exercícios resolvidos

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Enunciados das Questões
1.(EsSA) Se o número N = 2x.3² tem 6 divisores positivos, o valor de N é:
a) 1
b) 2
c) 9
d) 18
e) 72
2.(ENEM) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x.5y.7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é
a) x.y.z
b) (x + 1).(y + 1)
c) x.y.z – 1
d) (x + 1).(y + 1).z
e) (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1
3. O número N = 215 + 215 + 215 +…+ 215 é formado por quinze (15) parcelas, todas iguais. Determine a quantidade de divisores positivos de N.
a) 4
b) 8
c) 16
d) 32
e) 64
4. Uma urna contém bolas numeradas de 1 até 60. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola cujo número seja um divisor par de 60.
a) 2/12
b) 8/12
c) 2/15
d) 8/15
e) 17/60
5.(Col. Naval) Seja N = 24.35.56. O número de divisores de N que são múltiplos de 10, é:
a) 24
b) 35
c) 120
d) 144
e) 210
Resoluções das Questões
Questão 1.
Nessa questão já temos a quantidade de divisores do número N e também, a sua decomposição em fatores primos.
N = 2x.3²
Sabemos que a quantidade de divisores positivos é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de uma unidade, então
Q(N) = 6.
Agora, temos o valor de x = 1. Vamos substituir na fatoração de N, isto é
N = 2x.3² = 2¹.3² = 2.9 = 18.
Portanto, o valor de N é 18.
Questão 2.
Sabemos que N = 2x.5y.7z e que x, y, z são números inteiros não negativos.
As demais informações não são úteis para resolver o problema, já que o que é pedido, é a quantidade de divisores de N, diferentes de N.
Ser múltiplo de 10 e não ser de 7, não altera a quantidade de divisores de N, para esse caso.
N já está na forma fatorada, portanto para encontrar a quantidade de divisores, basta somar uma unidade aos expoentes (x, y, z) dos fatores primos, isto é,
(x + 1), (y + 1) e (z + 1).
Agora, multiplicaremos o resultado.
Q(N) = (x + 1).(y + 1).(z + 1), pronto aí está a quantidade de divisores de N, incluído o próprio N.
Porém, o enunciado pede o número de divisores diferentes de N (o próprio), logo basta subtrair uma unidade do resultado encontrado.
Portanto, a resposta correta fica:
Q(N)dif. N = (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1.
Questão 3.
Como N é formado por 15 parcelas, todas iguais a 215, então podemos escrever N como um produto, isto é, “215 vezes 15″.
N = 215 + 215 + 215 +…+ 215
N = 215.15
(Lembre-se da multiplicação, da tabuada!  Exemplo: 7 + 7 + 7 = 7.3)
Fatorando o número 15 = 3¹.5¹ e substituindo, temos:
N = 215.3¹.5¹, calculando a quantidade de divisores
Q(N) = (15 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 16.2.2 = 64 divisores positivos.
Questão 4.
Sabemos que o total de números possível é 60 (quantidade de bolas).
O que nos falta é saber a quantidade de divisores pares de 60, para calcularmos a probabilidade de ocorrer o evento desejado.
Vamos calcular!
Fatorando o 60.
60 = 2².3¹.5¹.
Lembra da regra para calcular a quantidade de divisores pares? Caso não se lembre, verifique acima.
Qp(60) = 2.(1 + 1).(1 + 1) = 2.2.2 = 8 divisores pares.
São 8 divisores pares num universo de 60 números, então a probabilidade P é igual a
Questão 5.
Nessa questão, um caminho longo e árduo para resolvê-la é determinar o valor de N, encontrar todos os seus divisores e depois verificar quais são múltiplos de 10.
Mas, não é esse o caminho que seguiremos.
Veja logo abaixo, duas resoluções para essa questão.
1ª Resolução:
Dada a forma fatorada de N = 24.35.56, sabemos que nela se encontram todos os divisores de N, isto é, todas as combinações possíveis.
Como desejamos saber a quantidade de múltiplos de 10, deve estar claro para você que se, um número é múltiplo de 10, então 10 é seu divisor, certo?
Logo, dividindo N (na forma fatorada) por 10, teremos todas as combinações possíveis de múltiplos de 10. Veja:
Acima, escrevemos 10 na forma fatorada, pois um número múltiplo 10 é também múltiplo de 2 e 5 (simultaneamente), observe também, as combinações com as potências do fator primo 3.
Em seguida, realizamos a divisão de potências de mesma base.
Vamos calcular a quantidade de divisores de N múltiplos de 10, pois agora temos todas as combinações possíveis.
23.35.55
Q(N)Mult. 10 = (3 + 1).(5 + 1).(5 + 1) = 4.6.6 = 144.
Portanto, a quantidade de divisores de N que são múltiplos de 10 é igual a 144.
2ª Resolução:
Para essa segunda resolução, é importante que você tenha noção de Análise Combinatória, em especial, o princípio fundamental da contagem (ou multiplicativo).
Um número múltiplo de 10 termina em 0.
Na fatoração de N temos as potências 24 e 56, qualquer produto entre essas potências terminará em zero, logo será múltiplo de 10.
Temos 4 potências para o fator 2 e 6 potências para o fator 5.
Logo, a combinação de todos os produtos dessas potências será igual a: 4.6 = 24.
Temos, 24 produtos que terminam em zero, isto é, 24 múltiplos de 10.
Ainda não acabamos…   Faltam as combinações com as potências do fator 3.
Agora, observe que os produtos entre as potências dos fatores 2, 3 e 5 também terminam em zero.
Ora, na multiplicação de 2 por 5 e em seguida por 3 (2.5.3 = 30), resulta um número (produto) múltiplo de 10. O mesmo vale para as demais potências.
São 4 potências para o fator 2, 5 potências para o fator 3 e 6 potências para o fator 5.
Logo, o número de combinações possíveis é: 4.5.6 = 120 múltiplos de 10.
Novamente, a quantidade de múltiplos de 10 é: 24 + 120 = 144.
Enunciados dos Problemas
1. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente um objeto que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui?
A) R$ 20,00
B) R$ 20,50
C) R$ 22,00
D) R$ 22,50
2. Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 90
3.(CESGRANRIO) José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café?
A) 87,5
B) 125,6
C) 262,5
D) 267,5
E) 272,0
4.(CESPE/UnB-Adaptada) Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou 1/5 da capacidade do tanque para chegar à cidade A; gastou mais 28 L para ir da cidade A até a cidade B; sobrou, no tanque, uma quantidade de combustível que corresponde a 1/3 de sua capacidade. Quando o veículo chegou à cidade B, havia, no tanque menos de:
A) 10 L
B) 15 L
C) 18 L
D) 20 L
E) 21 L
5.(OMSP-Adaptada) Eduardo tem R$ 1.325,00 e Alberto, R$ 932,00. Eduardo economiza R$ 32,90 por mês e Alberto, R$ 111,50. Depois de quanto tempo terão quantias iguais?
A) 3 meses
B) 5 meses
C) 7 meses
D) 9 meses
Soluções dos Problemas
Problema 1.
Vamos começar por representar a incógnita do problema por uma letra (você escolhe!). A incógnita do problema é a quantia que Marcos possui (o que o problema quer saber).
Incógnita: quantia que Marcos possui: q
Repare que estamos lidando com uma quantia de dinheiro, então “q” só poderá assumir valores, neste caso, inteiro ou decimal mas não negativo, ok?
Dobro da quantia que Marcos possui: 2.q ou 2q.
Veja que Marcos possui uma quantia q, então o dobro de q é 2q.
Equação: 2q + 15 = 60.
O problema diz: o dobro da quantia que Marcos possui (2q) mais quinze reais (+15) dá para comprar exatamente um objeto que custa sessenta reais (= 60), isto é, se “dá para comprar exatamente” (exatamente!) quer dizer então que é igual (=).
Resolução:
2q + 15 = 60 <=> 2q = 60 – 15 <=> 2q = 45 <=> q = 45/2 <=> q = 22,50 reais.
Verificando se a solução (valor de q) satisfaz as condições do problema:
22,50 é decimal, positivo (ok!). O dobro de 22,50 é 45,00 e 45,00 mais 15 é exatamente igual a 60. 
Portanto, Marcos possui R$ 22,50.
Problema 2.
Este problema é bem simples (não quer dizer fácil). Atente para a fração que aparecerá na resolução.
Incógnita: um número: n.
Pode ser qualquer número, aqui chamamos de n.
Sua metade: n/2 (n dividido por 2).
Para encontrarmos a metade de um número,basta dividirmos por 2.
Equação: um número (n) somado (+) com sua metade (n/2) é igual (=) a 45.
n + n/2 = 45.
Resolução:
n + n/2 = 45 <=>
Calculando o mmc para igualar os denominadores (ou não necessariamente) e fazendo as devidas multiplicações.
