calculo-diferencial-integral-a-varias-variaveis-2

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de formação
da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente de zero?
Nota: 0.0
A an = 2n
B an = 2n + 1
C an = n + 1
D
an = 2n – 1
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, ....
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a)  teremos 2.1 = 2 (o primeiro
número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) teremos 1 +
1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0.
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 = 3 e
assim,   sucessivamente.   Desta   forma,   obtemos   a   sequência   dos   números   ímpares.
livro-base p. 101-102
E an = n - 1
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas
variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas
outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis,
marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
 
Nota: 10.0
A 6
B 10
C 12
Você acertou!
 
 
e2n
 
 
 
.+2
 
 
 
2n
 
 
 
.
 
 
 
−−
4
x
y
−
3
z
y
)
=
4
x
−
3
z
;
∂
∂
z
(
3
x
2
+
2
x
3
x
=
−
y
∂
f
∂
x
=
x
+
4
;
∂
f
∂
y
=
x
+
y
;
∂
f
∂
z
=
z
D 15
E 16
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
Dadas as equações paramétricas das elipses: Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent, 
seguem os gráficos no plano xy:
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 25-30.
De acordo com  o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a figura, a área em
cinza limitada pelas elipses 1 e 2 e pelo eixo y vale:
Nota: 0.0
A 3 u.a.
B 2 u.a.
C π u.a.
D 2π u.a.
E
3π u.a.
A=2∫0π2y(t)x′(t)dtA=2∫0π2{[4sent⋅(−2sent)]−
[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫0π2(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫0π2(−6sen2t)dtA=−12∫0π2(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2
θ)∣∣∣0π2=−12(−π4−0)A=3πu.a.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral 
de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que 
admitamos todas as outras variáveis como constantes.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. 
C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 
2016, p. 80.
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - Tema: Derivadas 
parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
Nota: 10.0
A fx = 3; fy = 5;   fz = -6
Você acertou!
Calculamos   a   derivada   separadamente   em   relação   a   cada   variável.
De   acordo   com   a   vídeo   aula:
Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável de análise
As   demais   variáveis   são   consideradas   constantes
(Vídeo aula 3).
B fx = -3; fy = -5; fz = -6
C fx = 5; fy = 3; fz = 6
D fx = 6; fy = 5; fz = -3
E fx = -6; fy = 5; fz = 3
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações
mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva.
Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do
comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do 
segmento de reta dado pela equação y=3x+2 no intervalo fechado [0,2] em torno do eixo das 
abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 10.0
A 25π√20u.a.
B 20π√10u.a.
Você acertou!
Solução:
A=2π∫20y(x)√1+[y′
(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√10
3=20π√10u.a.
livro-base p. 15-20
C 22π√12u.a.
D 23π√13u.a.
E 21π√15u.a.
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Analise o seguinte problema:
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1,x2 e 
x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada 
por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3. Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto, x1, 
uma unidade do segundo produto, x2, e quatro unidades do terceiro produto, x3..
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. 
C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 
2016, p. 75-76.
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica o valor correto para 
o custo de fabricação destes três produtos é dado por:
Nota: 10.0
A
120
Você acertou!
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
B 150
C 180
D 200
E 220
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é 
afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado 
dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um 
determinado ponto.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Seja A um conjunto definido no espaço quadridimensional R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que 
associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias 
variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4) é:
Nota: 0.0
A 16
B 25
C
30
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 
30 
 livro-base: p. 75-76
D 36
E 40
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações 
mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. 
Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do 
comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Observe o limaçon abaixo:
Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, assinale a alternativa que apresenta corretamente a área da região cinza do 
limaçon r=1+2senθ.
Nota: 10.0
A
4+32πu.a.
Você acertou!
Solução:
A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]d
θA=12∫π0(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+
4u.a.
livro-base: p. 33-36
B 3+12πu.a.
C
2+52πu.a.
D
1+72πu.a.
E 3+52πu.a.
Questão 9/10 - CálculoDiferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações 
mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. 
Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do 
comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
O gráfico abaixo representa a área da região R limitada pela curva y=x2 e pela reta x. 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a
várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva e pela reta do
gráfico acima.
Nota: 0.0
A
B
C 1
D 2
E
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações
mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. 
Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo 
do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias 
variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5 no intervalo fechado [0,2] e 
marque a alternativa correta:
 
