Cálculo Diferencial e Integral de Funções de uma Variável - Unidade I

Prévia do material em texto

Autoras: Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
 Profa. Valéria de Carvalho
Colaboradores: Profa. Mirtes Mariano
 Prof. Daniel Scodeler Raimundo
 Profa. Thaís Cavalheri dos Santos
 Profa. Sabrina Martins Boto
Cálculo Diferencial e Integral 
de Funções de uma Variável
2
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Professoras conteudistas: Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa / 
Valéria de Carvalho
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa, graduada em Matemática pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre 
em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica (PUC – SP), leciona no Ensino Superior desde 1981.
Professora do curso de Pós-Graduação lato sensu em Educação Matemática das Faculdades Oswaldo Cruz e 
professora da Universidade Paulista – UNIP na modalidade presencial e na modalidade EaD – Educação a Distância.
Coautora dos livros:
• Geometria analítica para computação, Editora LTC.
• Álgebra linear para computação, Editora LTC.
• Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, administração e economia, Editora Ícone.
Valéria de Carvalho, especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação 
Científica), mestre e doutora em Educação Matemática pela Faculdade de Educação – Unicamp, é professora do Ensino 
Superior desde 1988.
Trabalha com temas envolvendo Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de Educação 
Continuada, envolvendo docentes de Matemática, no LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) e na 
Faculdade de Educação, ambos na Unicamp, sempre como professora colaboradora.
Possui publicações em anais de congressos fora do Brasil e capítulos de livros em nossa língua, pensando o 
trabalho docente, a educação matemática crítica e a sociedade.
Atualmente é professora da Universidade Paulista – UNIP e coordenadora do curso de Matemática na modalidade 
EaD – Ensino a Distância.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
E77c Espinosa, Isabel Cristina de Oliveira Navarro.
Cálculo Diferencial e Integral de Funções de uma Variável. / 
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa, Valéria de Carvalho. – São 
Paulo: Editora Sol, 2019.
248 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXV, n. 2-006/19, ISSN 1517-9230.
1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. 3. Funções de uma 
variável. I. Carvalho, Valéria de. II. Título.
CDU 517
U501.17 – 19
3
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Ana Luiza Fazzio
 Elaine Fares
 Carla Moro
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Sumário
Cálculo Diferencial e Integral de uma Variável
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................9
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................9
Unidade I
1 REPRESENTAÇÃO DE PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO E FUNÇÕES ........................ 11
1.1 Representação de par ordenado no plano cartesiano .......................................................... 11
1.1.1 Plano cartesiano ...................................................................................................................................... 12
1.1.2 Produto cartesiano ................................................................................................................................. 13
1.1.3 Relação ........................................................................................................................................................ 14
1.2 Função....................................................................................................................................................... 16
1.2.1 Elementos de uma função .................................................................................................................. 21
1.2.2 Operações com funções ....................................................................................................................... 23
1.2.3 Gráfico ......................................................................................................................................................... 26
1.2.4 Funções par e ímpar .............................................................................................................................. 30
1.2.5 Tipos de funções ...................................................................................................................................... 31
1.2.6 Função inversa ......................................................................................................................................... 32
1.2.7 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 33
1.3 Funções polinomiais ............................................................................................................................ 39
1.3.1 Função de 1° grau .................................................................................................................................. 39
1.3.2 Função constante ................................................................................................................................... 45
1.4 Função quadrática (ou de 2° grau) ............................................................................................... 46
1.4.1 Gráfico ......................................................................................................................................................... 47
1.4.2 Concavidade.............................................................................................................................................. 48
1.4.3 Sinais da função ...................................................................................................................................... 52
1.4.4 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 54
2 OUTRAS FUNÇÕES REAIS E LIMITES ........................................................................................................ 56
2.1 Outras funções reais ............................................................................................................................56
2.1.1 Função exponencial ............................................................................................................................... 56
2.1.2 Função logarítmica ................................................................................................................................ 59
2.1.3 Função modular ...................................................................................................................................... 61
2.1.4 Funções trigonométricas ..................................................................................................................... 64
2.1.5 Assíntotas ................................................................................................................................................... 67
2.1.6 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 73
2.2 Limite ......................................................................................................................................................... 76
2.2.1 Uma visão intuitiva ................................................................................................................................ 76
2.2.2 Ampliando seu leque de exemplos .................................................................................................. 98
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade II
3 DERIVADAS ......................................................................................................................................................108
3.1 Notações de derivada .......................................................................................................................110
3.2 Regras de derivação ..........................................................................................................................115
3.3 Derivadas de ordem superior.........................................................................................................121
3.4 Alguns teoremas .................................................................................................................................125
3.5 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................129
4 APLICAÇÕES ....................................................................................................................................................132
4.1 Variação aproximada – diferencial ..............................................................................................132
4.2 Sinais da 1ª derivada – crescimento da função .....................................................................134
4.3 Concavidade da função – sinais da 2ª derivada ....................................................................137
4.4 Construção de gráficos ....................................................................................................................139
4.4.1 Assíntota horizontal ........................................................................................................................... 142
4.5 Regras de L’Hospital ..........................................................................................................................144
4.6 Logaritmo e exponencial .................................................................................................................146
4.7 Derivadas ...............................................................................................................................................152
4.8 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................159
Unidade III
5 INTEGRAL – PRIMEIROS CONCEITOS .....................................................................................................170
5.1 Primitiva ou antiderivada ...............................................................................................................170
5.2 Integral indefinida .............................................................................................................................171
5.3 Integral imediata ................................................................................................................................172
5.4 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................180
6 MÉTODOS PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS E INTEGRAIS DE RIEMANN ...............................182
6.1 Métodos para o cálculo de integrais (não imediatas) .........................................................182
6.1.1 Integração por substituição ............................................................................................................ 182
6.1.2 Integração por partes ......................................................................................................................... 187
6.1.3 Integração de algumas funções trigonométricas ....................................................................191
6.1.4 Ampliando seu leque de exemplos ............................................................................................... 194
6.2 Integral de Riemann..........................................................................................................................197
6.3 Partição ...................................................................................................................................................198
6.4 Soma de Riemann ..............................................................................................................................199
6.5 Integral definida ou integral de Riemann ................................................................................199
6.6 Teorema Fundamental do Cálculo Integral (TFCI) .................................................................199
6.7 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................203
Unidade IV
7 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA ...................................................................................................213
7.1 Cálculo de áreas ..................................................................................................................................213
7.2 Comprimento de arco .......................................................................................................................219
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
7.3 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................221
8 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO ...........................................................................................................................223
8.1 Área de sólidos de revolução (rotação) .....................................................................................224
8.2 Volume de sólidos de revolução (rotação) ...............................................................................226
8.3 Ampliando seu leque de exemplos..............................................................................................230
9
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
APRESENTAÇÃO
Caros alunos,
O presente livro-texto tem como alvo o estudante das licenciaturas de Física e Química. Dessa maneira, 
os conteúdos foram selecionados de forma criteriosa, com o objetivo de apresentar ferramentas que 
efetivamente serão usadas durante o curso. 
Especificamente, neste livro-texto, serão estudados os aspectosiniciais do cálculo diferencial e 
integral de uma variável, servindo como base para o aprofundamento no estudo do cálculo diferencial 
e integral. 
As aplicações do cálculo passam por várias partes da Física, bem como da Química, Engenharia, 
Biologia, entre outras. Algumas aplicações serão encontradas nesta disciplina, facilitando o entendimento 
dos conceitos. São apresentadas situações-problema que se aproximam de fatos que despertam a 
atenção para o assunto a ser tratado, tornando o processo ensino-aprendizagem proveitoso. 
Atente-se para a dificuldade do cálculo diferencial e integral. Esta disciplina requer estudo intenso 
e grande dedicação. Dessa forma, é importante que aperfeiçoe os seus estudos com materiais didáticos 
complementares. 
A responsabilidade em estudar e compreender o cálculo diferencial e integral é de grande importância 
para o aprendizado em Física e Química. Assim, faz-se necessário estudá-lo a fundo, devendo ser muito 
bem fundamentados os teoremas e demais conceitos matemáticos.
Temos como objetivo principal preparar o nosso aluno para interpretar e agir nas mais diferentes 
situações envolvendo a Física e a Química.
Para se tornar um bom profissional de Ensino Fundamental, Médio ou mesmo Superior, que esteja sempre 
preocupado com o papel social na função que desempenha, é primordial que você, aluno, analise todos os 
dados fornecidos, imagine as hipóteses e aplique os conceitos matemáticos necessários a cada situação.
Para se tornar um professor de qualidade, você deverá ser capaz de trabalhar de forma integrada com 
professores da sua área e também de outras, contribuindo efetivamente com a proposta pedagógica 
da sua escola; ainda, é necessário que saiba reconhecer as dificuldades individuais do seu educando, 
sugerindo caminhos alternativos permitindo seu desenvolvimento e sucesso nos estudos.
INTRODUÇÃO
Os tópicos abordados na disciplina Cálculo Diferencial e Integral de Funções de uma Variável estão 
divididos em quatro unidades. 
Iniciaremos com a representação de par ordenado no plano cartesiano, discutindo plano 
cartesiano, produto cartesiano e relação. Ainda, apresentaremos os diversos tipos de funções como: 
10
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
par e ímpar, inversa polinomiais, quadrática, exponencial, logarítmica, modular, trigonométricas e 
assíntotas, juntamente com uma visão intuitiva da definição de limite; habilitando o aluno a iniciar 
seus estudos no cálculo.
Em seguida, são apresentados os conceitos de derivadas, abordando notações de derivada, regras 
de derivação, derivadas de ordem superior e alguns teoremas. Em adição, apresentaremos diversas 
aplicações, entre elas: variação aproximada, sinais de 1ª e 2ª derivadas, construção de gráficos, regras de 
L’Hospital, logaritmo e exponencial. 
Mostraremos os primeiros conceitos de integral, compreendendo antiderivada, integral 
indefinida e imediata. Em continuidade, elucidaremos os métodos para o cálculo de integrais e 
integrais de Riemann, e mais: partição, soma de Riemann, integral definida e Teorema Fundamental 
do Cálculo Integral (TFCI).
Finalizaremos com aplicações da integral definida traduzidas em cálculos de áreas e comprimento de 
arco e sólidos de revolução, compreendendo área e volume de sólidos de revolução.
Para o bom entendimento do conteúdo, este livro-texto apresenta exemplos resolvidos, testes, 
exemplos de aplicação e indicação de conteúdos complementares ao estudo do aluno.
11
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Unidade I
1 REPRESENTAÇÃO DE PAR ORDENADO NO PLANO CARTESIANO E FUNÇÕES
1.1 Representação de par ordenado no plano cartesiano
Muitas vezes, em nosso dia a dia, nos deparamos com situações que envolvem localização, por 
exemplo, você marca uma consulta com um médico e como é a primeira vez que vai ao consultório, a 
atendente lhe informa o endereço. Como você não sabe chegar até lá, vai procurar a localização num 
guia de ruas e encontra a seguinte indicação: 22 J6.
Qual o significado dessa informação?
O número 22 indica a página do guia e a letra J e o número 6 indicam a coluna e a linha para a 
localização da rua.
No jogo batalha naval, também utilizamos o plano cartesiano para localizar e destruir os navios do 
adversário, para isso, são indicadas as coordenadas linha e coluna.
Veja o exemplo a seguir:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a a
b b
c c
d d
e e
f f
g g
h h
i i
j j
L L
m m
n n
o o
p p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Figura 1
12
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
Nesse exemplo, se você escolher a2 conseguirá afundar o navio adversário que está na linha “a” 
coluna “2”. Porém, se escolher d3 será água, isto é, não conseguirá acertar o adversário.
A ideia de termos uma forma de localizar pontos num plano é utilizada desde a Antiguidade. Nós 
utilizamos, atualmente, o sistema cartesiano que estudaremos a seguir.
1.1.1 Plano cartesiano
O sistema cartesiano é baseado no sistema criado pelo matemático e filósofo francês René Descartes, 
cujo pseudônimo era Cartesius, daí o nome plano cartesiano.
O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares (formam ângulo de 90º) e o ponto de 
encontro delas é denominado origem. Cada eixo representa um dos conjuntos do produto cartesiano, o 
eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas e o eixo vertical (y) é o eixo das coordenadas.
Como você pode ver, os eixos coordenados dividem o plano em 4 quadrantes, conforme a figura a 
seguir. O eixo x será positivo no 1º e no 4º quadrantes, e negativo no 2º e 3º quadrantes, o eixo y será 
positivo no 1º e no 2º quadrantes, e negativo no 3º e 4º quadrantes:
y
2º Q
1º Q
4º Q3º Q
(ordenadas)
(abscissas)
x
Figura 2
Um par ordenado pode ser representado geometricamente como um ponto em um plano cartesiano.
Assim, para representarmos o par ordenado (2, 3) no plano cartesiano, devemos marcar 2 no eixo x 
e 3 no eixo y.
 Lembrete
As retas auxiliares utilizadas para localizar o ponto A devem ser paralelas 
aos eixos.
13
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
y
3 A (2,3)
2 x
Figura 3
Exemplo:
Represente os pontos A (1, 3), B (3, 1), C (–1, –3), D (0, 2), E (–2, 4) e F (2, –2):
y
A (1,3)
x
D (0,2)
B (3,1)
4
3
2
-1 1 2 3-2
1
-2
-3
E (-2,4)
F (2,-2)
(-1,-3) C
Figura 4
1.1.2 Produto cartesiano
Consideremos dois conjuntos A e B não vazios. Chamamos de produto cartesiano de A e B ao 
conjunto formado por todos os pares ordenados, com 1º elemento de A e 2º elemento de B.
Produto cartesiano de A e B:
A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo:
Se A = {0, 2} e B = {0, 2, 3} calculando A x B e B x A, temos:
A x B = {(0, 0), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2, 2), (2, 3)}
14
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
B x A = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 0), (3, 2)}
Representando geometricamente, temos:
(2,3)
(2,2)
y (B)
(0,3)
(0,2)
(2,0)(0,0) x (A)
A x B B x A
y (A)
(3,2)(0,2)
(0,0) (2,0) (3,0) x (B)
(2,2)
Figura 5
Notemos que, como os pares são ordenados, o par (0, 2) é diferente do par (2, 0) e representam 
pontos diferentes no plano.
O número de elementos do produto cartesiano A x B, sendo A e B finitos, é dado pela multiplicaçãodo número de elementos de A pelo número de elementos de B.
Assim, n(A x B) = n(A) . n(B)
Exemplo:
Sendo A = {–1, 0, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos:
• Número de elementos de A é n(A) = 4.
• Número de elementos de B é n(B) = 6.
Logo, o número de elementos de A x B é n(A x B) = 4 x 6 = 24.
1.1.3 Relação
Em vários momentos, trabalhamos com conjuntos de pares ordenados. Por exemplo, quando 
estudamos o movimento de um carro em uma estrada, podemos construir uma tabela com a posição 
do carro (S) e o tempo (t):
t ( s) 0 1 2 3 4 5 6
S ( m ) 0 10 20 30 40 50 60
15
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Temos uma relação entre tempo (t) e distância (S) dada pelos pares ordenados:
{(0, 0), (1, 10), (2, 20), (3, 30), (4, 40), (5, 50), (6, 60)}.
Observando o que ocorre com os valores da tabela, podemos escrever uma expressão para encontrar 
a posição do carro em um dado tempo S = 10 t.
Definimos relação binária de A em B como todo subconjunto de A x B.
R é uma relação de A em B ⇔ R ⊂ A x B
Exemplo:
Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 4}.
Determine o produto cartesiano A x B e a relação R dada pelos pares ordenados (x, y), tais que y = 2x
Temos:
A x B = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 1), 
(3, 2), (3, 4)}
Como a relação é dada por y = 2x, temos:
x y (x, y)
0 2 . 0 = 0 (0, 0)
1 2 . 1 = 2 (1, 2)
2 2 . 2 = 4 (2, 4)
3 2 . 3 = 6 (3, 6)
Assim, a relação é dada pelo conjunto R = {(0, 0), (1, 2), (2, 4)}.
Podemos também representar a relação por meio de um diagrama ou no plano cartesiano.
Observando o nosso exemplo, temos:
16
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
a) Representação por diagramas:
1
2
3
A B
0
1
2
4
0
Figura 6
Cada par ordenado é representado por uma flecha do 1° elemento do par para o 2° elemento do par.
b) Representação no plano cartesiano:
y (B)
4
(2,4)
2 x (A)
(1,2)
2
31(0,0)
Figura 7
1.2 Função
Uma locadora de automóveis está com uma promoção para essa semana: “alugue um carro pagando 
R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por Km rodado”.
Você precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo 
aluguel, aproveitando a promoção.
Como saber esse valor, se ele depende dos quilômetros rodados?
Veremos, a seguir, um conceito que permitirá que você responda a questão acima.
17
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Função é uma relação f de A em B, indica-se f: A → B, que obedece às seguintes regras:
• Não há elemento em A sem representante em B.
• Qualquer elemento de A tem um único correspondente em B.
Note que no 2° conjunto podemos ter elementos sem correspondente e também elementos com 
mais de um correspondente.
A seguir, temos algumas situações para verificar se são funções ou não, isto é, se satisfazem as duas 
condições da definição.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}; B = {0, 1} e a relação f de A em B dada pelo diagrama, 
verifiquemos se f é uma função:
Nesse exemplo, notamos que a relação f é uma função, pois obedece às duas regras dadas.
1
2
3
A B
1
0
f
Figura 8
2) Sejam A = {0, 1, 2, 3}; B = {0, 2, 4} e consideremos a relação f de A em B dada pelo diagrama a 
seguir, verifiquemos se f é uma função:
18
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
1
2
3
A B
0
2
4
0
f
Figura 9
Note que a relação f não é uma função, pois não satisfaz a primeira regra, o elemento x = 3 do 
conjunto A não tem correspondente no conjunto B.
3) Sejam A = {0, 1}; B = {–1, 0, 1} e a relação f de A em B dada pelo diagrama, verifiquemos se f é 
uma função:
1
A B
0
-1
1
0
f
Figura 10
A relação f não é uma função, pois não satisfaz a 2ª segunda regra, o elemento x = 1 do conjunto 
A tem 2 correspondentes em B.
Chamamos de lei de uma função f de A em B a sentença aberta y = f(x) que relaciona os elementos de A e B.
 Observação
Nem sempre é prático escrever a lei de uma função, nesses casos 
usaremos os pares ordenados.
19
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Exemplos:
1) Sejam A = {–1, 0, 1, 2, 3}; B = {–3, 0, 3, 6, 9} e f a função de A em B dada pelo conjunto 
R = {(–1, –3), (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)}, determinemos a lei da função f: A → B:
Notemos que o 2° número de cada par é o triplo do 1° número, assim, podemos escrever a lei de f, 
então:
y = 3x ou ƒ(x) = 3x
2) Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e f a função de A em B dada pelo diagrama abaixo, 
determinemos a lei da função f: A → B:
1
2
3
A B
0
2
4
f
4
5
3
5
1
6
Figura 11
Comparando os valores dos pares ordenados, notamos que cada elemento de B é o elemento de A 
mais 1, assim, podemos escrever a lei de f:
y=x+1 ou ƒ(x) = x+1
3) Sejam A = {1, 2, 3, 4}; B = {0, 5, 6, 10} e f a função de A em B dada pelo diagrama a seguir, 
determinemos a lei da função f: A → B:
20
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
1
2
3
A B
0
f
4
5
10
6
Figura 12
Comparando os pares ordenados, não encontramos facilmente uma relação entre os valores, nesse 
caso, não escrevemos a lei da função f.
Vamos retornar ao problema do aluguel do carro.
4) Uma locadora de automóveis está com uma promoção para essa semana:
“alugue um carro pagando R$ 50,00 por dia mais R$ 1,00 por quilômetro rodado”.
Você precisa alugar um carro para uma pequena viagem e quer saber quanto pagaria por dia pelo 
aluguel, aproveitando a promoção.
Como saber esse valor, se ele depende dos quilômetros rodados?
Notemos que o valor a ser pago depende do km rodado, isto é, “está em função do km rodado”. 
Temos, então, uma função e queremos estabelecer uma lei para ela, se for possível.
Pensemos inicialmente em alguns casos particulares:
• Andar 10 km – valor do aluguel 50 (fixo) + 1. (10) = 50 + 10 = 60 reais.
• Andar 20 km – valor do aluguel 50 (fixo) + 1. (20) = 50 + 20 = 70 reais.
• Andar 40 km – valor do aluguel 50 (fixo) + 1. (40) = 50 + 40 = 90 reais.
Observando os cálculos que foram feitos, notamos que uma parte é fixa e a outra é o produto de 1 
pelos km rodados, podemos, então, representar a quantidade de km rodados pela variável x.
Assim, teremos que a expressão V(x) = 50 + 1x indica, para nós, o valor em função de x, isto é, você 
muda o valor de x e, fazendo os cálculos, determina o valor do aluguel.
21
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Por exemplo, se sua viagem for de 90 km, você deverá pagar por um dia de aluguel: 
V(90) = 50 + 1. 90 = 140 reais.
1.2.1 Elementos de uma função
Se f: A → B é uma função, chamamos o conjunto A de domínio de f e o conjunto B de contra 
domínio de f.
Indicamos o domínio de f por Dom f = D (f) = A e o contradomínio CD(f) = B.
Ao conjunto formado pelos elementos de B, que são correspondentes de algum elemento de A, 
chamamos de imagem de f e escrevemosIm (f).
Exemplos:
1) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama abaixo:
1
2
3
A B
0
f
4
5
10
6
8
Figura 13
Observando o diagrama, notamos que:
D(f) = {1, 2, 3, 4} = A
CD (f) = {0, 5, 6, 8, 10} = B
Im (f) = {0, 5, 6, 8}
Nem todos os elementos de B são correspondentes de algum elemento de A, por exemplo, 10 está 
no contradomínio, mas não está na imagem de f.
22
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
 Observação
Mesmo sobrando um elemento no conjunto B, temos uma função e, 
nesse caso, temos CD (f) ≠ Im (f).
2) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir:
1
2
4
A B
2
f
6
12
10
5
Figura 14
Novamente observando os diagramas, notamos que:
D(f) = {1, 2, 4, 6} = A
CD (f) = {2, 5, 10, 12} = B
Im (f) = {12}
 Observação
Como no exemplo anterior, vemos que existem elementos em B que não 
estão no conjunto imagem e novamente temos CD (f) ≠ Im (f).
23
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
3) Consideremos a função f: A → B representada pelo diagrama a seguir:
A
3
6
9
12
B
3
f
Figura 15
Notamos que:
D(f) = {3, 6, 9, 12} = A
CD (f) = {3} = B
Im (f) = {3} = B
Nesse caso, não sobram elementos em B, isto é, Im (f) = B.
1.2.2 Operações com funções
Dadas as funções f e g, podemos fazer as seguintes operações:
adição (ƒ + g) (x) = ƒ(x) + g(x)
subtração (ƒ - g) (x) = ƒ(x) - g(x)
multiplicação (ƒ . g) (x) = ƒ(x) . g(x)
divisão (f/g) (x) =
 