<=> 2n + n = 90 <=> 3n = 90 <=> n = 90/3 <=> n = 30.
Verifique você mesmo se a solução satisfaz as condições do problema!
Logo, o número procurado é 30.
Problema 3.
Este é um tipo de problema que devemos pensar “de trás para frente” para determinarmos sua incógnita.
Observe o seguinte trecho do enunciado:
“percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar…”
Vamos supor que José, antes de parar, tenha percorrido uma distância d. Então, o triplo de d é 3d, ok?
Desse modo, acabamos de representar a incógnita do problema por d.
Incógnita: quantidade percorrida antes de parar: d.
Triplo da quantidade percorrida: 3d.
Equação:
De acordo com o problema, José percorre um quantidade d antes de parar e depois percorre o triplo dessa quantidade, isto é, 3d. Então, o total percorrido por José é de (d + 3d).
Mas, o problema diz ainda que o total percorrido (quantidade) até a casa dos pais é de 350 km.
Portanto, concluímos que as quantidades devem ser iguais.
d + 3d = 350.
Resolução:
d + 3d = 350 <=> 4d = 350 <=> d = 350/4 <=> d = 87,5 km (atenção, essa não é a resposta final, viu?).
Após o café, José percorreu o triplo de d, ou seja,
3 x 87,5 = 262,5 km.
Essa solução satisfaz as condições do problema. Não é um número negativo. Somando o que José percorreu antes do café com o percorrido depois, temos 350 km. (verifique!)
Problema 4.
A resolução deste problema é semelhante ao problema 2, porém, com muito mais informação. Vejamos!
Para responder a pergunta do problema, devemos antes saber a capacidade do tanque, concorda?
Incógnita: capacidade do tanque: c.
1/5 da capacidade do tanque para chegar à cidade A: 1/5 de c = c/5.
1/3 de sua capacidade: 1/3 de c = c/3.
Equação:
Para montarmos a equação devemos ter em mente que a capacidade do tanque menos o que foi consumido para chegar até a cidade B é igual ao que sobrou no tanque, isto é,
(capacidade do tanque) – (o que foi consumido) = (sobrou no tanque).
c – (c/5 + 28) = c/3
O consumo para chegar a cidade B foi de (c/5 + 28), ou seja, até A, c/5 e de A até B, 28 litros.
Resolução:
c – (c/5 + 28) = c/3 <=>  (retirando dos parênteses, multiplicando sinais)
<=> c – c/5 – 28 = c/3 <=> (igualando os denominadores com o cálculo do mmc e já simplificando)
<=> 15c – 3c – 420 = 5c <=>
<=> 15c – 5c – 3c = 420 <=>
<=> 7c = 420 <=>
<=> c = 60 L.
Agora já sabemos a capacidade do tanque que é de 60 litros.
De acordo com o problema, sobrou no tanque um terço da capacidade (c/3), então 60/3 = 20 L. Sobrou no tanque 20 L e 20 é menor do que 21. 
Logo, quando o veículo chegou à cidade B, havia, no tanque menos de 21 L.
Observações:
1. Na resolução de problemas desse tipo temos duas situações, uma é equacionar o problema e a outra é resolver a equação. Caso você tenha dificuldade em resolver equações do primeiro grau, este não é o foco aqui, sugiro estudar esta parte antes, que é mais técnica (cálculo).
2. Repare que a pergunta do problema é focada em “menos de” e não em “qual a quantidade” ou “exatamente”. Encontramos para a capacidade do tanque, 20 L e tem esse valor nas alternativas, mas não é esse o foco do pergunta (verifique!).
Problema 5.
Este problema é um pouco mais bem elaborado que os demais, então vamos por partes para resolvê-lo. 
Vamos definir nossa incógnita. Você deve ter percebido que se trata do tempo, ok?
Incógnita: tempo (em meses) em que terão quantias iguais: t.
Como Eduardo e Alberto possuem quantias e economizam valores diferentes, vamos fazer em separado, por enquanto.
Eduardo: tem R$ 1.325,00 e economiza R$ 32,90 por mês.
Como calcular o valor total que Eduardo terá ao longo dos meses?
Vamos pensar um pouco antes, pois o mesmo valerá para Alberto.
Total em 1 mês: 1325 + 32,90 = R$ 1357,90.
Total em 2 meses: 1325 + (32,90 x 2) = 1325 + 65,80 = R$ 1390,80.
Total em 3 meses: 1325 + (32,90 x 3) = 1325 + 98,70 = R$ 1423,70.
Bem, acredito que você já deve ter percebido que o total ao final de cada mês, será obtido pela soma do valor que Eduardo tem com o valor total economizado que é dado por, produto de 32,90 pela quantidade de meses.
Mas como chamamos o tempo de t, vamos substituir a quantidade de meses por t. Fazendo isso, temos uma expressão que nos dá o valor total que Eduardo terá em t meses (uma quantidade qualquer de meses).
Total em t meses: 1325 + (32,90 x t) = 1325 + 32,90t.
Equação da quantia para Eduardo: 1325 + 32,90t.
O mesmo raciocínio vale para Alberto, pois o tempo deve ser o mesmo.
Equação da quantia para Alberto: 932 + 111,50t.
Pode acreditar, a parte mais difícil do problema já foi resolvida. 
A pergunta é: depois de quanto tempo ( t meses) terão quantias iguais ( = ).
Equação e resolução:
Quantia de Eduardo = Quantia de Alberto.
1325 + 32,90t = 932 + 111,50t <=>
<=> 1325 – 932 = 111,50t – 32,90 <=>
<=> 393 = 78,60t <=>
<=> 393/78,60 = t <=>
<=>  t = 5 meses.
Logo, Alberto e Eduardo terão quantias iguais depois de 5 meses.
Enunciados dos Exercícios de Expressões Algébricas
1. Quanto vale a – b, se a = 2/3 e b = –3/5?
A) 15/19
B) 19/15
D) 1/15
2. O valor de x – yx – y quando x = 2 e y = – 2 é:
A) 14
B) –14
C) –18
D) 256
3. Qual o polinômio que representa o perímetro da figura abaixo?
A) 18x + 11
B) 18x + 12
C) 20x + 11
D) 20x + 12
4. Se A = – x – 2y + 10 e B = x + y + 1 e C = – 3x – 2y + 1, então A – B – C é igual a:
A) x – y + 8
B) 3x + y + 10
C) – 5x – 3y + 12
D) – 3x – 5y + 10
5. A expressão [ 2.(x2y).(3x2y3) ] : (x2y2) é igual a:
A) 2x2y2
B) 6x2y2
C) 6x2y2
D) 3x2y2
Soluções dos Exercícios
Exercício 1
Vamos fazer a substituição, isto é, onde tem a substituiremso por 2/3 e onde tem b, substituiremos por – 3/5 com atenção ao sinais de subtração.
O número 15 no denominador da fração é resultado do mmc entre 3 e 5.
Como calcular o mmc
Como calcular o mdc
Temos portanto, que a – b vale 19/15.
Exercício 2
Novamente vamos fazer as substituições, lembrando que agora temos uma potência envolvida.
x – yx – y = 2 – ( – 2 )2 – ( – 2 ) = 2 – ( – 2 )2 + 2 = 2 – ( – 2 )4 = 2 – ( + 16 ) = 2 – 16 = – 14.
Portanto, o valor de x – yx – y é – 14.
Exercício 3
Para um melhor entendimento dessa questão, vamos colocar pontos nos vértices da figura, veja:
O perímetro é dado pela soma das medidas dos lados, então
Perímetro = AB + BC + CD + DE + EF + FA.
Mas antes, observe que a soma dos segmentos AB e CD é igual a FE.
AB + CD = FE = 7x + 2. Vamos reorganizar a soma.
Perímetro = (AB + CD) + BC + DE + EF + FA.
Perímetro = (7x + 2) + 5 + 3x – 1 + 7x + 2 + 3x + 4.
Perímetro = 7x + 3x + 7x + 3x + 5 – 1 + 2 + 2 + 4.
Perímetro = 20x + 12.
Logo, o perímetro da figura é representado pelo polinômio 20x + 12.
Exercício 4
O valor de A – B – C será dado por
A – B – C = – x – 2y + 10 – (x + y + 1) – (– 3x – 2y + 1).
A – B – C = – x – 2y + 10 – x – y – 1 + 3x + 2y – 1.
A – B – C = – x – x + 3x – 2y – y + 2y + 10 – 1 – 1.
A – B – C = x – y + 8.
Viu como é simples! Temos que ter bastante atenção a “multiplicação de sinais” e depois na “soma algébrica”.
Exercício 5
Nesse exercício temos uma multiplicação e depois uma divisão, vamos primeiro fazer a multiplicação.
[ 2.(x2y).(3x2y3) ] : (x2y2) = [ 2.3.x2.x2.y.y3 ] : (x2y2) = [ 6x4y4 ] : (x2y2).
