Aula 03_Estatística Descritiva_Probabilidade

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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
UNIDADE 3 - PROBABILIDADE I
Autoria: Joelma Iamac Nomura e Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
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Introdução
No estudo da estatística, tivemos a oportunidade de observar
que as informações coletadas, mesmo em condições igualitárias
de experimentação, oscilam, ou seja, variam e, por
consequência, essa diversidade dificulta o prenúncio de
resultados possíveis e aceitáveis na matemática. Explicar tais
fenômenos é factível por intermédio da teoria que fundamenta
a temática de probabilidade; e aplicar esse conceito é mais
comum do que imaginamos, pois nos cercam constantemente.
Encontramos reportagens que declaram: “chance de ganhar na loteria estadual é de um em quinhentos mil”; ou,
“a probabilidade de contrair dengue é 45% maior no verão, em comparação com outras estações do ano”; ou
ainda, “a chance de realizar uma cirurgia cardíaca com sucesso é de 86%”. Você se lembra de algum discurso
semelhante? Com certeza a resposta será sim, pois a probabilidade é parte integrante de toda situação em que se
deseja encontrar a chance de determinado fato ocorrer. Diante desse cenário, estudaremos que a linguagem da
probabilidade é constantemente usada na linguagem cotidiana, em contextos escritos e falados. Assim, no final
desta unidade, você terá conhecimento suficiente para responder as seguintes questões: o que se entende por
uma situação experimental? É possível combinar probabilidades e consequências? Qual o impacto da
probabilidade frente às tomadas de decisões?
Nesse sentido, compreender os conceitos que constituem esta disciplina será a essência desta unidade.
Bons estudos!
3.1 Probabilidade
Os estudos da probabilidade e da estatística estão intimamente ligados, pois, para compreender a inferência
estatística, é fundamental compreender os conceitos que fundamentam a teoria probabilística. Na estatística,
analisamos o conjunto de dados obtidos com as ferramentas pertencentes a tal ciência e encontramos conclusões
acerca da avaliação da qualidade, da mensuração da quantidade e de como tais dados se associam entre si. Na
teoria da probabilidade, o objetivo é prever os resultados de um experimento ou processo sistemático.
Vincular chances de determinado fenômeno acontecer a números é aplicar a probabilidade. Larson e Farber
(2016) afirmam que um experimento de probabilidade é uma ação, ou tentativa, pela qual respostas são
encontradas, ou em outras palavras, são encontradas as chances de um evento acontecer. Assim, para entender a
dinâmica dessa ciência é fundamental compreender dois conceitos. Conheça, a seguir.
• Espaço amostral (S)
Corresponde ao conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento de probabilidade.
• Evento (E)
É um subgrupo do espaço amostral em que são escolhidas características específicas para defini-lo.
Freund e Simon (2009) relembram os três postulados relativos ao estudo da teoria de probabilidade que se
aplicam a um espaço amostral finito. Conheça esses postulados, a seguir.
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I. As probabilidades obtidas são representadas por números reais ou zero. Assim, a probabilidade de um evento
A deve ser um número maior ou igual a zero, porém menor ou igual a um, essa afirmação é descrita por: 
 ou, em porcentagem, .
II. Qualquer espaço amostral S possui probabilidade equivalente a 1 que equivale a 100%, dessa maneira, 
.
III. Se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos (não existe intersecção entre os conjuntos), a
probabilidade da união do evento A com o evento B, ou vice-versa, equivale ao resultado da soma da
probabilidade do evento A com a probabilidade de ocorrência do evento B, ou seja, 
Vale ressaltar que o resultado provindo de um cálculo de probabilidade varia entre um e zero. Se a probabilidade
for igual a 1 (um), isso significa dizer que esse evento acontece com 100% de chance, porém, se a probabilidade
for igual a zero, o evento é impossível, ou seja, não existem chances de acontecer.
Vamos a um exemplo prático, admita um dado comum de seis faces, esse será jogado determinadas vezes.
Considerando esse contexto, qual é seu espaço amostral? Agora se consideramos a possibilidade de um número
par aparecer na face superior desse mesmo dado, qual será o evento dessa outra situação hipotética? Ou ainda,
qual a probabilidade de lançar esse dado e encontrar um número primo na face superior? Lembrando que um
número é primo se os seus divisores são apenas ele mesmo e 1 (um).
