Função Quadrática e Seus Coeficientes

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DE VARIÁVEL 
REAL
CAPÍTULO 3 - FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU E 
SEU COMPORTAMENTO: COMO ANALISÁ-LA?
Denise Fabiana Figueiredo Lopes
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Introdução
As funções estão presentes no nosso cotidiano nas tarefas mais simples, como, por exemplo, no nosso ambiente
de trabalho. Saber utilizar esse conhecimento matemático em nosso trabalho, certamente será um diferencial e
possibilitará previsões, bem como a tomada de decisões frente a problemas.
Neste capítulo, vamos apresentar uma função muito importante, com aplicações em diversas áreas profissionais:
trata-se da função polinomial do 2º grau ou função quadrática. Podemos utilizar a função quadrática para
representar o lucro de uma empresa, baseado nas suas informações sobre receita e custos fixos e variáveis, você
já havia pensado nisso? De posse da função lucro, é possível construir sua representação gráfica e tirar
conclusões importantes.
Você já observou a curvatura do farol de um carro? Ele possui uma parte espelhada com formato parabólico que
reflete a luz da melhor maneira. E as antenas parabólicas? Elas podem receber ou emitir sinais de televisão,
internet, telefonia, entre outros.
Você conhece as formulas de Cinemática, a área da Física que estuda o movimento? Já observou alguma variável
quadrática nelas (com expoente de grau dois)? No estudo do movimento uniformemente variado dos corpos, o
deslocamento é representado por uma função quadrática, o que permite a construção do gráfico que mostra o
movimento feito pelo corpo com o passar do tempo, por exemplo, quando chutamos uma bola.
Vamos apresentar como fazer o estudo do sinal da função quadrática, por meio gráfico, determinando em que
intervalos teremos valores positivos, negativos e nulos. Também vamos abordar como determinar o ponto de
máximo ou de mínimo da função quadrática que está relacionado à concavidade da parábola, curva designada
pela função polinomial do 2º grau. A este ponto, denominado de ponto crítico da curva, estão atreladas
informações, como, por exemplo, o lucro máximo de uma empresa, o custo mínimo de um produto, a altura
máxima atingida no lançamento de um projétil, o volume máximo de um tanque, a área mínima de um terreno
etc.
Para finalizar, você conhecerá como calcular inequações produto e quociente e como interpretar os seus
resultados, além do estudo do módulo de um número e como trabalhar com esse conceito quando utilizamos
funções afins e quadráticas.
Vamos lá? Acompanhe este capítulo com atenção para tirar o melhor aproveitamento dos conceitos e aprender
como aplicá-los no seu ambiente de trabalho ou cotidiano.
3.1 Função quadrática
A função quadrática está presente em muitas situações, podemos observar a curva que seu gráfico determina em
fenômenos reais, como os jatos de água de uma mangueira ou um chafariz, as superfícies refletoras de faróis de
carros ou lanternas, o formato das antenas parabólicas, o movimento quando lançamos uma pedra.
Alguns fenômenos da natureza podem ser representados abstratamente por uma função quadrática, mas vale
ressaltar que, do ponto de vista físico, o lançamento de um projétil e jato de água de uma mangueira, por
exemplo, não são curvas exatamente parabólicas, pois há elementos que interferem na sua simetria, como a
resistência do ar, o vento etc.
Neste tópico, você vai conhecer a representação algébrica de uma função polinomial do segundo grau, como
determinar seus coeficientes, sua forma canônica, calcular seus zeros e determinar as coordenadas do vértice,
ponto de máximo ou de mínimo. Todos esses passos são básicos no estudo dessa função e vão lhe dar
ferramentas para trabalhar com esse tipo de modelo nas diversas situações em que a encontrar.
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3.1.1 Coeficientes de uma função quadrática
As funções mais utilizadas em problemas matemáticos têm sua forma algébrica bem determinada, para isso é
definida uma fórmula genérica para representá-las. Nesta disciplina, estudamos as funções polinomiais de uma
variável real e as funções quadráticas estão inclusas nesse universo.
Chama-se função quadrática uma função dada pela lei , onde são números reais
e (LEITE; CASTANHEIRA, 2015). Os números são chamados coeficientes da função, é importante
saber identificá-los, pois são usados nos cálculos e muito importantes para a construção do gráfico. O coeficiente 
 é o coeficiente dominante, ele não pode ser zero, pois nesse caso não teríamos uma função do segundo grau.
Veja os exemplos das funções a seguir:
• , os coeficientes são , e ;
• , os coeficientes são , e ;
• , os coeficientes são , e ;
• , os coeficientes são , e ;
• , os coeficientes são , e .
As funções acima apresentam seus coeficientes de forma explícita, pois elas estão escritas na forma tradicional,
mas nem sempre isso acontece e devemos mexer na função a fim de deixar os coeficientes evidentes. Observe
nos exemplos a seguir:
• , os coeficientes são , e ;
• , os coeficientes são , 
 e ;
•
, os coeficientes são , e .
Nesses exemplos, percebemos que para determinar os coeficientes é necessário escrever a função de maneira
genérica, ou seja, . Muitas vezes esse processo facilita a resolução de exercícios e o estudo das
características da função, tanto algébricas quanto gráficas.
3.1.2 Forma canônica
Em várias situações em Matemática, fazer a manipulação algébrica das funções nos permite obter novas formas
de escrever as expressões, com objetivo de facilitar a tomada de decisões e a resolução de problemas
Para escrever a função quadrática em sua forma canônica, vamos utilizar uma técnica matemática chamada
“completar quadrados”, construindo um trinômio quadrado perfeito utilizando a função dada. Observe:
Considere a função quadrática: , vamos colocar o coeficiente em evidencia: 
.
