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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. Fonte: Texto elaborado pelo autor. Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que apresenta o valor correto de I.I. I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Nota: 10.0 A 1212 B 3232 Você acertou! Solução: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32. Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59. C 5252 D 7272 E 9292 Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. Fonte: Texto elaborado pelo autor. Observe o limaçon abaixo: Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa que apresenta corretamente a área da região cinza do limaçon r=1+2senθr=1+2senθ. Nota: 10.0 A 4+32πu.a.4+32πu.a. Você acertou! Solução: A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫π0(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.A=12∫0π[f(θ)]2dθ=12∫0π[1+2senθ]2dθA=12∫0π(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫0π[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫0π(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)|0πA=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a. livro-base: p. 33-36 B 3+12πu.a.3+12πu.a. C 2+52πu.a.2+52πu.a. D 1+72πu.a.1+72πu.a. E 3+52πu.a.3+52πu.a. Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Qual a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero? Referência: Vídeoaula número 4 e Livro-Base, p. 101-102. Nota: 0.0 A an=2nan=2n A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, .... Como n começa em 2, pelo enunciado, para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2); para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos números pares. B an=2n+1an=2n+1 C an=n+1an=n+1 D an=2n−1an=2n−1 E an=n−1an=n−1 Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia a seguinte passagem de texto: O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto. Fonte: Texto elaborado pelo autor. Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é: Nota: 10.0 A 16 B 25 C 30 Você acertou! f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 livro-base: p. 75-76 D 36 E 40 Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela reta xx. Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima. Nota: 10.0 A B C 1 D 2 E Você acertou! Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. Fonte: Texto elaborado pelo autor. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a alternativa que corresponde a esse valor. Nota: 10.0 A -12 B 24 Você acertou! Solução: Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)|01=8+12+4=24. Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.153 a p.155 C 15 D -20 E 30 Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta: Nota: 10.0 A 2√10u.c.210u.c. Você acertou! A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c. livro-base: p. 21-24 B 3√5u.c.35u.c. C 4√5u.c.45u.c. D 5√5u.c.55u.c. E 6√10u.c.610u.c. Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em tornodo eixo das abscissas é dada por: Nota: 10.0 A 16ππ B 16ππ√1717 u.a. Você acertou! (Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) C √1717 u.a. D √17π17π u.a. E 2√17217 u.a. Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia a seguinte passagem de texto: O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por: Nota: 10.0 A 6 B 10 C 12 Você acertou! D 15 E 16 Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto: As integrais podem ser classificadas de acordo com suas características em diversos grupos: Integrais Duplas, Integrais Triplas, Integrais de Contorno, Integrais de Funções Parametrizáveis, Integrais Vetoriais, entre outras. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩x=ty=t2z=t3{x=ty=t2z=t3 Considerando as informações acima e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, indique a alternativa que calcula corretamente o valor da integral ∫Cyzdx+xzdy+xydz∫Cyzdx+xzdy+xydz Nota: 10.0 A -1 B 0 Você acertou! C 1 D 2 E 3 uestão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis De acordo com os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere RR a região delimitada pela cardióide r=2+2cosθ,r=2+2cosθ, conforme a figura abaixo: A área da região RR mede? Assinale a alternativa correta. Nota: 0.0 A 16π u.a.16π u.a. B 12π u.a.12π u.a. C 10πu.a.10πu.a. D 8πu.a.8πu.a. E 6πu.a.6πu.a. A curva r=2+2cosθr=2+2cosθ é simétrica ao eixo polar (pois trocando θθ por −θ−θ, a equação r=2+2cosθr=2+2cosθ não se altera). Desse modo, calculamos a área da região acima do eixo polar e multiplicamos o resultado por 2, ou seja, Área(R)=2[12∫π0(2+2cosθ)2dθ]=∫π0(4+8cosθ+4cos2θ)dθ=∫π0[4+8cosθ+4(1+cos2θ2)]dθ=∫π0(6+8cosθ+2cos2θ)dθ=(6θ+8senθ+sen2θ)∣∣∣π0=6π+8senπ+sen2π=6π+0+0=6πu.a.