SISTEMAS LINEARES

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Olá.
Aqui você vai encontrar a 
primeira parte do nosso 
conteúdo do 4º Bimestre.
Alguns exemplos não 
estão resolvidos mas eu 
vou resolver na vídeo 
aula.
Copie todos os exemplos 
no seu caderno pois serão 
os mesmo que eu passarei 
no presencial.
Bom bimestre para você!
Reta Final!!!
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Ma. Jaqueline Al Pe Allegrini
A Resolução de uma situação problema em matemática pode ser 
desenvolvida de várias maneiras, desde que seja clara e atinja o 
resultado esperado. 
Um mesmo problema pode ser resolvido utilizando a operação da 
multiplicação ou da adição ou até mesmo de métodos diferentes.
A equação é uma das várias maneiras de resolver um problema 
matemático. Para aplicar esse método de resolução de situações 
problemas é preciso obedecer alguns passos importantes: 
• Retirar os dados importantes para a resolução do problema. 
• Identificar qual será a incógnita, ou seja, saber o que o problema quer descobrir. 
• Identificar as operações envolvidas. 
• Montar a equação. 
• Resolver a equação encontrada, obtendo o valor da incógnita. 
• Verificar através da equação se o valor (raízes) encontrado é correto. 
Veja algumas situações problemas resolvidas através de 
equações e como que foi aplicada todos os passos acima. 
1. O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número 
aumentado de 1. Qual é esse número?
2. O dobro de um número diminuído de quatro é igual a esse número 
aumentado de um. Qual é esse número?
3. Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é 
igual a cinco vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?
4. Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a metade é gasta 
com a alimentação, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual é o meu 
salário?
5. O preço de três canetas e de duas lapiseiras é R$ 20,00. A lapiseira custa R$ 
2,50 a mais que a caneta. Qual o preço de cada caneta e de cada lapiseira?
SISTEMAS LINEARES
Ma. Jaqueline Al Pe Allegrini
Sistemas de equações do 1° grau a duas
variáveis
Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir
de soluções comuns a duas equações do 1º a duas
variáveis.
Nesse caso, diz-se que as equações formam um sistema
de equações do 1º grau a duas variáveis, que indicamos
escrevendo as equações abrigadas por uma chave.
O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas
equações é chamado solução do sistema. Indicamos
pela letra S, de solução.
Veja os exemplos a seguir.
1. Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00
por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa
registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos.
Quantas motos e carros usaram o estacionamento
nesse dia?
2. Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para
fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada
tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Para aprender a trabalhar com esse método, você deve acompanhar
os passos indicados:
– 1º passo: Isola-se uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na
1ª equação;
– 2º passo: Substitui-se a expressão encontrada no passo 1 na outra equação.
Obtemos então uma equação do 1º com apenas uma incógnita;
– 3º passo: Resolvemos a equação obtida no 2º passo;
– 4º passo: (Para encontrarmos o valor de x) Substitui-se o valor encontrado no 
3º passo em qualquer uma das equação iniciais.
– 5º passo: Por último, escrevemos a solução do sistema.
Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por
carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$
277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e
carros usaram o estacionamento nesse dia?
MÉTODO DA COMPARAÇÃO
Este método consiste, basicamente, em isolar a mesma variável nas 
duas equações
– 1° passo) Isola-se x na 1ª equação (1);
– 2º passo: Isola-se x na 2ª equação (2);
– 3º passo) Iguala-se (1) e (2);
– 4º passo) Substitui-se o valor encontrado em (1) ou (2);
– 5º passo) Conjunto-Solução. 
Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por
carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$
277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e
carros usaram o estacionamento nesse dia?
MÉTODO DA ADIÇÃO
Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades,
obtemos uma nova igualdade.
O método consiste em somar as duas equações, mas isso deve ser
feito sempre de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação
obtida. Ou seja, é preciso chegar a uma só equação, com uma só
incógnita. Para que isso ocorra, é necessário existam termos
opostos nas duas equações (em relação a uma mesma letra).
Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por
carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$
277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e
carros usaram o estacionamento nesse dia?
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL
Todos os sistemas possuem uma representação matricial, isto é,
constituem matrizes envolvendo os coeficientes numéricos e a parte
literal. Observe a representação matricial do seguinte sistema:
Matriz incompleta
(coeficientes numéricos)
Matriz completa Representação Matricial
MÉTODO DE CRAMER PARA SISTEMA 2X2
Calcular o determinante da matriz de coeficientes;
Calcular Dx substituindo os coeficientes da primeira coluna pelos
termos independentes;
Calcular Dy substituindo os coeficientes da segunda coluna pelos
termos independentes;
Calcular o valor das incógnitas pela regra de Cramer.
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
e y=
𝐷𝑦
𝐷
Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro
estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para
um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o
estacionamento nesse dia?
CLASSIFICAÇÃO
Os sistemas de equações lineares podem ser classificados, em função de suas soluções: 
 Possível: Têm ao menos uma solução. Além disso, um sistema não pode ter 2, 3, 4, ... , 
k soluções. Ou tem uma ou infinitas. Como consequência, os sistemas compatíveis, 
podem ser: 
o Determinados: A solução é única. 
o Indeterminados: Têm infinitas soluções. 
 Impossível: Não tem solução. 
Exemplos de sistemas com respeito às suas
soluções
 Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano 
cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.
ቊ
𝑥 + 2𝑦 = −1 2
𝑥 − 𝑦 = 8
 Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no 
plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a 
ambas as retas).
ቊ
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200
 Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, 
logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.
ቊ
x + 3y = 4
x + 3y = 5
EXERCÍCIOS 
RESOLVIDOS
1- Resolva os problemas utilizando sistema de equação do 1º grau com uma incógnita por
qualquer método.
a) Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duas etapas, de modo que na primeira etapa percorra
60 km a mais que na segunda. Quantos quilômetros ele deverá percorrer em cada etapa?
b) A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3. Determinar esses números.
c) Um número é o quádruplo de outro e a soma dos dois é 40. Quais são os números?
d) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130, e o número de bicicletas é o
triplo do número de automóveis. Qual é o números de automóveis e bicicletas que se encontram no pátio?
e) No zoológico há cisnes e girafas. São 96 cabeças e 242 patas. Quantos são os cisnes? E as girafas?
f) Um tomate e um pepino pesam juntos 140g. Para fazer o equilíbrio da balança é preciso colocar 5 tomates
de um lado e 2 pepinos do outro.Quanto pesa um tomate? E um pepino?
g) A soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são os números?
h) Quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. Cinco camisetas e sete calções custam R$ 138,00.
Qual é o preço de cada peça?
i) Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num totalde 15, e as guardou numa caixa. Contou em seguida
108 patas. Quantas aranhas e joaninhas ele apanhou? (lembre se que a aranha tem 8 patas e a joaninha 6)
j) A diferença entre dois números é 3. O maior é 3/2 do menor. Quais são os números?
a) Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em
duas etapas, de modo que na primeira etapa percorra 60
km a mais que na segunda. Quantos quilômetros ele
deverá percorrer em cada etapa?
b) A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles 
é 3. Determinar esses números.
c) Um número é o quádruplo de outro e a soma dos dois é 40. 
Quais são os números?
d) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número 
total de rodas é 130, e o número de bicicletas é o triplo do 
número de automóveis. Qual é o números de automóveis e 
bicicletas que se encontram no pátio?
e) No zoológico há cisnes e girafas. São 96 cabeças e 242 
patas. Quantos são os cisnes? E as girafas?
f) Um tomate e um pepino pesam juntos 140g. Para fazer o 
equilíbrio da balança é preciso colocar 5 tomates de um 
lado e 2 pepinos do outro. Quanto pesa um tomate? E um 
pepino?
g) A soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são 
os números?
h) Quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. 
Cinco camisetas e sete calções custam R$ 138,00. Qual é 
o preço de cada peça?
i) Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, 
e as guardou numa caixa. Contou em seguida 108 patas. 
Quantas aranhas e joaninhas ele apanhou?
(lembre se que a aranha tem 8 patas e a joaninha 6)
j) A diferença entre dois números é 3. O maior é 3/2 
do menor. Quais são os números?
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
1. Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do 
menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 2. Determine dois 
números, sabendo que sua soma é 43 e que sua diferença é 7.
2. Um marceneiro recebeu 74 tabuas de compensado. Algumas com 6 mm de espessura e 
outras com 8 mm de espessura. Quando foram empilhadas atingiram uma altura de 50 cm. 
Quanta tabua de 8mm ele recebeu?
3. Uma empresa deseja contratar técnicos e para isso aplicou um prova com 50 perguntas 
a todos os candidatos. Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e 
perdeu um ponto para cada resposta errada. Se Marcelo fez 130 pontos quantas 
perguntas ele acertou?
4. Um caminhão carrega 5000 pacotes de açúcar de 2 kg e de 5 kg num total de 15 400 
kg. Quantos pacotes de 2 kg e 5 kg esse caminhão está carregando?
5. Um certo jogo possui fichas com duas ou quatro figuras cada uma. Um certo jogador 
possui 8 fichas com um total de 22 figuras. Quantas fichas de cada tipo possuem este 
jogador?
6. Em uma garagem há automóveis e motocicletas. Contando, existem 17 veículos e 58 
rodas. Qual o número de cada tipo de veículo?
7. Café de R$ 1,80 o quilo é misturado com café de R$ 1,40 o quilo para se obter 75 quilos
de café que custará R$ 1,600 quilo. Quantos quilos de cada tipo deverão compor a
mistura?
8. A distância entre dois automóveis é 80 km. Se eles são dirigidos na mesma direção e no
sentido um do outro eles se encontrarão em 48 minutos mas, se eles estiverem indo na
mesma direção e no mesmo sentido eles se encontrarão em 4 horas. Qual a velocidade de
cada um?
9. Um cliente, ao descontar um cheque de R$ 2710,00 , solicitou ao caixa do banco que o
pagasse em notas de R$ 10,00; R$ 50,00 e R$ 100,00. Ele recebeu um total de 100 notas
do caixa. Quantas notas de cada valor ele recebeu?
10. Um estádio de tutebol tem capacidade para 14.000 espectadores. Em dois jogos
realizados em dois dias diferentes foram vendidos todos os lugares. No primeiro cobrou-se
R$ 5,00 dos homens, R$ 3,00 das mulheres e R$ 2,00 das crianças. No segundo cobrou-
se R$ 4,00 dos homens, R$ 2,00 das mulheres e R$ 1,00 das crianças. A renda do
primeiro jogo foi de R$ 56.000,00 e a do segundo jogo de R$ 42.000,00. Quantos grupos
completos de 1.000 elementos cada grupo ( homens, mulheres e crianças ) compareceram
a cada jogos
11. A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B.
Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a
população da cidade A?
12. Resolva os sistemas abaixo (2 pelo método da adição, 2 pelo método da substituição
e 3 pelo método de Gauss):