Conceitos Matemáticos: Definições, Postulados e Conjecturas

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Postulados, Teoremas e Conjecturas
Uma definição é um nome que damos para uma classe de objetos com características em comum, ou para abreviar a escrita de um objeto. Por exemplo:
· Chamamos de número primo os números naturais que são divisíveis por exatamente dois números: pelo 1 e por ele mesmo.
· Um número é composto quando ele não é um número primo.
· Um triângulo é uma figura plana formada por três segmentos de reta que se intersectam dois a dois em suas extremidades.
 
Observe que um mesmo objeto pode ser definido segundo duas regras diferentes, mas que são equivalentes para descrever o mesmo tipo de objeto:
· Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois de seus lados possuem a mesma medida.
· Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois de seus ângulos internos possuem a mesma medida.
 
Em uma definição não estamos interessados em garantir que a família de objetos definida exista ou seja útil, apenas que a definição é clara e sem ambiguidades. Por exemplo, se B é o conjunto dos números primos e pares maiores do que 10, como o único número primo e par é o número 2, o conjunto B não possui nenhum elemento, é um conjunto vazio.
 
Postulados e axiomas são as regras iniciais de uma teoria, que não são provadas ou demonstradas. São consideradas “verdades absolutas”, e deles que derivam os primeiros teoremas e resultados demonstráveis.
· Axiomas são obrigatoriamente independentes entre si, um axioma não pode ser demonstrável a partir dos demais axiomas e postulados.
· Postulados não são obrigatoriamente independentes entre si, um postulado pode ser demonstrável a partir dos demais axiomas e postulados.
 
Lemas, proposições, teoremas e corolários são resultados demonstráveis a partir de postulados, axiomas e resultados previamente demonstrados. Existe a seguinte hierarquia entre estes conceitos:
· Proposições: São resultados de relevância “padrão”, úteis, porém não possuem destaque.
· Teoremas: São resultados de maior relevância na teoria estudada.
· Lemas: São resultados prévios, normalmente técnicos, para a demonstração de uma proposição ou teorema.
· Corolário: Resultado cuja demonstração utiliza um resultado provado logo antes.
· Escólio: Resultado imediato de um resultado anterior, de demonstração imediata.
 
Conjecturas são candidatas a proposições/teoremas que ainda não foram provadas como verdadeiras ou falsas. São suposições não verificadas. Também podem ser chamadas de hipóteses.
 
Proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach, a Conjectura de Goldbach é um dos problemas mais antigos não resolvidos na matemática, com origem em 1742.
Conjectura de Goldbach (1742): Todo número par maior do que 2 pode ser representado pela soma de dois números primos.
4 = 2 + 2          6 = 3 + 3         12 = 5 + 7
Melhor versão provada (Ramaré, 1995): Todo número par é a soma de no máximo 6 números primos.
 
 
Atividade Extra 
A demonstração de um teorema pode levar vários anos, e envolver diversas áreas distintas da matemática. O Último Teorema de Fermat é um resultado que envolveu desde o Teorema de Pitágoras até equações elípticas.
 
A atividade extra é a leitura do livro O Último Teorema de Fermat: A história do enigma que confundiu as mais brilhantes mentes do mundo durante 358 anos, de Simon Singh, onde o autor relata a história deste teorema, de forma lúdica, intrigante e acessível ao público leigo.
 
Referência Bibliográfica
Sant’Anna, Adonai S. O que é uma Definição. Série Lógica Matemática. Editora Manole. Barueri, 2005.
Copi, Irwing M. Introdução à lógica. Editora Mestre Jou. São Paulo, 2001
Goldbach conjecture verification. Disponível em: <http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html>
Singh, Simon. O Último Teorema de Fermat: A história do enigma que confundiu as mais brilhantes mentes do mundo durante 358 anos. Tradução de Jorge Luiz Calife. Editora BestBolso. Rio de Janeiro, 2014.
QUESTAO 1
É correto afirmar que:
1. Ao desenvolver uma teoria matemática, um pesquisador pode estabelecer um postulado que é demonstrável, porém por sua complexidade ou desconhecimento à priori de uma demonstração, faz parte do rol das “regras iniciais” da teoria
2. Todo postulado é também um axioma, mas nem todo axioma é um postulado
3. Uma definição pode ser ambígua, isto é, com a mesma redação podemos definir duas classes de objetos diferentes, sem que tenham quaisquer propriedades em comum
4. Uma hipótese que ainda não foi demonstrada pode ser considerada como um escólio, até que se encontre um contraexemplo ou uma demonstração válida, passando a ser chamada de conjectura
5. Lemas e proposições são resultados menores de uma teoria, e sempre podem ser descartados, pois não são necessários para demonstrar nenhum teorema ou outro resultado
QUESTAO 2
Um dos mais famosos teoremas matemáticos, o Último Teorema de Fermat é uma generalização do Teorema de Pitágoras. Em seu teorema, escrito como uma nota de canto em suas anotações, Fermat afirmava que não existia uma trinca de números naturais tais que a equação an = bn + cn, para n > 2. 
Apesar de Fermat afirmar que possuía uma demonstração para tal resultado, ele nunca a divulgou. Levaram-se 358 anos até que o matemático Andrew Wiles em 1995 encontrasse uma demonstração válida, utilizando métodos matemáticos extremamente modernos e complexos.
Com respeito ao Último Teorema de Fermat, podemos afirmar que:
1. Tal resultado sempre foi considerado um teorema, pois Fermat já havia informado que tinha uma prova, apesar de nunca ter sido divulgada
2. Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos foi considerado como uma conjectura, pois sua demonstração não havia sido divulgada até 1995
3. Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos foi considerado como um postulado, pois era uma sentença considerada válida para o desenvolvimento da geometria, e não contradizia nenhum dos demais postulados de Euclides
4. Apesar do nome de teorema, tal resultado é na verdade um escólio do Teorema de Pitágoras, pois é um resultado imediato do teorema pitagórico
5. Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos foi considerado como um axioma, pois era uma sentença considerada válida para o desenvolvimento da geometria, e é independente dos demais postulados de Euclides
QUESTAO 3
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece condições para se calcular a integral de uma função através da derivada de sua primitiva. Sobre tal teorema, podemos afirmar que:
1. Apesar do nome de teorema, tal resultado é na verdade um postulado, pois é fundamental nos estudos das funções, e não possui uma demonstração comprovada
2. Por ser fundamental, tal sentença não é demonstrável, mas sim assumida como verdade inicial, sendo assim um axioma
3. Apesar de ser um resultado fundamental, tal sentença é um teorema, logo possui uma demonstração
4. Por ser fundamental, tal sentença é considerada uma definição matemática
5. Tal resultado não possui uma demonstração, e por conta disto, é uma conjectura, e não possui aplicações na engenharia, medicina ou estatística
QUESTAO 4
Considere a seguinte questão matemática: Pedro comprou 5 bananas e 7 laranjas, onde o total da compra foi de R$ 8,90. Sabendo que o custo total das bananas foi 3 reais a menos que o das laranjas, calcule o preço de cada unidade de banana e cada unidade de laranja.
Para resolver tal questão, Pedro escreveu: Seja B o preço de uma banana e L o preço de uma laranja, então:
Sobre as incógnitas B e L, podemos afirmar que:
1. Dizer que B é o preço de uma banana e L é o preço de uma laranja é definir o que são as incógnitas B e L, isto é, são definições, que valem em qualquer contexto, problema, teorema ou teoria matemática
2. Dizer que B é o preço de uma banana e L é o preço de uma laranja é definir o que são as incógnitas B e L, porém é um tipo de definição restrita ao problema proposto, isto é, em outro contexto uma incógnita B ou L provavelmente terá outro significado
3. Como B e L são preços de frutas em uma situação-problema, não são definições, pois suas propriedades e característicasse restringem somente a uma situação-problema em específico, não sendo uma característica geral em uma teoria matemática
4. As incógnitas B e L foram definidas de modo inválido, pois obrigatoriamente qualquer incógnita deve ser definida utilizando somente letras minúsculas
5. Como B e L são, ao final das contas, apenas números, B e L não são definições, e sim apenas incógnitas de uma situação-problema
QUESTAO 5
A Hipótese de Goldbach (1742) estabelece que todo número par maior do que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Em 1995 o matemático Ramaré demonstrou que todo número par maior do que 2 pode escrito como a soma de no máximo seis números primos. Com isto, podemos afirmar que:
1. A Hipótese de Goldbach foi refutada por Ramaré, pois o resultado de Ramaré estabelece uma quantidade de números primos maior do que a conjecturada por Goldbach
2. Apesar do resultado de Ramaré, em nada ele contribui para a Hipótese de Goldbach, pois é um resultado menos preciso que o de Goldbach, logo descartável e sem valor na matemática
3. Apesar do resultado de Ramaré não demonstrar a Hipótese de Goldbach, ela embasa intuitivamente que a Conjectura de Goldbach deve ser verdadeira, porém ainda precisa de uma demonstração formal
4. O resultado de Ramaré prova parcialmente a Hipótese de Goldbach, logo intuitivamente podemos considerar a Hipótese de Goldbach válida, logo sendo um teorema fundamental para a Teoria dos Números
5. O resultado de Ramaré e a Hipótese de Goldbach não possuem nenhuma relação em comum, se tratando de áreas completamente distintas da matemática
QUEATO 6
Uma proposição é estruturada em uma hipótese (ou pré-requisitos) que resultam em uma tese (ou resultado da proposição). Apesar de, ao utilizarmos uma proposição, estarmos mais interessados em sua tese, é importante verificar se os pré-requisitos são todos satisfeitos. Por exemplo, na proposição “Se n é um número natural, então n2  ≥ n” é válida, porém se tentarmos utilizar esta proposição em um número que não é natural, ela pode não ser válida (para q sendo um número racional entre 0 e 1, temos que q2 < q).
Tendo em vista a importância da hipótese e da tese de uma proposição (ou teorema, lema...), podemos afirmar que:
1. Um teorema só é válido, a princípio, quando todas as condições de sua hipótese são verificadas. Caso alguma delas não seja verificada, a tese pode ser válida ou não
2. Ao modificarmos a hipótese de um teorema, temos um novo resultado, que é automaticamente válido, pois se trata de uma pequena modificação de um teorema de já demonstrado, portanto matematicamente validado
3. Se uma proposição é válida para um conjunto numérico, podemos sempre considerar que ela é válida para um conjunto numérico maior (isto é, que contém o conjunto numérico original)
4. Se uma proposição é válida para um conjunto numérico, e restringimos para um conjunto de números menor (isto é, contido no conjunto numérico original), a proposição automaticamente se torna inválida, por modificarmos suas hipóteses
5. Existe um nível de tolerância na matemática para que um resultado seja considerado automaticamente válido, caso ele seja uma variação de um resultado previamente demonstrado e validado