Manual de resolucao dos exercicios propostos (2)

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Matemática financeira: aplicações à 
análise de investimentos 
 
5ª. Edição 
 
Resolução dos exercícios 
propostos 
 
Um dos méritos deste livro, que contribui a torná-lo um dos preferidos 
pelos estudantes e professores, é explicar os diferentes assuntos da 
matemática financeira e análise de investimentos por meio de uma grande 
quantidade de exemplos e de numerosos exercícios propostos ao longo 
dos capítulos. 
Nesta quinta edição, disponibilizamos aos leitores as resoluções 
detalhadas de todos os exercícios propostos no livro. 
Esperamos que este novo recurso facilite a compreensão e estudo dos 
diversos assuntos tratados. 
 
 
 
O autor 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
CAPÍTULO 1 
Exercícios propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, anos comerciais de 360 
dias. 
 
1. Qual é a taxa anual de juros simples obtida por uma aplicação de $1.300 que produz após um ano um 
montante de $1.750? 
Dados: P= $1.300, S= $1.750, i= ? 
S P (1 i) $1.750 $1.300 (1 i) i 34,61% a.a.        
 
2. Qual é a remuneração obtida por um capital de $2.400 aplicado durante 17 meses à taxa de juros 
simples de 60% a.a.? 
Dados: P= $2.400, i= 60% a.a., n= 17 meses, J= ? 
J P i n
0,6
J $2.400 17 J= $2.040
12
       
 
 
3. Calcular o rendimento de um capital de $80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 
26% a.m.. 
Dados: P= $80.000, i= 26% a.m., n= 28 dias, J= ? 
J P i n
0,26
J $80.000 28 J= $19.413,33
30
       
 
 
4. Aplicando $80.000 durante 17 meses, resgatamos $140.000. Qual é a taxa anual de juros simples 
obtida na operação? 
Dados: P= $80.000, S= $140.000, n= 17 meses, i= ? 
S P (1 i n) 
i
$140.000 $80.000 (1 17) i 52,94% a.a.
12
          
 
 
5. Em quantos meses um capital de $28.000 aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a. produz um 
montante de $38.080? 
Dados: P= $28.000, S= $38.080, i= 48% a.a., n= ? 
S P (1 i n)
0,48
 $38.080 $28.000 (1 n) n= 9 meses
12
         
 
 
6. Um capital aplicado transformou-se em $13.000. Considerando uma taxa de juros simples de 42% 
a.a e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da aplicação. 
Dados: S= $13.000, i= 42% a.a., J= $4.065,29, n= ? (meses) 
0, 42
$13.000 × × n 
S × i × n 12J = $4.065, 29 = 
0, 421 + i × n 
1 + × n 
12
455 × n 
$4.065, 29 = n = 13 meses
1 + 0, 035 × n 

 
 
 
7. Um capital de $135.000 transformou-se em $180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de 
juros obtida na operação. 
Dados: P= $135.000, S= $180.000, n= 44 dias, i= ? 
S P (1 i n)
i
 $180.000 $135.000 (1 44) i 22,73% a.m.
30
          
 
 3 
8. João tem uma dívida de $35.000 que vence em 16 meses. Pretende pagar $12.000 no fim de 158 
dias e $13.000, 189 dias depois desse primeiro pagamento. Quanto deve pagar na data de vencimento 
de modo que liquide a dívida? Considere juros simples de 50% a.a. e data focal no vencimento da 
dívida. 
Dado: i= 50% a.a. 
 
 
 0 158 347 480 
 - $12.000 - $13.000 $35.000 
 133 dias 
 322 dias 
 
0,50 0,50
Valor no vencimento $35.000 - $12.000 1 322 $13.000 1 133 $2.231,95
360 360
      
   
   
   
 
 
9. Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma $156.400. O mesmo capital diminuído de seus 
juros de nove meses é reduzido a $88.400. Calcular o capital e a taxa de juros simples obtida. 
Dados: S1= $156.400, S2= $88.400, n1= 21 meses, n2= 9 meses, P= ?, i= ? 
 
108.800P a.a.) .m.(25%2,083333%ai 400.88$9iPP
156.400$12iPP


 
 
 
10. Um capital de $4.500 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A 
primeira a juros simples de 4% a.t., a segunda a juros simples de 6% a.t. e a terceira a juros simples de 
10% a.t. Se o rendimento da primeira parcela for de $160 e o rendimento das três parcelas totalizar $ 
1.320, calcular o valor de cada parcela. 
Dados: P1+ P2+ P3 = $4.500 , i1 = 4% a.t., i2 = 6% a.t., i3 = 10% a.t., n= 1 ano = 4 trimestres, J1 = 
$160, J1+ J2+ J3 = $1.320, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ? 
 
J P i n  
 
Logo, 
1 1 1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 3 2 3
J P i n $160 P 0,04 4 P $1.000
J P i n
J P i n
J + J + J (P i + P i + P i ) n $1.320 (40+ P 0,06+ P 0,1) 4 P 0,06+ P 0,1 = $290
        
  
  
            
Portanto, 
 
2 3
2 3
2 3
P 0,06+ P 0,1 = $ 290
P = $1.500, P = $2.000
P + P = $3.500
  
 
 
 
 
11. Dois capitais, um de $2.400 e outro de $1.800, foram aplicados a uma mesma taxa de juros simples. 
Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias rendeu $17,00 a mais que o segundo em 
30 dias. 
Dados: J1 - J2 = $17, n1 = 48 dias, n2 = 30 dias, P1= $2.400, P2= $1.800, i= ? 
 
1 2 1 1 2 2 
i i
J - J (P n - P n ) $17 ( $2.400 48- $1.800 30) i 0,833% a.m.
30 30
          
 
 
12. Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital sabendo-se 
que, se a diferença entre ele e os juros obtidos fosse aplicada à mesma taxa, renderia $988,75 em um 
trimestre. 
 4 
Dados: i= 42% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 90 dias, P= ? 
 
 
1 1
1 2
J = P i n
i 0,42 0,42
P-J n $988,75 P (1 50) 90 $988,75 P= $10.000
360 360 360
 
          
 
 
13. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital e o 
rendimento obtido, sabendo-se que, se a diferença entre ambos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à 
mesma taxa, renderia $95.000 no prazo de um ano. 
Dados: i= 30% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, P= ? 
 
 
1 1
1 2
J = P i n
0,30
P-J + $10.000 i n $95.000 P (1 50) 0,30 1+ $10.000 0,30 1 $95.000
360
P = $320.000
 
           

Logo, 
 
1 1 1 1
0,3
J = P i n J = $320.000 50 J = $13.333,33
360
    
 
 
14. Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% a.a e o segundo a 45% a.a. Se o 
rendimento de ambas as aplicações totalizou $52.500 no prazo de um ano, determinar o valor dos 
capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo. 
Dados: P1= (1-0,375)P2, i1 = 33% a.a., i2 = 45% a.a., n= 1 ano, S1+ S2 = $52.500 
 
1 2 1 1 2 2 2
2
J P i n
J J = P i + P i n $52.500 0,625 0,33+ 1 0,45 1 P 
 P = $80.000 
+ ( ) ( )
 
  
        

 
Logo, 
 
1P = $50.000 
 
 
15. Há 13 meses e dez dias um capital de $10.000 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. Se 
hoje fosse aplicada a importância de $8.000 a juros simples de 12% a.a., e o primeiro capital continuar 
aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos seriam iguais? 
Dados: n1= 400 dias, P1 = $ 10.000, P2 = $ 8.000, i1 = 6% a.a., i2 = 12% a.a., n= ? 
 
Na data focal, 
S P (1 i n)
0,06 0,12
$10.000 (1 (n+400)) $8.000 (1 n)
360 360
n = 2.667 dias = 7 anos, 4 meses e 27 dias
   
      

 
 
16. Uma empresa obteve um empréstimode $200.000 a juros simples de 10% a.a. Algum tempo depois 
liquidou a dívida, inclusive juros, e tomou um novo empréstimo de $300.000 a juros simples de 8% a.a. 
Dezoito meses após o primeiro empréstimo liquidou todos seus débitos, tendo pago $35.000 de juros 
totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos (em meses) dos dois empréstimos. 
Dados: J1 + J2 = $35.000, n1 + n2 = 18 meses, P1= $200.000, P2= $300.000, , i1 = 10% a.a., i2 = 8% 
a.a., n1= ?, n2 = ? 
 
1 2
1 2 1 1 2 2 1 1 
1 2
i i 0,1 0,08
J + J (P n + P n ) $35.000 ( $200.000 n + $300.000 (18 n ) )
12 12 12 12
 n 3 meses,n 15 meses
           
  
 
 
 
 5 
17. Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9% a.a.; 45 dias depois, pagou a dívida e 
contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo de dez meses a juros 
simples de 6% a.a. Sabendo-se que pagou ao todo $111.250 de juros pelos dois empréstimos, calcular o 
valor do primeiro. 
Dados: J1 + J2 = $111.250, n1 = 45 dias, n2 =10 meses, P2= 2 P1, i1 = 9% a.a., i2 = 6% a.a., P1 = ? 
 
1 2
1 2 1 1 2 2 1 
1
i i 0,09 0,06
J + J (P n + P n ) $111.250 P ( 45 + 2 10 )
360 12 360 12
 P $1.000.000
          
 
 
 
18. Um capital foi dividido em duas parcelas e aplicado a taxas e prazos diferentes. A primeira foi 
aplicada a juros simples de 10% a.m. durante seis meses, e a segunda a juros simples de 2% a.m. 
durante 12 meses. Se a primeira parcela for $50 maior e render $60 a mais que a segunda, determinar os 
valores de ambas as parcelas. 
Dados: J1 - J2 = $60, n1 = 6 meses, n2 = 12 meses, i1 = 10% a.m., i2 = 2% a.m., P1 - P2= $50, P1= ?, 
P2= ? 
 
1 2
1 2 1 1 2 2 2 2 
1 2
i i
J - J (P n - P n ) $60 $50+P 6 0,1- P 12 0,02
12 12
 P $133,33, P $83,33
          
  
 
 
19. Aplicado a juros simples pelo prazo de um ano, um capital transformou-se em $13.000. Esse 
montante foi reaplicado por mais dois anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na primeira 
aplicação, obtendo-se um montante final de $22.360. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado e 
a taxa de juros ao ano à qual foi aplicado. 
Dados: S1 = $13.000, S2 = $22.360 n1 = 1 ano, n2 = 2 anos, i2 = 1,2.i1, P1= ?, i1= ? 
 
2
2 1 2 2 2 2 1
i
1,2
S S (1 i n ) $22.360 $13.000 (1 i 2) i 36% a.a. i = 30% a.a.            
Por outro lado, 
1 1 1 1 1 1S P (1 i n ) $13.000 P (1 0,3 1) P $10.000          
 
 
20. Uma pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples de 30% a.a. 
Depois de três anos, resgatou metade dos juros obtidos e reaplicou a outra metade por um ano à taxa 
simples de 32% a.a., obtendo um rendimento de $20,16 nessa última aplicação. Calcular o valor do 
capital aplicado inicialmente. 
Dados: P2 = 0,5. J1, J2 = $20,16, n1 = 3 anos, n2 = 1 ano, i1 = 30% a.a., i2 = 32% a.a., P1= ? 
 
2 2 2 2 2 2 1J P i n $20,16 P 0,32 1 P = $63 J = $126        
 
Por outro lado 
1 1 1 1 1 1J P i n $126 P 0,3 3 P = $140       
 
 
21. Dois capitais foram colocados a juros simples, o primeiro à taxa de 20% a.a. e o segundo a 40% a.a. 
Calcular os capitais sabendo-se que, somados, eles montam $500 e que os dois em um ano renderam 
juros totais de $130. 
Dados: P1+ P2 = $500 , i1 = 20% a.a., i2 = 40% a.a., n= 1 ano, J1+ J2 = $130, P1 = ?, P2 = ?, 
 
1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 J + J (P i + P i ) n $130 ( P 0,2+ ($500 - P ) 0,4) 1 P = $350 P = $150           
 
22. Um capital de $50.000 aplicado a juros simples rendeu $1.875 em um determinado prazo. Se o 
prazo fosse 36 dias maior, o rendimento aumentaria em $250. Calcular a taxa de juros simples ao ano e 
o prazo da operação em dias. 
Dados: P = $50.000, J1 = $1.875 , J2 - J1 = $250, n2- n = 36 dias, i = ?, n = ?, 
 
 6 
 2 1 2 
1
i
n
360
i
360
J J P i - n $250 $50.000 36 i= 5% a.a.
J P i n $1.875 $50.000 n n= 270 dias = 9 meses
-        
       
 
23. Uma pessoa levantou um empréstimo de $3.000 a juros simples de 18% a.a. para ser liquidado 
daqui a 270 dias. Se a pessoa amortizou $1.000 no 75
o
 dia, quanto deverá pagar na data de vencimento 
de modo a liquidar a dívida? (data focal: 270
o
 dia). 
Dados: i= 18% a.a. 
 270 dias 
 
 0 75 270 
 $3.000 - $1.000 
 
 195 dias 
 
0,18 0,18
Valor de resgate: $3.000 1 270 -$1.000 1 195 $2.307,50
360 360
     
   
   
   
 
24. Uma empresa tem duas dívidas a pagar: a primeira, de $2.500, contratada a juros simples de 2,5% 
a.m., vence daqui a 45 dias; e a segunda, de $3.500, a juros simples de 3% a.m., vence daqui a 90 dias. 
Calcular a quantia necessária que liquide ambas as dívidas daqui a 180 dias, considerando que no 30
o
 
dia do seu prazo a primeira dívida foi amortizada com $1.500 e, no 60
o
 dia do seu prazo, a segunda foi 
amortizada com $3.000 (efetuar os cálculos na data focal:180
o
 dia). 
Dados: i1= 2,5% a.m. 
 150 dias 
 
 30 45 180 
 -$1.500 $2.500 
 
 135 dias 
 
 
i1= 3% a.m. 
 120 dias 
 
 60 90 180 
 - $3.000 $3.500 
 
 90 dias 
 
 
0,025 0,025
Valor do resgate $2.500 1 135 - $1.500 1 150
30 30
0,03 0,03
 + $3.500 1 90 - $3.000 1 120 $1.548,75
30 30
   
        
   
   
       
   
 
25. Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira, de $1.000, vence daqui a 45 dias, e a segunda, de 
$3.500, vence daqui a 120 dias. Se a pessoa pretende liquidar as dívidas por meio de dois pagamentos 
iguais, com vencimentos daqui a 90 e 180
 
dias, respectivamente, calcular o importe de cada pagamento 
se ambas as dívidas foram contratadas a juros simples de 2% a.m.(data focal: 180
o
 dia.) 
Dados: i= 2% a.m. 
 7 
 90 dias 
 
 0 45 90 120 180 
 $1.000 -X $3.500 -X 
 60 dias 
 135 dias 
 
 
0,02 0,02 0,02
X = $1.000 1 135 + $3.500 1 60 X 1 90
30 30 30X =$2.296,12
     
           
     

 
26. Determinar: 
a. o tempo em que triplica um capital aplicado a juros simples de 5% a.m.; 
S 3P= P (1 0,05 n) n = 40 meses    
 
 
b. o tempo em que quintuplica um capital aplicado a juros simples de 15% a.t.; 
S 5P = P (1 0,15 n) n = 26,67 trimestres = 80 meses    
 
 
c. o tempo em que um capital de $12.000 rende $541,68 quando aplicado a juros simples de 
12,5% a.a.; 
J P i n
0,125
$541,68 $12.000 n n = 130 dias
360
       
 
 
d. o tempo em que um capital de $7.000 se transforma em um montante de $7.933,34 quando 
aplicado a juros simples de 24% a.a. 
0,24
S P (1 i n) 
360
$7.933,34 $7.000 (1 n) n = 200 dias         
 
27. Determinar: 
a. a taxa de juros simples anual que produz um rendimento de $60 em 36 dias a partir de um capital 
de $2.000; 
J P i n
i
$60 $2.000 36 i = 30% a.a.
360
       
 
 
b. a taxa de juros simples mensal que produz um rendimento de $6.000 em 30 meses a partir de um 
capital de $8.000; 
J P i n $6.000 $8.000 30 i = 2,5% a.m.i       
 
 
c. a taxa de juros simples anual embutida na compra de um bem cujo valor à vista é de $3.000, 
pelo qual será paga uma entrada de $1.000 mais um pagamento de $2.200 para 60 dias. 
i
J S - P = P i n
12
($2.200 - ($3.000 - $1.000)) $2.000 2 i = 60% a.a.       
 
28. Calcular: 
a. o capital que aplicado a juros simples de 24% a.a. rende $300 em 126 dias; 
J P i n
0,24
$300 P 126 P = $3.571,43
360
       
 
 
b. o capital que aplicado a juros simples de 26% a.a. rende $800 em sete trimestres; 
J P i n
0,26
$800 P 7 P = $1.758,24
4
       
 
 
c. o rendimento de uma aplicação de $10.000 por 446 dias a juros simples de 24% a.a. 
J P i n
0,24
J $10.000 446 P = $2.973,33
360
       
 
 8 
29. Calcular: 
a. o rendimento de um capital de $2.000 aplicado a juros simples de 2,5% a.m. desde o dia 12 de 
março até o dia 5 de junho do mesmo ano; 
J P i n
0,025
J $2.000 (156-71) J = $141,66
30
       
 
 
b. o valor do capital que rendeu $3.000 no período compreendido entre 4 de abril e 31 de maio do 
mesmo ano a juros simples de 2% a.m.; 
J P i n
0,02
$3.000 P (151-94) P = $78.947,37
30
       
 
 
c. o valor de resgate de um capital de $5.000 aplicado a juros simples de 2% a.m. pelo período 
compreendido entre 6 de abril e 26 de junho do mesmo ano.; 
S P (1 i n)
0,02
 S $5.000 (1 (177-96)) S = $5.270
30
         
 
 
d. o valor do capital que se transformou em um montante de $20.000 no período compreendido 
entre 30 de junho e 31 de dezembro do corrente ano, a juros simples de 2% a.m.; 
S P (1 i n) 
30
0,02
$20.000 P (1 (365-181)) S = $17.814,73         
 
 
e. a taxa de juros simples mensal ganha por uma aplicação de $24.000 que rendeu $2.800 no 
período compreendido entre 23 de maio e 18 de agosto do mesmo ano. 
J P i n
i
$2.800 $24.000 (230-143) i = 4,023% a.m.
30
       
 
 
30. No dia 26 de maio foi contratado um empréstimo de $7.000 a juros simples de 24% a.a. para ser 
totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram amortizados $3.000, e no dia 11 de julho, 
$2.500. Determinar a data de vencimento da dívida e o valor da quantia que deverá ser paga naquela 
data para liquidar a dívida (considerar ano civil e data focal no 90
o
 dia). 
Dados: i= 24% a.a. 
Determinação da data de resgate da aplicação usando a Tábua para Contagem de Dias do ano civil: 
 número de dias da data posterior (?) = n 
 número de dias da data anterior (26 de maio) = 146 
 prazo: 90 
 
Logo, n - 146 =90 → n=236, que na a Tábua para Contagem de Dias entre Duas Datas (capítulo 1 do 
livro) corresponde ao dia 24 de agosto . 
 
 90 dias 
 
 26/ 05 16/ 06 11/ 07 24/ 08 
 $7.000 - $3.000 - $2.500 
 44 dias 
 69 dias 
 
0,24 0,24 0,24
Valor de resgate $7.000 1 90 -$3.000 1 69 $2.500 1 44 $1.708,67
360 360 360
     
             
     
 
 
31. Determinar o rendimento de um capital de $2.000 aplicado desde o dia 3 de março até o dia 28 de 
junho do corrente ano. A taxa de juros simples inicialmente contratada foi 3% a.m., mas posteriormente 
teve uma queda para 2,8% a.m. no dia 16 de abril e para 2,6% a.m. no dia 16 de junho. 
 9 
Dados: P = $2.000, i1 = 3% a.m., i2 = 2,8% a.m., i3 = 2,6% a.m., J= ? 
 
 1 1 
2 2 
3 3
n = 03/03 até 16/04 = 106-62 n = 44 dias
n = 16/04 até 16/06 = 167-106 n = 61 dias
n = 16/06 até 28/06 = 179-167 n = 12 dias



 
 
1 1 2 2 3 3
0,03 0,028 0,026
J P (i n + i n + i n ) J $2.000 ( 44 + 61 + 12)
30 30 30
 J = $222,67
          

 
 
32. Uma dívida de $2.000 contraída no dia 8 de junho para ser liquidada no dia 8 de julho foi contratada 
originalmente a juros simples de 2% a.m.. Calcular o rendimento da aplicação sabendo-se que a taxa de 
juros foi para 2,5% a.m. no dia 12 de junho, para 3% a.m. no dia 24 de junho e para 3,5% a.m. no dia 3 
de julho (considerar ano civil). 
Dados: P = $2.000, i1 = 2% a.m., i2 = 2,5% a.m., i3 = 3% a.m., i4 = 3,5% a.m., J= ? 
 
 
1 1 
2 2 
3 3
4 4
n = 08/06 até 12/06 = 163-159 n = 4 dias
n = 12/06 até 24/06 = 175-163 n = 12 dias
n = 24/06 até 03/07 = 184-175 n = 9 dias
n = 03/07 até 08/07 = 189-184 n = 5 dias




 
 
1 1 2 2 3 3 4 4
0,02 0,025 0,03
J P (i n + i n + i n + i n ) J $2.000 ( 4 + 12 + 9 +
30 30 30
0,035
 + 5) = $55 
30
           
 
 
33. Uma aplicação financeira foi iniciada no dia 2 de junho com $2.000. Posteriormente foram 
efetuados dois depósitos adicionais de $500 e de $300 nos dias 8 e 16 e um saque de $200 no dia 26 de 
junho. Se inicialmente foi contratada uma taxa de juros simples de 28% a.a., que posteriormente baixou 
para 26% a.a. no dia 16 de junho, calcular o saldo disponível no dia 1
o
 de julho. 
 
Dados: i1= 28% a.a. 
 14 dias 
 
 02/06 08/06 16/06 
 $2.000 $500 + $300 
 
 8 dias 
 
 
0,28 0,28
Valor em 16/06 $2.000 1 14 + $500 1 8 $300 $2.825
360 360
   
         
   
 
 
 i2= 26% a.a. 
 15 dias 
 
 16/06 26/06 01/07 
 $2.825 - $2005 dias 
 
 
 10 
0,26 0,26
Valor de resgate $2.825 1 15 -$200 1 5 $2.654,50
360 360
   
        
   
 
 
 
34. Hoje uma pessoa tem duas dívidas: a primeira de $8.000 vence em 36 dias, e a segunda, de $12.000, 
vence em 58 dias. A pessoa propõe-se a quitá-las por meio de dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 
dias, respectivamente. A juros simples de 24% a.a., calcular o valor de cada pagamento (data focal: 90
o
 
dia). 
Dados: i1= 24% a.a. 
 45 dias 
 
 0 36 45 58 90 
 $8.000 -X $12.000 - X 
 32 dias 
 54 dias 
 
 
0,24 0,24 0,24
X = $8.000 1 54 + $12.000 1 32 X 1 45
360 360 360
X $10.120,20
     
           
     
 
 
 
35. Resolver o exercício anterior tomando como data focal o 45
o
 dia. 
Dados: i1= 24% a.a. 
 - 45 dias 
 
 0 36 45 58 90 
 $8.000 -X $12.000 - X 
 - 13 dias 
 9 dias 
 
1 1
0,24 0,24 0,24
X = $8.000 1 9 + $12.000 1 13 X 1 45
360 360 360
X $10.119,82
 
     
           
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
CAPÍTULO 2 
Exercícios propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios, considerar, salvo menção em contrário, anos comerciais (360 
dias). 
1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500, pelas seguintes taxas de juros e prazos: 
 
Utilizando a fórmula de capitalização de juros compostos, temos 
 
a) 4% a.m., 6 meses; 
Dados: P=$3.500; i=4% a.m.. n= 6 meses 
 
6
S $3.500 1 0,04 S $ 4.428,62    
 
b) 8% a.t., 18 meses; 
Dados: P=$3.500; i=8% a.t.. n= 18 meses = 6 trimestres 
 
6
S $3.500 1 0,08 S $ 5.554,06    
 
 
c) 12% a.a., 18 meses 
Dados: P=$3.500; i=12% a.a.. n= 18 meses = 1,5 ano 
Utilizando a convenção exponencial 
 
1,5
S $3.500 1 0,12 S $ 4148,54    
 
 
 
2. Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743 à taxa de 15% a.m.? 
Dados: P=$18.000; S=$83.743, i=15% a.m.. n=? 
 
Podemos aplicar a expressão do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro implícito: 
 
 
 
n
n
n
 S P 1 i
 $83.743 $18.000 1 0,15
 4,65239 1,15
 
  

 
meses 11 
1,15 log
4,65239 log
n 1,15 logn4,65239 log :logaritmos aplicando 
 
 
3. Um investimento resultou em um montante de $43.000 no prazo de três meses. Se a taxa de juros 
efetiva ganha for de 10% a.m., calcular o valor do investimento. 
Dados: S=$43.000; n= 3 meses; i=10% a.m.; P=? 
 
 
 
n
3
S P 1 i
$43.000 P 1 0,1
P $ 32.306,54
 
  

 
 
4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a quatro anos com o montante 
de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se as taxas de juros efetivas 
ganhas forem as seguintes: 
a)13% a.t. (ao trimestre) 
Dados: S=$100.000; i= 13% a.t.; n= 4 anos = 16 trimestres; P= ? 
 
16
$100.000 P 1 0,13 P $ 14.149,62    
 
b) 18% a.a. (ao ano) 
Dados: S=$100.000; i= 18% a.a.; n= 4 anos; P= ? 
 12 
 
4
$100.000 P 1 0,18 P $ 51.578,89    
 
 
c) 14% a.s. (ao semestre) 
Dados: S=$100.000; i= 14% a.s.; n= 4 anos = 8 semestres; P= ? 
 
6
$100.000 P 1 0,14 P $ 35.055,91    
 
 
d) 12% a.m. (ao mês) 
Dados: S=$100.000; i= 12% a.m.; n= 4 anos = 48 meses; P= ? 
 
48
$100.000 P 1 0,12 P $ 434,05    
 
 
5. Um capital de $51.879,31 aplicado por seis meses resultou em $120.000. Qual a taxa de juros efetiva 
ganha? 
Dados: S= $120.000; P=$51.879,31; n= 6 meses; i= ? 
 
 
n
n
6
S
S P 1 i i 1
P
$120.000
 i 1
$51.879,31
i 15% a.m.
    
 

 
 
6. Uma pessoa deve pagar três prestações mensais iguais e consecutivas de $3.500 cada, sendo a 
primeira para 30 dias. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três 
meses, qual seria o valor desse pagamento considerando uma taxa de juros efetiva de 5% a.m.? 
Dados: i= 5% a.m.; P2 = ? 
(data focal = 3 meses) 
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento: 
3 prestações P = $3.500 1 prestação P2 
n=1, 2, 3 meses n = 3 meses 
 
 Por equivalência de capitais 
   
2
2 2P $3.500 1,05 $3.500 1,05 $3.500 P $11.033,75      
 
 
7. Dispõe-se de duas formas de pagamento: a) pagamento à vista de $1.400; b) dois cheques pré- -
datados de $763,61 cada, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada. 
Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicações financeiras, qual será a melhor opção de compra: à 
vista ou a prazo? 
Dados: i= ?.; k (oportunidade) = 5% a.m. 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $1.400 2 prestações P2 = $736,61 
 n = 1, 2 meses 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das parcelas: 
 
2
$736,61 $736,61
$1.400 i = 6% a.m. 
(1+i) 1+i
  
 
Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são 
superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção 
 
8. Na compra de um bem cujo valor à vista é $140, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de 
$80 no fim dos próximos dois meses. Considerando uma taxa de juros efetiva de 20% a.m., qual o 
valor da entrada?. 
Dados: i= 20% a.m.; E = ? (data focal = valor presente) 
 13 
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento (à vista): 
E + 2 prestações P = $80 P2 = $140 
n=0, 1, 2 meses 
 
 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
   
1 2
$80 $80
$140 E + E $17,78
1,2 1,2
   
 
 
9. Uma casa é vendida por $261.324,40 à vista. Se o comprador se propuser pagar $638.000 daqui a 
quatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta. 
Dados: i= ? (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $261.324,40 P2 = $638.000 
 n = 4 meses 
 
Por equivalência de capitais 
 
4
4
$638.000 $638.000
$261.324,40 i 1 i = 25% a.m. 
$261.324,401+i
    
 
 
10. Em quanto tempo triplica uma população que cresce à taxa composta de 3% a.a. ? 
Dados: S = 3P; i= 3% a.a.; n= ? 
 
n nS = 3P = P 1 i 3 (1,03)  
 
log 3
aplicando logaritmos: log 3 n log 1,03 n 37,17 anos
log 1,03
    
 
 
11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a. Se os juros ganhos foram de $27.473 
sobre um capital investido de $83.000, quanto tempo o capital ficou aplicado? 
Dados: S = $110.473 ($83.000 + $27.473);P= $83.000; i= 10% a.a.; n= ? 
 
 
n nS = P 1 i $110.473 $83.000 (1,10)   
 
log 1,331
aplicando logaritmos: log 1,331 n log 1,10 n 3 anos
log 1,1
    
 
 
12. Nas vendas a crédito uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Desse valor 
majorado, 20% são exigidos como entrada, e o resto é quitado em duas prestações mensais de $1.058 
cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Se o valor à vista é de $2.000, determinar a taxa de juros 
efetiva cobrada no financiamento. 
Dados: i= ? (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $2.000 E = 1,4 x 0,2 x P = $560 
 2 prestações P2 = $1.058 
 n = 0,1,2 meses 
 
 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
   
1 2
$1.058 $1.058
$2.000 $560 + + i 30% a.m. 
1+i 1+i
  
 
 
13. Um produto, cujo preço à vista é de $450, será pago em duas prestações mensais consecutivas, de 
$280 e $300, sendo a primeira para 30 dias. Se a taxa de juros embutida na primeira prestação for de 
10% a.m., determinar a taxa embutida na segunda. 
Dados: i= ? (data focal = valor presente) 
 14 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $ 450 P2 = $280, n=1 mês, i2 = 10% a.m. 
 P3 = $300, n=2 meses 
 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
 
   
 
2
1 2
$280 $300 $300
$450 + 1+i i 23,89% a.m. 
$195,451,10 1+i
    
 
 
14. Um apartamento pode ser comprado à vista por $320.000 ou pagando 20% de entrada mais duas 
prestações de $170.000 cada, a primeira para três meses e a segunda para sete meses. Calcular a taxa 
de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações 
financeiras for de 2% a.m., qual será a melhor opção de compra? 
Dados: i= ?.; k (oportunidade) = 2% a.m. (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $320.000 E = 0,2 x P = $64.000; 2 prestações P2 = $170.000 
 n = 0, 3, 7 meses 
 
Por equivalência de capitais 
 
73
$170.000 $170.000
$320.000 $64.000 + i = 5,98% a.m. 
(1+i) 1+i
  
 
 
Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois a taxa de juros efetiva da compra é 
superior ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 
 
15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada e o 
restante a ser liquidado em três prestações mensais iguais, a primeira para 30 dias. Se a taxa de juros 
efetiva cobrada for de 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista a ser pago como prestação a 
cada mês. 
Dados: i= 15% a.m., p = ?, (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
 P E = 0,2 x P; 3 prestações P2 = p x P 
 n = 0, 1, 2, 3 meses 
 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
   
1 2 3
1 2 3
p P p P p P 0,8 P
P 0,2 P + p P = 
(1+i) 1 1 11+i 1+i
(1,15) (1,15) (1,15)
 p = 35,05% 
   
     
 
  
 

 
16. Uma loja permite pagamento em três prestações iguais. Se cada prestação for igual a um terço do 
valor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa de juros cobrada. 
Dados: i= ?, (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P E = P / 3; 2 prestações P2 = P / 3 
 n = 0, 1, 2 meses 
 
Por equivalência de capitais 
 
21
P P
P 3 3P + i = 0% a.m. 
3 (1+i) 1+i
  
 
 
 15 
17. O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo paga-se uma entrada mais três parcelas mensais de 
$2.000 cada, sendo a primeira daqui a um mês. Calcular o valor da entrada, se a taxa de juros aplicada 
for de 7% a.m. 
Dados: i= 7% a.m.; E = ?, (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $6.000 E; 3 prestações P2 = $2.000 
 n = 0, 1, 2, 3 meses 
 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
 
 
31 2
$2.000 $2.000 $2.000
$6.000 E + E = $751,37
(1,07) (1,07) 1,07
   
 
 
18. Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais 
consecutivos. Se o primeiro pagamento for de $180.000 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% a.m., 
calcular o valor do segundo pagamento. 
Dados: i= 10% a.m.; P3 = ?; (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $360.000 E= 0,2 x P = $72.000; P2 = $180.000; P3 
 n = 0, 1, 2 meses 
 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
 
3
3
1 2
$180.000 P
$360.000 $72.000 + P = $150.480
(1,10) (1,10)
  
 
 
19. Pretende-se daqui a seis meses comprar um automóvel cujo valor é $25.000. Calcular a aplicação 
necessária a ser efetuada hoje em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de modo que 
o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação. 
Dados: J=$25.000; i= 13% a.m.; n= 6 meses; P= ? 
  
 
n
igual ao valor da compra
6
Juros = S - P = P 1 i 1
$25.000 = P (1,13) 1 P = $23.106,39
 
 
 
 
20. Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses 
maior, o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela 
aplicação e o prazo em meses. 
Dados: P=$50.000; S1 = $51.000 ($50.000 + $1.000); S2 = $53.060,40 ($51.000 + $2.060,40); n2 = n 
+ 2; n= ?; i=? 
 
n
n
n 2
2
n
$51.000 $50.000 (1+i)
S P 1 i
$53.060,40 $50.000 (1+i) (1+i)
$53.060,40
(1+i) i 2% a.m
$51.000
logo: (1,02) 1,02
   
    
    
  

 
 
aplicando logaritmos: log 1,02 n log 1,02 n 1 mês   
 
 
21. Dois capitais foram aplicados durante dois anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e o 
segundo, a 1,5% a.m. O primeiro capital é $10.000 maior que o segundo e seu rendimento excedeu em 
$6.700 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais. 
Dados: i1= 2% a.m.; i2= 1,5% a.m; P1 - P2 = $10.000 ; J1 - J2 = $6.700; n = 24 meses; P1= ?; P2= ? 
 
 16 
 
   
1 2 1 2 1 2
24 24
1 2
1 2
2 1
J - J = S - S - P - P
$6.700 = P 1,02 P 1,015 $10.000
P = P + $10.000 
P =$3.440,52 P =$13.440,52
   
 
  

 
 
22. Dois capitais, o primeiro de $2.400 e o segundo de $1.800, foram aplicados por 40 e 32 dias, 
respectivamente. Se a taxa efetiva ganha pelo primeiro capital for de 5% a.m., e sabendo-se que esse 
capital rendeu $100 a mais do que o segundo, determinar a taxa mensal ganha pelo segundo capital. 
Dados: n1= 40 dias; n2= 32 dias; P1 = $2.400; P2 = $1.800 ; J1 - J2 = $100; i1 = 5% a.m.; i2 = ? 
 
 
   
1 2 1 2 1 2
40 30 32 30
2
30
32
2
J- J = S - S - P - P
$100 = $2.400 1,05 $1.800 1 i $600
$1.861,32
i = 1 = 3,19% a.m.
$1.800
  
 
  
 
 
 
23. Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de 15% a.a. Determinar o valor do capital 
sabendo-se que, se o montante ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse 
reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42. 
Dados: n1= 6 meses; n2= 3 meses; P2 = S1 – 0,5J1; J2 = $18,42; i1 = 15% a.a.; P1 =? 
 
  
  
 
n
n
2 2
3 12
2 2 
J = S - P = P 1 i 1
J = P 1 i 1
$18,42 = P (1,15) 1 P = $518,03
 
 
 
 
Por outro lado, 
    
    
1 1n n
2 1 1 2 1 1 1
6 12 6 12
1
1 
P = S - J /2 P = P 1+i 0,5 1+i 1
$518,03 = P 1,15 0,5 1,15 1 
P = $500
    
 
    
 
 
 
24. Certo capital após quatro meses transformou-se em $850,85. Esse capital, diminuído dos juros 
ganhos nesse prazo, reduz-se a $549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na 
aplicação. 
Dados: n= 4 meses; S= $850,85; P - J = $549,15; i = ?; P = ? 
 
   
 
n 4
4
$850,85
S P 1 i $850,85 P 1 i P = 
1 i
      

 
Por outro lado 
 17 
  
  
  
 
  
 
4
4
4
4
4
4
4
P - J = P - P[(1+i) -1]
$549,15 = P 1 1+i 1
$549,15 = P 1 1+i 1
$549,15 = P 2 1+i
Substituindo P na expressão acima:
$850,85
$549,15 = 2 1+i
1+i
i = 5% a.m.
$850,85
P= =$700
1+0,05
  
 
 




 
 
25. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% a.a. Depois de três anos, resgatou-se metade dos 
juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% a.a., obtendo-se 
um rendimento de $102,30 no prazo de um ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. 
Dados: n1= 3 anos; n2= 1 ano; P2 = S1 – 0,5J1 ; J2 = $102,30; i1 = 30% a.a.; i2 = 32% a.a; P1 = ? 
 
  
 
n
2 2
1
2 2 
J = S - P 
J = P 1 i 1
$102,30 = P (1,32) 1 P = $319,69
 
 
 
 
Por outro lado, 
    
    
1 1
2 1 1
n n
2 1 1 1
3 3
1 1 
P = S - 0,5J
P = P 1+i 0,5 1+i 1
$319,69 = P 1,30 0,5 1,30 1 P = $200
   
 
     
 
 
 
26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m. Se a diferença entre o capital inicial 
e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02. Determinar o 
valor do capital. 
Dados: n1= 50 dias; n2= 3 meses; P2 = P1 – J1; J2 = $44,02; i = 3% a.m.; P1 = ? 
 
  
  
2n
2 2
3
2 2
J P 1 i 1
$44,02 P 1,03 1 P = $474,73
  
  
 
Por outro lado, 
 
  
  
  
  
1
1
1
2 1 1
n
2 1 - 1
n
2 1 
n
2 1 
50 30
1 1 
50 30
P = P - J 
P = P P 1+i 1
P = P 1 1+i 1
P = P 2 1+i
substituindo os valores:
$474,73
$474,73 = P 2 1,03 P = =$500
2 1,03
 
 
  
 

 

 
 18 
27. Um capital foi aplicado durante dez meses à taxa efetiva de 2% a.m. Ao término desse prazo, seu 
montante foi reaplicado durante 11 meses a 3% a.m. A que taxa mensal única poderia ser aplicado o 
capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? 
Dados: n = n1+ n2; n1= 10 meses; n2= 11 meses; i1 = 2% a.m.; i2 = 3% a.m.; i= ? 
Por equivalência de capitais 
 
   
1 2n n n
1 2
10 11 21
P(1+i ) (1+i ) P(1+i)
1,02 1,03 = (1+i) i 2,523% a.m. 
 
  
 
 
28. Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. rendeu após um ano $480,83 de juros. Do montante obtido, 
foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultando em um novo montante de 
$1.226,15 depois de um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e o prazo da reaplicação. 
Dados: n1= 12 meses; P2 = S1 – $600; J1 = $480,83; S2 =$1.226,15 i = 4% a.m.; P1 = ?; n2= ? 
 
 
 
 
  
     
2
2 2
n1
1 1 1 1
12
1 1 1 
n
2 2
n
2 1
12 n n
2
S = P + J = P 1+i 
P + $480,83 = P 1,04 P = $800
Por outro lado,
S P 1 i
S = S $600 1 i
$1.226,15 $800 1,04 $600 1,04 1,04 1,800975
aplicando logaritmos: log 1,800975 n log 1,04 

 
 
    
  2 n 15 meses 
 
 
29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e à mesma 
taxa efetiva de 4% a.m. Sabendo que o primeiro capital ganhou $400 de juros, e que a soma do 
primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo totalizam $1.032,91, calcular os capitais e o prazo 
da aplicação. 
Dados: P1 = 2 P2; J1 = $400; P1 + J2 = $1.032,91; i = 4% a.m.; P1 = ?; P2 = ?; n = ? 
 
 
 
 
n
1 1
n
2 2
n
J P 1 i 1
$200
$400 = 2 P 1,04 1 P
1,04 1
   
 
    
   
 
 
 
Por outro lado 
 
 
 
 
1 2
n
1 2
2 :
n
1 
n
1 1 
n
1 1
P J = $ 1.032,91
P P 1,04 1 = $ 1.032,91
Substituindo P
$200
P 1,04 1 = $ 1.032,91
1,04 1
P $200 = $ 1.032,91 P = $832,91
Por outro lado:
J P 1 i 1
$400 = $83




 
 
 
        

   
 
 
 
n
n
2,91 1,04 1 
1,04 1,487024
 
 
 
 
 19 
 
 
n
aplicando logaritmos: 1,04 1,487024
log 1,487024 
n log 1,04 log 1,487024 n 10 meses
log 1,04 

    
 
 
30. Dois capitais, o primeiro de $1.000 e o segundo de $227,27, foram aplicados a juros efetivos de 
20% a.a. O primeiro capital, na metade do tempo do segundo, obteve um rendimento de $100 a mais. 
Calcular os prazos das duas aplicações. 
Dados: P1 = $1.000; P2 = $227,27; J1 - J2 = $100; i = 20% a.a.; n1 = n2/2; n1 = ?; n2 = ? 
 
 
   
 
1 1
1
1 2 1 2 1 2
n 2 n
n
1 2 
J - J = S - S - P - P
 $100 = $1.000 1,20 $227,27 1,20 ($1.000 $227,27)
Log 1,20
1,20 1,20 n = =1 ano n = 2 anos
Log 1,20

  
  
 
 
31. Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos 20% a.a. Ao término desse prazo um terço 
dos juros ganhos foi reaplicado à taxa efetiva de 25% a.a., obtendo-se uma remuneração semestral de 
$34,62. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. 
Dados: n1= 2 anos; n2= 0,5 ano; P2 = J1 /3; J2 = $34,62; i1 = 20% a.a.; i2 = 25% a.a; P1 = ? 
 
  
 
n
2 2 2 2
0,5
2 2 
J = S - P = P 1 i 1
$34,62 = P (1,25) 1 P = $293,30
 
 
 
 
Por outro lado, 
  
  
1n
2 1 2 1 1
2
1
1 
P = J /3 3 P = P 1+i 1
$879,92 = P 1,20 1 
P = $2.000
  
 
 
 
32- Um capital foi aplicado durante 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital e 
os juros ganhos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $12.342,82 ao ano. 
Calcular o capital. 
Dados: n1= 50 dias; n2= 1 ano; J2 = $12.342,82; P2 = P1 – J1 + $10.000; i = 3% a.m.; P1 = ? 
 
     2n 122 2 2 2J P 1 i 1 $12.342,82 P 1,03 1 P = $28.990      
 
Por outro lado, 
  
2 1 1
50 30
1 1
P - $10.000 = P - J 
$28.990 $18.990 = P 2 1,03 P = $20.000  
 
 
33. Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por três meses a juros efetivos de 5% a.m., e o 
segundo por dez meses a 4% a.m. Sabendo que os juros pagos pelos dois empréstimos totalizaram 
$11.181,14 e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, calcular o valor total dos 
empréstimos. 
Dados: i1= 5% a.m.; n1= 3 meses; i2= 4% a.m; n2= 10 meses; 2 x P1 = P2; J1 + J2 = $11.181,14;P1= ?; 
P2= ? 
 
 
   
1 2 1 2 1 2
3 10
1
1 2
J + J = S + S - P + P
$11.181,14 = P 1,05 2 1,04 3
P =$10.000 P =$20.000
   
 

 
 20 
Valor total dos empréstimos = $10.000+$20.000=$30.000 
 
34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados, respectivamente, a taxas 
efetivas de 5% a.m. e 10% a.m.. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitais se igualam. 
Dados: i1= 5% a.m.; i2= 10% a.m; P1 = 3 x P2; S1 = S2; n = ? 
 
 
     
n
n n n
2 2
S P 1 i
 3 P 1,05 P 1,10 1,04762 3
 
   
 
 
aplicando logaritmos: log 3 n log 1,04762 n 23,6159 meses = 23 meses e 19 dias   
 
 
35. Uma empresa tem duas dívidas: a primeira, de $10.000, contratada a juros efetivos de 3% a.m., 
vence em 48 dias; e a segunda, de $15.000, a juros efetivos de 4% a.m., vence em 63 dias. A empresa 
pretende liquidar as dívidas com o dinheiro proveniente do desconto financeiro de uma promissória 
com valor nominal de $27.033 que vence em 90 dias. Calcular a taxa mensal efetiva aplicada pelo 
banco no desconto do título. 
Dados: i1= 3% a.m.; n1= 48 dias; i2= 4% a.m; n2= 63 dias; D1 = $10.000; D2 = $15.000; P = $27.033, 
n= 90 dias; i = ?; (data focal = valor presente) 
 
Por equivalência de capitais 
 
63 3090 30 48 30
$27.033 $10.000 $15.000
 i = 5% a.m. 
(1+i) (1,03) 1,04
  
 
 
36. Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao o próprio capital, aplicando-se 
uma taxa efetiva de 5% a.m.? 
Dados: J = P; i = 5% a.m.; n = ? 
 
   
n
n n
 J P 
 P 1 i 1 P 
P 1 0,05 1 P 1,05 2

   
 
     
 
 
 
aplicando logaritmos: log 2 n log 1,05 n 14,2067 meses = 14 meses e 6 dias   
 
 
37. Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de $8.000, aplicado a juros 
efetivos de 4% a.m., e seu montante seja igual a 4/10? 
Dados: P= $8.000; S = (10/4) x P; i = 4% a.m.; n = ? 
 
 
 
 
n
n
n
P 4
 
S 10
P 4
10P 1+i
$8.000 4
 1,04 2,5
10$8.000 1+0,04


  
 
 
aplicando logaritmos: log 2,5 n log 1,04 n 23,3624 meses = 23 meses e 11 dias   
 
 
 
38. Três dívidas, a primeira de $2.000 vencendo em 30 dias, a segunda de $1.000 vencendo em 60 dias 
e a terceira de $3.000 vencendo em 90 dias, serão liquidadas por meio de um pagamento único de 
$6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m., determinar daqui a quanto tempo deve ser 
efetuado este pagamento 
Dados: i= 3% a.m.; n1= 30 dias; n2= 60 dias; n3= 90 dias; D1 = $2.000; D2 = $1.000; D3 = $3.000; P = 
$6.000, n = ?; (data focal = valor presente) 
 21 
 
Por equivalência de capitais 
   
n
2 3n 30 1
$6.000 $2.000 $1.000 $3.000
 (1,03) 6,7581
(1,03) (1,03) 1,03 1,03
    
 
 
aplicando logaritmos: log 6,7581 n log 1,03 n 65 dias   
 
 
39. Quanto tempo deve transcorrer para que o montante de um capital de $5.000 aplicado a juros 
efetivos de 6% a.m. se iguale ao montante de outro capital de $8.000 aplicado à taxa efetiva de 4% a.m. 
Dados: i1= 6% a.m.; i2= 4% a.m; P1 = $5.000; P2 = $8.000; n = ? 
 
 
     
n
n n n
S P 1 i
 $5.000 1,06 $8.000 1,04 1,01923 1,6
 
  
 
 
aplicando logaritmos: log 1,6 n log 1,01923 n 24,67444 meses = 740 dias   
 
 
40. Calcular o rendimento de um capital de $7.000 aplicado à taxa efetiva de 1% a.m. no período 
compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano (considere ano civil). 
Dados: i= 1% a.m.; P = $7.000; J = ? 
 n= 03/04 até 06/06 = 157-93 n= 64 dias
 
 
 
 
n
64 30
J P 1 i 1
J $7.000 1,01 1 J $150,18
   
 
    
 
 
 
41. Qual a taxa de juros anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? 
Dados: S = 2 x P; n= 42 meses; i = ? 
 
 
 
n
42 12
S P 1 i 2 P
 1 i 2 i = 21,9% a.a.
   
  
 
 
42. Um capital de $20.000 foi aplicado por 90 dias à taxa efetiva diária de 0,1% a.d. Determinar o 
rendimento ganho entre o 46
o
 e o 87
o
 dia . 
Dados: i= 0,1% a.d.; P = $20.000; n1= 46 dias; n2= 87 dias;
2 1J - J
 = ? 
 
       
   
2 1n n n
2 1
87 46
2 1 2 1 
J = P 1 i 1 J - J = P 1 i 1 1 i 1
J - J = $20.000 1,001 1,001 J - J = $875,98
       
  
 
 
 
43. Duas dívidas de $20.000 e $30.000 com vencimento em dois e quatro meses, respectivamente, 
serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3 meses. Considerando juros 
efetivos de 5% a.m., calcular o valor deste pagamento. 
Dados: i= 5% a.m.; n1= 2 meses; n2= 4 meses; D1 = $20.000; D2 = $30.000; n = 3 meses; P = ? 
 (data focal = valor presente) 
 
Por equivalência de capitais 
 
43 2
P $20.000 $30.000
 P = $49.571,43
(1,05) (1,05) 1,05
  
 
 
44. Uma pessoa necessita dispor de $20.000 daqui a oito meses. Para tanto, pretende efetuar duas 
aplicações em um fundo que rende juros efetivos de 3% a.m. A primeira aplicação, de $10.000, foi 
 22 
efetuada hoje, e a segunda o será daqui a um mês. De quanto deverá ser esta segunda aplicação de 
modo que possa dispor da quantia necessitada ao término do oitavo mês? 
Dados: i= 3% a.m.; n1= 8 meses; n2= 7 meses; P1 = $10.000; D = $20.000; n = 8 meses; P2 = ? 
 
Por equivalência de capitais 
8 7
1 2
8 7
2 2
 D P (1+i) + P (1+i)
$20.000 $10.000 (1,03) + P (1,03) P = $5.961,83
  
   
 
 
45. Um empréstimo de $5.000 contratado à taxa efetiva de 5% a.m. será liquidado por meio de cinco 
pagamentos mensais consecutivos, sendo o primeiro daqui a 30 dias. Se o valor de cada um dos quatro 
primeiros pagamentos for de $1.000, determinar o valor do último pagamento 
Dados: i= 5% a.m.; ni = i meses; D = $5.000; P1-4 = $1.000; P5 = ? 
 (data focal = valor presente) 
 
Por equivalência de capitais 
     
5
5 
2 4 51 3
$1.000 $1.000 $1.000 $1.000 P
$5.000 P = $1.855,78
(1,05) (1,05)1,05 1,05 1,05
     
 
 
46. Determinar o capital que aplicado durante três meses à taxa efetiva composta de 4% a.m. produz um 
montante que excede em $500 ao montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo 
mesmo prazo a juros simples de 4% a.m. 
Dados: i= 4% a.m; n= 3 meses; S1 = S2 +$500; P = ? 
 
   
   
n
1 2
1 2
3
S P 1 i S P 1 n i
S S
 P 1,04 = P 1 + 3 0,04 $500 P = $102.796,05
e    

  
 
 
47. Um capital aplicado a uma determinada taxa de juros efetiva mensal rendeu, no prazo de dois anos, 
um valor igual a um quarto do próprio capital. Determinar a taxa de juros à qual foi aplicado. 
Dados: n = 2 anos, Capital =P; Rendimento = 0,25P, i=? 
 
  a.m 0,9341%009341,0i P0,251i)(1P 2 
 
 
48. Uma pessoa depositou $1.000 em um fundo que paga juros efetivos de 5% a.m., com o objetivo de 
dispor de $1.102,50 dentro de 60 dias. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% 
a.m. Quanto tempo adicional, além dos 60 dias inicialmente previstos, terá de esperar para obter o 
capital requerido? 
Dados: i1= 5% a.m.; i2= 4% a.m.; n1= 24 dias; P1 = $10.000; S2 = $1.102,50; P2 = S1; n2 = ? 
 
 
 
n
24 30
1 1 2 
S P 1 i
 S $10.000 1,05 S P = $10.398,04
 
  
 
Por outro lado, 
 
 
 
2 2n - 24 30 n - 24
2S $1.102,50 $1.039,80 1,04 1,04 5,7925   
 
 
 2 aplicando logaritmos:log 5,7925 n - 24 log 1,04 n 69 dias
Dias adicionais: 69 -60 = 9 dias a mais
   
 
 
49. Um capital de $4.000 foi dividido em duas parcelas e aplicado: a primeira parcela, à taxa efetiva de 
6% a.t., e a segunda, a 2% a.m. Se após oito meses os montantes de ambas as parcelas se igualam, 
determinar o valor de cada uma. 
Dados: i1= 6% a.t.; i2= 2% a.m; P1 = $4.000 - P2; S1 = S2; n = 8 meses; P1= ?; P2= ? 
 
 23 
 
    
 
n
montante da 1a. parcela ao término dos 8 meses montante da 2a. parcela ao término dos 8 meses
8 3 8
2 2
2 1 2
S P 1 i
 $4.000 P 1,06 P 1,02
P = $1.996,69 P = $4.000 P $4.000 $1.996,69 $2.003,04
 
 
     
 
 
50. Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo 
ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? (considerar o ano civil.) 
Dados: S = 2 x P; i = ? 
 n= 11/07 até 22/12 = 356-192 n= 164 dias
 
 
 
 
n
164 30
S P 1 i
2 P= P 1 i i = 13,52% a.m.
 
  
 
 
51. Um financiamento de $5.000 foi contratado a uma taxa efetiva de 12% a.t. Se foi liquidado após 60 
dias, calcular o total de juros pagos pelo financiamento. 
Dados: i= 12% a.t.; n= 2 meses; P= $5.000; J = ? 
 
 
 
n
2 3
J P 1 i 1
 J $5.000 1,12 1 J $392,40
   
 
    
 
 
 
52. Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de $2.000 contratado a juros efetivos de 5% 
a.m. pelo prazo de 25 dias. 
Dados: i= 5% a.m.; n= 25 dias; P= $2.000; J = ? 
 
 
 
n
25 30
J P 1 i 1
 J $2.000 1,05 1 J $82,99
   
 
    
 
 
 
53. Um empréstimo de $5.000 foi tomado a juros efetivos em 14 de abril e liquidado por $5.850 em 28 
de maio do mesmo ano. Determinar a taxa efetiva mensal contratada. (considerar o ano civil.) 
Dados: S= $5.850; P= $5.000; i = ? 
 n= 14/04 até 28/05 = 148-104 n= 44 dias
 
 
 
n
44 30
S P 1 i
$5.850 $5.000 1 i i 11,2988% a.m.
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
CAPÍTULO 3 
Exercícios propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios, considerar, salvo menção em contrário, anos comerciais de 360 
dias. 
1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre. 
Dados: ia= 48% a.a. 
 
2 4 12 360
a s t m d
1/12
m a
1/4
t a
1/2
s a
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
i =(1 + i ) - 1 = 3,32% a.m.
i =(1 + i ) - 1 = 10,30% a.t.
i =(1 + i ) - 1 = 21,66% a.s.
 
 
2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral, equivalentes à taxa nominal de 60% 
a.a., capitalizada mensalmente. 
Dados: j= 60% a.a.; k= 12; m=1 
 
k m 12
a a
2 4 12 360
a s t m d
1/12
m a
1/4
t a
1/2
s a
j 0,60
(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 1,796
k 12
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
i =(1 + i ) - 1 = 5,00% a.m.
i =(1 + i ) - 1 = 15,76% a.t.
i =(1 + i )

   
    
   
 - 1 = 34,01% a.s.
 
 
3. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a., nas seguintes hipóteses 
de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral. 
Dados: j= 60% a.a.; m=1 
 
k m
a
360
a
12
a
4
a
j
(1 + i ) = 1+
k
0,60
Diária (k=360) i = 1+ - 1 = 82,12% a.a.
360
0,60
Mensal (k=12) i = 1+ - 1 = 79,59% a.a.
12
0,60
Trimestral (k=4) i = 1+ - 1 = 74,90% a.a.
4
Semestral (k=

 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
2
a
0,60
2) i = 1+ - 1 = 69,00% a.a.
2
 
  
 
 
 
4. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a., nas seguintes hipóteses de 
capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral. 
Dados: ia= 40% a.a.; m=1 
 
 25 
k m
1 k m
a a
1 12
1 4
1 2
j
(1 + i ) = 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
Mensal (k=12) j = (1,40) 1 ×12 = 34,12% a.a.
Trimestral (k=4) j = (1,40) 1 ×4 = 35,10% a.a.
Semestral (k=2) j = (1,40) 1 ×2 = 36,64% a

       
 
   
   
    .a.
 
 
5. A que taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em um 
montante de $23.000 em sete meses? 
Dados: P= $13.000; S=$23.000; m=7/12; k=12; j = ? % a.a. 
 
 
k m 1 k m
1 12 7 12
j S
S = P 1+ j = 1 ×k
k P
$23.000
j = 1 ×12= 101,90% a.a.
$13.000
 

    
     
     
  
  
   
 
 
6. Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a.a., capitalizada mensalmente, resultou em 
um montante de $36.204,48, quantos meses o capital ficou aplicado? 
Dados: P= $18.000; S=$36.204,48; j= 180% a.a.; k=12; m= ? anos 
 
 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
1,80
$36.204,48 $18.000 1+ 1,15 2,011
12



 
 
 
 
   
 
 
 
aplicando logaritmos: log 2,011=12×m×log 1,15 m= 5 meses
 
 
7. Determinar: 
a) a taxa efetiva para dois meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente; 
Dados: j= 120% a.a.; k= 12; m=2/12 anos; i= ? 
 
k m
a
2 4 12 360
a s t m d
j
(1 + i ) = 1+
k
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

 
 
 
 
 
 12 2 12
1,20
i = 1+ 1 21%
12

 
  
 
 
 
b) a taxa efetiva para 18 meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada semestralmente; 
Dados: j= 120% a.a.; k= 2; m=18/12 anos; i = ? 
 
 2 18 12
1,20
i = 1+ 1 309,60%
2

 
  
 
 
 
c) a taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 dias; 
Dados: ib= 10% a.b.; k= 12; m=1 ano; j = ? % a.a. 
 
 26 
k m
6 6 k m
a b b
6 12 1
j
(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
j = (1,10) 1 ×12 j = 58,57% a.a.



 
      
 
   
 
 
d) a taxa nominal anual, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 15% a.s.; 
Dados: is= 15% a.s.; k= 4; m=1 ano; j = ? % a.a. 
 
k m
2 2 k m
a s s
2 4 1
j
(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
j = (1,15) 1 ×4 j = 28,95% a.a.



 
      
 
   
 
 
e) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada diariamente; 
Dados: j= 24% a.a.; k= 360; m=41/360 anos; i = ? 
 
 360 41 360
0,24
i = 1+ 1 2,77 %
360

 
  
 
 
 
f) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.s., capitalizada diariamente; 
Dados: j= 24% a.s.; k= 180; m=41/180 anos; i = ? 
 
 180 41 180
0,24
i = 1+ 1 5,62 %
180

 
  
 
 
 
8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a., capitalizada mensalmente. Calcular a taxa 
efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, três meses, cinco trimestres e sete semestres. 
Dados: j= 90% a.a.; k= 12; m=1 
 
k m 12
a a
2 4 12 360
a s t m d
j 0,90
(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 2,382
k 12
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

   
    
   
 
180 dias 
 
 
três meses 
 
1/4
3 meses ai =(1 + i ) - 1 = 24,23%
 
 
cinco trimestres 
5/4
5 trimestres ai =(1 + i ) - 1 = 195,89%
 
 
sete semestres 
7/2
7 semestres ai =(1 + i ) - 1 = 1985,24%
 
 
 
9. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em quatro meses. Qual seriao rendimento 
em 11 meses? 
Dados: P= $18.000; S1=$22.200; n1= 4 meses; n2 = 11 meses; S2= ? 
 
 
   
n
4
m m
S = P 1+i
$22.200 $18.000 1+i 1+i 1,0538  
 
Por outro lado, 
1/2
180 dias ai =(1 + i ) - 1 = 54,33%
 27 
 
11
2 m
2
S = $18.000 1+i $32.043,78
J = S - P = $14.043,78

 
 
10. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a., capitalizada 
mensalmente de modo a obter um montante de $76.000 após quatro meses? 
Dados: S=$76.000; j=84% a.a.; m= 4/12 anos; k=12; P= ? 
 
 
k m
12 4 12
j
S = P 1+
k
1,84
 $76.000 P 1+ P $57.980,04
12


 
 
 
 
   
 
 
 
11. Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses a seguir: 
 
 Prazo Taxa nominal Capitalização 
 a) 3 meses 48% a.s. mensal 
b) 2 anos 18% a.a. mensal 
c) 17 dias 35% a.m. diária 
 
k m
j
S = P 1+
k

 
 
 
 
 
a) Dados: P=$2.000; j=48% a.s.; m= 3/6 semestres; k=6; S= ? 
 
3
0,48
S = $2.000 1+ $2.519,42
6
 
 
 
 
 
b) Dados: P=$2.000; j=18% a.a.; m= 2 anos; k=12; S= ? 
 
12 2
0,18
S = $2.000 1+ $2.859,01
12

 
 
 
 
 
a) Dados: P=$2.000; j=35% a.m.; m= 17/30 meses; k=30; S= ? 
 
 17
0,35
S = $2.000 1+ $2.435,94
30
 
 
 
 
 
12. A juros nominais de 48% a.a., capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses um capital 
de $10.000 rende juros de $3.685,69. 
Dados: P= $10.000; S=$13.685,69; j= 48% a.a.; k=12; m= ? anos 
 
 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
0,48
$13.685,69 $10.000 1+ 1,04 1,368
12



 
 
 
 
   
 
 
 
aplicando logaritmos: log 1,368 12 m log 1,04 m= 8 meses   
 
 
13. Para os seguintes prazos, calcular as taxas efetivas equivalentes à taxa efetiva de 48% a.a.: 
a) 8 meses; 
8/12
8 mesesi =(1,48) - 1 = 29,87%
 
 
 28 
b) 11 meses; 
11/12
11 mesesi =(1,48) - 1 = 43,24%
 
 
c) 18 dias; 
18/360
18 diasi =(1,48) - 1 = 1,98%
 
 
d) 3 meses; 
3/12
3 mesesi =(1,48) - 1 = 10,30%
 
 
e) 420 dias; 
420/360
420 diasi =(1,48) - 1 = 57,99%
 
 
f) 7 meses e 12 dias. 
222/360
7 meses e 12 diasi =(1,48) - 1 = 27,35%
 
 
14. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a., capitalizada mensalmente, ou à de 
264% a.a., capitalizada bimestralmente? 
Dados: j1= 240% a.a.; k1= 12; j2= 264% a.a.; k2= 6; m=1 ano; i1 = ? % a.a.; i2 = ? % a.a. 
 
ik m
i
i
i
12
1 1
6
2 2
j
(1 + i ) = 1+
k
2,40
(1 + i ) = 1+ i = 791,61%
12
2,64
(1 + i ) = 1+ i = 791,61%
6

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As alternativas são equivalentes ! 
 
15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., de 
modo que seja equivalente à taxa nominal de 480% a.a., capitalizada bimestralmente? 
Dados: j1= 565,98% a.a.; j2= 480% a.a.; k2= 6; m=1 ano; k1= ?; 
 
1 2
1
k m k m
1 2
1 2
k 6
1
j j
1+ = 1+
k k
5,6598 4,80
1+ = 1+ 34,01
k 6
 
   
   
   
   
   
   
 
 
1
1
1 1 
5,6598
aplicando logaritmos: log 34,01 3,5266 k log 1+
k
Oras, sabemos que k é um divisor de 12, então testando valores obtemos k = 4
 
    
 
 
 
Logo a capitalização é trimestral! 
 
16. Em quanto tempo dobra um capital aplicado à taxa nominal de 227,05% a.a., capitalizada 
mensalmente? 
Dados: S=2 x P; j= 227,05% a.a.; k=12; m= ? anos 
 
 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
2,2705
2 1+ 1,189 2
12



 
 
 
 
   
 
 
 29 
 
aplicando logaritmos: log 2=12×m×log 1,189 m= 4 meses
 
 
17. Em 14 meses, uma aplicação de $12.000 rendeu juros brutos de $2.300. Considerando a cobrança 
de um imposto de 2% sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal obtida pela aplicação. 
Dados: P=$12.000, J=$2.300, Imposto=2%, im=? 
 
a. Rendimento efetivo em 14 meses: 
 
 rendimento efetivo juros brutos - imposto
 $2.3000 0,02 $2.300 $2.254

   
 
 
b. Taxa de rendimento efetivo mensal: 
1
14
m
$2.254
i 1 1 1,2371% a.m.
$12.000
 
 
  
    
 
 
 
18. Calcular o rendimento de $17.800 aplicados por sete meses à taxa efetiva de 45% a.a. 
Dados: P=$17.8000; i=45% a.a.; m= 7 meses; J= ? 
 
 
n
7 12
J = P (1+i) 1
J = $17.800 1,45 1 J $4.308,10
  
   
 
 
 
19. Um capital de $24.000 aplicado à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu 
$5.040. Determinar o prazo da operação. 
Dados: P= $24.000; S=$29.040; j=120% a.a.; k=12; m= ? 
 
 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
1,20
$29.040 $24.000 1+ 1,21 1,1
12



 
 
 
 
   
 
' 
 
aplicando logaritmos: log 1,21=12×m×log 1,1 m= 2 meses
 
 
20. Em sete meses um investimento de $15.000 teve um rendimento bruto de $4.000. Considerando-se 
um imposto de 3% sobre o rendimento e uma comissão de 1,5% sobre o valor aplicado, calcular a taxa 
de juros efetiva mensal ganha na aplicação. 
Dados: P=$15.000; J=$4.000; Imposto= 3%; Comissão= 1,5%; im=? 
 
a) Rendimento efetivo em 14 meses: 
   
 rendimento efetivo juros brutos - imposto - comissão
 $4.0000 0,03 $4.000 0,015 $15.000 $3.655

     
 
 
b) Taxa de rendimento efetivo mensal: 
1
7
m
$3.655
i 1 1 3,1642% a.m.
$15.000
 
    
 
 
 
21. Um investimento rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados mensalmente. Calcular a taxa 
efetiva anual. 
Dados: j= 6% a.a.; k= 12; m=1 ano; ia= ? 
 
 30 
k m
a
12
a
j
(1 + i ) = 1+
k
0,06
i = 1+ 1 6,1678%
12

 
 
 
 
  
 
 
 
22. Em operações de crédito, o Banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a., e o Banco B cobra juros 
nominais de 27% a.a., capitalizados mensalmente. Qual é a melhor taxa para o cliente? 
Dados: i= 30% a.a.; j= 27% a.a.; k= 12; m=1 ano 
 
 
a
k×m 12
a
Taxa efetiva anual:
Banco A i =30% a.a.
j 0,27
 Banco B i = 1+ - 1= 1+ - 1=30,60% a.a.
k 12
O oferta A é a melhor para o cliente. Representa a menor taxa efetiva

   
    
    
23. Uma aplicação a juros nominais de 24% a.a., capitalizados semestralmente, resultou em um 
montante de $10.000. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de 
$15.735,19. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos. 
Dados: S1= $10.000; S2=$15.735,19; j1= 24% a.a.; j1= 48% a.a.; k1=2; k2= 4; P= ?; m= ? anos 
 
 
k m
m
2
m
j
S = P 1+
k
0,24 $10.000
$10.000 P 1+ P
2 1,2544

 
 
 
  
    
   
 
Por outro lado 
 
   
 
 
 
k m
m
4
m
m m
m
m
m
j
S = P 1+
k
0,48 $15.735,19
$15.735,19 P 1+ P
4 1,5735
$15.735,19 $10.000
igualando: 
1,5735 1,2544
1,5735$15.735,19
 
$10.000 1,2544
 1,573519 1,2544

 
 
 
 
    
   



 
 
aplicando logaritmos: log 1,573519 m log 1,2544 m= 2 anos P= $6.355,18   
 
 
24. Em que prazo um capital de $75.000 aplicado à taxa nominal de 22% a.a., capitalizada 
semestralmente, resulta em um montante de $ 155.712? 
Dados: P= $75.000; S=$155.712; j=22% a.a.; k=2; m= ? 
 
 
k m
2 m
2 m
j
S = P 1+
k
0,22
$155.712 $75.000 1+ 2,076 1,11
2



 
 
 
 
   
 
' 
 
 31 
aplicando logaritmos: log 2,076=2×m×log 1,11 m= 42 meses
 
 
25. Dois capitais foram aplicados: o primeiro, de $8.000 à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada 
trimestralmente, e o segundo de $33.800,80, à taxa nominal de 10% a.a., capitalizada semestralmente. 
Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? 
Dados: P1= $8.000; P2=$33.800,80; j1= 20% a.a.; j1= 10% a.a.; k1=4; k2= 2; J1= J2; m= ? anos 
 
 
k m
m m
4 2
m
2
j
J = P 1+ P
k
0,20 0,10
$8.000 1+ $8.000 $33.800,80 1+ $33.800,80
4 2
1,05 3,2251

 
 
 
      
        
         
  
 
 
 
aplicando logaritmos: log 3,2251 m log 1,1025 m= 12 anos  
 
 
 
26. Um capital de $12.600 foi aplicado por três anos à taxa nominal de 22% a.a. Calcular o montante 
considerando-se que no primeiro ano os juros são capitalizados semestralmente; no segundo, 
trimestralmente; e no terceiro, bimestralmente. 
Dados: P= $12.600; j= 22% a.a.; k1=2; k2= 4; k3= 6; m1=1 ano; m2= 1 ano; m3= 1 ano; S= ? 
 
k m
2 4 6
j
S = P 1+
k
0,22 0,22 0,22
S $12.600 1+ 1+ 1+ S $23.870,48
2 4 6

 
 
 
     
       
     
 
 
27. Um capital de $12.500 aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu 
juros de $12.172,78. Calcular o prazo da aplicação. 
Dados: P= $12.500; j= 24% a.a.; k=2; S= $24.672,78; m=? anos 
 
 
k m
2 m
2 m
j
S = P 1+
k
0,24
$24.672,78 $12.500 1+ 1,9738 1,12
2



 
 
 
 
   
 
' 
 
aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos   
 
 
28. Três quartos de um capital foram aplicados à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada 
semestralmente, e o restante, a 12% a.s., capitalizada trimestralmente. Considerando-se o prazo de 
aplicação de quatro anos e sabendo-se que o rendimento (juros obtidos) da primeira parcela foi de 
$4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular o capital. 
Dados: P1 = (3/4) x P; P2 = (1/4) x P; J1 - J2 = $4.726,04; j1 = 20% a.a.; k1 = 2; j2 = 12% a.s.; k2 = 2; 
m=4 anos = 8 semestres; P = ? 
 
k m
1 2 1 2 1 2
2 4 2 8
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k
3 0,2 1 0,12 1
$4.726,04 = P 1 1 P= $10.000
4 2 4 2 2

 
 
   
 
    
        
     
 
29. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $9.738,23. Se 
a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o rendimento seria de $28.959,76. Determinar o 
prazo da aplicação em anos e calcular o valor do capital. 
 32 
Dados: J1 = $9.738,23; J2 = $28.959,76; j1 = 24% a.a.; k1 = 2; j2 = 48% a.a.; k2 = 4; P1=P2= P = ?; m= ? 
 
 
k×m
2×m
2×m
j
J = P 1+ -1
k
0,24 $9.738,23
$9.738,23=P 1+ -1 1,12 = 1
2 P
  
  
   
  
   
   
 
Por outro lado 
k×m
2
2×m
2
j
J = P 1+ -1
k
0,48
$28.959,76=P 1+ -1
4
$9.738,23
$28.959,76=P 1 -1
P
$9.738,23
$28.959,76=$9.738,23 2 P= $10.000
P
  
  
   
      
     
  
  
   
 
  
 
 
 
aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos   
 
 
30. Um capital aplicado durante quatro anos à taxa nominal de 12% a.a., capitalizada mensalmente, 
rendeu de juros $12.252 a mais do que teria rendido se a capitalização fosse semestral. Calcular o valor 
do capital. 
Dados: J1 - J2 = $12.252; j = 12% a.a.; k1 = 12.; k2 = 2; m=4 anos; P = ? 
 
 
k m
1 2 1 2 1 2
12 4 2 4
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k
0,12 0,12
$12.252 = P 1 1 P= $666.666,56
12 2

 
 
   
 
    
       
     
 
 
 
31. Dividir a importância de $2.832.774 em três partes de tal modo que, aplicadas à taxa nominal de 
20% a.a., capitalizada semestralmente, produzam, respectivamente, montantes iguais em dois, três e 
cinco anos. Sabe-se que a diferença entre o primeiro e o segundo capital é de $205.627,30. 
Dados: P1 - P2 = $205.627,30; P1 + P2+ P3 = $2.832.774;j = 20% a.a.; k = 2.; m1= 2 anos; m2 = 3 anos 
m3 = 5 anos; P1 = ?; P2 = ?; P3 = ? 
 
 
1 2k m k m
1 2
2 2 2 3
2 2 2
1 3
j j
P 1 = P 1
k k
0,2 0,2
P + 205.627,30 1 = P 1 P = $979.177,61
2 2
P = $1.184.804,92 P = $668.791,47
 
 
   
    
   
   
     
   

 
 
32. Dois capitais foram aplicados pelo prazo de dois anos. O primeiro à taxa nominal de 20% a.a., 
capitalizada semestralmente, e o segundo, à de 18% a.a., capitalizada trimestralmente. Considerando-se 
que os juros obtidos pelo primeiro capital excederam em $6.741,00 os juros obtidos pelo segundo e que 
o primeiro é $10.000 maior que o segundo, calcular os dois capitais. 
Dados: P1 - P2 = $10.000; J1 - J2 = $6.741; j1 = 20% a.a.; k1 = 2; j2 = 18% a.a.; k2 = 4; m= 2 anos; P1= ?; 
P2 = ? 
 33 
 
 
k m
1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
2 2 
2 1
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k
0,20 0,18
$6.741 = P + $10.000 1 - P 1 $10.000
2 4
P = $50.000,73 P = $60.000,73

 
 
   
 
   
     
   

 
 
33. Um capital foi aplicado durante cinco anos à taxa nominal de 5.5% a.a., capitalizada 
semestralmente, e a seguir seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante dez anos. A 
que taxa efetiva anual única poderia ser aplicado durante todo esse tempo de modo que resultasse no 
mesmo montante? 
Dados: j1= 5,5% a.a.; k1=2; i2= 4% a.a.; m1= 5 anos; n2= 10 anos; n= 15 anos; i= ? 
 
 
     
k m
n
2 5
10 15 15
j
S = P 1+ P 1+i
k
0,055
1+ 1+0,04 1+i 1+i 1,9416 i = 4,5226% a.a.
2


 
 
 
 
    
 
 
 
34. Uma pessoa precisa de $10.000 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a) 
a juros nominais de 5% a.a., capitalizados trimestralmente; b) à taxa nominal de 5,375% a.a., 
capitalizada semestralmente; c) a juros simples de 5,5% a.a. Qual é a melhor oferta? 
Dados: j1= 5% a.a ; k1= 4; j2= 5,375% a.a ; k2= 2; i3= 5,5% a.a..; n=2 anos 
 
 
k×m 4×2
k×m 2×2
Juros pagos:
j 0,05
Oferta A = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.044,86
k 4
j 0,05375
 Oferta B = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.119,12
k 2
Oferta C = P 1+i n - P = $10.0
   
   
   
   
   
   
  00× 1+0,055 2 -$10.000 = $1.100,00
O oferta A é a melhor para o cliente. Paga-se menos juros nela.
 
 
35. Uma pessoa aplicou um capital de $20.000 durante quatro anos à taxa nominal de 18% a.a., 
capitalizada semestralmente. Ao término desse período, somente os juros obtidos foram reaplicados por 
mais 15 meses à taxa nominal de 12% a.a., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimento dessa 
última aplicação. 
Dados: P1= $20.000; P2 = J1; j1= 18% a.a.; j2= 12% a.a.; k1=2; k2= 4; m1= 4 anos; m2= 15/12 anos; J2=? 
 
k m
2 4
2 1 2 
j
equação para calcular os juros: J = P 1+ 1
k0,18
 P = J = $20.000 1+ 1 P = $19.851,25
2


  
  
   
  
   
   
 
Por outro lado, 
 4 15 12
2 2 
0,12
J = $19.851,25 1+ 1 J = $3.161,79
4
  
   
   
 
 
36. Um banco oferece uma rentabilidade efetiva de 40% a.a. Considerando-se que o investidor tem 
condições de ganhar juros efetivos de 9% a.t. em outro banco, qual deve ser a alternativa escolhida? 
Dados: i1= 40% a.a ; i2= 9% a.t 
 
 34 
2 4 12 360
a s t m d
1/4
t1 a
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
i =(1 + i ) - 1 = 8,78% a.t.
 
 
A oferta B (9% a.t.) oferece maior taxa efetiva, portanto maior rentabilidade para o cliente! 
 
37. Um investidor aplicou $25.000 na Bolsa de Valores esperando ganhar uma rentabilidade efetiva de 
100% a.a. Caso tal rentabilidade ocorresse, calcular os juros obtidos ao fim de 20 meses. 
Dados: P= $25.000; i= 100% a.a.; n= 20 meses; J= ? 
 
 
 
n
20 12
J P 1 i 1
 J $25.000 2 1 J $54.370,05
   
 
    
 
 
 
38. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $2.294,08. Se 
a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de $9.903,85. Calcular o capital 
e o prazo da aplicação. 
Dados: J1 = $2.294,08; S2 = $9,903,85; j1 = 24% a.a.; k1 = 2; j2 = 48% a.a.; k2 = 4; P1=P2= P = ?; m= ? 
 
 
k×m
2×m
2×m
j
J = P 1+ -1
k
0,24 $2.294,08
$2.294,08=P 1+ -1 1,12 = 1
2 P
  
  
   
  
   
   
 
Por outro lado 
k×m
2
2×m
2
j
J = P 1+ -1
k
0,48
$9.903,85=P 1+
4
$2.294,08
$9.903,85=P 1
P
$2.294,08 P
$9.903,85=$2.294,08 2 P= $4.000
P $2.294,08
  
  
   
  
  
   
 
 
 
 
   
 
 
 
aplicando logaritmos: log 1,5735=2×m×log 1,12 m= 2 anos
 
 
39. O Produto Interno Bruto (PIB) de um país cresceu 200% em dez anos. Qual foi a taxa de 
crescimento anual média? 
Dados: idécada= 200% a.d. ; ia= ? 
10 1/10
década a a d(1 + i ) = (1 + i ) i =(1 + i ) - 1 = 11,6123% a.a.
 
 
40. Em 12 de outubro de 2006 um capital de $2.300 foi aplicado à taxa nominal de 36% a.a., 
capitalizada diariamente. Calcular os juros acumulados até 24 de novembro de 2007, (considerar ano 
civil.) 
Dados: j= 36% a.a.; k=365; P = $2.300; m=? J = ? 
 35 
Determinação do prazo usando a Tábua para Contagem de Dias do ano civil entre as duas datas (capítulo 1 
do livro): 
 número de dias da data posterior (24 de novembro) = 328 
 número de dias da data anterior (12 de outubro) = 285 
 prazo: 43 dias 
Prazo total = 365 + 43 = 408 dias 
 
 
k m
408
j
J P 1+ 1
k
0,36
J $2.300 1 1 J $1.138,80
365
  
   
   
  
       
   
 
 
 
Tábua Para Contagem de Dias entre Duas Datas 
 
JAN. FEV. MAR ABR. MAI. JUN. JUL. AGO SET. OUT. NOV DEZ. 
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 
31 90 151 212 243 304 365 
 
 
41- Em 31 de dezembro de 2005, uma pessoa aplicou $10.000 à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada 
diariamente. Considerando-se que, a partir de 1° de janeiro de 2007, a taxa nominal passou a ser de 
20% a.a., calcular o valor de resgate da aplicação no dia 30 de junho de2007 (considerar ano civil). 
Dados: j1= 24% a.a.; j2= 20% a.a.; k=365; P = $10.000; m1= ?; m1= ?; S = ? 
 
 
 
1 1
2 2
m = 31/12/2005 até 01/01/2007 m = 366 dias 
m = 01/01/2007 até 30/06/2007 m = 180 dias 


 
 
k m
366 180
j
S P 1+
k
0,24 0,20
S $10.000 1+ 1+ S $14.037,98
365 365

 
  
 
   
      
   
 
 
 36 
42. Uma aplicação foi feita em duas parcelas: a primeira por quatro anos à taxa nominal de 28% a.a., 
com capitalização trimestral, e a segunda por dois anos à taxa nominal de 12% a.s., com capitalização 
mensal. Considerando-se que a primeira parcela excede em $100 a segunda e a diferença dos juros 
obtidos entre as duas é de $1.404,57, calcular o valor do capital. 
Dados: P1 - P2 = $100; J1 - J2 = $1.404,57; j1 = 28% a.a.; k1 = 4; j2 = 12% a.s.; k2 = 6; m1= 4 anos; m2= 
4 semestres; P= P1+ P2 = ?; 
 
 
k m
1 2 1 2 1 2
4 4 6 4
2 2 
2 1
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k
0,28 0,12
$1.404,57 = P + $100 1 - P 1 $100
4 6
P = $900 P = $1.000 P= $1.900

 
 
   
 
   
     
   
 
 
 
43. Um capital de $4.000 foi aplicado por 11 meses: nos primeiros três meses, à taxa de 24% a.a., 
capitalizada mensalmente, e nos oito últimos meses à taxa de 36% a.s., capitalizada trimestralmente. 
Calcular o rendimento da aplicação. 
Dados: j1= 24% a.a.; j2= 36% a.s.; k1=12; k2=2; P = $4.000; m1= 3 meses; m2= 8 meses; J = ? 
 
k m
3 2
j
J P 1+ P
k
0,24 0,36
J $4.000 1+ 1+ 1 J $1.910,50
12 2

 
  
 
    
        
     
 
 
44. Um capital de $6.000 foi aplicado por 25 meses: nos primeiros 11 meses à taxa de 48% a.a., 
capitalizada mensalmente, nos 12 seguintes meses à taxa de 40% a.s., capitalizada trimestralmente, e 
nos últimos dois meses à taxa de 36% a.a., capitalizada bimestralmente . Calcular o montante final. 
Dados: j1= 48% a.a.; j2= 40% a.s.; j3= 36% a.a.; k1=12; k2=2; k3=6; P = $6.000; m1= 11 meses; m2= 12 
meses; m1= 2 meses; S = ? 
 
k m
12 (11/12) 2 (12 / 6) 6 (2 /12)
j
S P 1+
k
0,48 0,40 0,36
S $6.000 1+ 1+ 1+ $20.302,47
12 2 6

  
 
  
 
     
        
     
 
 
45. Dois terços de um capital foram aplicados por dois anos à taxa de 18% a.s., capitalizada 
bimestralmente e o restante foi aplicado por um determinado prazo à taxa de 18% a.t., capitalizada 
mensalmente. Considerando-se que o valor do capital é de $12.000 e o rendimento da primeira parcela 
é $4.048,79 maior que o rendimento da segunda, calcular o prazo em anos da segunda parcela. 
Dados: P1 = $8.000; P2 = $4.000; J1 - J2 = $1.404,57; j1 = 18% a.s.; k1 = 3; j2 = 18% a.t.; k2 = 3; m1= 4 
semestres; m2= ? 
 
 
2
2
k m
1 2 1 2 1 2
3 4 3 m
 
3 m
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k0,18 0,18
$4.048,79 = $8.000 1 - $4.000 1 $4.000
3 3
1,06 2,012

 

 
   
 
   
     
   

 
 
aplicando logaritmos: log 2,012=3×m×log 1,06 m= 4 trimestres = 1 ano
 
 
 
46. Um capital foi aplicado por 18 meses a juros nominais de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Se 
as capitalizações da taxa nominal forem semestrais, o rendimento seria $1.000 menor. Calcular o valor 
do capital. 
 37 
Dados: J1 - J2 = $1.000; j = 24% a.a.; k1 = 12; k2 = 2; m= 18 meses; P1=P2=P= ? 
 
 
k m
1 2 1 2 1 2
18 3
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k
0,24 0,24
$1.000 = P 1 1 P = $42.884,87
12 2

 
   
 
    
       
     
 
 
47. Calcular o prazo em que um capital dobra quando aplicado a juros nominais de 120,17% a.a., 
capitalizados diariamente. 
Dados: S= 2 x P; j = 120,17% a.a.; k = 360; m= ? 
 
 
k m
360 m
360 m
j
S P 1
k
1,2017
2 1 1,00334 2
360



 
  
 
 
    
 
 
 
aplicando logaritmos: log 2=360×m×log 1,00334 m= 208 dias
 
 
48. A que prazo devemos aplicar um capital a juros nominais de 20% a.a., capitalizados 
trimestralmente, de modo que ele proporcione o mesmo rendimento obtido se for aplicado durante oito 
anos a juros efetivos de 5% a.a.? 
Dados: j= 20% a.a.; k=4; i= 5% a.a.; n= 8 anos; m=? 
 
 
 
k×m
n
4×m
4×m8
j
(1 + i) = 1+
k
0,2
(1,05) = 1+ 1,477 1,05
4
 
 
 
 
  
 
 
 
aplicando logaritmos: log 1,477=4×m×log 1,05 m= 2 anos
 
 
49. Um investidor teria o mesmo rendimento se aplicasse um capital em qualquer uma de duas opções 
de investimento. A primeira opção permite aplicar o capital durante quatro anos à taxa efetiva composta 
de 8% a.a., e a segunda, durante dois anos a uma determinada taxa nominal anual, capitalizada 
semestralmente. Qual é a taxa nominal? 
Dados: k=2; i= 8% a.a.; n= 4 anos; m= 2 anos; j=? 
 
k×m
n
2×2
4
j
(1 + i) = 1+
k
j
(1,08) = 1+ j 16% a.a.
2
 
 
 
 
  
 
 
 
50. Em que data um capital de $10.000 aplicado em 20 de setembro de 2006 a juros efetivos de 40% 
a.a. resultará em um montante de $17.037,38? (trabalhar com ano civil). 
 
Dados: i= 40% a.a.; P = $10.000; S= $17.037,38; n=? 
 
 
   
n
n 365 n 365
S P 1+i
$17.037,38 $10.000 1,4 1,4 1,7037

  
 
 
 38 
aplicando logaritmos: 365×log 1,7037=n×log 1,4 n= 578 dias
 
 
Logo, 
 n= 20/09/00 até ? = 365 + 213 data final = 21/04/02
 
 
51. Qual é o prazo (em meses) de aplicação de um capital de $20.000 para que ele proporcione um 
rendimento mínimo de $5.000 quando aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente? 
Dados: S= $25.000; P= $20.0000; j = 24% a.a.; k = 12; m= ? 
 
 
k m
12 m
12 m
j
S P 1
k
0,24
1,25 1 1,02 1,25
12



 
  
 
 
    
 
 
 
aplicando logaritmos: log 1,25=12×m×log 1,02 m= 12 meses
 
 
52. Um capital foi aplicado em uma conta remunerada que paga uma taxa de 24% a.a., capitalizada 
trimestralmente. Após um ano a taxa baixou para 20% a.a., o que motivou o saque de uma quantia igual 
a 50% do capital inicialmente aplicado. Se transcorridos seis meses desse saque, a conta foi encerrada, 
resgatando-se o saldo total de $20.000, calcular o capital inicialmente aplicado 
Dados: P2 = S1 - P1 / 2; j1= 24% a.a.; j2= 20% a.a.; k=4; m1= 1 ano; m2= 6 meses; S2 = $20.000; P1=? 
 
k m
4 1
2 1 1 1 2 1
j
S = P 1+
k
1 0,24
P = S - P = P 1+ 0,5 P = 0,762 P
2 4


 
 
 
  
   
   
 
Por outro lado, 
k m
4 0,5
1 1 
j
S = P 1+
k
0,20
$20.000 = 0,7625 P 1+ P = $23.791,66
4



 
 
 
 
  
 
 
 
53. Calcular o valor dos juros pagos por um financiamento de capital de giro $1.500 por cinco dias 
contratado à taxa de 3% a.m., capitalizada diariamente. 
Dados: P= $1.500; j= 3% a.m.; k=30; m= 5 dias; J = ? 
 
 
k m
30× 5 30
j
J P 1+ P
k
0,03
J $1.500 1+ 1 J $7,5150
30

 
  
 
  
     
   
 
 
54. Calcular a taxa nominal anual, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 12% a.a. 
Dados: k=4; i= 12% a.a.; n= m= 1 ano; j=? 
k×m
n
4
j
(1 + i) = 1+
k
j
 (1,12) = 1+ j 0,114949 11,50% a.a.
4
 
 
 
 
   
 
 
 
 39 
CAPÍTULO 4 
Exercícios propostos 
(*) na resolução dos exercícios, considerar, salvo menção em contrário, anos comerciais (360 dias). 
 
1. Uma duplicata de $180.000 é descontada quatro meses antes de seu vencimento. Considerando uma 
taxa de desconto de 60% a.s., calcular o valor do desconto e o valor liberado na modalidade de 
desconto comercial. 
Dados: N= $180.000; n= 4 meses; d= 60% a.s.; D= ?; V= ? 
 
D N d n
4
D = $180.000 0,60 D = $72.000
6
  
  
 
Além disso, 
V N D V= $108.000  
 
 
2. Considerando que um banco aplica uma taxa simples de desconto de 15% a.m. e libera $18.900 no 
desconto comercial de um título com vencimento para três meses, calcular o valor de resgate e a taxa de 
desconto efetiva linear. 
Dados: V= $18.900; n= 3 meses; d= 15% a.m.; N= ?; i= ? 
 
 V N 1- d n
$18.900
N = N = $34.363,64 D= $15.463,36
1- 0,15 3
  
 

 
Além disso, 
d 0,15
i 27,27% a.m
1 d n 1 0,15 3
ou
D 30 $15.463,36 30
i 27,27% a.m
V n $18.900 90
  
   
       
           
       
 
 
3. Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de $120.000 e com vencimento para 180 
dias descontado comercialmente a uma taxa de desconto de 40% a.a. 
Dados: N= $120.000; n= 180 dias; d= 40% a.a.; V= ? 
 
 V N 1- d n
1
V $120.000 1- 0,4 V = $96.000
2
  
 
    
 
 
4. Calcular a taxa de desconto efetiva linear para uma operação de desconto comercial de um título de 
$135.000 descontado por $120.000 quatro meses antes de seu vencimento. 
Dados: N= $135.000; V= $120.000; n= 4 meses; i= ? 
 
D N - V D = $15.000 
 
Além disso, 
D 30 $15.000
i 3,125% a.m.
V n $120.000 4
   
      
   
 
 
5. Uma duplicata de $86.000, com prazo de vencimento de três meses, teve valor liberado de $80.000. 
Determinar a taxa de desconto aplicada na modalidade racional. 
Dados: N= $86.000; V= $80.000; D= $6.000; n= 3 meses; d= ? 
 
 40 
D V d n
$6.000
d d = 2,5% a.m.
$80.000 3
  
 

 
 
6. Um lote de letras com valor de resgate de $4.800.000 é adquirido por $4.000.000. Considerando um 
prazo de vencimento de 120 dias, calcular a taxa de desconto (ao ano) e a rentabilidade efetiva linear da 
operação. 
Dados: N= $4.800.000; V= $4.000.000; D= $800.000; n= 4 meses; d=?; i= ? 
 
D 360 $800.000 360
d 50% a.a.
N n $4.800.000 120
       
           
       
 
Além disso, 
 
d 0,5
i 60% a.a.
1 d n 1 0,5 1 3
  
   
 
 
7. Um banco deseja uma rentabilidade efetiva linear de 180% a.a. em operações de compra de letras. 
Considerando que o lote de letras tem vencimento para 90 dias, determinar o P.U. sobre o qual se deve 
negociar em termos de desconto comercial e calcular a taxa de desconto mínima exigida. 
Dados: i= 180% a.a.; n = 90 dias; P.U.=?; d= ? 
 
 
d
 i
1 d n/360
d
1,8 d 124,14% a.a.
1 d 90/360
   
  
   
 
Além disso, 
   P.U.= 1 d n/360 1 1,2414 90/ 360 = 0,68966      
 
 
8. Uma duplicata de $880.000 foi descontada comercialmente oito meses antes do vencimento. 
Considerando uma taxa de desconto efetiva linear de 145% a.a., calcular o valor liberado pelo banco. 
Dados: N= $880.000; i= 145% a.a.; n= 8 meses; V= ? 
 
D V i n D = 0,966V   
 
Por outro lado, 
V N D V= $447.457,63  
 
 
9. Uma promissória de $450 sofreu um desconto de $54. Considerando uma taxa de desconto de 6% 
a.m., calcular o prazo da operação. 
Dados: N= $450; D= $54; d= 6% a.m.; n= ? 
 
D N d n
$54 = $450 0,06 n n = 2 meses
  
  
 
 
10. Um título de $13.000 que vence em 120 dias foi descontado comercialmente por $11.400. Calcular 
a taxa de desconto (ao ano) e a taxa de desconto efetiva linear. 
Dados: N= $13.000; V= $11.400; D= $1.600; n= 120 dias; d=?; i= ? 
 
D 360 $1.600 360
d 36,92% a.a.
N n $13.000 120
       
           
       
 
Além disso, 
D 360 $1.600 3
i 42,11% a.m.
V n $11.400
   
      
   
 
 41 
11. Um título de $240.000 foi descontado 43 dias antes do vencimento pelo desconto comercial simples 
aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Considerando uma taxa de desconto efetiva linear da 
operação de 6% a.m., calcular o valor liberado. 
Dados: N= $240.000; i= 6% a.m.; n= 43 dias; V= ? 
 
n
D V i D = 0,086V
30
 
    
 
 
Por outro lado, 
V N D V= $220.994,48  
 
 
12. Para operações de desconto comercial, um banco aplica uma taxa de desconto de 27% a.a., e cobra 
2% sobre o valor nominal como TSB. Calcular as taxas de desconto efetivas lineares anuais para os 
prazos de um mês, três meses e seis meses. 
Dados: d= 27% a.a.; TSB= 2%; i1= ?; i3= ?; i6= ? 
 
 
   
 
 
1 mês
3 meses
6 mes
d n 12 + s 1
 i
n 121 d n 12 - s
0,27 1 12 + 0,02 1
i = 53,26% a.a.
1 0,27 1 12 - 0,02 1 12
0,27 3 12 + 0,02 1
i = 38,36% a.a.
1 0,27 3 12 - 0,02 3 12
i
   
            
   
         
   
         
 es
0,27 6 12 + 0,02 1
= 36,69% a.a.
1 0,27 6 12 - 0,02 6 12
   
         
 
 
13. Uma duplicata de $72.000 com vencimento para cinco meses foi descontada comercialmente a uma 
taxa de desconto de 2% a.m.. Considerando que foi paga uma taxa de serviço bancário de 2,5% sobre o 
valor nominal do título, calcular o valor líquido liberado pelo banco e a taxa de desconto efetiva linear 
da operação. 
Dados: N= $72.000; d= 2% a.m.; TSB= 2,5%; n= 5 meses; i= ?; V= ? 
 
 
 
d n + s 1
 i
1 d n - s n
0,02 5 + 0,025 1
i = 2,86% a.m. = 34,29% a.a.
1 0,02 5 - 0,025 5

 
 

 
 
 
Além disso, 
 
 
V N 1 s d n
V $72.000 1 0,025 0,02 5 V $63.000
   
     
 
 
14. Duas letras, uma de $10.000 e outra de $8.000, foram descontadas pelo desconto comercial simples 
aplicando-se uma taxa de desconto de 36% a.a. Considerando que o valor do desconto total é de $4.400 
e que o prazo da segunda letra excede em dez dias o prazo da primeira, determinar os prazos e as taxas 
de desconto efetivas lineares das letras. 
Dados: N1= $10.000; N2= $8.000; d= 36% a.a.; (D1+ D2) = $4.400; n2= n1+10 dias; n1= ?; 
 n1= ?; i1= ?; i2= ? 
 
 
1 2 1 1 2 2
1 1 1 2
D +D = N d n + N d n
0,36
$4.400 = $10.000 n + $8.000 n + 10 n = 240 dias n = 250 dias
360
   
      
 
 
Além disso, 
 42 
 
 
 
1 1
2 2
d
 i
1 d n/360
0,36
i i 47,37% a.a.
1 0,36 240/360
0,36
i i 48% a.a
1 0,36 250/360

   
  
   
  
    
 
15. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 150 e 120 dias, foram descontadas comercialmente a 
uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $53.000. Determinar os 
valores nominais dos títulos sabendo que, se essa operação fosse feita 20 dias mais tarde, a taxa de 
desconto seria de 8% a.m. e a soma dos valores dos descontos seria de $72.000. 
 
Dados: d1,2= 5% a.m., 8% a.m.; (D1+ D2) = $53.000, $72.000; n1= 150 dias, 130 dias; n2= 120 dias, 
150 dias; N1= ?; N2= ? 
 
 
 
1 2 1 1 2 2 2
1 2 1 1 2 2 2
1
1 2
1
1 2
D + D = N d n + N d n
0,05
$53.000 = 150 N + 120 N
30
$1.060
Se a operação for feita 20 dias depois:
D + D = N d n + N d n
0,08
$72.000 = 130 N + 100 N
30
    
 
   
 
 
 
 
 
    
 
   
  
1 2
1 2
1 2
.000 5 N + 4 N
$2.700.000 13 N + 10 N
N = $100.000 N = $140.000
   
 
   

 
 
16. Dois títulos com prazos, respectivamente, de 60 e 90 dias foram descontados comercialmente à taxa 
de desconto de 6% a.m., produzindo os mesmos valores liberados para ambos os títulos. Considerando 
que a diferença entre o valor nominal (valor de resgate) do primeiro e o valor do desconto do segundo é 
de $166.454,55, calcular os valores nominais dos títulos. 
Dados: d= 6% a.m.; N1 = $166.454,55 + D2; V=V1= V2; n1= 60 dias; n2= 90 dias; N1= ?; N2= ? 
   
   
1 2
1 1 2 2
V V
1 2 1 2
N 1 d n N 1 d n
N 1 0,06 2 N 1 0,06 3 N 0,9318 N
    
       
 
Pelo enunciado do exercício sabe-se que: 
1 2
2 2 2
2 2
2 
1 2 
N $166.454,55 D
0,9318 N = $166.454,55 N d n
0,9318 N = $166.454,55 N 0,06 3
N = $221.402,67
N = 0,9318 N = 0,9318 $221.402,67 $206.307,03
 
   
   

   
 
17. Dois títulos vencíveis, respectivamente, em 33 e 66 dias foram descontados comercialmente, o 
primeiro à taxa de desconto de 40% a.a. e o segundo à taxa de 38% a.a., totalizando um desconto de 
$1.760. Considerando que o valor nominal do primeiro é a metade do valor nominal do segundo, 
calcular os valores nominais dos dois títulos. 
 
Dados: d1= 40% a.a.; d2= 38% a.a.; (D1+D2)= $1.760; N1= N2 / 2; n1= 33 dias; n2= 66 dias; N1= ?; 
N2= ? 
 43 
 
1 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1 2
D + D = N d n + N d n
0,40 0,38
$1.760 = N 33 + 2 N 66 N = $10.000 N = $20.000
360 360
   
 
       
  
 
18. Uma duplicata de $20.000 foi descontada comercialmente 120 dias antes do vencimento. 
Considerando que o valor líquido liberado foi de $18.000 e sabendo-se que foi cobrada uma comissão 
de 2% sobre o valor nominal da duplicata, calcular a taxa mensal de desconto e a taxa de desconto 
efetiva linear da operação. 
Dados: N= $20.000; V= $18.000; D= $2.000; n= 120 dias; s = 2%; d=?; i= ? 
 
 
V N 1 s d n
$18.000 $20.000 1 0,02 d 4 d 2% a.m.
   
     
 
Além disso, 
 
 
d n + s 1
 i
1 d n - s n
0,02 4 + 0,02 1
i = 2,78% a.m.
1 0,02 4 - 0,02 4

 
 

 
 
 
 
19. Duas letras pagáveis, respectivamente, em 186 dias e 90 dias foram descontadas comercialmente a 
uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $1.070. Se essa 
operação fosse feita dez dias mais tarde, a taxa de desconto seria de 6% a.m. e a soma dos descontos 
totalizaria $1.184. Calcular os valores nominais dos títulos. 
 
Dados: d1,2= 5% a.m., 6% a.m; (D1+D2)= $1.070, $1.184; n1= 186 dias, 176 dias; n2= 90 dias, 80 dias; 
N1= ?; N2= ? 
 
 
 
1 2 1 1 2 2 2
1 2 1 1 2 2 2
1
1 2
1
1 2
D + D = N d n + N d n
0,05 $7.133,33 2,06$1.070 = 186 N +90 N
30
Se a operação for feita10 dias depois:
D + D = N d n + N d n
0,06
$1.184 = 176 N +80 N
30
    
 
   
 
 
 
 
 
    
 
   
  
1 2
1 2
1 2
7 N +1 N
$59.200 17,6 N +8 N
Logo:
N = $2.000 N = $3.000e
  
 
  
  
 
 
 
   
20. O possuidor de um título de $20.000 com vencimento para três meses tem duas possibilidades: 
vendê-lo por $19.500 a um particular ou descontá-lo comercialmente em um banco que aplica uma 
taxa de desconto de 1% a.m.. Determinar qual transação é mais vantajosa. 
 
Dados: N= $20.000; G= $19.500; n= 3 meses; d= 1% a.m.; V= ? 
 
 
 
V N 1- d n
V $20.000 1- 0,01 3 V = $19.400
  
    
 
Como o banco liberará apenas $19.400, a melhor opção é vendê-lo por $19.500! 
 
Analogamente, podemos resolver o problema comparando descontos: 
 
D N d n
D $20.000 0,01 3 D = $600
  
    
 
Como o banco descontará $600, a melhor opção é vendê-lo por $19.500 
(um desconto de apenas $500)! 
 44 
21. Dois títulos, o primeiro com vencimento a 60 dias e o segundo a 90 dias, foram descontados 
racionalmente à taxa de 6% a.m. Considerando que os dois tiveram o mesmo valor liberado e que a 
diferença entre o valor nominal do primeiro e o valor do desconto do segundo é de $4.160,91, calcular 
os valores nominais dos títulos. 
 
Dados: d= 6% a.m.; N1 = $4.160,91 + D2; V1= V2 = V; n1= 60 dias; n2= 90 dias; N1= ?; N2= ? 
2 2 
2 
Valor do desconto do segundo título: D V d n
D 0,06 3 V
D 0,18V
  
  

 
Logo, pelo enunciado do problema temos que: 
 
 
1 2
 1
 
1 
1 2
2 2
N $4.160,91 D
N $4.160,91 0,18V
V 1+0,06 2 $4.160,91 + 0,18V 
V = $4.426,50
N = $4.160,91 0,18 $4.426,50 $4.957,68
N $4.160,91 D
$4.957,68 $4.160,91 N d×n
$4.957,68 $4.160,91 N
 
 
 

   
 
  
  22 0,06×3 N = $5.223,27 
 
 
22. Dois títulos foram descontados comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de desconto de 
4% a.m., totalizando um desconto de $2.000. Considerando que o valor de resgate do segundo é o 
dobro do valor de resgate do primeiro, calcular os valores de resgate dos títulos. 
 
Dados: d= 4% a.m.;(
1 2D + D
)= $2.000; N2= 2 N1; n= 60 dias; N1= ?; N2= ? 
 
 
1 2 1 2
1 1 1
2
D + D = N d n + N d n
$2.000 = 0,04 2 N + 2 N N = $8.333,33
N = 2 $8.333,33 =$16.666,67
   
  
  
 
23. A soma dos valores dos descontos e dos valores líquidos liberados por duas promissórias 
descontadas comercialmente totalizaram, respectivamente, $6.300 e $143.700. O valor de resgate da 
segunda promissória é o dobro do valor de resgate da primeira e vence 30 dias depois. Considerando 
uma taxa de desconto de 2,1% a.m., determinar os valores de resgate e os prazos dos títulos. 
 
Dados: d= 2,1% a.m.; (
1 2D + D
)= $6.300; (
1 2V + V
)= $143.700; (
1 2N + N
)= $150.000; N2= 2 N1; 
n2= n1 + 30; N1= ?; N2= ?; n1=?; n2= ? 
 
 
1 2 
1 1 2
N N = $150.000
3 N $150.000 N = $50.000 N = 2 $50.000$ =100.000

    
 
Além disso, 
 
 
1 2 1 1 2 2
1 1 1 2
D + D = N d n + N d n
0,021
$6.300 = $50.000 n + $100.000 n +30 n = 40 dias n = 70 dias
30
   
      
 
24. Duas letras com prazos, respectivamente, de 40 e 120 dias foram descontadas comercialmente à 
taxa de desconto de 6% a.m., e a soma dos valores dos descontos totalizou $24.800. Se a operação 
fosse feita dez dias mais tarde, teria sido aplicada uma taxa de desconto de 5% a.m., e a soma dos 
valores dos descontos comerciais totalizaria $18.500. Determinar os valores nominais das letras. 
 45 
Dados: d1,2= 6% a.m., 5% a.m ; ( 1 2D + D )= $24.800, $18.500; n1= 40 dias, 30 dias; n2= 120 dias, 110 
dias; N1= ?; N2= ? 
 
 
 
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
D + D = N d n + N d n
0,06
$24.800 = 40 N +120 N
30
Se a operação for feita 10 dias mais tarde:
D + D = N d n + N d n
0,05
$18.500 = 30 N +110 N
30
   

   





    

   

1 2
1 2
1 2
$310.000 N +3 N
$1.110.000 3 N +11 N
Logo:
N = $40.000 N = $90.000


   
  
      
  
  
  
   


 
25. Duas letras vencíveis, respectivamente, em 90 e 45 dias foram descontadas racionalmente a uma 
taxa simples de 2% a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $300. Calcular o valor total 
liberado pelas duas letras, sabendo que, se essa operação se realizasse 30 dias mais tarde, a soma dos 
valores dos descontos teria sido de $180. 
 
Dados: d= 2% a.m.; (
1 2D + D
)=$300, 180; n1= 90 dias, 60 dias; n2= 45 dias, 15 dias; V= V1+ V2= ? 
 
 
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2
1 2
Pelo modalidade de desconto racional sabe-se que D = V d n:
D + D = V d n + V d n
0,02
 $300 = 90 V + 45 V
30
Se a operação for feita 30 dias mais tarde:
D + D = V d n + V d
 
   
  
  
 
2
1 2
1 2
1
2
1 2
$10.000 2V + V
$18.000 4V + V
Logo:
V = $4.000
V = $2.000
n
V= $6.000
0,02
 $180 = 60 V + 15 V
30
 
 
   
   
   
      
   
   
   
   
    
   
  
 
 
26. Uma nota promissória de $5.000 foi descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento à taxa 
simples de 3% a.m. Calcular o valor líquido recebido pelo possuidor do título. 
Dados: d= 3% a.m.; N= $5.000; n= 60 dias; V=? 
 
$5.000
N V(1+ d n) V= $4.716,98
1+0,03 2
   

 
 
27. Um título de $50.000 sofreu um desconto comercial de $4.000. Considerando uma taxa de desconto 
efetiva linear de 10,87% a.m., determinar o prazo da operação. 
Dados: i= 10,87% a.m.; D= $4.000; N= $50.000; n= 60 dias; n=? 
 
D N d n
n
$4.000 = $50.000 d d n = 2,4
30
  
 
    
 
 
Além disso, 
 
 
d
 i
1 d n 30
d 2,4
0,1087 d = 10% a.m. n = =24 dias
1 0,08 0,10
e

   
 

 
 
 46 
28. Uma promissória de $22.000 teve um desconto comercial de $2.000. Considerando que a taxa 
efetiva exponencial da operação é de 4,8809% a.m., determinar o prazo da operação e a taxa de 
desconto contratada 
Dados: ie= 4,8809% a.m.; D= $2.000; N= $22.000; n=?; d= ? 
 
D N d n
n
$2.000 = $22.000 d d n = 2,727
30
  
 
    
 
 
Além disso, 
 
   
30/n
e
30/n 30/n
i N/V 1
0,048809 $22.000 / $20.000 1 1,048809 = 1,1
 
  
 
 
aplicando logaritmos: n log 1,048809 30 log 1,1
n= 60 dias d= 4,5455% a.m.
  

 
 
29. Um banco emprestou $100.000 por 40 dias a juros efetivos compostos de 26% a.a. Considerando 
que o banco desconte comercialmente uma promissória com valor nominal de $50.022,36 a uma taxa de 
desconto de 4% a.m., determinar o prazo do desconto de modo que as duas operações produzam o 
mesmo rendimento. 
Dados: P= $100.000; i= 26% a.a.; n1= 40 dias; N= $50.022,36; d= 4% a.m.; n2=? 
 
 
 
1n
2 
2 40 360
2 
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D J
N d n = P 1+i 1
n
 $50.022,36 0,04 $100.000 1,26 1 n = 39 dias 
30

   
 
           
 
 
30. Um banco pode emprestar $25.000 a juros efetivos de 42% a.a. ou empregar esse capital no 
desconto comercial de uma duplicata com valor nominal de $25.000 e prazo de 90 dias. Qual deveria 
ser a taxade desconto aplicada na operação, de modo que o banco ganhe os mesmos juros obtidos no 
empréstimo? 
Dados: P= $25.000; i= 42% a.a.; n= 90 dias; d= ? 
 
 
 
n
 
3 12
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D J
N d n = P 1+i 1
 $25.000 d 3 $25.000 1,42 1 d= 3,0541% a.m.

   
 
     
 
 
 
31. Um título com valor nominal de $240.000 foi descontado comercialmente 60 dias antes do 
vencimento a uma taxa de desconto de 4% a.m. Calcular o valor líquido liberado ao seu portador e a 
taxa de desconto efetiva exponencial anual. 
Dados: N= $240.000; n= 60 dias; d= 4% a.m.; V= ?; ie = ? 
 
 
 
V N 1 - d n
V = $240.000 1 - 0,04 2 V = $220.800
 
 
 
Além disso, 
 
 
360/n
e
360/60
e e
i N/V 1
i $240.000 / $220.800 1 i 64,9199% a.a.
 
   
 
 
 47 
32. Uma empresa descontou comercialmente, 100 dias antes do vencimento, uma duplicata de $20.000. 
Considerando que o valor líquido liberado foi de $19.000, calcular a taxa de desconto mensal e a taxa 
de desconto efetiva exponencial anual . 
Dados: N= $20.000; n= 100 dias; V= $19.000; d= ?; ie = ? 
 
n
V N 1 - d
30
100
$19.000 = $20.000 1 - d d = 1,5% a.m.
30
 
  
 
 
  
 
 
Além disso, 
 
 
360/n
e
360/100
e e
i N/V 1
i $20.000 / $19.000 1 i 20,2804% a.a.
 
   
 
 
33. Calcular o valor nominal de uma nota promissória descontada comercialmente três meses antes do 
vencimento de modo que seu valor liberado seja igual à soma dos valores liberados por três duplicatas 
com valores nominais, respectivamente, de $100, $500 e $700 descontadas pelo mesmo prazo e taxa de 
desconto da nota promissória. 
Dados: N1= $100; N2= $500; N3= $700; n= 3 meses; d= d123; V= $19.000; N= ? 
 
3
1
1 2 3
1 2 3
n
V V N 1 - d
30
n n n n
N 1 - d = N 1 - d N 1 - d N 1 - d
30 30 30 30
N = N + N + N N = $1.300
i
i
 
   
 
       
            
       


 
 
34. Uma promissória foi descontada 180 dias antes de seu vencimento. Considerando que a taxa de 
desconto efetiva exponencial é de 2% a.m, determinar a taxa de desconto mensal contratada. 
Dados: ie= 2% a.m.; n= 180 dias; d=? 
 
30/n
e
30/180
1
1+i
(1-d n)
1
 1,02 d= 1,8671% a.m
(1-d 6)
 
  
 
 
  
 
 
 
35. O quociente entre o valor nominal e o valor liberado por um título descontado comercialmente 60 
dias antes do vencimento é 1,03. Calcular a taxa de desconto efetiva linear e exponencial da operação. 
Dados: N / V = 1,03; n= 60 dias; i= ?; ie=? 
 
 
 
30/n
e
30/60
e e
i N/V 1
i 1,03 1 i 1,4889% a.a.
 
   
 
Além disso, 
 
D 30
i
V n
30
i 1,03 - 1 i = 1,5% a.m.
60
   
    
   
 
   
 
 
 
36. Um título com valor nominal de $2.000 foi descontado comercialmente. Considerando que a taxa de 
desconto efetiva exponencial foi 3% a.m., e que a antecipação foi de dois meses, calcular a taxa mensal 
de desconto e o valor do desconto. 
Dados: ie= 3% a.m.; N= $2.000; n= 2 meses; d= ?; D= ? 
 48 
 
D N d n
D = $2.000 2 d D = $4.000 d
  
   
 
Além disso, 
 
1/n
e
1/2
-1/2
1
i 1
1 d n
1
0,03 1 1,03 = 1- 2 d
1 d 2
d = 2,8702% a.m. D = $4000 0,08792 =$114,81
 
  
  
 
    
  
 
 
 
37. Calcular a taxa de juros efetiva composta a que um banco deverá emprestar um capital de $10.000, 
de modo que tenha uma remuneração igual à obtida no desconto comercial de uma duplicata de 
$20.000 descontada pelo mesmo prazo à taxa de desconto de 2% a.m. 
Dados: P= $10.000; N= $20.000; d= 2% a.m.; n = n1 = n2; i= ? 
 
 
   
n
 
n n
juros obtidos no desconto = juros obtidos no empréstimo
D J
N d n = P 1+i 1
 $20.000 0,02 n $10.000 1+i 1 1 0,04 n = 1+i

   
 
       
 
 
Admitindo n = 4 meses, 
 
4
1 0,04 4 = 1+i i= 3,7802% a.m.  
 
 
38. Determinar o PU de uma LTN com prazo de 98 dias úteis, sabendo que a taxa over anual projetada 
para esse período é de 18% a.a. 
 
937,66 
18,01
00,000.1
PU
252/98



 
 
39. Uma instituição financeira comprou por $ 888.000 um lote de LTNs com prazo de vencimento de 
100 dias úteis. Determinar a taxa over anual da operação. 
 
252/100
1.000
Taxa efetiva no período: 1 12,6126% no período
888.000 /1.000
Taxa anual: 1 0,126126 1 34,90 % a.aover
 
   
 
   
 
 
40. Um investidor pretende uma rentabilidade de 13% a.a. over na compra de um lote de LFTs com 
prazo de 125 dias úteis. Sabendo que a taxa Selic projetada para esse período é de 12% a.a over, 
determinar qual deverá ser a cotação do título para que o investidor possa obter a rentabilidade 
requerida. 
 
 
 
125/252
125/252
1.000,00 1,12
 Preço unitário das letras: PU 995,60
1,13
PU 995,60
 Cotação: 99,56%
1.000,00 1.000,00

  
  
 
 
 
 
 49 
CAPÍTULO 5 
Exercícios propostos 
(*) na resolução dos exercícios, considerar, salvo menção em contrário, anos comerciais de 360 dias e 
pagamentos postecipados (termos vencidos). 
 
1. Um financiamento de $132.000 será liquidado em 14 prestações mensais. Se a taxa de juros efetiva 
cobrada for de 3% a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem pagas: a) 
postecipadamente (final de cada mês); b) antecipadamente (início de cada mês). 
Resolução 
Dados: P= $132.000, i=3% a.m., n= 14, R= ? 
 
a) prestação postecipada; 
 
 
 
n i%
14
14 3%
14
Financiamento 
R
P $132.000 $132.000
R =$11.685,48
11,296071,03 1
1,03 0,03
a
a

  
 
 
  
 
b) prestação antecipada. 
As prestações são calculadas em base ao financiamento efetivo (financiamento menos a primeira 
prestação paga no ato: 
 
 
 
n-1 i% n-1 i%
13 3%
13
13
Financiamento efetivo empréstimo - primeira prestação paga no ato
R
P - R
R
$132.000 R
R
1,03 1
1,03 0,03
$132.000 R
R R =$11.345,12
10,63496
a a
a
 



 
 
  

 
 
 
2. Uma pessoa deposita $2.450 todo final de mês em um fundo de investimento que paga juros 
nominais de 120% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante da aplicação no fim do 16
o
 
mês. 
Resolução 
Dados: R= $2.450 , J=120% a.a., k=12, n= 16, S= ? 
 
m
1,20
taxa mensal efetiva: i 1 1 10% a.m.
12
 
    
 
 
 
16
16 10%
(1,10) 1
Montante R $2.450 $2.450 35,94973 $88.076,84
0,10
s 
 
      
  
 
 
 
 50 
3. Uma compra no valor de $16.000 será paga com uma entrada de 20% e determinado número de 
prestações mensais de $4.038,02, a primeira um mês após a compra. A juros efetivos de 10% a.m., 
calcular o número de prestações necessárias para liquidar a dívida. 
Resolução 
Dados: P= $16.000, E=3.200, R=$4.038,02, i=10% a.m., n = ? 
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente 
do fluxo pagamentos: 
 
n 10% n 10%
n
n
n 10% n
16.000 $3.200 
$16.000 $3.200 $4.038,02 3,169870382
4.038,02
 
(1,10) -1
3,169870382 (1,10) 1,464101058
(1,10) ×0,1
log (1,464101058) 
Aplicando logaritmos: n
log 
a a
a


    
 
     
  
 4 prestaçõesmensais
(1,10)

 
Nas tabelas financeiras do apêndice deste livro pode ser observado que o fator 
1698704,310%n a
 
corresponde a n igual a 4., indicando que o número de prestações são quatro. 
 
 
4. Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. A juros efetivos de 10% a.m., qual 
deveria ser seu valor à vista? 
Resolução 
Dados: n= 12, R=$307, i=10% a.m., P = ? 
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das 
prestações: 
12
 
12 10% 12
(1,10) -1
P 307 307 307 6,81369=$2.091,80
(1,10) ×0,1
a
 
      
  
 
 
5. Calcular o valor da aplicação mensal necessária que permita acumular ao fim de 16 meses um 
montante de $2.300.000 se a aplicação rende juros efetivos de 6% a.m. 
Resolução 
Dados: S= 2.300.000, n=16, i= 6% a.m, R=? 
16
16
(1,06) 1 S $2.300.000
 S = R R = = $89.589,93 
0,06 25,67253 (1,06) 1
 
0,06
 
   
    
 
  
 
6. Por uma compra no valor de $5.000 será paga uma entrada de 20% e prestações quinzenais durante 
dois anos. Considerando juros efetivos de 26,9735% a.a., calcular o valor das prestações. 
Resolução 
Dados: P= $5.000, E=1.000, , i=26,9735% a.a., n = 48 quinzenas, R =? 
Taxa quinzenal equivalente: iq =(1,269735)
1/24
 -1= 1% a.q. 
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente 
do fluxo pagamentos: 
 51 
48 1%
 
48 1%
 
48
48 1% 48
$5.000 $1.000 $4.000 
$5.000 $1.000 R R= 105,34
37,97396
(1,01) 1
onde: ` 37,97396
(1,01) 0,01
a
a
a

     
 
  
  
 
 
7. Um investidor aplicou mensalmente $4.900 durante 14 meses. Considerando que no fim do 14
o
 mês 
o saldo da aplicação foi de $110.497,40, calcular a taxa de juros efetiva ganha. 
Resolução 
Dados: S= 110.497,40, n=14, R=$4.900, i= ? 
n
14 i% 14 i%
(1+i) -1
 S = R 
i
$110.497,40
$110.497,40 $4.900 = 22,55049 
$4.900
s s
 
  
  
   
 
 Interpolação linear para aproximar a taxa de juros: 
 S14 i% 
 
 S14 7,,5% = 23,36592 
 S14 i% = 22,55049 
 S14 6,5% = 21,76730 
 6,5% i% 7,5% taxa de juros 
 
 
% 
Observando o digrama anterior, pode-se estabelecer a seguinte proporcionalidade de triângulos e a 
seguir destacar a taxa i: 
23,36592 21,76730 22,55049 21,76730 
 i =7% a.m.
7,5 6,5 i 6,5
 
 
 
 
Nas tabelas financeiras do apêndice deste livro pode ser observado que o fator 
14 i%
22,55049s 
 
corresponde a uma taxa de juros de 7%. 
 
8. Um bem de $350 pode ser pago dando-se uma entrada mais quatro prestações bimestrais de $100. A 
juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor da entrada. 
Resolução 
Dados: P= $350 , R=$100, n = 4, i=5% a.m., E =? 
Taxa bimestral equivalente: ib =(1,05)
2
 -1= 10,25% a.b. 
 
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente do fluxo 
pagamentos: = 
4 10,25% 4 10,25%
4
4 10,25% 4
$350 E $100 E=$350 $100 $350 $100 3,15279 $34,72
(1,1025) 1
onde: ` 3,15279
(1,1025) 0,1025
a a
a
        
 
  
  
 
 52 
9. Considerando uma remuneração efetiva de 6% a.m., calcular a aplicação necessária que permita 
sacar mensalmente $3.280 durante os próximos 19 meses. O primeiro saque ocorrerá daqui a 30 dias. 
Resolução 
Dados: n=19, i= 6% a.m, R=$3.280, P=? 
19 6%
19
19 6% 19
P $3.280 $3.280 11,15812=$36.598,62
onde:
(1,06) 1
11,15812
(1,06) 0,0629
a   
 
  
  
 
 
10. Uma pessoa financiou uma compra no valor de $43.000 em 12 prestações mensais de $7.932,64. 
Calcular a taxa de juros efetiva ao mês cobrada pelo financiamento. 
Resolução 
Dados: n=12, R=$7.932,64, P=$43.000, i=? 
 
 Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi: 
2
n+1n R
onde: h 1 
P
 P principal 
 R valor da prestação postecipada
 n número de prestações.
 
  
 



 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
n+1 12+1n R 12 7.932,64
h 1= 1=0,130048298
P 43.000
 
12 n-1 h 12 12-1 0,130048298
i = h 0,130048298 0,15
12-2 n-1 h 12-2 12-1 0,130048298
   
   
       
     
   
      
     
         
 
 
 Aproximação por meio de interpolação linear: 
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à 
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada: 
 
 
12 i% 12 i%
$43.000
$43.000 $7.932,64 5,42064
$7.932,64
a a   
 
O fator pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a estimar a incógnita i. 
Podemos começar calculando o fator 
12 i%
a
 para diversos valores de taxas de juros e, a seguir, efetuar 
a interpolação linear : 
 Taxa de juros aproximada: 
i% 
 
 
12
12
1 i 1
1 i i
 
 
 
 
5,4206 5,30693
i 15,5% 15,5% 14,5% 15% a.m.
5,53824 5,30693
  
     
 
 
14,5% 5,53834 
15,5% 5,30693 
 
 
para n i 3 
12 n-1 h
i = h 
12-2 n-1 h
 
 
 
  
 53 
Nas tabelas financeiras do apêndice deste livro pode ser observado que o fator 
42064,5i% 12 a
 
corresponde a uma taxa de juros de 15%. 
 
11. A juros efetivos de 8% a.m., em que prazo pode ser liquidado um financiamento de $2.300 
pagando-se prestações mensais de $278,98? 
Resolução 
Dados: P= $2.300, i=8% a.m., R =$278,98, n = ? 
  
 
n
n
 
n 5% n
O valor da aplicação inicial deverá ser igual ao valor presente das prestações mensais: 
1,08 1
 P R $2.300 $278,98 (1,08) 2,937193624
1,08 0,08
Aplic
a
 
       
  
log (2,937193624) 
ando logaritmos: n 14 prestações mensais 
log (1,08)
 
 
 
12. Determinar a taxa de juros efetiva ao mês cobrada por um empréstimo de $132.000 que será 
reembolsado por meio de 13 prestações mensais postecipadas de $15.793,91 cada. 
Resolução 
Dados: n=13, R=$15.793,91, P=$132.000, i=? 
 
Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi: 
2
n+1n R
onde:h 1 
P
 P principal 
 R valor da prestação postecipada
 n número de prestações.
 
  
 



 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
n+1 13+1n R 13 15.793,91
h 1= 1=0,065144281
P 132.000
 
12 n-1 h 12 13-1 0,065144281
i = h 0,065144281 0,07
12-2 n-1 h 12-2 13-1 0,065144281
   
   
       
     
   
     
     
       
 
13. Um eletrodoméstico de $330 será pago dando-se uma entrada de 15% mais oito prestações mensais. 
A juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem: a) postecipadas; b) 
antecipadas. 
Resolução 
Dados: P = $330 , E=$49,50, i=5% a.m., n=8, R= ? 
 
a) prestação postecipada; 
 
 
 
para n i 3 
12 n-1 h
i = h 
12-2 n-1 h
   
 
   
 54 
 
 
n i%
8
8 5%
8
Financiamento efetivo 
R
P-E $330 -$49,50 $280,5
R =$43,40
6,463211,05 1
1,05 0,05
a
a

  
 
 
  
 
 
b) prestação antecipada. 
As prestações são calculadas em base ao financiamento efetivo (financiamento menos a entrada e 
menos a primeira prestação paga no ato): 
  
 
n-1 i%
7 5%
7
7
Financiamento efetivo
R
$330 - $49,50-R
R
$280,5 R
R
1,05 1
1,05 0,05
$280,5 R
R R =$41,33 
5,78637
a
a




 
 
  

 
 
 
14. Pretende-se acumular um capital de $400.000 depositando semanalmente $9.651,05 em uma 
aplicação que rende juros efetivos de 36,05% a.m. Quantos depósitos serão necessários? 
Resolução 
Dados: S= $400.000, i=36.05% a.m., R $9.651,05, n = ? 
 
 
 
n
n
 
n i%
1,3605 1
 S R $400.000 $9.651,05 1,3605 346,9543814
0,3605
log (346,954381) 
Aplicando logaritmos: n 19 depósitos mensais
log (1,3605)
S
 
       
 
 
 
 
 
15. Por uma compra no valor de $375 pagam-se 12 prestações mensais antecipadas (a primeira no ato 
da compra). A juros efetivos de 8% a.m., calcular o valor das prestações. 
Resolução 
Dados: P= $375 , i=8% a.m., n=12, R= ? 
 
As prestações são calculadas em base ao financiamento efetivo (financiamento menos a primeira 
prestação paga no ato): 
 
 55 
 
 
n-1 i%
11 8%
11
11
Financiamento efetivo
R
$375-R
R
$375-R
R
1,08 1
1,08 0,08
$375-R
R R =$46,07
7,138964258
a
a



 
 
  
 
 
16. Um empréstimo de $1.000.000 será pago com 11 prestações anuais de $150.000. Calcular a taxa de 
juros efetiva cobrada na hipótese das prestações serem: a) postecipadas; b) antecipadas. 
Resolução 
Dados: n=11, R$150.000, P=$1.000.000, i=? 
 
a) postecipadas; 
Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi: 2
n+1n R
onde:h 1 
P
 P principal 
 R valor da prestação postecipada
 n número de prestações.
 
  
 



 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
n+1 11+1n R 11 150.000
h 1 = 1 = 0,087044503
P 1.000.000
 
12 n-1 h 12 11-1 0,087044503
i = h 0,087044503 9,4377% a.a.
12-2 n-1 h 12-2 11-1 0,087044503
   
   
       
     
   
     
     
       
 
 
b) antecipada. 
As prestações são calculadas em base ao financiamento efetivo (financiamento menos a primeira 
prestação paga no ato): 
 
n-1 i%
10 i%
10 i%
Financiamento efetivo
R
$1.000.000 - $150.000
$150.000 5,66667
Por aproximações ou pelo método de Bayli-Lenzi: i 11,9291% a.a.
a
a
a

  

 
 
 
para n i 3 
12 n-1 h
i = h 
12-2 n-1 h
 
  
 
   
 56 
Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi 
 
 
17. Um bem é vendido à vista por $15.000, ou a prazo em prestações mensais de $885,71. A juros 
efetivos de 3% a.m., calcular o número de prestações necessárias. 
Resolução 
Dados: P= $15.000, i=3% a.m., R =$885,71, n = ? 
  
 
n
n
 
n 5% n
O valor à vista deverá ser igual ao valor presente das prestações mensais: 
1,03 1
 P R $15.000 $885,71 (1,03) 2,03279
1,03 0,03
Aplicando logaritmos:
a
 
       
  
log (2,03279) 
 n 24 prestações mensais 
log (1,03)
 
 
Nas tabelas financeiras do apêndice deste livro pode ser observado que o fator 
n 3%
16,93557a 
 
corresponde a n igual a 24, indicando que o número de prestações são 24. 
 
18. Na compra de um espectrômetro cujo valor à vista é $50.000, um laboratório farmacêutico deverá 
pagar uma entrada e seis prestações mensais de $8.391,83. A juros efetivos de 7% a.m., calcular o valor 
da entrada. 
Resolução 
Dados: P= $50.000, i=7% a.m., R $8.391,83, n = 6, E=? 
 
 
 
6
6
O valor à vista deverá ser igual ao valor presente dos pagamentos:
1,07 1
 $50.000 E $8.391,83 E $50.000 - $8.391,83 4,76654 =$10.000 
1,07 0,07
 
      
  
 
 
19. Uma pessoa ao comprar um carro cujo preço à vista é de $14.000 teve seu usado avaliado em 
$6.000 e aceito como entrada. O saldo será pago em 20 parcelas mensais iguais a juros efetivos de 6% 
a.m. Calcular o valor da prestação mensal se a primeira parcela for paga: a) um mês após a compra, b) 
na data da compra. 
Resolução 
Dados: P= $14.000, E=$6.000 i=6% a.m., n= 20, R= ? 
 
a) prestação postecipada; 
 
 
n i%
20
20 6%
20
Financiamento 
R
P-E $14.000 $6.000 $8.000
R =$697,48
11,469921,06 1
1,06 0,06
a
a


  
 
 
  
 
 
b) prestação antecipada. 
As prestações são calculadas em base ao financiamento efetivo (financiamento menos a primeira 
prestação paga no ato e menos a entrada): 
 
 
 
a.m. %93,11
108791,09212
108791,0912
108791,0
h1-n2-12
h1-n12
h=i
108791,01
850.000
000.50101
1
efetivo ntoFinanciame
R n
=h 
1+10
2
1+n
2






















 





 
 57 
 
 
n-1 i%
20-1 6%
19
19
Financiamento efetivo
R
$14.000 $6.000 R
R
$14.000 $6.000 R
R
1,06 1
1,06 0,06
$8.000 R
R R =$658
11,15812
a
a

 

 

 
 
  

 
 
 
20. Por um equipamento cujo valor à vista é de $40.000 paga-se uma entrada de 20% mais 18 
prestações mensais com carência de três meses até o início da primeira. A juros efetivos de 3% a.m., 
determinar o valor das prestações. 
Resolução 
Dados: P= $40.000, E=$8.000 i=3% a.m., n= 18, c=3, R= ? 
 
a) prestação antecipada com carência 
   
 
 
n i%
c-1 2
18
18 3%
18
Financiamento capitalizado c-1 meses 
R
P-E (1+i) $40.000 $8.000 (1,03) $33.948,80
R =$2.468,37
13,753511,03 1
1,03 0,03
a
a

  
  
 
 
  
 
 
21. Uma pessoa deposita mensalmente $120 durante 13 meses em uma aplicação que rende juros 
efetivos de 4% a.m.. Se pretende resgatar o capital por meio de três saques mensais iguais e 
consecutivos, o primeiro um mês depois do último depósito, calcular o valor de cada saque. 
Resolução  
o
13
n i%
o
 Capital acumulado no 13 mês: 
1,04 1
 S R $120 =$1.995,22
0,04
O capital acumulado no 13 mês será resgatado em três saques:
 
S
 
    
 
 
3 4%
$1.995,22 $1.995,22
 R= = =718,98 
 2,77509 a
 
 
22. Por política de crédito, nas vendas à prazo, uma loja aumenta em 25% o valor à vista. Desse valor 
aumentado, 20% é pago como entrada, e o saldo restante é dividido por seis e pago em seis parcelas 
mensais iguais. Determinar a taxa de juros efetiva mensal cobrada no financiamento. 
Resolução 
Dados: Valor á vista = P, Entrada (E) = 0,25(20% de 1,25P), R= 0,16667P (0,80x1,25P/6), n = 6, i = ? 
 
6 i%
 
6 i% 6 i%
Valor à vista = Entrada + Valor presente das prestações
 P = 0,25P + 0,16667P
 1 = 0,25 + 0,16667 4,5000
a
a a

  
 
Por aproximações ou por interpolação linear: i= 8,8950% a.m.Pela fórmula de Baily-Lenzi: 
 58 
financiamento efetivo =P- Entrada = P- 0,25P = 0,75P
prestação (R) =0,16667P; n = 6; i =? 
 
 
 
 
22
6+1n+1n R 6 0,16667
h = 1 1 0,085667362
Financiamento efetivo 0,75
12 n-1 h 12 5 0,085667362
i = h 0,085667362 8,8950% a.m.
12-2 n-1 h 12 2 5 0,085667362 
    
     
   
      
      
       
 
 
23. Um financiamento será pago em oito prestações mensais de $66.000 nos próximos oito meses, e 
mais 14 prestações de $13.500 nos meses subseqüentes. Considerando que as taxas de juros efetivas 
sejam de 10% a.m. para o primeiro ano e 15% a.m. para o segundo ano, respectivamente, determinar o 
valor do pagamento único que quita toda a dívida no quinto mês. 
Resolução 
4 10% 10 15%
8 10% 8 12
valor presente das prestações:
$13.500 $13.500
=$66.000
(1,10) (1,10)
$13.500 3,16987 $13.500 5,018769
=$66.000 5,33493
2,14359 3,13843
$352.105,13 $19.963,34 $21.588,31 $393.656
a a
a 

 
 
 
 
   
o 5
,78
Pagamento único no 5 mês : $393.656,78 (1,10) $633.988,18 
 
 
24. Um eletrodoméstico será pago com uma entrada mais 12 prestações mensais iguais e consecutivas. 
Se cada prestação é igual a 10% do valor à vista, sendo a primeira paga ao término de um período de 
carência de quatro meses e considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 4% ao mês, calcular 
o percentual sobre o valor à vista que deve ser pago como entrada. 
Resolução: 
12 4%
C 1
12 4%
4 1
Pelo princípio de equivalência de capitais:
 valor à vista = valor presente dos pagamentos
0,10P
 P = E+
(1,04)
0,10P
 P = E+
(1,04)
 
a
a




0,10P 9,38507
 P = E+
1,124864
 P = E+0,83433P E = P - 0,83433P = 0,1657P


 
A entrada representa 16,57% do valor à vista. As prestações são antecipadas, ou seja, a primeira é paga 
logo ao término do período de carência. 
 
25. Uma instituição financeira concede um período de carência para início dos reembolsos em 
operações de empréstimo. Um financiamento de $380.000 será pago em sete prestações mensais de 
$159.748,88 cada. A juros efetivos de 15% a.m., determinar o período de carência concedido. 
Resolução: 
 59 
7 15%
1
1 7 15%
Pelo princípio de equivalência de capitais:
 valor do financiamento = valor presente dos pagamentos
$159.748,88 
 $380.000 = 
(1,15)
$159.748,88 
(1,15)
$
c
c
a
a





 
1
$159.748,88 4,16042
1,74901
380.000 $380.000
(1,15) 1,74901
Aplicando logaritmos:
Log 1,74901 
1 Log1,15 = Log 1,74901 1 5
Log1,15
A carência é de cinco meses. As prestações são antecipadas. A p
c
c c


 
 
     
rimeira é paga logo ao término do período 
de carência.
 
 
26. O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por $800 ou em oito prestações mensais de 
$128,83 cada. Se a taxa de juros cobrada for nominal ao ano, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a 
capitalização dos juros: a)mensal b)semestral c)trimestral d)bimestral e)anual 
Resolução: 
Pela fórmula de Baily-Lenzi: 
 
 
 
2 2
n+1 8+1n R 8 128,83
h = 1 1 0,057908785
Financiamento efetivo 800
12 n-1 h 12 7 0,057908785
i = h 0,057908785 6% a.m.
12-2 n-1 h 12 2 7 0,057908785 
    
      
   
      
      
       
 
a) capitalização mensal da taxa nominal; 
 
 
m
 
j
(1 i ) 1
k
j
 (1,06) 1 j= (1,06) 1 12 72% a.a.
12
 
   
 
 
      
 
 
b) capitalização semestral da taxa nominal; 
s
6 6
 
j
 (1 i ) 1
2
j
 (1,06) 1 j= (1,06) 1 2 83,70% a.a.
2
 
   
 
            
 
c) capitalização trimestral da taxa nominal; 
t
3 3
 
j
(1 i ) 1
4
j
(1,06) 1 j= (1,06) 1 4 76,41% a.a.
4
 
   
 
            
 
 
d) capitalização bimestral da taxa nominal; 
b
2 2
 
j
 (1 i ) 1
6
j
 (1,06) 1 j= (1,06) 1 6 74,16% a.a.
6
 
   
 
            
 
 
 60 
e) capitalização anual da taxa nominal. 
a
12 12
 
j
 (1 i ) 1
1
j
 (1,06) 1 j= (1,06) 1 1 101,22% a.a.
1
 
   
 
            
 
 
27. Uma pessoa deposita mensalmente $280 em um fundo de investimento que paga juros efetivos de 
5% a.m. No futuro, pretende resgatar o investimento por meio de cinco saques semestrais de 
$14.253,54, o primeiro iniciando cinco meses após o último depósito. Quantos depósitos serão 
necessários? 
Resolução 
 
n 5%
n 5%
n 5%
Montante acumulado até o mês n (mês da última aplicação):
 S = $280
Montante acumulado até o mês anterior (n-1):
$280
 266,67
1,05
O montante acumulado até o mês n
s
s
s


 
6
n 5%
5 34%
-1 será resgatado por meio de 5 saques semestrais de $14.253,54 cada:
 taxa semestral = (1,05) -1 34% a.s. 
266,67
 R =
 $14.253,54 
s
a


n 5%
n 5%
n
n
266,67
= 120,82076
2,26041
(1,05) 1
 =120,82076 (1,05) 7,04104
0,05
Log 7,04104
Aplicando logaritmos: n = 40 aplicações mensais
Log 1,05
 
s
s

 

  

 
 
28. Um equipamento cujo valor à vista é de $33.000 pode ser pago com uma entrada e 18 prestações 
mensais de $2.489,91. Se há um período de carência de 3 meses para início do pagamento das 
prestações, calcular o valor da entrada considerando-se juros efetivos de 5% a.m. 
Resolução: 
18 5%
Pelo princípio de equivalência de capitais o valor à vista é igual ao valor presente dos pagamentos:
 valor à vista = valor presente dos pagamentos
$2.489,91 
 $33.000 = E+
(1,05
a
3 1
 
)
$2.489,91 11,68959 
 E = $33.000 - $6.599,98
1,10250


 
 
 
29. Um equipamento de $6.000 será pago com uma entrada de 50% e tantas prestações mensais de 
$880 quantas forem necessárias, mais um pagamento residual inferior ao valor da prestação, que deve 
ser efetuado um mês após a data do vencimento da última parcela. Se a primeira prestação vence três 
meses após a data da compra e a taxa de juros efetiva cobrada for de 7% a.m., determinar o número de 
prestações necessárias e o valor do pagamento residual. 
Dados: P=$6.000, entrada(50%)=$3.000, R= $880, i= 7% a.m., c=3, n= ?, q=? 
 61 
Pelo princípio de equivalência de capitais podemos montar a equação de valor igualando o valor à vista 
ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada: 
 
 
 
 
 
n 7%
c 1 c + n
n 7%
3 1 3 + n
n 7%
2 3 + n
n 7% 3+n
$880 q
$6.000 $3.000
(1,07) 1,07
$880 q
$6.000 $3.000
(1,07) 1,07
$880 q
$3.000
(1,07) 1,07
q
$3.000 $768,63
1,07
a
a
a
a



  

  

 
  
 
Uma solução direta não existe, dado que temos uma única equação e duas incógnitas, n e q. Ignorando o 
pagamento final (q), o valor presente das prestações é o seguinte: 
 
3 7%
5 7%
 se o número de prestações for igual a três (n =3) $768,63 $2.017,12
 se o número de prestações for igual a cinco (n =5) $768,63 $3.151,52
a
a
   
  
 
Conseqüentemente, o número de prestações deve ser inferior a cinco, caso contrário o valor presente 
das prestações excederia o valor do financiamento efetivo ($3.151,52 > $3.000,00). Igualmente, deve 
ser maior que três, caso contrário o valor do pagamento final será maior que a prestação. Logo, o 
financiamento será liquidado em quatro prestações de $880 mais um pagamento final no sétimo mês. O 
valor desse pagamento final é o seguinte: 
 
 
 
 
n 7% 3+n
3+4
7
q
$3.000 $768,63
1,07
q
$3.000 $768,63 3,38721
1,07
q
$3.000 $768,63 3,38721 q $636,67
1,07
a  
  
    
 
 
30. Para liquidar um financiamento dispõe-se de duas formas de pagamento financeiramente 
equivalentes: na primeira paga-se 13 prestações mensais de $834 e, na segunda, 16 prestações de $708 
mais uma determinada quantia paga no fim do 17º mês. A juros efetivos de 7% a.m., calcular o valor 
da referida quantia. 
Resolução 
Pelo princípio de equivalência de capitais, os valores presentes dos dois esquemas de pagamento devem 
ser iguais: 
 
 
13 7% 16 7% 17
17
13 7% 16 7%
q
$834 $708
(1,07)
q = $834 $708 (1,07)
 = $834 8,35765 $708 9,44665 3,158815211= $890,96
a a
a a

 

  
  
  
 
 
31. Uma pessoa tomou um empréstimo de $200.000 contratado a juros efetivos de 2% a.m. para ser 
liquidado através de dez prestações mensais. Depois de serem pagas cinco prestações, ela resolve tomar 
$80.000 adicionais, incorporando-se essa nova dívida ao saldo da primitiva em um só negócio. 
Considerando a mesma taxa de juros, calcular o valor da nova dívida e a sua prestação para liquidação 
nos cinco meses restantes. 
Resolução 
 62 
10 2%
o o
$200.000 $200.000
Prestação da dívida inicial = $22.265,31
8,98259
valor total da dívida no final do 5 mês = valor da nova dívida + valor descontado ao 5 mês das últimas 5 prestações
 
a
 
5 2%
 
 = $80.000 + $22.265,31×
$80.000 + $22.265,31×4,71346 
a

5 2%
 = $184.946,64
Nova prestação:
$184.946,64 $184.946,64
 R= $39.237,98
4,71346a
 
 
 
32. Um carro é vendido por $10.000 à vista, ou com uma entrada de 10% mais um determinado número 
de prestações mensais de $500. Devem-se pagar, também, além das prestações mensais, três parcelas 
semestrais de $632,82. A juros efetivos de 2% a.m., determinar o número de prestações mensais 
necessárias. 
Resolução 
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente 
do fluxo pagamentos: 
 
6
s
 
n 2% 3 12,6162%
3
 
3 12,61624193% 3
n 2
taxa semestral: i =(1,02) 1 12,61624193% a.s.
$10.000 $1.000 $500 $632,82
(1,126162) 1
onde: 2,376623933
(1,126162) 0,12616
$10.000 $1.000 $500
a a
a
a
 
    
 
  
  
  
%
n 2%
n
n
n 2% n
$632,82 2,376623933 
9.000 $632,82 2,376623933 
 14,99204969
500
 
(1,02) -1
14,99204969 (1,02) 1,428247
(1,02) ×0,02
log (1,428247) 0,3
Aplicando logaritmos: n
log (1,02)
a
a
 
 
  
 
     
  
 
56447818
18 prestações mensais
0,019802627

 
 
33. Um mutuário deverá reembolsar um empréstimo pagando 25 prestações mensais de $20.000. 
Querendo abreviar em um ano o prazo de quitação, ele propõe efetuar um pagamento extraordinário 
juntamente com a sexta prestação. A juros efetivos de 1% a.m., determinar o valor desse pagamento. 
Resolução 
o o
o o
12 1% 12 1%
7prazo entre o 13 e o 6 mês
Pagamento extraordinário no 6 mês valor descontado ao 6 mês das 12 últimas prestações
$20.000 $20.000 $20.000 11,25507747
= = = =$20
1,072135352(1,01)(1,01)
a a

  
12
12 1% 12
9.956,28
(1,01) -1
onde: 11,25507747 
(1,01) ×0,01
a
 
  
   
 63 
34. Uma pessoa compra um apartamento de $150.000 nas seguintes condições: entrada de $50.000 mais 
um determinado número de prestações mensais de $1.338,99 cada, com um ano de carência para o 
início dos pagamentos. Considerando uma taxa de juros efetiva contratada de 1% a.m., calcular o 
número de prestações. 
Resolução 
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente 
do fluxo pagamentos: 
11
n 1%
n 1%11
n
n
n 1% n
$1.338,99 100.000 (1,01)
$150.000 $50.000 83,3210117
$1.338,99(1,01)
(1,01) -1
83,3210117 (1,01) 5,99580
(1,01) ×0,01
log (5,99580) 
Aplicando logaritmos: n
log 
a
a
a
 
    
 
    
  
 180 prestações mensais
(1,01)

 
O pagamento das prestações ocorre logo ao término da carência. 
 
35. Um bem será pago em quatro prestações trimestrais de $135.000. Para suavizar os pagamentos, o 
comprador pediu a modificação do prazo para 15 prestações mensais. Considerando uma taxa de juros 
efetiva cobrada de 7% a.m., calcular o valor das prestações mensais. 
Resolução 
3
ttaxa trimestral: i (1,07) 1 22,5043% a.t.  
 
 Pelo princípio de equivalência de capitais, os valores presentes das duas formas de pagamento 
devem ser iguais: 
 
 
4 22,5043% 15 7%
4 22,5043%
15 7%
$135.000 R
$135.000 $135.000 2,470586
R= $36.619,70
9,107914
a a
a
a
  
 
  
 
 
4
4 22,5043% 4
15
15 7% 15
onde:
(1,225043) 1
 2,470586
(1,225043) 0,225043
(1,07) 1
 9,107914
(1,07) 0,07
a
a
 
  
  
 
  
  
 
 
36. Uma máquina é vendida em 18 prestações mensais postecipadas. As prestações de ordem impar são 
de $2.000 e as de ordem par são de $2.800. A juros efetivos de 3% a.m., calcular o valor do 
financiamento. 
Resolução 
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor do financiamento deverá ser igual ao valor presente 
do fluxo pagamentos: 
 64 
 
 
2
b
9 6,09% 9 6,09%
9
9 6,09% 9
taxa bimestral: i (1,03) 1 6,09% a.b.
P $2.800 $2.000 1,03
 $2.800 6,775130 $2.000 6,775130 1,03 $32.927,13
onde:
(1,0609) 1
6,775130
(1,0609) 0,0609
a a
a
  
    
     
 
  
  
 
As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência. 
 
37. Por um financiamento paga-se cinco prestações mensais de $1.500 começando ao término de um 
período de carência de cinco meses. Um mês após o pagamento da última prestação, inicia-se o 
pagamento de mais quatro parcelas mensais de $1.000. A juros efetivos de 7% a.m., calcular o valor do 
financiamento. 
Resolução 
Pelo princípio de equivalência de capitais, o financiamento será igual ao valor presente do fluxo de 
pagamentos: 
5 7% 4 7%
4 9
5 4
 
5 7% 4 7%5 4
$1.500 $1.000 $1.500 4,100197 $1.000 3,38721
P $6.534,45
1,3107960 1,8384592(1,07) (1,07)
onde:
(1,07) 1 (1,07) 1
4,100197
(1,07) 0,07 (1,07) 0,07
a a
a a
   
    
   
    
     
3,38721



 
 
38. Um funcionário, prevendo sua aposentadoria, resolveu efetuar nos próximos dois anos depósitos 
mensais iguais em um fundo de pecúlio. Se a totalidade do capital acumulado será resgatado por meio 
de 10 saques semestrais de $80.000 cada, o primeiro dois anos após o último depósito. Considerando 
um rendimento efetivo do fundo de 4% a.m., determinar o valordos depósitos mensais. 
Resolução 
 
24 4%
24
24 4%
18
 valor acumulado na data do último depósito = R =R 39,08260 
(1,04) 1
onde: S 39,08260
0,04
 valor acumulado até 6 meses antes do primeiro saque = R 39,08260 (1,04) 79,17418 R
 taxa se
s  

 
    
 6smestral: i (1,04) 1 26,5319% a.s.
 o valor de cada um dos 10 saques semestrais de $80.000 é calculado com base valor acumulado 
até 6 meses antes do primeiro saque :
v
 valor de cada semestral = 
  

10 26,5319%
alor acumulado até 6 meses antes do primeiro saque 
 
79,17418 R
 $80.000 = R $3.446.335,85
3,41076
a

 
 
 
39. Um capitalista comprou um prédio de apartamentos pagando $825.000 de entrada e prometendo 
pagar durante cinco anos prestações trimestrais de $180.000 cada. Se a taxa de juros efetiva aplicada 
for de 4,5% ao trimestre. Pede-se: a) calcular o valor à vista do prédio; b) determinar de quanto deverá 
ser o pagamento a ser feito no vencimento da 13
a
 prestação para ficar em dia, caso deixe de efetuar os 
12 primeiros pagamentos; c) determinar quanto deverá pagar depois de realizar oito pagamentos, caso 
deseje liquidar a dívida com um único pagamento por ocasião do vencimento da 9
a
 prestação; d) 
 65 
determinar quanto deverá pagar no vencimento da 11
a
 prestação de modo que liquide a dívida, caso 
deixe de pagar as dez primeiras prestações. 
Resolução 
a) valor à vista do prédio: 
Pelo princípio de equivalência de capitais, o valor à vista é igual ao valor presente do fluxo de 
pagamentos: 
20 4,5%
valor à vista=$825.000 $180.000 $825.000 $180.000 13,00794 $3.166.428,56a     
 
 
b) o pagamento a ser feito no vencimento da 13
a
. prestação caso deixe de efetuar os 12 primeiros 
pagamentos: 
13 4,5%
13
13 4,5%
pagamento = 180.000 180.000 17,15991 $3.088.784,39
(1,045) 1
onde: S 17,15991
0,045
s   

  
 
c) pagamento único a ser feito por ocasião do vencimento normal da 9
a
 após pagar as primeiras oito 
prestações, para liquidar a dívida: 
a
11 4,5%
pagamento = 9 prestação + valor descontado das 11 restantes prestações
 =$180.000 + $180.000 $180.000 +$180.000 8,52892 $1.715.205,05a   
 
d) pagamento a ser feito por ocasião do vencimento normal da 11
a
 prestação de modo a liquidar a 
dívida, caso deixe de pagar as primeiras dez prestações: 
 
o
o
10 4,5%
pagamento = valor capitalizado no 11 mês das 10 primeras prestações
 + valor descontado no 11 mês das 10 restantes prestações 
 
 = $180.000 s
 
9 4,5%
(1,045) + ( $180.000 + $180.000 )
 = $180.000 12,28821 (1,045) +( $180.000 + $180.000 7,26879)
 =$3.799.794,47
a 
   
40. Um financiamento será pago em um determinado número de prestações mensais. Sabe-se que a 
razão entre o montante das prestações e o valor do financiamento é de 3,1721682. A juros efetivos de 
8% a.m., determinar o número de prestações. 
Resolução 
 
 
 
 
n
n
n
n
1,08 -1
R
0,08
S montante das prestações
3,1721682 1,08 3,1721682 
P valor do financiamento 1,08 -1
R
1,08 0,08
log (3,1721682) 
Aplicando logaritmos: n 15 prestações
log (1,08)
 
 
 
 
 
    
 
 
  
 
 
 
41. Um bem cujo valor à vista é de $5.000 será pago com uma entrada de 20%, 18 prestações mensais 
de $310 mais uma quantia de $905,44 paga junto com a última prestação. Calcular a taxa de juros 
efetiva cobrada no financiamento. 
Resolução 
 66 
Dados: P=$5.000, entrada(20%)=$1.000, R= $310, n=18, q=$905,44 , i= ? 
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à 
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada: 
 
 
18 i% 18
$905,44
$5.000 $1.000 $310
1+i
a   
 
 
 
18 i% 18
O valor presente líquido (VPL) do fluxo:
$905,44
 VPL=$4.000 - $310 - 
(1 i)
a

 
O cálculo manual da taxa de juros requer calcular VPLs para diversas taxas até provocar a mudança no 
sinal do VPL que permita realizar uma interpolação linear. 
 
 Taxa aproximada: 
 (i) VPL 
 
 
179,58
i = 4,5%+ 5,5% 4,5% 5% a.m. (aprox.)
179,58 ( 168,32
 
   
   
 
4,5% -$179,58 
5,5% +$168,32 
 
A interpolação foi realizada entre as taxas de 1,5% e 2%, pois entre essas duas taxas o VPL muda de 
sinal, o que permite efetuar a interpolação. 
 
42. Um automóvel cujo valor à vista é de $20.000 será pago com uma entrada de 10%, 24 prestações 
mensais de $800 e quatro parcelas semestrais iguais. A juros efetivos de 3% a.m., calcular o valor das 
parcelas semestrais. 
Resolução 
Dados: P=$20.000, entrada(10%)=$2.000, n=24 mensais, n=4 semestrais, i= 3% a.m., R= ?, 
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à 
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada: 
6
s
24 3% 4 19,41%
taxa semestral: i (1,03) 1 19,41% a.s.
$20.000 $2.000 $800 R
$20.000 $2.000 $800 16,93554 R 2,61795 R=1.700
a a
  
    
     
 
 
43. Um bem cujo valor à vista é de $8.000 será pago com uma entrada de 25%, nove prestações 
mensais iguais e um pagamento final de $400 um mês após a última prestação. Considerando que será 
concedida uma carência de três meses para início do pagamento das prestações, calcular o valor dessas 
prestações a juros efetivos de 3% a.m. 
Resolução 
Dados: P=$8.000, entrada(25%)=$2.000, q=$400, c= 3, i= 3% a.m., R= ?, 
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à 
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada: 
 
 
9 3%
2 12
2
2
R $400
$8.000 $2.000
(1,03) 1,03
R 7,786109 (1,03)
$6.000 280,55 R= $6.000 280,55 =779,31
7,786109(1,03)
a
  
 
      
 
 
As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência. 
 
44. Um veículo cujo valor à vista é de $10.000 será pago com uma entrada de 20%. O saldo será pago 
em um determinado número de prestações mensais de $530 mais uma quantia residual inferior a 20% 
 67 
do valor da prestação mensal, paga um mês depois da última prestação. A juros efetivos de 2% a.m., 
determinar o número de prestações e o valor da quantia residual. 
Resolução 
Dados: P=$10.000, entrada(20%)=$2.000, R= $530 i= 2% a.m., n= ?, q=? 
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor igualando o valor à 
vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa compra parcelada: 
 
 
n 2% n 1
q
$10.000 $2.000 $530
1,02
a

   
 
Uma solução direta não existe, dado que temos uma única equação e duas incógnitas, n e q. Ignorando o 
pagamento final (q), o valor presente das prestações é o seguinte: 
 
18 2%
19 2%
se o número de prestações for igual a 18: 
 $2.000 $530 $2.000 $530 14,992031 $9.945,78
se o número de prestações for igual a 19: 
 $2.000+$530 $2.000 $530 15,678462 $10
a
a
     
     .309,58
 
Conseqüentemente, o número de prestações deve ser inferior a 19, caso contrário o valor presente das 
prestações excederia o valor à vista ($10.309,58 > $10.000). Logo, o financiamentoserá liquidado em 
18 prestações de $530 cada, mais um pagamento final no décimo nono mês. O valor desse pagamento 
final é o seguinte: 
 
 
 
   
 
18 2% 19
19
18 2% 18 2%19
q
$10.000 $2.000 $530
1,02
q
$8.000 $530 q $8.000 $530 1,02
1,02
 q $8.000 $530 14,992031 1,456811 $
a
a a
   
       
     78,99
 
 
45. Uma pessoa pretende depositar mensalmente uma determinada quantia fixa durante 17 meses a 
juros efetivos de 3% a.m. Considerando que o primeiro depósito ocorrerá daqui a 30 dias e deseja-se 
que os juros ganhos no período totalizem $1.428,48, determinar o valor do depósito mensal. 
Resolução 
Dados: n=17, i= 3% a.m., juros, ganhos = $1.428,48, R=? 
 
 
17 3%
17 3%
 juros ganhos = montante acumulado - aplicação total
$1.428,48 $1.428,48 
 $1.428,48 = R× - R 36 R= $300
17 21,761588 17
s
s
   
 
 
 % 
46. Um equipamento que custa $15.000 será pago em oito prestações mensais: as três primeiras de 
$2.000, as três seguintes de $800, a sétima de $3.000 e a oitava de $5.000. Determinar a taxa de juros 
efetiva cobrada no financiamento. 
Resolução 
 68 
 3 i%
 + + +
3 i% 3 7 8
O valor presente das oito prestações deve ser igual ao valor à vista:
$800 $3.000 $5.000
 $15.000 $2.000
(1 i) (1 i) (1 i)
O valor presente líquido (VPL) do fluxo:
 V
a
a

 
  
 3 i%
 
3 i% 3 7 8
$800 $3.000 $5.000
PL=$15.000 - $2.000 - - - 
(1 i) (1 i) (1 i)
 
a
a


  
 
O cálculo manual da taxa de juros requer calcular VPLs para diversas taxas até provocar a mudança no 
sinal do VPL que permita realizar uma interpolação linear. 
 
 
 
 
 Taxa aproximada: 
 (i) VPL 
 
194,03
i=1,5%+ 2% 1,5% 1,76% a.m. (aproximadamente)
194,03 ( 179,06)
 
   
   
 
1,5% -$194,03 
2% +$179,06 
 
A interpolação foi realizada entre as taxas de 1,5% e 2%, pois entre essas duas taxas o VPL muda de 
sinal, o que permite efetuar a interpolação. 
 
 
47. Um financiamento será pago em 15 prestações mensais consecutivas, iniciando logo ao término de 
um período de carência de seis meses. As primeiras cinco prestações serão de $12.000, as cinco 
seguintes de $14.000 e as cinco últimas de $17.000. Se esse esquema de pagamentos for trocado por 
outro em que o mutuário pagasse 15 prestações mensais iguais, também iniciando logo após um período 
de carência de seis meses, calcular o valor unitário dessas prestações considerando que a taxa de juros 
de 3% a.m. será a mesma para qualquer plano de pagamento. 
Resolução 
 
5 3% 5 3% 5 3%
 + +
5 10 14
 
 + +
5 10
Valor presente das 15 prestações:
$12.000 $14.000 $17.000
 P
(1,03) (1,03) (1,03)
$12.000 4,579707 $14.000 4,579707 $17.000 4,57970
 P
(1,03) (1,03)
a a a  

  

 
15
 + + 
c-1 6-1 5
15 3% 15 3% 15 3%
7
$146.585,54
(1,03)
 P $47.405,95 $47.708,25 $49.972,18 $145.086,38
Valor de cada prestação uniforme:
P(1+i) $145.086,38 (1,03) $145.086,38 (1,03) $16
 R=
a a a

 
 
  
8.194,87
$14.089,11
11,93794

 
 
As prestações são antecipadas. Seu pagamento ocorre logo ao término da carência. 
 
48. Uma pessoa deseja comprar um automóvel de $15.000 daqui a três anos. Para tanto, hoje ela 
começou a fazer aplicações mensais iguais em um banco que paga uma taxa efetiva de 2% a.m. Qual 
deve ser o valor da aplicação mensal, de modo que possa comprar o veículo com o montante acumulado 
na data da última aplicação? 
Resolução 
Dados: S= 15.000, n=36, i= 2% a.m, R=? 
 69 
36(1,02) 1 $15.000
 S = R $15.000=R 51,994367 R= =$288,49
0,02 51,994367
 
 
    
  
 
49. Um empréstimo tomado hoje será reembolsado em doze prestações mensais de $2.443,80 cada, a 
primeira para 30 dias. Se os juros a serem pagos durante o período totalizam $5.000, determinar a taxa 
de juros efetiva mensal contratada. 
Resolução 
Dados: juros pagos =$5.000, n=12, R=$2.443,80, i=? 
 
12 i% 12 i%
valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos 
 12 $2.443,80 $2.443,80 +$5.000 9,95401a a
 
   
 
O fator 
12 i%
9,95401a 
 pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a estimar 
a incógnita i. 
 Interpolação linear 
Embora o fator 
20 i%
a
seja uma função exponencial, podemos admitir que em intervalos pequenos seu 
comportamento seja linear. Podemos começar calculando o fator 
12 i%
a
 para diversos valores de taxas 
de juros e, a seguir, efetuar a interpolação linear : 
 
 Taxa de juros aproximada: 
i% 
 
 
12
12
1 i 1
1 i i
 
 
 
 
9,45401 9,66333
i 3,5% 3,5% 2,5% 3% a.m.
10,25777 9,66333
  
     
 
 
2,5% 10,25777 
3,5% 9,66333 
 Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi 
Financiamento efetivo = 12×$2.443,80 -$5.000 =$24.325,60 
 
 
 
50. Que taxa de juros efetiva anual transforma 36 prestações mensais de $100 em 12 prestações 
trimestrais de $309,09 cada? 
Resolução 
 
36 i % 12 i %
m t
36 i %
m
 
12 i %
t
Fazendo a equivalência entre os valores presentes dos dois fluxos de prestações:
 $100 $309,09
$309,09
= 3,090
$100
a a
a
a
  

 
 
 
 
36
m
36
m m
12
t
12
t t
1+i 1
1+i i
9 3,0909 
1+i 1
1+i i
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
a.m. %3
0291762,011212
0291762,01112
0291762,0
h1-n2-12
h1-n12
h=i
0291762,01
24.325,60
80,443.212
1
efetivo ntoFinanciame
Rn 
=h 
1+12
2
1+n
2













 





 






 70 
       
 
    
 
    
1/12 1/ 4
a m a t
3
a
3 1/12
a a
3
a
3 1/4
a a
Por equivalências entre taxas de juros efetivas temos que:
 1+i = 1+i e 1+i = 1+i .
Substituindo essas equivalências: 
1+i 1
1+i 1+i -1
 
1+i 1
1+i 1+i -1
 
 
 
 
 
 



 
  
  
1/4
a
a1/12
a
1+i -1
3,0909 =3,0909 i =0,4258=42,48% a.a. 
1+i -1
  



 
51. Tendo comprado uma motocicleta em 24 prestações mensais de $210, o cliente propõe sua 
substituição para 12 prestações bimestrais. Qual será o valor dessas novas prestações considerando uma 
taxa de juros de 2% a.m.? 
Resolução 
 
 
2 2
b m
24
 
24 2% 24
Taxa de juros bimestral
 i (1 i ) 1 (1, 02) 1 4, 04% a.b.
Valor presente das 24 parcelas mensais de $210 cada:
1,02 1
 P=$210 P $210
1,02 0,
a
     

   

 
 
12
12
$210 18, 913926 $3.971, 92
02
Valor das 12 parcelas bimestrais equivalentes:
 
$3.971, 92 $3.971, 92
 R $424, 20
9, 363331,0404 1
1,0404 0,0404
 
    
 
 
  
 
 
  
 
 
52. Um empréstimo de $20.000 contratado a juros efetivos de 2% ao mês será reembolsado em dois 
anos por meio de pagamentos a cada 90 dias. Se durante o primeiro ano deve ser amortizado 40% doempréstimo e o resto no segundo, calcular o valor do pagamento trimestral a ser efetuado em cada ano, 
considerando que incidem juros sobre os saldos pendentes não amortizados 
Resolução 
Dados: P= $20.000, i =2 % a.m., n = 8 trimestres, R= ? 
 71 
 
3 3
t m
 
4 6,1208% 4
Taxa de juros trimestral:
 i (1 i ) 1 (1,02) 1 6,1208 a.t.
Valor do pagamento trimestral durante o primeiro ano:
 
$8.000
 0,4 $20.000 R R
1,061208 1
1,06120
a
     
    

 
4
4
4 
8 0,061208
$8.000
 R $2.315,12
3, 455542
Valor do pagamento trimestral durante o segundo ano:
 
 0,6 $20.000 (1.061208) R a
 
 
  
 
   
 
 
 
6,1208% 4
4
$15.218,90
 R
1,061208 1
1,061208 0,061208
$15.218,90
 R = 4.404, 20
3, 455542
Sobre o sald
 
 
 
  

o não amortizado no primeiro ano incidem juros durante 4 trimestres, resultando 
em um saldo devedor de $15.218,90 ao término do primeiro ano. As prestações do segundo
 ano são calculadas sobre esse valor.
 
53. Uma empresa tomou um empréstimo de $10.000 contratado a juros efetivos de 2% ao mês para ser 
reembolsado em 16 pagamentos trimestrais iguais. Imediatamente após efetuar o décimo pagamento, a 
empresa decide liquidar o resto da dívida. Qual o importe a ser pago? 
Resolução 
Dados: P= $10.000, i =2 % a.m., n = 16 trimestres, Saldo no 10
o
 trimestre = ? 
 
 
 
3 3
t m
 
16 6,1208% n
Taxa de juros trimestral:
i (1 i ) 1 (1, 02) 1 6,1208 a.t.
Valor do pagamento trimestral:
 
$10.000
 P R R $997, 75 
1,061208 1
1,061208 0,061208
Valor par
a
     
    
 
 
  
 
 
 
6
 = =
6 6,1208% 6
a pagamento à vista (no final do décimo mês) das últimas seis parcelas trimestrais:
1,061208 1
 P R $997, 75 $997, 75 4,898716 $4.887, 68
1,061208 0,061208
a
 
      
  
 
 
54. Uma pessoa pode comprar um carro à vista por $17.000, ou à crédito pagando 20 prestações 
trimestrais postecipadas de $3.000 cada. Se a pessoa pode aplicar seus recursos ganhando uma taxa 
efetiva de 5% a.m., qual é a melhor alternativa? 
 
 72 
Resolução 
Dados: P= $17.000, n= 20 meses, R=$3.000, i= ?P= ? 
20 10%
20 i% 20 i%
P=R
$17.000 $3.000 5, 66667
a
a a

   
 
 
O fator 
20 i%
5, 66667a 
 pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a 
estimar a incógnita i. 
 
 Interpolação linear 
Embora o fator 
20 i%
a
seja uma função exponencial, podemos admitir que em intervalos pequenos seu 
comportamento seja linear. Podemos começar calculando o fator 
20 i%
a
 para diversos valores de taxas 
de juros e, a seguir, efetuar a interpolação linear : 
 
 Taxa de juros aproximada: 
i% 
 
 
20
20
1 i 1
1 i i
 
 
 
 
5, 66667 5, 62777
i 17% 17% 16% 16,87% a.t.
5,92884 5, 62777
  
     
 
 
16% 5,92884 
17% 5,62777 
 
 Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi 
 
 
a.t. %87,16
11029944,019212
11029944,01912
11029944,0
h1-n2-12
h1-n12
h=i
11029944,01
20.000
000.320
1
efetivo ntoFinanciame
Rn 
=h 
1+20
2
1+n
2













 





 






 
Taxa efetiva ao mês: 
 
1/3
m m(1 i ) 1,1687 i =5,33% a.m. 
 como esta taxa é superior `a taxa ganha nas aplicações financeiras (5% a.m.), então será melhor 
compra à vista.
  

 
 
55. Com o objetivo de retirar $778,26 a cada 30 dias, aplicam-se $10.000 em um investimento que 
rende uma taxa efetiva de 2% a.m.. Se o primeiro saque ocorrerá daqui a um mês, quantos saques serão 
possíveis? 
Resolução 
Dados: P= $10.000, i=2% a.m., R =$778,26, n = ? 
 
 
 
n
n
 
n 5% n
O valor da aplicação inicial deverá ser igual ao valor presente das retiradas mensais: 
1,02 1
 P R $10.000 $778,26 (1,02) 1, 345865
1,02 0,02
Aplicand
a
 
       
  
log (1, 345865) 
o logaritmos: n 15 saques mensais 
log (1,02)
 
 
 
56. Um equipamento cujo valor à vista é de $8.000 é comprado em 02 de maio, pagando-se uma 
entrada de $4.000 e prestações de $923,90 a cada 30 dias. Quantas prestações serão necessárias para 
liquidar totalmente o financiamento? Em que data será paga a última? Considere que o banco 
financiador cobra uma taxa de juros efetiva de 5% a.m. Utilize a tábua do capítulo 1. 
Resolução: 
 73 
Dados: P= $8.000, i=5% a.m., E=$4.000, R =$923,90, n = ?, data =? 
 
 
 
n
 
n 5% n
O valor à vista deverá ser igual ao valor da entrada mais o valor presente das n parcelas mensais: 
1,05 1
 P E + R $8.000 $4.000 + $923,90 
1,05 0,05
a
 
     
  
n (1,05) 1,276281
log (1,276281) 
Aplicando logaritmos: n 5 prestações pagas a cada 30 dias
log (1,05)
 
 
 
Para determinar a data de vencimento da última prestação podemos usar a Tábua para Contagem de 
Dias entre Duas Datas do ano civil (seção 1.2 do capítulo 1): 
 Tábua Para Contagem de Dias entre Duas Datas 
JAN. FEV. MAR ABR. MAI. JUN. JUL. AGO SET. OUT. NOV DEZ. 
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 
31 90 151 212 243 304 365 
 
Como as parcelas são pagas a cada 30 dias, a quinta será paga no 150º dia. O procedimento consiste em 
subtrair, do número de dias correspondente à data posterior, o número que corresponde à data anterior: 
 número de dias da data posterior (?) = n 
 número de dias da data anterior (02 de maio) = 122 
 prazo: 150 dias 
 
 Logo: n - 122 =150 → n =272, que na tábua corresponde ao dia 29 de setembro. 
 
 
57. Um empréstimo contratado à taxa efetiva de 4% am., foiliquidado em 12 prestações mensais 
postecipadas de $500 cada. Quanto totalizaram os juros pagos no período? 
Resolução 
Dados: i=4% a.m., , n=12, R=$500, juros pagos = ? 
 
 
 
12
 valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos 
1, 04 1
 12 $500 $500 J
1, 04 0,04
 



 
 
   
 
 
12
 12 $500 $500 9,385074 J J= $1.307,46    
 74 
58. Um empréstimo contratado a juros efetivos de 3% am., foi liquidado em 20 prestações mensais 
postecipadas. Se os juros pagos no período totalizaram $1.024,51, determinar o valor das prestações. 
Resolução 
Dados: i=3% a.m., , juros pagos =$1.024,51, n=20, R=? 
 
 
 
20
 valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos 
1, 03 1
 20 R R $1.024,51
1, 03 0,03
 



 
 
   
 
 
20
 20 R R 14,877475 $1.024,51
 20 R - R 14,877475 $1.024,51
 5,122525 R $1.024,51 


  
 
  
$1.024,51
 R $200
 5,122525
 
 
59. Um bem pode ser financiado a juros efetivos de 2% a.m. e pago por meio de uma entrada de 20% 
mais doze parcelas mensais de $55,2969 cada, a primeira para 30 dias. Calcular o valor à vista. 
Resolução 
Dados: R= $55,2969, i=2% a.m., n = 12, P =? 
 
 
12 2%
 O valor à vista deverá ser igual ao valor da entrada mais o valor presente das 12 parcelas mensais: 
 P 0, 20×P $55,2969
 0,8 P $5
a  

 
 
12
12
1,02 1
5,2969
1,02 0,023
$55,2969 10, 575341 
 0,8 P $55,2969 10,575341 P= =$730,98
0,8
 
 
  

  
 
60. Desejando dispor de $10.000 dentro de doze meses, uma pessoa começou hoje a aplicar 
mensalmente uma determinada quantia constante a juros efetivos de 2% a.m.. Qual o valor de cada 
aplicação de modo que ela consiga acumular o capital na data do último depósito? 
Resolução 
Dados: S= $10.000, i=2% a.m., n = 12, R =? 
 
 
12
 
n i%
 
 Para obter um capital de $10.000 na data da última aplicação, o depósito mensal será:
1,02 1 $10.000
 S R $10.000 R R $745,60
0,02 13,412090
S
 
        
 
 
 
 
61. Uma pessoa fez um determinado número de aplicações mensais de $150 cada em um fundo de 
renda fixa que rende juros efetivos de 1% a.m. Caso pretenda resgatar o capital acumulado no prazo por 
meio de cinco saques mensais iguais e consecutivos de $426,70 cada, sendo que o primeiro seria 
efetuado um mês depois da última aplicação, determinar o número de aplicações mensais no fundo. 
Resolução 
 
 75 
 
 
5
5
Valor dos 5 saques no n-ésimo mês (mês da última aplicação):
1,01 1
 $426,70 =$2.070,96
1,01 0,01
Igualando o montante (no n-ésimo mês) das "n" aplicações, com o val
 
 
  
 
n
n
=
or
 (no n-ésimo mês) dos 5 saques :
1,01 -1
 $150 =$2.070,96 (1,01) 1,138064
0,01
log (1,138064) 
Aplicando logaritmos: n 13 depósitos mensais
log (1,01)
 
  
 
 
 
 
 
62. A juros efetivos de 1% a.m., quantos depósitos mensais de $150 cada serão necessários para 
acumular um capital de $2.000 até a data do último? 
Resolução 
Dados: S= $2.000, i=1% a.m., R =$150, n = ? 
 
 
n
n
 
n i%
1,01 1
 S R $2.000 $150 (1,01) 1,133333
0,01
log (1,133333) 
Aplicando logaritmos: n 12,58 depósitos mensais
log (1,01)
Devem ser efetuados 12 depósitos mens
S
 
       
 
 
 
o
o
ais de $150 mais um último de $78,60 no 13 mês.
O capital acumulado no 13 mês pelos 12 depósitos mensais mais o último depósito residual deve ser 
igual a $2.000:
 $2.000 
 
12
1,01 1
$150 (1,01) q 
0,01
 $2.000 $150 12,682503 1,01 q q $78,60
  
    
  
  
     
 
 
63. Para que possa sacar $500/mês, uma pessoa aplicou hoje $12.000 à taxa efetiva de 3% a.m. 
Quantos saques mensais poderão ser efetuados, se o primeiro inicia um mês depois da aplicação inicial? 
Resolução 
Dados: P= $12.000, i=3% a.m., R =$500, n = ? 
 
 
 
n
n
 n 5% n
1,03 1
 P R $12.000 $500 (1,03) 3, 571420
1,03 0,03
log(3, 571420) 
Aplicando logaritmos: n 43, 0655536
log(1,03)
Podem ser efetuados 43 saques mensais de $5
a
 
       
  
 
 
 
o
43
43 44
00 e um último de $33,22 no 44 mês:
1,03 1 q
 $12.000 $500 
(1,03)1,03 0,03
q
 $12.000 $500 23, 981902 q $33,22
3, 671452
 
   
  
    
 
 76 
64. Uma pessoa deve pagar 22 parcelas trimestrais postecipadas de $350 cada. Se no vencimento da 15
a
 
parcela decide liquidar a dívida, qual o valor a ser pago, se a taxa efetiva aplicada for de 9% a.t. 
Resolução 
Dados: i=9% a.t., n=22 , R =$350, Saldo a pagar na data da 15
a
 parcela = ? 
 
 
a
7
7 9% 7
Na data da 15 parcela deve pagar a própria parcela desse mês, mais o valor descontado das restantes sete 
parcelas:
1,09 1
 Valor a pagar = R + R $350 $350
1,09 0,09
a
 
    
  
$2.111,53

 
65. À taxa efetiva é de 2% a.m., substituir quatro prestações mensais postecipadas de $500 por nove 
prestações equivalentes antecipadas. 
Resolução 
Dados: i=2% a.m., n=4 , R =? 
 
a) valor presente das prestações postecipadas; 
 
 
 
4
n i% 4
1,02 1
P=R $500 $1.903,86
1,02 0,02
a
 
    
  
 
 
b) prestação antecipada. 
Como a primeira prestação é paga no ato, temos: 
 
   
n-1 i%
 
9-1 2%
8 2%
 P R + R
$1.903,86 $1.903,86
$1.903,86 R + R R =$228,68
1 7,355481
a
a
a

 

  

 
66. Um financiamento contratado à taxa efetiva de 10% a.m. foi quitado em cinco prestações mensais 
postecipadas. Considerando que os juros pagos no período totalizam $3.189,87, calcular o valor das 
prestações mensais. 
Resolução 
Dados: i=10% a.m., , juros pagos =$3.189,87, n=5, R=? 
 
 
 
5
5
 valor total pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos 
1,10 1
 5 R R $3.189,87
1,10 0,10
 


 
 
   
 
 
 5 R R 3,79079 $3.189,87
 5 R R 3,79079 $3.189,87
 1,20921R $3.189,87
 


  
  

$3.189,87
 R $2.637,97
1,20921
 
 
 
67. Um financiamento a juros efetivos de 2% a.m. foi quitado em um determinado número de 
prestações mensais postecipadas de $4.243,17 cada. Se os juros pagos no período totalizam $1.215,84, 
determinar o número de prestações contratadas. 
Resolução 
Dados: i=2% a.m., R=$4.243,17, juros pagos =$1.215,84, , n=? 
 
 77 
 valortotal pago pelo empréstimo valor do empréstimo juros pagos 
 n R P $1.215,84
 
 
  
 
 
   
n
n n
n
1,02 1
 n $4.243,17 $4.243,17 $1.215,84
1,02 0,02
 50,28654 1,02 n 1,02 =50
 P



 
   
 
 
  
or aproximações: n = 5
 
 
68. Uma pessoa aplicou mensalmente $1.000 durante 36 meses em um fundo de renda fixa. Se na data 
da última aplicação o extrato do fundo mostra que foram ganhos ao todo $15.994,37 de juros, calcular a 
taxa efetiva mensal ganha. 
Resolução 
Dados: n=36, R=$1.000; juros ganhos = $15.994,37, i=? 
 
 
36 i% 36 i%
 juros ganhos = montante acumulado - aplicação total
 $15.994,37=$1.000 - $1.000 36 51,99437s s   
 
 Interpolação linear para aproximar a taxa de juros: 
 S18 i% 
 
 S36 2,,5% = 57,30141 
 S36 i%= 51,99437 
 S36 1,5% =47,27597 
 1,5% i% 2,5% taxa de juros 
 
 
% 
Observando o digrama anterior, pode-se estabelecer a seguinte proporcionalidade de triângulos e a 
seguir destacar a taxa i: 
57,30141 47,27597 51,99437 47,27597
 i =2% a.m.
2,5 1,5 i 1,5
 
 
 
 
Pelo método de Baily-Lenzi: 
Montante = $15.994,37 + $36.000 = $51.994,37 
 
 
 
 
 
 
 a.m. 2%
021228850,01+362+12
021228850,01+3612
021228850,0
h1+n2+12
h1+n12
h=i
021228850,01
1.000 36
51.994,37
1
R n 
S
h
1-36
2
1-n
2
































 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 78 
CAPÍTULO 6 
Exercícios propostos 
1. Qual a quantia a ser aplicada hoje num investimento que rende juros efetivos de 10% a.m., de modo 
que possamos efetuar futuramente oito saques mensais. O primeiro saque de $36.000 inicia daqui a dois 
meses, formando com os outros sete saques uma série em progressão aritmética crescente. 
Resolução: 
 
 
0
n
n
 
Dados: G $36.000; n (mês do último saque) 9 mês; i 10% a.m.; P ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente postecipada:
1 i 1G
 P -n 
ii 1 i
   
  
 
     
 
n i%n
9 10%9
G
 s n
i 1 i
$36.000
 s 9 $152.675,14 13,57948 9 $699.172,29
0,10 (1,10)
   

        
 
 
2. Uma pessoa deve pagar 13 prestações mensais. A primeira prestação, de $8.310, deve ser paga daqui 
a dois meses, formando com as restantes uma progressão aritmética crescente. A pessoa propõe pagar a 
dívida por meio de cinco prestações mensais iguais, a primeira iniciando daqui a um mês. A juros 
efetivos de 5% a.m., calcular o valor dessas prestações. 
Resolução: 
 
 
0
n
n
Dados: G $8.310; n (mês da última prestação) 14 mês; i 5% a.m. R ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente postecipada:
1 i 1G G
 P -n 
ii 1 i i 1
   
  
  
     
 
n i%n
14 5%14
s n
i
$8.310
 s 14 $83.942,29 19,598638 14 $469.962,01
0,05 (1,05)
  

        
 
 
 
 
8$108.549,3
4,32948
1$469.962,0
0,051,05
11,05
1$469.962,0P
R 
:mês um a daqui paga eequivalent uniforme prestação daValor 
5
5
5% 5












a
 
 
3. Uma pequena empresa projeta, para os próximos 24 meses, desembolsos mensais com a sua folha de 
pagamento. O primeiro desembolso, de $480, deve ocorrer daqui a um mês e os restantes de forma 
consecutiva, formando uma progressão aritmética decrescente em que cada desembolso decresce em $20 
com relação ao do mês anterior. O Gerente da empresa pretende aplicar hoje uma determinada quantia 
em um investimento que rende juros efetivos de 5% a.m, de modo que possa efetuar nos próximos 24 
meses saques mensais que permitam pagar a folha. Qual o valor o dessa aplicação? 
 
 
 79 
Resolução: 
 
 
0
n
n
n
 
Dados: G $20; n (mês da última prestação) 24 mês; i 5% a.m. P ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética decrescente:
1 i 1G G
 P n (1 i) - 
ii 1 i i 1
   
  
    
     
 
n
n i%n
24
24 5%24
n (1 i) -s
i
$20
 24 (1,05) -s 124,03 77,40 44,502 $4.080,54
0,05 (1,05)
  
 

       
 
 
 
4. Os dividendos pagos por uma ação devem dobrar todo ano segundo uma progressão geométrica. 
Considerando que os dividendos são pagos ao término de cada ano, sendo o primeiro igual a $10, 
calcular o valor presente dos dividendos dos próximo 24 anos a um custo do capital de 1% a.a. 
Resolução: 
Utilizando a fórmula da soma das progressões geométricas obtém-se uma expressão para o valor 
presente da série: 
 
 
 
 
 
n 24n 24
n 24
Dados: A $10; n 24 anos; i 1% a.a.. c 1, h 2, P ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente
h 1 i 2 (1,01)A $10
 P
h 1 i 2 (1,01)(1,01)1 i
     
    
    
      
$133.466.323,58

 
 

 
 
5. Um capital foi financiado a juros efetivos de 5% a.m. para ser pago em vinte prestações mensais. A 
primeira prestação de $12.000 vence um mês após contratado o financiamento e as outras são 
gradativamente crescentes, formando uma progressão aritmética. Calcular o valor do financiamento. 
Resolução: 
 
 
0
n i% n
Dados: G $12.000; n (mês do último saque) 20 mês; i 5% a.m. ;P ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:
G n
 P 1 i
i 1 i
$12.000
 
0,05
a
   
 
    
  

 
20 5% 20
20
(1,05)
(1,05)
 $240.000 (1,05) 12,46221 7,53779 $1.331.407,49
a
 
   
  
    
 
 
6. Um financiamento de $548,66 será pago em oito parcelas mensais. A primeira, de $20, vence um 
mês depois de ter sido contratado o financiamento e as outras são gradativamente crescentes, formando 
uma progressão aritmética. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. 
 
 
 
 80 
Resolução: 
 
 
 
n i% n
8
Dados: G $20; n 8; P $548,66
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:
G n
 P 1 i
i 1 i
$20 (1 i) 1
 $548,66 (1 i)
i
a
  
 
    
  
 
   
8 8
8
8 8
FATOR A SER INTERPOLAD O
8
(1 i) i (1 i)
(1 i) (1 i) 1 8
27,4330 i 5% a.m.
i (1 i) i (1 i) i
  
        
    
             
 
Seguindo o procedimento de interpolação mostrado no exercício resolvido 6.5, encontra-se o valor para 
i. 
 
7. Um financiamento será pago em oito parcelas mensais. A primeira de $20 vence um mês após 
contratado o financiamento, e as outras são gradativamente crescentes formando uma progressão 
aritmética. Considerando que seja propostoum esquema alternativo de pagamento em que o mutuário se 
obriga a pagar dez prestações mensais iguais, calcular o valor dessas prestações a juros efetivos de 5% 
a.m. 
Resolução: 
 
 
n i% n
8 5% 8
Dados: G $20; n 8; i 5% a.m. ;R ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:
G n
 P 1 i
i 1 i
$20 8
 (1,05) $400 (1
0,05 (1,05)
a
a
   
 
    
  
 
      
  
 ,05) 6,46321 5,41471 $548,66  
 
 
 
 
10
10 5%
10
Valor da prestação uniforme equivalente:
P $548,66 $548,66
 R $71,05
7,7217381,05 1
1,05 0,05
a
   
 
 
  
 
 81 
8. A juros efetivos de 9% a.m., calcular o valor presente de uma perpetuidade postecipada de $10.000 
que cresce a uma taxa constante de 7% a.m. 
 Resolução: 
 Se a perpetuidade postecipada cresce a uma taxa constante c, seu valor presente é dado por: 
 
 
ci
R
P


 para i>c; onde: i = taxa de juros efetiva; c = taxa de crescimento 
 
000.500$
07,009,0
000.10$
ci
R
P 




 
9. Calcular o valor presente de quatro mensalidades postecipadas que decrescem a uma taxa constante 
de 3% a.m., considerando que a primeira é igual a $13.000 e a taxa de juros efetiva é de 5% a.m. 
Resolução: 
Utilizando a fórmula da soma das progressões geométricas obtém-se uma expressão para o 
valor presente da série: 
 
 
 
 
96,145.44$
)05,1(97,0
)05,1(97,0
)05,1(
000.13$
i1h
i1h
i1
A
P 
crescente geométrica progressão uma de presenteValor 
?P ;97,003,01h ,03,0c a.m.; %5i ; 4n $13.000;A :DADOS
44
4
nn
n






















 
 
10. Uma ação promete pagar a partir do próximo ano em perpetuidade um dividendo de $2,00/ano. 
Considerando um crescimento projetado dos dividendos é de 5% a.a. e um custo de oportunidade do 
capital é de 12% a.a., determinar o preço unitário da ação. 
 Resolução: 
 Se a perpetuidade postecipada cresce a uma taxa constante c, seu valor presente é dado por: 
 
 
ci
R
P


 para i>c; onde: i = taxa de juros efetiva; c = taxa de crescimento 
 
57,28$
05,012,0
2$
ci
R
P 




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 82 
11. Uma dívida de $2.000 será paga em quatro prestações trimestrais, a primeira vencendo daqui a um 
mês. A juros efetivos de 3% a.m., calcular o valor das quatro prestações sabendo que formam uma 
progressão aritmética crescente com razão igual ao valor da primeira prestação. 
 Resolução: 
 
 
n i% n
Dados: n 8; P $2.000, i 3% a.m.;G ?
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente antecipada:
G n
 P 1 i
i 1 i
G
 $2.000 (1,03)
0,03
a
   
 
    
  
  
4
4 4
(1,03) 1 4
(1,03) 0,3 (1,03)
 G $218,45(primeira prestação)
$436,90(segunda); $655,35(terceira); $873,80(quarta)
  
      
  
12. Calcular o primeiro termo de uma série de vinte anuidades crescentes geometricamente, cujo valor 
presente é $5.000, a razão de crescimento é 1,04 e as anuidades são capitalizadas a juros efetivos de 5% 
a.a. 
Resolução: 
 
 
 
nn
n
Dados: n 20 ; i 5% a.m.; h 1,04; P $5.000;A ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 iA
 P
h 1 i1 i
A
 $5.000
(
    
  
 
    

 
20 20
20
1,04 (1,05)
 A $287,05
1,04 (1,05)1,05)
 
   
 
 
 
 
13. Calcular o valor presente de um empréstimo que será amortizado em 24 parcelas trimestrais 
postecipadas a juros efetivos de 3% a.t.. A primeira parcela é igual a $500 e irá crescendo à taxa de 5% 
em relação à anterior 
Resolução: 
 
 
 
 
n 24n
n 24
Dados: n 24 ; i 3% a.t.; h 1,05; A $500; P ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 i 1,05 (1,03A $500
 P
h 1 i (1,03)1 i
    
   
   
    
24)
 $14.663,39
1,05 (1,03)
 
  
 
 
 
 
 
14. Um empréstimo de $5.000 será reembolsado em oito parcelas mensais postecipadas (a primeira 
para daqui a dois meses) em progressão aritmética crescente. Se a taxa de juros efetiva é de 6%, 
calcular o valor do gradiente da série de parcelas. 
 
 
 
 
 83 
Resolução: 
 
 
0
n
n
 
Dados: n (mês da última parcela) 9 mês; i 6% a.m. P 5.000;G ?; 
Valor presente de uma série em progressão aritmética crescente postecipada:
1 i 1G
 P -n
ii 1 i
   
  
 
     
 
n i%n
9 6%9
9
G
 s n
i 1 i
G
 $5.000 s 9
0,06 (1,06)
G
 5.000 11,49132 9 G $203,44
0,06 (1,06)
   

    
    

 
 
15. Um empréstimo de $6.630,14 será reembolsado em um determinado número de parcelas mensais 
que experimentarão um crescimento geométrico de 9% ao mês. A juros efetivos de 6% a.m., determinar 
o número de parcelas sabendo que o valor da primeira é de $500. 
Resolução: 
 
 
 
nn
n
Dados: P $6.630,14; i 6% a.m.; h 1,09; A $500; n ? 
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 iA
 P
h 1 i1 i
 
    
  
 
    
 
n n
n
1,09 (1,06)$500
 $6.630,14 n 12
1,09 (1,06)(1,06)
 
    
 
 
 
 
 
16. Um empréstimo de $5.000 será reembolsado em dez parcelas mensais postecipadas que 
experimentarão um crescimento geométrico de 2% em cada uma. A juros efetivos de 4% a.m., calcular 
o valor da primeira parcela. 
Resolução: 
 
 
 
nn
n
Dados: P $5.000; i 4% a.m.; h 1,02; n 10 ; A ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 iA
 P
h 1 i1 i
 
    
  
 
    
 
10 10
10
1,02 (1,04)A
 $5.000 A $566,60
1,02 (1,04)(1,04)
 
    
 
 
 
 
17. Um financiamento será reembolsado em oito parcelas trimestrais postecipadas crescendo à taxa de 
2% a.t. Se a primeira parcela é de $1.500, a juros efetivos de 4% a.t., determinar o valor do 
financiamento. 
Resolução: 
 84 
 
 
 
 
n 8n
n 8
Dados: i 4% a.t.; h 1,02; n 8 ; A $1.500; P ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 i 1,02 (1,04A $1.500
 P
h 1 i (1,04)1 i
    
   
   
    
8)
 $10.791
1,02 (1,04)
 
  
 
 
 
 
18. Um financiamento de $5.000 será reembolsado em dez parcelas mensais postecipadas que crescem 
geometricamente a uma determinada taxa. Se o valor da primeira parcela é de $571,50 e a taxa de 
juros efetiva é de 5% a.m.., calcular a taxa de crescimento das parcelas 
Resolução:  
 
 
nn
n
Dados: i 5% a.m.; n 10 ; A $571,50; P $5.000, h ?
Valor presente de uma progressão geométrica crescente:
h 1 iAP
h 1 i1 i
    
  

  
 
10 10
10
h (1,05)$571,50
 $5.000 h 1,03 
h (1,05)(1,05)
 logo: h 1 1,03 0,03 3%a.m. (aproximadamente)c c c




 
    
 
 
      
 
19. Um canal de irrigação tem um custo de construção de $40.000. Para mantê-lo em condições 
operacionais deve ser efetuada uma reforma integral ao custo de $8.000 a cada cinco anos 
indefinidamente. Calcular seu custo capitalizado a uma taxa efetiva de 8% a.a. 
Resolução: 
a) Capital a ser aplicado hoje; 
 
65,045.17$
1(1,08)
$8.000
 
1i)(1
S
P
5k















 
b) Custo capitalizado do canal de irrigação. 
65,045.57$65,045.17$000.40$PCF 
 
 
20. Uma ponte tem um custo de construção de $30.000 e sua vida útil é de dez anos. Depois desse 
tempo deve ser reformada a cada dez anos indefinidamente a um custo de $15.000. Calcular seu custo 
capitalizado a uma taxa efetiva de 1% a.m. 
 
Resolução: 
a) Capital a ser aplicado hoje; 
 
64,520.6$
1(1,01)
$15.000
 
1i)(1
S
P
120k










 
b) Custo capitalizado do canal de irrigação. 
 
64,520.36$64,520.6$$000.0$3PCF 
 
 
 
 85 
21. A prefeitura de uma cidade recebeu duas propostas para construir uma passarela para pedestres. A 
primeira propõe construí-la de madeira ao custo de $10.000, com um custo de manutenção de $4.000 a 
cada três anos indefinidamente. A segunda propõe construí-la de aço ao custo de $20.000, com um 
custo de manutenção de $6.000 a cada seis anos. Considerando um custo do capital de 6% a.a., 
selecionar a melhor proposta. 
Resolução: 
Passarela de madeira: 
a) Capital a ser aplicado hoje; 
 
65,940.20$
1(1,06)
$4.000
 
1i)(1
S
P
3k










 
b) Custo capitalizado. 
65,940.30$65,940.20$000.10$PCF 
 
 
Passarela de aço: 
a) Capital a ser aplicado hoje; 
 
26,336.14$
1(1,06)
$6.000
 
1i)(1
S
P
6k










 
b) Custo capitalizado. 
26,336.34$26,336.14$000.0$2PCF 
 
Deve ser selecionada a passarela de madeira, pois tem o menor custo capitalizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 86 
CAPÍTULO 7 
Exercícios propostos 
1. Determinar a taxa contínua (instantânea) ao ano, equivalente à taxa efetiva de 15% a.a. 
Resolução: 
Taxa contínua equivalente: 
 =ln(1+i) = ln (1,15) = 13,9762% a.a. 
 
2. Calcular a taxa efetiva ao ano, equivalente à taxa instantânea de 13,9762% a.a.. 
Resolução: 
Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea: 
a.a. 15% 1-e1ei 0,139762δa 
 
 
3. Qual a taxa instantânea anual, equivalente a uma taxa nominal de 60% ao ano capitalizada 
trimestralmente? 
Resolução: 
Taxa efetiva anual equivalente á taxa nominal: 
ia=(1+j/k)
k
-1 = (1+0,60/4)
4
-1 = 74,90% a.a. 
Taxa contínua equivalente: 
 =ln(1+ ia) = ln (1,7490) = 0,55904777=55,91% a.a. 
 
4. Calcular a taxa nominal ao ano capitalizada mensalmente, equivalente à taxa instantânea de 24% a.a. 
Resolução: 
Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea de 24% a.a: 
a.a. 27,13% 1-e1ei 0,24δa 
 
Taxa nominal equivalente á taxa efetiva anual de 27,13% a.a: 
 (1+ia)=(1+j/k)
k 
(1,2713)=(1+j/12)
12
 → j=[ (1,2713)1/12-1]×12=0,242416=24,24% a.a. 
 
5. Calcular a taxa efetiva semestral, equivalente a uma taxa instantânea de 20% a.a. 
Resolução: 
Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea de 20% a.a.: 
a.a. %14,22 1-e1ei 0,20δs 
 
Taxa efetiva semestral equivalente à taxa efetiva anual de 22,14% a.a: 
(1+ia)=(1+ is) 
2
 → is=(1,2214)
1/2
-1 = 10,5171% a.s. 
 
6. Determinar a taxa efetiva para o período de 41 dias, equivalente a uma taxa instantânea de 30% a.a. 
Resolução: 
Taxa efetiva anual equivalente à taxa instantânea de 30% a.a.: 
a.a. %9859,34 1-e1ei 0,30δs 
 
Taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa efetiva anual de 34,9859% a.a: 
i41d =(1,349859)
41/360
-1 = 3,4757% em 41 dias. 
 
7. Calcular o montante de uma aplicação de $1.000 por 15 meses à taxa instantânea de 4% a.m. 
Resolução: 
12,822.1$ e000.1$ePS 5104,0mδ  
 
 
8. Qual o capital que resulta num montante de $1.000 quando aplicado por 18 meses à taxa instantânea 
de 6% a.m.? 
Resolução: 
39,603$ e000.1$
e
$1.000
 e
S
P ePS 5104,0
8106.0mδ
mδ  


 
 87 
9. Se um capital fosse aplicado por sete meses a uma determinada taxa instantânea, resultaria em um 
montante 50% maior ao montante obtido a juros efetivos de 4% a.m. Determinar a taxa instantânea. 
Resolução: 
a.m 9,7144%0,0971443
7
 ,680
7
 ]873898,1ln[
7
 ])04(1,5,1ln[
δ ])04ln[(1,7δ
:naturais logaritnos aplicando e P cancelando
 )04(1,P5,1 eP 
:efetivos juros a montante1,5 continuos juros a montante
7
7
77δ






 
 
10. A juros efetivos de 10% a.a., calcular os valores uniformemente distribuídos equivalentes aos 
seguintes valores discretos: $1.450; $235.980; $45.789.000. 
Resolução: 
 
- m
0
valor discreto equivalente a uma quantía uniformemente distribuída:
1-e
 P = Q 
m
valor da quantía uniformemente distribuída:
 


 
 
  
0
- m
-0,09531 1
P
 Q onde: ln(1,10) 0,09531 m 1
1-e
 
m
$1.450 $1.450
 primeiro valor: Q $1.520,20
0,9538241-e
0,09531 1
 
e





   
 
 
  
  
 
 
  
$235.980
 segundo valor: Q $247.404,26
0,953824
$45.789.000
 terceiro valor: Q $48.005.736,05
0,953824
 
 
 
 
11. A juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 15% a.a., calcular os valores discretos equivalentes 
aos seguintes valores uniformemente distribuídos: $2.000; $324.000; $1.289.000 
Resolução: 
- m
0
valor discreto equivalente a um valor uniformemente distribuído:
1-e
 P = Q onde: ln(1,15) 0,139762 m 1 
m
 
 
e



 
   
  
-0,139762 1
0
0
1-e
 primeiro valor: P $2.000 $2.000 0,933264 $1.866,53
0,139762 1
 segundo valor: P $324.000 0,933264 $302.377,52
 
 
     
  
  
0 terceiro valor: P $1.289.000 0,933264 $1.202.977,23  
 
 
12. Uma mina de ouro durante a sua vida útil de oito anos proporcionou receitas operacionais líquidas 
de $500.000/mês. A juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 42,5761% a.a., calcular o valor 
presente da receita total, considerando realização em regime de fluxo uniformemente distribuído. 
Resolução: 
 88 
1/12
m
taxa efetiva mensal equivalente à taxa efetiva de 42,5761% a.a.: 
 i (1,425761) 1 0,03 3% a.m.
valor da mensalidade discreta antecipada, equivalente à receita líquida men
   
- m -0,0295588 ×1
sal de fluxo
 uniformente distribuído:
1-e 1-e
 Q $500.000 $500.000 0,985365 $492.682,58 
m 0,0295588 1
 onde: ln(1,03) 0,0295588 m 1 
 A
e



   
      
       
  
 fórmula transforma os valores em regime de fluxo uniforme para valores discretos no início do ano 
respectivo. Ou seja, em fluxos antecipadados discretos.
valor presente de uma série de 96 rece
95
95
itas mensais antecipadas de $492.682,58 cada:
(1,03) 1
 P $492.682,58 $492.682,58 $15.924.809,35
(1,03) 0,03
 
 
    
  
 
13. Um equipamento tem vida útil de 15 anos e um custo de manutenção de $4.500/ano. Considerando 
realização em fluxo uniformemente distribuído, estimar o valor presente desse custo a juros contínuos 
equivalentes à taxa efetiva de 10% a.a. 
Resolução: 
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: 
 ln(1,10) 0,09531018 
valor da anuidade discreta antecipada, equivalente aos custos de manutenção de fluxo 
uni
  
- m -0,09531018 1
formente distribuído:
1-e 1-e
 Q $4.500 $4.500 0,95382352 $4.292,21 
m 0,09531018 1
 m 1 (porque cada anuidade corresponde a um ano) 
A fórmula trans


    
       
       

forma os valores em regime de fluxo uniforme para valores discretos no início do ano 
respectivo. Ou seja, em fluxos antecipadados discretos.
valor presente de uma série de 15 anuidades discreta
14
14
s antecipadas de $4.292,21 cada:
(1,15) 1
 P $4.292,21 $4.292,21 $35.911,55
(1,15) 0,15
 
 
    
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 89 
14. Um projeto em cada um dos seus seis anos de vida útil proporcionará os seguintes lucros líquidos: 
$5; $6; $5; $3; $4 e $2 milhões. A juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 10% a.a., calcular o 
valor presente dos lucros, considerando a sua realização em regime de fluxo uniforme. 
Resolução: 
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: 
 ln(1,10) 0,09531018 
valor das anuidades discretas antecipadas, equivalentes aos lucros líquidos de fluxo 
  
- m
-0,09531018 1
uniformente distribuído:
1-e
 Q 
m
1-e
 $5 $5 0,95382352 $4,7691 
0,09531018 1
 




 
 
  
 
    
  
-0,09531018 1
-0,09531018 1
-0,09531018 1
1-e
$6 $6 0,95382352 $5,7229 
0,09531018 1
1-e
 $5 $5 0,95382352 $4,7691 
0,09531018 1
1-e
 $3



 
    
  
 
    
  

-0,09531018 1
-0,09531018 1
$3 0,95382352 $2,8615 
0,09531018 1
1-e
 $4 $4 0,95382352 $3,8153 
0,09531018 1
1-e
 $2 $
0,09531018 1


 
   
  
 
    
  
 
  
  
2 0,95382352 $1,9077 
 m 1 (porque cada anuidade corresponde a um ano) 
 
 

A fórmula transforma os valores em regime de fluxo uniforme para valores discretos no início do ano 
respectivo. Ou seja, em fluxos antecipadados discretos.
valor presente da série de c inco a
2 3 4 5
nuidades discretas antecipadas:
$5,7229 $4,7691 $2,8615 $3,8153 $1,9077 
 P $4,7691 $19,8535
1,10 (1,10) (1,10) (1,10) (1,10)
     
 
15. Nos próximos dez anos a evolução dos custos operacionais de uma estrada de ferro deverá aumentar 
à razão de $2 milhões por ano. Considerando que no primeiro ano o custo operacional é de $3 milhões, 
a juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 12% a.a., calcular o valor presente desses custos 
supondo sejam realizados em regime de fluxo uniforme. 
Resolução: taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: 
 ln(1,12) 0,11332869
valor das anuidades discretas antecipadas, equivalentes aos custos de fluxo uniformente d
  
- m -0,113328698 1
istribuído:
1-e 1-e
 FATOR DE AJUSTE 0,94541692 
m 0,11332869 1


    
     
       
 
 
 
 
 90 
 
(milhões) 
Ano Custo operacional 
anula em fluxo 
uniforme 
 
(a) 
Custo operacional anual 
discreto equivalente 
antecipado 
 0,94541692 (a)(b) 
 
Fator de 
desconto: 
(1,12)
Ano-1 
 
(c)
 
 
Valor presente 
dos custos 
discretos anuais 
equivalentes 
(d) = (b)/ (c) 
 
1 3 2,83625 1,00000 2,83625 
2 5 4,72708 1,12000 4,22061 
3 7 6,61792 1,25440 5,27576 
4 9 8,50875 1,40493 6,05636 
5 11 10,39959 1,57352 6,60913 
6 13 12,29042 1,76234 6,97391 
7 15 14,18125 1,97382 7,18466 
8 17 16,07209 2,21068 7,27020 
9 19 17,96292 2,47596 7,25492 
10 21 19,85376 2,77308 7,15946 
 Soma: 60,84127 
 
16. O custo anual de manutenção permanente de um trecho de estrada é de US$200.000. A juros 
contínuos equivalentes à taxa efetiva de 14% a.a., calcular o valor presente desses custos considerando-
os perpetuidades constantes realizadas em regime de fluxo uniforme. 
Resolução: 
 
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: 
 ln(1,14) 0,131028262
valor da anuidade discreta antecipada, equivalente aos custos de manutenção de fluxo uniformen
  
- m -0,131028262 1
te distribuído:
1-e 1-e
 Q $200.000 $200.000 0,937255942 $187.451,19 
m 0,131028262 1
 m 1 (porque cada anuidade corresponde a um ano) 
valor presente


    
       
       

 de uma série de anuidades discretas antecipadas de duração indeterminada:
$187.451,19
 P $$187.451,19 $1.526.388,25
0,14
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 91 
17. A receita operacional de um equipamento será de $120.000/ano. O equipamento tem vida útil de 
dez e custa US$1 milhão. Calcular o VPL considerando juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 
20% a.a. e receitas realizadas em regime de fluxo uniforme. 
Resolução: 
 50,91413582 
1 182321557,0
e-1
m
e-1
 AJUSTE DE FATOR 
:odistribuíd euniforment fluxo de custos aos esequivalent s,antecipada discretas anuidades dasvalor 
182321557,0)20,1ln( 
 :a.a. 10% de efetiva taxaà eequivalent anual contínua taxa
1 182321557,0-m-




















 (milhões) 
Ano Custo 
operacional 
anual em regime 
de fluxo 
uniforme 
 
 (a) 
Custo operacional discreto 
anual equivalente antecipado 
 
 
 50,91413582 (a)(b) 
 
Fator de desconto: 
(1,20)
Ano-1 
 
(c)
 
 
Valor presente 
dos custos 
discretos 
equivalentes 
(d) = (b)/ (c) 
 
1 120.000 109.696,30 1,00000 109.696,30 
2 120.000 109.696,30 1,20000 91.413,58 
3 120.000 109.696,30 1,44000 76.177,99 
4 120.000 109.696,30 1,72800 63.481,65 
5 120.000 109.696,30 2,07360 52.901,38 
6 120.000 109.696,30 2,48832 44.084,48 
7 120.000 109.696,30 2,98598 36.737,07 
8 120.000 109.696,30 3,58318 30.614,22 
9 120.000 109.696,30 4,29982 25.511,85 
10 120.000 109.696,30 5,15978 21.259,88 
 Soma: 551.878,41 
 
VPL= -$1.000.000 + $551.878,41 = - $448.121,59 < 0 
 
18. Ao longo de sua vida útil de 15anos, um poço de gás natural rendeu lucros totais de $25 milhões. A 
juros contínuos equivalentes à taxa efetiva de 20% a.a., calcular o valor presente desses lucros na 
hipótese de serem realizados em regime de fluxo uniforme. 
Resolução: 
- m -ln (1,20) 15
0
valor presente de uma quantía uniformemente distribuída (25 milhões) durante o prazo de 15 anos:
1-e 1-e
 P = Q $25.000.000 
m ln(1,


  
  
   20) 15
 $25.000.000 0,341921363 $8.548.034,08 
 
 
  
  
 
 
19. Um projeto requer um investimento de $25 milhões a ser despendido em três anos. Ao longo de sua 
vida útil de 25 anos, o projeto renderá $2,8 milhões/ano já a partir do primeiro ano. Considerando uma 
taxa contínua equivalentes à taxa efetiva de 20% a.a. e realização em regime de fluxo uniforme, avaliar 
economicamente o projeto usando o valor presente líquido (VPL). 
Resolução: 
 92 
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 20% a.a.: 
 ln(1,20) 0,1823215575
valor da anuidade discreta antecipada, equivalente ao rendimento anual com fluxo uni
  
- m -0,18232155758 ×1
formente distribuído:
1 - e 1- e
 Q $2.800.000 $2.800.000 0,914135825
m 0,1823215575 1
 


   
      
       
 $2.559.580,31 
 m 1 (porque cada anuidade corresponde a um ano) 
valor presente de uma série de 25 anuidades discretas antecipadas de $2.559.580,31 cada:
 P $$2.559.580,3



24
14
- m
(1,20) 1
1 $2.559.580,31 $15.196.495,58
(1,20) 0,20
valor presente do investimento de $25 milhões gasto em três anos em fluxo uniformente distribuído:
1-e
 Q 
m



 
   
  
 

 
-0,18232155758 31-e
 $25.000.0000 $25.000.0000 0,770244074
0,1823215575 3
 $19.256.101,
 
     
   
 86
 m 3 (porque o investimento foi realizado em três anos em regime de fluxo uniforme)
Cálculo do VPL:
 VPL valor presente do investimento valor presente dos rendimentos
 $19.256.101,86 $15.196.495,58 $4.049.606,28 0
  
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 93 
CAPÍTULO 8 
Exercícios propostos 
1. Uma indústria tomou emprestados $2.000.000 concordando em saldar o débito em oito pagamentos 
anuais postecipados a juros efetivos de 36% a.a. pela Tabela Price. Calcular: a) a prestação anual; b) o 
saldo devedor logo após o sexto pagamento; c) a amortização do quarto ano. 
 
Tabela Price 
ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 2.000.000,00 
1 1.932.731,52 720.000,00 67.268,48 787.268,48 
2 1.841.246,39 695.783,35 91.485,13 787.268,48 
3 1.716.826,62 662.848,70 124.419,78 787.268,48 
4 1.547.615,72 618.057,58 169.210,89 787.268,48 
5 1.317.488,91 557.141,66 230.126,82 787.268,48 
6 1.004.516,44 474.296,01 312.972,47 787.268,48 
7 578.873,88 361.625,92 425.642,56 787.268,48 
8 0,00 208.394,60 578.873,88 787.268,48 
 
Dados: 
Valor do empréstimo = $2.000.000 
Taxa efetiva (i) = 36% a.a. 
Prazo = 8 anos 
Valor do empréstimo = $2.000.000 
 
Respostas: 
a) prestação anual = $787.268,48 
b) saldo devedor após o sexto pagamento = $1.004.516,44 
c) amortização do quarto ano = $169.210,89 
 
2. Uma dívida de $1.500.000 contratada a juros nominais de 36% a.a., capitalizados trimestralmente, 
será amortizada pela Tabela Price em oito anos por meio de pagamentos trimestrais. Calcular: a) o 
saldo devedor ao fim do 3º ano; b) o saldo devedor ao término do 14
o
 trimestre; c) a distribuição do 20
o
 
pagamento em juros e amortização da dívida; d) o total de juros pagos no período. 
 
trimestre Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 1.500.000,00 
1 1.490.855,72 135.000,00 9.144,28 144.144,28 
2 1.480.888,46 134.177,01 9.967,26 144.144,28 
3 1.470.024,14 133.279,96 10.864,32 144.144,28 
4 1.458.182,03 132.302,17 11.842,11 144.144,28 
5 1.445.274,14 131.236,38 12.907,90 144.144,28 
6 1.431.204,53 130.074,67 14.069,61 144.144,28 
7 1.415.868,66 128.808,41 15.335,87 144.144,28 
8 1.399.152,56 127.428,18 16.716,10 144.144,28 
9 1.380.932,01 125.923,73 18.220,55 144.144,28 
10 1.361.071,61 124.283,88 19.860,40 144.144,28 
11 1.339.423,77 122.496,44 21.647,83 144.144,28 
12 1.315.827,64 120.548,14 23.596,14 144.144,28 
13 1.290.107,84 118.424,49 25.719,79 144.144,28 
14 1.262.073,27 116.109,71 28.034,57 144.144,28 
15 1.231.515,59 113.586,59 30.557,68 144.144,28 
16 1.198.207,71 110.836,40 33.307,88 144.144,28 
 94 
17 1.161.902,12 107.838,69 36.305,59 144.144,28 
18 1.122.329,04 104.571,19 39.573,09 144.144,28 
19 1.079.194,37 101.009,61 43.134,67 144.144,28 
20 1.032.177,58 97.127,49 47.016,79 144.144,28 
21 980.929,29 92.895,98 51.248,30 144.144,28 
22 925.068,64 88.283,64 55.860,64 144.144,28 
23 864.180,54 83.256,18 60.888,10 144.144,28 
24 797.812,51 77.776,25 66.368,03 144.144,28 
25 725.471,36 71.803,13 72.341,15 144.144,28 
26 646.619,50 65.292,42 78.851,86 144.144,28 
27 560.670,98 58.195,76 85.948,52 144.144,28 
28 466.987,09 50.460,39 93.683,89 144.144,28 
29 364.871,65 42.028,84 102.115,44 144.144,28 
30 253.565,81 32.838,45 111.305,83 144.144,28 
31 132.242,46 22.820,92 121.323,36 144.144,28 
32 0,00 11.901,82 132.242,46 144.144,28 
Total de juros pagos: 3.112.616,93 
 
Dados: 
Valor do empréstimo = $1.500.000 
Taxa nominal (j) = 36% a.a. 
Freqüência das capitalizações da taxa nominal (k) = 4 (trimestralmente) 
Taxa trimestral efetiva= j/k= 36%/4= 9% a.t. 
Prazo = 8 anos = 32 trimestres 
 
Respostas: 
a) saldo devedor ao final do terceiro ano = $1.315.827,64 
b) saldo devedor ao final do 14
o
 trimestre = $1.262.073,27 
c) distribuição do 20
o
 pagamento em juros e amortização da dívida:$$97.127,49 e $47.016,79 
d) total de juros pagos no período =$3.112.616,93 
 
3. Um financiamento de $100.000 será pago pela Tabela Price em oito parcelas mensais a juros 
nominais de 72% a.a., com capitalização mensal. Calcular os juros embutidos na sexta prestação. 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 100.000,00 
1 89.896,41 6.000,00 10.103,59 16.103,59 
2 79.186,60 5.393,78 10.709,81 16.103,59 
3 67.834,20 4.751,20 11.352,40 16.103,59 
4 55.800,65 4.070,05 12.033,54 16.103,59 
5 43.045,10 3.348,04 12.755,55 16.103,59 
6 29.524,21 2.582,71 13.520,89 16.103,59 
7 15.192,07 1.771,45 14.332,14 16.103,59 
8 0,00 911,52 15.192,07 16.103,59 
 
Dados: 
Valor do empréstimo = $100.000 
Taxa nominal (j) = 72% a.a. 
Freqüência das capitalizações da taxa nominal (k) = 12(mensalmente) 
Taxa mensal efetiva= j/k= 72%/12= 6% a.m. 
Prazo = 8 meses 
 
Respostas: 
a) juros embutidos na sexta prestação = $2.582,71 
 
 95 
4. Um financiamento de $2.000.000 será pago pela Tabela Price em 18 parcelas mensais a juros 
efetivos de 10% a.m. Calcular: a) o valor da prestação; b) a soma das amortizações dos três primeiros 
meses; c) a amortização introduzida pela 13
a
 prestação. 
 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 2.000.000,00 
1 1.956.139,56 200.000,00 43.860,44 243.860,44 
2 1.907.893,07 195.613,96 48.246,49 243.860,44 
3 1.854.821,93 190.789,31 53.071,14 243.860,44 
4 1.796.443,68185.482,19 58.378,25 243.860,44 
5 1.732.227,60 179.644,37 64.216,08 243.860,44 
6 1.661.589,92 173.222,76 70.637,68 243.860,44 
7 1.583.888,46 166.158,99 77.701,45 243.860,44 
8 1.498.416,87 158.388,85 85.471,60 243.860,44 
9 1.404.398,11 149.841,69 94.018,76 243.860,44 
10 1.300.977,47 140.439,81 103.420,63 243.860,44 
11 1.187.214,78 130.097,75 113.762,70 243.860,44 
12 1.062.075,81 118.721,48 125.138,97 243.860,44 
13 924.422,95 106.207,58 137.652,86 243.860,44 
14 773.004,80 92.442,29 151.418,15 243.860,44 
15 606.444,83 77.300,48 166.559,96 243.860,44 
16 423.228,87 60.644,48 183.215,96 243.860,44 
17 221.691,31 42.322,89 201.537,56 243.860,44 
18 0,00 22.169,13 221.691,31 243.860,44 
 
Dados: 
Valor do empréstimo = $2.000.000 
Taxa efetiva (i) = 10% a.m. 
Prazo = 18 meses 
 
Respostas: 
a) valor da prestação = 243.860,44 
b) soma das amortizações dos três primeiros meses 
 =43.860,44 + 48.246,49 + 53.071,14= $145.178,07 
c) amortização da 13
o
 prestação = 137.652,86 
 
5. Um empréstimo de $2.000.000 será saldado pela Tabela Price em dez parcelas semestrais a juros 
efetivos de 9% a.s. Calcular o valor do saldo devedor do empréstimo logo após a terceira prestação. 
semestre Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 2.000.000,00 
1 1.868.359,82 180.000,00 131.640,18 311.640,18 
2 1.724.872,02 168.152,38 143.487,80 311.640,18 
3 1.568.470,33 155.238,48 156.401,70 311.640,18 
4 1.397.992,48 141.162,33 170.477,85 311.640,18 
5 1.212.171,62 125.819,32 185.820,86 311.640,18 
6 1.009.626,89 109.095,45 202.544,73 311.640,18 
7 788.853,12 90.866,42 220.773,76 311.640,18 
8 548.209,73 70.996,78 240.643,40 311.640,18 
9 285.908,42 49.338,88 262.301,30 311.640,18 
10 0,00 25.731,76 285.908,42 311.640,18 
Dados: 
Valor do empréstimo = $2.000.000 
Taxa efetiva (i) = 9% a.s. 
Prazo = 10 semestres 
 
 96 
Respostas: 
a) saldo devedor ao final do terceiro semestre = $1.568.470,33 
 
6. Um financiamento de $10.000 será pago pela Tabela Price em cinco parcelas mensais a juros 
nominais de 120% a.a., capitalizados mensalmente. Calcular: a) a amortização do quarto mês; b) a soma 
dos juros pagos no segundo e terceiro
 
mês; c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira
 
prestação. 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 10.000,00 
1 8.362,03 1.000,00 1.637,97 2.637,97 
2 6.560,25 836,20 1.801,77 2.637,97 
3 4.578,30 656,03 1.981,95 2.637,97 
4 2.398,16 457,83 2.180,14 2.637,97 
5 0,00 239,82 2.398,16 2.637,97 
Dados: 
Valor do empréstimo = $10.000 
Taxa nominal (j) = 120% a.a. 
Freqüência das capitalizações da taxa nominal (k) = 12(mensalmente) 
Taxa mensal efetiva= j/k= 120%/12= 10% a.m. 
Prazo = 5meses 
 
Respostas: 
a) a amortização do quarto mês= $2.180,14 
b) a soma dos juros pagos no segundo e terceiro
 
mês = 836,20 + 656,03 = $1.429,23 
c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira
 
prestação= $4.578,30 
 
7. Um financiamento de $500.000 será pago pela Tabela Price em cinco parcelas mensais a juros 
efetivos de 4% a.m. Calcular: a) a amortização do quarto mês; b) a soma dos juros pagos no segundo e 
terceiro
 
mês; c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira
 
prestação. 
 
 
 
 
TABELA PRICE 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 500.000,00 
1 407.686,44 20.000,00 92.313,56 112.313,56 
2 311.680,34 16.307,46 96.006,10 112.313,56 
3 211.834,00 12.467,21 99.846,34 112.313,56 
4 107.993,80 8.473,36 103.840,20 112.313,56 
5 0,00 4.319,75 107.993,80 112.313,56 
 61.567,78 561.567,78 
Dados: 
Valor do empréstimo = $500.000 
Taxa efetiva (i) = 4% a.m. 
Prazo = 5meses 
 
Respostas: 
a) a amortização do quarto mês =$103.840,20 
b) a soma dos juros pagos no segundo e terceiro
 
mês =16.307,46 +12.467,21 = $28.774,67 
c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira
 
prestação = $211.834,00 
 
8. Um financiamento de $500.000 será pago pelo Sistema SAC em cinco parcelas mensais a juros 
efetivos de 4% a.m.. Calcular: a) a amortização do 4
o
 mês; b) a soma dos juros pagos no segundo e 
terceiro meses; c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação. 
 
 97 
TABELA SAC 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 500.000,00 
1 400.000,00 20.000,00 100.000,00 120.000,00 
2 300.000,00 16.000,00 100.000,00 116.000,00 
3 200.000,00 12.000,00 100.000,00 112.000,00 
4 100.000,00 8.000,00 100.000,00 108.000,00 
5 0,00 4.000,00 100.000,00 104.000,00 
 60.000,00 560.000,00 
 
Dados: 
Valor do empréstimo = $500.000 
Taxa efetiva (i) = 4% a.m. 
Prazo = 5meses 
 
Respostas: 
a) a amortização do quarto mês =$100.000,00 
b) a soma dos juros pagos no segundo e terceiro
 
mês =16.000,00+12.000,00= $28.000,00 
c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira
 
prestação = $200.000,00 
 
9 Um financiamento de $500.000 será pago pelo Sistema Misto (Sacre) em cinco parcelas mensais a 
juros efetivos de 4% a.m.. Calcular: a) a amortização do quarto mês; b)a soma dos juros pagos no 
segundo e terceiro
 
mês; c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira
 
 prestação; d) o valor da 
prestação do quarto mês; e) a soma de todas as prestações pagas; f) a soma de todos os juros pagos. 
 
Dados: 
Valor do empréstimo = $500.000 
Taxa efetiva (i) = 4% a.m. 
Prazo = 5meses 
 
Respostas: 
Na tabela SACRE, os valores correspondem à média aritmética dos valores na Tabela Price e SAC. 
Logo, calculando essas médias com os valores calculados nos exercício 7 e 8, temos : 
 
 
a) a amortização do quarto mês =($100.000,00 +$103.840,20)/2 = $101.920,10 
b) a soma dos juros pagos no segundo e terceiro
 
mês =($28.000,00 + $28.774,67)/2 = $28.387,34 
c) o saldo devedor logo após o pagamento da terceira
 
prestação 
 = ($200.000,00 + $211.834,00)/2= $205.917 
d) o valor da prestação do quarto mês= ($112.313,56+ $108.000,00)/2 = $110.156,78 
e) a soma de todas as prestações pagas =($561.567,78 + $560.000,00)/2 = $560.783,89 
f) a soma de todos os juros pagos= ($61.567,78 + $60.000,00)/2 = $60.783,89 
 
10. Um capital de $400.000 será pago de acordo com o Sistema Americano em 15 meses a juros 
efetivos de 8% a.t. Os juros serão pagos periodicamente e será constituído um fundo de amortização do 
empréstimo (Sinking Fund) efetuando depósitos trimestrais remunerados à taxa efetiva de 6% a.t. 
Calcular: a) a quota trimestral do fundo de amortização do empréstimo; b) o total de juros pagos; c) o 
desencaixe periódico; d) o valor do fundo de amortização do empréstimo no fim do quarto trimestre; e) 
o custo efetivo do financiamento (taxa interna de retorno). 
 
 
Mês 
(n) 
Juros pagos 
(J=i´P) 
Quota do fundo de 
amortização 
(QFA) 
Desencaixe 
total 
(D=J+QFA) 
Saldo 
devedor 
 do 
empréstimo 
Valor do 
sinking 
fund 
1 400.000,00 fator 
n i%
s
 
2 400.000,00 
 
 98 
3 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 75.216,07 
4 400.000,00 
5 400.000,00 
6 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 146.174,63 2,06000 
7 400.000,00 
8 400.000,00 
9 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 225.903,67 3,18360 
10 400.000,00 
11 400.000,00 
12 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 310.416,45 4,37462 
13 400.000,00 
14 400.000,00 
15 32.000,00 70.958,56 102.958,56 400.000,00 400.000,00 5,63709 
 
 
 
Dados: 
Valor do empréstimo = $400.000 
Taxa efetiva (i) = 8% a.t 
Taxa efetiva do fundo (is) = 6% a.t. 
Prazo= 15 meses 
 
Respostas: 
a) a quota trimestral do fundo de amortização do empréstimo = $70.958,56 
b) o total de juros pagos = $32.000 x 5 =$160.000 
c) o desencaixe periódico = $102.958,56 
d) o valor do fundo de amortização do empréstimo no fim do quarto trimestre= $310.416,45 
e) o custo efetivo do financiamento (taxa interna de retorno): 
TIR: 
 +400.000 - 102.958,56/(1+TIR) - 102.958,56/(1+TIR)
2
 -.........-102.958,56/(1+TIR)
5 
= 0 
 
== TIR=9,04555% a.t. 
 
11. Um empréstimo de $400.000 contratado à taxa efetiva de 16% a.a. será pago em 12 parcelas 
mensais postecipadas de acordo com o Sistema Americano. Elaborar as planilhas sabendo-se que o 
fundo de amortização do empréstimo (Sinking Fund) terá depósitos mensais remunerados à taxa efetiva 
de 12% a.a., e calcular a taxa interna de retorno (custo efetivo do financiamento). 
Dados: 
Valor do empréstimo = $400.000 
Taxa efetiva (i) = 16% a.a. (1,244514% a.m.) 
Taxa efetiva do fundo (is) = 12% a.a. (0,948879% a.m.) 
Prazo = 12 meses 
 
 
Mês 
(n) 
Juros pagos 
(J=i´P) 
Quota do fundo 
de amortização 
(QFA) 
Desencaixe total 
(D=J+QFA) 
Saldo devedor do 
empréstimo 
Valor do sinking 
fund 
fator 
n i%
s
 
0 - - - - - 
1 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 31.929,43 1,00000 
2 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 63.558,74 2,00949 
3 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 95.791,15 3,02856 
4 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 128.329,40 4,05729 
5 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 161.176,40 5,09579 
6 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 194.335,08 6,14415 
 99 
7 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 227.808,40 7,20245 
8 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 261.599,33 8,27079 
9 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 295.710,90 9,34927 
10 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 330.146,15 10,43798 
11 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 364.908,15 11,53703 
12 4.978,06 31.629,31 36.607,36 400.000,00 400.000,00 12,64650 
 
Respostas: 
TIR: 
 +400.000 - 36.607,39/(1+TIR) - 36.607,39/(1+TIR)
2
 -.........-36.607,39/(1+TIR)
12 
= 0 
 
== TIR=1,171691% a.m. (19,16% a.a.) 
 
12. Um empréstimo de $100.000 foi contratado a juros efetivos de 24% a.a. para ser pago em seis 
parcelas mensais postecipadas de acordo com o Sistema Americano. O fundo de amortização do 
empréstimo terá depósitos mensais remunerados a juros efetivos de 20% a.a. Calcular: a) o valor dos 
juros mensais; b) as quotas do fundo de amortização; c) os desencaixes; d) o saldo do fundo de 
amortização após o sexto desencaixe; e) os juros acumulados após o sexto desencaixe; f) os desencaixes 
acumulados após o sexto termo; g) a taxa interna de retorno (custo efetivo do financiamento). 
 
mês Juros pagos Quota do fundo 
de amortização 
Desencaixe Saldo devedor 
do 
empréstimo 
Valor do 
sinking fund 
fator 
n i%
s
 
(n (J=i´P) (QFA) total 
 (D=J+QFA) 
0 - - - - - 
1 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 16.285,64 
2 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 35.288,17 2,20000 
3 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 58.385,88 3,64000 
4 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 86.103,14 5,36800 
5 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 119.363,84 7,44160 
6 1.808,76 16.040,08 17.848,84 100.000,00 100.000,00 6,23438 
 107.093,02 
Dados: 
Valor do empréstimo = $100.000 
Taxa efetiva (i) = 24% a.a. (1,8088% a.m.) 
Taxa efetiva do fundo (is) = 20% a.a. (1,53309% a.m.) 
Prazo = 6 meses 
 
Respostas: 
a) o valor dos juros mensais=1.808,76 
b) as quotas do fundo de amortização=16.040,08 
c) os desencaixes=17.848,84 
d) o saldo do fundo de amortização após o sexto desencaixe=100.000 
e) os juros acumulados após o sexto desencaixe=1.808,76 x 6 =10.852,56 
f) os desencaixes acumulados após o sexto termo=107.093,02 
g) a taxa interna de retorno (custo efetivo do financiamento). 
TIR: 
+100.000 - 17.848,84/(1+TIR) - 17.848,84/(1+TIR)
2
 -.........-17.848,84/(1+TIR)
6 
= 0 
 
== TIR=1,993790% a.m. (26,7316% a.a.) 
 
13. Uma empresa contratou a juros efetivos de 5% a.m., um financiamento de $600.000 que será 
amortizado por meio de seis prestações mensais postecipadas. Pede-se: a) no Sistema de Amortizações 
Constantes (SAC) determinar a soma dos valores das prestações dos três primeiros meses; b) na Tabela 
Price, calcular a soma dos valores das amortizações do primeiro e segundo mês; c) no Sistema Misto de 
 100 
Amortizações (Sacre), calcular o valor da prestação do segundo mês; d) na Tabela Price, calcular a 
soma dos valores das seis prestações 
 
 SAC 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 600.000,00 
1 500.000,00 30.000,00 100.000,00 130.000,00 
2 400.000,00 25.000,00 100.000,00 125.000,00 
3 300.000,00 20.000,00 100.000,00 120.000,00 
4 200.000,00 15.000,00 100.000,00 115.000,00 
5 100.000,00 10.000,00 100.000,00 110.000,00 
6 0,00 5.000,00 100.000,00 105.000,00 
 
 PRICE 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 600.000,00 
1 511.789,52 30.000,00 88.210,48 118.210,48 
2 419.168,51 25.589,48 92.621,00 118.210,48 
3 321.916,46 20.958,43 97.252,06 118.210,48 
4 219.801,80 16.095,82 102.114,66 118.210,48 
5 112.581,41 10.990,09 107.220,39 118.210,48 
6 0,00 5.629,07 112.581,41 118.210,48 
 SOMA: 709.262,88 
 SACRE 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 600.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 505.894,76 30.000,00 94.105,24 124.105,24 
2 409.584,26 25.294,74 96.310,50 121.605,24 
3 310.958,23 20.479,21 98.626,03 119.105,24 
4 209.900,90 15.547,91 101.057,33 116.605,24 
5 106.290,71 10.495,05 103.610,20 114.105,24 
6 0,00 5.314,54 106.290,71 111.605,24 
Dados: 
Valor do empréstimo = $600.000 
Taxa efetiva (i) = 5% a.m. 
Prazo = 6meses 
 
Respostas: 
a) no SAC a soma das prestações dos três primeiros meses 
= $130.000 +125.000 + 120.000 = $375.000 
b) na Tabela Price, a soma das amortizações do primeiro e segundo mês 
=$88.210,48+$92.621,00= $180.831 
c) no Sacre, o valor da prestação do segundo mês= $121.605,24 
d) na Tabela Price, a soma dos valores das seis prestações= $709.262,88 
 
14. Uma empresa contratou, a juros efetivos de 5% a.m., um financiamento de $6.000 que será 
amortizado por meio de 6 prestações mensais postecipadas. No Sistema de Amortizações Constantes 
(SAC), determinar a soma dos valores das prestações dos três primeiros meses e, na Tabela Price, 
calcular a soma dos valores das amortizações do primeiro e segundo meses. 
 
 SAC 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 6.000,00 
1 5.000,00 300,00 1.000,00 1.300,00 
2 4.000,00 250,00 1.000,00 1.250,00 
 101 
3 3.000,00 200,00 1.000,00 1.200,00 
4 2.000,00 150,00 1.000,00 1.150,00 
5 1.000,00 100,00 1.000,00 1.100,00 
6 0,00 50,00 1.000,00 1.050,00 
 
 PRICE 
mês Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 6.000,00 
1 5.117,90 300,00 882,10 1.182,10 
2 4.191,69 255,89 926,21 1.182,10 
3 3.219,16 209,58 972,52 1.182,10 
4 2.198,02 160,96 1.021,15 1.182,10 
5 1.125,81 109,90 1.072,20 1.182,10 
6 0,00 56,29 1.125,81 1.182,10 
 
Dados: 
Valor do empréstimo = $6.000 
Taxa efetiva (i) = 5% a.m. 
Prazo = 6meses 
 
Respostas: 
 No SAC a soma das prestações dos três primeiros meses=$1300 +$1.250 + $1.200 = $3.750 
 Na tabela Price, a soma das amortizações do primeiro e segundo meses 
=$ 882,10 + $926,21=$1.808,31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 102CAPÍTULO 9 
Exercícios propostos 
1. Um financiamento de $12.000 foi contratado sob as seguintes condições: carência de três trimestres 
(durante esse período serão pagos unicamente os juros); juros de 15% a.t.; IOF de 2% sobre o principal 
(pago no ato); comissão de abertura de crédito de 1% sobre o financiamento (paga no ato); oito 
prestações antecipadas trimestrais segundo a Tabela Price; variação do IGPM/FGV de 3% a.t. Pede-se: 
construir a planilha de pagamentos sem considerar atualização monetária; calcular o custo efetivo real 
do financiamento. 
Resolução: 
Esquema de pagamento e fluxo de caixa: 
 
Trimestre Saldo 
devedor 
Juros Amorti zação Comissão IOF Prestação Fluxo de caixa 
0 12.000,00 - - 120 240 360,00 11.640,00 
1 12.000,00 1.800,00 - 1.800,00 (1.800,00) 
2 12.000,00 1.800,00 - 1.800,00 (1.800,00) 
3 11.125,80 1.800,00 874,20 2.674,20 (2.674,20) 
4 10.120,47 1.668,87 1.005,33 2.674,20 (2.674,20) 
5 8.964,34 1.518,07 1.156,13 2.674,20 (2.674,20) 
6 7.634,79 1.344,65 1.329,55 2.674,20 (2.674,20) 
7 6.105,81 1.145,22 1.528,98 2.674,20 (2.674,20) 
8 4.347,48 915,87 1.728,33 2.674,20 (2.674,20) 
9 2.323,40 652,12 2.022,08 2.674,20 (2.674,20) 
10 - 348,81 2.325,40 2.674,20 (2.674,20) 
 
8 15%
2 3 4 10
$12.000 $12.000
Prestação $2.674,20
4,487322
1.800 1.800 2.674,20 2.674,20 2.674,20
11.640- ....... 0 TIR 15,7454% a.t.
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)
a
  
       
    
O custo efetivo do financiamento é de 15,7454% a.t. Esse valor é encontrado calculando a taxa interna 
de retorno do fluxo de caixa. As prestações são antecipadas, ou seja, a primeira é paga imediatamente 
após vencer a carência. 
 
2. No exercício 1, se durante o período de carência os juros fossem capitalizados e incorporados ao 
principal, determinar o saldo devedor ao fim da carência, sem considerar atualização monetária. 
Resolução: 
Esquema de pagamento e fluxo de caixa: 
 
Trimestre Saldo dev. Juros Amorti zação Comissã
o 
IOF Prestação Fluxo de caixa 
0 12.000,00 - - 120 240 360,00 11.640,00 
1 13.800,00 - 0 
2 15.870,00 - 0 
3 14.713,87 2.380,50 1.156,13 3.536,63 -3.536,63 
4 13.384,32 2.207,08 1.329,55 3.536,63 -3.536,63 
5 11.855,34 2.007,65 1.528,98 3.536,63 -3.536,63 
6 10.097,00 1.778,30 1.758,33 3.536,63 -3.536,63 
7 8.074,92 1.514,55 2.022,08 3.536,63 -3.536,63 
8 5.749,53 1.211,24 2.325,39 3.536,63 -3.536,63 
9 3.075,33 862,43 2.674,20 3.536,63 -3.536,63 
10 0,00 461,30 3.075,33 3.536,63 -3.536,63 
 
a.t. %24,52TIR 0
TIR)(1
3.536,63
.......
TIR)(1
3.536,63
TIR)(1
3.536,63
TIR)(1
3.536,63
 11.640
3.536,63$
4,487322
15.870,0015.870,00
Prestação
10543
15% 8










a
 
 103 
Considerando prestações antecipadas, ou seja, a última paga logo ao término da carência, o saldo 
devedor ao término da carência é de $14.713,87. 
 
3. No exercício 1, calcular o valor das prestações admitindo que sejam atualizadas monetariamente 
segundo as variações do IGP-M/FGV. 
Resolução: 
 
Trimestre Prestação Indexador Prestação atualizada 
0 360 1,000000 360,00 
1 1.800,00 1,030000 1854,00 
2 1.800,00 1,060900 1909,62 
3 2.674,20 1,092727 2922,17 
4 2.674,20 1,125509 3009,84 
5 2.674,20 1,159274 3100,13 
6 2.674,20 1,194052 3193,13 
7 2.674,20 1,229874 3288,93 
8 2.674,20 1,266770 3387,60 
9 2.674,20 1,304773 3489,22 
10 2.674,20 1,343916 3593,90 
 
 
4. No exercício 1, se durante o período de carência os juros fossem capitalizados e incorporados ao 
principal, determinar: a) o valor das prestações sem atualização monetária; b) o valor das prestações 
atualizadas monetariamente segundo as variações do IGPM/FGV. 
Resolução: 
 
Trimestre Prestação 
Sem 
atualização 
Indexador Prestação atualizada 
0 360 1,000000 
360,00 
1 0 1,030000 
0,00 
2 0 1,060900 
0,00 
3 3.536,63 1,092727 
3864,57 
4 3.536,63 1,125509 
3980,51 
5 3.536,63 1,159274 
4099,92 
6 3.536,63 1,194052 
4222,92 
7 3.536,63 1,229874 
4349,61 
8 3.536,63 1,266770 
4480,10 
9 3.536,63 1,304773 
4614,50 
10 3.536,63 1,343916 
4752,93 
 
 
5. No exercício 1, considerando atualização monetária de acordo às variações do IGPM/FGV; calcular 
o custo efetivo aparente do financiamento. 
Resolução: 
 
Trimestre Saldo 
devedor 
Juros Amorti 
zação 
Comissão IOF Prestação Fluxo de 
caixa 
Indexador 
 
Fluxo de 
caixa 
atualizado 
0 12.000,00 - - -120 -240 11.640,00 
1,000000 
11.640,00 
1 12.000,00 -1.800,00 - -1.800,00 
1,030000 
-1.854,00 
2 12.000,00 -1.800,00 - -1.800,00 
1,060900 
-1.909,62 
3 11.125,80 1.800,00 874,20 2.674,20 -2.674,20 
1,092727 
-2.922,17 
 104 
4 10.120,47 1.668,87 1.005,33 2.674,20 -2.674,20 
1,125509 
-3.009,84 
5 8.964,34 1.518,07 1.156,13 2.674,20 -2.674,20 
1,159274 
-3.100,13 
6 7.634,79 1.344,65 1.329,55 2.674,20 -2.674,20 
1,194052 
-3.193,14 
7 6.105,80 1.145,22 1.528,98 2.674,20 -2.674,20 
1,229874 
-3.288,93 
8 4.347,47 915,87 1.758,33 2.674,20 -2.674,20 
1,266770 
-3.387,60 
9 2.325,39 652,12 2.022,08 2.674,20 -2.674,20 
1,304773 
-3.489,23 
10 0,00 348,81 2.325,39 2.674,20 -2.674,20 
1,343916 
-3.593,90 
 TIR : 19,22% 
A TIR do fluxo de caixa (última coluna) é de 19,22% a.t. Representa o custo efetivo aparente do 
financiamento 
 
6. No exercício 1, considerando atualização monetária de acordo às variações do IGPM/FGV, 
determinar o valor do saldo devedor do financiamento ao fim do sexto trimestre. 
Resolução: 
 
Trimestre Saldo devedor Indexador Saldo devedor atualizado 
0 12.000,00 
1,000000 
12.000,00 
1 12.000,00 
1,030000 
12.360,00 
2 12.000,00 
1,060900 
12.730,80 
3 11.125,80 
1,092727 
12.157,46 
4 10.120,47 
1,125509 
11.390,68 
5 8.964,34 
1,159274 
10.392,12 
6 7.634,79 
1,194052 
9.116,33 
7 6.105,80 
1,229874 
7.509,37 
8 4.347,47 
1,266770 
5.507,25 
9 2.325,39 
1,304773 
3.034,11 
10 0,00 
1,343916 
0,00 
 
7. Considerando que nos últimos quatro meses os impostos arrecadados por uma prefeitura e o IGP-DI 
evoluíram de acordo com a tabela abaixo, estimar o crescimento ou decréscimo real dos impostos no 
período considerado. 
 
Mês Imposto nominal valor do 
IGP-di 
Setembro $40.000,00 200,00 
Outubro $48.000,00 236,00 
Novembro $59.040,00 287,92 
Dezembro $67.896,00 348,38 
Resolução: 
Mês Imposto 
nominal 
(1) 
valor do 
IGP-di 
(2) 
variação do 
IGP-di 
(3) 
Deflator 
(4) 
Imposto deflacionado 
(5)=(1)/ (4) 
Setembro 40.000 200,00 1,00000 40.000,00 
Outubro 48.000 236,00 18,00% 1,18000 40.677,97 
Novembro 59.040 287,92 22,00% 1,43960 41.011,39 
Dezembro 67.896 348,38 21,00% 1,74190 38.978,13 
 
 
Por meio dos valores deflacionados podemos calcular a variação real dos impostos: 
 
Set./Out.= 1,6949% Out./Nov.= 0,8197% Nov./Dez= -4,9578% Set./Dez.= -2,5547% 
 
 105 
8. A quantia de $81.600 foi financiada a juros de 5% a.m. e deverá ser paga em quatro prestações 
mensais. Pela Tabela Price um imposto de 2% sobre o financiamento foi pago no ato do contrato. 
Considerando uma variação constante de 10% a.m. para a taxa de inflação, construir a tabela de 
pagamentos, mostrando as prestações em valores atualizados monetariamente. 
 
Mês Saldo devedor Juros Amorti zação Imposto Prestação InflatorPrestação atualizada 
0 81.600,00 - - -1.632 1,0000 
1 62.667,83 4.080,00 18.932,17 23.012,17 1,1000 25.313,38 
2 42.789,06 3.133,39 19.878,77 23.012,17 1,2100 27.844,72 
3 21.916,35 2.139,45 20.872,71 23.012,17 1,3310 30.629,19 
4 0,00 1.095,82 21.916,35 23.012,17 1,4641 33.692,11 
 
9. No exercício N
o
.8 , estimar o custo efetivo real e aparente (nominal) do financiamento. 
 
Mês Saldo 
devedor 
Juros Amorti 
zação 
Imposto Fluxo de caixa 
não 
atualizado 
Inflator Fluxo de caixa 
atualizado 
0 81.600,00 - - -1632 -79.968,00 1,0000 -79.968,00 
1 62.667,83 4.080,00 18.932,17 23.012,17 1,1000 25.313,38 
2 42.789,06 3.133,39 19.878,77 23.012,17 1,2100 27.844,72 
3 21.916,35 2.139,45 20.872,71 23.012,17 1,3310 30.629,19 
4 0,00 1.095,82 21.916,35 23.012,17 1,4641 33.692,11 
 TIR: 5,88% TIR: 16,46% 
 
 Custo efetivo aparente: 5,88% 
 Custo efetivo real: 16,46% 
 
10. Calcular a taxa de juros mensal aparente (nominal) que permita a uma financeira auferir juros reais 
de 4% a.m., considerando as seguintes hipóteses de inflação: 
a) 12% a.m. 
Dados: I=12% a.m., ir= 4% a.m, i=?, 
ri (1 i ) (1 I)-1 = i (1,04) (1,12)-1= 16,48% a.m.      
 
 
 b) 420% a.a 
Dados: I=420% a.a., ir= 4% a.m, i=?, 
1/12
ri (1 i ) (1 I)-1 = i (1,04) (5,20) -1= 19,32% a.m.      
 
 
 c) 200% a.s. 
Dados: I=200% a.s., ir= 4% a.m, i=?, 
1/6
ri (1 i ) (1 I)-1 = i (1,04) (3,00) -1= 24,90% a.m.      
 
 
 
11. Uma aplicação de $430.000 rendeu $22.500 no prazo de nove meses. Se a taxa de inflação foi 
constante e igual a 3,8% a.m., qual a rentabilidade mensal aparente e real do investimento? 
Dados: P=$430.000, n = 9 meses, I=3,8% a.m., rendimento aparente=$22.500, ir=?, i=? 
 
 
1/9
Rentabilidade aparente:
Rendimento aparente $22.500
 i 5,2326% em 9 meses
Aplicação $430.000
ao mês: (1,052326) 1 0,5683% a.m.
  
 
 
 
 106 
r r
Rentabilidade real:
(1 i) 1,005683
 (1 i) (1 i ) (1 I) i 1 1 0,03113 3,1134% a.m.
(1 I) 1,038

             

 
 
12. Um equipamento é vendido por $250.000 à vista ou em 18 prestações mensais iguais com 
atualização monetária prefixada. Calcular o valor unitário das prestações, considerando juros reais de 
9% a.a. e uma variação projetada de 96% a.a. para o indexador delas. 
Dados: P=$250.000, n = 18 meses, I=96% a.a., ir=9% a.a., R=? 
 
1/12 1/12
r
Taxa de juros nominal (aparente) mensal:
i (1 i ) (1 I)-1 i (1,09) (1,96) -1 6,5304% a.m.       
 
 
 
 
 
 
18
n 18
× ,
Valor da prestação mensal:
P $250.000 $250.000
R $24.017,31 
10,409161+i 1 1,065304 1
 
1+i i 1,065304 0 065304
   
    
   
   
   
n
 
13. Uma aplicação de $132.000 obteve juros efetivos de 2% a.m. mais atualização monetária de acordo 
as variações do IGPM/FGV. Se a variação anual do índice foi de 300% a.a. (taxa mensal constante ao 
longo do período), qual será o montante recebido pelo investidor após 11 meses de aplicação? 
Dados: P=$132.000, n = 11 meses, I=300% a.a., ir=2% a.m., S=? 
1/12
r
n 11
Taxa de juros nominal (aparente) mensal:
 i (1 i ) (1 I)-1 i (1,02) (4,00) -1 14,4911% a.m.
Montante ao término do prazo:
 S=P(1+i) $132.000(1,144911) $584.876,46
       
 
 
 
14. João tomou um financiamento de $140.000 a juros de 5% a.m. mais atualização monetária pela 
inflação do período. Pretende pagar 30% da dívida daqui a 30 dias, e o saldo três meses depois. Qual 
será o valor desse segundo pagamento considerando uma inflação de 240% a.a. (taxa mensal constante 
ao longo do período)? 
Dados: P=$140.000, I=240% a.a., ir=5% a.m., primeiro pagamento =30%, segundo pagamento (q) =? 
1/12
r
4
Taxa de juros nominal (aparente) mensal:
 i (1 i ) (1 I)-1 i (1,05) (3,40) -1 16,2731% a.m.
Valor do segundo pagamento:
 q=0,70 $140.000 (1,162731) $179.119,52
       
  
 
 
15. Um financiamento de $180.000 será pago em dez prestações mensais fixas de $29.294,16 cada. 
Considerando uma inflação de 7% a.m., calcular a taxa de juros real paga pelo financiamento. 
Dados: P=$180.000, n = 10 meses, R=$29.294,16, I=7% a.m., ir=? 
1/12 1/12
r
Taxa de juros nominal (aparente) mensal:
i (1 i ) (1 I)-1 i (1,09) (1,96) -1 6,5304% a.m.       
 
 
 107 
 
 
n
×
10 i% 10 i%
Valor da prestação mensal:
1+i 1
P=R 
1+i i
$180.000 $29.294,16 6,14457
Podemos destacar i (taxa de juros apoarente) usando a fórmula de Baily-Lenzi (capítulo 5):
 h
a a
 
 
 
 
   
n
 
 
2 2
n+1 10+1n R 10 29.294,16
 = 1 1 0,092587176
Financiamento efetivo 180.000
12 n-1 h 12 9 0,092587176
 i=h 0,092587176 10% a.m.
12-2 n-1 h 12 2 9 0,092587176
Taxa de real:
 
   
      
   
     
     
     
r r
(1+i) (1,10)
 i -1 i -1= 2,8% a.m 
(1 I) (1,07)
  

 
 
16. Uma pessoa aplicou $200.000 em um plano de capitalização. Após oito meses resgatou o 
investimento cujo saldo bruto nessa época foi de $280.000. Se o banco cobra taxas administrativas de 
4% sobre o valor resgatado, e foi pago um imposto de 3,5% sobre o rendimento da aplicação, calcular a 
rentabilidade efetiva aparente e real da aplicação se a inflação no período foi de 26%. 
Dados: P=$200.000, n=8 meses, S=$280.000, tsb= 4%, imposto = 3,5%, I=26%, i=?, ir=? 
 
Rendimento líquido da aplicação = Montante bruto - tarifa bancária - imposto
Rendimento líquido da aplicação = $280.000 - 0,04 $280.000 - 0,035 ($280.000-$200.000)-$200.000 
Rendimento líquido da apl
 
r
r r
icação = $66.000
$66.000
Taxa de rendimento aparente (i) no período= 33%
$200.000
 
Taxa de rendimento real (i ) no período:
1+i 1,33
 i = -1 i -1= 5,56% no período
1+i 1,26

 
 
17. Uma empresa tomou emprestado $800.000 pelo prazo de nove meses a juros efetivos de 15% a.a 
mais atualização monetária definida pelas variações do IGPM. Correm por conta da empresa o imposto 
sobre operações financeiras (IOF) de 0,4%, e uma taxa de abertura de crédito de 4% sobre o valor do 
empréstimo (pagos no ato da liberação do empréstimo). Se o empréstimo fosse liquidado por meio de 
um único pagamento ao final do prazo, calcular o custo efetivo aparente e real do financiamento, 
considerando uma variação de 100% no período para o IGPM. 
Dados: P=$800.000, n=9 meses, IOF=0,4%, tac= 4%, I=100%, ir=15% a.a., ir=? 
 
 108 
Valor líquido liberado = Empréstimo - tarifa de abertura de crédito - imposto
0,4
 = $800.000 - 0,04 $800.000 - $800.000
100
 = $764.
 
1/12 1/9
r
n 9
800
Taxa de juros nominal (aparente) ao mês:
 i (1 i ) (1 I)-1 i (1,15) (2,0) -1 9,2713% a.m
Montante ao término do prazo:
 S=P(1+i) $800.000(1,092713) $1.776.819,71
 
Custo ef
       
 
1/9
etivo aparente do empréstimo:
Montante $1.776.819,71
 i = -1 i -1= 132,32% no período
Valor líquido liberado $764.800
 ao mês: (2,3232) 1 9,8189% a.m.
Custo efetivo real do empréstimo:
 
 
 
r
1/9
1+i 2,3232
 i -1= -1=16,16 no período 
1+I 2,0000
 ao mês: (1,1616) 1 1,6786% a.m.

 109 
CAPÍTULO 10 
Exercícios propostos 
1. Calcular a TIR dos seguintes fluxos de caixa: 
 
a) b) c) d) 
 ano fluxo de caixa ano fluxo de caixa ano fluxo de caixa ano fluxo de caixa 
 0 - $100 0 $100 0 $400 0 -$200 
 1 $700 1 -$200 1 $400 1 $700 
 2 -$1.200 2 $150 2 -$1.000 2 -$600 
 
Resolução: 
a) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação: 
 
01.200X700100X
:(-1)por ndomultiplica e TIR)(1X fazendo
01.200-TIR)(1700TIR)(1100
0
)TIR1(
200.1
TIR)(1
700
100-
2
2
2








 
 
resolvendo a equação quadrática do tipo aX
2 
+ bX + c =0 : 
 
 
%200 131XTIR 
 %300141XTIR :Assim
3.X e 4X :Logo
 
200
100700
0012
)200.1(100)(4(-700))00(-7-
 
2a
4acbb-
=X
22









 
b) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação: 
 
2
2
2
200 150
100- 0
(1 TIR) (1 TIR)
100(1 TIR) 200(1 TIR)+150 0
fazendo X (1 TIR) 
100X 200X 150 0
 
 
   
 
  
 
 
resolvendo a equação quadrática do tipo aX
2 
+ bX + c =0 : 
5,01XTIR :Assim
5,01X :Logo
 5,01
0012
)150(100)(4(-200))00(-2-
 
2a
4acbb-
=X
22







 
 A TIR encontrada são números imaginários, sem nenhum sentido na análise econômica de 
alternativas de investimento. 
c) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação: 
 
2
2
2
400 1000
400+ 0
(1 TIR) (1 TIR)
400(1 TIR) 400(1 TIR)-1000 0
fazendo X (1 TIR) 
400X 400X-1000 0
 
 
   
 
 
 
 
resolvendo a equação quadrática do tipo aX
2 
+ bX + c =0 : 
 
 110 
 22 -(400) (400) 4 (400) ( 1000)-b b 4ac 400 1326,65
X= 
2a 2 400 800
       
 

 
logo: X 1,1583 e X 2,1583.
Assim: TIR X 1 1,1583 1 15,83%
  
    
 
O valor negativo é descartado. 
 
d) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação: 
 
2
2
2
700 600
-200 0
(1 TIR) (1 TIR)
200(1 TIR) 700(1 TIR)-600 0
fazendo X (1 TIR) e multiplicando por (-1):
200X 700X 600 0
  
 
    
 
  
 
 
Resolvendo a equação quadrática do tipo aX
2 
+ bX + c =0 : 
 
 
22 -(-700) (-700) 4 (200) (600)-b b 4ac 700 100
X= 
2a 2 200 400
Logo: X 2 e X 1,5.
Assim: TIR X 1 2 1 100% 
 TIR X 1 1,5 1 50%
     
 

 
    
    
 
 
2. Calcular a TIR de um projeto que requer um investimento inicial de $2.000.000 e produz um fluxo 
de caixa de $240.000/ano durante 15 anos. 
Resolução: 
Basicamente, trata-se de resolver a TIR na seguinte expressão: 
 
0
TIR)(1
$240.000
.........
TIR)(1
$240.000
TIR)(1
$240.000
000.000.2$VPL 
152







 
 Interpolação linear: 
 Taxa aproximada: 
Taxa VPL 
 TIR( i*) = 8% + 
  %4418,8%8%9
)(65.434,78-54.274,89-
89,274.54





 
 
8% -54.274,89 
9% +65.434,78 
 
 
3. A RIOLUX instalou um sistema de geração de energia elétrica a um custo de $30 milhões. Os custos 
operacionais do equipamento são de $120.000/mês e sua vida é estimada em 15 anos. Considerando 
que a empresa deseja uma rentabilidade mínima de 12% a.m., determinar o custo mensal que deve ser 
repassado aos usuários do sistema de modo que cubra os gastos operacionais e remunere 
adequadamente o capital empregado. 
Resolução: 
Considerando uma perpetuidade: 
180
180 12% 180
120.000
VPL=30.000.000+ =30.000.000+1.000.000=31.000.000
0,12
31.000.000
CAE 3.720.000
8,3333
(1,12) 1 723.176.125,3
8,3333
86.781.135,15(1,12) 0,12
a
 
 
   
  
 
 111 
4. Uma empresa industrial estuda a viabilidade econômica de um projeto de investimento orçado em R$ 
981.815,00. Considerando que o projeto tem duração prevista de 20 anos e o estudo de viabilidade 
econômico-financeiro projetou fluxos de caixa líquidos de R$ 100.000 por ano, calcular a TIR do 
projeto. 
Resolução: 
Podemos encontrar a TIR deste problema resolvendo a seguinte equação: 
2 20
100.000 100.000 100.000
981.815 0 8%
(1 ) (1 ) (1 )
TIR
TIR TIR TIR
       
  
 
 
5. Considere as seguintes alternativas de investimento mutuamente exclusivas: 
 Fluxos de Caixa 
 
 
Considerando um custo do capital de 10% a.a. pede-se: a) a TIR das alternativas; b) a TIR do fluxo 
incremental A - B; c) o VPL das alternativas e do fluxo incremental; d) identificar pela análise do fluxo 
incremental qual é a alternativa preferível. 
Resolução: 
a) Calculo da TIR; 
2
25 125
100 + 0 25%
(1+TIR) (1+TIR)
TIR    
 
 
b) Calculo da TIR do fluxo incremental; 
2
70 80
0 + =0¨ 14,285%
(1+TIR) (1+TIR)
A BTIR    
 
 
c) Calculo dos VPL’s; A 2
B 2
incremental 2
25 125
PL =-100+ + =$26,03
(1,1) (1,1)
95 45
VPL =-100+ + =$23,55
(1,1) (1,1)
70 80
VPL =0- + =$2,479
(1,1) (1,1)
V
 
d) Como TIRA-B > 10%  A é preferível. 
 
6. Considere as seguintes alternativas mutuamente exclusivas: 
 Fluxo de Caixa 
ALTERNATIVAS ano 0 ano1 ano 2 
alternativa  -$100 $120 $30 
alternativa  -$100 $40 $140 
 
Determinar a taxa de desconto que faz as duas alternativas serem igualmente atrativas para o investidor. 
Resolução: 
2
80 110
0+ - =0 TIR 37,5%
(1+TIR) (1+TIR)
  
 
 
7. Uma empresa estuda a possibilidade de substituir um equipamento. Dispõe de duas alternativas 
mutuamente exclusivas, o equipamento N e o equipamento V. Os fluxos de caixa estimados são os 
seguintes: 
 
ALTERNATIVAS ano 0 ano1 ano 2 
Alternativa A -$100 $25 $125 
Alternativa B -$100 $95 $45 
 112 
Fluxo de Caixa 
ALTERNATIVAS ano 0 ano1 ano 2 
Equipamento N -$100 $1.000 $200 
Equipamento V -$90 $300 $1.400 
 
Considerando um custo do capital de 10% a.a., pede-se identificar qual é a melhor escolha: a) pela 
análise do fluxo incrementa b) pela comparação dos VPLs individuais das alternativas. 
Resolução: 
a)Cálculo do fluxo incremental N-V: 
N-V 2
700 1200
VPL = 10 $ 365,4
(1,1) (1,1)
    
 
Assim, como VPLN-V foi negativo, será melhor escolher o projeto V. 
 
b) Analisando individualmente: 
N 2
1000 200
VPL =-100+ + =$974,38
(1,1) (1,1)
 
V 2
300 1400
VPL =-90+ + =$1.339,75
(1,1) (1,1)
 
Como, VPLV > VPLN , então a melhor alternativa é o equipamento V. 
 
8. Uma empresa estuda a troca de uma máquina velha por uma nova. Com as seguintes informações, 
determinar se a máquina deve ou não ser substituída. 
 
 máquina velha (V) máquina nova (N) 
 
Investimento inicial - $25.000 
Custo operacional $12.000/ano $8.000/ano 
Vida útil 2 anos 6 anos 
custo do capital6% a.a. 6% a.a. 
 
Resolução: 
Como as vidas úteis das alternativas é diferente, usamos o CAE como critério de seleção: 
V
N
6 6%
N V
CAE $12.000
$25.000
CAE 8.000 5.084,18 8.000 13.084,18
Como CAE >CAE melhor manter o equipamento.
a

    

 
 
9. Determinar qual projeto é preferível: 10. Determinar qual projeto é preferível: 
 Projeto X Projeto Y Projeto A Projeto B 
investimento inicial $1.000 $600 investimento inicial $210.000 $360.000 
fluxo de caixa $200/ano $100/ano custo operacional/ano $72.000 $82.000 
vida útil 100 anos 90 anos vida útil 10 anos 12 anos 
custo do capital 10% a.a. 10% a.a. custo do capital 15% a.a. 18% a.a. 
valor residual 0 0 receitas/ano $160.000 $210.000 
 valor residual 0 $50.000 
 
Resolução: 
9. Como as vidas úteis das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção: 
 
 
 113 
x
100
x 100 10% 100
y
Para x considerando o fluxo em perpetuidade:
200
VPL = -1000 + =1000
0,1
1000 (1,1) 1
AE = =$99,60 onde: 10,016
10,016 (1,1) 0,1
Para y considerando o fluxo em perpetuidade:
VPL = - 
a
 
  
  
90
y 90 10% 90
100
600 + =400
0,1
400 (1,1) 1
AE = =$40 onde: 9,998
9,998 (1,1) 0,1
a
 
  
  
 
Conclui-se que o projeto X é melhor 
 
Resolução: 
10. Como as vidas úteis das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção: 
 
A 10
10
A 10 15% 10
B
Para A:
160.000-72.000 160.000-72.000
PL = -210.000+ +.......+ $231.651,64
1,15 (1,15)
231.651,64 (1,15) 1
AE $46.157 onde: 5,018769
5,019 (1,15) 0,15
Para B :
21
VPL = -360.000
V
a

 
    
  

12
12
B 12 18% 12
B A
0.000 82.000 210.000 82.000
...... $260.435,87
1,18 (1,18)
260.435 (1,18) 1
AE $54.325,38 onde: 4,794
4,794 (1,18) 0,18
AE >AE projeto B é melhor.
a
 
  
 
    
  

 
 
11. Qual dos equipamentos A ou B,é mais adequado economicamente? Considerar um custo de 
oportunidade do capital de 10% a.a. 
Equipamento Investimento Custo operacional/ano Vida útil 
A $18.000 $2.860 13 anos 
B $28.000 $1.960 18 anos 
Resolução: 
Como as vidas úteis das alternativas é diferente, usamos o CAE como critério de seleção: 
 
 114 
A 2 13
13
A 13 10% 13
B 2
Para A:
2.860 2.860 2.860
VPL =18.000+ + +.......+ =$38.315,60
1,1 (1,1) (1,1)
$38.315,60 (1,1) 1
AE = =$5.394,05 onde: 7,1033
7,1033 (1,1) 0,1
Para B :
1.960 1.960 1
VPL =28.000+ + +
1,1 (1,1)
C a
 
  
  
18
18
B 18 10% 18
B A
.960
=$44.074,76
(1,1)
$44.074,76 (1,1) 1
CAE = =$5.374 onde: 8,2014
8,2014 (1,1) 0,1
CAE <CAE O projeto B é melhor.
a
 
  
  

 
 
12. Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas, calcular o VPL e a anuidade uniforme 
equivalente. Determinar qual delas representa a melhor escolha econômica. 
 alternativa X alternativa Y 
 investimento inicial $5.000 $8.000 
 fluxo de caixa $1.672/ano $1.594/ano 
 duração 5 anos 10 anos 
 custo do capital 10% a.a. 10% a.a. 
Resolução: 
Como as vidas úteis das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção: 
 
X 2 5
5
X 5 10% 5
Y 2 10
Para X:
1.672 1.672 1.672
VPL = -5.000+ + $1.338,20
1,1 (1,1) (1,1)
$1.338,20 (1,1) 1
AE = =$353 onde: 3,790
3,790 (1,1) 0,1
Para Y :
1.594 1.594 1.594
PL = - 8.000+ + $1.
1,1 (1,1) (1,1)
a
V
  
 
  
  
  
10
Y 10 10% 10
Y X
794,44
$1.794,44 (1,1) 1
AE $292 onde: 6,14465
6,14465 (1,1) 0,1
AE <AE A alternativa X é melhor.
a
 
    
  

 
 
13. Uma empresa cujo custo de oportunidade do capital é de 7% a.a., estuda a possibilidade de comprar 
uma máquina. Pode escolher entre a máquina A e a máquina B, ela dispõe das seguintes informações 
sobre as alternativas de investimento: 
 máquina A máquina B 
Investimento inicial $19.000 $25.000 
Fluxo de Caixa $12.000/ano $8.000/ano 
Vida útil 4 anos 6 anos 
Valor Residual 0 0 
 
 
Para as duas alternativas de investimento calcular: a) O Valor Presente Líquido; b) A Taxa Interna de 
Retorno; c) Anuidade uniforme equivalente e determinar qual projeto é preferível. 
Resolução: 
Como as vidas úteis das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de seleção: 
 115 
A 2 3 4
4
A 4 7% 4
Para máquina A:
12.000 12.000 12.000 12.000
VPL = -19.000+ + + + = $21.646,54
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
$21.646,54 (1,07) 1
AE = =$6.390,67 onde: 3,3882
3,3882 (1,07) 0,07
12.000
19.000 +
(1+TIR
a
 
  
  
 A2 3 4
B 2 6
B 6 7%
12.000 12.000 12.000
+ + + = 0 TIR =51,01%
) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
Para máquina B :
8.000 8.000 8.000
VPL = - 25.000+ $13.132,32
(1,07) (1,07) (1,07)
$13.132,32 (1,0
AE = =$2.755,11 onde: 
4,76658
a

   

6
6
B2 6
B A
7) 1
4,76658
(1,07) 0,07
8.000 8.000 8.000
-25.000+ + +L+ =0 TIR =22,56%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
AE <AE A maquina A é melhor.
 
 
  

 
 
14. Qual das alternativas mutuamente exclusivas, A ou B, é melhor considerando um custo do capital de 
5% a.a.? 
 
Fluxos de Caixa 
 ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 
alternativa A -$14 $8 $8 
alternativa B -$11 $5 $5 $5 
 
Resolução: 
A 2
2
A 2 5% 2
B 2 3
B
Alternativa A:
8 8
VPL = -14+ + =$0,8753
(1,05) (1,05)
0,8753 (1,05) 1
AE $0,4707 onde: 1,85941
1,85941 (1,05) 0,05
Alternativa B:
5 5 5
VPL = -11+ + + =$2,6162
(1,05) (1,05) (1,05)
2,6162
AE
a
 
    
  

3
3 5% 3
B A
(1,05) 1
$0,960672 onde: 2,7233
2,7233 (1,05) 0,05
AE >AE alternativa B é melhor.
a
 
   
  

 
 
15. Uma empresa industrial pretende terceirizar durante três anos a fabricação de determinada peça. Se 
for fabricada internamente, um estudo mostrou que para produzir 8.000 peças/ano é necessário um 
investimento inicial de $200.000 em equipamentos e custos operacionais totais de $18.000/ano. Se a 
fabricação for terceirizada, o preço de compra será de $12/peça. Considerando um custo do capital de 
8% a.a., determinar se a fabricação da peça deve ou não ser terceirizada. 
Resolução: 
 116 
fabricar 2 32
fabricar 3 8% 2
terceirizar
18.000 18.000 18.000
VPL =200.000+ + + =$246.387,74
(1,08) (1,08) (1,08)
$246.387,74 (1,08) 1
CAE = =$95.606 onde: 2,57712
2,57712 (1,08) 0,08
Para terceirizar:
CAE =$96
a
 
  
  
terceirizar fabricar
.000
CAE >CAE melhor é fabricar .
 
16. Uma bomba hidráulica instalada em um poço artesiano tem custos operacionais de $450/ano, 
considerados muito altos para o tipo de instalação. Trocá-la por um equipamento mais moderno 
representaria um investimento líquido de $1.230 sem valor residual. Uma projeção indica que a nova 
bomba teria os seguintes custos operacionais/ano ao longo de sua vida útil: 
 ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5
custos operacionais: 0 $250 $200 $150 $100 $50
 Considerando um custo de oportunidade do capital de 2% a.a., calcular o custo anual uniforme 
equivalente (CAE) das duas alternativas (trocar e não trocar a bomba) e determinar se a bomba deve ou 
não ser substituída. Não levar em consideração efeitos fiscais. 
Resolução: 
2 5
5
NT 5 2% 5
Não trocar a bomba:
450 450 450
VPL= $2.121,05
(1,02) (1,02) (1,02)
$2.121,05 (1,02) 1
CAE = =$449,98 onde: 4,7137
4,7137 (1,02) 0,02
Trocando o Equipamento:
250
VPL= -1.230 +
(1,0
a
   
 
  
  
2 3 4 5
5
T 5 2% 5
NT T
200 150 100 50
+ $1.946,35
2) (1,02) (1,02) (1,02) (1,02)
$1.946,35 (1,02) 1
CAE = $412,92 onde: 4,7137
4,7137 (1,02) 0,02
CAE >CAE A melhor alternativa é comprar um novo eq
a
   
 
   
  
 uipamento .
 
 
17. Atualmente a operação de um equipamento produz uma receita líquida de $200/ano. Existe a 
possibilidade de trocá-lo por um novo equipamento orçado em $4.800 com vida útil de cinco anos e 
sem valor residual. No caso da troca de equipamentos, o fluxo de caixa líquido aumentará 
geometricamente nos próximos cinco anos de acordo à seguinte projeção: 
 ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 ano 4 ano 5
 Fluxo de caixa: -$4.800 $200 $400 $800 $1.600 $3.200
 Considerando um custo de oportunidade do capital de 5% a.a., calcular as anuidades uniformes 
equivalentes (AE) para as duas alternativas (trocar e não trocar o equipamento) e determinar se o 
equipamento deve ou não ser substituído. Por simplicidade, não considerar efeitos fiscais. 
Resolução: 
 117 
2 5
5
NT 5 5% 5
2 3 4
Não trocar :
200 200 200
VPL= $865,90
(1,05) (1,05) (1,05)
865,90 (1,05) 1
AE = =$200 onde: 4,32945
4,32945 (1,05) 0,05
Trocar:
200 400 800 1.600
VPL= - 4.800
(1,05) (1,05) (1,05) (1,05)
a
   
 
  
  
    
5
5
T 5 5% 5
NT T
3.200
$267,97
(1,05)
267,97 (1,05) 1
AE = =$61,90 onde: 4,32945
4,32945 (1,05) 0,05
AE >AE O melhor é manter o equipamento .
a

 
  
  

 
 
18. Para as seguintes alternativas mutuamente exclusivas, calcular a TIR e o VPL. Se o custo do capital 
for de 10% a.a., determinar a melhor alternativa. 
 Fluxos de Caixa 
ano A B C D 
0 -$1.500 -$1.500 -$1.500 -$1.500 
1 150 0 150 300 
2 1.350 0 300 450 
3 150 450 450 750 
4 -150 1.050 600 750 
5 -600 1.950 1.875 900 
Resolução: 
A2 3 4 5
B2 3 4 5
Calculando os valores da TIR:
150 1.350 150 150 600
-1.500+ + + - - =0 TIR =-200%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
0 0 450 1.050 1.950
-1.500+ + + - - =0 TIR =20,9%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
15
-1.500+


C2 3 4 5
D2 3 4 5
A
0 300 450 600 1.875
+ + - - =0 TIR =22,8%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
300 450 750 750 900
-1.500+ + + - - =0 TIR =25,4%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
Calculando os valores do VPL:
150
VPL =-1.500+
(1


2 3 4 5
B 2 3 4 5
C 2 3 4 5
D
1.350 150 150 600
+ + - - =$-610,22
,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
0 0 450 1.050 1.950
VPL =-1.500+ + + - - =$766,03
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
150 300 450 600 1.875
VPL =-1.500+ + + - - =$796,43
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
VPL =-1.
2 3 4 5
300 450 750 750 900
500+ + + - - =$779,19
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
 
A melhor alternativa é a opção C (Para estes fluxos o projeto será melhor avaliado pelo VPL). 
 
19. Uma prensa hidráulica nova custa $90.000. A máquina pode ser operada até o término de sua vida 
útil de quatro anos, o substituída antes desse prazo. O equipamento será depreciado linearmente em 
 118 
quatro anos e gera um fluxo de caixa operacional líquido de $30.000/ano. A um custo do capital de 
20% a.a., determinar a época ótima de substituição da máquina. A empresa dispõe das seguintes 
informações sobre os valores de mercado de máquinas similares usadas: 
 
 Anos de uso da máquina: 1 2 3 4 
 Valor de mercado (no final do respectivo ano): $80.000 $72.000 $68.000 $34.000 
Resolução: 
1
1
1 1 20% 1
2
Calculando os VPLs e as anuidades equivalentes das alternativas:
30.000+80.000
VPL = -90.000+ =$1.666
(1,2)
1.666 (1,2) 1
AE = =$1.999,20 onde: 0,8333
0,8333 (1,2) 0,2
VPL = -90.0
a
 
  
  
2
2
2 2 20% 2
3 2 3
3
30.000 30.000 72.000
00 $5.833,33
(1,2) (1,2)
5.833,33 (1,2) 1
AE = =$3.818,37 onde: 1,5277
1,5277 (1,2) 0,2
30.000 30.000 30.000 68.000
VPL = -90.000+ + $12.546,29
(1,2) (1,2) (1,2)
AE
a

  
 
  
  

 
3
3 20% 3
4 2 3 4
4
12.546,29 (1,2) 1
= =$5.956,04 onde: 2,10648
2,10648 (1,2) 0,2
30.000 30.000 30.000 30.000+34.000
VPL = -90.000+ + + + =$4.058,44
(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)
4.058,44
AE = =$1.567,73 
2,58873
a
 
  
  
4
4 20% 4
(1,2) 1
 onde: 2,58873
(1,2) 0,2
a
 
  
   
 A época ótima para substituição seria o terceiro ano. 
 
20. Um equipamento pode ser usado por cinco anos ou substituído antes desse prazo. Considerando um 
custo do capital de 10% a.a. e com os seguintes VPLs para cada uma das alternativas de substituição, 
calcular as anuidades uniformes equivalentes (AE) e determinar o período ótimo de substituição do 
equipamento. 
 ano: 1 2 3 4 5
 VPL: $2.000 $5.000 $7.000 $8.000 $10.000
Observação: cada alternativa de substituição do equipamento (substituir no primeiro, segundo,....., ou 
quinto ano) é mutuamente exclusiva em relação às outras. 
Resolução: 
 119 
1
1 1 10% 1
2
2 2 10% 2
3
2.000 (1,1) 1 0,1
AE = $2.200 onde: 0,9090
0,9090 0,11(1,1) 0,1
5.000 (1,1) 1
AE = $2.880,95 onde: 1,735537
1,735537 (1,1) 0,1
7.000
AE $2.814,80 
2, 48685
a
a

   

 
   
  
 
5 10%
3
3 10% 3
4
4 4 10% 4
5
5 5
(1,1) 1
onde: 2,48685
(1,1) 0,1
8.000 (1,1) 1
AE $2.523,76 onde: 3,169865
3,169865 (1,1) 0,1
10.000 (1,1) 1
AE $2.637,98 onde: 
3,79078 (1,1) 0,1
a
a
a
 
  
  
 
    
  
 
   

3,79078

 
 O período ótimo de substituição é o segundo período. 
 
21. O fluxo decaixa de um projeto de plantação de eucaliptos para fabricação de papel e celulose é 
função do tempo: Ft =10.000(1+t)
1/2. O VPL do projeto com t anos de duração pode ser expresso por: 
 VPLt = Ft e
-k t
 - C 
onde: 
 k=5% a.a.(custo do capital) 
 C= $15.000(investimento inicial), 
t= tempo. 
Determinar o tempo ótimo de corte das árvores usando como critério decisório o método do VPL. 
Resolução: 
   
 
 
 
1
2
1 1-
2 2
-kt
-kt
VPL(t)=p[(1+t) ×exp(-Kt)]-C
Maximizar VPL(t):
d VPL(t)
=0
dt
d VPL(t) 1
=p[ (1+t) ×exp(-Kt)-k 1+t ×exp -kt ]=0
dt 2
e
=k× 1+t×e
2× 1+t
2k 1+t =1
1
t= -1
2k
k=0,05 t=9 anos
 
 
22. Uma empresa deve arrendar operacionalmente um equipamento. O valor do equipamento é de 
$27.000, com vida útil de três anos. A sociedade arrendadora propõe um contrato de três anos, 
comprometendo-se a arcar com os gastos gerais de manutenção, estimados em $3.000/ano. A alíquota 
de IR da arrendadora é de 30% e seu custo do capital, de 10% a.a. Calcular o valor da prestação anual 
mínima líquida do IR a ser cobrada da arrendatária. 
Resolução: 
Dados da operação: 
 valor do equipamento = $27.000; 
 vida útil do equipamento = 3 anos; 
 prazo da operação =3anos; 
 alíquota de IR do arrendador = 30%; 
 custo do capital do arrendador = 10% a.a.; 
 gastos de manutenção = $3.000/ano. 
 120 
O quadro abaixo mostra os fluxos de caixa relevantes à análise da operação do ponto de vista do 
arrendador: 
 Fluxo de Caixa 
 ITEM ano 0 ano 1 ano 2 ano 3 
 Valor do equipamento 
 Gastos de manutenção 
-27.000 
 
 
-3.000 
 
-3.000 
 
-3.000 
 Efeitos fiscais 
 dos gastos de manutenção (a) 
 da depreciação do equipamento(b) 
 
 
 
 
 
 900 
2.700 
 
 900 
2.700 
 
 900 
2.700 
Fluxo de caixa incremental líquido -27.000 
 
600 600 600 
 
 No quadro observa-se dois itens relativos aos efeitos fiscais: (a) e (b). Vejamos o significado: 
 
(a) A operação de Leasing Operacional proporciona vantagens fiscais ao arrendador, uma vez que este 
pode deduzir como despesa os gastos gerais de manutenção, administrativos, seguros etc., incorridos no 
arrendamento do bem. O benefício fiscal será igual ao valor da despesa vezes a alíquota de 
I.R($3.0000,30=$600); 
(b) Como proprietário do equipamento, o arrendador ganha o benefício fiscal da depreciação, que será 
igual à alíquota de imposto de renda vezes o valor da quota de depreciação anual 
(0,30$27.000/3=$3.000). 
 
 Cálculo do VPL 
Valor presente líquido do investimento realizado pelo arrendador usando como fator de desconto seu 
custo de oportunidade do capital de 10%: 
 
   
89,507.25$
10,1
600$
10,1
600$
10,1
600$
000.27$VPL(7%) 
32

 
 Cálculo da prestação mínima 
A prestação mínima a ser cobrada da arrendatária será igual a uma anuidade uniforme equivalente 
calculada sobre o VPL do arrendador: 
 
3 10
 VPL $25.507,89
 AE= $10.257,10
2,48685a
 
 
 
O valor da anuidade ou prestação, acima calculada, permite ao arrendador auferir uma rentabilidade 
compatível com seu custo de oportunidade do capital. Como essa prestação representa uma receita 
operacional na contabilidade do arrendador, sobre a qual deverá pagar IR, a prestação mínima líquida a 
ser cobrada da arrendatária será: 
 
653.14$
)30,01(
10,257,10$
=
T)-(1
AE
mínima prestação 


 
onde T é a alíquota de imposto do arrendador. Logo, podemos concluir que, considerando unicamente 
os aspectos financeiros da operação, a prestação de equilíbrio financeiro é de $14.653. 
 
23. Determinar qual é a melhor alternativa do ponto de vista financeiro: comprar o equipamento ou 
contratar uma operação de leasing financeiro. 
Dados da operação: 
 valor do equipamento (igual ao valor da operação) = VO=$21.000; 
 valor residual diluído nas prestações; 
 prazo de depreciação do equipamento (igual ao prazo do arrendamento) = 15 períodos; 
 alíquota de IR= 35%; 
 taxa de juros cobrada no leasing(iA) = 7% por período; 
 taxa de juros da empresa (i) = 10% por período. 
Resolução: 
Trata-se de avaliar uma operação de leasing financeiro (pessoa jurídica) tratado na seção 10.10 do 
livro. A seguir, são calculados os valores necessários para avaliar o contrato usando o modelo de MDB 
 121 
(Myers, Dill e Bautista). O modelo permite determinar, em termos de valor presente, a vantagem ou 
desvantagem do leasing em relação à compra financiada. 
 
 Cálculo da taxa de arrendamento e das prestações: 
15
15 7%n %
A
15
t
100% 100% 100%
TA = = 10,9795% por período
(1,07) 1i
(1,07) 0,07
R VO TA $21.000 10,9795% /100 $2.305,69 por período
a a
 
 
 
  
    
 
 Cálculo da quota de depreciação por período: 
períodopor 4001$= 
15
000.21$
 
N
VO
D t 
 
 Cálculo do numerador do somatório da fórmula: 
 $1.988,70$1.4000,350,35)-(169,305.2$DTT)(1R tt 
¨ 
 
 Cálculo da taxa de juros (após IR) da empresa: i*=i× (1-T)=10%×(1-0,35)=6,5% 
 
 Cálculo do valor presente da vantagem financeira do leasing em relação à compra: 
 
 
 
glea
a
sin o selecionar 0 V Como 
094,300.2$40267,91.988,70-$21.000 
 
 1.988,70-$21.000
i1
DTT)(1R
VOV
C-L
4L
1t
6,5% 15t*
tt
C-L






 


 
 
24. Calcular a taxa de arrendamento e o valor das contraprestações para uma operação de leasing 
financeiro de $20.000 com prazo de 24 meses sem valor residual e com contraprestações pagas ao fim 
de cada mês. Considerar uma taxa de juros de 5% a.m. fixada pela instituição financeira que intermedia 
o financiamento. 
Resolução: 
Taxa de arrendamento sem valor residual: 
24
n %
A
24
0
100% 100% 100%
TA 7,2471%
13,79864(1,05) 1i 
(1,05) 0,05
7,2471
Prestaçao mensal: R=V ×TA=20.000 $1.449,42
100
a
   
 
 
  
 
 
 
25. A taxa de arrendamento para uma operação de leasing financeiro sem valor residual e com prazo de 
36 meses é de 5,2887% a.m. Calcular a taxa de juros aplicada pela instituição financeira. 
Resolução: 
36
n % AA
36
A A
36 36
A A A
A
Taxa de juros sem valor residual:
100% 100%
TA 5,2887%
(1+i ) 1i 
(1+i ) i
5,2887 (1+i ) 1 100 [(1+i ) i ]
Pelo método das tentativas e aproximações i 4% a.m.
a
  
 
 
  
     
 
 
 
 
26. Calcular a taxa de juros aplicada em uma operação de leasing financeiro com prazo de 48 meses, 
taxa de arrendamento de 3,9195% a.m. e valor residual de 4% a ser cobrado ao término da operação. 
Resolução: 
 122 
A
n %
A
A48
A
48
A A
48 48
A A A A
Taxa de juros com valor residual:
(100% VRG%)
 TA + i ×VRG%
 i
100% 4%
3,9195% i 4%
(1+i ) 1
 
(1+i ) i
3,9195 (1+i ) 1 96 [(1+i ) i ] 4 i
Pelo metodo das tentativas e apr
a



  
 
 
  
       
 
Aoximaçoes i 3% a.m. 
 
 
27. Considerando uma taxa de juros aplicada pela instituição financeira for de 5% a.m., determinar a 
taxa de arrendamentoe o valor da contraprestação para uma operação de leasing financeiro no valor de 
US$200.000, com prazo de 28 meses e valor residual garantido de 5% cobrado ao fim da operação. 
Resolução: 
A
n %
A
28
28
0
Taxa de arredondamento com valor residual:
(100%-VRG%)
TA= i VRG%
 i
100% 5% 95%
TA 0,05 5% 0,25% 6,6264% a.m.
2,920129(1,05) 1
 
0,19600(1,05) 0,05
Prestração mensal: R=V ×TA=200.0
a
 

     
   
   
   
6,6264
00× =US$13.252,80
100
 
 
 
 
 
28. No exercício anterior, se for concedido um período de carência de dois meses para o início do 
pagamento das prestações, calcular a taxa de arrendamento e o valor das prestações. 
Resolução: 
 
 
 
A
A
A
c
c
n c i %
2
26 5%
Taxa de arrendamento para carência de dois meses:
100% 1 i VRG%
TA i VRG%
100% 1,05 5%
 0,05 5% 7,571% a.m
7,571
Prestação mensal: R $200.000 US$15.14
100
a
a

  
  
 
   
   3,29
 
 
29. Uma concessionária vende por meio de leasing um veículo cujo valor à vista è de $20.000,00. 
Devem ser pagas uma entrada de 20% e 36 prestações mensais iguais. Considerando que a instituição 
financeira aplica juros de 3% a.m., calcular a taxa de arrendamento e o valor das prestações. 
Resolução: 
A
36
n i %
36
0
Taxa de arredondamento e prestação:
(100% -VRG%) 100%-20% 80%
TA= = =3,6643% a.m.
 1,898278(1,03) -1
 
0,086948(1,03) ×0,03
3,6643
Prestação: R=V ×TA=$20.000× =$732,86
100
a

   
   
   
 
 
 
. 
 
 123 
30. Por um veículo adquirido pelo sistema leasing paga-se determinada entrada e 24 prestações mensais 
iguais. Considerando uma taxa de arrendamento de 4% a.m. e que a instituição financeira aplica uma 
taxa de juros efetiva de 3% a.m., calcular a porcentagem paga como entrada. 
Resolução: 
An i %
24
24
Porcentagem paga com entrada(VRG):
(100% VRG%)
TA=
 
100% VRG% 100% VRG%
4% 4%
1,032794(1,03) 1
 
0,06098(1,03) 0,03
67,746%=100%-VRG% VRG=32,254%
a

 
  
   
   
   

 
 
31. A taxa de arrendamento de uma operação de leasing é de 5,0954% a.m. Considerando um VRG de 
15% pago ao término da operação e que a instituição financeira que intermedia o financiamento aplica 
uma taxa de juros de 4% a.m., determinar o prazo da operação em meses. 
Resolução: 
An i %
n
n
n n
Prazo em meses:
(100% VRG%)
 TA
 
100% 15%
5,0954%
(1,04) 1
 
(1,04) 0,04
5,0954%×[(1,04) -1]=85%×[(1,04) ×0,04]
por tentativa, temos que: n =36 meses.
a




 
 
   
 
32. Determinar a taxa de juros aplicada em um arrendamento de 24 meses em que o VRG de 20% é 
pago na entrada e a taxa de arrendamento é de 4,7238% a.m.. 
Resolução: 
A
A
n i %
A24
24
24 24
A A A A
Taxa de juros aplicadas em operaçao:
(100% VRG%)
 TA +i ×VRG%
 
100%-20%
4,7238%= +i ×20%
(1+i) -1
 
(1+i) ×i
4,7238%×[(1+i ) -1]-i ×20%=80%×[(1+i ) ×i ]
Por aproximações e tentativas, t
a


 
 
  
Aemos que: i =3% a.m.
 
 
33. O quadro a seguir mostra os fluxos de caixa de quatro projetos mutuamente exclusivos: 
 
Ano Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 
0 -85.000 -150.000 -250.000 -378.000 
1 40.000 78.000 0 390.000 
2 40.000 78.000 0 0 
3 40.000 78.000 0 0 
4 40.000 78.000 700.000 150.000 
Vida útil (anos) 4 4 4 4 
 
Admitindo-se que o custo do capital adequado para análise econômica seja de 20% a.a., pede-se: 
a) Estimar os seguintes indicadores de rentabilidade para cada projeto: VPL, TIR, Relação Custo-
Beneficio (B/C), Pay-back (PB), Anuidade Uniforme Equivalente (AE). 
 124 
b) Selecionar a melhor alternativa usando o VPL e a AE. 
c) Fazer uma análise que mostre o processo de seleção entre as alternativas A e C, como função do 
custo de oportunidade do capital. 
Resolução: 
 
a) Podemos calcular as TIRs das alternativas a partir das seguintes equações: 
 
       
       
 
   
%99,23TIR 0
TIR1
$150.000
TIR1
$390.000
$378.000
%36,29TIR 0
TIR1
$700.000
$250.000
%42,37TIR 0
TIR1
$78.000
TIR1
$78.000
TIR1
$78.000
TIR1
$78.000
$150.000
%15,13TIR 0
TIR1
$40.000
TIR1
$40.000
TIR1
$40.000
TIR1
$40.000
$85.000
D4
D
1
D
C4
C
B4
B
3
B
2
B
1
B
A4
A
3
A
2
A
1
A


























 
 
Podemos calcular os VPLs da seguinte forma: 
       
     
 
   
338.19
1,2
$150.000
1,2
$390.000
$378.000VPL
577.87
2,1
$700.000
$250.000VPL
921.51
1,2
$78.000
1,2
$78.000
1,2
$78.000
2),(1
$78.000
$150.000VPL
549.18
20,1
$40.000
1,20
$40.000
20,1
$40.000
20,1
$40.000
$85.000VPL
41D
4C
4321B
4321A




 
Podemos calcular as AE da seguinte forma: 
A 4 20%
4 20%
B
4 20%
C
4 20%
D
4 20%
18.549
AE 7.165 onde 2,58874
51.921
AE 20.057
87.577
AE 33.830
19.338
AE 7.470
a
a
a
a
a
  
 
 
 
 
 
Podemos calcular os índices custo-benefício da seguinte forma: 
       
     
 
   
05,1$378.000/
1,2
$150.000
1,2
$390.000
B/C
35,1$250.000/
1,2
$700.000
B/C
35,1$150.000/
1,2
$78.000
1,2
$78.000
1,2
$78.000
(1,2)
$78.000
B/C
22,1$85.000/
1,20
$40.000
1,20
$40.000
1,20
$40.000
1,20
$40.000
B/C
41D
4C
4321B
4321A








































 
 
Resumo: 
 125 
Indicador Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 
TIR 31,15% 37,42% 29,36% 23,99% 
B/C 1,22 1,35 1,35 1,05 
PB 4 3 4 4 
VPL $18.549 $51.921 $87.577 $19.338 
AE $7.165 $20.057 $33.830 $7.470 
 
b) Pelo VPL e AE selecionamos C. Os dois indicadores conduzem à mesma seleção. 
 
c) No quadro a seguir calculam-se os VPLs das alternativas A e C para diferentes custos do capital (K). 
A última coluna mostra a alternativa selecionada (a de maior VPL): 
 
K VPL 
(alternativa A) 
VPL 
(alternativa C) 
Alternativa 
selecionada 
18% $22.602,47 $111.052,21 C 
20% $18.549,38 $87.577,16 C 
24% $11.171,07 $46.081,52 C 
26% $7.807,57 $27.725,57 C 
28% $4.638,71 $10.770,32 C 
30% $1.649,63 -$4.910,54 A 
36% -$6.367,83 -$45.382,67 A 
40% -$11.030,82 -$67.784,26 A 
 
34. Uma empresa de transportes planeja a renovação da sua frota de caminhões. Após um estudo 
técnico chegou à conclusão que somente as marcas Fiat, Ford, Honda e Toyota fabricam modelos 
adequados a suas necessidades. O quadro a seguir mostra as diversas características operacionais e de 
custo dos caminhões dessas quatro marcas: 
 
MARCA Custo de 
aquisição do 
caminhão 
Desempenho do caminhão 
(quilômetros por litro de 
óleo diesel ) 
Custos de 
manutenção anual ($/ano) 
Vida útil do caminhão 
(anos) 
 
Fiat $25.000 10 $3.000 5 
Ford 28.000 11 2.800 6 
Honda 35.000 16 2.300 8 
Toyota 33.000 14 2.200 7 
 
Admita-se que cada caminhão, independentemente da marca, rode em torno de 40.000 km por ano e 
que o custo do óleo diesel sejaconstante e igual a $1 por litro. Considerando que o custo do capital da 
empresa é de 20% a.a., determinar qual marca de caminhão deve ser escolhida. Desconsiderar impostos 
e valores residuais. 
 
Resolução: 
Como as vidas úteis dos caminhões (prazo das alternativas) são diferentes, usamos como critério de 
seleção o custo anual equivalente (CAE). 
 
 126 
N 20% CUSTOS OPERACIONAIS ANUAIS
CUSTO DE OPORTUNIDADE DO CAPITAL
custo de aquisição do caminhão 
CAE custo de manutenção anual gasto anual com combustível
a
  
FIAT
5 20%
FORD
6 20%
 
custo inicial $25.000
CAE custo operacional/ano = $3.000 $40.000/10 $15.359,49/ano
2,99061
custo inicial $28.000
CAE custo operacional/ano = $2.800 $40.000/11 $
3,32551
a
a
    
    
HONDA
8 20%
TOYOTA
7 20%
14.856,12/ano
custo inicial $35.000
CAE custo operacional/ano = $2.300 $40.000/16 $13.921,33/ano
3,83716
custo inicial $33.000
CAE custo operacional/ano = $2.200 $40.0
3,60459
a
a
    
    00/14 $14.212,13/ano
selecionar HONDA, pois tem o menor CAE.


 
35. Uma indústria do setor de alumínio pretende investir em uma nova planta. Encomendou um estudo 
de mercado que recomendou três possíveis tamanhos de planta: planta A requer um investimento de 
$10 milhões; a planta B, um investimento de $12 milhões, e planta C, um investimento de $18 milhões. 
O estudo de engenharia projetou uma vida útil de 10 anos para a planta A, 15 anos para a B e 18 anos 
para a C. De acordo ao estudo de viabilidade, os fluxos de caixa econômicos dependem do 
investimento requerido e da vida útil da planta específica segundo a seguinte função: FC(I,N) = 
1.300.000 + 0,1I+ 100.000N, onde FC refere-se ao fluxo de caixa anual (constante), I refere-se ao 
investimento requerido e N, à vida útil da planta específica. Considerando um custo do capital de 20% 
a.a. e que não há impostos nem valor residual, determinar o tamanho da planta economicamente 
adequado. 
 
Resolução: 
Como os prazos das alternativas são diferentes, usamos como critério de seleção a anuidade equivalente 
(AE). 
A
B
Fluxos de caixa:
FC(I,N) 1.300.000 0,1 INVESTIMENTO 1 00.000 PRAZO
FC $1.300.00 0,1 $10.000.000 $100.000 10 3,3 milhões
FC $1.300.00 0,1 $12.000.000 $100.000 15 4,0 milhões
F
    
     
     
C
10 20%A
A 10 20%
10 20% 10 20%
B
B
15 20%
C $1.300.00 0,1 $18.000.000 $100.000 18 4,9 milhões
Anuidades equivalentes:
$10 $3,3VPL
AE $914.772 4,19247
$12 VPL
AE
a
a
a a
a
     
  
   

  15 20%
15 20%
15 20%
C 18 10%
C 18 20%
18 20% 18 20%
 $4,0
$1.433.414 4,67547
$18 $4,9VPL
AE $1.159.503 4,81219
Tamanho selecionado: plan
a
a
a
a
a
a a
 
 
  
   
 ta B, pois tem a maior AE.
 
 127 
36. Considere um custo de capital de 10% e admita que lhe sejam oferecidos os seguintes projetos: 
 
Projeto Investimento em 
t=0 
Fluxo em 
 t=1 
Fluxo em 
 t=2 
A -$100 $60 $60 
B -$10.000 $8.000 $8.000 
a) Considerando que os dois projetos sejam independentes, utilizar o critério da TIR e do VPL para 
analisar a viabilidade de ambos os projetos. 
b) Considerando os dois projetos como mutuamente exclusivos, utilizar o critério correto para 
identificar qual projeto deverá ser escolhido. 
c) Na possibilidade de investir em um terceiro projeto, C, determinar se este é mais vantajoso do que 
o escolhido no item b. 
 
Projeto Investimento Fluxo em t=1 Fluxo em t=2 Fluxo em t=3 
C -$10.000 $6.000 $6.000 $6.000 
 
Resolução: 
a) Podemos calcular as TIRs das alternativas a partir das seguintes equações: 
   
   
A1 2
A A
B1 2
B B
$60 $60
$100 0 TIR 13,07%
1 TIR 1 TIR
$8.000 $8.000
$10.000 0 TIR 37,982%
1 TIR 1 TIR
     
 
     
 
 
Podemos calcular os VPLs das alternativas a partir das seguintes equações: 
 
   
   
1 2
1 2
$60 $60
$100 4,13
1,10 1,10
$8.000 $8.000
$10.000 $3.884,30
1,10 1,10
   
    
Observamos que tanto pela TIR, quanto pelo VPL, a alternativa selecionada é B 
 
b) Como as alternativas são mutuamente exclusivas, analisamos a seleção por meio do fluxo 
incremental B -A: 
   
   
B-A1 2
B-A B-A
B-A 1 2
$7.940 $7.940
$9.900 0 TIR 38,22% 10%
1 TIR 1 TIR
$7.940 $7.940
VPL $9.900 $3.880,17 0
1,10 1,10
      
 
     
 
Como a TIR do fluxo incremental é maior que o custo do capital e o VPL é positivo, então a alternativa 
B é melhor. 
 
c) Como as alternativas B e C tem prazo diferentes, o método a ser usado deve ser a anuidade 
equivalente: 
 
B
2 10%
2 3
C
3 10%
3.884,30
AE $2.238,10
6.000 6.000 6.000
10.000
(1,10) (1,10) (1,10)
AE $1.978,85 selecionar alternativa B(maior AE).
a
a
 
   
 
 
 
 
 128 
 
 
Resumo: 
projeto VPL TIR projeto Anuidade equivalente (AE) 
A $4,13 13,07% B $2.238,10  Selecionar B 
B $3.884,30 37,98% C $1.978,85 
B-A $3.880,17 38,22%  Selecionar B 
 
37. Uma empresa analisa três alternativas de investimento mutuamente exclusivas. Determinar a 
alternativa mais adequada considerando um custo do capital de 9% a.a. e as seguintes informações 
sobre as alternativas: 
 
Alternativa Investimento 
 líquido 
Fluxo de caixa 
 anual 
Vida útil 
(anos) 
Valor de liquidação 
(valor residual ao término da vida útil) 
 A $480 $113 5 $149 
 B 620 120 7 140 
 C 750 142 7 187 
 
Resolução: 
5 9% 5
A
A 5 9%
5 9% 5 9%
7 9% 7
B
B
7 9% 7 9%
Anuidades equivalentes:
$149
$480 $113
VPL $56,37(1,09)
AE $14,49 3,88965
3,88965
$140
$620 $120
VPL $60,54(1,09)
AE
5,0
a
a
a a
a
a a
   
    
   
  
7 %
7 9% 7
C
C 7 9%
7 9% 7 9%
 $12,03 5,03295
3295
$187
$750 $142
VPL $66,97 (1,09)
AE $13,31 5,03295
5,03295
 selecionar alternativa A, pois tem a maio
a
a
a
a a
 
   
    
 r AE.
 
Resumo: 
Alternativa VPL Anuidade equivalente (AE) 
 A $56,37 $14,49  Selecionar A 
 B 60,54 12,03 
 C 66,97 13,31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 129 
CAPÍTULO 11 
Exercícios propostos 
1. A compra de um equipamento com vida útil de três anos e sem valor residual exige um investimento 
inicial de $1.180.000. O equipamento permitirá diminuir os custos operacionais em $388.000/ano, e 
aumentar a receita operacional em $210.000/ano. Se a alíquota de I.R. é de 30% e o custo do capital 
10%, calcular o VPL e a TIR do projeto. Justifica-se o projeto do ponto de vista econômico? (obs.: 
considerar os efeitos fiscais dos fluxos de caixa: por exemplo, efeito fiscal devido ao aumento da 
receita, diminuição de custos, aumento da depreciação). 
 
Resolução: 
 FLUXO DE CAIXA 
 ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Liquidação 
Fluxos de investimento 
 Investimento inicial -1.180.000 0 
Fluxos operacionais 
 Diminuição dos custos operacionais 388.000 388.000 388.000 
 Aumento da receita operacional 210.000 210.000 210.000 
Efeitos fiscaisDo aumento da depreciação (a) 118.000 118.000 118.000 
 Da diminuição do custo operacional (b) -116.400 -116.400 -116.400 
 Do aumento da receita operacional b (c) -63.000 -63.000 -63.000 
Fluxo de caixa econômico -1.180.000 536.600 536.600 536.600 0 
Obs.: todos os fluxos, menos o de investimento, foram considerados fluxos postecipados (fluxos no final do respectivo ano). 
 
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando cada fluxo pela alíquota de IR: 
 
(a) alíquota de IR×(depreciação anual) = 0,30 × ($1.180.000/3) 
(b) alíquota de IR×(diminuição do custo operacional) = 0,30 × ($388.000) 
(c) alíquota de IR×(aumento da receita operacional) = 0,30 × ($210.000) 
 
Cálculo do VPL e avaliação econômica 
 
 
2 3
2 3
$536.600 $ 536.000 $536.000
VPL(10%) $1.180.000 $155.439,52 >0 
(1,10) (1,10) (1,10)
e :
$536.600 $ 536.000 $536.000
$1.180.000 TIR=17,34% >10% 
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
     
    
 
 
Como o VPL >0 e a 0TIR>10%  A compra do equipamento está justificada. 
 
2. Uma empresa estuda a compra de um determinado equipamento que permita uma redução de custos 
no seu processo operacional. O preço do equipamento é de $5.000 e a vida útil é de cinco anos com 
valor residual igual a 10% do valor de aquisição. Se o custo de oportunidade do capital é 10% a.a., de 
quanto deve ser no mínimo a redução anual de custos proporcionada pelo equipamento de modo que se 
justifique a compra? Desconsidere todo tipo de efeito fiscal. 
 
Resolução: 
 FLUXO DE CAIXA 
 ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Liquidação 
Fluxos de investimento 
 Investimento inicial -5.000 500 
Fluxos operacionais 
 Diminuição dos custos X X X X X 
 130 
Fluxo de caixa econômico - 5.000 X X X X X 500 
Para a compra se justificar o VPL deverá ser positivo: 
5 10%
2 3 4 5 5
2 3 4 5
X X X X X $500
VPL(10%) $5.000 0
(1,10) (1,10) (1,10) (1,10) (1,10) (1,10)
1 1 1 1 1
 $5.000 X $310,46 0
(1,10) (1,10) (1,10) (1,10) (1,10)
 
a
        
 
 
       
 
 
 
5 10%
5
5
 $5.000 X $310,46 0
(1,10) 1
 $5.000 X $310,46 0
(1,10) 0,10
$5.000 $310,46
$5.000 X3,79079 $310,46 0 X X $1.237,08/ano
3,79079
a    
 
     
  

       
 
3. Uma empresa pretende investir $220.000 na compra de um equipamento com vida útil de quatro anos 
sem nenhum valor residual de liquidação. O equipamento deve proporcionar uma diminuição nos custos 
operacionais da ordem de $52.000/ano e um incremento na receita operacional da ordem de 
$30.000/ano. Se a alíquota de I.R. da firma é de 30% e seu custo do capital 12% a.a., analisar a 
viabilidade econômica do projeto pelo critério da TIR. 
 
Resolução: 
 FLUXO DE CAIXA 
 ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Fluxos de investimento 
 Compra do equipamento -220.000 0 
Fluxos operacionais 
 Diminuição dos custos operacionais 
 Incremento da receita operacional 
 52.000 
 30.000 
 52.000 
 30.000 
 52.000 
 30.000 
 52.000 
 30.000 
 
Efeitos fiscais 
 Da depreciação (a) 
 Da diminuição dos custos operacionais (b) 
 Do incremento da receita operacional (c) 
 
 
 
 16.500 
 -15.600 
 -9.000 
 
 16.500 
 -15.600 
 -9.000 
 
 16.500 
 -15.600 
 -9.000 
 
 16.500 
 -15.600 
 -9.000 
 
Fluxo de caixa econômico -220.000 73.900 73.900 73.900 73.900 0 
 
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando cada fluxo pela alíquota de IR: 
 
(a) IR× depreciação anual = 0,30×(220.000/4) 
 (b) IR× diminuição dos custos operacionais = 0,30×$52.000 
 (c) IR× do incremento da receita operacional = 0,30×$30.000 
 
 
Cálculo da TIR: 
2 3 4
$73.900 $73.900 $73.900 $73.900
$220.00 0 TIR=12,96%>12%
(1+TIR) (1+TIR) (1+TIR) (1+TIR)
      
 
 A compra do equipamento se justifica economicamente 
 
 
4. Uma empresa estuda a possibilidade de substituir uma bateria de tornos mecânicos por outra com 
comando numérico. Se forem substituídos, os tornos mecânicos podem ser vendidos hoje no mercado 
de ativos usados pelo seu valor contábil de $21.000, caso contrário poderão operar por unicamente mais 
quatro anos. O valor contábil dos tornos mecânicos pode ser depreciado linearmente em três anos. O 
valor da nova bateria de tornos com comando numérico é de $200.000, com vida útil de dez anos e 
depreciáveis pelo mesmo período. Admite-se que o novo equipamento possa ser vendido em qualquer 
 131 
ano ao longo de sua vida útil, por um preço 30% maior ao seu valor contábil daquele ano. Espera-se 
que a substituição do equipamento acarrete uma diminuição nos custos operacionais da ordem de 
$30.000/ano, e um aumento nas necessidades de capital de giro da ordem de $5.000 (considerado 
investimento inicial). Para executar o projeto, a empresa pretende levantar um empréstimo de $160.000 
que será quitado por meio de três prestações anuais segundo a Tabela Price a juros de 10% a.a. 
Considerando um custo do capital de 12% a.a. e alíquota de I.R. de 30%, analisar o projeto e 
determinar a sua viabilidade econômico-financeira . 
 
Resolução: 
 Como os tornos mecânicos podem operar por unicamente mais quatro anos, e a vida útil da nova é de 
dez anos, as duas alternativas são comparáveis somente durante os primeiros quatro anos. 
 
Conforme o capítulo 8, podemos montar a Tabela Price de amortização do financiamento: 
 
 Quadro de Amortização do Financiamento (Tabel Price) 
ano Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 160.000,00 - - - 
1 111.661,63 48.338,37 16.000,00 64.338,37 
2 58.489,43 53.172,21 11.166,16 64.338,37 
3 0 58.489,43 5.848,94 64.338,37 
 
Cálculo da prestação na Tabela Price: 
3
3 10%
3
$160.000 $160.000
$64.338,37(veja capítulo 8 para sistemas de amortização)
(1,10) 1
(1,10) 0,10
a
 
 
 
  
 
 
 
 FLUXO DE CAIXA 
 ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Fluxos de investimento 
 Compra dos tornos com controle numérico -200.000 156.000 (f) 
 Venda dos tornos mecânicos 21.000 
 Aumento das necessidades de cap. Giro -5.000 5.000 (g) 
Fluxos operacionais 
 Diminuição dos custos operacionais 30.000 30.000 30.000 30.000 
Efeitos fiscais 
 Da depreciação diferencial (a) 3.900 3.900 3.900 6.000 
 Da diminuição dos custos operacionais (b) -9.000 -9.000 -9.000 -9.000 
 Da venda dos tornos de controle numérico -10.800 (h) 
 Dos juros pagos pelo financiamento (c) 4.800 3.350 1.755 
Fluxos do financiamento 
 Financiamento tomado (d) 160.000 
 Prestações pagas pelo financiamento (e) -64.338 -64.338 -64.338 
Fluxo econômico-financeiro -24.000 -34.638 -36.088 -37.683 27.000 150.200 
 
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando cada fluxo pela alíquota de IR: 
 
(a) IR× depreciaçãodiferencial 
 = 0,30×(depreciação da máquina nova- depreciação da máquina velha) 
 = 0,30×($200.000/10 – $21.000/3) 
 
 (b) IR× diminuição dos custos operacionais = 0,30×$30.000 
 
 (c) IR× juros do financiamento em cada ano: 
 0,3×$16.000,00; 0,3×$11.166,16; 0,3×$5.848,94; 
 
 (d) Financiamento =$160.000 
 
 132 
 (e) prestações pagas pelo financiamento (Tabela Price) – ver quadro de amortização 
 
 (f) Admite-se que o novo equipamento possa ser vendido em qualquer ano ao longo de sua vida 
útil, por um preço 30% maior ao seu valor contábil daquele ano. Assim, se for vendido ao término do 
quarto ano, o será por: 
 1,30×[valor contábil] 
 1,30×[valor de aquisição – depreciação acumulada até o quarto ano] 
 1,30×[$200.000 – 4×($200.000/10)] 
 
 (g) o capital de giro é recuperado por liquidação ao término do prazo. 
 
(h) na venda das máquinas novas ao término do quarto ano haverá imposto a pagar sobre o 
ganho de capital nessa venda: 
 = IR× [ganho de capital na venda das máquinas novas ao término do quarto ano] 
 = 0,30×[Valor de venda no quarto ano – Valor contábil no quarto ano] 
 = 0,30×[$156.000 – (6/10)×$200.000] 
 
 
Cálculo do VPL: 
 
2 3 4
-$34.638 -$36.088 $37.683 $27.000+$150.200
VPL(12%) $24.000 $2.095,87>0
(1,12) (1,12) (1,12) (1,12)
      
 
Como VPL> 0  A substituição se justifica do ponto de vista econômico-financeiro 
 
 
5. A instalação de um moderno equipamento de trituração de minério orçado em $28 milhões 
possibilitará que uma mina opere por mais quatro anos antes de encerrar suas operações por 
esgotamento da jazida. O equipamento adquirido será depreciado linearmente em dois anos (vida útil) 
sem valor residual ao término. Atualmente, a receita operacional e os custos operacionais totalizam $60 
milhões/ano e $6 milhões/ano, respectivamente. Um estudo indica que a instalação do novo 
equipamento incrementará a receita operacional em 30%, diminuirá os custos operacionais em 10%, e 
exigirá um investimento adicional de $3milhões em capital de giro. Considerando uma alíquota de 
imposto de renda de 30% e um custo do capital de 12% a.a., analisar a viabilidade econômica da 
aquisição do equipamento. 
 
Resolução: 
O fluxo deve ser projetado durante quatro anos: 
 FLUXO DE CAIXA (milhões) 
 ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Fluxos de investimento 
 Compra do equipamento -28 
 Capital de giro -3 3 
Fluxos operacionais 
 Aumento da receita operacional 
 diminuição dos custos operacionais 
 18 
 0,6 
 18 
 0,6 
18 
 0,6 
 18 
 0,6 
 
Efeitos fiscais 
 Da depreciação (a) 4,2 4,2 
 Da diminuição dos custos operacionais 
 Do aumento da receita operacional 
 -0,18 -0,18 -0,18 -0,18 
 -5,4 -5,4 -5,4 -5,4 
Fluxo de caixa econômico -31 17,22 17,22 3,02 13,02 3 
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando cada fluxo pela alíquota de IR: 
 
(a) IR× depreciação 
 = 0,30×(custo de aquisição/ prazo de depreciação) 
 = 0,30×($28/2) 
 
Cálculo do VPL: 
 
 133 
2 3 4
$17,22 $17,22 $13,02 $13,02+$3
VPL(12%) $31 $17,56>0
(1,12) (1,12) (1,12) (1,12)
      
 
VPL(12%) = $17,56 milhões > 0  A compra do equipamento se justifica economicamente. 
 
 
 
6. Uma empresa pretende trocar uma prensa hidráulica antiga por outra nova. O valor do novo 
equipamento é de $60.000 depreciáveis linearmente ao longo de sua vida útil de seis anos. O novo 
equipamento pode operar até o término de sua vida útil ou pode ser vendido em qualquer época por um 
preço igual ao seu valor contábil naquela data. O equipamento antigo ainda pode ser usado por mais 
três anos, mas será vendido no mercado de equipamentos usados por $10.000 no ato da compra do 
novo. Atualmente seu valor contábil é de $6.000 que podem ser depreciados linearmente em três anos. 
Um estudo realizado indica que o novo equipamento incrementará a receita operacional em 
$30.000/ano e diminuirá os custos operacionais em $4.000/ano. Cinqüenta por cento do valor do novo 
equipamento serão recursos provenientes de um empréstimo a juros efetivos de 15% a.a., reembolsável 
em três prestações anuais de acordo à tabela price. A alíquota de IR da firma é de 30% e seu custo do 
capital é de 20% a.a.. O projeto é viável do ponto de vista econômico? E do ponto de vista dos 
acionistas? Suponha um custo do capital de 20%. a.a. e um custo do capital próprio de 22% a.a.. 
 
Resolução: 
O período de comparação está limitado ao tempo de duração do equipamento antigo ( 3 anos). 
 
 Quadro de Amortização do Financiamento (Tabela Price) 
ano Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 30.000,00 - - - 
1 21.360,69 8.639,31 4.500,00 13.139,31 
2 11.425,50 9.935,21 3.204,10 13.139,31 
3 - 11.425,50 1.713,82 13.139,31 
 FLUXO DE CAIXA 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Liquidação 
Fluxos de investimento 
 Compra do equipamento novo -60.000,00 30.000,00 
 Venda do equipamento antigo 10.000,00 
Fluxos operacionais 
 Diminuição dos custos operacionais 4.000,00 4.000,00 4.000,00 
 Aumento da receita operacional 30.000,00 30.000,00 30.00,00 
Efeitos fiscais 
 Da depreciação diferencial 2.400,00 2.400,00 2.400,00 
 Da diminuição do custo operacional -1.200,00 -1.200,00 -1.200,00 
 Do aumento da receita operacional 
 Da venda do equipamento antigo 
 
 -1.200,00 
 -9.000,00 
 
 -9.000,00 -9.000,00 
Fluxo econômico -51.200,00 26.200,00 26.200,00 26.200,00 30.000,00 
 Empréstimo 
 Prestações do empréstimo 
 Efeito fiscal dos juros 
 30.000,00 
 
 
-13.139,31 
 1.350,00 
 
-13.139,31 
961,23 
 
-13.139,31 
514,15 
 
Fluxo econômico-financeiro -21.200,00 14.410,69 14.021,92 13.574,84 30.000,00 
VPLECONÔMICO(20%) = $21.351 > 0  Viável economicamente. 
VPLECONÔMICO-FINANCEIRO(22%) = $24,030 > 0  Viável econômica-financeiramente. 
 
7. Uma indústria pretende investir $4 milhões na compra de um equipamento. A vida útil do 
equipamento é de quatro anos, e ele será instalado em um terreno da própria empresa, cujo valor de 
mercado é de $1milhão. Ao término da vida útil estará contabilmente depreciado, mas naquela data 
poderá ser liquidado por $1,2 milhões no mercado de equipamentos usados. A receita operacional 
projetada obtida da operação do equipamento é de $2 milhões/ano, com custos operacionais de $0,4 
milhões/ano e gastos indiretos de $0,2 milhões/ano. As necessidades de capital de giro serão de 15% 
sobre os incrementos das vendas. A alíquota de I.R. da firma é 30%. Pede-se montar o fluxo de caixa 
econômico do projeto. 
 
 134 
Resolução: 
 
 FLUXO DE CAIXA (em milhões) 
 ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
 Receitas operacionais 2,00 2,00 2,00 2,00 
 Investimentos 
 Equipamento -4,00 0,84 (a) 
 Terreno -1,00 1,00 
 Mudanças no capital de giro (b) -0,30 0,30 (c) 
 Custos 
 Custos operacionais -0,40-0,40 -0,40 -0,40 
 Gastos indiretos -0,20 -0,20 -0,20 -0,20 
 Depreciação (d) -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 
 Lucro tributável 0,40 0,40 0,40 0,40 
 - Impostos (30%) -0,12 -0,12 -0,12 -0,12 
 + Depreciação ( e) 1,00 1,00 1,00 1,00 
FLUXO ECONÔMICO -5,30 1,28 1,28 1,28 1,28 2,14 
(a) Valor de liquidação = valor de venda-impostos sobre ganho de capital = $1,2 -0,30($1,20- 
0,00); 
(b) mudanças do capital de giro em t = 0,15 (Receitas t – Receitas t-1 ); 
 O capital de giro é recuperado no final 
(c) recuperação do capital de giro; 
(d) $4,0/4; 
(e) a depreciação é somada novamente, pois trata-se de uma despesa não-caixa. 
 
 
8. Uma empresa do setor de confecções contratou ao custo de $30.000 uma empresa de consultoria para 
efetuar o estudo de viabilidade da modernização de sua atual linha de produção de calças jeans. O 
estudo estimou que, com os equipamentos atuais, a linha de produção conseguirá operar por apenas 
mais quatro anos antes de se tornar anti-econômica. Os atuais equipamentos têm um valor contábil de 
$200.000 que pode ser depreciado linearmente em 4 anos. Se forem substituídos agora, estes 
equipamentos poderão ser vendidos por $250.000 no mercado de ativos usados. A modernização da 
linha de produção requer a compra de novos equipamentos orçados em $1.500.000, permitindo que a 
linha de produção possa operar por mais seis anos a partir do momento em que os equipamentos forem 
adquiridos. Estima-se que os novos equipamentos tenham uma vida útil de seis anos, podendo ser 
usados até o término desse prazo ou substituídos e vendidos em qualquer época por um valor 10% 
abaixo do seu valor contábil daquela data. Admitindo depreciação linear, alíquota de imposto de renda 
de 30% e custo de oportunidade do capital de 20% a.a., efetuar a análise econômica do 
empreendimento 
O quadro a seguir apresenta informações sobre a capacidade de produção, custos fixos, custos variáveis 
e preço de venda do produto produzido, para as situações antes e depois da modernização. Pede-se 
montar o fluxo de caixa e efetuar a análise econômica do projeto de modernização 
 
Situação Capacidade de produção Custos variáveis de 
produção 
 
Custos fixos de 
produção 
 
Preço de venda 
ANTES 200.000 unidades/ano $2,0/unidade $350.000/ano $4,0/ unidade 
DEPOIS 300.000 unidades/ano $1,5/unidade $300.000/ano $4,5/ unidade 
 
Resolução: 
 
 FLUXO DE CAIXA 
 ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
 Aumento de receitas (a) 550.000 550.000 550.000 550.000 
 Investimentos 
 Investimento inicial líquido -1.265.000 (b) 450.000 (c) 
Custos 
 Aumento custos variáveis (d) -50.000 -50.000 -50.000 -50.000 
 135 
 Diminuição custos fixos (e) 50.000 50.000 50.000 50.000 
 Depreciação diferencial (f) -200.000 -200.000 -200.000 -
200.000 
 
Lucro tributável (a)+ (d) + (e) + (f) 350.000 350.000 350.000 350.000 
 -Impostos (30%) -105.000 -105.000 -105.000 -
105.000 
 
 +Depreciação diferencial (g) 200.000 200.000 200.000 200.000 
FLUXO ECONÔMICO -1.265.000 445.000 445.000 445.000 445.000 450.000 
(a) 300.000 unidades  $4,5/unidade - 200.000 unidades  $4/unidade =$550.000/ano 
(b) custo dos novos equipamentos...................................................................$1.500.000 
 caixa gerado pela venda dos equipamentos substituídos...............................(250.000) 
 impostos sobre ganho de capital na venda : 0,30(250.000-200.000)............15.000 
 investimento inicial líquido.........$1.265.000 
 (c) 0,90{1.500.000 – (4/6)1.500.000} 
 (d) 300.000 unidades  $1,5/unidade - 200.000 unidades  $2,0/unidade =$50.000/ano 
 (e) $350.000/ano - $300.000/ano=$50.000/ano 
 (f) ($1.500.000/6 - $200.000/4)=$200.000/ano 
 (g) a depreciação é somada novamente, pois trata-se de uma despesa não-caixa 
Análise Econômica: (TIRE=23,81% a.a.) > 20% a.a.  O projeto é economicamente viável. 
 
9. Uma empresa da área metal-mecânica estuda a modernização de sua principal linha de produção que 
produz rolamentos. Basicamente, o projeto consiste na substituição do principal equipamento da linha 
por um equipamento tecnologicamente mais moderno e eficiente. Para tanto, ao custo de $200.000 
contratou a Balman Consultores Associados Ltda para fazer o estudo de viabilidade. O referido estudo 
mostrou que o equipamento adequado custa $24.000.000 e estimou por informações do fabricante que 
possa ser usado operacionalmente durante seis anos. O estudo da consultora, junto com o departamento 
de engenharia da empresa, determinou que o atual equipamento poderia, se for o caso, ser usado por 
mais quatro anos até tornar-se imprestável. Segundo o departamento de contabilidade da empresa e o 
relatório da consultoria, atualmente o valor contábil do equipamento é de $4.000.000, depreciáveis 
linearmente nesse prazo. O equipamento poderia ser vendido por $6.000.000 no mercado de 
equipamentos usados. O estudo estimou, por comparação, que o novo equipamento possa ser vendido 
em qualquer época por um valor 50% maior que seu valor contábil daquela época. 
O quadro seguinte apresenta informações do relatório da consultora sobre o atual e sobre o novo 
equipamento: 
 
Equipamento Produção 
(unidades/ano) 
Custo 
operacional fixo por ano 
Custos variáveis unitários 
 ($/unidade) 
Preço de venda unitário 
Novo 2.000.000 $9.800.000 $6,60 $14 
Atual 1.600.000 $12.200.000 $5,00 $10 
 
Dada a maior produção decorrente do novo equipamento, a Balman estima que seja necessário um 
investimento adicional no capital de giro da empresa da ordem de $3.000.000. A consultora recomenda 
que a compra do equipamento seja financiada em 40% por meio de um empréstimo a juros de 12% a.a 
amortizável em dez anos pelo Sistema de Amortizações Constantes. A consultoria usou como custo do 
capital da empresa 20% a.a, e estimou que os acionistas requeiram uma rentabilidade mínima esperada 
de 25%. A alíquota de I.R da empresa é de 34% e admite-se que a empresa possa quitar integralmente o 
saldo devedor do empréstimo em qualquer época. Pede-se para replicar a análise de viabilidade 
econômica e financeira do relatório apresentado pela consultora. O que você acha que a consultora 
recomendou à empresa sobre o projeto? 
 
Resolução: 
 
 Quadro de Amortização do Financiamento –Sistema SAC ( em milhões) 
ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 9,60 
1 8,64 1,15 0,96 2,11 
 136 
2 7,68 1,04 0,96 2,00 
3 6,72 0,92 0,96 1,88 
4 5,76 0,81 0,96 1,77 
 FLUXO DE CAIXA (milhões) 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Compra do novo equipamento -24,00 
Venda (liquidação) do novo equipamento 12,00 (a) 
 efeito fiscal na liquidação do novo -1,36 (b) 
Venda do atual equipamento 6,00 
 efeito fiscal na venda do atual 
 - 0,68 
(c) 
Capital de giro - 3,00 3,00 
 Receita operacional (d) 12,00 12,00 12,00 12,00 
 Aumento dos custos fixos (e) 2,40 2,40 2,40 2,40 
 Diminuição do custo variável (f) - 5,20 - 5,20 - 5,20 - 5,20 
-Depreciação diferencial (g) - 3,00 - 3,00 - 3,00 - 3,00 
Lucro tributável(d) + (e) + (f) + (g) 6,20 6,20 6,20 6,20 
 IR(34%) - 2,11 - 2,11 - 2,11 - 2,11 
+Depreciação diferencial 3,00 3,00 3,00 3,00 
FLUXO ECONÔMICO - 21,68 7,09 7,09 7,09 7,09 13,64 
+Empréstimo ( h) 9,60 - 5,76 (i) 
-Prestações - 2,11 - 2,00 - 1,88 - 1,77 
+Benefício fiscal dos juros 0,39 0,35 0,31 0,27 
FLUXO ECONÔMICO-FINANC. -12,08 5,37 5,45 5,52 5,60 7,88 
(a) 1,5×2×($24/6) 
(b) 0,34×(valor de venda – valor contábil) = 0,34× ($12 -$8) 
 (c) 0,34×($6 -$4) 
 (d) 2.000.000 unidades  $14/unidade -1.600.000 unidades  $10/unidade 
 (e) $12,2 -$9,8 
 (f) 2.000.000 unidades  $6,6/unidade -1.600.000 unidades  $5/unidade 
(g) ($24/6 - $4/4) 
(h) 0,40$24 
(i) empréstimo liquidado pelo seu saldo devedor do quarto ano. 
 
Observação: o valor pago à consultoria é um custo afundado irrecuperável para efeitos do cômputo do 
fluxo incremental, e o capital de giro foi considerado fluxo antecipado (fluxo no início do respectivo 
ano). 
 VPLECONÔMICO(20%) = $3,26 milhões > 0  Viável economicamente. 
VPLECONÔMICO-FINANCEIRO(25%) = $4,05 milhões > 0  Viável econômica-financeiramente.