Agora, vamos “fazer” a divisão. Escreveremos na forma de fração.
Repare que na divisão de x4 por x2 temos x2, lembre-se da propriedade de divisão de potências e na divisão de y4 por y2 temos y2.
Logo, a expressão [ 2.(x2y).(3x2y) ] : (x2y2) é igual a 6x2y2.
1.(OBMEP) Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado a + b e o menor lado a. Qual é a área da região colorida?
A) b2
B) a + b
C) a2 + 2ab
D) 2ab + b2
2. A expressão (x – y)2 – (x + y)2 é equivalente a:
A) 0
B) 2y2
C) -2y3
D) –4xy
3. A expressão (3 + ab).(ab – 3) é igual a:
A) a2b – 9
B) ab2 – 9
C) a2b2 – 9
D) a2b2 – 6 
4. Se (x – y)2 – (x + y)2 = -20, então x.y é igual a:
A) 0
B) -1
C) 5
D) 10 
5.Se x – y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x2 + y2 é:
A) 53
B) 109
C) 169
D) 420
Soluções das Questões
Questão 1
Repare que a área da região colorida é formada por dois retângulos, portanto se sabemos as medidas do comprimento e largura destes retângulos, facilmente calculamos a medida da região, pois esta é igual à soma das medidas das áreas dos retângulos.
Bem, mas não vamos seguir esta estratégia, um caminho mais simples é o seguinte:
veja que, se da medida da área do quadrado maior (medida do lado = a + b) subtraímos a medida da área do quadrado menor (medida do lado = a), vamos obter a medida da área da região colorida. Simples, não? Observe:
Medida da área do quadrado maior = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Medida da área do quadrado menor = a2.
Medida da área da região colorida = (a2 + 2ab + b2) – (a2) = 2ab + b2.
Questão 2
Primeiro vamos desenvolver os binômios separadamente.
(x – y)2 – (x + y)2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 e (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.
Após desenvolver, voltamos para a expressão e substituímos.
(x – y)2 – (x + y)2 = x2 – 2xy + y2 – (x2 + 2xy + y2) = x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2 =
= x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 = -2xy – 2xy = -4xy.
Logo, (x – y)2 – (x + y)2 = – 4xy.
Questão 3
Antes de resolvermos o problema, vamos fazer uma pequena mudança, muito importante que vai ajudar a resolver o problema rapidamente. Observe o seguinte:
(3 + ab) é igual a (ab + 3), já que a ordem das parcelas não altera a soma, certo?
(3 + ab).(ab – 3) = (ab + 3).(ab – 3), veja que temos agora o produto da soma de dois termos pela diferença de dois termos (os mesmos!), agora fica fácil aplicar o produto notável.
(3 + ab).(ab – 3) = (ab + 3).(ab – 3) = (ab)2 – 32 = a2b2 – 9.
Questão 4
Em questões deste tipo e em muitas outras, olhamos, procuramos ler uma, duas vezes e por experiência sei que muitos não conseguem sair do lugar, isto é, não conseguem escrever nada. Uma dica: trace uma estratégia, tenha fé e escreva, se não chegar a uma resposta satisfatória, volte, trace outra estratégia e siga com fé! 
Vamos a solução. Nossa primeira estratégia será desenvolver a expressão. Vamos lá, com fé!
Nossa estratégia deu certo, conseguimos chegar a uma solução satisfatória, para verificar se a resposta está certa (é claro que está!), em xy = 5, isole uma incógnita e substitua na expressão original verificando a igualdade, isto é, se é verdadeira. (faça isto para treinar.)
Lembrando que xy = x.y, costuma-se omitir o símbolo de multiplicação.
Questão 5
Do problema, temos a seguinte equação x – y = 7, a princípio não está muito claro o valor de x2+ y2, mas vamos traçar uma estratégia e seguir com fé, novamente. 
Na equação x – y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado, ficando assim
(x – y)2 = 72 , desenvolvendo temos
x2 – 2xy + y2 = 49, veja que já apareceram o x2 e y2, arrumando
x2 + y2 = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí
x2 + y2 = 49 + 2.60, resolvendo
x2 + y2 = 49 + 120, logo x2 + y2 = 169.
Interessante, não?
Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao quadrado, podemos fazer isso, desde que façamos em ambos os membros e logo apareceu x2 + y2. 
Enunciados dos Exercícios
1. Um homem dá um salto de 0,4 m para cima, ao mesmo tempo que uma pulga dá um pulo de 400 mm. A razão entre os saltos é:
A) 2
B) 1
C) 3
D) 1/2
E) 4
2. Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é 13/12. A porcentagem de rapazes na festa é:
A) 44%
B) 45%
C) 40%
D) 48%
E) 46%
3. Se a escala de um mapa é 5 por 2.500.000 e dois pontos no mapa estão à distância de 25 cm, ao longo de uma rodovia, a distância real em km é:
A) 100
B) 125
C) 150
D) 200
E) 250
4. Sessenta das 520 galinhas de um aviário não foram vacinadas; morreram 92 galinhas vacinadas. Para as galinhas vacinadas, a razão entre o número de mortas e de vivas é:
A) 4/5
B) 5/4
C) 1/4
D) 4/1
5. O estoque de determinado produto de um laboratório tem previsão de duração de 18 dias a partir desta data. Porém, o fabricante avisou que vai atrasar em 9 dias a próxima entrega do produto, obrigando assim o laboratório a programar uma redução no consumo diário anterior. Supondo que a redução do consumo seja a mesma todos os dias, a razão entre o novo consumo diário e o previsto inicialmente é:
A) 5/6
B) 3/4
C) 2/3
D) 1/2
E) 1/3
Soluções dos Exercícios
Exercício 1
Bem, observe no enunciado que não há uma ordem na razão pedida. Façamos então na ordem do próprio enunciado, mas antes vamos converter as medidas para a mesma unidade.
Convertendo a medida do pulo do homem para milímetros.
0,4 m = 4 dm = 40 cm = 400 mm.
Calculando a razão = 400 / 400 = 1.
Veja que neste caso, de fato, a ordem da razão não importa, pois teremos o mesmo valor já que os pulos tem a mesma medida.
Exercício 2
Como a razão reduzida entre o número de moças e de rapazes é de 13/12, isto quer dizer que para cada 13 moças, temos 12 rapazes. Certo? Ok!
Mas, 13 + 12 = 25, isto é, num grupo de 25 jovens desta festa temos uma relação de 13 moças e 12 rapazes.
Agora, 12 rapazes em 25 jovens equivalem a 12/25 = 0,48 ( x 100 ) = 48%.
Como calcular porcentagem
Observação: repare que a razão 13/12 é uma fração irredutível, já na forma simplificada. Mesmo que não estivesse na forma simplificada, mas mantendo a relação entre numerador e denominador, a porcentagem seria a mesma.
Exemplo: 13/12 é equivalente a 26/24.
26 + 24 = 50, então 24/50 = 0,48 (x 100) = 48%.
Exercício 3
Antes de resolver o problema, vamos primeiro aprender como se obtém uma escala.
Escala é a razão entre um comprimento em um desenho e o correspondente comprimento real, expressos em uma mesma unidade de medida.
Chamamos de E, a escala, d a medida do desenho e R a medida real. Então,
E = d / R.
Agora, vamos resolver o problema!
O problema diz que a escala em o desenho (planta) foi feito é 5 : 2.500.000, isto quer dizer que a cada 5 unidades de medida ( no caso cm) no desenho, correspondem a 2.500.000 unidades de medida no real (realidade).
Portanto, 25 cm no desenho correspondem na realidade a
(25 x 2.500.00) / 5 = 62.500.000 / 5 = 12.500.000 cm. Mas o problema pede a resposta em km.
km – hm – dam – m – dm – cm
De modo prático, basta deslocar a vírgula cinco casas decimais para a esquerda a partir do último zero.
12.500.000 cm = 125,00000 km = 125 km.
Pronto! Simples não? Ok, vamos fazer, agora, utilizando a fórmula E = d / R, onde
E = 5 / 2.500.000 e d = 25 cm, sendo R o valor procurado em km.
Novamente, 12.500.000 cm = 125 km.
Exercício 4
Para calcular a razão pedida, vamos antes determinar o número de galinhas vacinadas.
Vacinadas: 520 – 60 = 460 galinhas.
Agora, destas 460 galinhas vacinadas morreram 92, então
Vivas: 460 – 92 = 368 galinas vivas.
Portanto, a razão entre o número de galinhas mortas e de vivas (que forão vacinadas) é de
92 / 368, simplificando obtemos 1/4.
Exercício 5
O consumo diário do produto do laboratório é 1/18, isto é, o produto tem duração de 18 dias, sendo consumido 1/18 por dia, ao final de 18 dias será todo consumido.
Mas, de acordo com o enunciado, haverá um atraso de 9 dias, então o produto deverá ser consumido em 18 + 9 = 27 dias, o que afetará o consumo diário, pois não mais pode ser feito em 1/18, mas sim em 1/27 para que dure exatamente 27 dias, considerando que a redução seja a mesma todos os dias.