ƒ(x)
g(x)
Produto por número real (k f)(x) = kƒ(x)
Veja a seguir uma representação da função f composta com g (fog)(x). Calculamos, inicialmente, a 
função g em x e depois calculamos f no resultado obtido:
24
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
g f
x y = g(x) z = ƒ(g(x))
ƒog
Figura 16
 Lembrete
Para que possamos calcular a função (fog), devemos ter a imagem de g 
igual ao domínio de f.
Observemos que o domínio das funções f + g, f – g, f. g é a intersecção dos domínios de f e g.
O domínio de f / g é a intersecção dos domínios de f e g, menos os pontos no qual g(x) = 0.
O domínio de k f é o mesmo de f.
O domínio de f o g é formado pelos pontos x do domínio de g, tais que g(x) está no domínio de f, isto 
é, D(fog) = {x ∈ D(g) | g(x) ∈ D(f)}.
Vejamos agora alguns exemplos, para que você entenda melhor como trabalhar com as funções e 
suas operações.
Exemplos:
1) Dadas as funções f(x) = –2x – 4 e g(x) = x + 5, determine as funções f + g,
f – g, f. g, f/g, 3f, fog e gof. A seguir, determine o domínio de cada uma delas:
Resolução:
Calculando as funções, temos:
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (–2x – 4) + (x + 5) = –x + 1
(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (–2x –4) – (x + 5) = – x – 4 – x – 5 = –3x – 9
(f . g) (x) = f(x) . g(x) = (–2x – 4) . (x + 5) = –2x2 – 14x – 20
25
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
(f / g) (x) =
f x
g x
x
x
( )
( )

 

2 4
5
(3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (–2x – 4) = –6x – 12
(fog) (x) = f(g(x)) = f(x + 5) = –2 (x + 5) – 4 = –2x – 14
(gof) (x) = g(f(x)) = g(–2x – 4) = (–2x – 4) + 5 = –2x + 1
Como o domínio das funções f e g é IR, temos:
D(f + g) = D(f – g) = D(f . g) = D(3 f)= D(f o g) = D(g o f) = IR
Para determinar o domínio da função (f / g), devemos observar os valores que anulam o denominador, 
isto é, resolver a equação x + 5 = 0 e excluir a solução do domínio.
Resolvendo a equação, encontramos x = –5, logo, o domínio da função será todos os reais menos x = –5.
Assim, D(f / g) = IR – {–5}, ou D(f / g) = {x | x ≠ –5}.
2) Dadas as funções f(x) = 3x – 2 e g x x( )  1, determine as funções f + g,
f – g, f . g, f/g, 3f, fog e gof. A seguir, determine o domínio de cada uma delas:
Resolução:
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (3x – 2) + x +1
(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (3x – 2) – x +1
(f. g) (x) = f(x) . g(x) = (3x – 2). x +1
f / g (x) =
f x
g x
x
x
( )
( )