Respondendo ao primeiro questionamento é necessário determinar o espaço amostral, ou seja, identificarmos
todos os casos possíveis, logo, nessa situação específica é . O evento de sair um número par no
lançamento de um dado é encontrado, compreendendo que em um dado de seis faces há três
números pares. Logo, esse conjunto representa o evento: Finalmente, para determinar a solução da
terceira indagação, vamos ter que realizar a divisão entre o número que corresponde ao conjunto dos números
primos contidos em um dado e o conjunto que se refere ao espaço amostral , assim, a
probabilidade requerida é dada por 
Agora, formalizando a maneira de calcular a probabilidade de um evento, a relação é dada por:
É importante salientar que o resultado obtido pelo cálculo de uma probabilidade pode ser apresentado em
formato fracionário, decimal ou percentual, todas essas configurações são matematicamente aceitáveis, sendo
necessária apenas a percepção de tal distinção, porém os resultados em porcentagens são mais comuns.
Vamos discutir a seguinte questão, clássica no estudo de probabilidade condicional: considere que, em uma urna
Você sabia?
O treinador de beisebol Billy Beane ficou mundialmente famoso por otimizar a
performance do seu time por meio do uso da estatística e análise de dados, sua
história foi retratada no filme , baseado no livro Moneyball Moneyball: The Art of
, de Michael Lewis.Winning an Unfair Game
Seu maior desafio foi montar o time, em 2012, pois o clube enfrentava dificuldades
financeiras. Decidido a utilizar estatística e análise de dados para basear as suas
escolhas em dados reais, contratou um cientista para analisar as porcentagens de
acertos de seus jogadores.
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Vamos discutir a seguinte questão, clássica no estudo de probabilidade condicional: considere que, em uma urna
há três bolas brancas, cinco bolas vermelhas e sete bolas pretas, qual a probabilidade de se retirar ao acaso uma
bola preta?
Bem, já foi informado que há sete bolas pretas, assim, esse é o evento, pois apresenta a quantidade de resultados
possíveis para a situação proposta. Agora é necessário determinar o espaço amostral, ou seja, todos os
resultados possíveis, que será obtido adicionando todas as bolas contidas na urna, independentemente da cor,
logo: . Agora, podemos encontrar a probabilidade, que será dada por: .
Como a fração resultante é irredutível, ou seja, não é possível simplificá-la ou reduzi-la, o resultado permanece o
mesmo, isto é, continua inalterado.
3.1.1 Probabilidade condicional
Para determinar a probabilidade de um evento, é necessário especificar o espaço amostral, caso contrário
deparamos com respostas distintas, porém válidas no contexto estabelecido. Dessa forma, haverá situações em
que será condicionado um evento em relação à ocorrência de outro, nesse cenário, Larson e Farber (2016)
estabelecem que uma probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento
já tenha ocorrido. Conforme os autores, a probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado que o evento A
tenha ocorrido, é denotada por P(B|A) e lê-se “probabilidade de B dado A”.
Assim, a probabilidade condicional é expressa pela relação:
Para diferenciar e compreender esse novo conceito, considere que uma universidade coletou dados referentes a
mil alunos ingressantes em seus cursos de graduação no primeiro semestre do ano, esses números foram
separados e classificados por gênero e por cursos pertencentes às áreas de: exatas, humanas e biológicas. Esses
números são apresentados na tabela a seguir.
Você sabia?
Osímbolo ∩ representa a intersecção entre conjuntos, dessa maneira, escrever ∩ (lê-
se: A intersecção B) significa determinar os elementos que pertencem aos dois
conjuntos simultaneamente, ou seja, é comum ao conjunto A e ao conjunto B. Já em
um caso de intersecção de mais conjuntos, por exemplo, ∩∩ (lê-se: A intersecção B
intersecção C) significa determinar os elementos que pertencem aos três conjuntos ao
mesmo tempo.
