Manual de resolucao dos exercicios propostos (2)

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Matemática financeira: aplicações à 
análise de investimentos 
 
5ª. Edição 
 
Resolução dos exercícios 
propostos 
 
Um dos méritos deste livro, que contribui a torná-lo um dos preferidos 
pelos estudantes e professores, é explicar os diferentes assuntos da 
matemática financeira e análise de investimentos por meio de uma grande 
quantidade de exemplos e de numerosos exercícios propostos ao longo 
dos capítulos. 
Nesta quinta edição, disponibilizamos aos leitores as resoluções 
detalhadas de todos os exercícios propostos no livro. 
Esperamos que este novo recurso facilite a compreensão e estudo dos 
diversos assuntos tratados. 
 
 
 
O autor 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
CAPÍTULO 1 
Exercícios propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, anos comerciais de 360 
dias. 
 
1. Qual é a taxa anual de juros simples obtida por uma aplicação de $1.300 que produz após um ano um 
montante de $1.750? 
Dados: P= $1.300, S= $1.750, i= ? 
S P (1 i) $1.750 $1.300 (1 i) i 34,61% a.a.        
 
2. Qual é a remuneração obtida por um capital de $2.400 aplicado durante 17 meses à taxa de juros 
simples de 60% a.a.? 
Dados: P= $2.400, i= 60% a.a., n= 17 meses, J= ? 
J P i n
0,6
J $2.400 17 J= $2.040
12
       
 
 
3. Calcular o rendimento de um capital de $80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 
26% a.m.. 
Dados: P= $80.000, i= 26% a.m., n= 28 dias, J= ? 
J P i n
0,26
J $80.000 28 J= $19.413,33
30
       
 
 
4. Aplicando $80.000 durante 17 meses, resgatamos $140.000. Qual é a taxa anual de juros simples 
obtida na operação? 
Dados: P= $80.000, S= $140.000, n= 17 meses, i= ? 
S P (1 i n) 
i
$140.000 $80.000 (1 17) i 52,94% a.a.
12
          
 
 
5. Em quantos meses um capital de $28.000 aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a. produz um 
montante de $38.080? 
Dados: P= $28.000, S= $38.080, i= 48% a.a., n= ? 
S P (1 i n)
0,48
 $38.080 $28.000 (1 n) n= 9 meses
12
         
 
 
6. Um capital aplicado transformou-se em $13.000. Considerando uma taxa de juros simples de 42% 
a.a e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da aplicação. 
Dados: S= $13.000, i= 42% a.a., J= $4.065,29, n= ? (meses) 
0, 42
$13.000 × × n 
S × i × n 12J = $4.065, 29 = 
0, 421 + i × n 
1 + × n 
12
455 × n 
$4.065, 29 = n = 13 meses
1 + 0, 035 × n 

 
 
 
7. Um capital de $135.000 transformou-se em $180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de 
juros obtida na operação. 
Dados: P= $135.000, S= $180.000, n= 44 dias, i= ? 
S P (1 i n)
i
 $180.000 $135.000 (1 44) i 22,73% a.m.
30
          
 
 3 
8. João tem uma dívida de $35.000 que vence em 16 meses. Pretende pagar $12.000 no fim de 158 
dias e $13.000, 189 dias depois desse primeiro pagamento. Quanto deve pagar na data de vencimento 
de modo que liquide a dívida? Considere juros simples de 50% a.a. e data focal no vencimento da 
dívida. 
Dado: i= 50% a.a. 
 
 
 0 158 347 480 
 - $12.000 - $13.000 $35.000 
 133 dias 
 322 dias 
 
0,50 0,50
Valor no vencimento $35.000 - $12.000 1 322 $13.000 1 133 $2.231,95
360 360
      
   
   
   
 
 
9. Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma $156.400. O mesmo capital diminuído de seus 
juros de nove meses é reduzido a $88.400. Calcular o capital e a taxa de juros simples obtida. 
Dados: S1= $156.400, S2= $88.400, n1= 21 meses, n2= 9 meses, P= ?, i= ? 
 
108.800P a.a.) .m.(25%2,083333%ai 400.88$9iPP
156.400$12iPP


 
 
 
10. Um capital de $4.500 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A 
primeira a juros simples de 4% a.t., a segunda a juros simples de 6% a.t. e a terceira a juros simples de 
10% a.t. Se o rendimento da primeira parcela for de $160 e o rendimento das três parcelas totalizar $ 
1.320, calcular o valor de cada parcela. 
Dados: P1+ P2+ P3 = $4.500 , i1 = 4% a.t., i2 = 6% a.t., i3 = 10% a.t., n= 1 ano = 4 trimestres, J1 = 
$160, J1+ J2+ J3 = $1.320, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ? 
 
J P i n  
 
Logo, 
1 1 1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 3 2 3
J P i n $160 P 0,04 4 P $1.000
J P i n
J P i n
J + J + J (P i + P i + P i ) n $1.320 (40+ P 0,06+ P 0,1) 4 P 0,06+ P 0,1 = $290
        
  
  
            
Portanto, 
 
2 3
2 3
2 3
P 0,06+ P 0,1 = $ 290
P = $1.500, P = $2.000
P + P = $3.500
  
 
 
 
 
11. Dois capitais, um de $2.400 e outro de $1.800, foram aplicados a uma mesma taxa de juros simples. 
Calcular a taxa considerando que o primeiro capital em 48 dias rendeu $17,00 a mais que o segundo em 
30 dias. 
Dados: J1 - J2 = $17, n1 = 48 dias, n2 = 30 dias, P1= $2.400, P2= $1.800, i= ? 
 
1 2 1 1 2 2 
i i
J - J (P n - P n ) $17 ( $2.400 48- $1.800 30) i 0,833% a.m.
30 30
          
 
 
12. Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital sabendo-se 
que, se a diferença entre ele e os juros obtidos fosse aplicada à mesma taxa, renderia $988,75 em um 
trimestre. 
 4 
Dados: i= 42% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 90 dias, P= ? 
 
 
1 1
1 2
J = P i n
i 0,42 0,42
P-J n $988,75 P (1 50) 90 $988,75 P= $10.000
360 360 360
 
          
 
 
13. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital e o 
rendimento obtido, sabendo-se que, se a diferença entre ambos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à 
mesma taxa, renderia $95.000 no prazo de um ano. 
Dados: i= 30% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, P= ? 
 
 
1 1
1 2
J = P i n
0,30
P-J + $10.000 i n $95.000 P (1 50) 0,30 1+ $10.000 0,30 1 $95.000
360
P = $320.000
 
           

Logo, 
 
1 1 1 1
0,3
J = P i n J = $320.000 50 J = $13.333,33
360
    
 
 
14. Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% a.a e o segundo a 45% a.a. Se o 
rendimento de ambas as aplicações totalizou $52.500 no prazo de um ano, determinar o valor dos 
capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo. 
Dados: P1= (1-0,375)P2, i1 = 33% a.a., i2 = 45% a.a., n= 1 ano, S1+ S2 = $52.500 
 
1 2 1 1 2 2 2
2
J P i n
J J = P i + P i n $52.500 0,625 0,33+ 1 0,45 1 P 
 P = $80.000 
+ ( ) ( )
 
  
        

 
Logo, 
 
1P = $50.000 
 
 
15. Há 13 meses e dez dias um capital de $10.000 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. Se 
hoje fosse aplicada a importância de $8.000 a juros simples de 12% a.a., e o primeiro capital continuar 
aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos seriam iguais? 
Dados: n1= 400 dias, P1 = $ 10.000, P2 = $ 8.000, i1 = 6% a.a., i2 = 12% a.a., n= ? 
 
Na data focal, 
S P (1 i n)
0,06 0,12
$10.000 (1 (n+400)) $8.000 (1 n)
360 360
n = 2.667 dias = 7 anos, 4 meses e 27 dias
   
      

 
 
16. Uma empresa obteve um empréstimode $200.000 a juros simples de 10% a.a. Algum tempo depois 
liquidou a dívida, inclusive juros, e tomou um novo empréstimo de $300.000 a juros simples de 8% a.a. 
Dezoito meses após o primeiro empréstimo liquidou todos seus débitos, tendo pago $35.000 de juros 
totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos (em meses) dos dois empréstimos. 
Dados: J1 + J2 = $35.000, n1 + n2 = 18 meses, P1= $200.000, P2= $300.000, , i1 = 10% a.a., i2 = 8% 
a.a., n1= ?, n2 = ? 
 
1 2
1 2 1 1 2 2 1 1 
1 2
i i 0,1 0,08
J + J (P n + P n ) $35.000 ( $200.000 n + $300.000 (18 n ) )
12 12 12 12
 n 3 meses,n 15 meses
           
  
 
 
 
 5 
17. Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9% a.a.; 45 dias depois, pagou a dívida e 
contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo de dez meses a juros 
simples de 6% a.a. Sabendo-se que pagou ao todo $111.250 de juros pelos dois empréstimos, calcular o 
valor do primeiro. 
Dados: J1 + J2 = $111.250, n1 = 45 dias, n2 =10 meses, P2= 2 P1, i1 = 9% a.a., i2 = 6% a.a., P1 = ? 
 
1 2
1 2 1 1 2 2 1 
1
i i 0,09 0,06
J + J (P n + P n ) $111.250 P ( 45 + 2 10 )
360 12 360 12
 P $1.000.000
          
 
 
 
18. Um capital foi dividido em duas parcelas e aplicado a taxas e prazos diferentes. A primeira foi 
aplicada a juros simples de 10% a.m. durante seis meses, e a segunda a juros simples de 2% a.m. 
durante 12 meses. Se a primeira parcela for $50 maior e render $60 a mais que a segunda, determinar os 
valores de ambas as parcelas. 
Dados: J1 - J2 = $60, n1 = 6 meses, n2 = 12 meses, i1 = 10% a.m., i2 = 2% a.m., P1 - P2= $50, P1= ?, 
P2= ? 
 
1 2
1 2 1 1 2 2 2 2 
1 2
i i
J - J (P n - P n ) $60 $50+P 6 0,1- P 12 0,02
12 12
 P $133,33, P $83,33
          
  
 
 
19. Aplicado a juros simples pelo prazo de um ano, um capital transformou-se em $13.000. Esse 
montante foi reaplicado por mais dois anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na primeira 
aplicação, obtendo-se um montante final de $22.360. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado e 
a taxa de juros ao ano à qual foi aplicado. 
Dados: S1 = $13.000, S2 = $22.360 n1 = 1 ano, n2 = 2 anos, i2 = 1,2.i1, P1= ?, i1= ? 
 
2
2 1 2 2 2 2 1
i
1,2
S S (1 i n ) $22.360 $13.000 (1 i 2) i 36% a.a. i = 30% a.a.            
Por outro lado, 
1 1 1 1 1 1S P (1 i n ) $13.000 P (1 0,3 1) P $10.000          
 
 
20. Uma pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples de 30% a.a. 
Depois de três anos, resgatou metade dos juros obtidos e reaplicou a outra metade por um ano à taxa 
simples de 32% a.a., obtendo um rendimento de $20,16 nessa última aplicação. Calcular o valor do 
capital aplicado inicialmente. 
Dados: P2 = 0,5. J1, J2 = $20,16, n1 = 3 anos, n2 = 1 ano, i1 = 30% a.a., i2 = 32% a.a., P1= ? 
 
2 2 2 2 2 2 1J P i n $20,16 P 0,32 1 P = $63 J = $126        
 
Por outro lado 
1 1 1 1 1 1J P i n $126 P 0,3 3 P = $140       
 
 
21. Dois capitais foram colocados a juros simples, o primeiro à taxa de 20% a.a. e o segundo a 40% a.a. 
Calcular os capitais sabendo-se que, somados, eles montam $500 e que os dois em um ano renderam 
juros totais de $130. 
Dados: P1+ P2 = $500 , i1 = 20% a.a., i2 = 40% a.a., n= 1 ano, J1+ J2 = $130, P1 = ?, P2 = ?, 
 
1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 J + J (P i + P i ) n $130 ( P 0,2+ ($500 - P ) 0,4) 1 P = $350 P = $150           
 
22. Um capital de $50.000 aplicado a juros simples rendeu $1.875 em um determinado prazo. Se o 
prazo fosse 36 dias maior, o rendimento aumentaria em $250. Calcular a taxa de juros simples ao ano e 
o prazo da operação em dias. 
Dados: P = $50.000, J1 = $1.875 , J2 - J1 = $250, n2- n = 36 dias, i = ?, n = ?, 
 
 6 
 2 1 2 
1
i
n
360
i
360
J J P i - n $250 $50.000 36 i= 5% a.a.
J P i n $1.875 $50.000 n n= 270 dias = 9 meses
-        
       
 
23. Uma pessoa levantou um empréstimo de $3.000 a juros simples de 18% a.a. para ser liquidado 
daqui a 270 dias. Se a pessoa amortizou $1.000 no 75
o
 dia, quanto deverá pagar na data de vencimento 
de modo a liquidar a dívida? (data focal: 270
o
 dia). 
Dados: i= 18% a.a. 
 270 dias 
 
 0 75 270 
 $3.000 - $1.000 
 
 195 dias 
 
0,18 0,18
Valor de resgate: $3.000 1 270 -$1.000 1 195 $2.307,50
360 360
     
   
   
   
 
24. Uma empresa tem duas dívidas a pagar: a primeira, de $2.500, contratada a juros simples de 2,5% 
a.m., vence daqui a 45 dias; e a segunda, de $3.500, a juros simples de 3% a.m., vence daqui a 90 dias. 
Calcular a quantia necessária que liquide ambas as dívidas daqui a 180 dias, considerando que no 30
o
 
dia do seu prazo a primeira dívida foi amortizada com $1.500 e, no 60
o
 dia do seu prazo, a segunda foi 
amortizada com $3.000 (efetuar os cálculos na data focal:180
o
 dia). 
Dados: i1= 2,5% a.m. 
 150 dias 
 
 30 45 180 
 -$1.500 $2.500 
 
 135 dias 
 
 
i1= 3% a.m. 
 120 dias 
 
 60 90 180 
 - $3.000 $3.500 
 
 90 dias 
 
 
0,025 0,025
Valor do resgate $2.500 1 135 - $1.500 1 150
30 30
0,03 0,03
 + $3.500 1 90 - $3.000 1 120 $1.548,75
30 30
   
        
   
   
       
   
 
25. Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira, de $1.000, vence daqui a 45 dias, e a segunda, de 
$3.500, vence daqui a 120 dias. Se a pessoa pretende liquidar as dívidas por meio de dois pagamentos 
iguais, com vencimentos daqui a 90 e 180
 
dias, respectivamente, calcular o importe de cada pagamento 
se ambas as dívidas foram contratadas a juros simples de 2% a.m.(data focal: 180
o
 dia.) 
Dados: i= 2% a.m. 
 7 
 90 dias 
 
 0 45 90 120 180 
 $1.000 -X $3.500 -X 
 60 dias 
 135 dias 
 
 
0,02 0,02 0,02
X = $1.000 1 135 + $3.500 1 60 X 1 90
30 30 30X =$2.296,12
     
           
     

 
26. Determinar: 
a. o tempo em que triplica um capital aplicado a juros simples de 5% a.m.; 
S 3P= P (1 0,05 n) n = 40 meses    
 
 
b. o tempo em que quintuplica um capital aplicado a juros simples de 15% a.t.; 
S 5P = P (1 0,15 n) n = 26,67 trimestres = 80 meses    
 
 
c. o tempo em que um capital de $12.000 rende $541,68 quando aplicado a juros simples de 
12,5% a.a.; 
J P i n
0,125
$541,68 $12.000 n n = 130 dias
360
       
 
 
d. o tempo em que um capital de $7.000 se transforma em um montante de $7.933,34 quando 
aplicado a juros simples de 24% a.a. 
0,24
S P (1 i n) 
360
$7.933,34 $7.000 (1 n) n = 200 dias         
 
27. Determinar: 
a. a taxa de juros simples anual que produz um rendimento de $60 em 36 dias a partir de um capital 
de $2.000; 
J P i n
i
$60 $2.000 36 i = 30% a.a.
360
       
 
 
b. a taxa de juros simples mensal que produz um rendimento de $6.000 em 30 meses a partir de um 
capital de $8.000; 
J P i n $6.000 $8.000 30 i = 2,5% a.m.i       
 
 
c. a taxa de juros simples anual embutida na compra de um bem cujo valor à vista é de $3.000, 
pelo qual será paga uma entrada de $1.000 mais um pagamento de $2.200 para 60 dias. 
i
J S - P = P i n
12
($2.200 - ($3.000 - $1.000)) $2.000 2 i = 60% a.a.       
 
28. Calcular: 
a. o capital que aplicado a juros simples de 24% a.a. rende $300 em 126 dias; 
J P i n
0,24
$300 P 126 P = $3.571,43
360
       
 
 
b. o capital que aplicado a juros simples de 26% a.a. rende $800 em sete trimestres; 
J P i n
0,26
$800 P 7 P = $1.758,24
4
       
 
 
c. o rendimento de uma aplicação de $10.000 por 446 dias a juros simples de 24% a.a. 
J P i n
0,24
J $10.000 446 P = $2.973,33
360
       
 
 8 
29. Calcular: 
a. o rendimento de um capital de $2.000 aplicado a juros simples de 2,5% a.m. desde o dia 12 de 
março até o dia 5 de junho do mesmo ano; 
J P i n
0,025
J $2.000 (156-71) J = $141,66
30
       
 
 
b. o valor do capital que rendeu $3.000 no período compreendido entre 4 de abril e 31 de maio do 
mesmo ano a juros simples de 2% a.m.; 
J P i n
0,02
$3.000 P (151-94) P = $78.947,37
30
       
 
 
c. o valor de resgate de um capital de $5.000 aplicado a juros simples de 2% a.m. pelo período 
compreendido entre 6 de abril e 26 de junho do mesmo ano.; 
S P (1 i n)
0,02
 S $5.000 (1 (177-96)) S = $5.270
30
         
 
 
d. o valor do capital que se transformou em um montante de $20.000 no período compreendido 
entre 30 de junho e 31 de dezembro do corrente ano, a juros simples de 2% a.m.; 
S P (1 i n) 
30
0,02
$20.000 P (1 (365-181)) S = $17.814,73         
 
 
e. a taxa de juros simples mensal ganha por uma aplicação de $24.000 que rendeu $2.800 no 
período compreendido entre 23 de maio e 18 de agosto do mesmo ano. 
J P i n
i
$2.800 $24.000 (230-143) i = 4,023% a.m.
30
       
 
 
30. No dia 26 de maio foi contratado um empréstimo de $7.000 a juros simples de 24% a.a. para ser 
totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram amortizados $3.000, e no dia 11 de julho, 
$2.500. Determinar a data de vencimento da dívida e o valor da quantia que deverá ser paga naquela 
data para liquidar a dívida (considerar ano civil e data focal no 90
o
 dia). 
Dados: i= 24% a.a. 
Determinação da data de resgate da aplicação usando a Tábua para Contagem de Dias do ano civil: 
 número de dias da data posterior (?) = n 
 número de dias da data anterior (26 de maio) = 146 
 prazo: 90 
 
Logo, n - 146 =90 → n=236, que na a Tábua para Contagem de Dias entre Duas Datas (capítulo 1 do 
livro) corresponde ao dia 24 de agosto . 
 
 90 dias 
 
 26/ 05 16/ 06 11/ 07 24/ 08 
 $7.000 - $3.000 - $2.500 
 44 dias 
 69 dias 
 
0,24 0,24 0,24
Valor de resgate $7.000 1 90 -$3.000 1 69 $2.500 1 44 $1.708,67
360 360 360
     
             
     
 
 
31. Determinar o rendimento de um capital de $2.000 aplicado desde o dia 3 de março até o dia 28 de 
junho do corrente ano. A taxa de juros simples inicialmente contratada foi 3% a.m., mas posteriormente 
teve uma queda para 2,8% a.m. no dia 16 de abril e para 2,6% a.m. no dia 16 de junho. 
 9 
Dados: P = $2.000, i1 = 3% a.m., i2 = 2,8% a.m., i3 = 2,6% a.m., J= ? 
 
 1 1 
2 2 
3 3
n = 03/03 até 16/04 = 106-62 n = 44 dias
n = 16/04 até 16/06 = 167-106 n = 61 dias
n = 16/06 até 28/06 = 179-167 n = 12 dias



 
 
1 1 2 2 3 3
0,03 0,028 0,026
J P (i n + i n + i n ) J $2.000 ( 44 + 61 + 12)
30 30 30
 J = $222,67
          

 
 
32. Uma dívida de $2.000 contraída no dia 8 de junho para ser liquidada no dia 8 de julho foi contratada 
originalmente a juros simples de 2% a.m.. Calcular o rendimento da aplicação sabendo-se que a taxa de 
juros foi para 2,5% a.m. no dia 12 de junho, para 3% a.m. no dia 24 de junho e para 3,5% a.m. no dia 3 
de julho (considerar ano civil). 
Dados: P = $2.000, i1 = 2% a.m., i2 = 2,5% a.m., i3 = 3% a.m., i4 = 3,5% a.m., J= ? 
 
 
1 1 
2 2 
3 3
4 4
n = 08/06 até 12/06 = 163-159 n = 4 dias
n = 12/06 até 24/06 = 175-163 n = 12 dias
n = 24/06 até 03/07 = 184-175 n = 9 dias
n = 03/07 até 08/07 = 189-184 n = 5 dias




 
 
1 1 2 2 3 3 4 4
0,02 0,025 0,03
J P (i n + i n + i n + i n ) J $2.000 ( 4 + 12 + 9 +
30 30 30
0,035
 + 5) = $55 
30
           
 
 
33. Uma aplicação financeira foi iniciada no dia 2 de junho com $2.000. Posteriormente foram 
efetuados dois depósitos adicionais de $500 e de $300 nos dias 8 e 16 e um saque de $200 no dia 26 de 
junho. Se inicialmente foi contratada uma taxa de juros simples de 28% a.a., que posteriormente baixou 
para 26% a.a. no dia 16 de junho, calcular o saldo disponível no dia 1
o
 de julho. 
 
Dados: i1= 28% a.a. 
 14 dias 
 
 02/06 08/06 16/06 
 $2.000 $500 + $300 
 
 8 dias 
 
 
0,28 0,28
Valor em 16/06 $2.000 1 14 + $500 1 8 $300 $2.825
360 360
   
         
   
 
 
 i2= 26% a.a. 
 15 dias 
 
 16/06 26/06 01/07 
 $2.825 - $2005 dias 
 
 
 10 
0,26 0,26
Valor de resgate $2.825 1 15 -$200 1 5 $2.654,50
360 360
   
        
   
 
 
 
34. Hoje uma pessoa tem duas dívidas: a primeira de $8.000 vence em 36 dias, e a segunda, de $12.000, 
vence em 58 dias. A pessoa propõe-se a quitá-las por meio de dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 
dias, respectivamente. A juros simples de 24% a.a., calcular o valor de cada pagamento (data focal: 90
o
 
dia). 
Dados: i1= 24% a.a. 
 45 dias 
 
 0 36 45 58 90 
 $8.000 -X $12.000 - X 
 32 dias 
 54 dias 
 
 
0,24 0,24 0,24
X = $8.000 1 54 + $12.000 1 32 X 1 45
360 360 360
X $10.120,20
     
           
     
 
 
 
35. Resolver o exercício anterior tomando como data focal o 45
o
 dia. 
Dados: i1= 24% a.a. 
 - 45 dias 
 
 0 36 45 58 90 
 $8.000 -X $12.000 - X 
 - 13 dias 
 9 dias 
 
1 1
0,24 0,24 0,24
X = $8.000 1 9 + $12.000 1 13 X 1 45
360 360 360
X $10.119,82
 
     
           
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
CAPÍTULO 2 
Exercícios propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios, considerar, salvo menção em contrário, anos comerciais (360 
dias). 
1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500, pelas seguintes taxas de juros e prazos: 
 
Utilizando a fórmula de capitalização de juros compostos, temos 
 
a) 4% a.m., 6 meses; 
Dados: P=$3.500; i=4% a.m.. n= 6 meses 
 
6
S $3.500 1 0,04 S $ 4.428,62    
 
b) 8% a.t., 18 meses; 
Dados: P=$3.500; i=8% a.t.. n= 18 meses = 6 trimestres 
 
6
S $3.500 1 0,08 S $ 5.554,06    
 
 
c) 12% a.a., 18 meses 
Dados: P=$3.500; i=12% a.a.. n= 18 meses = 1,5 ano 
Utilizando a convenção exponencial 
 
1,5
S $3.500 1 0,12 S $ 4148,54    
 
 
 
2. Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743 à taxa de 15% a.m.? 
Dados: P=$18.000; S=$83.743, i=15% a.m.. n=? 
 
Podemos aplicar a expressão do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro implícito: 
 
 
 
n
n
n
 S P 1 i
 $83.743 $18.000 1 0,15
 4,65239 1,15
 
  

 
meses 11 
1,15 log
4,65239 log
n 1,15 logn4,65239 log :logaritmos aplicando 
 
 
3. Um investimento resultou em um montante de $43.000 no prazo de três meses. Se a taxa de juros 
efetiva ganha for de 10% a.m., calcular o valor do investimento. 
Dados: S=$43.000; n= 3 meses; i=10% a.m.; P=? 
 
 
 
n
3
S P 1 i
$43.000 P 1 0,1
P $ 32.306,54
 
  

 
 
4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a quatro anos com o montante 
de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se as taxas de juros efetivas 
ganhas forem as seguintes: 
a)13% a.t. (ao trimestre) 
Dados: S=$100.000; i= 13% a.t.; n= 4 anos = 16 trimestres; P= ? 
 
16
$100.000 P 1 0,13 P $ 14.149,62    
 
b) 18% a.a. (ao ano) 
Dados: S=$100.000; i= 18% a.a.; n= 4 anos; P= ? 
 12 
 
4
$100.000 P 1 0,18 P $ 51.578,89    
 
 
c) 14% a.s. (ao semestre) 
Dados: S=$100.000; i= 14% a.s.; n= 4 anos = 8 semestres; P= ? 
 
6
$100.000 P 1 0,14 P $ 35.055,91    
 
 
d) 12% a.m. (ao mês) 
Dados: S=$100.000; i= 12% a.m.; n= 4 anos = 48 meses; P= ? 
 
48
$100.000 P 1 0,12 P $ 434,05    
 
 
5. Um capital de $51.879,31 aplicado por seis meses resultou em $120.000. Qual a taxa de juros efetiva 
ganha? 
Dados: S= $120.000; P=$51.879,31; n= 6 meses; i= ? 
 
 
n
n
6
S
S P 1 i i 1
P
$120.000
 i 1
$51.879,31
i 15% a.m.
    
 

 
 
6. Uma pessoa deve pagar três prestações mensais iguais e consecutivas de $3.500 cada, sendo a 
primeira para 30 dias. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três 
meses, qual seria o valor desse pagamento considerando uma taxa de juros efetiva de 5% a.m.? 
Dados: i= 5% a.m.; P2 = ? 
(data focal = 3 meses) 
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento: 
3 prestações P = $3.500 1 prestação P2 
n=1, 2, 3 meses n = 3 meses 
 
 Por equivalência de capitais 
   
2
2 2P $3.500 1,05 $3.500 1,05 $3.500 P $11.033,75      
 
 
7. Dispõe-se de duas formas de pagamento: a) pagamento à vista de $1.400; b) dois cheques pré- -
datados de $763,61 cada, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada. 
Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicações financeiras, qual será a melhor opção de compra: à 
vista ou a prazo? 
Dados: i= ?.; k (oportunidade) = 5% a.m. 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $1.400 2 prestações P2 = $736,61 
 n = 1, 2 meses 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das parcelas: 
 
2
$736,61 $736,61
$1.400 i = 6% a.m. 
(1+i) 1+i
  
 
Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são 
superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção 
 
8. Na compra de um bem cujo valor à vista é $140, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de 
$80 no fim dos próximos dois meses. Considerando uma taxa de juros efetiva de 20% a.m., qual o 
valor da entrada?. 
Dados: i= 20% a.m.; E = ? (data focal = valor presente) 
 13 
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento (à vista): 
E + 2 prestações P = $80 P2 = $140 
n=0, 1, 2 meses 
 
 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
   
1 2
$80 $80
$140 E + E $17,78
1,2 1,2
   
 
 
9. Uma casa é vendida por $261.324,40 à vista. Se o comprador se propuser pagar $638.000 daqui a 
quatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta. 
Dados: i= ? (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $261.324,40 P2 = $638.000 
 n = 4 meses 
 
Por equivalência de capitais 
 
4
4
$638.000 $638.000
$261.324,40 i 1 i = 25% a.m. 
$261.324,401+i
    
 
 
10. Em quanto tempo triplica uma população que cresce à taxa composta de 3% a.a. ? 
Dados: S = 3P; i= 3% a.a.; n= ? 
 
n nS = 3P = P 1 i 3 (1,03)  
 
log 3
aplicando logaritmos: log 3 n log 1,03 n 37,17 anos
log 1,03
    
 
 
11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a. Se os juros ganhos foram de $27.473 
sobre um capital investido de $83.000, quanto tempo o capital ficou aplicado? 
Dados: S = $110.473 ($83.000 + $27.473);P= $83.000; i= 10% a.a.; n= ? 
 
 
n nS = P 1 i $110.473 $83.000 (1,10)   
 
log 1,331
aplicando logaritmos: log 1,331 n log 1,10 n 3 anos
log 1,1
    
 
 
12. Nas vendas a crédito uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Desse valor 
majorado, 20% são exigidos como entrada, e o resto é quitado em duas prestações mensais de $1.058 
cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Se o valor à vista é de $2.000, determinar a taxa de juros 
efetiva cobrada no financiamento. 
Dados: i= ? (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $2.000 E = 1,4 x 0,2 x P = $560 
 2 prestações P2 = $1.058 
 n = 0,1,2 meses 
 
 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
   
1 2
$1.058 $1.058
$2.000 $560 + + i 30% a.m. 
1+i 1+i
  
 
 
13. Um produto, cujo preço à vista é de $450, será pago em duas prestações mensais consecutivas, de 
$280 e $300, sendo a primeira para 30 dias. Se a taxa de juros embutida na primeira prestação for de 
10% a.m., determinar a taxa embutida na segunda. 
Dados: i= ? (data focal = valor presente) 
 14 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $ 450 P2 = $280, n=1 mês, i2 = 10% a.m. 
 P3 = $300, n=2 meses 
 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
 
   
 
2
1 2
$280 $300 $300
$450 + 1+i i 23,89% a.m. 
$195,451,10 1+i
    
 
 
14. Um apartamento pode ser comprado à vista por $320.000 ou pagando 20% de entrada mais duas 
prestações de $170.000 cada, a primeira para três meses e a segunda para sete meses. Calcular a taxa 
de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações 
financeiras for de 2% a.m., qual será a melhor opção de compra? 
Dados: i= ?.; k (oportunidade) = 2% a.m. (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $320.000 E = 0,2 x P = $64.000; 2 prestações P2 = $170.000 
 n = 0, 3, 7 meses 
 
Por equivalência de capitais 
 
73
$170.000 $170.000
$320.000 $64.000 + i = 5,98% a.m. 
(1+i) 1+i
  
 
 
Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois a taxa de juros efetiva da compra é 
superior ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 
 
15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada e o 
restante a ser liquidado em três prestações mensais iguais, a primeira para 30 dias. Se a taxa de juros 
efetiva cobrada for de 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista a ser pago como prestação a 
cada mês. 
Dados: i= 15% a.m., p = ?, (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
 P E = 0,2 x P; 3 prestações P2 = p x P 
 n = 0, 1, 2, 3 meses 
 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
   
1 2 3
1 2 3
p P p P p P 0,8 P
P 0,2 P + p P = 
(1+i) 1 1 11+i 1+i
(1,15) (1,15) (1,15)
 p = 35,05% 
   
     
 
  
 

 
16. Uma loja permite pagamento em três prestações iguais. Se cada prestação for igual a um terço do 
valor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa de juros cobrada. 
Dados: i= ?, (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P E = P / 3; 2 prestações P2 = P / 3 
 n = 0, 1, 2 meses 
 
Por equivalência de capitais 
 
21
P P
P 3 3P + i = 0% a.m. 
3 (1+i) 1+i
  
 
 
 15 
17. O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo paga-se uma entrada mais três parcelas mensais de 
$2.000 cada, sendo a primeira daqui a um mês. Calcular o valor da entrada, se a taxa de juros aplicada 
for de 7% a.m. 
Dados: i= 7% a.m.; E = ?, (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $6.000 E; 3 prestações P2 = $2.000 
 n = 0, 1, 2, 3 meses 
 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
 
 
31 2
$2.000 $2.000 $2.000
$6.000 E + E = $751,37
(1,07) (1,07) 1,07
   
 
 
18. Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais 
consecutivos. Se o primeiro pagamento for de $180.000 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% a.m., 
calcular o valor do segundo pagamento. 
Dados: i= 10% a.m.; P3 = ?; (data focal = valor presente) 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $360.000 E= 0,2 x P = $72.000; P2 = $180.000; P3 
 n = 0, 1, 2 meses 
 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente das prestações: 
 
3
3
1 2
$180.000 P
$360.000 $72.000 + P = $150.480
(1,10) (1,10)
  
 
 
19. Pretende-se daqui a seis meses comprar um automóvel cujo valor é $25.000. Calcular a aplicação 
necessária a ser efetuada hoje em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de modo que 
o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação. 
Dados: J=$25.000; i= 13% a.m.; n= 6 meses; P= ? 
  
 
n
igual ao valor da compra
6
Juros = S - P = P 1 i 1
$25.000 = P (1,13) 1 P = $23.106,39
 
 
 
 
20. Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses 
maior, o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela 
aplicação e o prazo em meses. 
Dados: P=$50.000; S1 = $51.000 ($50.000 + $1.000); S2 = $53.060,40 ($51.000 + $2.060,40); n2 = n 
+ 2; n= ?; i=? 
 
n
n
n 2
2
n
$51.000 $50.000 (1+i)
S P 1 i
$53.060,40 $50.000 (1+i) (1+i)
$53.060,40
(1+i) i 2% a.m
$51.000
logo: (1,02) 1,02
   
    
    
  

 
 
aplicando logaritmos: log 1,02 n log 1,02 n 1 mês   
 
 
21. Dois capitais foram aplicados durante dois anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e o 
segundo, a 1,5% a.m. O primeiro capital é $10.000 maior que o segundo e seu rendimento excedeu em 
$6.700 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais. 
Dados: i1= 2% a.m.; i2= 1,5% a.m; P1 - P2 = $10.000 ; J1 - J2 = $6.700; n = 24 meses; P1= ?; P2= ? 
 
 16 
 
   
1 2 1 2 1 2
24 24
1 2
1 2
2 1
J - J = S - S - P - P
$6.700 = P 1,02 P 1,015 $10.000
P = P + $10.000 
P =$3.440,52 P =$13.440,52
   
 
  

 
 
22. Dois capitais, o primeiro de $2.400 e o segundo de $1.800, foram aplicados por 40 e 32 dias, 
respectivamente. Se a taxa efetiva ganha pelo primeiro capital for de 5% a.m., e sabendo-se que esse 
capital rendeu $100 a mais do que o segundo, determinar a taxa mensal ganha pelo segundo capital. 
Dados: n1= 40 dias; n2= 32 dias; P1 = $2.400; P2 = $1.800 ; J1 - J2 = $100; i1 = 5% a.m.; i2 = ? 
 
 
   
1 2 1 2 1 2
40 30 32 30
2
30
32
2
J- J = S - S - P - P
$100 = $2.400 1,05 $1.800 1 i $600
$1.861,32
i = 1 = 3,19% a.m.
$1.800
  
 
  
 
 
 
23. Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de 15% a.a. Determinar o valor do capital 
sabendo-se que, se o montante ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse 
reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42. 
Dados: n1= 6 meses; n2= 3 meses; P2 = S1 – 0,5J1; J2 = $18,42; i1 = 15% a.a.; P1 =? 
 
  
  
 
n
n
2 2
3 12
2 2 
J = S - P = P 1 i 1
J = P 1 i 1
$18,42 = P (1,15) 1 P = $518,03
 
 
 
 
Por outro lado, 
    
    
1 1n n
2 1 1 2 1 1 1
6 12 6 12
1
1 
P = S - J /2 P = P 1+i 0,5 1+i 1
$518,03 = P 1,15 0,5 1,15 1 
P = $500
    
 
    
 
 
 
24. Certo capital após quatro meses transformou-se em $850,85. Esse capital, diminuído dos juros 
ganhos nesse prazo, reduz-se a $549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na 
aplicação. 
Dados: n= 4 meses; S= $850,85; P - J = $549,15; i = ?; P = ? 
 
   
 
n 4
4
$850,85
S P 1 i $850,85 P 1 i P = 
1 i
      

 
Por outro lado 
 17 
  
  
  
 
  
 
4
4
4
4
4
4
4
P - J = P - P[(1+i) -1]
$549,15 = P 1 1+i 1
$549,15 = P 1 1+i 1
$549,15 = P 2 1+i
Substituindo P na expressão acima:
$850,85
$549,15 = 2 1+i
1+i
i = 5% a.m.
$850,85
P= =$700
1+0,05
  
 
 




 
 
25. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% a.a. Depois de três anos, resgatou-se metade dos 
juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% a.a., obtendo-se 
um rendimento de $102,30 no prazo de um ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. 
Dados: n1= 3 anos; n2= 1 ano; P2 = S1 – 0,5J1 ; J2 = $102,30; i1 = 30% a.a.; i2 = 32% a.a; P1 = ? 
 
  
 
n
2 2
1
2 2 
J = S - P 
J = P 1 i 1
$102,30 = P (1,32) 1 P = $319,69
 
 
 
 
Por outro lado, 
    
    
1 1
2 1 1
n n
2 1 1 1
3 3
1 1 
P = S - 0,5J
P = P 1+i 0,5 1+i 1
$319,69 = P 1,30 0,5 1,30 1 P = $200
   
 
     
 
 
 
26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m. Se a diferença entre o capital inicial 
e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02. Determinar o 
valor do capital. 
Dados: n1= 50 dias; n2= 3 meses; P2 = P1 – J1; J2 = $44,02; i = 3% a.m.; P1 = ? 
 
  
  
2n
2 2
3
2 2
J P 1 i 1
$44,02 P 1,03 1 P = $474,73
  
  
 
Por outro lado, 
 
  
  
  
  
1
1
1
2 1 1
n
2 1 - 1
n
2 1 
n
2 1 
50 30
1 1 
50 30
P = P - J 
P = P P 1+i 1
P = P 1 1+i 1
P = P 2 1+i
substituindo os valores:
$474,73
$474,73 = P 2 1,03 P = =$500
2 1,03
 
 
  
 

 

 
 18 
27. Um capital foi aplicado durante dez meses à taxa efetiva de 2% a.m. Ao término desse prazo, seu 
montante foi reaplicado durante 11 meses a 3% a.m. A que taxa mensal única poderia ser aplicado o 
capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? 
Dados: n = n1+ n2; n1= 10 meses; n2= 11 meses; i1 = 2% a.m.; i2 = 3% a.m.; i= ? 
Por equivalência de capitais 
 
   
1 2n n n
1 2
10 11 21
P(1+i ) (1+i ) P(1+i)
1,02 1,03 = (1+i) i 2,523% a.m. 
 
  
 
 
28. Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. rendeu após um ano $480,83 de juros. Do montante obtido, 
foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultando em um novo montante de 
$1.226,15 depois de um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e o prazo da reaplicação. 
Dados: n1= 12 meses; P2 = S1 – $600; J1 = $480,83; S2 =$1.226,15 i = 4% a.m.; P1 = ?; n2= ? 
 
 
 
 
  
     
2
2 2
n1
1 1 1 1
12
1 1 1 
n
2 2
n
2 1
12 n n
2
S = P + J = P 1+i 
P + $480,83 = P 1,04 P = $800
Por outro lado,
S P 1 i
S = S $600 1 i
$1.226,15 $800 1,04 $600 1,04 1,04 1,800975
aplicando logaritmos: log 1,800975 n log 1,04 

 
 
    
  2 n 15 meses 
 
 
29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e à mesma 
taxa efetiva de 4% a.m. Sabendo que o primeiro capital ganhou $400 de juros, e que a soma do 
primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo totalizam $1.032,91, calcular os capitais e o prazo 
da aplicação. 
Dados: P1 = 2 P2; J1 = $400; P1 + J2 = $1.032,91; i = 4% a.m.; P1 = ?; P2 = ?; n = ? 
 
 
 
 
n
1 1
n
2 2
n
J P 1 i 1
$200
$400 = 2 P 1,04 1 P
1,04 1
   
 
    
   
 
 
 
Por outro lado 
 
 
 
 
1 2
n
1 2
2 :
n
1 
n
1 1 
n
1 1
P J = $ 1.032,91
P P 1,04 1 = $ 1.032,91
Substituindo P
$200
P 1,04 1 = $ 1.032,91
1,04 1
P $200 = $ 1.032,91 P = $832,91
Por outro lado:
J P 1 i 1
$400 = $83




 
 
 
        

   
 
 
 
n
n
2,91 1,04 1 
1,04 1,487024
 
 
 
 
 19 
 
 
n
aplicando logaritmos: 1,04 1,487024
log 1,487024 
n log 1,04 log 1,487024 n 10 meses
log 1,04 

    
 
 
30. Dois capitais, o primeiro de $1.000 e o segundo de $227,27, foram aplicados a juros efetivos de 
20% a.a. O primeiro capital, na metade do tempo do segundo, obteve um rendimento de $100 a mais. 
Calcular os prazos das duas aplicações. 
Dados: P1 = $1.000; P2 = $227,27; J1 - J2 = $100; i = 20% a.a.; n1 = n2/2; n1 = ?; n2 = ? 
 
 
   
 
1 1
1
1 2 1 2 1 2
n 2 n
n
1 2 
J - J = S - S - P - P
 $100 = $1.000 1,20 $227,27 1,20 ($1.000 $227,27)
Log 1,20
1,20 1,20 n = =1 ano n = 2 anos
Log 1,20

  
  
 
 
31. Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos 20% a.a. Ao término desse prazo um terço 
dos juros ganhos foi reaplicado à taxa efetiva de 25% a.a., obtendo-se uma remuneração semestral de 
$34,62. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. 
Dados: n1= 2 anos; n2= 0,5 ano; P2 = J1 /3; J2 = $34,62; i1 = 20% a.a.; i2 = 25% a.a; P1 = ? 
 
  
 
n
2 2 2 2
0,5
2 2 
J = S - P = P 1 i 1
$34,62 = P (1,25) 1 P = $293,30
 
 
 
 
Por outro lado, 
  
  
1n
2 1 2 1 1
2
1
1 
P = J /3 3 P = P 1+i 1
$879,92 = P 1,20 1 
P = $2.000
  
 
 
 
32- Um capital foi aplicado durante 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital e 
os juros ganhos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $12.342,82 ao ano. 
Calcular o capital. 
Dados: n1= 50 dias; n2= 1 ano; J2 = $12.342,82; P2 = P1 – J1 + $10.000; i = 3% a.m.; P1 = ? 
 
     2n 122 2 2 2J P 1 i 1 $12.342,82 P 1,03 1 P = $28.990      
 
Por outro lado, 
  
2 1 1
50 30
1 1
P - $10.000 = P - J 
$28.990 $18.990 = P 2 1,03 P = $20.000  
 
 
33. Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por três meses a juros efetivos de 5% a.m., e o 
segundo por dez meses a 4% a.m. Sabendo que os juros pagos pelos dois empréstimos totalizaram 
$11.181,14 e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, calcular o valor total dos 
empréstimos. 
Dados: i1= 5% a.m.; n1= 3 meses; i2= 4% a.m; n2= 10 meses; 2 x P1 = P2; J1 + J2 = $11.181,14;P1= ?; 
P2= ? 
 
 
   
1 2 1 2 1 2
3 10
1
1 2
J + J = S + S - P + P
$11.181,14 = P 1,05 2 1,04 3
P =$10.000 P =$20.000
   
 

 
 20 
Valor total dos empréstimos = $10.000+$20.000=$30.000 
 
34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados, respectivamente, a taxas 
efetivas de 5% a.m. e 10% a.m.. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitais se igualam. 
Dados: i1= 5% a.m.; i2= 10% a.m; P1 = 3 x P2; S1 = S2; n = ? 
 
 
     
n
n n n
2 2
S P 1 i
 3 P 1,05 P 1,10 1,04762 3
 
   
 
 
aplicando logaritmos: log 3 n log 1,04762 n 23,6159 meses = 23 meses e 19 dias   
 
 
35. Uma empresa tem duas dívidas: a primeira, de $10.000, contratada a juros efetivos de 3% a.m., 
vence em 48 dias; e a segunda, de $15.000, a juros efetivos de 4% a.m., vence em 63 dias. A empresa 
pretende liquidar as dívidas com o dinheiro proveniente do desconto financeiro de uma promissória 
com valor nominal de $27.033 que vence em 90 dias. Calcular a taxa mensal efetiva aplicada pelo 
banco no desconto do título. 
Dados: i1= 3% a.m.; n1= 48 dias; i2= 4% a.m; n2= 63 dias; D1 = $10.000; D2 = $15.000; P = $27.033, 
n= 90 dias; i = ?; (data focal = valor presente) 
 
Por equivalência de capitais 
 
63 3090 30 48 30
$27.033 $10.000 $15.000
 i = 5% a.m. 
(1+i) (1,03) 1,04
  
 
 
36. Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao o próprio capital, aplicando-se 
uma taxa efetiva de 5% a.m.? 
Dados: J = P; i = 5% a.m.; n = ? 
 
   
n
n n
 J P 
 P 1 i 1 P 
P 1 0,05 1 P 1,05 2

   
 
     
 
 
 
aplicando logaritmos: log 2 n log 1,05 n 14,2067 meses = 14 meses e 6 dias   
 
 
37. Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de $8.000, aplicado a juros 
efetivos de 4% a.m., e seu montante seja igual a 4/10? 
Dados: P= $8.000; S = (10/4) x P; i = 4% a.m.; n = ? 
 
 
 
 
n
n
n
P 4
 
S 10
P 4
10P 1+i
$8.000 4
 1,04 2,5
10$8.000 1+0,04


  
 
 
aplicando logaritmos: log 2,5 n log 1,04 n 23,3624 meses = 23 meses e 11 dias   
 
 
 
38. Três dívidas, a primeira de $2.000 vencendo em 30 dias, a segunda de $1.000 vencendo em 60 dias 
e a terceira de $3.000 vencendo em 90 dias, serão liquidadas por meio de um pagamento único de 
$6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m., determinar daqui a quanto tempo deve ser 
efetuado este pagamento 
Dados: i= 3% a.m.; n1= 30 dias; n2= 60 dias; n3= 90 dias; D1 = $2.000; D2 = $1.000; D3 = $3.000; P = 
$6.000, n = ?; (data focal = valor presente) 
 21 
 
Por equivalência de capitais 
   
n
2 3n 30 1
$6.000 $2.000 $1.000 $3.000
 (1,03) 6,7581
(1,03) (1,03) 1,03 1,03
    
 
 
aplicando logaritmos: log 6,7581 n log 1,03 n 65 dias   
 
 
39. Quanto tempo deve transcorrer para que o montante de um capital de $5.000 aplicado a juros 
efetivos de 6% a.m. se iguale ao montante de outro capital de $8.000 aplicado à taxa efetiva de 4% a.m. 
Dados: i1= 6% a.m.; i2= 4% a.m; P1 = $5.000; P2 = $8.000; n = ? 
 
 
     
n
n n n
S P 1 i
 $5.000 1,06 $8.000 1,04 1,01923 1,6
 
  
 
 
aplicando logaritmos: log 1,6 n log 1,01923 n 24,67444 meses = 740 dias   
 
 
40. Calcular o rendimento de um capital de $7.000 aplicado à taxa efetiva de 1% a.m. no período 
compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano (considere ano civil). 
Dados: i= 1% a.m.; P = $7.000; J = ? 
 n= 03/04 até 06/06 = 157-93 n= 64 dias
 
 
 
 
n
64 30
J P 1 i 1
J $7.000 1,01 1 J $150,18
   
 
    
 
 
 
41. Qual a taxa de juros anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? 
Dados: S = 2 x P; n= 42 meses; i = ? 
 
 
 
n
42 12
S P 1 i 2 P
 1 i 2 i = 21,9% a.a.
   
  
 
 
42. Um capital de $20.000 foi aplicado por 90 dias à taxa efetiva diária de 0,1% a.d. Determinar o 
rendimento ganho entre o 46
o
 e o 87
o
 dia . 
Dados: i= 0,1% a.d.; P = $20.000; n1= 46 dias; n2= 87 dias;
2 1J - J
 = ? 
 
       
   
2 1n n n
2 1
87 46
2 1 2 1 
J = P 1 i 1 J - J = P 1 i 1 1 i 1
J - J = $20.000 1,001 1,001 J - J = $875,98
       
  
 
 
 
43. Duas dívidas de $20.000 e $30.000 com vencimento em dois e quatro meses, respectivamente, 
serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3 meses. Considerando juros 
efetivos de 5% a.m., calcular o valor deste pagamento. 
Dados: i= 5% a.m.; n1= 2 meses; n2= 4 meses; D1 = $20.000; D2 = $30.000; n = 3 meses; P = ? 
 (data focal = valor presente) 
 
Por equivalência de capitais 
 
43 2
P $20.000 $30.000
 P = $49.571,43
(1,05) (1,05) 1,05
  
 
 
44. Uma pessoa necessita dispor de $20.000 daqui a oito meses. Para tanto, pretende efetuar duas 
aplicações em um fundo que rende juros efetivos de 3% a.m. A primeira aplicação, de $10.000, foi 
 22 
efetuada hoje, e a segunda o será daqui a um mês. De quanto deverá ser esta segunda aplicação de 
modo que possa dispor da quantia necessitada ao término do oitavo mês? 
Dados: i= 3% a.m.; n1= 8 meses; n2= 7 meses; P1 = $10.000; D = $20.000; n = 8 meses; P2 = ? 
 
Por equivalência de capitais 
8 7
1 2
8 7
2 2
 D P (1+i) + P (1+i)
$20.000 $10.000 (1,03) + P (1,03) P = $5.961,83
  
   
 
 
45. Um empréstimo de $5.000 contratado à taxa efetiva de 5% a.m. será liquidado por meio de cinco 
pagamentos mensais consecutivos, sendo o primeiro daqui a 30 dias. Se o valor de cada um dos quatro 
primeiros pagamentos for de $1.000, determinar o valor do último pagamento 
Dados: i= 5% a.m.; ni = i meses; D = $5.000; P1-4 = $1.000; P5 = ? 
 (data focal = valor presente) 
 
Por equivalência de capitais 
     
5
5 
2 4 51 3
$1.000 $1.000 $1.000 $1.000 P
$5.000 P = $1.855,78
(1,05) (1,05)1,05 1,05 1,05
     
 
 
46. Determinar o capital que aplicado durante três meses à taxa efetiva composta de 4% a.m. produz um 
montante que excede em $500 ao montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo 
mesmo prazo a juros simples de 4% a.m. 
Dados: i= 4% a.m; n= 3 meses; S1 = S2 +$500; P = ? 
 
   
   
n
1 2
1 2
3
S P 1 i S P 1 n i
S S
 P 1,04 = P 1 + 3 0,04 $500 P = $102.796,05
e    

  
 
 
47. Um capital aplicado a uma determinada taxa de juros efetiva mensal rendeu, no prazo de dois anos, 
um valor igual a um quarto do próprio capital. Determinar a taxa de juros à qual foi aplicado. 
Dados: n = 2 anos, Capital =P; Rendimento = 0,25P, i=? 
 
  a.m 0,9341%009341,0i P0,251i)(1P 2 
 
 
48. Uma pessoa depositou $1.000 em um fundo que paga juros efetivos de 5% a.m., com o objetivo de 
dispor de $1.102,50 dentro de 60 dias. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% 
a.m. Quanto tempo adicional, além dos 60 dias inicialmente previstos, terá de esperar para obter o 
capital requerido? 
Dados: i1= 5% a.m.; i2= 4% a.m.; n1= 24 dias; P1 = $10.000; S2 = $1.102,50; P2 = S1; n2 = ? 
 
 
 
n
24 30
1 1 2 
S P 1 i
 S $10.000 1,05 S P = $10.398,04
 
  
 
Por outro lado, 
 
 
 
2 2n - 24 30 n - 24
2S $1.102,50 $1.039,80 1,04 1,04 5,7925   
 
 
 2 aplicando logaritmos:log 5,7925 n - 24 log 1,04 n 69 dias
Dias adicionais: 69 -60 = 9 dias a mais
   
 
 
49. Um capital de $4.000 foi dividido em duas parcelas e aplicado: a primeira parcela, à taxa efetiva de 
6% a.t., e a segunda, a 2% a.m. Se após oito meses os montantes de ambas as parcelas se igualam, 
determinar o valor de cada uma. 
Dados: i1= 6% a.t.; i2= 2% a.m; P1 = $4.000 - P2; S1 = S2; n = 8 meses; P1= ?; P2= ? 
 
 23 
 
    
 
n
montante da 1a. parcela ao término dos 8 meses montante da 2a. parcela ao término dos 8 meses
8 3 8
2 2
2 1 2
S P 1 i
 $4.000 P 1,06 P 1,02
P = $1.996,69 P = $4.000 P $4.000 $1.996,69 $2.003,04
 
 
     
 
 
50. Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo 
ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? (considerar o ano civil.) 
Dados: S = 2 x P; i = ? 
 n= 11/07 até 22/12 = 356-192 n= 164 dias
 
 
 
 
n
164 30
S P 1 i
2 P= P 1 i i = 13,52% a.m.
 
  
 
 
51. Um financiamento de $5.000 foi contratado a uma taxa efetiva de 12% a.t. Se foi liquidado após 60 
dias, calcular o total de juros pagos pelo financiamento. 
Dados: i= 12% a.t.; n= 2 meses; P= $5.000; J = ? 
 
 
 
n
2 3
J P 1 i 1
 J $5.000 1,12 1 J $392,40
   
 
    
 
 
 
52. Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de $2.000 contratado a juros efetivos de 5% 
a.m. pelo prazo de 25 dias. 
Dados: i= 5% a.m.; n= 25 dias; P= $2.000; J = ? 
 
 
 
n
25 30
J P 1 i 1
 J $2.000 1,05 1 J $82,99
   
 
    
 
 
 
53. Um empréstimo de $5.000 foi tomado a juros efetivos em 14 de abril e liquidado por $5.850 em 28 
de maio do mesmo ano. Determinar a taxa efetiva mensal contratada. (considerar o ano civil.) 
Dados: S= $5.850; P= $5.000; i = ? 
 n= 14/04 até 28/05 = 148-104 n= 44 dias
 
 
 
n
44 30
S P 1 i
$5.850 $5.000 1 i i 11,2988% a.m.
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
CAPÍTULO 3 
Exercícios propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios, considerar, salvo menção em contrário, anos comerciais de 360 
dias. 
1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre. 
Dados: ia= 48% a.a. 
 
2 4 12 360
a s t m d
1/12
m a
1/4
t a
1/2
s a
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
i =(1 + i ) - 1 = 3,32% a.m.
i =(1 + i ) - 1 = 10,30% a.t.
i =(1 + i ) - 1 = 21,66% a.s.
 
 
2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral, equivalentes à taxa nominal de 60% 
a.a., capitalizada mensalmente. 
Dados: j= 60% a.a.; k= 12; m=1 
 
k m 12
a a
2 4 12 360
a s t m d
1/12
m a
1/4
t a
1/2
s a
j 0,60
(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 1,796
k 12
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
i =(1 + i ) - 1 = 5,00% a.m.
i =(1 + i ) - 1 = 15,76% a.t.
i =(1 + i )

   
    
   
 - 1 = 34,01% a.s.
 
 
3. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a., nas seguintes hipóteses 
de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral. 
Dados: j= 60% a.a.; m=1 
 
k m
a
360
a
12
a
4
a
j
(1 + i ) = 1+
k
0,60
Diária (k=360) i = 1+ - 1 = 82,12% a.a.
360
0,60
Mensal (k=12) i = 1+ - 1 = 79,59% a.a.
12
0,60
Trimestral (k=4) i = 1+ - 1 = 74,90% a.a.
4
Semestral (k=

 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
2
a
0,60
2) i = 1+ - 1 = 69,00% a.a.
2
 
  
 
 
 
4. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a., nas seguintes hipóteses de 
capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral. 
Dados: ia= 40% a.a.; m=1 
 
 25 
k m
1 k m
a a
1 12
1 4
1 2
j
(1 + i ) = 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
Mensal (k=12) j = (1,40) 1 ×12 = 34,12% a.a.
Trimestral (k=4) j = (1,40) 1 ×4 = 35,10% a.a.
Semestral (k=2) j = (1,40) 1 ×2 = 36,64% a

       
 
   
   
    .a.
 
 
5. A que taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em um 
montante de $23.000 em sete meses? 
Dados: P= $13.000; S=$23.000; m=7/12; k=12; j = ? % a.a. 
 
 
k m 1 k m
1 12 7 12
j S
S = P 1+ j = 1 ×k
k P
$23.000
j = 1 ×12= 101,90% a.a.
$13.000
 

    
     
     
  
  
   
 
 
6. Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a.a., capitalizada mensalmente, resultou em 
um montante de $36.204,48, quantos meses o capital ficou aplicado? 
Dados: P= $18.000; S=$36.204,48; j= 180% a.a.; k=12; m= ? anos 
 
 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
1,80
$36.204,48 $18.000 1+ 1,15 2,011
12



 
 
 
 
   
 
 
 
aplicando logaritmos: log 2,011=12×m×log 1,15 m= 5 meses
 
 
7. Determinar: 
a) a taxa efetiva para dois meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente; 
Dados: j= 120% a.a.; k= 12; m=2/12 anos; i= ? 
 
k m
a
2 4 12 360
a s t m d
j
(1 + i ) = 1+
k
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

 
 
 
 
 
 12 2 12
1,20
i = 1+ 1 21%
12

 
  
 
 
 
b) a taxa efetiva para 18 meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada semestralmente; 
Dados: j= 120% a.a.; k= 2; m=18/12 anos; i = ? 
 
 2 18 12
1,20
i = 1+ 1 309,60%
2

 
  
 
 
 
c) a taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 dias; 
Dados: ib= 10% a.b.; k= 12; m=1 ano; j = ? % a.a. 
 
 26 
k m
6 6 k m
a b b
6 12 1
j
(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
j = (1,10) 1 ×12 j = 58,57% a.a.



 
      
 
   
 
 
d) a taxa nominal anual, capitalizada trimestralmente, equivalente à taxa efetiva de 15% a.s.; 
Dados: is= 15% a.s.; k= 4; m=1 ano; j = ? % a.a. 
 
k m
2 2 k m
a s s
2 4 1
j
(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
j = (1,15) 1 ×4 j = 28,95% a.a.



 
      
 
   
 
 
e) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada diariamente; 
Dados: j= 24% a.a.; k= 360; m=41/360 anos; i = ? 
 
 360 41 360
0,24
i = 1+ 1 2,77 %
360

 
  
 
 
 
f) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.s., capitalizada diariamente; 
Dados: j= 24% a.s.; k= 180; m=41/180 anos; i = ? 
 
 180 41 180
0,24
i = 1+ 1 5,62 %
180

 
  
 
 
 
8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a., capitalizada mensalmente. Calcular a taxa 
efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, três meses, cinco trimestres e sete semestres. 
Dados: j= 90% a.a.; k= 12; m=1 
 
k m 12
a a
2 4 12 360
a s t m d
j 0,90
(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 2,382
k 12
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

   
    
   
 
180 dias 
 
 
três meses 
 
1/4
3 meses ai =(1 + i ) - 1 = 24,23%
 
 
cinco trimestres 
5/4
5 trimestres ai =(1 + i ) - 1 = 195,89%
 
 
sete semestres 
7/2
7 semestres ai =(1 + i ) - 1 = 1985,24%
 
 
 
9. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em quatro meses. Qual seriao rendimento 
em 11 meses? 
Dados: P= $18.000; S1=$22.200; n1= 4 meses; n2 = 11 meses; S2= ? 
 
 
   
n
4
m m
S = P 1+i
$22.200 $18.000 1+i 1+i 1,0538  
 
Por outro lado, 
1/2
180 dias ai =(1 + i ) - 1 = 54,33%
 27 
 
11
2 m
2
S = $18.000 1+i $32.043,78
J = S - P = $14.043,78

 
 
10. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a., capitalizada 
mensalmente de modo a obter um montante de $76.000 após quatro meses? 
Dados: S=$76.000; j=84% a.a.; m= 4/12 anos; k=12; P= ? 
 
 
k m
12 4 12
j
S = P 1+
k
1,84
 $76.000 P 1+ P $57.980,04
12


 
 
 
 
   
 
 
 
11. Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses a seguir: 
 
 Prazo Taxa nominal Capitalização 
 a) 3 meses 48% a.s. mensal 
b) 2 anos 18% a.a. mensal 
c) 17 dias 35% a.m. diária 
 
k m
j
S = P 1+
k

 
 
 
 
 
a) Dados: P=$2.000; j=48% a.s.; m= 3/6 semestres; k=6; S= ? 
 
3
0,48
S = $2.000 1+ $2.519,42
6
 
 
 
 
 
b) Dados: P=$2.000; j=18% a.a.; m= 2 anos; k=12; S= ? 
 
12 2
0,18
S = $2.000 1+ $2.859,01
12

 
 
 
 
 
a) Dados: P=$2.000; j=35% a.m.; m= 17/30 meses; k=30; S= ? 
 
 17
0,35
S = $2.000 1+ $2.435,94
30
 
 
 
 
 
12. A juros nominais de 48% a.a., capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses um capital 
de $10.000 rende juros de $3.685,69. 
Dados: P= $10.000; S=$13.685,69; j= 48% a.a.; k=12; m= ? anos 
 
 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
0,48
$13.685,69 $10.000 1+ 1,04 1,368
12



 
 
 
 
   
 
 
 
aplicando logaritmos: log 1,368 12 m log 1,04 m= 8 meses   
 
 
13. Para os seguintes prazos, calcular as taxas efetivas equivalentes à taxa efetiva de 48% a.a.: 
a) 8 meses; 
8/12
8 mesesi =(1,48) - 1 = 29,87%
 
 
 28 
b) 11 meses; 
11/12
11 mesesi =(1,48) - 1 = 43,24%
 
 
c) 18 dias; 
18/360
18 diasi =(1,48) - 1 = 1,98%
 
 
d) 3 meses; 
3/12
3 mesesi =(1,48) - 1 = 10,30%
 
 
e) 420 dias; 
420/360
420 diasi =(1,48) - 1 = 57,99%
 
 
f) 7 meses e 12 dias. 
222/360
7 meses e 12 diasi =(1,48) - 1 = 27,35%
 
 
14. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a., capitalizada mensalmente, ou à de 
264% a.a., capitalizada bimestralmente? 
Dados: j1= 240% a.a.; k1= 12; j2= 264% a.a.; k2= 6; m=1 ano; i1 = ? % a.a.; i2 = ? % a.a. 
 
ik m
i
i
i
12
1 1
6
2 2
j
(1 + i ) = 1+
k
2,40
(1 + i ) = 1+ i = 791,61%
12
2,64
(1 + i ) = 1+ i = 791,61%
6

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As alternativas são equivalentes ! 
 
15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., de 
modo que seja equivalente à taxa nominal de 480% a.a., capitalizada bimestralmente? 
Dados: j1= 565,98% a.a.; j2= 480% a.a.; k2= 6; m=1 ano; k1= ?; 
 
1 2
1
k m k m
1 2
1 2
k 6
1
j j
1+ = 1+
k k
5,6598 4,80
1+ = 1+ 34,01
k 6
 
   
   
   
   
   
   
 
 
1
1
1 1 
5,6598
aplicando logaritmos: log 34,01 3,5266 k log 1+
k
Oras, sabemos que k é um divisor de 12, então testando valores obtemos k = 4
 
    
 
 
 
Logo a capitalização é trimestral! 
 
16. Em quanto tempo dobra um capital aplicado à taxa nominal de 227,05% a.a., capitalizada 
mensalmente? 
Dados: S=2 x P; j= 227,05% a.a.; k=12; m= ? anos 
 
 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
2,2705
2 1+ 1,189 2
12



 
 
 
 
   
 
 
 29 
 
aplicando logaritmos: log 2=12×m×log 1,189 m= 4 meses
 
 
17. Em 14 meses, uma aplicação de $12.000 rendeu juros brutos de $2.300. Considerando a cobrança 
de um imposto de 2% sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal obtida pela aplicação. 
Dados: P=$12.000, J=$2.300, Imposto=2%, im=? 
 
a. Rendimento efetivo em 14 meses: 
 
 rendimento efetivo juros brutos - imposto
 $2.3000 0,02 $2.300 $2.254

   
 
 
b. Taxa de rendimento efetivo mensal: 
1
14
m
$2.254
i 1 1 1,2371% a.m.
$12.000
 
 
  
    
 
 
 
18. Calcular o rendimento de $17.800 aplicados por sete meses à taxa efetiva de 45% a.a. 
Dados: P=$17.8000; i=45% a.a.; m= 7 meses; J= ? 
 
 
n
7 12
J = P (1+i) 1
J = $17.800 1,45 1 J $4.308,10
  
   
 
 
 
19. Um capital de $24.000 aplicado à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu 
$5.040. Determinar o prazo da operação. 
Dados: P= $24.000; S=$29.040; j=120% a.a.; k=12; m= ? 
 
 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
1,20
$29.040 $24.000 1+ 1,21 1,1
12



 
 
 
 
   
 
' 
 
aplicando logaritmos: log 1,21=12×m×log 1,1 m= 2 meses
 
 
20. Em sete meses um investimento de $15.000 teve um rendimento bruto de $4.000. Considerando-se 
um imposto de 3% sobre o rendimento e uma comissão de 1,5% sobre o valor aplicado, calcular a taxa 
de juros efetiva mensal ganha na aplicação. 
Dados: P=$15.000; J=$4.000; Imposto= 3%; Comissão= 1,5%; im=? 
 
a) Rendimento efetivo em 14 meses: 
   
 rendimento efetivo juros brutos - imposto - comissão
 $4.0000 0,03 $4.000 0,015 $15.000 $3.655

     
 
 
b) Taxa de rendimento efetivo mensal: 
1
7
m
$3.655
i 1 1 3,1642% a.m.
$15.000
 
    
 
 
 
21. Um investimento rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados mensalmente. Calcular a taxa 
efetiva anual. 
Dados: j= 6% a.a.; k= 12; m=1 ano; ia= ? 
 
 30 
k m
a
12
a
j
(1 + i ) = 1+
k
0,06
i = 1+ 1 6,1678%
12

 
 
 
 
  
 
 
 
22. Em operações de crédito, o Banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a., e o Banco B cobra juros 
nominais de 27% a.a., capitalizados mensalmente. Qual é a melhor taxa para o cliente? 
Dados: i= 30% a.a.; j= 27% a.a.; k= 12; m=1 ano 
 
 
a
k×m 12
a
Taxa efetiva anual:
Banco A i =30% a.a.
j 0,27
 Banco B i = 1+ - 1= 1+ - 1=30,60% a.a.
k 12
O oferta A é a melhor para o cliente. Representa a menor taxa efetiva

   
    
    
23. Uma aplicação a juros nominais de 24% a.a., capitalizados semestralmente, resultou em um 
montante de $10.000. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de 
$15.735,19. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos. 
Dados: S1= $10.000; S2=$15.735,19; j1= 24% a.a.; j1= 48% a.a.; k1=2; k2= 4; P= ?; m= ? anos 
 
 
k m
m
2
m
j
S = P 1+
k
0,24 $10.000
$10.000 P 1+ P
2 1,2544

 
 
 
  
    
   
 
Por outro lado 
 
   
 
 
 
k m
m
4
m
m m
m
m
m
j
S = P 1+
k
0,48 $15.735,19
$15.735,19 P 1+ P
4 1,5735
$15.735,19 $10.000
igualando: 
1,5735 1,2544
1,5735$15.735,19
 
$10.000 1,2544
 1,573519 1,2544

 
 
 
 
    
   



 
 
aplicando logaritmos: log 1,573519 m log 1,2544 m= 2 anos P= $6.355,18   
 
 
24. Em que prazo um capital de $75.000 aplicado à taxa nominal de 22% a.a., capitalizada 
semestralmente, resulta em um montante de $ 155.712? 
Dados: P= $75.000; S=$155.712; j=22% a.a.; k=2; m= ? 
 
 
k m
2 m
2 m
j
S = P 1+
k
0,22
$155.712 $75.000 1+ 2,076 1,11
2



 
 
 
 
   
 
' 
 
 31 
aplicando logaritmos: log 2,076=2×m×log 1,11 m= 42 meses
 
 
25. Dois capitais foram aplicados: o primeiro, de $8.000 à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada 
trimestralmente, e o segundo de $33.800,80, à taxa nominal de 10% a.a., capitalizada semestralmente. 
Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? 
Dados: P1= $8.000; P2=$33.800,80; j1= 20% a.a.; j1= 10% a.a.; k1=4; k2= 2; J1= J2; m= ? anos 
 
 
k m
m m
4 2
m
2
j
J = P 1+ P
k
0,20 0,10
$8.000 1+ $8.000 $33.800,80 1+ $33.800,80
4 2
1,05 3,2251

 
 
 
      
        
         
  
 
 
 
aplicando logaritmos: log 3,2251 m log 1,1025 m= 12 anos  
 
 
 
26. Um capital de $12.600 foi aplicado por três anos à taxa nominal de 22% a.a. Calcular o montante 
considerando-se que no primeiro ano os juros são capitalizados semestralmente; no segundo, 
trimestralmente; e no terceiro, bimestralmente. 
Dados: P= $12.600; j= 22% a.a.; k1=2; k2= 4; k3= 6; m1=1 ano; m2= 1 ano; m3= 1 ano; S= ? 
 
k m
2 4 6
j
S = P 1+
k
0,22 0,22 0,22
S $12.600 1+ 1+ 1+ S $23.870,48
2 4 6

 
 
 
     
       
     
 
 
27. Um capital de $12.500 aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu 
juros de $12.172,78. Calcular o prazo da aplicação. 
Dados: P= $12.500; j= 24% a.a.; k=2; S= $24.672,78; m=? anos 
 
 
k m
2 m
2 m
j
S = P 1+
k
0,24
$24.672,78 $12.500 1+ 1,9738 1,12
2



 
 
 
 
   
 
' 
 
aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos   
 
 
28. Três quartos de um capital foram aplicados à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada 
semestralmente, e o restante, a 12% a.s., capitalizada trimestralmente. Considerando-se o prazo de 
aplicação de quatro anos e sabendo-se que o rendimento (juros obtidos) da primeira parcela foi de 
$4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular o capital. 
Dados: P1 = (3/4) x P; P2 = (1/4) x P; J1 - J2 = $4.726,04; j1 = 20% a.a.; k1 = 2; j2 = 12% a.s.; k2 = 2; 
m=4 anos = 8 semestres; P = ? 
 
k m
1 2 1 2 1 2
2 4 2 8
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k
3 0,2 1 0,12 1
$4.726,04 = P 1 1 P= $10.000
4 2 4 2 2

 
 
   
 
    
        
     
 
29. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $9.738,23. Se 
a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o rendimento seria de $28.959,76. Determinar o 
prazo da aplicação em anos e calcular o valor do capital. 
 32 
Dados: J1 = $9.738,23; J2 = $28.959,76; j1 = 24% a.a.; k1 = 2; j2 = 48% a.a.; k2 = 4; P1=P2= P = ?; m= ? 
 
 
k×m
2×m
2×m
j
J = P 1+ -1
k
0,24 $9.738,23
$9.738,23=P 1+ -1 1,12 = 1
2 P
  
  
   
  
   
   
 
Por outro lado 
k×m
2
2×m
2
j
J = P 1+ -1
k
0,48
$28.959,76=P 1+ -1
4
$9.738,23
$28.959,76=P 1 -1
P
$9.738,23
$28.959,76=$9.738,23 2 P= $10.000
P
  
  
   
      
     
  
  
   
 
  
 
 
 
aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos   
 
 
30. Um capital aplicado durante quatro anos à taxa nominal de 12% a.a., capitalizada mensalmente, 
rendeu de juros $12.252 a mais do que teria rendido se a capitalização fosse semestral. Calcular o valor 
do capital. 
Dados: J1 - J2 = $12.252; j = 12% a.a.; k1 = 12.; k2 = 2; m=4 anos; P = ? 
 
 
k m
1 2 1 2 1 2
12 4 2 4
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k
0,12 0,12
$12.252 = P 1 1 P= $666.666,56
12 2

 
 
   
 
    
       
     
 
 
 
31. Dividir a importância de $2.832.774 em três partes de tal modo que, aplicadas à taxa nominal de 
20% a.a., capitalizada semestralmente, produzam, respectivamente, montantes iguais em dois, três e 
cinco anos. Sabe-se que a diferença entre o primeiro e o segundo capital é de $205.627,30. 
Dados: P1 - P2 = $205.627,30; P1 + P2+ P3 = $2.832.774;j = 20% a.a.; k = 2.; m1= 2 anos; m2 = 3 anos 
m3 = 5 anos; P1 = ?; P2 = ?; P3 = ? 
 
 
1 2k m k m
1 2
2 2 2 3
2 2 2
1 3
j j
P 1 = P 1
k k
0,2 0,2
P + 205.627,30 1 = P 1 P = $979.177,61
2 2
P = $1.184.804,92 P = $668.791,47
 
 
   
    
   
   
     
   

 
 
32. Dois capitais foram aplicados pelo prazo de dois anos. O primeiro à taxa nominal de 20% a.a., 
capitalizada semestralmente, e o segundo, à de 18% a.a., capitalizada trimestralmente. Considerando-se 
que os juros obtidos pelo primeiro capital excederam em $6.741,00 os juros obtidos pelo segundo e que 
o primeiro é $10.000 maior que o segundo, calcular os dois capitais. 
Dados: P1 - P2 = $10.000; J1 - J2 = $6.741; j1 = 20% a.a.; k1 = 2; j2 = 18% a.a.; k2 = 4; m= 2 anos; P1= ?; 
P2 = ? 
 33 
 
 
k m
1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
2 2 
2 1
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k
0,20 0,18
$6.741 = P + $10.000 1 - P 1 $10.000
2 4
P = $50.000,73 P = $60.000,73

 
 
   
 
   
     
   

 
 
33. Um capital foi aplicado durante cinco anos à taxa nominal de 5.5% a.a., capitalizada 
semestralmente, e a seguir seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante dez anos. A 
que taxa efetiva anual única poderia ser aplicado durante todo esse tempo de modo que resultasse no 
mesmo montante? 
Dados: j1= 5,5% a.a.; k1=2; i2= 4% a.a.; m1= 5 anos; n2= 10 anos; n= 15 anos; i= ? 
 
 
     
k m
n
2 5
10 15 15
j
S = P 1+ P 1+i
k
0,055
1+ 1+0,04 1+i 1+i 1,9416 i = 4,5226% a.a.
2


 
 
 
 
    
 
 
 
34. Uma pessoa precisa de $10.000 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a) 
a juros nominais de 5% a.a., capitalizados trimestralmente; b) à taxa nominal de 5,375% a.a., 
capitalizada semestralmente; c) a juros simples de 5,5% a.a. Qual é a melhor oferta? 
Dados: j1= 5% a.a ; k1= 4; j2= 5,375% a.a ; k2= 2; i3= 5,5% a.a..; n=2 anos 
 
 
k×m 4×2
k×m 2×2
Juros pagos:
j 0,05
Oferta A = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.044,86
k 4
j 0,05375
 Oferta B = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.119,12
k 2
Oferta C = P 1+i n - P = $10.0
   
   
   
   
   
   
  00× 1+0,055 2 -$10.000 = $1.100,00
O oferta A é a melhor para o cliente. Paga-se menos juros nela.
 
 
35. Uma pessoa aplicou um capital de $20.000 durante quatro anos à taxa nominal de 18% a.a., 
capitalizada semestralmente. Ao término desse período, somente os juros obtidos foram reaplicados por 
mais 15 meses à taxa nominal de 12% a.a., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimento dessa 
última aplicação. 
Dados: P1= $20.000; P2 = J1; j1= 18% a.a.; j2= 12% a.a.; k1=2; k2= 4; m1= 4 anos; m2= 15/12 anos; J2=? 
 
k m
2 4
2 1 2 
j
equação para calcular os juros: J = P 1+ 1
k