Capítulo 6 - Razão e Proporção -ALUNO

Prévia do material em texto

Profa. Juliane Ganem – Matemática Aplicada - Farmácia Página 1 
 
Aula 6 – RAZÃO E PROPORÇÃO 
Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na 
mesma unidade de medida. 
A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b. 
Obviamente b deve ser diferente de zero. 
• 32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 16 é igual a 2. 
 
Na razão temos: 
• a é chamado de antecedente 
• b tem o nome de consequente. 
 
PROPRIEDADES DE RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
�Propriedade Fundamental das Proporções, que nos garante que “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. Essa 
propriedade é comumente chamada de multiplicação cruzada. Vejamos: 
 
�A partir dessas propriedades das proporções, chegamos a duas importantes relações entre razões: 
 
Exemplos: 
Se
64
yx
= e 15== yx , calcule o valor de x e de y. 
 
Temos a seguinte proporção: 
 
Aplicando a propriedade destacada, temos: 
 
Mas nós temos a informação de que x + y = 15, substituindo x + y na proporção anterior, temos: 
 
 
Aplicando a Propriedade Fundamental das Proporções, temos que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, 
portanto: 
 
PROPORÇÃO nada mais é que a igualdade entre razões. 
 
Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas e na sala B, tenhamos seis 
meninos para cada oito meninas. 
Sala A: temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. 
 
Sala B: então a razão é 6 para 8, que também é igual 0,75. 
 
Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de PROPORÇÃO, já que ambas as razões são iguais a 
0,75. 
 
REGRA DE TRÊS é um método de resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais. 
A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais pode ser realizada através de uma regra prática denominada 
"regra de três". 
 
Profa. Juliane Ganem – Matemática Aplicada - Farmácia Página 2 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA 
Exemplo 1) 
Uma pessoa recebe R$ 1.800,00 por 30 dias trabalhados. Quantos dias esta pessoa precisará trabalhar para ter direito a 
receber R$ 1.200,00? 
 
Este é o típico caso da utilização de uma "regra de três simples direta". Simples por envolver apenas duas grandezas 
proporcionais, e direta, porque quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta. Se uma diminui, o mesmo ocorre 
com a outra. 
Chamemos de S a grandeza que representa o salário e de D a grandeza que representa o número de dias de trabalho e vejamos 
a representação abaixo: 
 
As setas apontam na mesma direção, pois as grandezas são diretamente proporcionais. Percebemos isto, pois ao diminuirmos o 
número de dias trabalhados, também teremos o respectivo salário diminuído. Como o salário vai ser reduzido, obviamente o 
número de dias de trabalho também será. Concluímos assim, que as grandezas S e D são diretamente proporcionais. 
De acordo com a orientação das setas, podemos então montar a proporção: 
 
 
 
Concluímos que para ter o direito a receber os R$ 1.200,00, a pessoa terá que trabalhar por 20 dias. 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA 
Exemplo 2 
Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de dois, fossem 
três pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser construído? 
 
Você pode facilmente compreender que aumentando o número de pedreiros, o tempo necessário para a construção do muro 
será menor, pois a mão de obra aumenta, mas a tarefa continua a mesma. 
Percebemos então que este problema trata grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a 
outra diminui e vice-versa. 
Vamos chamar de P a grandeza que representa a quantidade de pedreiros e de H a grandeza que representa o número de horas 
de trabalho para a construção do muro. Vejamos então a representação abaixo: 
 
Neste caso as setas apontam na direção oposta, pois as grandezas são inversamente proporcionais. 
Para a resolução do problema, iremos novamente utilizar a "propriedade fundamental das proporções", no entanto para que 
isto seja possível, devemos primeiro deixar as duas setas com a mesma orientação. Como a seta referente à grandeza H (a 
grandeza referente ao x) está para cima, iremos inverter os termos da outra razão para que a sua seta também fique para cima: 
 
Perceba que sempre que tenhamos que realizar alguma mudança na orientação das setas, a grandeza que contém o termo x é 
tomada como referência e não é alterada. A outra grandeza, ou outras no caso de se tratar de uma regra de três composta, é 
que deve mudar. 
Então agora podemos montar a proporção segundo a "propriedade fundamental das proporções": 
 
Portanto com três pedreiros serão necessárias apenas 4 horas de trabalho. 
 
 
 
 
Profa. Juliane Ganem – Matemática Aplicada - Farmácia Página 3 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Exemplo 1) 
Uma pessoa consome 4000 litros de água por mês. Quantos litros de água duas pessoas irão consumir em um ano? 
 
Primeiramente para facilitar a explicação, iremos atribuir uma letra a cada grandeza. Sejam elas: 
• P: O número de pessoas; 
• L: A quantidade de litros de água; 
• T: O período de tempo envolvido. 
 