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Tabela 1 - Área de estudo versus gênero
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#PraCegoVer: tabela com três colunas e quatro linhas, distribuindo homens e mulheres que frequentam cursos
nas áreas de exatas, humanas e biológicas.
Nessas circunstâncias, qual seria a probabilidade de um aluno optar por um curso que pertença à área de exatas?
E qual a probabilidade de uma mulher ter escolhido estudar em um curso da área de humanas? E, por fim, qual a
probabilidade de estudar em curso da área de biológicas, sendo homem?
Para facilitar nossos cálculos e visualizar os totais referentes a cada categoria, será acrescentada à tabela
anterior mais uma coluna, com os resultados referentes aos somatórios de cada linha e adicionada outra linha,
dispondo o resultado das somas referentes aos gêneros, que estão dispostos em colunas. Agora, observe a tabela
que segue, com as novas informações e as modificações indicadas.
Tabela 2 - Área de estudo versus gênero com respectivos totais
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#PraCegoVer: tabela com quatro colunas e cinco linhas, distribuindo homens e mulheres que frequentam cursos
nas áreas de exatas, humanas e biológicas, além do total de homens, mulheres, homens e mulheres que
frequentam as áreas de exatas, humanas e biológicas.
Bem, agora será mais fácil responder aos questionamentos, lembrando que, para cada situação apresentada, é
necessário distinguir se ela se enquadra em uma probabilidade condicional ou um caso de probabilidade comum.
Para descobrir a probabilidade de um aluno escolher um curso da área de exatas, é simples, vamos pensar um
pouco. Já que o sexo não foi especificado, basta realizar a divisão entre o total de alunos que optaram por exatas
e o total de alunos ingressantes no primeiro semestre, logo, obtemos a seguinte razão:
, é perceptível que a probabilidade desse evento ocorrer não depende de outro, ou
seja, não está condicionado à existência de nenhum outro.
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Qual a probabilidade de uma mulher estudar na área de humanas? Pois bem, perceba que foi condicionado ao
evento de estudar em um curso da área de humanas e ser mulher (lê-se: ser da área de humanas dado que é
mulher), logo, é um caso que devemos utilizar da definição de probabilidade condicional. Nessa situação, P(B) é a
probabilidade de o evento ser da área de humanas, P(A) é a probabilidade de o evento ser mulher e é a
probabilidade de o evento ser da área de humanas e ser mulher, assim teremos a relação: 
Quando é solicitada a probabilidade de estudar na área de biológicas, dada a condição de ser homem, também é
uma situação em que é necessário utilizar o conceito de probabilidade condicional, pois observe que a
ocorrência de um evento possui uma dependência com o acontecimento do outro. Adotaremos P(B):
probabilidade de o evento ser da área de biológicas; P(A): probabilidade de o evento ser homem; e :
probabilidade de o evento ser da área de biológicas e ser homem. Assim: .
É possível perceber que esses dois casos, em que o sexo foi definido, representariam uma probabilidade
diferente caso não fosse imposta essa condição. Qual é a probabilidade de um estudante ser de humanas? Note
que esse evento é independente de qualquer outro, logo, temos: . Esses são os eventos
denominados independentes, nosso próximo assunto.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
3.1.2 Dependência e independência de eventos
Em alguns contextos que fundamentam eventos probabilísticos, encontramos problemas em que a chance de
determinado evento interfere ou não na ocorrência de outros. Larson e Farber (2016) definem, formalmente,
como eventos independentes quando um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do outro, caso
contrário, os eventos são ditos dependentes entre si. Nesse contexto, os autores afirmam que dois eventos são
independentes quando ou quando, . De acordo com Castanheira (2013), um evento A é
dito independente de um evento B se a probabilidade de A equivale a probabilidade condicional de A, dado B, ou
seja, ()=(/) e, por consequência, se A é independente de B e B é independente de A, logo: ()=(/). Em decorrência
dessa conceituação estabelecida pela autora, identifica-se que a maior aplicação do conceito de dependência e
independência de eventos está na igualdade expressa por: (lê-se probabilidade de A
intersecção B é igual a probabilidade de A vezes a probabilidade de B), que reconhece que, sendo dois eventos
independentes, a intersecção entre eles é representada pelo produto entre a probabilidade do evento A pela
probabilidade de ocorrência do evento B.