Nota: 10.0
A
2√10u.c.
Você acertou!
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.
livro-base: p. 21-24
B 3√5u.c.
C 4√5u.c.
D 5√5u.c.
E 6√10u.c.
tentativa 2
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a função 
vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^z, o divergente de  ⃗F é
Nota: 0.0
A ∇⋅⃗ F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.
B ∇⋅⃗ F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.
C
∇⋅⃗ F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.
D
∇⋅⃗ F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.
Observamos que   ∇⋅⃗ F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)
+∂F3∂z(x,y,z), onde  F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo,
∇⋅⃗ F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.    (livro-base, 155-156)
E ∇⋅⃗ F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de formação
da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente de zero?
Nota: 10.0
A an = 2n
B an = 2n + 1
C an = n + 1
D an = 2n – 1
Você acertou!
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, ....
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a)  teremos 2.1 = 2 (o primeiro
número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) teremos 1 +
1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0.
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 = 3 e
assim,   sucessivamente.   Desta   forma,   obtemos   a   sequência   dos   números   ímpares.
livro-base p. 101-102
E an = n - 1
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule a integral
, dadas as equações paramétricas:
Nota: 0.0
A -1
B
0
C 1
D 2
E 3
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem do texto:
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias variáveis 
em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é considerar todas as outras
variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação como habitualmente."
Texto elaborado pelo autor.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. 
C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 
2016, p. 80.
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy..
Nota: 10.0
A
∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.
Você acertou!
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim,
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.
B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x
C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x
D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y
E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações
mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva.
Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do
comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do 
segmento de reta dado pela equação y=3x+2 no intervalo fechado [0,2] em torno do eixo das 
abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 10.0
A 25π√20u.a.
B
20π√10u.a.
Você acertou!
Solução:
A=2π∫20y(x)√1+[y′
(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√10
3=20π√10u.a.
livro-base p. 15-20
C 22π√12u.a.
D 23π√13u.a.
E 21π√15u.a.
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que 
admitamos todas as outras variáveis como constantes.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. 
C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 
2016, p. 80.
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - Tema: Derivadas 
parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos:
Nota: 10.0
A fx = 3; fy = 5;   fz = -6
Você acertou!
Calculamos   a   derivada   separadamente   em   relação   a   cada   variável.
De   acordo   com   a   vídeo   aula:
Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável de análise
As   demais   variáveis   são   consideradas   constantes
(Vídeo aula 3).
B fx = -3; fy = -5; fz = -6
C fx = 5; fy = 3; fz = 6
D fx = 6; fy = 5; fz = -3
E fx = -6; fy = 5; fz = 3
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere a área 
A da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2, pelo eixo y e pela reta y=4. É 
correto afirmar que
Nota: 10.0
A
A=∫40∫√y0dxdy=163u.a.
Você acertou!
Um esboço desta região é apresentado abaixo:
Note que esta região pode ser descrita como  R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√y}. Assim, 
A=∫40∫√y0dxdy=∫40(∫√y0dx)dy=∫40√ydy=[23√y3]∣∣∣40=163u.a.            (livro-base p. 54-59)
B A=∫40∫√y0dydx=165u.a.
C A=∫40∫√y0dxdy=165u.a.
D A=∫40∫√y0dydx=65u.a.
E A=∫40∫√y0dxdy=67u.a.
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito da 
sequência an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que:
Nota: 0.0
A é convergente com limite 3.
B
é convergente com limite 7.
Observamos que   limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 
104-105)
C é convergente com limite 10.
D é divergente.
E é convergente com limite infinito.
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é 
afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequadodessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um 
determinado ponto.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Seja A um conjunto definido no espaço quadridimensional R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que 
associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias 
variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4) é:
Nota: 10.0
A 16
B 25
C 30
Você acertou!
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 
30 
 livro-base: p. 75-76
D 36
E 40
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas 
variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas
outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias 
variáveis, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações 
paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤1 e assinale a alternativa que corresponde a esse 
valor.
Nota: 0.0
A -12
B
24
Solução:
Fazendo as substituições  x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)
+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S.  Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.  p.153 a p.155
C 15
D -20
E 30
tentativa 3
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias 
Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que:
Nota: 10.0
A é convergente com limite 3.
B
é convergente com limite 7.
Você acertou!
Observamos 
que  limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=
7.
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente 
com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105)
C é convergente com limite 10.
D é divergente.
E é convergente com limite infinito.