3 2
1
(3 f) (x) = 3 f(x) = 3 (3x – 2) = 9x – 6
(fog) (x) = f(g(x)) = f( x +1 ) = 3 x +1 – 2
(gof) (x) = g(f(x)) = g(3 x – 2) = ( )3 2 1 3 1x x� � � �
O domínio da função f é IR e o domínio da função g é D(g) = {x | x ≥ –1}, pois a função tem uma 
raiz quadrada e devemos ter a expressão x + 1 ≥ 0, isto é, x ≥ –1.
26
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
Assim, pelas expressões das funções f + g, f – g, f . g e fog, todas têm o mesmo domínio de g, isto é:
D(f+g) = D(f – g) = D(f. g) = D(fog) = {x | x ≥ –1}.
A função (3f) tem o mesmo domínio de f, isto é, D(3f) = IR.
A função gof tem em sua expressão a raiz quadrada de 3x – 1, assim, para determinar o seu domínio, 
devemos ter a expressão 3x – 1 ≥ 0, daí 3x ≥ 1, logo, D(g o f) = {x | x ≥ 1/3}.
A função (f / g) tem em seu denominador a raiz quadrada de x – 1, assim, a expressão x – 1 > 0, logo, 
D(f / g) = {x | x > –1}. Note que o valor x = –1 não está no domínio de f / g, pois zera o denominador.
1.2.3 Gráfico
Muitas vezes, encontramos em livros, jornais e revistas gráficos representando alguma situação. Veja 
os exemplos a seguir:
O PIB (Produto Interno Bruto) do Brasil mede o crescimento econômico do país e é calculado a partir 
da soma de todos os bens e serviços produzidos em um dado período. No Brasil, desde 1990, o IBGE 
(Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) é o único responsável pelo cálculo desse índice.
A carga tributária é formada por impostos diretos – que incidem sobre a renda e o patrimônio – e 
por impostos indiretos – que incidem sobre o consumo.
O gráfico a seguir mostra a relação entre a carga tributária anual no Brasil e o nosso PIB:
37,00
29,60
22,20
14,80
7,40
0,00
19
39
19
52
19
58
19
64
19
70
19
76
19
82
19
88
19
94
20
00
20
07
% do PIB
Figura 17 - Gráfico 1: carga tributária anual – Brasil
Fonte: www.ibge.com.br
27
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Esse gráfico mostra a carga tributária no Brasil, indicando anualmente o percentual do PIB que ela 
representa, no período de 1939 a 2007.
A seguir, temos outro gráfico que também mostra como utilizar a representação gráfica para 
representar uma situação de forma simplificada:
13,00
10,40
7,80
5,20
2,60
0,00
1999 2000 2001 2003 2004 2005
Abrangência: Estados 
Unidade territorial: São Paulo 
Categorias: médio 
Unidade: percentual
Figura 18 - Gráfico 2: taxa de abandono escolar no Ensino Médio
Fonte: www.ibge.com.br
Nesse gráfico, temos dados sobre as taxas de abandono escolar nas turmas do Ensino Médio do 
estado se São Paulo, entre os anos de 1999 e 2005.
Observando o gráfico, é possível tirar várias informações, por exemplo, a taxa de abandono escolar em 
um determinado ano, ou se a taxa de abandono escolar diminuiu ou aumentou em determinado período.
Note que é uma forma prática de mostrar o que se quer, mesmo que não se saiba a expressão 
matemática relacionada ao gráfico. De forma simples, representamos o que queremos.
Vejamos, então, o que é e como construir o gráfico de uma função.
Ao conjunto dos pares ordenados que representam a função no plano cartesiano, chamamosde 
gráfico de f, isto é, a figura desenhada no plano cartesiano.
Exemplos:
1) Consideremos a função f de A em B, definida pela lei f(x) = x + 3, com
A = {–3, –2, –1, 0} e B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Construir o gráfico de f:
28
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
Resolução:
Para construir o gráfico da função, vamos determinar a imagem dos pontos do domínio montando 
a tabela de valores de x e y = f(x):
x y (x,y)
-3 -3 + 3 = 0 (-3,0)
-2 -2 + 3 = 1 (-2,1)
-1 -1 + 3 = 2 (-1,2)
0 -0 + 3 = 3 (0,3)
Colocando esses pares ordenados no plano cartesiano, temos:
y (B)
x (A)-3 -2 -1 0
1
2
3
Figura 19
 Lembrete
O domínio de f é um conjunto com 4 elementos, assim o gráfico de f 
será formado por 4 pontos isolados, não podemos unir os pontos.
Geralmente, trabalhamos com funções com domínio real e contradomínio real, então os seus gráficos 
serão linhas unindo os pontos do plano cartesiano.
Vejamos no próximo exemplo:
2) Seja f: IR → IR, dada pela expressão f(x) = 2 x, construir o gráfico de f:
Como o domínio de f é IR (infinitos valores), para encontrar o gráfico de f devemos montar uma 
tabela com alguns valores do domínio. Assim, escolhendo alguns valores de x para a nossa tabela, temos:
x y = ƒ(x) = 2 x (x,y)
-1 2 . (-1) = -2 (-1,-2)
0 2 . (0) = 0 (0,0)
29
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
1 2 . (1) = 2 (1,2)
2 2 . 2 = 4 (2,4)
Representando no plano cartesiano e unindo os pontos, temos:
y
0 1 2-1
1
2
4
-1
-2
Figura 20
 Lembrete
O domínio de f é o conjunto dos reais, assim, no gráfico de f serão 
formados infinitos pontos.
Nesse caso, devemos unir os pontos do gráfico da função, que é uma reta.
3) Construir o gráfico da função y = x2, sendo seu domínio e seu contradomínio o conjunto dos reais.
Inicialmente, montemos uma tabela com alguns valores de x:
x y = x2 (x,y)
-2 (-2)2 = 4 (-2,4)
-1 (-1)2 = 1 (-1,1)
0 02 = 0 (0,0)
1 12 = 1 (1,1)
2 22 = 4 (2,4)
Substituindo os pontos no plano cartesiano e unindo os pontos, temos o gráfico da função f(x) = x2:
30
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
y
-2 -1 1 2
1
2
x
3 4 5
-1
3
4
y=x^2
Figura 21
 Lembrete
Novamente, unimos os pontos, pois o domínio da função é real.
Da mesma forma que podemos, por meio da lei da função ou de uma tabela de pontos, montar o 
gráfico, é possivel fazer o contrário também, isto é, dado um gráfico, montar uma tabela com os pontos 
da função.
1.2.4 Funções par e ímpar
Definimos como função par toda função, tal que f(–x) = f(x) para qualquer x do seu domínio. E 
função ímpar toda função, tal que f(–x) = –f(x), para qualquer x de seu domínio.
Uma função par tem seu gráfico simétrico em relação ao eixo y e uma função ímpar tem seu gráfico 
simétrico em relação à origem.
Exemplos:
Considere as funções a seguir e decida se são par ou ímpar:
a) f(x) = x2
Para saber se a função é par ou não, devemos calcular f(–x) e comparar com f(x).
Assim:
f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x), temos que f(x) = x2 é uma função par.
31
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
b) f(x) = x3
f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x), temos que f(x) = x3 é uma função ímpar.
c) f(x) = x3 + 1
f(–x) = (–x)3 + 1 = –x3 + 1, então a função f(x) = x3 + 1 não é par e não é ímpar.
1.2.5 Tipos de funções
• Função sobrejetora
f: A → B é sobrejetora, se e somente se Imf = CD f:
f sobrejetora ⇔ Imf = CD f
• Função injetora
f: A → B é injetora, se e somente se valores diferentes do domínio têm imagem diferentes:
f injetora ⇔ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
• Função bijetora
f: A → B é bijetora, se e somente se f é sobrejetora e injetora:
f bijetora ⇔ f é sobrejetora e injetora
Exemplos:
Determinar o tipo das funções a seguir:
a) f: IR → IR, f(x) = x + 3
A função tem domínio e contradomínio reais, como a imagem de f também é real, temos que 
f(x) = x + 3 é função sobrejetora.
Para determinarmos se f é injetora, consideremos a e b dois valores quaisquer do domínio, com 
a ≠ b, daí:
f(a) = a + 3 e f(b) = b + 3, mas logo f(a) ≠ f(b).
Então, f é injetora e, portanto, é bijetora.
32
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
b) f: IR → IR, f(x) = x2
Não é sobrejetora, pois Imf = { x | x > 0} = IR+ e CD f = IR, isto é, Imf ≠ CD f.
Não é injetora, pois para a = 1 e b = –1 são dois valores diferentes do domínio, temos:
f(a) = f(1) = 12 = 1 e f(b) = f(–1) = (–1)2 = 1, isto é, f(a) = f(b).
 Observação
Nossa função, então, não é injetora e não é sobrejetora.
 Lembrete
Notemos, no entanto, que se o contradomínio da função for alterado 
de forma conveniente, podemos transformar nossa função em uma função 
sobrejetora, basta definir a função de IR em IR+.
1.2.6 Função inversa
Seja f uma função bijetora de A em B, chamamos de inversa de f a função g bijetora de B em A, tal 
que fog (x) = x e gof (x) = x.
Notação: f –1(x) representa a inversa da função f.
Exemplos:
Determinar a inversa das funções:
 Observação
Para determinar a inversa de uma função, você deve isolar o valor de x 
e depois trocar as posições das letras x e y, a nova expressão será a função 
inversa.
a) f: IR → IR, definida por f(x) = 2x – 5 ou y = 2x – 5, função bijetora.
Isolando o valor de x, temos:
2 x = y + 5  

 x 
y 5
2
33
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Trocando x e y de posição, temos: y 
x 5
2


Logo, f (x) 
x 5
2
-1


 é a inversa de f e f –1: IR → IR.
b) f: IR+ → IR+, definida por f(x) = x
2 ou y = x2
A função é bijetora.
Isolando o valor de x, temos:
x2 = y   x y
Trocando x e y de posição, temos: y x=
Logo, f (x) x-1 = é a inversa de f e f –1: IR+ → IR+
A seguir, você encontrará alguns exemplos para que possa perceber melhor as várias possibilidades 
apresentadas na teoria.
 Lembrete
Estude atentamente os exemplos apresentados e, a seguir, tente refazê-los.
1.2.7 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determinar o conjunto que representa os elementos do produto cartesiano A x B, sendo 
A = {–1, 0, 1} e B = {1, 2}
Resolução:
Lembrando que o produto cartesiano é formado pelos pares ordenados, no qual o primeiro elemento 
é do conjunto A e o segundo é do conjunto B, teremos:
A x B = {(–1, 1), (–1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}.
2) Determinar o domínio da função f(x) = 5
3 9
x
x −
Resolução:
Encontrar o domínio da função é indicar os valores que podem ser substituídos no lugar de x.
34
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
A nossa função possui uma fração e tem x tanto no numerador quanto no denominador. Observando 
o numerador, notamos que não há restrição, porém, o denominador deve ser diferente de zero.
3x – 9 ≠ 0 ⇒ 3 x ≠ 9 ⇒ x ≠ 3.
Assim, o conjunto domínio de f será dado por:
Df = { x ∈ IR / x ≠ 3} ou podemos também escrever Df = IR – { 3 }.
3) Sendo f(x) =
1
1
x
x






 , calcular o valor de f (½)
Resolução:
Para calcular o valor de f (½), devemossubstituir o valor x = ½ na expressão, teremos:
f( )12
1
2
1
2
1
2
1
1
2 1
3









  . 2 6 
Logo, f (½) = 6.
4) Sendo f(x) = –4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar a soma das funções, isto é, determinar o valor 
de (f + g) (x)
Resolução:
Sabemos que para determinar (f + g) (x), devemos somar os resultados de f e de g, então:
(f + g) (x) = –4x + 5 + x2 + 2x
Somando os termos correspondentes, ficamos com:
(f + g) (x) = x2 – 2x + 5
5) Sendo f(x) = –4x + 5 e g(x) = x2 + 2x, determinar o valor de (2f – g) (1)
Resolução:
Agora, queremos saber não só o valor de 2f – g mas também quanto ele vale quando x = 1.
Para determinar 2f – g, vamos inicialmente determinar 2f, depois encontrar a expressão para 2f – g 
e só então substituir o valor de x.
35
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Sabemos que para determinar (2f)(x), devemos multiplicar f(x) = –4x + 5 por 2, assim, ficamos com 
(2 f)(x) = 2. (–4x + 5) = – 8x + 10.
Temos:
(2 f – g)(x) = (2 f) (x) – g(x) = –8x + 10 – (x2 + 2x) = –x2 – 10x + 10.
Não acabamos o exercício, ainda falta encontrar o valor da função para x = 1. Substituindo x por 1, 
temos:
(2 f – g)(1) = – (1)2 – 10. 1 + 10 = –1 – 10 + 10 = –1.
 Observação
Poderíamos ter resolvido esse exercício, calculando o valor de (2f)(1) e 
o de g(1) e depois efetuando a conta (2f – g)(1). Refaça o exercício desta 
outra forma e compare o procedimento e o resultado.
6) Dadas as funções f(x) = 3x + 2 e g(x) = x2, determinar o valor de (f o g) (x)
Resolução:
Sabemos que a função composta (f o g) (x) é igual a f(g(x)), isto é, (f o g) (x) = f(g(x)), devemos 
substituir a expressão de g no lugar de x em f(x), assim, temos:
(f o g) (x) = f(g(x)) = f(x2) = 3 (x2) + 2 = 3x2 + 2.
7) Uma função é par se f(–x) = f(x), verifique qual das funções é par:
a) f(x) = x + 5
b) f(x) = x2
c) f(x) = x2 + 5x
Resolução:
Conforme a definição, devemos calcular f(–x) e comparar com f(x) para podermos decidir se a função 
é par ou ímpar.
a) Para a função f(x) = x + 5, temos:
f(–x) = (–x) + 5 = – x + 5 ≠ f(x), logo, a função não é par.
36
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
b) Para a função f(x) = x2, temos:
f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x), logo, a função é par.
c) Para a função f(x) = x2 + 5x, temos:
f(–x) = (–x)2 + 5 (–x) = x2 – 5x ≠ f(x), logo, a função não é par.
Assim, a única das funções que é par é f(x) = x2.
8) Sabendo que f(x – 1) = 2x, determine o valor de f(2)
Resolução:
Para determinar o valor de f(2), devemos descobrir qual o valor de x que torna x – 1 = 2. Resolvendo 
a equação, encontramos x = 3.
Calculando o valor de f(x – 1) quando x = 3, temos:
f (3 – 1) = 2. 3 = 6, logo, f(2) = 6.
 Lembrete
O mesmo procedimento se aplica a qualquer outro valor que você 
queira determinar, basta descobrir o valor de x e substituir na expressão.
9) Determinar a inversa da função f(x) = 5x + 1
Resolução:
Para determinar a inversa de uma função, devemos substituir f(x) por y e trocar as posições de x e y 
na lei que define a função, depois isolar o valor de y.
Assim:
f(x) = 5x + 1 ⇒ y = 5x + 1
Trocando as posições de x e y, vem:
x = 5y + 1
37
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Isolando y, encontramos:
x = 5y + 1 ⇒ – 5y = – x + 1 ⇒ x y y x y
x
y
x
        
 

  5 1 5 1
1
5 5
1
5
Logo, f –1 (x) = f x
x

 
1
5
1
5
( )
10) Sabendo que uma função é bijetora se for injetora e sobrejetora, verifique qual das funções a 
seguir é bijetora:
a) f: IR → IR, tal que f(x) = x2 + 2x.
b) f: IR → IR, tal que f(x) = x + 1.
c) f: IR → IR, tal que f(x) = 3.
d) f: IR → IR, tal que f(x) = sen(x).
Resolução:
Lembrando: uma função é injetora se valores diferentes de x vão a valores diferentes de y, e uma 
função é sobrejetora se o seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem.
Vamos utilizar o gráfico das funções para saber se são injetoras e sobrejetoras.
Esboçando o gráfico das funções, temos:
a) f : IR → IR, f(x) = x2 + 2x
y
-2 -1 1
1
2
x
-1
y=x^2-2x
-3
Figura 22
Observando o gráfico da função, notamos que quando x = 0 e quando x = –2, temos f(0) = f(–2) = 0, 
logo, a função não pode ser injetora e, portanto, não será bijetora.
38
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
 Observação
Esta função também não é sobrejetora, pois seu contradomínio é IR, 
mas sua imagem é formada pelos valores de y maiores que o y do vértice, 
yv = –1, logo, Im f = { y ∈IR / y ≥ –1}.
b) f : IR → IR, f(x) = x + 1
y
0 x–1
Figura 23
Observando o gráfico da função, notamos que a função é injetora e também sobrejetora, logo, será 
bijetora.
c) f : IR → IR, f(x) = 3
y
0 x–1–2 2
3
Figura 24
A função é constante, logo seu gráfico é paralelo ao eixo x, passando em y = 3. Essa função não é 
injetora, pois para todos os valores de x, temos a mesma imagem, y = 3.
Logo, a função não pode ser bijetora.
39
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
 Observação
Nesse caso, a função também não é sobrejetora, pois seu contradominio 
é IR mas sua imagem é Im(f) = {3}.
d) f : IR → IR, f(x) = sen x
y
x
–1–2 2
2
–3
–1
1 3 4 5 6 7
1
π/2
–π
2 3π/2
2ππ
y=sen(x)
Figura 25
Observando o gráfico da função seno, notamos que não é injetora, pois existem vários valores 
de x que têm a mesma imagem, por exemplo, para x = 0 e x = π, temos a mesma imagem, isto é, 
f(0) = f(π) = 0.
Logo, não é bijetora.
 Observação
Nesse caso, a função também não é sobrejetora, pois seu contradomínio 
é IR, mas sua imagem é o intervalo [–1, 1], isto é, Im(f) = [–1, 1].
1.3 Funções polinomiais
Estudaremos agora algumas funções polinomiais importantes.
1.3.1 Função de 1° grau
1.3.1.1 Função de 1° grau (ou função afim)
É toda função f: IR → IR, dada por:
f(x) = a x + b, com a ∈ IR, a ≠ 0 e b ∈ IR.
40
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
Os valores de a e b são chamados de coeficientes da função:
 a: coeficiente angular 
 b: coeficiente linear 
Quando b = 0, a função de 1° grau f(x) = ax é chamada função linear.
Quando b = 0 e a = 1, a função de 1° grau f(x) = x é chamada função identidade.
Exemplos:
Determinar se as funções a seguir são lineares ou afins, e identificar os coeficientes angular e linear:
1) A função f(x) = 4x + 5 é uma função afim:
a = 4, coefiente angular
b = 5, coeficiente linear
2) A função y = –3x é uma função linear:
a = –3, coeficiente angular
b = 0, coeficiente linear
3) A função y = – x – 3 é uma função afim:
a = –1, coeficiente angular
b = –3, coeficiente linear
1.3.1.2 Gráfico
O gráfico de uma função de 1° grau é sempre uma reta.
 Lembrete
Bastam 2 pontos para determinar uma reta, assim, você deve encontrar 
dois pontos da função, representar no plano cartesiano e unir os pontos.
41
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Exemplos:
1) Traçar o gráficodas funções lineares:
a) y = –2x
Você deve escolher pelo menos dois valores para x e calcular f(x), nesse caso, escolhemos x = 0 e x = 1:
x y = - 2x (x,y)
0 y = - 2 . 0 = 0 (0,0)
1 y = - 2 . 1 = -2 (1,-2)
y
10
-2
x
y = -2x
Figura 26
b) y = 3x
x y = 3x (x,y)
0 y = 3 . 0 = 0 (0,0)
1 y = 3 . 1 = 3 (1,3)
y
10
3
x
y = 3x
Figura 27
c) y = x
Nesse exemplo, vamos escolher outros valores para x, assim, você não vai concluir que só podemos 
colocar para x valores iguais a 0 e 1:
42
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
x y = x (x,y)
0 y = 0 = 0 (0,0)
1 y = 1 (1,1)
y
10 x
y = x
1
–1
Figura 28
 Observação
A reta que representa a função linear sempre passa na origem, isto é, 
no ponto (0, 0).
2) Traçar o gráfico das funções de 1° grau:
a) y = 2x + 4
Em vez de escolhermos dois valores quaisquer de x, vamos calcular os cortes da reta com os eixos, 
isto é:
x = 0 ⇒ y = 2. 0 + 4 = 4
y = 0 ⇒ 0 = 2x + 4 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2
Logo, a reta corta o eixo x em x = –2 e o eixo y em y = 4.
Graficamente, temos:
corte em y
corte em x
y = 2x + 4
x
y
-2 0 
4
Figura 29
43
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
b) y = –3x + 6
x = 0 ⇒ y = –3 . 0 + 6 = 6
y = 0 ⇒ 0 = 3 – x + 6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
Graficamente, temos:
corte em y
corte em x
y = 3x + 6
x
y
4
 2
Figura 30
1.3.1.3 Crescimento da função de 1° grau
O coeficiente angular da função de 1°grau indica se nossa função é crescente ou decrescente.
decrescente (a < 0) e crescente (a > 0)
Exemplos:
a) y = –4x + 5 é uma função decrescente, pois a = –4 < 0.
b) y = 3x – 6 é uma função crescente, pois a = 3 > 0.
c) y = 2x é uma função crescente, pois a = 2 > 0.
d) Graficamente, para verificar se uma função de 1º grau é crescente ou decrescente utilizando o seu 
gráfico, devemos observar a sua inclinação, assim:
44
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
y
x
y
x
decrescente
(inclinação à esquerda)
crescente
(inclinação à direita)
00
Figura 31
1.3.1.4 Sinais da função
Muitas vezes, queremos saber o intervalo no qual a função y = a x + b é positiva e no qual é negativa. 
Para isso, devemos determinar x0 raiz da equação ax + b = 0 e observar a inclinação da reta.
Temos:
+ -
X0 x
- +
X0 x
a < 0 - inclinação à 
esquerda; decrescente
a > 0 - inclinação à 
direita; crescente
Figura 32
Resumindo
X0 x
sinal contrário à a sinal de a
Figura 33
Exemplos:
Determinar os sinais das funções:
a) y = –4x + 12
Determinando a raiz da função, temos:
–4x+12=0 ⇒ x=3
45
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Como a = –4 < 0, a reta tem inclinação para a esquerda, assim:
ƒ(x) > 0 se x < 3
ƒ(x) < 0 se x > 3
ƒ(x) = 0 se x = 3
+ -
3 x
b) y = 3x – 15
Determinando a raiz da função, temos:
3x–15=0 ⇒ x=5
Como a = 3 > 0, a reta tem inclinação para a direita, assim:
ƒ(x) > 0 se x > 5
ƒ(x) < 0 se x < 5
ƒ(x) = 0 se x = 5
 
- +
5 x
1.3.2 Função constante
Toda função dada por f(x) = c, no qual c é uma constante, é chamada função constante. Seu gráfico 
será uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, c).
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x) = 2 (ou y = 2)
Vamos montar uma tabela com alguns valores de x, assim:
x y = 2 (x,y)
0 y = 2 (0,2)
1 y = 2 (1,2)
2 y = 2 (2,2)
3 y = 2 (3,2)
Quando colocados esses valores no sistema cartesiano, obtemos a reta paralela ao eixo x passando 
pelo ponto (0, 2):
46
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
y = 2
x
y
1 2 30
2
corte em y
Figura 34
b) f(x) = –3 (ou y = –3)
Notemos que não é necessária a construção da tabela de pontos, basta traçar uma reta paralela ao 
eixo x passando pelo ponto (0, –3):
x
y
0
-3
y = -3
Figura 35
 Saiba mais
Para ver uma aplicação de função do 1º grau em economia, assista ao 
vídeo:
<http://www.youtube.com/watch?v=NsOLoXAIo7g>.
1.4 Função quadrática (ou de 2° grau)
Se jogamos para o alto um objeto a partir do chão e observamos a sua trajetória, notamos que o 
objeto sobe até um determinado ponto e depois começa a cair até retornar ao chão. Representando a 
sua trajetória graficamente, temos:
47
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
S
t
Figura 36
O gráfico fornece várias informações sobre o movimento do objeto, por exemplo: a altura máxima 
atingida, tempo para retornar ao solo, o tempo necessário para atingir a altura máxima.
Esse gráfico, uma parábola, é o gráfico de uma função do 2º grau.
Vamos agora estudar as funções quadráticas, ou de 2º grau, isto é, uma função dada pela relação:
y = ax2 + bx + c, com a, b, c números reais e a ≠ 0
Exemplos:
a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 é uma função quadrática completa, com a = 3, b = 2 e c = 1.
b) y = –5x2 + 10x é uma função quadrática incompleta, pois tem a = –5, b = 10 e c = 0.
c) f(x) = 10x2 é uma função quadrática incompleta, pois tem a = 10, b = 0 e c = 0.
d) y = 2x2 – 6 é uma função quadrática incompleta, com a = 2, b = 0, c = –6.
1.4.1 Gráfico
O gráfico de uma função do 2° grau é sempre uma parábola que pode ser obtida por uma tabela de 
pontos ou por meio dos cortes nos eixos coordenados e de seu vértice.
Para determinarmos os cortes, devemos:
• No eixo x: ⇒ encontrar as raízes da equação de 2° grau correspondente.
• No eixo y: ⇒ determinar o valor de y, quando x = 0.
Para as coordenadas do vértice, usaremos a fórmula: x
b
 a
y
 av v




2 4. .
e

48
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
1.4.2 Concavidade
A parábola terá concavidade para cima ou para baixo, dependendo do sinal de a. Assim:
a > 0 ⇔ concavidade para cima
a < 0 ⇔ concavidade para baixo 
a > 0 a < 0
Figura 37
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções de 2°grau:
a) y = –x2 + 2x + 3
Inicialmente, vamos destacar os valores de a, b e c, assim:
a = –1 < 0 (concavidade para baixo), b = 2 e c = 3.
Utilizando a tabela de pontos, vamos determinar valores do gráfico de y, como é uma parábola, não 
bastam 2 pontos para a construção, serão necessários mais valores, assim, escolhemos 4 valores de x:
x y = –x2 + 2 . x + 3 (x, y)
–1 y = – (–1)2 + 2 . (–1) + 3 (–1, 0)
0 y = –(0)2 + 2 . 0 + 3 (0, 3)
1 y = –(1)2 + 2 . 1 + 3 (1, 4)
2 y = –(2)2 + 2 . 2 + 3 (2, 3)
49
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Colocando esses pontos nos eixos coordenados, temos:
y
1
x
-1
-1-2-3
2
4
(0,3)
1 2 3 4
(2,3)
(1,4)
(-1,0)
Figura 38
 Lembrete
Você pode escolher outros valores para x e também pode fazer a tabela 
com mais pontos e mais valores, melhor qualidade do gráfico.
b) y = x2 + 2x + 1
Agora, vamos esboçar o gráfico da função sem a utilização de tabela de pontos.
Inicialmente, devemos identificaros valores de a, b e c:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 2 e c = 1.
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 2 x + 1 = 0:



 
    

 

 
 
b ac
x
b
a
2
2
4
2 4 1 1 4 4 0
2
2 0
2 1
1
. .
. .
. .
Corta o eixo no ponto (–1, 0).
Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 2. 0 + 1 = 1.
50
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
Corta o eixo no ponto (0, 1).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av




 
2
2
2
1
.
 y
 av






4
0
4
0
.
V = (–1, 0).
Colocando todos os dados no sistema cartesiano, temos:
y
-2 -1 1
1
2
x
3
2-3
Figura 39
c) y = x2 – 4
Inicialmente, devemos identificar os valores de a, b e c:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 0 e c = –4
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 – 4 = 0:



 
   

 

 


 
b ac
x
b
a
2
2
4
0 4 1 4 16
2
0 16
2 1
4
2
2
. .
. .( )
. .
Corta o eixo nos pontos (–2, 0) e (2, 0).
Eixo y ⇒ para x = 0, temos y = 02 – 4 = –4.
Corta o eixo no ponto (0, –4).
51
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av


 
2
0
2
0
.
 y
 av




 

4
16
4
4
.
V = (0, –4).
Substituindo todos os pontos no plano cartesiano, temos:
y
-2 -1 1
1
2
x
2-3 3
-1
-2
-3
-4
Figura 40
d) y = x2 + 3x
Identificando os valores de a, b e c, temos:
a = 1 > 0 (concavidade para cima), b = 3 e c = 0
Calculemos agora os cortes nos eixos:
Eixo x: ⇒ devemos resolver a equação x2 + 3 x = 0:



 
  

 

 

 


 

b ac
x
b
a
x
2
2
1
4
3 4 1 0 9
2
3 9
2 1
3 3
2
3 3
2
0
. .
. .( )
. .
xx2
3 3
2
3
 
 







52
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
Corta o eixo nos pontos (0, 0) e (–3, 0).
Eixo y: ⇒ para x = 0, temos y = 02 + 3. 0 = 0.
Corta o eixo no ponto (0, 0).
Coordenadas do vértice ⇒ x
b
 av




 
2
3
2
1 5
.
.
 y av




 

4
9
4
2 25
.
.
V = (-1,5; -2,25).
y
-2 -1 1
1
x
-3
-1
-2
-1,5
-2,25
-4
Figura 41
 Saiba mais
Para saber mais sobre Baskara, acesse:
<http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/26KAMILA 
CELESTINO.pdf>.
1.4.3 Sinais da função
Queremos saber o intervalo no qual a função y = ax2 + bx + c é positiva e negativa.
Inicialmente, resolvemos a equação a x2 + b x + c = 0 e determinamos as suas raízes:
∆ < 0 ⇒ não existe raiz real
mesmo sinal de a
x
53
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
∆ > 0 ⇒ duas raízes reais
mesmo sinal de a contrário de a mesmo sinal de a
x1 x2
∆ = 0 ⇒ existe 1 raiz real
mesmo sinal de a mesmo sinal de a
x1
Exemplos:
Determinar o sinal das funções:
a) y = x2 – 2x + 1
A equação tem uma raiz real x 1 = 1, pois ∆=0.
Como a = 1 > 0, temos:
+ +
1
Logo, 
f x x
f x x
( )
( )
  
  



0 1
0 1
b) y = x2 – x – 2
A equação tem duas raizes reais x1 = –1 e x2= 2, pois ∆=9>0.
Como a = 1 > 0, temos:
 + — +
—1 2 x
Logo, 
f x x
f x x
f x
( )
( )
( )
   
    
   
0 2
0 1
0 1
 ou x -1
 ou x 2
 x 2





c) y = –x2 + 2 x – 2
A equação não tem raiz real, pois ∆= –4<0.
54
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
Como a = –1 < 0, temos:
— —
x
Logo, f(x) < 0 para todo x.
1.4.4 Ampliando seu leque de exemplos
1) Dada a função f(x) = 3x + 5, determine os zeros da função e seu crescimento:
Resolução:
Para determinar os zeros da função, devemos determinar o valor de x, tal que f(x) = 0.
Assim:
3x + 5 = 0 ⇒ 3x = –5 ⇒ x = –5/3. O zero da função será x = –5/3.
Segundo a teoria para verificar o crescimento da função, devemos ver o sinal de a, coeficiente de x, 
nesse caso, a = 3 > 0, logo, a função é crescente.
2) Seja f: IR → IR, tal que f(x) = –x 2 + mx + n, se o gráfico de f passa pelos pontos (0, 2) e (1, 3), 
determinar os valores de m e n:
Resolução:
Sabemos que se o gráfico da função passa por um ponto, podemos substituir os valores na expressão 
de f(x) e o resultado será verdadeiro, isto é:
Ponto (0, 2) significa que para x = 0, temos f(0) = 2.
Ponto (1, 3) significa que quando x = 1, temos f(1) = 3, substituindo esses valores na expressão de 
f(x), encontramos o sistema:
   
   







   
0
1
2
1 3
2
2
m
m
n
m n
 . 0 n 2
 . 1 n 3
 



Resolvendo o sistema, temos n = 2 e m = 2.
55
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
 Observação
A expressão –x2 indica que somente o valor de x será elevado ao 
quadrado, o sinal de menos permanece.
3) Considere a função y = x 2 – 8x + 15, determine o intervalo no qual y < 0:
Resolução:
Para determinar os sinais da função, devemos inicialmente encontrar os zeros de f, para isso, vamos 
igualar a expressão a zero.
Resolvendo a equação x 2 – 8x + 15 = 0, temos:
∆=b2 –4 . a . c = (–8)2 –4 . 1 . 15 = 64 – 60 = 4
Calculando as raízes:
x
b
a

 

  


2
8 2
2
8 2
2
( )
Teremos: x e x1 2
8 2
2
10
2
5
8 2
2
6
2
3

  

 
Vamos agora colocar esses valores na reta e estudar os sinais de f conforme o sinal de a. Nesse caso, 
a = 1 > 0:
 + — +
m/m a contrário de a m/m a
3 5
Figura 42
Assim, teremos y < 0 para valores de x entre as raízes (zeros da função), isto é, no intervalo aberto ]3, 5[.
 Lembrete
O intervalo deve ser aberto, pois nos pontos x = 3 e x = 5, temos y = 0.
56
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
2 OUTRAS FUNÇÕES REAIS E LIMITES
2.1 Outras funções reais
2.1.1 Função exponencial
Voce recebeu R$ 500,00 de bonificação e aplicou na poupança. O banco paga a taxa de juros de 0,5% 
ao mês. Como saber quanto voce terá daqui a alguns meses, se a taxa for mantida?
Quando aplicamos na poupança, temos que o capital acumulado (montante) é dado pela expressão 
M = C0 (1 + i)
n, juro composto, no qual M é o capital acumulado, C0 é o capital inicial (depósito inicial), 
i é a taxa de juros e n o período. No nosso exemplo, C0 = 500, i = 0,5% = 0,005 ao mês e n número de 
meses, assim, para saber o montante a cada mês, substituímos o valor de n e determinamos M.
Por exemplo, na tabela temos o montante para alguns meses:
t(mês) M = 500 . (1 + 0,005)n (t, M)
1 M = 500 . (1 + 0,005)1 (1, 502.5)
2 M = 500 . (1 + 0,005)2(2, 505.0)
3 M = 500 . (1 + 0,005)3 (3, 507.54)
4 M = 500 . (1 + 0,005)4 (4, 510.08)
A expressão M = C0 (1 + i)
n é uma exponencial, variável n está no expoente.
Estudaremos agora funções exponenciais, isto é, funções do tipo:
f(x) = c + b amx, (a > 0, a ≠ 1, b ≠ 0 e m ≠ 0)
Exemplos:
a) f(x) = 32x – 4
É uma função exponencial com base a = 3, b = 1, c = –4 e m = 2.
b) f(x) = –5x
É uma função exponencial com base a = 5, b = –1, c = 0 e m = 1.
c) f(x) = 4–2x + 2
É uma função exponencial com base a = 4, b = 1, c = 2 e m = –2.
57
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
2.1.1.1 Gráfico
Para fazer o gráfico da função exponencial, utilizaremos a tabela de pontos:
Exemplos:
Esboçar o gráfico das funções:
a) f(x) = 3x
Atribuindo valores para x e calculando 3x, temos:
x y = 3x (x,y)
-2 y = 3-2 = 1/9 (-2,1/9)
-1 y = 3-1 = 1/3 (-1,1/3)
0 y = 30 = 1 (0,1)
1 y = 31 = 3 (1,3)
2 y = 32 = 9 (2,9)
x
y
9
6
3
1 2-1-2
1
3
8
7
5
4
2
–1
-3-4-5
Figura 43
58
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
b) f x
x
( )  





1
3
Novamente, vamos esboçar o gráfico da função, atribuindo valores para x e calculando 
1
3






x
,assim:
x y = (1/3)x (x,y)
–2 y = (1/3)–2 (–2,9)
–1 y = (1/3)–1 (–1,3)
0 y = (1/3)0 (0,1)
1 y = (1/3)1 (1,1/3)
2 y = (1/3)2 (2,1/9)
x
y9
1 2-1-2-3-4 3 4
8
7
6
5
4
3
2
1
—1
–2
Figura 44
Comparando as duas funções, notamos que em relação à base da função exponencial, temos:
a > 1, função crescente
0 < a < 1, função decrescente
c) Retornando ao nosso exemplo, vamos construir o gráfico da função utilizando a tabela de 
pontos. Temos:
t(mês) M = 500 . (1 + 0,005)n (t, M)
1 M = 500 . (1 + 0,005)1 (1, 502.5 )
2 M = 500 . (1 + 0,005)2 (2, 505.0)
3 M = 500 . (1 + 0,005)3 (3, 507.54)
4 M = 500 . (1 + 0,005)4 (4, 510.08)
59
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Representando os pontos no plano cartesiano, temos o gráfico da função:
y
x3
510
1 4
507.5
505
502.5
500
2
Figura 45
 Lembrete
Esse gráfico só tem significado para valores no 1º quadrante, pois 
representa valores aplicados, o restante deve ser tracejado.
2.1.2 Função logarítmica
Voltando ao exemplo do item 5.1. Agora, você quer saber por quanto tempo deve deixar seu dinheiro 
aplicado para receber R$ 531,00.
Substituindo os valores na expressão, temos 531= 500 (1 + 0,005)n, e então
1,062 = 1,005 n, que para ser resolvida, utilizamos logaritmo.
Também encontramos logaritmos em várias áreas: na Física, na Química, na escala Richter, utilizada 
para medir a magnitude de um terremoto.
Uma função logarítmica é dada pela expressão:
f(x)=logax, com a > 0, a ≠ 1 e x > 0
As funções f(x)=logax e g(x) = a
x são inversas uma da outra.
Para fazer o gráfico da função logarítmica, utilizaremos a tabela de pontos.
Exemplos:
1) Esboçar o gráfico das funções:
60
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
a) f(x)=log3x
Atribuindo valores para x e calculando log3x, temos:
x ƒ(x) = log3x (x,y)
1
9
ƒ(x) = log3 1
9






(1/9,-2)
1
3
ƒ(x) = log3 1
3






(1/3,-1)
1 ƒ(x) = log31 (1,0)
3 ƒ(x) = log33 (3,1)
9 ƒ(x) = log39 (9,2)
Representando os pontos no plano cartesiano, temos:
y
9 x3
2
1
0 1
Figura 46
b) f(x)= log1/3x
Atribuindo valores para x e calculando log1/3x, temos:
x ƒ(x) = log1/3x (x,y)
1
9
ƒ(x) = log1/3 1
9






(1/9,2)
1
3
ƒ(x) = log1/3 1
3






(1/3,1)
1 ƒ(x) = log1/31 (1,0)
3 ƒ(x) = log1/33 (3,-1)
9 ƒ(x) = log1/39 (9,-2)
61
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Colocando os pontos no plano, temos:
y
x3
2
1
1 9
Figura 47
Comparando os dois gráficos, verificamos que:
a > 1 , função crescente
0 < a < 1, função decrescente
2) Retomando o exemplo inicial: “quanto tempo deve deixar seu dinheiro aplicado para receber 
R$ 531,00?”
Quando substituímos os valores na expressão, encontramos:
531 = 500 (1 + 0,005)n
1,062 = 1,005n
Aplicando o logaritmo nos dois lados da expressão, temos:
Ln 1,062 = Ln 1,005n, calculando o logaritmo vem 0,060 = 0,00498n, assim, chegamos a n = 12 
meses, que é a solução do nosso exemplo.
2.1.3 Função modular
Chamamos de função modular a função:
f(x) = | x |
Utilizando a definição de módulo, temos:
f x x
x
( ) | | 





 
 se x 0
-x se x 0
2.1.3.1 Gráfico
O gráfico da função modular será formado por duas semirretas que devem obedecer às 
condições anteriores.
62
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
Exemplos:
Construir o gráfico das funções:
a) y = | x |
Conforme a definição de modulo, temos y x
x
 





 
 se x 0
-x se x 0
| |
Devemos fazer o gráfico das duas funções (1) y = x, para x ≥ 0 e (2) y = –x, para x < 0.
Construindo a tabela de pontos para cada uma das funções, temos:
(1) y = x, para x ≥ 0
x y = x (x,y)
0 y = 0 (0,0)
1 y = 1 (1,1)
y
0 1 x
y = x
Figura 48
(2) y = - x, para x < 0
x y = -x (x,y)
-2 y = 2 (-2,2)
-1 y = 1 (-1,1)
y
x
y = -x
0-1-2
1
2
Figura 49
63
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Unindo as figuras, temos:
y
x
y = xy = -x
-1 0 1
Figura 50
b) y = | x | + 2
Conforme a definição de módulo, temos y x
x
  
 
 



 
 2 se x 
-x 2 se x 
| | 2
0
0
Devemos fazer o gráfico das duas funções:
(1) y = x + 2, para x ≥ 0
(2) y = –x + 2, para x < 0
Construindo a tabela de pontos para cada uma das funções, temos:
y = x + 2, para x ≥ 0
x y = x + 2 (x,y)
0 y = 2 (0,2)
1 y = 3 (1,3)
(2) y = –x + 2, para x < 0
x y = -x + 2 (x,y)
-2 y = 4 (-2,4)
-1 y = 3 (-1,3)
64
Re
vi
sã
o:
 C
ar
la
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
1/
06
/1
7
Unidade I
Construindo os dois gráficos no mesmo sistema:
y
x
y = -x+2
0-1-2 1
2
y = x+2
3
4
Figura 51
2.1.4 Funções trigonométricas
São funções periódicas, isto é, após um intervalo, seus valores se repetem.
Estudaremos algumas delas.
2.1.4.1 Função seno
Consideremos o ciclo trigonométrico de centro O e raio 1, definimos como função seno a função 
f: IR → IR dada por f(x) = sen x.
O valor de seno de x é a medida OM, conforme veremos na figura a seguir:
+
10
-
-
1
eixo dos senos
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
+
- -
M
10
-
-
1
eixo dos senos
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
senx
Figura 52
O sinal de sen x será positivo, se x estiver no 1° e no 2° quadrantes, e negativo no 3° e 4° quadrantes.
Para a função seno, temos:
D(f) = IR
Im (f) = {y ∈ R / –1< y <1}
período: