Lista de números complexos

Prévia do material em texto

· QUESTÕES DA PROVA:6,8,9 e 10 
· LIVRO: PAG 40- 2 
· PROVA DE GEOMETRIA: coeficiente angular, coeficiente linear,condição de alinhamento de 3 pontos,equação da reta.
NÚMEROS COMPLEXOS
1. DEFINIÇÃO
 No conjunto dos números reais R, temos que a2 = a . a é sempre um número não negativo para todo a. Ou seja, não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo em R. Dessa impossibilidade surge o conjunto dos números complexos C.
 Para definirmos tal conjunto inicialmente, assumimos a existência de um número complexo i tal que i2 = - 1. Assumimos também que as operações de adição (+) e multiplicação estão definidas em C, e que essas operações satisfazem as mesmas propriedades fundamentais no conjunto dos números reais (falaremos sobre essas operações mais adiante). Podemos agora definir o conjunto dos números complexos como sendo o conjunto dos números escritos na forma:
z = a + bi,
onde a e b são reais, sendo a chamado de parte real e b de parte imaginária. Simbolizamos as partes real e a imaginária com a seguinte notação: a = Re(z) e b = Im(z). Desta forma:
 Definimos ainda que dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, serão iguais quando e b = d. 
2. OPERAÇÕES ELEMENTARES
 As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o número complexo como um binômio. 
Exemplo 1. Sejam z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + 5i. Então,
z1+ z2 = (3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7i
z1- z2 = (3 + 2i) - (1 + 5i) = 2 – 3i 
z1.z2 = (3 + 2i) . (1 + 5i) = 6 +15i +2i + 10i2 = 6 + 17i – 10 = - 4 + 17i
 Chamamos de conjugado de um número complexo z = a + bi ao número . Desta forma, para efetuar a divisão basta multiplicarmos os membros da fração pelo conjugado do denominador. Por exemplo, usando z1 e z2 dados acima, temos:
3. PLANO DE ARGAND-GAUSS
 Gauss associou a cada número complexo a+bi um par ordenado (a,b) com a,b∈R e representou cada número como um ponto no plano. Essa representação recebe o nome de “Plano de Argand-Gauss” ou “Plano Complexo”:
 Im
 b P(a,b)
 
 a Re
Exercício 1. Utilizando as idéias de Gauss represente os seguintes números no plano:
a) P1 = 2+3i b) P2 = 4-i c) P3 = -3-4i d) P4 = -1+2i 		e) P5 = -2i
					 Im
									 Re
Obs.: Simbolizamos por Re o eixo dos reais, por Im o eixo dos imaginários e chamamos de afixo o ponto que representa o número.
 Chamamos de módulo do complexo z a distância do afixo de z até a origem e o representamos por ou ρ. Chamamos de argumento do número complexo z = a + bi, com z ≠ 0, ao ângulo θ, , que o eixo real forma uma semi-reta de origem O e que contém P.
 Im
					 P
 ρ 
 θ
 Re
			 O
Exercício 2. Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos:
a) 4+3i b) 2-2i c) 3+i d) 3 e)2i f) a+bi
4. POTENCIAÇÃO
Recordemos as fórmulas de adição e subtração de arcos trigonométricos:
Tendo em mãos estas fórmulas, as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de números complexos na forma trigonométrica são facilmente efetuadas. Em primeiro lugar, consideremos os números complexos
 z1 = r1(cos a + isen a) e z2 = r2(cos b + isen b)
Calcule z1.z2, colocando r1.r2 em evidência e agrupando os termos semelhantes (lembre-se que ).
Agora, utilizando as fórmulas de soma e subtração de arcos dadas acima, observe que podemos escrever z1.z2 de uma forma mais sucinta:
 z1.z2 = r1r2[cos(a+b) + isen(a+b)]
Note que o módulo do produto é o produto dos módulos dos fatores e o argumento é a soma dos argumentos dos fatores.
Utilizando um processo chamado Indução Matemática podemos provar que, se , então, para todo ,
 , onde 
Esta fórmula é conhecida como Fórmula de Moivre.
5. RADICIAÇÃO
Chamamos de raiz n-ésima de um número complexo z o número complexo tal que . Por exemplo,
· i é raiz quadrada de pois .
· i é raiz cúbica de pois .
· é raiz quarta de 16 pois .
A operação de radiciação é uma forma de potenciação, onde os expoentes são números racionais não inteiros. Desta forma, podemos utilizar a fórmula de Moivre para calcular também as raízes enésimas de um número complexo:
, onde e 
Exemplo 2. Encontre as raízes quadradas de 
1º. Passo: calcular o módulo de 
2º. Passo: determinar o argumento de 
3º. Passo: usar a Fórmula de Moivre:
Ou seja, para 
e para 
6. EXERCÍCIOS
1. Obtenha o produto w = onde 
a) b) 
c) 
R. a) w= 3 b) w = 72(cos88°+ isen88°) c) w = 80(cos73º + isen73º)
2. Sendo z= e utilizando a multiplicação definida acima, detemine z2, z3 e z4.
3. Determine o módulo e o argumento do número para os complexos
a) z = 3(cos125°+isen125°) b) z = 2(cos300º + isen300º)
R. a) e b) e 
4. Calcule as potências, dando a resposta na forma algébrica
a) b) 
R. a) -128 - 128i b) -64
5. Dado o número complexo z = cos 45° + isen 45° , calcule 
 w = z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 
R. w = (-1 - ) + i 
6. Escreva as expressões abaixo na forma :
a) 	b) 	c) 	d) 
R. a) 	b) 	c) 		d) 
7. Calcule e observe que as potências começam a se repetir depois de . Comprove este fato, mostrando que e aplique este resultado para calcular:
a) 		b) 	c) 	d) 
R. a) 1 		b) -64 		c) -1 		d) 1
8. Sendo um inteiro, que valores podem ter ?
R. 0, 2 ou -2
9. Determine real para que seja real.
R. 
10. Determine real para que seja um imaginário puro.
R. 2
11. Resolva em C as seguintes equações:
a) 	b) 	c) 	d) 
R. a) 	b) c) d) 
12. Representar na forma trigonométrica:
a) 	b) 	c) 		d) 
R.a) b) c) d)
13. Para que valores de inteiro positivo é real?
R. n múltiplo de 4.
14. Qual é a forma algébrica do número complexo representado na figura abaixo?
R. 
15. A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. Sabendo-se que , determine as formas algébrica e trigononétrica dos números complexos cujos afixos são os pontos e .
	R. 
16. Calcule, dando a resposta na forma algébrica:
a) 	b) 	c) 	d) 
R. a) 8i	b) 256		c) 		d) 
17. Encontre as raízes sextas de 8. Represente seus afixos no plano. Qual a medida de cada um dos arcos determinados pelos afixos? Qual é a conclusão?