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a 
Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas 
são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação 
envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de 
sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Observe o limaçon abaixo:
Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa que 
apresenta corretamente a área da região cinza do limaçon r=1+2senθ.
Nota: 10.0
A
4+32πu.a.
Você acertou!
Solução:
A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ
)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫π0(3+4senθ−2c
os2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]
=12(3π+8)=32π+4u.a.
livro-base: p. 33-36
B 3+12πu.a.
C
2+52πu.a.
D
1+72πu.a.
E 3+52πu.a.
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a 
Várias Variáveis
Leia o trecho a seguir:
A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em
relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como 
constantes.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está 
disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p.
80.
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos 
da Aula 3 - Tema: Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais 
da função acima, obtemos:
Nota: 10.0
A
fx = 3; fy = 5;   fz = -6
Você acertou!
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada
variável.
De   acordo   com   a   vídeo   aula:
Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de
derivação para a variável de análise As demais variáveis
são   consideradas   constantes
(Vídeo aula 3).
B fx = -3; fy = -5; fz = -6
C fx = 5; fy = 3; fz = 6
D fx = 6; fy = 5; fz = -3
E fx = -6; fy = 5; fz = 3
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a 
Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis, dada a função vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^z, o 
divergente de ⃗F é
Nota: 10.0
A ∇⋅⃗ F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.
B ∇⋅⃗ F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.
C
∇⋅⃗ F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.
D
∇⋅⃗ F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.
Você acertou!
Observamos que   ∇⋅⃗ F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)
+∂F3∂z(x,y,z), onde  F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z
)=4xyz2. Logo,
∇⋅⃗ F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz. 
   (livro-base, 155-156)
E ∇⋅⃗ F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a 
Várias Variáveis
Considere a região R delimitada pela reta y=x+2 e pela parábola y=x2, 
conforme a figura abaixo:
O valor da área de R é
Nota: 0.0
A 52u.a.
B 132u.a.
C 29u.a.
D 92u.a.
A área da região   R pode ser obtida a partir da integral 
dupla:  ∫∫R1dA. 
Inicialmente, observamos 
que  R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}. Assim,
A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−
83)−(12−2+13)=92u.a.
E 72u.a.
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a 
Várias Variáveis
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis, a alternativa que corresponde ao valor da área da região R 
limitada pelas curvas y=x2 e y=√x, do gráfico a seguir, é
Nota: 10.0
A 13u.a.
Você acertou!
Solução:
A=∫10∫√xx2dydx=∫10y √∣∣∣ xx2dx=∫10(√x−x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=2
3−13=13u.a.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. 
H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59
B
23u.a.
C 43u.a.
D
53u.a.
E 73u.a.
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a 
Várias Variáveis
Leia o texto a seguir:
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas 
físicas, calcular a área de uma região específica definida por um 
determinado conjunto de curvas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica 
gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4x, no 
intervalo fechado [0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por:
Nota: 10.0
A 16π
B 16π√17 u.a.
Você acertou!
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, 
A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
C √17 u.a.
D √17π u.a.
E 2√17 u.a.
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a 
Várias Variáveis
Analise o seguinte problema:
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto
é representado por x1,x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de 
fabricação desses três produtos é representada 
por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3. Supondo que a empresa fabrica 3 
unidades do primeiro produto, x1, uma unidade do segundo produto, x2, e 
quatro unidades do terceiro produto, x3..
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está 
disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p.
75-76.
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. 
R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, a alternativa que indica o valor correto para o custo de 
fabricação destes três produtos é dado por:
Nota: 10.0
A
120
Você acertou!
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(Conteúdo livro-base:RODRIGUES, A. C. D; SILVA, 
A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
B 150
C 180
D 200
E 220
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a 
Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem do texto:
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma 
função de várias variáveis em relação a uma de suas outras funções. A 
estratégia para o cálculo é considerar todas as outras variáveis como 
constantes e aplicar as regras de derivação como habitualmente."
Texto elaborado pelo autor.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está 
disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, 
p. 80.
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy..
Nota: 10.0
A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.
Você acertou!
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação
a cada variável. Assim,
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2
+4xy−3zy)=−3y.
B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x
C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x
D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y
E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a 
Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser
generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração
para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e
Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto
para a integral dupla dada por:
 
Nota: 10.0
A 6
B 10
C 12
Você acertou!
D 15
E 16