Repare que a fração 1/18 é maior do que 1/27, já que tem o denominador menor.
Portanto, temos o seguinte:
Consumo diário previsto: 1/18.
Novo consumo diário: 1/27.
Razão = (1/27) / (1/18) = (1/27).(18/1) = 18/27 = 2/3.
Outra forma:
uma outra forma de “ver” o problema é pensar que o laboratório tem uma quantidade x do produto, inicialmente, deve durar 18 dias, então o consumo diário é de x/18 (x dividido em 18 partes)
Como haverá o atraso, a quantidade x deve durar agora, 27 dias, então o consumo diário passará a ser de x/27 (reduzido, dividido em 27 partes, pois usará menos para durar mais).
Razão = (x/27) / (x/18) = (x/27).(18/x) = (18x) / (27x) = 18/27 = 2/3.
Enunciados dos Exercícios Envolvendo Divisão em Partes Diretamente Proporcionais
1. Dividindo-se 190 em partes proporcionais a 2, 7 e 10, quala maior parte obtida?
A) 190
B) 100
C) 70
D) 20
2.(ESAF) O TJ do Ceará verificou, em pesquisa de opinião pública, que, em cada 13 eleitores, 5 votam no PFL, 4 no PMDB, 3 no PT e 1 no PDS. Então, para 6.539.000 eleitores, a distribuição dos votos seria, respectivamente, para o PFL, PT, PDS e PMDB de:
A) 2.650.000; 1.590.000; 530.000; 2.120.000
B) 2.515.000; 2.012.000; 1.509.000; 503.000
C) 265.000; 159.000; 53.000; 212.000
D) 2.650.000; 2.120.000; 1.239.000; 530.000
E) 2.515.000; 1.509.000; 503.000; 2.012.000
3. Numa loja de automóveis, os vendedores recebem comissões proporcionais ao número de carros que vendem. Se, em uma semana, o gerente pagou um total de R$ 8.280,00 a quatro funcionários que venderam 3, 6, 7 e 9 carros, respectivamente, quanto ganhou o que menos carros vendeu?
A) R$ 993,60
B) R$ 808,00
C) R$ 679,30
D) R$ 587,10
E) R$ 500,40
4. Dividindo-se um terreno em 3 lotes proporcionais a 3, 4 e 6, o menor lote será 360 m2. A área total do terreno, em m2, correponde a:
A) 720
B) 780
C) 1.170
D) 1.560
E) 1.800
5. Na constituição de uma empresa comercial, Daniela e Luiza entraram com os capitais de R$ 60.000,00 e R$ 90.000,00, respectivamente. Após 9 meses, admitiram Rafael na sociedade, com capital de R$ 120.000,00. Se ao fim dos primeiros 12 meses a empresa apresentou um lucro R$ 13.200,00, qual a parte de Rafael no lucro, em R$?
A) 3.300,00
B) 3.000,00
C) 2.500,00
D) 2.200,00
E) 1.100,00
Soluções dos Exercícios
Exercício 1
Vamos chamar de x, y, z as partes em que 190 foi dividido de modo proporcional, respectivamente, a 2, 7, 10. Como a divisão é feita em partes diretamente proporcionais, então as razões x/2, y/7 e z/10 devem ser iguais, isto é,
x/2 = y/7 = z/10.
“x está para 2, assim como, y está para 7, assim como, z está para 10”.
Observe também que x + y + z = 190.
Vamos utilizar a propriedade de proporção que diz: a soma de todos os antecedentes está para a soma de todos os consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente, pois as razões são iguais. Veja:
Como x + y + z = 190, temos
Calculando o valor de cada parte, separadamente:
x/2 = 10, então x = 20.
y/7 = 10, então y = 70.
z/10 = 10, então z = 100.
Portanto, a maior parte é 100.
Observação: o valor 10 é chamado de constante de proporcionalidade, razões iguais.
Exercício 2
Do problema temos,
PFL – 5/13 (de 13 pessoas, 5 votam no PFL).
PT – 3/13.
PDS – 1/13.
PMDB – 4/13.
Como, segundo o problema, não há alteração na (constante) proporção, temos que esta deve ser mantida, mesmo para o aumento do número de eleitores. Sendo x, y, z, w o valor procurado, respectivamente, para cada partido acima, podemos escrever as proporções:
5/13 = x/6.539.000
3/13 = y/6.539.000
1/13 = z/6.539.000
4/13 = w/6.539.000
Resolvendo,
13x = 5.(6.539.000), então 13x =  32695000 e daí x = 2.515.000 (PFL).
13y = 19617000, então y =  1.509.000 (PT).
13z = 6.539.000, então z = 503.000 (PDS).
13w = 26156000, então w = 2.012.000 (PMDB).
Logo, a distribuição dos votos seria: 2.515.000; 1.509.000; 503.000; 2.012.000.
Exercício 3
Este exercício, é semelhante ao primeiro, é uma aplicação do assunto ao nosso cotidiano. Vamos aplicar o mesmo método de resolução do primeiro.
Sejam a, b, c, d os valores de comissão pagos aos quatro funcionários, respectivamente, proporcionais a 3, 6, 7 e 9 (número de carros).
Veja no enunciado que o valor pago de comissão é proporcional (diretamente proporcional) a quantidade de carros vendidos.
Como as sequências (a, b, c, d) e (3, 6, 7, 9) são diretamente proporcionais, o menor valor pago (a) está para o vendedor que vendeu menos carro (3).
Logo, vamos determinar o valor de a, pois é somente este que nos interessa, de acordo com o enunciado.
Lembre-se: a + b + c + d = 8.280.
a/3 = b/6 = c/7 = d/9, então
Podemos escrever,
a/3 = 331,20, então a = 3 x (331,20) e daí a = 993,60.
Portanto, o que menos carro vendeu, ganhou R$ 993,60.
Exercício 4
Considere L1, L2 e L3 a medida da área dos lotes proporcionais, respectivamente, a 3, 4 e 6. Como o problema pede a área total, esta será da pela soma: L1 + L2 + L3.
Precisamos, então, saber os valores de L1, L2 e L3. Veja que L1 = 360 m2 (o menor). Faltam os outros dois.
Do enunciado, temos que (L1, L2, L3) e (3, 4, 6) são diretamente proporcionais, escrevemos:
L1/3 = L2/4 = L3/6, como L1 = 360, temos que:
L1/3 = 360/3 = 120, desse fato, obtemos a constante de proporcionalidade, isto é, a razão em que os lotes foram divididos. (Re)escrevendo:
120 = L2/4 = L3/6, daí podemos calcular L2 e L3.
L2/4 = 120, então L2 = 480 m2.
L3/6 = 120, então L3 = 720 m2.
Medida da área total do terreno = 360 + 480 + 720 = 1.560 m2.
Exercício 5
As letras D, L e R representam o valor que cada um, repectivamente, Daniele, Luiza e Rafael receberam como parte do lucro. De acordo com o enunciado, vamos determinar R.
Observe que, além do capital investido, do lucro, temos também que considerar o tempo. Tempo em que cada capital foi aplicado até se obter o lucro.
A divisão será feita em partes diretamente proporcionais ao capital investido e ao tempo que este capital permaneceu investido.
Então, o lucro será diretamente proporcional ao produto do capital pelo tempo.
O produto do capital pelo tempo ocorre pelo fato do capital investido ter permanecido durante o tempo considerado e ajudou a gerar lucro ao final.
Não podemos deixar de considerar o tempo, pois sabemos que há uma desvalorização do dinheiro durante um certo tempo.
Aquele que investiu uma maior quantia e permaneceu mais tempo deve receber a maior parte. Veja:
Daniele entrou com R$ 60.000,00 e permaneceu 12 meses.
Luiza entrou com R$ 90.000,00 e permaneceu 12 meses.
Rafael entrou com R$ 120.000,00 e pemanceu 3 (12 – 9) meses.
Aplicando a mesma propriedade do exercício 1, temos:
Como D + L + R = 13.200, vem que
Desejamos saber somente a parte do lucro de Rafael (R), portanto
A parte do lucro de Rafael corresponde a R$ 2.200,00.
Enunciados dos Exercícios
1. Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos?