Agora, resolvendo o seguinte trinômio quadrado perfeito, obtemos: 
Comparando com a função anterior, percebemos que o termo que falta para completar o trinômio na função 
 é , para isso vamos somar e subtrair esse termo, veja: 
Assim podemos escrever: 
Dessa maneira, podemos dizer que a forma canônica de uma função quadrática é:
Para facilitar o uso prático da função canônica, vamos reescrevê-la da seguinte maneira:
•
•
•
•
•
•
•
•
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Segundo Demana et al. (2013), chamando e , podemos escrever a função canônica como: 
.
Exemplos:
Escreva a função em sua forma canônica. Primeiramente, vamos identificar os coeficientes da
função: . Agora vamos calcular os termos auxiliares e :
 e 
Podemos substituir na função , obtendo:
Logo, a função , pode ser escrita em sua forma canônica como .
Escreva a função em sua forma canônica. Primeiramente, vamos identificar os coeficientes da
função: . Agora vamos calcular os termos auxiliares e :
 e 
Podemos substituir na função , obtendo sua forma canônica:
Escrever a função em sua forma canônica permite a determinação de um ponto específico do seu gráfico, que é o
vértice. De acordo com Demana et al. (2013), o vértice do gráfico de uma função quadrática é definido por 
, onde e . Vamos utilizar essa fórmula mais a fundo no tópico sobre gráficos.
3.1.3 Zeros de uma função quadrática
Os zeros de uma função são determinados pelos valores de onde a função se anula. Para fazer esse cálculo,
utilizamos a seguinte substituição , na qual o valor da imagem da função será zero. Como a função
quadrática possui grau dois, para determinar seus zeros precisamos resolver uma equação do segundo grau.
Para Demana et al. (2013), a técnica mais comum é a fórmula de Bhaskara. Para usá-la fazemos o cálculo do
discriminante, representado pela quarta letra do alfabeto grego, “ ” (delta), cuja fórmula é: , onde 
 são os coeficientes da equação de segundo grau. Mais à frente vamos ver o significado do discriminante
para uma função quadrática.
Após o cálculo do discriminante, a fórmula de Bhaskara é expressa da seguinte maneira: , com 
, onde são os coeficientes da equação de segundo grau.
Exemplos:
Calcule os zeros da função .
VOCÊ O CONHECE?
Bhaskara Akaria (1114-1185), também conhecido como Bhaskaracharya,nascido na cidade de
Vijayapura, foi professor, astrólogo, astrônomo, um dos mais importantes matemáticos do
século XII e publicou obras importantes. No Brasil, por volta de 1960, o nome de Bhaskara
passou a designar a fórmula de resolução de equações quadráticas, mas não se pode afirmar
que foi ele quem a descobriu. Registros de textos babilônicos de cerca de 4000 anos antes
apresentam a utilização de regras para essa resolução, apesar de não ser com a nomenclatura
que usamos atualmente.
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Calcule os zeros da função .
O primeiro passo é fazer a substituição , logo . Podemos escrever , obtendo
uma equação de segundo grau completa, escrita em sua forma padrão e, para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula
de Bhaskara. Para o cálculo do discriminante temos: :
Finalizando, vamos utilizar :
Assim, obtivemos dois zeros para a função que são .
Calcule os zeros da função . Para o cálculo do discriminante temos:
Finalizando:
Veja que não é possível calcular os zeros dessa função dentro do conjunto dos números reais, pois como o
discriminante é negativo ( , gerando uma raiz quadrada de número negativo, que não está definida nos
reais. Logo, dizemos que a função não possui zeros reais. Vamos a um exemplo de situação prática?
Sabe-se que ao efetuar um disparo sob certo ângulo, a altura, em metros, atingida pela bala em função do
deslocamento horizontal, em segundos, é . Podemos determinar o alcance desse projétil?
Para resolver o problema, vamos utilizar o cálculo do zero da função, pois eles determinam os pontos em que a
bala toca o solo. Observe:
, logo 
Para o cálculo do discriminante, temos: , então 
.
Finalizando, vamos utilizar :
Assim, observamos que o projétil toca o solo em dois momentos, no ponto que é o momento de partida e no
ponto que é o momento de chegada. Concluímos, assim, que o alcance foi de 10 metros. Além de calcular a
função quadrática, também é preciso fazer o estudo do comportamento desse tipo de função, o que você verá no
tópico a seguir.
3.2 Estudo do comportamento de uma função do 
quadrática
As funções quadráticas possuem um comportamento específico que é muito importante em Matemática para o
estudo de diversos fenômenos como, por exemplo, o movimento de um projétil em seu lançamento.
Vamos apresentar neste tópico as características do gráfico da função quadrática e como analisá-las
algebricamente a partir da expressão matemática dada, além do estudo do sinal da função, ou seja, em quais
intervalos ela é positiva ou negativa. Também vamos estudar exemplos práticos e fenômenos que podem ser
representados por funções quadráticas.
3.2.1 Gráfico de uma função quadrática
Você já observou a curva que o jato de água de uma mangueira de jardim faz? Ou a curva que a água faz quando
jorra de uma fonte? Quando lançamos uma pedra ou uma bola ela também descreve essa curva?
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Alguns faróis automotivos utilizam espelhos parabólicos, pois a luz emitida da lâmpada, posicionada no foco da
superfície parabólica, tem seus raios refletidos todos na mesma direção e paralelos entre si. Dessa maneira, os
faróis iluminam adequadamente a região a sua frente (como uma rodovia, estrada etc) sem desperdiçar
luminosidade para regiões menos importantes. As lanternas também usam uma superfície refletora nesse
formato.
Figura 1 -
Esboço de um espelho parabólico em um farol automotivo que reflete a luz na mesma direção.
Fonte: UM LIVRO ABERTO, 2018.
Essas curvas que podemos observar nesses exemplos são chamadas de parábolas. Segundo Demana et al. (2013),
a parábola é uma cônica gerada pela intersecção de um plano com um cone circular reto, como podemos
observar na Figura a seguir:
VOCÊ QUER LER?
No artigo “Parábolas – As curvas preciosas” (MACHADO, 2008), você poderá ler mais sobre a
utilização das parábolas que normalmente não conhecemos nem sequer sua existência. Você
perceberá a importância desse conceito matemático para a evolução tecnológica e o quanto
ainda podemos explorar suas características. Acesse em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.
>.br/portals/pde/arquivos/673-4.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/673-4.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/673-4.pdf
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Figura 2 - Parábola (curva em laranja) gerada pela intersecção de um plano com um cone circular reto.
Fonte: DEMANA et al., 2013, p. 30
As parábolas, estudadas nas seções de cônicas em Geometria Analítica, possuem propriedades que permitem o
seu uso em diversas situações como as já citadas antenas parabólicas que conseguem receber e emitir sinais, os
faróis dos carros que são projetados com uma curvatura especial para iluminar de maneira eficiente e até
mesmo fornos solares construídos com espelhos em formato parabólico que permitem atingir temperaturas
muito altas de maneira sustentável.
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O gráfico de uma função quadrática é representado por uma parábola, com um eixo de simetria e alguns pontos
notáveis, que facilitam a sua construção, são eles: o vértice da parábola, a interseção com o eixo e a intersecção
com o eixo . Vamos explanar cada um deles.
Considere a função dada pela lei , onde são números reais e , então:
• a intersecção da parábola com o eixo é obtida pelo cálculo dos zeros da função quadrática, os pontos 
são . Lembrando que existem funções que não possuem zeros em R, neste caso não terá 
intersecção;
• o vértice da parábola é representado pelos pontos , cujas fórmulas são e ;
• a intersecção com o eixo é pelo ponto , onde é o coeficiente independente da função .y
Exemplo: Construa o gráfico da função .
Primeiro, vamos calcular os zeros da função, que serão as intersecções com o eixo , fazendo a substituição 
:
Finalizando, vamos utilizar :
Logo, os pontos de intersecção da função com o eixo são .
Agora, para calcular o vértice, vamos utilizar as fórmulas:
 e 
Logo, o vértice da parábola é expresso pelo ponto .
Por último, a intersecção do gráfico com o eixo é pelo ponto de coordenadas , onde . Podemos
marcar esses pontos no gráfico e construir a parábola. Observe no gráfico da função f(x) = x – 2x – 3x2 abaixo 
com os pontos notáveis em cinza.
VOCÊ SABIA?
Os termos elipse, hipérbole e parábola, utilizados para denominar as cônicas, foram
determinados por Apolônio de Perga, matemático grego do século III. A palavra “parábola”
vem do grego e significa igualdade, comparação, por isso algumas histórias também são
chamadas de parábolas. O estudo algébrico da parábola, relacionada à representação de uma
equação de segundo grau no plano cartesiano, foi divulgada pelo matemático Pierre de Fermat
(1601-1655) (CASTILHO; SÁ, 2007). Leia mais em: <http://bd.centro.iff.edu.br/bitstream
>./123456789/211/3/Documento.pdf
•
•
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http://bd.centro.iff.edu.br/bitstream/123456789/211/3/Documento.pdf
http://bd.centro.iff.edu.br/bitstream/123456789/211/3/Documento.pdf
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Figura 3 - Gráfico com pontos de intersecção.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Chamamos a abertura da parábola de concavidade e nas funções quadráticas ela pode ser para cima ou para
baixo. Segundo Leite e Castanheira (2015), o que determina a posição da parábola é o coeficiente dominante “ ”,
se for positivo a concavidade é para cima e se for negativo a concavidade é para baixo. Veja:
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Figura 4 - A posição da concavidade de uma parábola determinada pelo sinal do coeficiente dominante “a”.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Exemplos: 
• o gráfico da função possui concavidade voltada para cima, pois , logo ;
• o gráfico da função possui concavidade voltada para baixo, pois , logo .
Outro ponto a ser analisado é a intersecção da parábola com o eixo , podendo ocorrer até duas intersecções, que
determinam o número de zeros da função quadrática e influenciam na posição da parábola em relação ao eixo .
Nesse caso, o discriminante “ ” é o que determina se a equação terá solução ou não em . Leite e Castanheira
(2015) nos trazem que podemos fazer o estudo do sinal do discriminante da seguinte maneira:
• se , a função possui dois zeros reais distintos,a parábola corta o eixo em dois pontos distintos;
• se , a função possui dois zeros reais iguais, a parábola corta o eixo em um ponto;x
• se , a função não possui zeros reais, logo a parábola não corta o eixo .x
Para compreender a influência do discriminante no gráfico, observe a Tabela seguir:
•
•
•
•
•
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Figura 5 - Posição da parábola em relação ao eixo x e número de intersecções determinadas pelo discriminante.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Exemplo: Construa o gráfico da função .
Primeiro, vamos calcular o discriminante “ ” da função: 
Como o discriminante é negativo, a parábola não terá intersecção com o eixo , então vamos calcular o vértice,
identificar a intersecção com o eixo e analisar a posição da concavidade para termos elementos suficientes para
construir o gráfico.
Para calcular o vértice, vamos utilizar as fórmulas:
 e 
Logo, o vértice da parábola é dado pelo ponto .
A intersecção do gráfico com o eixo é pelo ponto de coordenadas , onde . E, por último, como o
coeficiente é positivo a concavidade é voltada para cima. Agora podemos localizar esses pontos no gráfico e
construir a parábola. Observe:
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Figura 6 - Gráfico de uma parábola que tem intersecção com o eixo x.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Note que quando a função não tem zeros o gráfico fica suspenso em relação ao eixo , ou seja, não há
intersecções sobre o eixo das abscissas. Em casos como esse é muito importante a análise de outros aspectos
como a concavidade e o vértice.
3.2.2 Estudo do sinal por meio do gráfico da função
O estudo do sinal da função quadrática é determinado identificando para quais valores de obtemos 
positivo, negativo ou nulo. Para facilitar a compreensão, vamos dividir em casos.
Caso 1: considerando , a função possui dois zeros reais distintos. Vamos analisar duas situações: quando a
concavidade é voltada para cima e quando é para baixo. Veja:
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Figura 7 - Estudo do sinal da função considerando dois zeros reais distintos.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Caso 2: considerando , a função possui dois zeros reais iguais. Vamos analisar duas situações: quando a
concavidade é voltada para cima e quando é para baixo. Veja:
Figura 8 - Estudo do sinal da função considerando dois zeros reais iguais.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Caso 3: considerando , a função não possui zeros reais. Vamos analisar duas situações: quando a
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Caso 3: considerando , a função não possui zeros reais. Vamos analisar duas situações: quando a
concavidade é voltada para cima e quando é para baixo. Veja:
Figura 9 - Estudo do sinal da função considerando que não há intersecção com o eixo.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
O estudo do sinal da função quadrática permite conhecer o comportamento da função dependendo dos valores
dos coeficientes. Essa técnica é muito utilizada em situações-problema em que é necessária a interpretação do
comportamento da função.
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Quando um fenômeno é representado por uma função quadrática, podemos calcular o seu valor máximo ou
mínimo, pois como o gráfico é uma parábola, se a concavidade for voltada para baixo, teremos um ponto máximo
para a função, e se a concavidade for voltada para cima, teremos um ponto mínimo. Vamos ver mais sobre isso
no próximo tópico.
3.2.3 Situações que envolvem funções quadráticas
As funções quadráticas têm diversas aplicações concretas e permitem tirar várias conclusões importantes.
Vamos conhecer algumas delas?
CASO
Um banco notou que um cliente novo possuía um saldo positivo de R$2.000,00 e a cada dia,
durante 30 dias, a conta recebe um crédito, em reais, de e um débito de , onde 
significa o tempo em dias. O banco iniciou a análise da conta desse cliente a partir deste
instante, portanto, consideramos como . Com base nessas informações um funcionário do
banco fez as seguintes considerações.
Para estudar a movimentação da conta bancária desse cliente, podemos representá-la por
meio de uma função que relaciona o saldo em função do tempo , no período de 30 dias. Logo, 
, o que caracteriza uma função quadrática.
Utilizando essa função, podemos determinar daqui a quantos dias o saldo atingirá seu maior
valor, pois o gráfico dessa função é uma parábola de concavidade voltada para baixo, então o
seu vértice representa o ponto mais alto dessa curva, ou seja, é o ponto dessa função.máximo
O vértice é dado pelo ponto , então podemos calcular: 
Portanto, o vértice da parábola é dado pelo ponto , e isso significa que ao passar 5
dias teremos o saldo máximo de R$ = 2.250,00.
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Para construir um retângulo, precisamos definir quanto será sua largura e seu comprimento, depois disso
teremos como calcular a área e o perímetro. A área é necessária para determinar quanto cabe dentro desse
retângulo e o perímetro para saber quanto mede seu contorno.
Essa situação tem várias aplicações no cotidiano, pois para construir um retângulo que servirá para cercar algo
como uma horta, um galinheiro, um canil, um depósito de materiais etc., precisamos ter as medidas de
comprimento e de largura determinadas previamente, não é viável ficar construindo vários cercados para
determinar qual será o mais adequado. A função quadrática pode ajudar nessa decisão, veja os exemplos a seguir.
Exemplo:
Suponha que em um canteiro de obras seja necessário construir um cercado retangular para guardar materiais
evitando desorganização e possíveis furtos. O cercado irá aproveitar um muro, que já está construído no local,
como um dos lados. Os pedreiros têm disponível um rolo de alambrando com 100 metros de comprimento e
deverão utilizar apenas essa quantia para construir o cercado. Como há uma grande quantidade de material, eles
precisam decidir as dimensões do retângulo de maneira que tenha a maior área possível, ou seja, .área máxima
Chamando o comprimento do retângulo de e a largura de e lembrando que um dos lados será o muro, o
perímetro de alambrado utilizado é dado pela expressão: , que podemos escrever como , e
a área pela seguinte função 
Substituindo a expressão anterior nessa função, teremos:
Assim, obtivemos uma função quadrática que relaciona a largura com a área .
O gráfico da função área será uma parábola com concavidade voltada para baixo, logo o seu vértice será o ponto
de máximo dessa função. Vamos calculá-lo:
 e 
O vértice da parábola é dado pelo ponto , ou seja, a área máxima do cercado é e o
comprimento é , então a largura será .
VOCÊ SABIA?
