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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente de zero? Nota: 0.0 A an = 2n B an = 2n + 1 C an = n + 1 D an = 2n – 1 A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, .... Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0. Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 = 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares. livro-base p. 101-102 E an = n - 1 Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. Fonte: Texto elaborado pelo autor. Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que apresenta o valor correto de I.I. I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Nota: 10.0 A 1212 B 3232 Você acertou! Solução: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32. Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59. C 5252 D 7272 E 9292 Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia a seguinte passagem do texto: "A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é considerar todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação como habitualmente." Texto elaborado pelo autor. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.. Nota: 10.0 A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. Você acertou! Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, ∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que: Nota: 10.0 A é convergente com limite 3. B é convergente com limite 7. Você acertou! Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105) C é convergente com limite 10. D é divergente. E é convergente com limite infinito. Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por: Nota: 10.0 A 16ππ B 16ππ√1717 u.a. Você acertou! (Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) C √1717 u.a. D √17π17π u.a. E 2√17217 u.a. Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia a seguinte passagem de texto: O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto. Fonte: Texto elaborado pelo autor. Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é: Nota: 10.0 A 16 B 25 C 30 Você acertou! f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 livro-base: p. 75-76 D 36 E 40 Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere a área AA da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2y=x2, pelo eixo yy e pela reta y=4y=4. É correto afirmar que Nota: 10.0 A A=∫40∫√y0dxdy=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=163u.a. Você acertou! Um esboço desta região é apresentado abaixo: Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√y}.R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤y}. Assim, A=∫40∫√y0dxdy=∫40(∫√y0dx)dy=∫40√ydy=[23√y3]∣∣∣40=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=∫04(∫0ydx)dy=∫04ydy=[23y3]|04=163u.a. (livro-base p. 54-59) B A=∫40∫√y0dydx=165u.a.A=∫04∫0ydydx=165u.a. C A=∫40∫√y0dxdy=165u.a.A=∫04∫0ydxdy=165u.a. D A=∫40∫√y0dydx=65u.a.A=∫04∫0ydydx=65u.a. E A=∫40∫√y0dxdy=67u.a.A=∫04∫0ydxdy=67u.a. Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia a seguinte passagem de texto: O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por: Nota: 10.0 A 6 B 10 C 12 Você acertou! D 15 E 16 Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta: Nota: 10.0 A 2√10u.c.210u.c. Você acertou! A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c. livro-base: p. 21-24 B 3√5u.c.35u.c. C 4√5u.c.45u.c.D 5√5u.c.55u.c. E 6√10u.c.610u.c. Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho a seguir: A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - Tema: Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos: Nota: 10.0 A fx = 3; fy = 5; fz = -6 Você acertou! Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. De acordo com a vídeo aula: Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável de análise As demais variáveis são consideradas constantes (Vídeo aula 3). B fx = -3; fy = -5; fz = -6 C fx = 5; fy = 3; fz = 6 D fx = 6; fy = 5; fz = -3 E fx = -6; fy = 5; fz = 3
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