTO EXPONENCIAL. SABE-SE QUE, PARA
T = 5 ANOS, A POPULAÇÃO É DE 8.000 ESPÉCIES E, PARA T = 0 ANOS, É DE 1.000 ESPÉCIES. DETERMINE O
MODELO DO CRESCIMENTO POPULACIONAL COM O TEMPO. APROXIME LN8=2, CASO NECESSITE.
A) P(t)=1.000\ e^{\frac{4}{5}t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalProcessing math: 38%
B) P(t)=500\ e^{\frac{2}{5}t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) P(t)=1.000\ e^{-\frac{3}{5}t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) P(t)=1.000\ e^{\frac{2}{5}t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) P(t)=500\ e^{\frac{1}{5}t}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. SEJA UM RECIPIENTE COM, INICIALMENTE, 1.000L DE ÁGUA E 50KG DE SAL. INSERE-SE, NO RECIPIENTE, UMA
SOLUÇÃO (ÁGUA SALGADA), COM UMA CONCENTRAÇÃO DE 0,5KG DE SAL POR LITRO DE ÁGUA, A UMA TAXA
FIXA DE 20L/MIN. ESSA SOLUÇÃO É MISTURADA COMPLETAMENTE E TEM UMA SAÍDA DO TANQUE COM UMA
TAXA DE 20L/MIN. DETERMINE A QUANTIDADE MÁXIMA DE SAL QUE PERMANECE NO RECIPIENTE
A) 200kg
B) 300kg
C) 500kg
D) 700kg
E) 900kg
GABARITO
1. Um crescimento populacional é modelado por um crescimento exponencial. Sabe-se que, para t = 5 anos, a população é de 8.000 espécies
e, para t = 0 anos, é de 1.000 espécies. Determine o modelo do crescimento populacional com o tempo. Aproxime ln8=2, caso necessite.
A alternativa "D " está correta.
 
Como o modelo segue uma modelagem de crescimento exponencial, temos:
\frac{dP}{dt}=k\ P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
\frac{dP}{P}=kdt \rightarrow \int{\frac{1}{P}dP}=\int{k\ dt}+C
lnP=kt+C\rightarrow P=\exp{\left(kt\right)}\exp{\left(C\right)}=Ae^{kt}, A real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
t = 0 \rightarrow P=1.000 = A e^{k.0}\rightarrow A=1000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
t = 5 \rightarrow P=8.000{=A\ e}^{k.5}=1000\ e^{5k}\rightarrow e^{5k}=8
5k=ln8\rightarrow k=\frac{1}{5}\ln{8=\frac{2}{5}}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, P(t)=1.000\ e^{\frac{2}{5}t}
A alternativa correta é a letra D.
Processing math: 38%
2. Seja um recipiente com, inicialmente, 1.000L de água e 50kg de sal. Insere-se, no recipiente, uma solução (água salgada), com uma
concentração de 0,5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 20L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída do
tanque com uma taxa de 20L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente
A alternativa "C " está correta.
 
O modelo utilizado será \frac{ds}{dt}=T_E-T_S
A taxa de entrada seria dada por 0,5 kg/L vezes 20L/min, então, TE = 10,0 kg/min.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, de 20L/min, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 1.000L. Desse modo, a taxa de
saída do sal será de s(t)/1.000 kg/L, que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total, vezes a vazão de saída de 20L/min. Assim, TS =
s(t)/50 kg/min:
\frac{ds}{dt}=10,0-\ \frac{s}{50}=\frac{500-s}{50}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, de forma que podemos solucionar a equação pelos métodos estudados no
módulo anterior. Vejamos:
\frac{ds}{500-s}=\frac{1}{50}dt\rightarrow\int\frac{ds}{500-s}=\int{\frac{1}{50}dt}+C, C real
-ln\left|500-s\right|=\frac{t}{50}+C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como t = 0, temos s = 50kg
-ln\left|500-50\right|=\frac{0}{50}+C\rightarrow C=-\ln{450}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
-ln\left|500-s\right|=\frac{t}{50}-\ln{450}
500-s=\exp{\left(\ln{450}-\frac{t}{50}\right)}=450exp\left(-\frac{t}{50}\right)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
s(t)=500-450exp\left(-\frac{t}{50}\right), com t em minutos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme t tende para infinito, a exponencial tende a zero, de modo que smax = 500kg.
A alternativa correta é, portanto, a letra C.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, conhecermos e aplicamos o conceito das equações diferenciais de primeira ordem. Estudamos, inicialmente, os conceitos iniciais e a
classificação da equação diferencial, principalmente quanto ao grau e à ordem.
Vimos, em seguida, alguns métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem. Por fim, aplicamos a resolução das equações
diferenciais de primeira ordem na modelagem de alguns problemas em diversas áreas.
AVALIAÇÃO DO TEMA:Processing math: 38%
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 4. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 12 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
Técnicas de solução de sistemas de equações diferenciais e algébricas: aplicação em sistemas de energia elétrica
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
Processing math: 38%
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