A utilização de fornos solares está sendo cada vez mais difundida, pois é financeiramente
viável e ecologicamente correta, já que não usa combustíveis para a obtenção da chama. O
forno solar de espelhos no formato parabólico é um dos mais eficientes, visto que a parábola
possui um ponto onde convergem todos os raios solares refletidos em sua superfície, chamado
de foco. Estima-se que na China existem, em uso, mais de 500.000 fornos solares do tipo
parabólico. Organizações internacionais difundem a utilização dessa tecnologia em países
carentes, já que seria a solução para cozinhar alimentos com custo muito baixo (SARMENTO,
2015). Leia mais em: <http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11877/1
>./2015_dis_jssarmento.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11877/1/2015_dis_jssarmento.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11877/1/2015_dis_jssarmento.pdf
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Exemplo:
A Física é uma ciência que estuda a natureza e os seus objetos, por exemplo, como se dá o movimento de corpos
no espaço. Nesse aspecto, existem fórmulas que possuem elementos quadráticos e muitas vezes os problemas
recaem em analisar uma função quadrática. A fórmula que relaciona o espaço percorrido por um objeto com o
tempo é a função , onde deslocamento, aceleração, velocidade e tempo.
Considere um objeto que realiza um movimento uniforme variado obedecendo à função , onde
S é o deslocamento em metros e é o tempo em segundos. Podemos determinar em que instante o móvel muda
de sentido calculando o ponto mínimo do gráfico dessa função, que é determinando pelovértice da parábola:
 e 
Logo, o vértice da parábola é dado pelo ponto , o que significa que o objeto muda de sentido no
instante segundos.
Vamos continuar nosso estudo com o tema inequações do 2º grau. Acompanhe.
3.3 Inequações do 2º grau
O uso de incógnitas para representar valores desconhecidos é uma ferramenta matemática utilizada em situação
nas quais é necessário encontrar o valor de um número que obedece a uma expressão matemática, e o uso do
conceito de equações facilita a obtenção do valor adequado.
Contudo, em algumas situações, queremos fazer uma comparação entre sentenças matemáticas como, por
exemplo, para quais valores o prejuízo de uma empresa é, no máximo, R$ 2.000,00, comparar expressões que
representam dois planos de celular, de maneira a concluir para que valores um seja menor que o outro,
determinar a partir de que instante a função que determina a desvalorização de um produto será, no mínimo, R$
200,00 etc.
Esses exemplos envolvem o estudo do conceito matemático de inequações, que são expressões matemáticas que
usam os símbolos de desigualdades de Neste tópico,
vamos estudar as técnicas usadas para resolver as inequações envolvendo o produto e o quociente de funções
afins e quadráticas.
3.3.1 Inequação produto
Para o estudo de inequações produto e quociente, precisamos conhecer o comportamento dos valores da
imagem de funções afins e quadráticas.
VOCÊ QUER VER?
Em (SOARES, 2016), vocêAula 44 - Função Quadrática: Resolução de Exercícios – Parte 3
poderá observar a resolução de um problema sobre a produção mensal de uma indústria, em
que temos acesso ao valor de venda e aos custos mensais. O objetivo é determinar quanto a
indústria deverá vender para obter lucro máximo. Acesse em: <https://www.youtube.com
>./watch?v=syRjulrVYis
https://www.youtube.com/watch?v=syRjulrVYis
https://www.youtube.com/watch?v=syRjulrVYis
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No caso de funções afins , sabemos que o sinal dos valores da imagem depende do seu zero e
do seu coeficiente dominante , que determina se o gráfico é crescente ou decrescente. Vamos representar os
dois casos da seguinte maneira:
Figura 10 - Sinal da função afim, dependendo do zero e do seu coeficiente dominante.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Para funções quadráticas do tipo o sinal da imagem da função está relacionado com o sinal do
coeficiente dominante , que determina a posição da concavidade para baixo ou para cima, e dos valores dos
zeros da função quadrática, chamados de e . Veja a forma como vamos representar os três casos possíveis.
Primeiro, temos o caso em que e a função possui duas raízes reais distintas: 
Veja na Figura abaixo um gráfico com sinal da função quadrática .
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Figura 11 - Gráfico 1
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
No segundo caso, a função apresenta duas raízes reais iguais, que acontece quando .
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Figura 12 - Gráfico 2
Fonte: Elaborada pela autora, 2018.
E, por fim, o caso em que , ou seja, a função não possui raízes reais:
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Figura 13 - Gráfico 3
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
A partir de agora, para o estudo das inequações produto e quociente vamos utilizar os esboços do sinal das
funções polinomiais apresentados nas Figuras anteriores.
Primeiramente, vamos estudar inequações produto observando os casos em que um dos membros da
desigualdade é nulo e, posteriormente, os casos que fogem a essa regra e necessitam de manipulação matemática
para resolvê-los.
Para encontrar os valores da incógnita que obedecem à desigualdade, precisamos descobrir o sinal da função
produto para todo valor real. Isso será feito usando o estudo dos sinais das funções afim e quadrática, resumidos
nas imagens anteriores, e usando as regras de sinais para o produto de números reais.
Considere a seguinte inequação Precisamos determinar todos os valores para a variável que
substituídos na expressão forneçam um número maior ou igual a 0. Logo, é necessário analisar o
sinal da expressão e descobrir quando ele é positivo e quando a expressão é nula.
Como para o produto de dois números ser zero, um dos termos envolvidos precisa ser zero, temos 
Esses valores são, respectivamente, os zeros das funções afim e .
Vamos analisar no esquema a seguir os sinais do produto dessas duas funções nos intervalos determinados por
esses valores:
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Figura 14 - Sinais da função produto f (x) g (x) = (x – 5) (2x + 3 ), nos intervalos determinados pelos zeros das 
funções.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Percebemos que no intervalo as funções e assumem valores negativos, portanto, o produto gera
sinal positivo; também no intervalo as funções assumem valores positivos, logo o produto gera sinal
positivo. As funções se anulam nos pontos e , e como a desigualdade envolve maior ou igual,
consideramos os pontos que as funções se anulam, por isso a bola fechada na imagem anterior. Assim, a solução
da inequação é:
S = { }
Exemplo:
Determine o conjunto solução da inequação Para encontrar os valores para a
variável que satisfazem à inequação anterior, vamos encontrar os zeros das funções afins e 
:
.
A raiz da função segue da equação:
Sabemos que o sinal do produto será dado pelo produto dos sinais das funções e descrito pela
Figura a seguir:
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Figura 15 - Sinais da função produto f (x) g (x) = (2x2 – 12x + 10)( – 4x + 3)
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Pela imagem anterior, vemos que os valores de que anulam a função produto são , e . Como a
inequação é estritamente negativa, isto é, pede somente os valores menores do que 0, os pontos que as funções
se anulam são representados pela bola aberta, logo a solução é:
S =
Exemplo:
Encontre os valores de que satisfazem a inequação x
Para a resolução de inequações produto, precisamos zerar um dos membros para analisar os sinais das funções,
assim, teremos:
Sejam e Calculando a raiz, vemos que As raízes da função (g
) são obtidas pelo uso da fórmula de Bhaskara:x
.
Como temos que a função quadrática não possui raiz no conjunto dos números reais. Com o conhecimento
das raízes das funções e somos capazes de calcular seus sinais e o sinal do produto dessas funções,
descritos pela Figura:
- -24
Figura 16 - Sinais da função produto f (x) g (x) = (x – 1) (x2 + 3)
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Concluímos que a função produto se anula em e assume valores positivos para , portanto, o
conjunto de solução da inequação será: S = { }.
3.3.2 Inequação quociente
A resolução de inequações quocientes segue uma ideia semelhante à resolução da inequação produto: analisar o
sinal das funções que aparecem no numerador e no denominador e depois comparar o sinal da divisão com as
regras de sinais, porém devemos excluir da solução os valores que anulam a função do denominador. Para fazer
essa comparação, precisamos deixar um dos membros da inequação igual a 0.
Considere a seguinte inequação quociente Chamando e , obtemos a raiz da
função resolvendo a equação:
As raízes da função são obtidas aplicando a fórmula de Bhaskara:
Vamos utilizar :
Nesse caso, sabemos que o quociente pode ser calculado para todos os valores de , tais que 
logo esses pontos terão bola aberta. Veja na figura abaixo um gráfico das funções quociente 
 .
- -25
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Os valores que fazem o quociente ser negativo são representados na última linha da Figura, portanto, o conjunto
solução é }.
Exemplo:
Obtenha os valores de que obedecem à inequação Primeiramente, vamos reescrever a inequaçãox
quociente como uma inequação com um dos membros igual a 0:
Nomeando e . Os zeros da função são:
Vamos utilizar :
Os zeros da função podem ser obtidas pela fórmula de Bhaskara:
.
Vamos utilizar :
Como o quociente só pode ser calculado para os valores de que não anulam o denominador, precisamos
retirar esses valores do conjunto solução, portanto, aparecem com bola aberta na Figura a seguir. E
como a inequação é estritamente maior que zero, também representamos com bola aberta os valores em que o
numerador se anula. Na Figuraabaixo, confira um gráfico da funções quociente .
- -26
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Pela representação dos sinais da função quociente, vemos que o conjunto solução é:
}
Observamos que a resolução de uma inequação quociente é muito semelhante à inequação produto, o que as
diferencia é que o denominador não pode se anular, então é necessário sempre utilizar bola aberta para as raízes
da função do denominador no estudo dos sinais, e assim, obter um conjunto solução coerente com a inequação
proposta.
3.3.3 Situações-problemas que envolvem inequações
Inequações são ferramentas importantes para o estudo do comportamento de uma função. Em muitas situações,
estamos interessados em descobrir valores do domínio de uma função que deixam sua imagem entre um
conjunto de valores e não simplesmente a relação ponto a ponto entre domínio e imagem. Quer ver um exemplo?
Uma loja precisa comprar caixas para enviar suas mercadorias por transportadora. A transportadora exige que
as dimensões dessa caixa sigam o padrão: a largura de 20 centímetros e o comprimento 3 vezes maior que a
altura. Além disso, o volume deve ser no máximo e no mínimo .
Para resolver quais caixas que deveriam ser compradas, o gerente construiu uma fórmula para descrever o
volume da caixa em função da medida da altura , dada por 
O gerente percebeu que poderia tirar conclusões resolvendo a inequação , sendo que esta deve
ser dividida em dois casos: e . Observe a resolução:
As raízes da função são obtidas aplicando a fórmula de Bhaskara:
Fazendo o estudo do sinal da função , construímos o seguinte esboço:
Figura 17 - Sinais da função f (x) = x2 - 36
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
- -27
Logo, o conjunto solução dessa inequação é , como representa uma medida de
comprimento, vamos utilizar apenas a parte positiva que é 
Agora, vamos resolver a segunda inequação:
As raízes da função são obtidas aplicando a fórmula de Bhaskara:
Fazendo o estudo do sinal da função , construímos o seguinte esboço:
Figura 18 - Sinais da função f (x) = x2 - 81
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Logo, o conjunto solução dessa inequação é , como representa uma medida de
comprimento, vamos utilizar apenas a parte positiva que é 
O gerente concluiu que a solução é a interseção dos conjuntos soluções das duas inequações anteriores
representada pela expressão Dessa maneira, a medida das alturas das caixas a serem compradas
precisam ter no mínimo e no máximo .
Outra aplicação interessante de inequações envolve a necessidade de fazer comparações entre os valores da
imagem de duas funções, como no exemplo a seguir.
Felipe trabalhava com entregas em sua pequena cidade e dependendo da distância percorrida precisava decidir
qual a maneira mais rápida de fazer a entrega: de carro ou de bicicleta. Durante dois meses, ele fez medições do
tempo gasto para ir aos mesmos lugares da cidade, tanto de carro quanto de bicicleta. Por meio dessas medições,
ele determinou duas funções que representavam o tempo gasto para percorrer o trajeto de quilômetros, para 
.
A função do tempo de bicicleta era representada por e a d o tempo gasto de carro por 
 Para determinar os valores em quilômetros em que a bicicleta gasta menos tempo que o
carro, ele montou a inequação:
Fatorando a expressão da forma podemos escrever:
Calculando as raízes das funções e , vemos que:
Com a informação das raízes das funções afins, podemos representar o sinal da função produto pela imagem:
- -28
Figura 19 - Sinais da função produto f (x) g (x) = (3x + 1) (3x – 48)
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Vemos pela representação dos sinais da função produto que ela assume valores negativos para: 
}.
Como o conjunto dos valores possíveis para a variável no nosso problema estão entre 0 e 60, temos que as
distâncias em que o tempo gasto de bicicleta é menor do que o tempo gasto de carro estão entre 0 quilômetro e
16 quilômetros.
Vimos neste tópico, as técnicas empregadas para a resolução de inequações produto e quociente e algumas
situações-problema em que a tomada de decisões pode ser feita através da resolução de inequações. Vamos
agora para o estudo das funções modulares.
4.4 Funções modulares
Neste tópico, vamos apresentar as funções modulares e para isso, primeiramente, vamos estudar o significado do
módulo ou valor absoluto de um número e como calculá-lo corretamente. Posteriormente, vamos observar o que
acontece com o gráfico de uma função afim e um função quadrática quando utilizamos o módulo.
4.4.1 Definição de módulo ou valor absoluto de um número
Antes de tratarmos função modular, precisamos compreender o que é módulo de um número, também chamado
de valor absoluto. Na reta numérica, o módulo é a distância de determinado número até o zero, observe:
Figura 20 - Distância dos números - 5 e 5 até o ponto zero, na reta numérica.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
- -29
Podemos perceber, na imagem anterior, que para determinar a distância do número até o ponto zero
precisamos “deslocar” cinco unidades para a direita, sobre a reta, e para determinar a distância do número até
o ponto zero, precisamos “deslocar” cinco unidades para a esquerda. Logo, o módulo de e .
Leite e Castanheira (2015) definem o módulo ou o valor absoluto de um número real como:
Isso significa que o módulo de um número positivo é o próprio número, e o módulo de um número negativo é o
seu oposto.
Exemplos:
•
•
•
•
•
Considere agora a expressão . Como vimos anteriormente, números com sinais opostos possuem o mesmo
módulo, logo para o valor de pode ser . Esse processo é a resolução de uma equação modular.
Vamos analisar mais exemplos:
• , logo . Precisamos resolver as duas equações, ou , e a 
solução dessa equação é ;
• , logo temos ou , assim ou . A solução dessa 
equação é ;
• , logo temos ou , assim ou . Não existe raiz quadrada de 
número negativo em , então a solução dessa equação é 
Também podemos resolver inequações com módulos, por exemplo, considerando a seguinte inequação ,
temos que ou . Outro caso é uma inequação do tipo , temos que ou . Observe mais
alguns exemplos:
• , logo temos ou , assim ou 
. A solução dessa equação é ou ;
• , logo temos ou , assim ou 
. A solução dessa equação é ou , nesse caso podemos 
representar a solução como .
Esses exemplos dão uma noção dos cálculos necessários em problemas envolvendo as funções modulares e na
construção e interpretação de gráficos de uma função em módulo, como veremos a seguir.
VOCÊ QUER LER?
No livro “Cálculo A: funções, limites, derivação e integração” (FLEMMING; GONÇALVES, 2006),
você poderá ler mais sobre a definição de módulo ou valor absoluto de um número, bem como
conhecer suas propriedades para efetuar e observar mais exemplos.
•
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•
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- -30
4.4.2 Gráfico de uma função afim em módulo
Quando temos um módulo na expressão numérica de uma função, precisamos calculá-lo para definir como será o
comportamento do gráfico, pois o módulo leva os elementos do domínio sempre em uma imagem positiva.
Considere a seguinte função afim em módulo . Usando a definição de módulo de Leite e Castanheira
(2015), podemos escrever essa função como:
Obtemos uma função por partes, em que é necessário construir o gráfico das duas sentenças, dependendo do
v a l o r d o d o m í n i o x , p o r e x e m p l o , 
, vamos construir
o gráfico da função a partir desses pontos:
Figura 21 - Gráfico de uma função afim em módulo.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe, na imagem acima, que a parte negativa do gráfico da função afim seria a linha vermelha pontilhada, mas
como a função está em módulo as imagens dos pontos se tornam positivas e o gráfico fica espelhado pelo eixo .
Considere agora a seguinte função afim em módulo . Calculando o zero da função afim ,
obtemos , como o coeficiente dominante é positivo, a função é positiva para valores de maiores que e
negativa para valores de menores que . Assim podemos reescrever a função como:
Obtemos uma função por partes, em que é necessárioconstruir o gráfico das duas sentenças, dependendo do
- -31
Obtemos uma função por partes, em que é necessário construir o gráfico das duas sentenças, dependendo do
valor do domínio , por exemplo,x
,
,
,
 e
vamos construir o gráfico da função a partir desses pontos:
Figura 22 - Gráfico de uma função afim em módulo.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
As funções afim em módulo possuem um ponto crítico, ou seja, um ponto onde ela muda o sentido de
crescimento ou decrescimento, essa é a principal característica do gráfico dessa função.
4.4.3 Gráfico de uma função quadrática em módulo
Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola e sua construção depende da determinação de
seus zeros e de sua concavidade. Quando essa função é colocada em módulo, os intervalos negativos vão ser
transformados em positivos, então precisamos analisar qual o comportamento da função quadrática dada para
construir seu gráfico em módulo.
Considere a seguinte função quadrática em módulo . Para construir seu gráfico, primeiro vamos
calcular seus zeros, observe:
- -32
Finalizando, vamos utilizar :
Logo, os pontos de intersecção da função com o eixo são .
Agora, para calcular o vértice, vamos utilizar as fórmulas e 
, então o vértice da parábola é o ponto .
Figura 23 - Gráfico da função quadrática sem módulo.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Podemos perceber que no intervalo do a função quadrática é negativa, assim quando a colocamos em
módulo, as imagens desse intervalo terão o sinal oposto e o gráfico ficará refletido em relação ao eixo . Observe:
- -33
Figura 24 - Gráfico de uma função quadrática em módulo.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Para representar melhor o gráfico, podemos reescrever a função da seguinte maneira:
E assim, concluímos o estudo das funções polinomiais de uma variável real abordadas neste capítulo.
Síntese
Finalizamos o estudo deste capítulo, cujo objetivo foi compreender as características de uma função quadrática,
inequações e funções modulares. Esses conceitos são fundamentais para a formação da base de conhecimentos
matemáticos, sendo muito utilizados no dia a dia e necessários para a evolução acadêmica.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• identificar os coeficientes de uma função quadrática;
• determinar os zeros da função quadrática e conhecer seu significado gráfico;
• identificar a função quadrática em sua forma canônica;
• deduzir as fórmulas para calcular as coordenadas do vértice de uma parábola;
• determinar as características de uma parábola dependo do número de zeros e da posição da 
concavidade;
• construir o gráfico de uma função quadrática e fazer o estudo do sinal;
• explorar situações concretas que utilizam funções quadráticas;
•
•
•
•
•
•
•
- -34
• construir o gráfico de uma função quadrática e fazer o estudo do sinal;
• explorar situações concretas que utilizam funções quadráticas;
• resolver inequações do segundo grau do tipo produto e quociente, além de problemas que as envolvem;
• compreender a definição de módulo de um número e suas propriedades;
• analisar o comportamento do gráfico de funções afim e quadráticas em módulo.
Bibliografia
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SOARES, G. A. . Direção: Portal da MatemáticaAula 44 – Função Quadrática: Resolução de Exercícios – Parte 3
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>. Acesso em: 11/09/2018./watch?v=syRjulrVYis
UM LIVRO ABERTO. os parâmetros da forma canônica e o gráfico da função quadrática. EnsinoExplorando:
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https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
http://bd.centro.iff.edu.br/bitstream/123456789/211/3/Documento.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=resethttps://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
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https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/673-4.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11877/1/2015_dis_jssarmento.pdf
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/11877/1/2015_dis_jssarmento.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=syRjulrVYis
https://www.youtube.com/watch?v=syRjulrVYis
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UM LIVRO ABERTO. os parâmetros da forma canônica e o gráfico da função quadrática. EnsinoExplorando:
Médio, Capítulo 6 Funções Quadráticas. 2018. Disponível em: <https://www.umlivroaberto.org/BookCloud
>. Acesso em: 4/09/2018./Volume_1/master/view/AF209-A.html
WEIR, M. D., HASS, J.; GIORDANO, F. R. , Vol. 1. Tradução: Thelma Guimarães e Leila Maria VasconcellosCálculo
Figueiredo. São Paulo: Addison Wesley, 2009. Disponível na Biblioteca Virtual Laureate: <https://laureatebrasil.
blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?
>. Acesso em: 8/09/2018.course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://www.umlivroaberto.org/BookCloud/Volume_1/master/view/AF209-A.html
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https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
https://laureatebrasil.blackboard.com/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_198689_1&content_id=_4122211_1&mode=reset
	Introdução
	3.1 Função quadrática
	3.1.1 Coeficientes de uma função quadrática
	3.1.2 Forma canônica
	3.1.3 Zeros de uma função quadrática
	3.2 Estudo do comportamento de uma função do quadrática
	3.2.1 Gráfico de uma função quadrática
	3.2.2 Estudo do sinal por meio do gráfico da função
	3.2.3 Situações que envolvem funções quadráticas
	3.3 Inequações do 2º grau
	3.3.1 Inequação produto
	3.3.2 Inequação quociente
	3.3.3 Situações-problemas que envolvem inequações
	4.4 Funções modulares
	4.4.1 Definição de módulo ou valor absoluto de um número
	4.4.2 Gráfico de uma função afim em módulo
	4.4.3 Gráfico de uma função quadrática em módulo
	Síntese
	Bibliografia