Exercícios - Lógica e Raciocínio - Postulados, Teoremas e Conjecturas

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Uma definição é um nome que damos para uma classe de objetos com carac-
terísticas em comum, ou para abreviar a escrita de um objeto. Por exemplo:
 
Chamamos de número primo os números naturais que são divisíveis por
exatamente dois números: pelo 1 e por ele mesmo.
Um número é composto quando ele não é um número primo.
Um triângulo é uma figura plana formada por três segmentos de reta que
se intersectam dois a dois em suas extremidades
 
Observe que um mesmo objeto pode ser definido segundo duas regras diferen-
tes, mas que são equivalentes para descrever o mesmo tipo de objeto:
 
Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois de seus la-
dos possuem a mesma medida.
Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois de seus ân-
gulos internos possuem a mesma medida.
 
Em uma definição não estamos interessados em garantir que a família de obje-
tos definida exista ou seja útil, apenas que a definição é clara e sem ambiguida-
des. Por exemplo, se B é o conjunto dos números primos e pares maiores doPróxima
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que 10, como o único número primo e par é o número 2, o conjunto B não pos-
sui nenhum elemento, é um conjunto vazio.
 
Postulados e axiomas são as regras iniciais de uma teoria, que não são pro-
vadas ou demonstradas. São consideradas “verdades absolutas”, e deles que
derivam os primeiros teoremas e resultados demonstráveis.
 
Axiomas são obrigatoriamente independentes entre si, um axioma não
pode ser demonstrável a partir dos demais axiomas e postulados.
Postulados não são obrigatoriamente independentes entre si, um postu-
lado pode ser demonstrável a partir dos demais axiomas e postulados.
 
Lemas, proposições, teoremas e corolários são resultados demonstráveis a
partir de postulados, axiomas e resultados previamente demonstrados. Existe a
seguinte hierarquia entre estes conceitos:
 
Proposições: São resultados de relevância “padrão”, úteis, porém não
possuem destaque.
Teoremas: São resultados de maior relevância na teoria estudada.
Lemas: São resultados prévios, normalmente técnicos, para a demonstra-
ção de uma proposição ou teorema.
Corolário: Resultado cuja demonstração utiliza um resultado provado logo
antes.
Escólio: Resultado imediato de um resultado anterior, de demonstração
imediata.
 
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Conjecturas são candidatas a proposições/teoremas que ainda não foram pro-
vadas como verdadeiras ou falsas. São suposições não verificadas. Também
podem ser chamadas de hipóteses.
 
Proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach, a Conjectura de Gold-
bach é um dos problemas mais antigos não resolvidos na matemática, com ori-
gem em 1742.
 
Conjectura de Goldbach (1742): Todo número par maior do que 2 pode ser
representado pela soma de dois números primos.
 
4=2+2 
 6=3+3 
12=5+7
 
Melhor versão provada (Ramaré, 1995): Todo número par é a soma de no 
máximo 6 números primos.
 
 
Atividade extra
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A demonstração de um teorema pode levar vários anos, e envolver diversas
áreas distintas da matemática. O Último Teorema de Fermat é um resultado
que envolveu desde o Teorema de Pitágoras até equações elípticas.
A atividade extra é a leitura do livro O Último Teorema de Fermat: A história do
enigma que confundiu as mais brilhantes mentes do mundo durante 358 anos,
de Simon Singh, onde o autor relata a história deste teorema, de forma lúdica,
intrigante e acessível ao público leigo.
 
 
Referência Bibliográfica
Sant’Anna, Adonai S. O que é uma Definição. Série Lógica Matemática. Editora
Manole. Barueri, 2005.
Copi, Irwing M. Introdução à lógica. Editora Mestre Jou. São Paulo, 2001
Goldbach conjecture verification. Disponível em:
<http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html>
Singh, Simon. O Último Teorema de Fermat: A história do enigma que confun-
diu as mais brilhantes mentes do mundo durante 358 anos. Tradução de Jorge
Luiz Calife. Editora BestBolso. Rio de Janeiro, 2014.
 
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