Nesse momento, vamos praticar esse conceito, que é importantíssimo na probabilidade e permite a fácil
resolução de problemas que se adéquam a diversos casos. Considere as situações a seguir.
• Jogar um dado de seis lados e cair na face dois (A) e jogar uma moeda e sair cara (B).
• Selecionar uma rainha em um baralho sem reposição (A) e tirar uma carta de ouros do baralho (B).
• Tirar uma bola preta em uma urna que contém dez bolas pretas (A) e ganhar em um jogo de azar (B).
Para classificar tais acontecimentos e outros como eventos dependentes ou eventos independentes, devemos
analisar se a ocorrência de um vai interferir na ocorrência do outro.
• O evento A (tirar o número dois ao jogar um dado) não interfere na ocorrência do evento B (sair cara ao 
jogar uma moeda), sendo eventos independentes por não possuírem qualquer relação.
• Já o evento A (tirar uma rainha em um baralho) e o B (tirar uma carta de ouros no baralho) estão 
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jogar uma moeda), sendo eventos independentes por não possuírem qualquer relação.
• Já o evento A (tirar uma rainha em um baralho) e o B (tirar uma carta de ouros no baralho) estão 
relacionados ao mesmo conjunto de cartas. Logo, se retirar uma carta, no caso, uma rainha, esse 
acontecimento irá interferir no outro, pois teremos uma carta a menos no espaço amostral, assim, são 
ditos eventos dependentes.
• E, por último, retirar uma bola em uma urna, que representa o evento A, e apostar em um jogo de azar 
(evento B) são eventos distintos e não ocasionam intervenção um no outro, logo, são classificados como 
eventos independentes.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
3.1.3 Teorema de Bayes
O teorema de é fundamentado no conceito de probabilidade condicional, descrito e analisadoBayes 
anteriormente, pois relaciona raciocínios contrários, assim, é necessário conhecer a base de um para
compreender a dinâmica do outro.
A probabilidade condicional trabalha com a probabilidade de ocorrer um evento B sob a condição de ocorrer seu
antecedente A; enquanto o teorema de trata da probabilidade de ocorrer o evento A sob a condição deBayes 
ocorrer o evento B que sucede A.
Freund e Simon (2009) descrevem que, formalmente, o teorema de é utilizado quando sãoBayes 
eventos mutuamente excludentes, dos quais um deve ocorrer, ou seja, a intersecção é nula, logo:
Para .
Ainda segundo Freund e Simon (2009), a expressão do denominador é na verdade P(A). Eles explicam que
quando A é atingido a partir de um entre vários passos intermediários, temos a regra da eliminação ou regra da
probabilidade total.
Observe que os símbolos e podem ter aparência similar, mas há grande diferença no que eles 
•
•
Você o conhece?
Thomas Bayes (1701-1776) foi um reverendo presbiteriano que viveu na Inglaterra.
Em 1778, o filósofo Richard Price (1723-1791) apresentou à Royal Society um artigo
que aparentemente encontrou entre os papéis de , com o nome “An essayBayes
towards solving a problem in the doctrine of chances (Ensaio buscando resolverum”
problema na doutrina das probabilidades). Nesse artigo constava a demonstração do
famoso teorema de ; após sua publicação, o trabalho caiu no esquecimento e sóBayes
foi resgatado pelo matemático francês Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), que o
revelou ao mundo (PENA, 2009).
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Observe que os símbolos e podem ter aparência similar, mas há grande diferença no que eles 
representam e em seu significado no contexto do exercício proposto, por isso, atenção para identificar e calcular
seus valores.
Vamos colocar em prática esse importante e essencial conceito da teoria de probabilidades? Para isso, vamos
resolver a problemática sugerida a seguir, como exemplo de aplicação.
O teorema de é mais eficaz quando é utilizada uma série de dados históricos para fundamentar asBayes 
previsões. Por isso, é importante continuar fazendo o acompanhamento e corrigir os possíveis erros de
estruturação do método aplicado, pois pequenos erros podem se tornar grandes erros quando esse teorema é
utilizado, uma vez que a determinação incorreta de uma das probabilidades do teorema interfere no resultado
final.
