Sistemas lineares 3x3 exercícios resolvidos com cálculos

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Sistemas LinearesM14
Matemática 14
14 (UFBA) Num livro muito velho e em péssimo esta-
do de conservação, Maria notou que existia, em um exercí-
cio, uma matriz 3 Ο 3 rasurada, 
 
M na=
. .
. .
. .
,
1
5
3










 qual
se podiam ler apenas os três elementos indicados em M.
No enunciado do exercício, constava que a matriz M era
igual à sua transposta e que a soma dos elementos de cada
linha era igual à soma dos elementos da diagonal principal.
O valor dessa soma era:
a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) 3X
 
Seja M
a b
c d
e f
=
1
5
3










a 0 d 0 f = 5 0 3 01 = 9
Ainda pelos dados:
a 0 d 0 f = a 0 1 0 b Θ a 0 d 0 f = a 0 4 Θ d 0 f = 4
a 0 d 0 f = c 0 d 0 5 Θ a 0 f = 6
a 0 d 0 f = 3 0 e 0 f Θ a 0 d = 8
a = 5
d = 3
f = 1
Pelos dados: 
 
M M
a b
c d
e f
a c
d e
b f
t= =→




















1
5
3
3
1
5
 Θ
c = 1
b = 3
e = 5
d 0 f = 4
a 0 f = 6
a 0 d = 8
1
4
2
4
3
15 (Fuvest-SP) O sistema , em que
c ϑ 0, admite uma solução (x, y), com x = 1. Então, o
valor de c é:
a) −3 b) −2 c) −1 d) 1 e) 2
1
2
3
x 0 (c 0 1)y = 0
cx 0 y = −1
X
Substituindo a 2a equação na 1a equação:
1 0 (c 0 1)(−c − 1) = 0 Θ −c2 − 2c = 0 Θ −c(c 0 2) = 0
c = 0 Θ não serve, pois pelo enunciado c ϑ 0 e c = −2.
Note que para c = −2 o sistema em x e y é possível e determinado, com
solução (1, 1).
1 0 (c 0 1)y = 0
c 0 y = −1
Para x = 1:
1
2
3
1 0 (c 0 1)y = 0
y = −c − 1
1
2
3
X
I. os elementos de cada linha de A correspondem às
quantidades dos três tipos de camisas compradas por
Alfeu (1a linha), Bento (2a linha) e Cíntia (3a linha).
II. os elementos de cada coluna de A correspondem às
quantidades de um mesmo tipo de camisa.
III. os elementos de X correspondem aos preços unitá-
rios, em reais, de cada tipo de camisa.
Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma
unidade de cada tipo de camisa é:
a) R$ 53,00 d) R$ 62,00
b) R$ 55,00 e) R$ 65,00
c) R$ 57,00
13 (PUC-SP) Alfeu, Bento e Cíntia foram a certa loja e
cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos,
gastando nessa compra os totais de R$ 134,00,
R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente.
Sejam as matrizes
 
A e X
x
y
z
tais que= =
0 3 4
1 0 5
2 1 0




















, :
Nas condições dadas, temos:
 
0 3 4
1 0 5
2 1 0
134
115
48






























9 =
x
y
z
3y 0 4z = 134
x 0 5z = 115
2x 0 y = 48
3y 0 4z = 134
y − 10z = −182
2x 0 y = 48
1
4
2
4
3
3y 0 4z = 134
34z = 680
2x 0 y = 48
1
4
2
4
3
3y 0 4z = 134
z = 20
2x 0 y = 48
1
4
2
4
3
y = 18
z = 20
2x 0 y = 48
y = 18
z = 20
x = 15
Θ x 0 y 0 z = 53
Θ
Θ
Θ
Θ
Θ
1
4
2
4
3
Θ
011_016_CA_Matem_3 12.09.06, 15:3114