Área(R)=2[12∫0π(2+2cosθ)2dθ]=∫0π(4+8cosθ+4cos2θ)dθ=∫0π[4+8cosθ+4(1+cos2θ2)]dθ=∫0π(6+8cosθ+2cos2θ)dθ=(6θ+8senθ+sen2θ)|0π=6π+8senπ+sen2π=6π+0+0=6πu.a. Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla . Nota: 10.0 A 8 B 16 C 30 D 57 Você acertou! E 70 Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, responda: Dada a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, a alternativa que corresponde corretamente ao valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5) é: Nota: 0.0 A 132132 Solução: f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. B 145145 C 133133 D 115115 E 154154 Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente de zero? Nota: 10.0 A an = 2n B an = 2n + 1 C an = n + 1 D an = 2n – 1 Você acertou! A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, .... Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0. Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 = 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números ímpares. livro-base p. 101-102 E an = n - 1 Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia a citação: "Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76. Considerando a citação e o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, responda: Supondo que a empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto x1, uma unidade do segundo produto x2 e quatro unidades do terceiro produto x3, calcule o custo. Nota: 10.0 A 120 Você acertou! C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 (Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) B 150 C 180 D 200 E 220 Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o comprimento da cardioide cujo raio é igual a r=1+cosθr=1+cosθ, no intervalo [0,π][0,π] e assinale a alternativa correta. Fonte: Livro-Base, p. 30-33. Nota: 10.0 A 4u.c.4u.c. Você acertou! Para obter o comprimento do arco, devemos calcular o valor considerando o intervalo [0,π][0,π]. Assim, S=∫π0√(−senθ)2+(1+cosθ)2dθ=∫π0√sen2θ+1+2cosθ+cos2θdθ=∫π0√2(1+cosθ)dθ=∫π0√2⋅√2cos2(θ2)dθ=∫π02cos(θ2)dθ=2⋅2sen(θ2)∣∣∣π0=4u.c.S=∫0π(−senθ)2+(1+cosθ)2dθ=∫0πsen2θ+1+2cosθ+cos2θdθ=∫0π2(1+cosθ)dθ=∫0π2⋅2cos2(θ2)dθ=∫0π2cos(θ2)dθ=2⋅2sen(θ2)|0π=4u.c. Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. B 8u.c.8u.c. C 4πu.c.4πu.c. D 8πu.c.8πu.c. E 16u.c.16u.c. Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a alternativa que corresponde ao valor da área da região R limitada pelas curvas y=x2y=x2 e y=√xy=x, do gráfico a seguir, é Nota: 10.0 A 13u.a.13u.a. Você acertou! Solução: A=∫10∫√xx2dydx=∫10y∣∣∣√xx2dx=∫10(√x−x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=23−13=13u.a.A=∫01∫x2xdydx=∫01y|x2xdx=∫01(x−x2)dx=23x3/2−x33|01=23−13=13u.a. Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59 B 23u.a.23u.a. C 43u.a.43u.a. D 53u.a.53u.a. E 73u.a.73u.a. Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, seja A um conjunto definido no espaço quadridimensional R4 e, a função f(x, y, z, t) = x² + y² + z² + t² , que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. O valor de f(1,2,3,4) é: Nota: 10.0 A 16 B 25 C 30 Você acertou! f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 (Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.). p. 75-76 D 36 E 40 Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere a área AA da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2y=x2, pelo eixo yy e pela reta y=4y=4. É correto afirmar que Nota: 10.0 A A=∫40∫√y0dxdy=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=163u.a. Você acertou! Um esboço desta região é apresentado abaixo: Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√y}.R={(x,y)∈R2;0≤y≤4 e 0≤x≤y}. Assim, A=∫40∫√y0dxdy=∫40(∫√y0dx)dy=∫40√ydy=[23√y3]∣∣∣40=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=∫04(∫0ydx)dy=∫04ydy=[23y3]|04=163u.a. (livro-base p. 54-59) B A=∫40∫√y0dydx=165u.a.A=∫04∫0ydydx=165u.a. C A=∫40∫√y0dxdy=165u.a.A=∫04∫0ydxdy=165u.a. D A=∫40∫√y0dydx=65u.a.A=∫04∫0ydydx=65u.a. E A=∫40∫√y0dxdy=67u.a.A=∫04∫0ydxdy=67u.a. Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] Nota: 10.0 A 2√10u.c.210u.c. Você acertou! A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c. Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. B 3√5u.c.35u.c. C 4√5u.c.45u.c. D 5√5u.c.55u.c. E 6√10u.c.610u.c.
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