3.2 Variável aleatória contínua e discreta
Montgomery e Runger (2016) definem variável aleatória discreta como uma função que confere um número real
a cada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório, em outras palavras, quando uma variável
apresenta uma quantidade enumerável de valores. Também definem variável aleatória contínua como uma
variável aleatória associada a um intervalo (finito ou infinito) de números reais. Nesse caso, a variável pode
assumir ou não infinitos valores sendo possível enumerar ou não a quantidade de valores que essa variável pode
Caso
Assuma que a probabilidade de diagnosticar com sucesso a presença de determinada doença rara no
organismo foi identificada como sendo 0,75. Quando identificada essa patologia corretamente, a
probabilidade de cura é alterada para 0,85. Se não for detectada perfeitamente essa doença, a
probabilidade de cura é dada por 0,35. Considere que certo paciente com essa doença é curado, assim
qual é a probabilidade de que a doença tenha sido diagnosticada corretamente?
Solução:
Temos os seguintes eventos:
: detectar de cura;
: diagnosticar com sucesso a doença;
: não diagnosticar com sucesso a doença;
De acordo com o teorema de Bayes, temos a seguinte relação:
Assim, de acordo com o resultado anterior, é possível inferir que, dentro das circunstâncias
apresentadas, aproximadamente 87,93% é a probabilidade de que a doença seja diagnosticada
corretamente.
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assumir ou não infinitos valores sendo possível enumerar ou não a quantidade de valores que essa variável pode
assumir. Assim, caso a imagem da função de probabilidade seja finita ou contável, tem-se uma variável aleatória
discreta; mas se a imagem dessa função for o conjunto dos números reais, tem-se uma variável aleatória
contínua. Quando se lida com variáveis aleatórias discretas, é possível atribuir diretamente valores de
probabilidade aos valores numéricos estipulados.
São exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica, peso, temperatura, tempo, altura, entre outros.
Já os exemplos de variável aleatória discreta são descritos por: número de moléculas em uma amostra de gás,
quantidade de votos recebidos em uma eleição, número de arranhões em uma determinada área, grau de
queimaduras na pele, pontos obtidos em uma prova de vestibular, número de pessoas em fila de espera, entre
outros (MONTGOMERY; RUNGER, 2016).
3.2.1 Esperança matemática
No estudo da estatística e entre outros âmbitos da matemática, constantemente trabalhamos com o conceito de
média aritmética, agora, no contexto do estudo de probabilidade, seremos apresentados ao conceito de
esperança matemática. Ambas as definições são consideradas equivalentes, no entanto, são aplicadas em
cenários diferentes.
Castanheira (2013) define esperança matemática como a média aritmética de uma variável aleatória, fenômeno
ou experimento aleatório. Esse conceito é importantíssimo em nossos estudos, pois representa a quantidade
utilizada como resumo do comportamento de uma variável aleatória. Nesse contexto a média de uma
distribuição de probabilidade é a esperança de sua variável aleatória e sua interpretação consiste em um
parâmetro que viabiliza caracterizar distribuições de probabilidades.
O cálculo da esperança matemática é fácil de ser executado por meio da fórmula: , em que 
representa a esperança matemática de acontecer o evento , ou seja, o valor médio que esperaríamos se o
experimento continuasse sendo repetido várias vezes, identifica o número de tentativas a serem realizadas e a
probabilidade de ocorrer o evento em uma tentativa única.
Veremos agora um exemplo prático de como esse conceito é aplicado. Assuma que em um aquário existem 100
peixes diferenciados pela cor predominante em seu corpo. Dessa maneira, há 20 peixes vermelhos, 30 peixes
amarelos, 25 peixes verdes e 25 peixes laranjas, assim, qual é a quantidade de peixes verdes ao final de 28
tentativas, levando em consideração que a cada tentativa tira-se apenas um peixe?
Bem, para solucionar essa questão temos que determinar a esperança matemática, em que equivale a 28 e an p 
probabilidade de retirar do aquário um peixe verde, que é o número de casos favoráveis em que é retirado um
peixe verde do número total de possibilidades, logo: Esse resultado retrata
que esperamos que nas 28 tentativas, 7 peixes sejam verdes.
Você quer ver?
No vídeo Estatística – Aula 08, ministrado pelo professor André Leme Fleury, você
poderá aprender mais sobre os conceitos aplicados às variáveis aleatórias a partir de
exercícios comentados.
Acesse
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3.2.2 Variância e desvio-padrão de variável aleatória discreta
De acordo com nossos estudos, a variância e desvio-padrão são medidas de dispersão que identificam como a
média dispõe-se no contexto dos dados. A variância é caracterizada por avaliar o grau de homogeneidade dos
valores em torno da média aritmética e o desvio-padrão identifica e quantifica o “erro” presente em um conjunto
de dados, previamente determinado. Assim como a esperança, a variância também tem importância significativa
na caracterização de diversas distribuições de probabilidade. Quando se identifica a esperança e a variância de
um modelo, ele fica totalmente caracterizado, ou seja, sabemos seu formato geral e suas particularidades. No
atual cenário, a fórmula para obter tais medidas (variância e desvio-padrão) é diferente, logo, considerando n
como o número de tentativas em um experimento e como o número de sucessos obtidos, as fórmulas quex 
permitem calcular a variância ( ) e o desvio-padrão () são sinalizados respectivamente por: 
. Vamos aplicar essas fórmulas e entender como tais relações se aplicam?
Considerando o mesmo enunciado do exercício do aquário, que resolvemos anteriormente, e baseando-se nas
informações contidas nele, vamos determinar a variância e o desvio-padrão. Bem, a variância é calculada por: 
 peixes ao quadrado e, como o desvio-padrão é caracterizado por ser a raiz quadrada da
variância, para encontrá-lo, basta calcular a raiz quadrada do resultado anterior, observe: 
peixes.
3.2.3 Distribuição de variável aleatória
Nessa seção discutiremos sobre a distribuição de probabilidade de populações. Distribuições de probabilidade
podem ser contínuas ou discretas, dependendo se são definidas probabilidades para variáveis contínuas ou
discretas. Montgomery e Runger (2016) conceituam a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória x
como a descrição das probabilidades associadas aos possíveis valores que a variável x assume. Existem muitas
distribuições de probabilidade que também podem ser chamadas de modelos probabilísticos, mas algumas
merecem destaque por sua importância prática.
Os modelos de probabilidade são utilizados para descrever vários fenômenos ou situações que encontramos na
natureza, ou experimentos por nós elaborados. Esses modelos são expressos por uma família de distribuiçõesde
probabilidade que depende de um ou vários parâmetros. O estereótipo deve necessariamente representar, na
medida do possível, a complexidade que envolve o mundo real da população em estudo. Nesse sentido,
abordaremos o conceito de distribuição de probabilidade discreta que retrata a probabilidade de ocorrência de
cada valor de uma variável aleatória discreta, lembrando que esse tipo de variável tem valores contábeis, como
uma lista de inteiros não negativos, ou seja, somente valores positivos e enumeráveis. Entre as distribuições de
probabilidades discretas, encontramos a distribuição de Bernoulli e a distribuição Binomial, nossos próximos
assuntos de discussão.
3.3 Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli é uma distribuição discreta que se relaciona com diversas outras distribuições de
probabilidade, como a distribuição binomial, e a distribuição geométrica. A distribuição de Bernoulli simboliza o
resultado de um ensaio, dessa maneira, as sequências de ensaios independentes de Bernoulli resultam em outras
distribuições probabilísticas. Nesse contexto, a distribuição binomial modela o número de sucessos em ensaios,n 
a distribuição geométrica modela o número de falhas que antecedem o primeiro sucesso; assim, a distribuição de
Bernoulli é incorporada e, consequentemente, relacionada a outras distribuições (CASTANHEIRA, 2013).
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São exemplos de utilização da distribuição de Bernoulli: o lançamento de uma moeda, em que existe a
possibilidade de sucesso e, também de fracasso de determinada face da moeda ser exibida; sexo de um bebê ou o
resultado de um teste de germinação, que pode obter um resultado de sucesso ou fracasso relacionado à
realização de tal procedimento.
Outros exemplos são apontados por Morettin e Bussab (2010), sendo eles: uma peça é escolhida ao acaso em um
lote contendo 500 peças, necessita-se saber se essa peça é defeituosa ou não; uma pessoa é escolhida ao acaso
entre os moradores de uma cidade de maneira a verificar quais pessoas são, ou não, favoráveis de determinado
decreto municipal.
Em ambas as situações anteriores expostas pelos autores, estamos interessados na ocorrência de sucesso ou
fracasso, sendo essa terminologia (sucesso e fracasso) bastante utilizada. Nesse tipo de experimento, é definida
uma variável aleatória X, denominada de variável aleatória de Bernoulli, que assume apenas os valores 0 para
fracasso e 1 para sucesso, sendo a probabilidade de sucesso . Assim, temos que:
Constantemente, os termos distribuição binomial e distribuição de Bernoulli são confundidos e mal
interpretados, logo, para impedir esse problema é importante estabelecer que testes de Bernoulli levam à uma
distribuição binomial. Dessa maneira, a distribuição binomial é uma soma de vários ensaios Bernoulli
independentes e uniformemente distribuídos.
Castanheira (2013) informa que um ensaio de Bernoulli é um processo de amostragem, que possui as seguintes
condições de existência.
Para cada tentativa, é possível dois resultados mutuamente exclusivos (não existe intersecção entre os eventos,
ou seja, intersecção nula), isto é, se um dado evento acontecer, exclui totalmente a ocorrência do outro.
As observações ou séries de tentativas são formadas por eventos independentes.
O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de sucesso é contínua e constante em cada tentativa
executada.
Agora, vamos estudar com mais detalhes a distribuição binomial e, consequentemente, a aplicação dos ensaios
de Bernoulli, uma vez que um conceito está relacionado a outro. Vamos lá?
Você o conhece?
Jacques Bernoulli (ou Jakob Bernoulli) foi um matemático suíço que nasceu na
Basileia, em 27 de dezembro de 1654, e faleceu na mesma cidade, em 16 de agosto de
1705, aos 50 anos. Estudou teologia apenas para atender ao desejo do pai, pois desde
jovem manifestava extraordinária vocação para a matemática. Foi o primeiro
matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por
Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas (JACQUES, 2017).
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3.4 Distribuição binomial
Distribuição binomial pode ser definida como um modelo probabilístico de determinado número de sucessos
quando submetidos a provas do mesmo tipo, logo, esse experimento deve ser repetido vezes, sendo que cadan n 
um desses experimentos deve admitir somente dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso, uma vez que p
deve representar o sucesso e identifica o fracasso, ambos resultados são definidos como constantes em cadaq 
um dos ensaios (MARTINS; DOMINGUES, 2017).
A fórmula para o cálculo da probabilidade de certo número de sucessos em ensaios por intermédio de uman 
distribuição binomial é dada pela relação descrita por:
Em que representa o número de sucessos; é a probabilidade de sucesso em cada prova, é a probabilidadex p q 
de fracasso de cada prova, é o número de repetições do mesmo experimento. Logo, é necessário identificarn 
corretamente cada componente do exercício a ser resolvido por esse modelo probabilístico, de modo a não
cometer erros.
São exemplos de experiências binomiais: a população de um município que foi vacinada ou não vacinada; gênero
das crianças em uma creche; escolher uma peça defeituosa ou não; respostas classificadas como verdadeiro ou
falso em um questionário, quantidade de fumantes e não fumantes em grupo de idosos em um asilo, número de
caras no lançamento de trinta moedas, número de meninos entre um conjunto de cinquenta bebês, número de
sementes germinadas em duzentas sementes, entre outros inúmeros exemplos. No geral podemos dizer que
experiências binomiais são aquelas em que existem apenas duas possibilidades de ocorrência ou não de
determinado evento.
Você quer ler?
No trabalho "Algumas aplicações da distribuição binomial", Santos (2015) apresenta a
noção de probabilidade e algumas de suas propriedades e, em particular, o Binômio
de Newton aplicado a problemas das áreas de ciências biológicas e ciências médicas.
Acesse
Você sabia?
O símbolo ! (lê-se fatorial), que aparece na fórmula de distribuição binomial,
representa no âmbito da matemática o produto de todos os números inteiros de a 1,n
logo n! (lê-se fatorial) equivale a realizar as operações de multiplicação: n
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Martins e Domingues (2017) afirmam que uma distribuição binomial pode ser utilizada e manipulada
algebricamente, se forem atendidas as seguintes condições.
O número de ensaios é fixo e constante, ou seja, são realizadas n provas do mesmo tipo.
Cada ensaio é independente dos outros ensaios.
Cada ensaio admite apenas dois resultados possíveis, um chamado fracasso e outro como sucesso.
A probabilidade de um evento é a mesma para cada ensaio realizado.
Durante o ano de 2017, na Bolsa de Valores de São Paulo, foi constatado que 60% de todas suas ações tiveram
sua cotação acrescida, ou seja, valorizadas no mercado financeiro; em contrapartida, 40% de todas as ações
mantiveram-se constantes ou diminuíram seu valor de mercado. Um serviço de assessoria financeira optou por
avaliar dez ações desse conjunto de ações administradas pela bolsa de valores, que foram singularmente
recomendadas. Qual a probabilidade de que metade desse total de ações escolhidas tenham suas cotações
aumentadas? Vamos resolver esse problema referente à aplicação do conceito de distribuição binomial?
Inicialmente, é preciso identificar as informações, vamos lá? De acordo com o enunciado do problema foram
selecionadas dez ações ( ); é desejado que metade das dez ações, ou seja, cinco das ações ( ) tenham
aumentado suas cotações, p equivale ao sucesso do evento, logo e, por consequência e definição, o
fracasso q é calculado por: .
Assim, substituindo tais informações:
O resultado encontrado permite inferir que a chance de que metade das dez ações escolhidas tenham suas
cotações valorizadas é de 20%.
Conclusão
No estudo dessa unidade, foi possível apresentar o panorama no qual se insere a teoria das probabilidades, a
partir de conceitos e definições básicas e fundamentais. Foram discutidas as regras que moldame sustentam a
probabilidade condicional, bem como os princípios que a caracterizam e diferenciam do teorema de Bayes; em
relação a esse teorema foi discutido sua fundamentação teórica e aplicabilidade. Também foram desenvolvidos
diversos cálculos para solucionar situações cotidianas que envolvem a aplicabilidade de tais conceitos de
probabilidade.
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Foi explanado o conceito geral de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta, bem como
sua utilização no contexto estatístico e probabilístico. Também foi possível definir e caracterizar a distribuição
de Bernoulli e a distribuição binomial, dispondo de diversos parâmetros próprios de cada distribuição e
diferenciando cada experimento probabilístico por intermédio da resolução de exercícios diversos.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• compreender o conceito de probabilidade e aplicar sua funcionalidade na resolução de exercícios;
• conhecer a definição de probabilidade condicional e resolver exercícios associados ao conceito de 
dependência;
• conhecer a definição de dependência e independência de eventos e sua aplicabilidade em probabilidade;
• interpretar e analisar os cálculos dos parâmetros estatísticos diversos;
• tomar decisões com base nas análises das representações e dos resultados analisados;
• calcular a esperança matemática, variância e desvio-padrão e diferenciar tais conceitos no contexto 
associado da variável aleatória discreta;
• interpretar e analisar os cálculos dos parâmetros estatísticos: esperança matemática, variância e desvio-
padrão;
• reconhecer e definir distribuição de Bernoulli;
• resolver problemas utilizando as distribuições de variável aleatória: distribuição de Bernoulli e 
distribuição binomial;
• compreender a dinâmica das distribuições de variável aleatória;
• reconhecer uma distribuição binomial;
• resolver exercícios por intermédio de uma distribuição binomial.
Referências
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Curitiba: Intersaberes, 2013.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e
. São Paulo: Cengage, 2018.ciências
ESTATÍSTICA – Aula 08. 2017. 1 vídeo (17 min.). Publicado no canal
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Universidade Federal Fluminense, Niterói, 2015. Disponível em: https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public
/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=3982673. Acesso
em: 15 dez. 2020.