A) 600
B) 1.000
C) 1.500
D) 1.600
E) 1.800
2. A soma das idades de um pai, de um filho e de um neto é de 105 anos. Sabendo-se que a idade do pai está para 8, assim como a do filho está para 5 e a do neto está para 2, a idade, em anos, de cada um é, respectivamente:
A) 66, 29, 10
B) 62, 31, 12
C) 56, 37, 12
D) 56, 35, 14
E) 58, 38, 9
3. Dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em R$ 25.000,00, então a soma desses capitais é de:
A) R$ 75.000,00
B) R$ 40.000,00
C) R$ 65.000,00
D) R$ 60.000,00
E) R$ 55.000,00
4. Um certo metal é obtido, fundido-se 15 partes de cobre com 6 partes de zinco. Para obter-se 136,5 kg desse metal, são necessários:
A) 97,5 kg de cobre
B) 45 kg de zinco
C) 92 kg de cobre
D) 41,5 kg de zinco
E) 91,8 kg de cobre
5. Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos são fabricados diluindo em água um concentrado desta fruta. As proporções são de uma parte de concentrado para três partes de água, no caso do suco e, de uma parte de concentrado para seis de água no caso do refresco. O refresco também poderia ser fabricado diluindo x partes de suco em y partes de água, se a razão x / y fosse igual a:
A) 1/2
B) 3/4
C) 1
D) 4/3
E) 2
Soluções dos Exercícios
Exercício 1
Sejam E e C o número de funcionários efetivos e contratados, respectivamente. O problema diz que a empresa possui 2.100 funcionários, podemos escrever
E + C = 2.100
A relação entre o número de efetivos e contratados é de 5 por 2, então
E/C = 5/2
“E está para C, assim como 5 está para 2” e assim podemos utilizar a seguinte propriedade de proporção:
Logo, a empresa tem 1.500 funcionários efetivos.
Observação: é possível resolver este problema utilizando sistema de equações do 1º grau, com as equações E + C = 2.100 e E/C = 5/2. Não apresentamos este modo aqui, pois estamos dando ênfase nas proporções. Verifique você mesmo, tendo dúvida comente.
Exercício 2
Sejam P, F e N as idades do pai, do filho e do neto, respectivamente.Vamos anotar a primeira informação do problema que diz que a soma das idades é 105.
P + F + N = 105.
A próxima informação diz o seguinte:
P/8 = F/5 = N/2
“A idade do pai está para 8, assim como a idade do filho está para 5, assim como a do neto está para 2.
Temos então uma proporção! Podemos usar a propriedade que diz que “ a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente”. Vejamos.
Da última relação acima temos que
P/8 = 7, então P = 56.
F/5 = 7, então F = 35.
N/2 = 7, então N = 14.
As idades do pai, do filho e do neto são, respectivamente, 56, 35 e 14 anos.
Exercício 3
Aqui vamos chamar de X o valor do capital maior e Y o valor do capital menor. De acordo com o enunciado, X está para Y assim como, 8 está para 3.
X/Y = 8/3.
O problema ainda enuncia que o maior excede o menor em R$ 25.000,00. Podemos escrever então que o valor do maior é igual ao menor mais 25.000.
X = Y + 25.000.
Então X – Y = 25.000.
Para resolver o problema podemos utilizar a mesma propriedade utilizada na questão 1 (um), porém usando a subtração. Veja.
Y = 40.000 – 25.000 = 15.000.
Como X = 40.000 e Y = 15.000, temos que a soma dos capitais é de R$ 55.000,00.
Exercício 4
Bem, vamos definir como C a quantidade em kg de cobre e Z a quantidade em kg de zinco, que serão usadas na fabricação do metal.
A razão da fabricação do metal é de 15 partes de cobre para 6 partes de zinco. Logo, escrevemos
15/6 = C/Z
Isto é, as razões devem estar na mesma proporção. Desejamos fabricar 136,5 kg do metal, ou seja, a quantidade de cobre utilizada mais a quantidade de zinco deve ser igual 136,5 kg. Escrevemos, então
C + Z = 136,5.
Novamente, vamos usar a propriedade de proporção.
Logo, a quantidade de cobre é de 97,5 kg.
Observe que poderíamos ter calculado primeiro a quantidade zinco e assim não verificando em nenhuma das alternativas a resposta, seria necessário calcular o quantidade de cobre.
Exercício 5
O suco é feito de uma parte de concentrado e três partes de água, escrevemos então a razão em que o suco é feito como 1/3. No total são 4 (1 + 3) partes, “o volume”.
Já o refresco é feito de uma parte de concentrado e seis partes de água. Temos a seguinte razão 1/6. No total são 7 (1 + 6) partes, “o volume”.
Mas, o problema diz que o refresco pode ser fabricado a partir do suco. Para fabricar o refresco, precisamos de 7 partes (uma de concentrado e seis de água).
O suco é formado de 4 partes, então x = 4. Mas nas partes de fabricação do suco já temos uma de concentrado (necessária para o refresco) e três partes de água, não suficiente para completar o refresco, cuja quantidade de partes de água é seis.
Então, devemos acrescentar mais três partes de água ao suco, pois três partes de água do suco mais três partes de água acrescentadas, será igual a seis partes de água necessárias para a fabricação do refresco.
Portanto, temos
x = 4 (total de partes do suco)
y = 3 (partes de água a serem acescentadas)
Refresco = suco + água
Refresco = (1 concentrado + 3 água) + (3 água) = 1 concentrado + 6 água.
Então, a razão x/y = 4/3.
Outra forma:
Podemos trabalhar, neste problema, com valores.
Vamos supor que temos uma quantidade de 100 ml de suco. De acordo com o enunciado o suco é feito na razão de 1/3 (4 partes). Dividindo 100 ml por 4, obtemos 25 ml, isto é 25 ml de concentrado e 75 ml de água.
Suco = (25 ml de concentrado) + (75 ml de água).
O refresco é feito na razão 1/6 (7 partes). Fabricaremos então um total de 7×25 = 175 ml de onde
Refresco = (25 ml de concentrado) + (150 ml de água).
Agora, vamos fabricar o refresco a partir do suco.
No suco temos um total de 100 ml, onde 25 ml é de concentrado e 75 ml é de água mas, para fabricar o refresco precisaremos de mais 75 ml de água para dar um total de 150 ml de água, o concentrado já temos no suco. Portanto,
x = 100 ml (partes de suco)
y = 75 ml (parte de água acrescentada)
Refresco = suco + água
Refresco = (25ml de concentrado + 75 ml de água) + (75 ml de água “acrescentada”)
Refresco = 25 ml concentrado + 150 ml de água = 175 ml.
A razão x/y = (100ml)/(75ml), simplificando x/y = 4/3.
Enunciados das Questões
1. Uma loja vende um artigo e oferece duas opções de pagamento: à vista, por R$ 180,00, ou em dois pagamentos iguais de R$ 100,00 cada, sendo o primeiro no ato da compra e o segundo, um mês depois da compra. Qual é a taxa mensal dos juros cobrados de quem compra a prazo?
A) 25%
B) 20%
C) 12,5%
D) 11,1%
E) 10%
2. Um investidor possui R$ 80.000,00. Ele aplica 30% desse dinheiro em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 3% a.m., durante 2 meses, e aplica o restante em investimento que rende 2% a.m., durante 2 meses também. Ao fim desse período, esse investidor possui:
A) R$ 83.680,00
B) R$ 84.000,00
C) R$ 84.320,00
D) R$ 84.400,00
E) R$ 88.000,00
3. O capital de R$ 600,00, aplicado a juros simples de 9,5% ao ano, produziu R$ 123,50 de juros. O tempo correspondente à aplicação foi de:
A) 2 anos e 1 mês
B) 2 anos e 3 meses
C) 2 anos e 2 meses
D) 1 ano e 11 meses
4. Marcelo emprestou certa quantia a Augusto, cobrando juros simples de 4% ao mês. Cinco meses mais tarde, Augusto pagou o empréstimo, e Marcelo recebeu R$ 420,00. Qual foi, em reais, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto?
A) 320,00
B) 336,00
C) 350,00
D) 382,00
E) 400,00
5. Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de:
A) R$ 4.400,00
B) R$ 4.000,00
C) R$ 3.600,00
D) R$ 3.200,00
E) R$ 2.800,00
Soluções das Questões
Questão 1
Para a resolução deste problema, devemos atentar para o fato de que a taxa de juros cobrada incide sobre o valor que ainda falta a pagar. Veja:
Preço à vista = R$ 180,00.
Preço à prazo = 2 x R$ 100,00 (duas parcelas de R$ 100,00 cada)
Sendo que a primeira parcela deve ser dada no ato da compra.
Comprando a prazo, a pessoa pagará R$ 100,00 e ficará devendo R$ 80,00 em relação ao preço de à vista pagando somente após 30 dias, logo o dinheiro deve ser corrigido no tempo, daí a taxa de juros que incidirá sobre os R$ 80,00 restantes. De R$ 80,00 a pessoa pagará R$ 100,00, vejamos a taxa cobrada:
Vamos utilizar uma regra de três simples direta para descobrir a taxa, mas antes calculamos o aumento que foi de R$ 100,00 – R$ 80,00 = R$ 20,00. Sendo i  a taxa procurada temos
R$           %
80           100
20             i
Questão 2
Temos neste problema um capital sendo investido em duas etapas. Vamos realizar os cálculos separadamente:
1º investimento
30% de R$ 80.000,00 = R$ 24.000,00 valor a ser investido a uma taxa i = 3% a.m., durante um período t = 2 meses. Lembrando que i = 3% = 0,03.
Cálculo dos juros J, onde J = C.i.t:
J = 24000.(0,03).2 = 1440.
Juros do 1º investimento = R$ 1440,00.
2º investimento
R$ 80.000,00 – R$ 24.000,00 = R$ 56.000,00 valor a ser investido a uma taxa i = 2% a.m., durante um período t = 2 meses.
J = 56000.(0,02).2 = 2240.
Juros do 2º investimento = R$ 2.240,00.
Portanto, o montante final será de
R$ 80.00,00 + R$ 1.440,00 + R$ 2.240,00 = R$ 83.680,00.
Questão 3
Do problema temos, capital C = 600, os juros J = 123,50, uma taxa i = 9,5%a.a. e o problema deseja saber o tempo t de aplicação. Repare antes nas alternativas que uma parte das respostas está em meses, então para “facilitar nos cálculos” vamos converter a taxa i para meses. Para determinarmos a taxa em meses, basta dividir por 12, sendo assim a taxa proporcional a 9,5% a.a. em meses é
Vamos ao cálculo do tempo t, utilizando a fórmula J = C.i.t:
Portanto, o tempo t = 26 meses = 2anos e 2 meses.
Questão 4
Seja C o valor procurado, i = 4%a.m = 0,04a.m. a taxa, M = 420 o valor pago pelo empréstimo (montante) e t = 5 meses o período considerado. Utilizando a relação
M = C.(1 +i.t), encontramos a resposta para o problema. Observe:
Logo, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto foi de R$ 350,00.
Questão 5
Segundo o problema, duas pessoas aplicam certa quantia cada, sendo que uma pessoa começa a aplicar após 2 meses que a outra iniciou sua aplicação. Sendo assim, o problema deseja saber qual é o valor do juros correspondente a aplicação da primera pessoa, quando os montantes são iguais.
Observe também que não temos nenhuma informação com relação ao tempo que o dinheiro ficou investido em ambos os casos. Sabemos somente que a segunda pessoa começou aplicar após 2 meses em relação a primeira pessoa.
Por isso, vamos supor que o capital da primeira pessoa ficou aplicado durante  t meses, então o da segunda pessoa ficou, (t – 2) meses, já que foi iniciada após 2 meses que a primeira pessoa começou a aplicar.
Podemos então retirar os dados do problema:
Primeira pessoa
C1 = 10.000 …….. tempo = t meses ……….i = 2% = 0,02a.m.
M1 = 10000.(1 + 0,02.t)
Segunda pessoa
C2 = 8.000 ……. tempo = (t – 2) meses …… i = 4% = 0,04a.m.
M1 = 8000.[1 + 0,04(t – 2)]
Como os montantes devem ser iguais:
M1 = M2
Perceba que não chegamos a resposta ainda, mas encontramos o tempo necessário para que os montantes sejam iguais, t = 22 meses. Portanto, ficou bem simples calcular os juros correspondentes a aplicação da primeira pessoa, veja:
J = C.i.t, onde t = 22, i = 0,02 e C = 10000.
J1 = 10000.(0,02).22 = 4400.
Logo, os juros são de R$ 4.400,00.
Enunciados das Questões – parte 1
1.(FCC) Quanto é 32% de R$ 25.000,00?
a) R$ 5.500,00
b) R$ 7.500,00
c) R$ 8.000,00
d) R$ 10.000,00
2. Calcule 3% de 60%.
a) 18%
b) 12%
c) 6%
d) 1,8%
e) 1,2%
3. Uma casa com valor de aluguel R$ 500,00 teve esse valor reajustado para R$ 530,00. Qual foi o percentual de aumento?
a) 6%
b) 60%
c) 0,6%
d) 6,6%
4. Num colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Qual o total de alunos desse colégio?
a) 105
b) 145
c) 210
d) 250
Enunciados das Questões – parte 2
5.(UFU) O preço de uma televisão é de R$ 540,00 à vista. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo total de 10% sobre o preço à vista. Dando 30% de entrada e pagando o restante em duas prestações mensais iguais, o valor de cada prestação, em reais, será de:
a) 189,00
b) 189,90
c) 207,00
d) 207,90
6. Uma pessoa percorreu 40% de uma estrada. Se andasse mais 1500 metros, percorreria 70% da estrada. Qual é, em metros, a extensão da estrada?
a) 3000
b) 4000
c) 5000
d) 6000
7.(FGV) Duas irmãs, Ana e Lúcia, têm uma conta de poupança conjunta. Do total do saldo, Ana tem 70% e Lúcia 30%. Tendo recebido um dinheiro extra, o pai das meninas resolveu fazer um depósito exatamente igual ao saldo da caderneta. Por uma questão de justiça, no entanto, ele disse às meninas que o depósito deverá ser dividido igualmente entre as duas. Nessas condições, a participação de Ana no novo saldo:
a) diminuiu para 60%
b) diminuiu para 65%
c) permaneceu em 70%
d) aumentou 80%
e) impossível de ser calculada
8. Um pessoa perde 20% do seu salário. Calcule que aumento percentual deverá receber sobre o novo salário para que volte a ganhar o mesmo salário inicial.
a) 20%
b) 23%
c) 25%
d) 26%
Soluções das Questões – parte 1
Questão 1.
Esta primeira questão é bem simples. Apresentaremos dois modos para se chegar a resposta correta.
1º Modo: utilizando fração.
Primeiro, transformamos 32% para fração centesimal.
32% = 32/100.
Agora, 32% de 25.000 é a mesma coisa que 32/100 de 25.000.
Para desenvolver esse cálculo, basta multiplicar a fração pelo número:
Portanto, 32% de R$ 25.000,00 é igual a R$ 8.000,00.
2º Modo: utilizando regra de três simples direta.
O valor de 25.000 é equivalente ao “todo”, isto é, o valor principal, 100%.
Como desejamos saber o valor equivalente a 32% de 25.000, representaremos tal valor pela letra x.
Valor               Porcentagem
25.000                100
x                            32
Veja que as grandezas (valor e porcentagem) são diretamente proporcionais, então:
Novamente, o valor procurado é de R$ 8.000,00.
Questão 2.
Neste caso, temos uma questão sobre porcentagem de porcentagem.
Para calcular uma porcentagem de outra porcentagem, basta multiplicar a primeira pela segunda.
3% de 60% é a mesma coisa que 3/100 de 60/100.
Devemos transformar 0,018 para taxa percentual. Para isso, multiplicamos por 100.
0,018 x 100 = 1,8%.
Observação: esse “truque” foi ensinado na aula #2.
Portanto, 3% de 60% é igual a 1,8%.
Questão 3.
Para esta questão, também temos duas soluções.
Esse é um clássico problema de porcentagem: são dados dois números e queremos saber que porcentagem um deles é do outro.
Neste caso, podemos utilizar razões ou regra de três.
1º Modo: utilizando razões.
Primeiro observe que o valor do aumento foi de R$ 30,00. Pois, 530 – 500 = 30.
O valor principal é R$ 500,00.
O problema deseja saber qual foi o percentual de aumento, ou seja, que porcentagem R$ 30,00 é de R$ 500,00.
O percentual de aumento foi de 6%.
2º Modo: utilizando regra de três.
Novamente, temos o seguinte:
valor principal, R$ 500,00. Esse valor, equivale a 100%.
Valor do aumento, R$ 30,00.
Como desejamos saber que porcentagem 30 é de 500, então representaremos pela letra A.
Dinheiro        Porcentagem
500                     100
30                         A
As grandezas são proporcionais, logo:
Uma pergunta que é geralmente feita por diversos estudantes é sobre o valor de R$ 530,00 se, não o usamos na resolução.
Sim, você pode utilizá-lo na regra de três, ao invés do valor de R$ 30,00. Veja:
Dinheiro        Porcentagem
500                     100
530                       Y
Acima, representamos o percentual equivalente a 530 pela letra Y.
Novamente, as grandezas são proporcionais:
Perceba que a taxa percentual equivalente a 530 (novo valor do aluguel) é de 106%, isso em relação ao valor principal de 500 que equivale a 100%.
Então de 100% para 106% há um aumento de (106% – 100%) 6%.
Portanto, o percentual de aumento foi de 6%.
Viu como as soluções são semelhantes? Pouca coisa muda nos cálculos!
Questão 4.
No colégio, 38% dos alunos são meninos. Isso quer dizer que o percentual restante é formado de meninas.
100% – 38% = 62% dos alunos são meninas.
O enunciado diz que a quantidade de meninas é de 155.
Então, 62% do total de alunos equivale a 155 meninas.
Desse modo, por uma regra de três simples podemos determinar a quantidade total de alunos, o equivalente a 100%. Representaremos pela letra T.
Quantidade                Porcentagem
155                                   62
T                                     100
As grandezas são proporcionais, temos:
Portanto, o total de alunos do colégio é de 250.
Aqui, terminamos a primeira parte das resolução de problemas sobre porcentagem.
Soluções das Questões – parte 2
Questão 5.
Veja que a compra será realizada a prazo. Portanto, iremos calcular o valor a prazo primeiro.
Valor a Prazo = (preço à vista) + (10% sobre o preço à vista).
Valor a Prazo = 540 + 10% de 540.
Valor a Prazo = 540 + 0,10 x 540
Observe que 10% = 10/100 = 0,10.
Valor a Prazo = 540 + 54.
Valor a Prazo = 594 reais.
De posse do valor a prazo, podemos calcular o valor equivalente a 30% de entrada.
Valor da Entrada = 30% de 594.
Valor da Entrada = 0,30 x 594.
Valor da Entrada = 178,20 reais.
De 594 reais subtraímos 178,20 reais. Temos o restante que será pago em duas parcelas iguais.
Valor Restante = 594 – 178,20.
Valor Restante = 415,80 reais.
Os 415,80 reais serão pagos em duas prestações iguais, para descobrirmos o valor de cada prestação, basta dividir o valor restante por dois.
Valor de Cada Prestação = (415,80) : 2.
Valor de Cada Prestação = 207,90 reais.
Portanto, o valor de cada prestação será de R$ 207,90.
Questão 6.
De acordo com o enunciado, uma pessoa percorre 40% de uma estrada, andando mais 1500 m percorreria 70% da estrada.
Em termos matemáticos podemos escrever da seguinte forma:
(40% da estrada) + (1500 m) = (70% da estrada).
Espero que tenha compreendido a equação acima!
Vamos “chamar” o comprimento total da estrada de E, só para facilitar nossa escrita.
(40%de E) + 1500 = (70% de E).
Observe que 40% de E mais 1500 m é igual a 70% de E, logo podemos perceber que os 1500 m equivalem a 30% da estrada, certo? É só ter atenção a equação!
Com essa equivalência em mente, podemos chegar ao comprimento total da estrada (100%) por regra de três.
Comprimento          Porcentagem
1500                                30
E                                    100
As grandezas são proporcionais, temos:
Logo, o comprimento total da estrada é de 5000 m.
Um segundo modo de pensar na solução do problema é o seguinte:
Como já sabemos que 1500 m equivalem a 30% da estrada, se dividirmos 1500 por 3, teremos o equivalente a 10% da estrada.
1500 : 3 = 500.
Cada 10% da estrada equivale a 500 m.
E como 100% (total) é a igual “10 vezes 10%”, basta multiplicar 10 por 500, assim encontraremos a extensão total.
10 x 500 = 5000.
Novamente, a extensão total da estrada é de 5000 m.
Questão 7.
Repare que em nenhum ponto do enunciado foi dado algum valor referente a quantia da caderneta de poupança.
É nesse ponto que muitos estudantes ficam perdidos, isto é, sem saber por onde começar.
Bem, é possível demonstrar matematicamente que não é necessário ter um valor definido para a caderneta. A resposta final independe de tal valor.
Mas, não vamos demonstrar isso aqui, pois nosso objetivo é a aplicação direta de estratégias que agilizam a resolução.
Sempre que possível, vamos preferir o menor caminho para se chegar a resposta correta.
Então, vamos a solução!
Como não temos um valor definido para a caderneta, vamos supor um. Um valor que seja simples de trabalhar, isto é, que facilite nossos cálculos.
Vamos supor que o saldo inicial da caderneta seja de R$ 100,00.
Quantia de Ana = 70% de 100 = 0,70 x 100 = 70 reais.
Quantia de Lúcia = 30% de 100 = 0,30 x 100 = 30 reais.
Ora, o pai resolveu fazer um novo depósito igual ao saldo da caderneta, logo depositou R$ 100,00.
Novo Saldo da Caderneta = 100 + 100 = 200 reais.
Mas, este novo depósito de 100 reais, deverá ser dividido igualmente.
Então, cada filha ficará com 100/2 = 50 reais.
As novas quantias das filhas são:
Ana = 70 + 50 = 120 reais.
Lúcia = 30 + 50 = 80 reais.
Agora, vejamos a participação de Ana neste novo saldo em taxa percentual. Para isso, vamos utilizar razões:
Portanto, a participação de Ana no novo saldo, diminui para 60%.
Observação: você pode supor outro valor para o saldo inicial da caderneta, fique a vontade. Mas, procure sempre utilizar valores que facilitem os cálculos. Sua resposta final, deverá ser a mesma que encontramos, caso contrário, volte e revise seus cálculos.
Questão 8.
Novamente, seguiremos a mesma estratégia apresentada na questão anterior, isto é, vamos supor uma valor para o salário da pessoa.
Desse modo, nossos cálculos serão mais simples.
Vamos supor que o salário da pessoa tem valor inicial de R$ 1.000,00.
Houve perda de 20%. Temos:
1000 – (20% de 1000) = 1000 – 0,20 x 1000 = 1000 – 200 = 800.
Logo, o novo salário passará a ser de R$ 800,00.
Agora, de acordo com a pergunta, deseja-se saber que taxa percentual deve incidir sobre o novo salário para que a pessoa tenha novamente os R$ 1.000,00.
Repare que 800 para 1000, faltam 200.
Ora, que porcentagem 200 é de 800? Para isso, utilizaremos razão:
Veja, 200 equivale 25% de 800.
Portanto, aumentando em 25% o salário de R$ 800,00 a pessoa voltará a ganhar o mesmo salário inicial.
É claro que você pode supor outro valor para o salário inicial. Pode até mesmo não supor valor algum, trabalhar apenas com letras. Ao final, a resposta deverá ser a mesma.
Soma e Subtração com Taxas Percentuais
Para somar ou subtrair duas ou mais taxas percentuais, basta somar (ou subtrair) os números e colocar o símbolo de porcentagem (%) ao final.
Veja os exemplos:
a) 12% + 5% = (12 + 5)% = 17%.
b) 5,75% – 4,10% = (5,75 – 4,10)% = 1,65%.
Viu como é simples!
Não precisa usar parênteses, aqui, só estamos fazendo passo a passo. De modo que fique “bem claro” para você.
Multiplicação com Taxas Percentuais
Vamos aprender a multiplicar taxas percentuais de dois modos.
Primeiro, o modo tradicional que é ensinado na vídeoaula.
1º Modo: transforma-se as taxas percentuais em fração centesimal (denominador 100), depois é só multiplicá-las. O resultado final que será uma fração deve ser transformado em taxa percentual, novamente.
Veja os exemplos:
a) 25% x 32% =
Por que simplificamos por 100?
Observe que, neste caso, o denominador 10000 divido por 100 é igual a 100. Assim nossa fração final, terá o denominador 100, ou seja, uma fração centesimal. Desse modo, ficará mais simples escrever a taxa percentual final.
Portanto, 25% x 32% = 8%.
b) 22% x 4,25% x 40% =
Por que simplificamos por 10000?
Segue-se a mesma ideia do exemplo anterior. Temos que ter um fração centesimal e “olhando” para o denominador 1000000, percebemos que ao dividi-lo por 10000, obteremos uma fração centesimal ao final.
Por se tratar de uma simplificação, o que se faz com o denominador, também se faz com o numerador. Ambos divididos por 10000.
É claro que você deve ter aprendido na primeira aula, como transformar qualquer fração para taxa percentual. Tal técnica também pode ser usada.
Logo, 22% x 4,25% x 40% = 0,3740% ou 0,374%.
Agora, utilizaremos estes mesmos exemplos para aprender o segundo modo.
Neste segundo modo, vamos aprender um regra simples.
Você poderá usar o modo que se sentir mais confortável, pois ao final, os resultados devem ser os mesmos.
2º Modo: primeiro, multiplicam-se os números como se fossem números naturais, não leve em conta o símbolo de porcentagem. Ao resultado encontrado, desloque a vírgula (contando da direita para esquerda) uma quantidade de casas decimais igual ao dobro do número de símbolos de “%” encontrados nos fatores menos dois. Ao final, acrescenta-se o símbolo %.
Veja os exemplos novamente, com o segundo modo sendo aplicado.
a) 25% x 32% =
Primeiro, multiplicamos os números.
25 x 32 = 800.
Agora, vejamos a quantidade de casas decimais a ser deslocada.
Como deve ser o dobro do número de símbolos de %, devemos multiplicar por 2. Observe, temos dois símbolos de %, um do fator 25 e o outro, do fator 32. Depois de multiplicar subtraímos sempre 2.
2 x 2 – 2 = 4 – 2 = 2 casas decimais devemos deslocar para a esquerda.
Deslocando duas casas decimais para a esquerda (800,), temos: 8,00.
Portanto, 25% x 32% = 8,00% ou 8%.
Aplicando ao exemplo b.
b) 22% x 4,25% x 40% =
Multiplicando os números.
22 x 4,25 x 40 = 3740.
Quantidade de casas decimais a ser deslocada.
Temos três símbolos de %, então:
2 x 3 – 2 = 6 – 2 = 4 casas decimais devemos deslocar para a esquerda.
O resultado da multiplicação foi 3740,.
Deslocando quatro casas decimais, temos: 0,3740 ou 0,374.
Portanto, 22% x 4,25% x 40% = 0,374%.
Caso você não sabia, agora poderá responder a pergunta feita no início do artigo, pois acabou de aprender pelo menos dois métodos para multiplicar taxas percentuais.
Fique a vontade para escolher aquele que achar melhor para realizar seus cálculos, de qualquer modo, chegará a resposta correta.
A multiplicação de taxas percentuais é de grande importância para o seu aprendizado, constitui o embasamento para simplificação e resolução de grande parte dos problemas de porcentagem.
Vamos seguir em frente, para a divisão.
Divisão com Taxas Percentuais
Para realizar a divisão com taxas percentuais, dividem-se os números percentuais como se fossem números naturais. Os símbolos % são eliminados.
A divisão de uma taxa percentual por outra tem como resultado um número.
Exemplos:
a) 48% : 3% =
48 : 3 = 16.
Logo, 48% : 3% = 16.
b) 32% : 4% =
Logo, 32% : 4% = 8.
Potenciação com Taxas Percentuais
Para a operação de potenciação, vamos aplicar diretamente uma regra, como no segundo modo da multiplicação.
Aliás, para calcular potências de taxas percentuais, você também poderá aplicar as regras da multiplicação.
Atenção, este modo, não é ensinado na vídeoaula.
Regra: calcula-se a potência como se fosse de números naturais. Ao resultado encontrado, desloque a vírgula (contando da direita para esquerda) uma quantidade de casasdecimais igual ao dobro do expoente menos dois. Ao final, acrescenta-se o símbolo %.
É semelhante ao segundo modo da multiplicação!
Exemplos:
a) (3%)² =
3 x 3 = 9.
Para a quantidade de casas decimais, temos: o dobro do expoente (2) menos dois.
2 x 2 – 2 = 4 – 2 = 2 casas decimais para a esquerda.
O resultado foi 9,. Deslocando a vírgula: 0,09.
Portanto, (3%)² = 0,09%.
b) (20%)³ =
20 x 20 x 20 = 8000.
Quantidade de casas decimais.
2 x 3 – 2 = 6 – 2 = 4 casas decimais.
O resultado foi 8000,. Deslocando a vírgula: 0,8000 ou 0,8.
Portanto, (20%)³ = 0,8%.
Radiciação com Taxas Percentuais (raiz quadrada)
Neste caso, também vamos aprender uma regra. Porém, na vídeoaula, apresentamos outra técnica.
Novamente, você poderá usar uma técnica ou outra. Ambas, ao final, devem dar o mesmo resultado.
Regra: calcula-se a raiz do número como se fosse um número natural. Depois, multiplica-se o resultado por 10, acrescentando-se o símbolo de %.
Exemplos:
Calculando a raiz…
Agora, multiplicamos por 10.
10 x 6 = 60. Colocamos o símbolo de %. Temos que:
Calculando a raiz…
Multiplicamos o resultado por 10.
10 x 2 = 20. Acrescentando o símbolo de %, temos que:
Resumo das Operações com Taxas Percentuais
Abaixo, apresentamos um resumo para as operações mencionadas acima.
Soma e Subtração com Taxas Percentuais
Realize a soma ou a subtração de taxas percentuais como se fossem números naturais. Ao resultado final coloque o símbolo de %.
Multiplicação com Taxas Percentuais
Neste caso apresentamos dois modos:
1º Modo: considerado o tradicional, transforma-se as taxas percentuais para fração centesimal, depois multiplique as frações. O resultado obtido que será uma fração, deve ser transformado para taxa percentual.
2° Modo: Multiplicam-se os números como se fossem números naturais. Ao resultado, colocam-se as casas decimais em número igual ao dobro do número de símbolos % nos fatores menos dois. Coloque o símbolo de %.
Divisão com Taxas Percentuais
Dividem-se os números como se fossem números naturais, anulando o símbolo de %.
Lembre-se, o resultado da divisão de uma taxa percentual por outra, é um número (e não uma taxa!).
Potenciação com Taxas Percentuais
Também apresentamos dois modos, um na vídeoaula (você assistiu?) e outro na descrição.
1º Modo: conhecido por ser o mais comum, primeiro transformamos as taxas percentuais para fração centesimal. Multiplicamos as frações e depois transformamos o resultado final que será uma fração em taxa percentual, novamente.
2° Modo: calcula-se a potência como se fosse uma potência de números naturais. Ao resultado, colocam-se as casas decimais em número igual ao dobro do expoente menos dois. Acrescenta-se o símbolo de % ao resultado final.
Radiciação com Taxas Percentuais
Apresentamos também dois modos, o primeiro você viu na vídeoaula. Basta transformar para fração e extrair a raiz dos números envolvidos. Depois, transforma-se para taxa percentual novamente.
A grande dificuldade que pode aparecer será no cálculo da raiz quadrada, pois nem todos os números (a maioria) tem raiz quadrada exata. Mas, não vamos nos aprofundar neste ponto, pois este não é nosso foco aqui.
Além do mais, grande parte das questões de concursos não exigem cálculos avançados.
No segundo modo, temos uma regra bem simples:
Calcula-se a raiz quadrada do número como se fosse um número natural, depois multiplica-se o resultado por 10. Coloca-se o símbolo de % ao final.
Atenção, tal regra deve ser usada somente para raiz quadrada de uma taxa percentual.
Definição de Porcentagem e Algumas Observações Importantes
Porcentagem, nada mais é de que uma fração de denominador 100. Também conhecida como uma razão centesimal.
Exemplo:
“Vinte por cento” escreve-se 20% e significa “vinte centésimos”, isto é,
O símbolo % resultou de diversas abreviações e mudanças da expressão  “por cento”, usada por comerciantes venezianos e genovezes.
Quando se diz “vinte por cento” está se pensando em 20% de uma determinada grandeza. Essa grandeza pode ser, uma quantidade de dinheiro, um terreno, etc.
Isto significa um quinto dessa grandeza, pois
Mas atenção, nem toda porcentagem pode se simplificada como acima. Exemplo:
“Vinte e três por cento são vinte e três centésimos” e fim.
O uso de porcentagens é tão comum no nosso cotidiano (linguagem do dia-a-dia) que é muito conveniente ter em mente os significados de alguma delas.
Isso vai nos ajudar muito em relação a resolução de problemas. Observe:
100% → tudo (o todo)
50% → a metade
25% → a quarta parte
20% → um quinto
10% → a décima parte (um décimo)
5% → a vigésima parte (um vigésimo)
1% → a centésima parte (um centésimo)
Outras porcentagens dão uma ideia aproximada. Por exemplo:
60% → pouco mais da metade
40% → pouco menos da metade
30% → quase um terço (quase a terça parte)
Vejamos agora as transformações equivalentes.
Transformação da Taxa Percentual em uma Fração Centesimal ou Equivalente Irredutível
Para isso, escrevemos uma fração de numerador correspondente ao número da taxa percentual e o denominador, 100.
Conforme a possibilidade, simplificamos até encontrar uma fração irredutível.
Veja exemplos:
a) 12%
b) 175%
Transformação da Taxa Percentual em Número Decimal (ou forma unitária)
Primeiro, escrevemos a taxa percentual na forma de fração centesimal. Depois, dividimos o numerador pelo denominador (100).
Veja exemplos:
a) 15%
Assim, 15% = 0,15.
b) 23,4%
Assim, 23,4% = 0,234.
Transformação de Número Decimal para Taxa Percentual
Esse processo é bem simples. Basta apenas multiplicar o número decimal por 100 e colocar o símbolo %.
Talvez, pesquisando, você encontre o processo em que, primeiro transforma-se o número decimal para um fração de denominador 100 e só depois, escreve-se na forma de taxa percentual.
Observação: nosso objetivo é a aplicação direta de técnicas (ou propriedades matemáticas) para o cálculo de porcentagens, portanto, aqui não iremos abordar demonstrações matemáticas.
Veja exemplos:
a) 0,7
Assim, 0,7 = 70%.
b) 0,275
Assim, 0,275 = 27,5%.
Transformação de Fração para Taxa Percentual
Primeiro, transformamos a fração para um número decimal e depois, multiplicamos o resultado por 100, colocando ao final o símbolo de %.
Caso a fração já tenha o denominador 100, não há a necessidade do processo acima. Basta apenas escrever o numerador em taxa percentual.
Para transformarmos a fração para um número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador.
Veja exemplos:
a) 3/10
Assim, 3/10 = 30%.
b) 5/8
Assim, 5/8 = 62,5%.