Montemos a representação para analisarmos o problema, mas no lugar de um ano, iremos utilizar doze meses, para que os dois 
períodos de tempo fiquem na mesma unidade de medida: 
 
A ordem de colocação das grandezas na representação acima, é a mesma que a do enunciado do problema. Como você pode 
perceber, a grandeza L, que é a grandeza que estamos procurando (a grandeza que contém o termo x), não está posicionada 
nem à direita, nem à esquerda do diagrama. Isto é uma má ideia, pois irá dificultar em muito a resolução do problema, por isto 
devemos passá-la para a extremidade direita, ou para a esquerda. Vamos escolher esta última: 
 
 Agora ficou melhor, vamos então identificar a orientação das setas, ou em outras palavras, determinar se as grandezas são 
diretamente ou inversamente proporcionais entre si. 
A grandeza de referência é a grandeza L. A posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima, quanto para baixo, tanto faz. 
Vamos escolher para baixo: 
 
Agora vamos determinar se L e P são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que uma pessoa consome 4000 litros. Como 
mais pessoas irão consumir mais litros, então as grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de P terá a mesma 
orientação da seta de L, ou seja, também para baixo: 
 
 
Finalmente falta-nos determinar se L e T são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que em um mês são 
consumidos 4000 litros. Obviamente se aumentarmos o tempo de consumo, também aumentaremos o consumo em litros, 
então as grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de T terá a mesma orientação da seta de L, isto é, para baixo: 
 
Se houvesse alguma seta com orientação oposta à seta de L, os termos desta grandeza deveriam ser invertidos. Como não é o 
caso, basta-nos montarmos a proporção e resolvê-la: 
 
 
 
 
Portanto as duas pessoas irão consumir 96 mil litros de água em um ano. A título de curiosidade, 96000 litros equivalem a 96 
metros cúbicos. 
 
 
 
Profa. Juliane Ganem – Matemática Aplicada - Farmácia Página 4 
 
Exemplo 2) 
Para encher um tanque com 400 metros cúbicos de capacidade, duas torneiras levaram 4 horas para enchê-lo. Quantas horas 
seriam necessárias para enchê-lo com 6 torneiras, se o tanque tivesse apenas 300 metros cúbicos de capacidade? 
 
Primeiro vamos atribuir uma letra a cada grandeza: 
• M: A capacidade em metros cúbicos do tanque; 
• T: A quantidade de torneiras; 
• H: A duração de cada operação em horas. 
A representação para analisarmos o problema é a seguinte: 
 
 
Observe que na montagem a grandeza H, que é a grandeza que estamos procurando (a grandeza que contém o termo x), deve 
estar posicionada à direita, como colocamos, ou à esquerda se desejássemos,mas não em outra posição. O motivo disto é 
deixar a razão com o termo x isolada. 
A partir daí podemos então identificar a orientação das setas, ou em outras palavras, determinar se as grandezas são 
diretamente ou inversamente proporcionais entre si. 
A grandeza de referência é a grandeza H, pois é ela que está sendo procurada. Você já sabe que a posição da sua seta pode ser 
arbitrada tanto para cima, quanto para baixo. Para padronizar, vamos escolher a seta da grandeza de referência sempre para 
baixo: 
 
Vamos determinar se H e M são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que ao diminuirmos a capacidade do tanque, 
também iremos diminuir o tempo necessário para enchê-lo, então em sendo assim, as duas grandezas são diretamente 
proporcionais, logo a seta de M terá a mesma orientação da seta de H que é para baixo: 
 
Vamos agora determinar se T e H são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que se aumentarmos a quantidade 
de torneiras, automaticamente iremos diminuir o tempo necessário para encher o tanque, por isso as duas grandezas são 
inversamente proporcionais, logo a seta de T terá orientação oposta a da seta de H, ou seja, será para cima, pois quanto uma 
aumenta a outra diminui: 
 
Podemos perceber que a seta da grandeza T possui orientação oposta à da grandeza H, devemos então inverter tanto a seta, 
quanto os seus elementos. Teremos então: 
 
Por fim montemos a proporção e vamos resolvê-la seguindo a "propriedade fundamental das proporções": 
 
 
 
Portanto com 6 torneiras poderíamos encher 300 metros cúbicos em apenas uma hora. 
 
 
 
 
 
Profa. Juliane Ganem – Matemática Aplicada - Farmácia Página 5 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
NOME: _____________________________________________RA:______________TURMA:_________________________ 
 
1) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais 
são os dois números? 
 
2) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de 
a e de b? 
 
3) A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor está para 19. Quais 
são os números? 
 
4) Levo duas horas e meia para percorrer 15km. Se eu tiver quer percorrer 54 km, quanto tempo eu levarei? 5) Um 
produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um bimestre este produtor irá 
produzir quantas toneladas de frango? 
 
6) Uma doceira faz 300 docinhos em 90 minutos. Se ela dispuser de apenas 27 minutos, quantos docinhos 
conseguirá fazer? 
 
7) Um barco pesqueiro tem uma produção de 15 toneladas por viagem. Para uma produção de 90 toneladas, qual é 
o número necessário de viagens? 
 
8) Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo necessário para enche-
lo? 
 
9) Com o dinheiro que possuo, eu posso comprar 21 passagens de lotação ao custo unitário de R$ 1,80. Eu soube, 
porém que o valor da passagem está para aumentar para R$ 2,10. No novo valor, quantas passagens eu poderei 
comprar com a mesma quantia que eu tenho? 
 
10) Preciso empilhar uma certa quantidade de caixas em forma de cubo. Se eu fizer a pilha com 4 caixas na base, irei 
empilhar 6 fileiras de caixas, uma sobre a outra. Seu eu fizer a base com 3 caixas, quantas fileiras irei precisar? 
 
11) Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 5 
dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos? 
 
 
11) Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. 20 galinhas botarão quantos ovos em 10 dias? 
 
12) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 
trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas?