Teoria do Erro Incerteza de Medição - folhetos

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FUNDAÇÃO ESCOLA TÉCNICA 
LIBERATO SALZANO VIEIRA DA 
CUNHA
Ensaios, Metrologia e Qualidade Total 1
1
Teoria do Erro – Incerteza de 
Medição
Prof. João B. Sá de Farias e 
Ramon Fernando Hans
2
Metrologia
A medição se faz presente no cotidiano das atividades do ser humano
3
Metrologia
O sistema de Medição Generalizado
Mensurando
Detector
Sensor Transdutor
Condicionador
de Sinais
Indicador
Impressora
Computador
Registrador
Controlador
Detector ou Sensor – parte do sistema que reponde diretamente ao 
mensurando
Transdutor – parte do sistema que traduz o valor do mensurando em uma outra 
medida analógica de mais fácil medição (p.e., voltagem, deslocamento,etc.)
Condicionador de sinais – parte do sistema de medição que filtra, amplifica, 
atenua, integra, diferencia, converte freqüência para voltagem, etc., o sinal 
vindo do transdutor.
Registradores – parte do sistema de medição que registra os valores da 
medição
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Metrologia
O que se deve conhecer sobre o mensurando?
•Se as grandezas são estáticas ou dinâmicas (em relação ao tempo de 
medição);
•Qual Amplitude de variação da quantidade? (limites de variação); 
•Se a quantidade medida tem caráter repetitivo (Componente de freqüências);
•Se há alguma forma de transformar a quantidade de interesse em grandezas 
elétricas.
O que se deve conhecer sobre o sensor?
•Qual o princípio físico de operação? (implica em limitações na medida?);
•Se sua Resolução é capaz de avaliar com exatidão o mensurando;
•Se sua Sensibilidade consegue capturar pequenas variações no mensurando;
•Qual o seu tempo de resposta? (é capaz de acompanhar as variações do 
mensurando?);
•Qual a sua faixa de operação (é capaz de capturar todas as variações possíveis 
do mensurando?)
5
Metrologia
A necessidade de Calibração
•Ao invés de aceitar cegamente os valores do instrumento, 
através da calibração estabelece-se a exatidão da medida 
do instrumento.
•Envolve geralmente a comparação do instrumento com:
-Um padrão primário (difícil de ser conseguido)
-Um padrão secundário (com exatidão conhecida e 
maior que a do instrumento). Geralmente um “sinal” de 
entrada precisamente conhecido.
6
Metrologia
Medidor de pressão de pneus (êmbolo) Medidor de pressão tipo Bourdon
Registrador
Sensor/ detector
Transdutor
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Instituições Dedicadas à Normatização
•International Organization for Standardization (Normas 
ISO)
•American Standardization (Normas ASTM)
•Associação Brasileira de Normas Técnicas (Normas 
ABNT)
•Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e 
Qualidade Industrial (INMETRO) 
•Sociedade Brasileira de Metrologia (SBM) 
•Sistema Inter-Americano de Metrologia(SIAM)
(Organização Regional de Metrologia para as Américas
•Rede Brasileira de Calibração (RBC)
8
Rede Metrológica Internacional
9
Vocabulário
•Resultado de uma Medição –Valor atribuído a um mensurando 
obtido por medição.
•Indicação - Valor de uma grandeza fornecido por um instrumento de 
medição.
•Resultado não corrigido - Resultado de uma medição, antes da 
correção, devida aos erros sistemáticos.
•Resultado Corrigido - Resultado de uma medição, após a correção, 
devida aos erros sistemáticos.
•Exatidão - Grau de concordância entre o resultado de uma medição 
e um valor verdadeiro do mensurando.
•Repetitividade - Grau de concordância entre os resultados de 
medições sucessivas de um mesmo mensurando efetuadas sob as 
mesmas condições de medição.
•Incerteza de Medição - Parâmetro, associado ao resultado de uma
medição, que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser 
fundamentadamente atribuídos a
•um mensurando.
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Vocabulário
•Erro de Medição -Resultado de uma medição menos o valor 
verdadeiro do mensurando, EM=RM - VV
•Erro Repetitividade (Aleatório) – Resultado de uma medição menos 
a média que resultaria de um infinito número de medições do mesmo 
mensurando efetuadas sob condições de repetitividade. Ex.: erros 
humanos, erros das condições ambientais, falta de sensibilidade dos 
instrumentos, etc.
•Erro de Exatidão (Sistemático) – Média que resultaria de um infinito 
número de medições do mesmo mensurando, efetuadas sob
condições de repetitividade, menos o valor verdadeiro do 
mensurando. Ex.: calibração, erros humanos, defeitos do 
equipamento, resolução do instrumento, erro de paralaxe.
•Ajuste - Operação destinada a fazer com que um instrumento de 
medição tenha desempenho compatível com o seu uso.
•Sensibilidade - Variação da resposta de um instrumento de medição 
dividida pela correspondente variação do estímulo.
11
x
F
re
qü
ên
ci
a 
de
 o
co
rr
ên
ci
a
Xverdadeiro(VV)
Erro de Repetitividade
(Aleatoriedade)
Erro de Exatidão (Sistemático)
Xm
Erro Total combinado
Incerteza Total = [ (Incerteza Exatidão)2 + (Incerteza Repetitividade)2 ]1/2
Distribuição de freqüência das 
medidas
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Vocabulário
•Resolução - Menor diferença entre indicações de um dispositivo mostrador 
que pode ser significativamente percebida.
•Zona Morta - Intervalo máximo no qual um estímulo pode variar em ambos 
os sentidos, sem produzir variação na resposta de um instrumento de 
medição.
•Estabilidade - Aptidão de um instrumento de medição em conservar 
constantes suas características metrológicas ao longo do tempo.
•Deriva – Variação lenta de uma característica metrológica de um 
instrumento de medição.
•Tempo de Resposta - Intervalo de tempo entre o instante em que um 
estímulo é submetido a uma variação brusca e o instante em que a resposta 
atinge e permanece
•dentro de limites especificados em torno do seu valor final estável.
•Exatidão de um Instrumento – Aptidão de um instrumento de medição para 
dar respostas próximas a um valor verdadeiro.
•Classe de Exatidão –Classe de instrumentos de medição que satisfazem a 
certas exigências metrológicas destinadas a conservar os erros dentro de 
limites especificados. 
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Erros introduzidos por Instrumentos Analógicos
É representado pelo índice de classe que é o cociente entre 
o valor absoluto máximo do erro, suposto constante em toda gama 
de medições, e o valor máximo da escala de medição. Assim o 
erro máximo da escala de medição será:
( . . )
100%
FE
máx
I C V
δ =
Exemplo: Um voltímetro possui erro de 5% (I.C.=5%) de 
fundo de escala e está sendo utilizado na escala de 1000 V, para 
medir 220 V. Qual o erro da medida?
∆=(220±5%1000)V=(220±50)V=(220V±23%)
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Erros introduzidos por Instrumentos Digitais
1)Erro devido à entrada, percentual da grandeza medida
2)Erro de resolução dada em termos do número de dígitos da 
década menos significativa.
Exemplo: Um voltímetro digital de 41/2 dígitos tem 
especificado erro de ±(0.8% da leitura + 3 dígitos). Está na escala 
de 20V o valor indicado é de 8,0 V. Qual o erro associado a esta 
leitura?
∆1= ± 0,8% 8,0V=0.064V 
∆2= ± 0.003 ∆c= ±(0.0032+0.0642)1/2 V= ±0.06V
15
Erros introduzidos para Medições Dimensionais 
(Incerteza de Exatidão)
Réguas de aço
Classe 1- ±(50+0.15L) µm L em mm
Classe 2- ±(100+0.3L) µm L em mm
Trenas de Aço
Classe 1- ±(0.3+L/10000) mm L em mm
Classe 2- ±(0.6+L/5000) mm L em mm
Trenas de Fibra
Classe 1- ±(0.3+0.2L) mm L em m
Classe 2- ±2(0.3+0.2L) mm L em m
Paquímetros e similares (resolução de 0,02)






+±
50
17
L
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Erros introduzidos para Medições Dimensionais 
(Incerteza de Exatidão)
Micrometros e similares (resolução de 0,01)
Relógio Comparador (medições até 1,0mm)
Microscópios Óticos e similares






+±
100
10
L
( )L1010 +±






++±
5000180
9,0
LHL
17
Estatística – Tratamentodo Erro de Repetitividade
– Média -é a soma de todos os valores, dividida pelo número desses 
valores
10; 2; 9; 6; 8 
µ= (10 + 2 = 9 + 6 + 8) /5 = 7 
-Mediana - é o valor que ocupa a posição central das ordenadas, 
metade dos dados são
menores ou iguais à mediana 
71; 82; 57; 68; 78; 75; 64; 61; 85 
Ordenando :57; 61; 64; 68; 71; 75; 78; 82; 85 
-Moda -é o valor que ocorre com mais freqüência. 
5; 4; 3; 6; 6; 3; 1; 6; 2 moda 6
-Amplitude total - a diferença entre o maior e o menor valores 
2; 3; 6; 9; 11; 10; 9; 7; 4 A=11-2= 9 
-Desvio médio -
( )di x x
Dm
n n
−
= =
∑ ∑
18
Função de Distribuição de Gauss (amostras >30)
µ
σ
2σ
3σ
a b
f(x)
2σ
3σ
σ
x
1
2σ π
2
2
1 ( )
( ) exp[ ]
22
x
f x
µ
σσ π
−
= −
x1 x2
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2
1
1 2 2 1[ ] ( ) ( ) ( )
x
x
P x x x f x dx F x F x< < = = −∫
1lim
n
i
i
n
x
n
µ =
→∞
=
∑ 2
1
( )
lim
n
i
i
n
x x
n
σ =
→∞
−
=
∑
[ 1.64 1.64 ] 0.90 (90%)P xµ σ µ σ− < < + =
[ 1 1 ] 0.683 (68.3%)P xµ σ µ σ− < < + =
[ 1.96 1.96 ] 0.95 (95%)P xµ σ µ σ− < < + =
[ 3 3 ] 0.997 (99.7%)P xµ σ µ σ− < < + =
Intervalos de 
Confiança
(c%)
ou fator de 
abrangência (k)
20
/ 2 0.95/ 2 0.475 1.96cz z z= = = [ 1.96 1.96 ] 0.95P xµ σ µ σ− < < + =
Exemplo: Encontrar qual o intervalo de confiança 95% p/ distribuição de Gauss
21
Distribuição t-Student – Pequenas Amostras (n<30)
1
n
i
i
x
x
n
==
∑ 2
1
( )
1
n
i
i
x x
S
n
=
−
=
−
∑
/
x
t
S n
µ−
=
Graus de liberdade 1nν = −
1ν =
6ν =
30ν >
f(t)
t
0
1 2 3123
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Exemplo: Encontrar o Intervalo de confiança(fator de abrangência k) para nível 
de significância de 90% de uma distribuição de gauss e t-Student
Se n>30 (Gaussiana)
/ 2 0.9 / 2 0.45 1.64cz z z= = =
Se n<30 (p.e., n=11, ν=11-1=10)
/ 2; (1 0.9) / 2; 0.05; 1.812t t tα ν ν ν−= = =
α%=1-C%
Área sobre a curva t-
student, com a tabela 
unicaudal
23
Critério para Rejeição de Dados Coletados “Outliers”
Em geral amostras que tenham desvio para média maiores que 3S (três 
desvios padrões da amostra) devem ser descartadas:
| | 3
i i
Se d x x S descartar amostra= − > ⋅
Este critério pode ser estendido para pequenas amostras (Critério de 
Chauvenet – probabilidade de que a amostra tenha desvio da média inferior 
a 1/n ) 
| |
i i
Se d x x d S descartar amostra= − > ⋅
onde
n -> 3 4 5 6 7 10 15 25 50 100 300 500 1000 
d -> 1.38 1.54 1.65 1.73 1.80 1.96 2.13 2.33 2.57 2.81 3.14 3.29 3.48
24
Exemplo: Sejam 100 medidas de pressão como indicadas abaixo:
Pressão (MPa) Número de Resultados Desvio, d d2
3.970 1 -0.038 144.4x10-5
3.980 3 -0.028 78.4x10-5
3.990 12 -0.018 32.4x10-5
4.000 25 -0.008 6.4x10-5
4.010 33 0.002 0.4x10-5
4.020 17 0.120 14.4x10-5
4.030 6 0.022 48.4x10-5
4.040 2 0.032 102.4x10-5
4.050 1 0.042 176.4x10-5
Amostra
Descartada
Total: 400.770 100 1858x10-5
1 4.008
n
i
i
x
x MPa
n
== =
∑ 2
1
( )
0.014
1
n
i
i
x x
s MPa
n
=
−
= =
−
∑
2.81 0.03934d S S MPa⋅ = =
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Exemplo: Sejam 10 amostras de resistores com valor nominal de 18 kΩ e uma 
tolerância descrita pelo fabricante de 10% com nível de confiança de 95%. Tem-se 
um lote de 10 amostras medidas com um multímetro digital de 31/2 dígitos e erro 
especificado de ±(2.0% da leitura + 2 dígitos) para a escala de 20k Ω. Deseja-se 
saber como obter o valor das resistências do lote de amostras com um nível de 
confiança de 95%.
Número Resistência(kΩ) Desvio
1 18.12 0.80
2 17.95 0.63
3 18.17 0.85
4 18.45 1.13
5 16.24 -1.08 
6 17.82 0.50
7 16.28 1.04
8 16.32 1.00
9 17.91 0.59
10 15.98 -1.34 
Ok!
17.32x K= Ω 0.9820S K= Ω Chauvenet=> 1.96 1.964d S S⋅ = ⋅ =
26
-Erro de Repetitividade (Aleatoriedade)
10 1 9ν = − = graus de liberdade (pequenas amostras)
1 0.05cα = − =
/ 2 0.025 2.262tα = = / 2 0.7024
S
R t
n
α∆ = ± = ±
então (17.32 0.7024) 95%K com nível de confiança de± Ω
∆∆∆∆Rc=0.7024kΩΩΩΩ
-Erro de Exatidão (Sistemático)
∆1= ± 2% 17.32k Ω =0.3464 
∆2= ± 0.02k Ω ∆Ec= ±(0.022+0.34642)1/2 kΩ=±0.3469kΩ
-Incerteza Total ∆∆∆∆Ic= (∆∆∆∆Ec2+ ∆∆∆∆Rc2)1/2=0.78 kΩΩΩΩ
então (17.32 0.78) 95%K com nível de confiança de± Ω
4,5%
27
Exercício
Sejam 20 amostras de uma medição com paquímetro de resolução 
0,02mm de peças cilíndricas. Expressar a altura destes cilindros com 
um intervalo de confiança de 95%.
81,3511,0510
81,5511,009
81,5010,958
81,4011,057
81,8511,006
81,6511,055
81,9011,104
81,0511,003
81,6511,052
81,3511,001
Altura (mm)Diâmetro (mm)Amostra
82,2011,0020
81,5011,0019
81,6511,0518
81,8511,0517
81,5011,0016
81,3011,0015
81,1511,0514
81,5011,0013
81,6011,0012
81,3511,0511
Altura (mm)Diâmetro (mm)Amostra