Relatório II - CIRCUITOS SELETORES DE FREQUENCIA FILTROS PASSA-ALTAS; PASSA-BAIXAS; PASSA-FAIXA E REJEITA-FAIXA

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ELE031 Laboratório de Circuitos Elétricos II - Turma L1 - Prof. Carlos Andrey Maia
Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG - Escola de Engenharia - Dep. de Engenharia Elétrica
Belo Horizonte - 10/01/2022
EXPERIMENTO 4 - CIRCUITOS PARA SELEÇÃO DE FREQUÊNCIA:
PASSA-ALTAS E PASSA-BAIXAS
EXPERIMENTO 5 - CIRCUITOS PARA SELEÇÃO DE FREQUÊNCIA:
PASSA-FAIXA E REJEITA-FAIXA
Resumo: A realização desse relatório visa aplicar os
conceitos teóricos sobre os estudos de circuitos para
seleção de frequência a partir da utilização de filtros.
Sendo estes, conhecidos como passa-baixas e
passa-altas os de primeira ordem, e passa-faixa e
rejeita-faixa os de segunda ordem. Com o auxílio de
softwares de simulação, é possível montar circuitos
com inúmeros componentes com facilidade, custo
zero, e segurança, possibilitando a análise completa
destes circuitos. A partir do uso dos aparelhos de
medição, tais como multímetros e osciloscópios, as
grandezas de relevância dos filtros podem ser
computadas, para servirem como parâmetro nos
cálculos e resultados dos experimentos, além, é
claro, de ferramentas que ajudam na geração da
resposta em frequência do circuito. Logo, outros
conceitos retratados são os de cálculos da função de
transferência, de seu módulo e de sua fase. Equações
e imagens mostradas evidenciam e facilitam a
comprovação dos valores e gráficos encontrados.
Depois das simulações, é perceptível que os
resultados medidos estão de acordo com os valores
calculados previamente, mostrando que os
fundamentos aplicados estão de acordo.
Palavras-chave: Filtros, passa-baixas, passa-altas,
passa-faixa, rejeita-faixa.
Introdução
Primeiramente, para a realização dos
experimentos propostos, é importante saber como é
o funcionamento dos tipos de filtros propostos, para
isso, alguns conceitos são primordiais. Como de
entender o processo de cálculo e medição, nas
simulações, nesses circuitos. Toda a teoria sobre
esses fundamentos teóricos apresentados na
introdução teve como base o livro Fundamentos de
Circuitos Elétricos [1].
A. Filtro Passa-Baixas
Um filtro passa-baixas é projetado para deixar
passar (ou seja, não atenua) todas as frequências
abaixo de sua frequência de corte. Esse filtro é
formado quando a saída de um circuito RC é obtida
do capacitor ou quando a saída de um circuito RL é
obtida do resistor. Essa propriedade torna-se
evidente ao analisarmos a função de transferência do
filtro, cuja característica principal é possuir um pólo
complexo, como ilustrado na figura 1. Para baixas
frequências ( ), quase não há atenuação doω < 1/τ
sinal, contrastando com a resposta para altas
frequências ( ), por isso, é denominadoω > 1/τ
filtro passa-baixas.
Figura 1: Resposta em frequência de um polo.
Fonte: Controle Digital [3].
B. Filtro Passa-Altas
Um filtro passa-altas é projetado para deixar
passar todas as frequências acima de sua frequência
de corte. Esse filtro é formado quando a saída de um
circuito RC é obtida do resistor ou quando a saída de
um circuito RL é obtida no indutor.
A figura 2 mostra o modelo básico de um filtro
passa-altas, enquanto a figura 3 mostra as respostas
de frequência ideal e real desse filtro.
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Figura 2: Filtro passa-altas.
Fonte: Fundamentos de Circuitos Elétricos [1].
Figura 3: Resposta em frequência ideal e real do
filtro passa-altas.
Fonte: Fundamentos de Circuitos Elétricos [1].
A função de transferência se dá através da
equação 1.
 𝐻(𝜔) = 𝑉𝑜𝑉𝑖 = 
𝑅
𝑅 + 1/𝑗𝜔𝐶 = 
𝑗𝜔𝑅𝐶
1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶 
(01)
C. Filtro Passa-Faixa
O filtro passa-faixa, por sua vez, é projetado para
idealmente eliminar a influência de sinais fora de um
intervalo pré-definido de frequências e .ω
1
ω
2
Dentre as várias possíveis configurações físicas para
elaboração de um filtro passa-faixa, utilizaremos o
modelo da figura 4, com uma junção
indutor-capacitor série. Na figura 5 abaixo,
mostra-se o comportamento real e ideal desse filtro.
Figura 4: Filtro Passa faixa.
Fonte: Fundamentos de Circuitos Elétricos [1].
Figura 5: Respostas em frequência real versus ideal
do filtro passa-faixa.
Fonte: Fundamentos de Circuitos Elétricos [1].
Para sistemas de segunda ordem, compostos por
capacitor e indutor série ou paralelo, uma
particularidade acontece. Para um valor específico
de frequência, o circuito se comporta como um
circuito puramente resistivo, isso acontece pois
existe a possibilidade da reatância do circuito se
anular. Tal fenômeno ocorre na frequência chamada
de frequência angular de ressonância . É nessaω
0
frequência que há a menor atenuação do sinal de
entrada, sendo representado na figura 5 como pico.
Tendo como sinal de entrada a tensão da fonte, e
sinal de saída a tensão sobre o resistor de 1kΩ,
obtemos a função de transferência:
(02)𝑉
𝑅
2
(𝑠) =
𝑅
2
𝑅
1
+𝑅
2
+𝑠𝐿
1
+ 1𝑠𝐶
1
· 𝑉
1
𝐻(𝑠) =
𝑅
2
𝑅
1
+𝑅
2
+𝑠𝐿
1
+ 1𝑠𝐶
1
=
𝑅
2
𝐶
1
𝑠
𝐿
1
𝐶
1
𝑠2+(𝑅
1
+𝑅
2
)𝐶
1
𝑠+1
Observamos que e𝐻(0) = 0 𝐻(∞) = 0
características de um filtro passa-faixa (figura 5).
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D. Filtro Rejeita-Faixa
Um filtro rejeita-faixa é projetado para barrar ou
eliminar todas as frequências dentro de uma faixa de
frequências. Esse filtro é formado quando a saída do
circuito RLC em série ressonante é obtida da
associação LC em série.
A figura 6 mostra o modelo básico de um filtro
rejeita-faixa, enquanto a figura 7 mostra as respostas
de frequência ideal e real desse filtro.
Figura 6: Filtro rejeita-faixa.
Fonte: Fundamentos de Circuitos Elétricos [1].
Figura 7: Respostas em frequência real versus ideal
do filtro rejeita-faixa.
Fonte: Fundamentos de Circuitos Elétricos [1].
A função de transferência se dá através da
equação 3.
(03) 𝐻(𝜔) = 𝑉𝑜𝑉𝑖 = 
𝑗(𝜔𝐿 − 1/𝜔𝐶)
𝑅 + 𝑗(𝜔𝐿 − 1/𝜔𝐶) 
De forma geral, a frequência de corte ( ) ou𝑓
𝑐
frequência de meia potência é a frequência cuja
potência na saída de um sistema (circuito eletrônico,
linha de transmissão, amplificador ou filtro
eletrônico) é reduzida à metade da potência da faixa
de passagem. Em termos de tensão (ou amplitude)
isto corresponde uma redução a 70,7% ( ) do1/ 2
valor da faixa de passagem. Essa redução
corresponde a uma atenuação de -3dB, por isso a
frequência de corte também é conhecida como
frequência de -3dB.
Objetivos
Observar o comportamento circuitos passivos de
seleção de frequência, de primeira e segunda ordem,
quando submetidos a tensões senoidais de diferentes
frequências. Compreender e elaborar a partir de um
circuito qualquer, a função de transferência do
mesmo. Obter a resposta em frequência de amplitude
e de fase, e comparar resultados obtidos com
fornecidos por outras ferramentas computacionais.
Materiais e métodos
Por se tratar de uma matéria ofertada no formato
híbrido, os principais materiais utilizados são
softwares e ferramentas de simulação, de forma a
aproximar ao máximo o ambiente virtual de
aprendizagem do funcionamento do Laboratório de
Circuitos Elétricos II da Universidade Federal de
Minas Gerais. Dessa forma, neste presente relatório,
foi utilizado o simulador Multisim (National
Instruments) e seus componentes para fins
acadêmicos, visando obter assim, um ambiente de
simulação acessível, completo e fidedigno para a
montagem de circuitos elétricos.
No ambiente do Multisim, foi utilizado como
elementos chave os seguintes componentes:
● Cargas: resistores, indutores e capacitores;
● Fontes: alimentação alternada monofásica;
● Equipamentos de leitura: multímetro, e
osciloscópio.
Para realização de cada simulação, são
necessários métodos distintos. Dessa forma serão
subdivididos em três partes, de acordocom a
respectiva prática.
A. Filtro Passa-Baixas
Como especificação do projeto, temos uma fonte
senoidal de tensão, com amplitude de 5V, cuja
frequência podemos variar. Em série com a mesma,
temos o que provavelmente é a resistência interna
parasita da fonte ( ). Em seguida, uma𝑅 = 50 Ω
indutância que novamente, apresenta𝐿 = 200 𝑚𝐻
uma resistência série acoplada ( ), e por𝑅 = 11 Ω
fim, um resistor de 5.6kΩ, do qual acoplamos os
terminais de saída do filtro. Tal circuito possui dois
canais de comunicação com o mundo externo: após e
externo a fonte (entre a resistência de 50Ω e a
indutância de 200 mH) e o canal de tensão do
resistor de 5.6 kΩ (entre o próprio resistor e a
resistência de 11Ω).
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuito_eletr%C3%B4nico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Linha_de_transmiss%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Amplificador
https://pt.wikipedia.org/wiki/Filtro_eletr%C3%B4nico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Filtro_eletr%C3%B4nico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pot%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_el%C3%A9trica
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Para sinais senoidais, temos que a tensão de pico
é igual a tensão eficaz multiplicada por raiz de dois,
ou seja, . Logo, para um sinal com𝑉
𝑝𝑘
= 2 · 𝑉
𝑅𝑀𝑆
tensão de pico igual a 5V, temos .𝑉
𝑅𝑀𝑆
= 3. 54 𝑉
𝑟𝑚𝑠
O circuito em questão é ilustrado a seguir (figura 8).
Figura 8: Esquemático do projeto de filtro
passa-baixas.
Fonte: Elaboração própria.
B. Filtro Passa-Altas
Em seguida, o mesmo modelo de experimento
foi realizado para o filtro passa-altas, para isso, o
indutor foi substituído por um capacitor, o valor da
resistência de saída foi alterado, mas o valor da
tensão de alimentação foi mantido. A figura 9 a
seguir mostra o circuito disponibilizado pelo
professor para a simulação do experimento.
Figura 9: Modelo do circuito passa-altas.
Fonte: Autoria do Professor Carlos Andrey Maia [2].
Então, tendo como base o circuito proposto, o
mesmo foi montado no software de simulação. A
figura 10 a seguir mostra o circuito já montado na
ferramenta online.
Figura 10: Circuito passa-altas simulado.
Fonte: Elaboração própria.
O circuito será o mesmo para todas simulações
referentes a esse filtro, variando apenas a frequência
na fonte de alimentação.
C. Filtro Passa-Faixa
No entanto, o circuito que utilizaremos na
simulação possui uma não idealidade, o que nos
obriga a buscar equações dedicadas ao novo circuito
(figura 11). Analogamente, temos uma fonte
senoidal de tensão, com amplitude de 1V, cuja
frequência podemos variar. Em série com a mesma,
temos o que provavelmente é a resistência interna
parasita da fonte ( ). Em seguida, uma𝑅 = 50 Ω
indutância , uma capacitância𝐿 = 200 𝑚𝐻
, e por fim, um resistor de 1kΩ, do qual𝐶 = 47 𝑛𝐹
acoplamos os terminais de saída do filtro. O circuito
está representado abaixo, na figura 11.
Figura 11: Esquemático do projeto de filtro
passa-faixas.
Fonte: Elaboração própria.
D. Filtro Rejeita-Faixa
Por fim, o último experimento do circuito, filtro
rejeita-faixa, possui modelo semelhante ao
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passa-faixa, para isso, o indutor e o capacitor foram
colocados em paralelo, mantendo os valores dos
componentes iguais, assim como o valor da tensão
de alimentação foi mantido. A figura 12 a seguir
mostra o circuito disponibilizado pelo professor para
a simulação do experimento.
Figura 12: Modelo do circuito rejeita-faixa.
Fonte: Autoria do Professor Carlos Andrey Maia [2].
Então, tendo como base o circuito proposto, o
mesmo foi montado no software de simulação. A
figura 13 a seguir mostra o circuito já montado na
ferramenta online.
Figura 13: Circuito rejeita-faixa simulado.
Fonte: Elaboração própria.
O circuito será o mesmo para todas simulações
referentes a esse filtro, variando apenas a frequência
na fonte de alimentação.
Resultados
De maneira semelhante, a disposição dos
resultados também está dividida entre os quatro tipos
de filtros.
A. Resultados Filtro Passa-Baixas
Para o circuito da figura 8, cuja fonte possui
frequência variável , temos como função de𝑓
transferência, utilizando a fonte como sinal de
entrada, e a tensão do resistor de 5.6kΩ como saída:
(04)𝑉
𝑅
2
(𝑠) =
𝑅
2
𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
+𝑠𝐿
1
· 𝑉
1 
De tal forma que sua função de transferência é:
(05)𝐻(𝑠) =
𝑅
2
𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
+𝑠𝐿
1
Ou ainda:
𝐻(ω) =
𝑅
2
𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
+𝑗ω𝐿
1
(06)
Substituindo , o módulo e a fase𝑠 = 𝑗ω = 𝑗2π𝑓
da função de transferência é dado por:
(07)|𝐻(𝑓)| = |
𝑅
2
𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
+𝑗2π𝑓𝐿
1
|
(08)|𝐻(𝑓)| =
𝑅
2
(𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
)2+(2π𝑓𝐿
1
)2
Cujo módulo não possui unidade (admensional).
Podemos também utilizar uma escala logarítmica em
decibéis para facilitar a leitura, nesse caso a notação
correta é:
|𝐻(𝑓)|
𝑑𝐵
= 20𝑙𝑜𝑔(
𝑅
2
(𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
)2+(2π𝑓𝐿
1
)2
)
(09)
Já a fase do circuito é denotada por:
(10)ϕ(𝑓) =− 𝑡𝑎𝑛−1(
2π𝑓𝐿
1
𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
)
Cuja unidade é em radianos. Podemos converter
para graus multiplicando pelo fator de correção 180ºπ
, admitindo-se que a função retorna o valor𝑡𝑎𝑛−1(𝑥)
da função em radianos.
Como explicitado anteriormente, a frequência de
corte de um circuito é dado pela frequência sob o
qual a saída é reduzida a 70,7% ( ) do valor na1/ 2
banda de passagem. Assim, para encontrarmos o
valor da frequência de corte, igualamos:
(11)|𝐻(𝑓
𝑐
)| = 1
2
=
𝑅
2
(𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
)2+(2π𝑓
𝑐
𝐿
1
)2
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Após algumas manipulações matemáticas
necessárias, encontramos de forma explícita a
frequência de corte do circuito em função das
variáveis de circuito (equação 12):
(12) 𝑓
𝑐
=
2𝑅
2
2−(𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
)2
(2π𝐿
1
)2
= 4. 4 𝑘𝐻𝑧
Abaixo, apresentamos simulações do circuito
para a frequência de corte analiticamente obtida
(figura 14).
Figura 14: Esquemático do filtro passa-baixas na
frequência de corte .𝑓
𝑐
= 4. 4 𝑘𝐻𝑧
Fonte: Elaboração própria.
Assim, como a frequência de corte corresponde a
frequência cujo módulo da função de transferência
assume valor , temos:1
2
(13)𝐻(𝑓
𝑐
) =
𝑉
𝑅
2
(𝑓
𝑐
)
𝑉
1
= 1
2
Logo:
(14)𝑉
𝑅
2
(𝑓
𝑐
) =
𝑉
1
2
= 2. 503 𝑉
𝑟𝑚𝑠
Ratificando o valor que obtivemos através da
simulação (figura 14).
Para tal valor de frequência, obtemos uma
defasagem, em graus, do circuito de:
ϕ(𝑓
𝑐
) =− 180ºπ · 𝑡𝑎𝑛
−1(
2π𝑓
𝑐
𝐿
1
𝑅
2
+𝑅
1
+𝑅
3
) =− 44. 33º
Aproximadamente o valor esperado (-45º).
A partir das equações 09 e 10 obtidas
analiticamente, podemos fornecê-las a um software
gráfico (GeoGebra), e obter o gráfico da resposta em
frequência do circuito em módulo e fase (figuras 15
e 16, respectivamente).
Figura 15: Curva característica do módulo (em dB)
do filtro passa-baixas, fornecido pelo software
gráfico GeoGebra.
Fonte: Elaboração própria.
Figura 16: Curva característica da fase (em graus) do
filtro passa-baixas, fornecido pelo software gráfico
GeoGebra.
Fonte: Elaboração própria.
Figura 17: AMPLIAÇÃO: Curva característica da
fase (em graus) do filtro passa-baixas, fornecido pelo
software gráfico GeoGebra.
Fonte: Elaboração própria.
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A partir do diagrama de módulo (figura 15)
confirmamos assim que se trata de um filtropassa
baixa, cuja frequência de corte ( )|𝐻(𝑓
𝑐
)|
𝑑𝐵
=− 3 𝑑𝐵
é de aproximadamente 4400 Hz, e defasagem de
-45º na mesma.
Por outro lado, também podemos obter uma
curva similar às curvas obtidas analiticamente
(figuras 15 e 16) através de simulações sucessivas do
circuito mostrado anteriormente (Figura 14), apenas
variando a frequência da fonte. Assim, escolhemos
uma quantidade adequada de pontos (11 valores de
frequência), simulamos o circuito, dividimos os
valores de tensão obtidos na saída do resistor de
5.6kΩ pela tensão de entrada da fonte (fonte de
tensão + resistência parasítica), e convertemos o
valor adimensional em decibéis e os anotamos.
Assim, utilizando um total de 11 pontos
(frequência de corte + 5 pontos abaixo + 5 pontos
acima) distribuídos em torno da frequência de corte (
pré- : ; pós- : e𝑓
𝑐
∆𝑓 = 792 𝐻𝑧 𝑓
𝑐
∆𝑓 = 7920 𝐻𝑧
) e ao longo de duas décadas, obtemos𝑓
𝑐
= 4400 𝐻𝑧
os seguintes resultados (a seguir mostramos as
simulações apenas de uma frequência, mas as
mesmas simulações foram feitas individualmente
para as 11 frequências escolhidas):
Figura 18: Simulação computacional do filtro
passa-baixas, para .𝑓
3
= 2024 𝐻𝑧 
Fonte: Elaboração própria.
Para a simulação acima (figura 18), temos
ou|𝐻(2024)| = 0. 908 |𝐻(2024)|
𝑑𝐵
=− 0. 832
dB. Ao realizar isso para todas as frequências,
obtemos os resultados resumidos na segunda coluna
da tabela 1.
A determinação da fase dos circuitos não é
possível utilizando apenas o multímetro, sendo
assim, recorremos a um osciloscópio, a partir do
qual podemos realizar a conversão da defasagem
temporal em defasagem angular, através da
expressão 15, abaixo:
(15)ϕ(𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠) = 2π𝑓 · ∆𝑡 · 180π
Sendo a defasagem temporal entre o sinal de∆𝑡
saída e o de entrada, e a frequência do mesmo.𝑓
Através do osciloscópio, podemos encontrar tal valor
a partir da diferença entre duas cristas ou dois vales
de tais curvas. Isso é possível uma vez que o
software utilizado (MultiSim) é capaz de
automaticamente encontrar os valores máximos de
cada curva ao utilizar o mecanismo “GO TO NEXT
Y MAX”. O mecanismo está ilustrado na figura
abaixo (figura 19):
Figura 19: Osciloscópio digital do filtro
passa-baixas, para . O é ilustrado𝑓
3
= 2024 𝐻𝑧 ∆𝑡
no campo “T2-T1”.
Fonte: Elaboração própria.
Portanto, repetindo o mesmo procedimento
anterior para todos os valores de frequência,
obtemos as defasagens de todos os circuitos. Os
dados estão disponíveis na terceira coluna da tabela
1.
A seguir (tabela 1), apresentam-se as tabulações
dos resultados obtidos para os dois procedimentos de
simulação, especificados anteriormente.
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Tabela 1: Módulo e fase em função da frequência
para filtro passa baixa.
Frequência (Hertz) Módulo (dB) Fase (º)
440 -0.1 -1.5
1232 -0.3 -21.8
2024 -0.8 -23.5
2816 -1.5 -33.6
3608 -2.2 -44.3
4400 -3.0 -45
12320 -9.4 -67.2
20240 -13.4 -78.6
28160 -16.1 -78.8
36080 -18.3 -78.9
44000 -20.0 -90.0
Com os dados da tabela 1 em mãos, podemos
montar nossos próprios gráficos de módulo e fase da
resposta em frequência do circuito. O software
utilizado para montar a figura 20 abaixo foi o Excel,
usando o tipo de gráfico “Dispersão com linhas retas
e marcadores”.
Figura 20: Gráfico de Módulo, feito com os dados da
tabela 1, no Excel.
Fonte: Elaboração própria.
Figura 21: Gráfico de Fase, feito com os dados da
tabela 1, no Excel.
Fonte: Elaboração própria.
É possível também, obter a resposta em
frequência do circuito montado na figura 8 a partir
do próprio MultiSim, com o auxílio de uma
simulação “AC Sweep”, de forma a comparar o
gráfico fornecido pelo software ao montado por nós.
Segue abaixo (figura 22), o resultado da simulação.
Figura 22: Simulação AC Sweep, no MultiSim, para
filtro passa-baixas.
Fonte: Elaboração própria.
Na figura 22, com auxílio dos cursores,
conseguimos encontrar a frequência de -3 dB
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(-3.0103 dB) em aproximadamente 4.4 kHz. Para a
mesma frequência, encontramos defasagem de
-44.37º.
É válido ressaltar que a diferença entre o formato
dos gráficos obtidos pelo MultiSim (figura 22) e os
simulados no GeoGebra (figura 15 e16) ocorre em
função dos eixos, no primeiro a escala é
logarítmica,já no segundo, linear.
B. Resultados Filtro Passa-Altas
O primeiro passo da análise do circuito foi a
determinação da função de transferência. Para isso, é
necessário encontrar a tensão no canal 2. A equação
16 mostra o resultado.
(16) 𝑉𝑜(𝑠) = 𝑉𝑖(𝑠) * 𝑅2
𝑅1 + 1𝑠𝐶1 + 𝑅2
 
Manipulando essa equação, é possível encontrar
a função de transferência, representada pela equação
17 logo abaixo.
(17)𝐻(𝑠) = 𝑅2
𝑅1 + 1𝑠𝐶1 + 𝑅2
 = 𝑅2 * 𝑠𝐶1𝑅1 * 𝑠𝐶1 + 1 + 𝑅2 * 𝑠𝐶1 
Logo em seguida, as expressões de módulo e fase
em função da frequência de 2πf foram encontradas.
As equações 18 e 19 mostram o módulo.
(18) 𝐻(𝑓)| | = 2𝜋𝑓 * 𝑅2 * 𝐶
1 + (2𝜋𝑓 * 𝐶 * (𝑅1 + 𝑅2))2
 
(19) 𝐻(𝑓)| |
𝑑𝐵
 = 20𝑙𝑜𝑔( 2𝜋𝑓 * 𝑅2 * 𝐶
1 + (2𝜋𝑓 * 𝐶 * (𝑅1 + 𝑅2))2
) 
Enquanto a equação 20 mostra a fase.
𝐻(𝑓)| | = 90° − 𝑡𝑎𝑛−1(2𝜋𝑓 * 𝐶 * (𝑅1 + 𝑅2)) 
(20)
O próximo passo foi determinar a frequência de
corte. Para isso, basta igualar o módulo da função de
transferência a . A equação 21 evidencia isso.1/ 2
(21) 1
2
 = 2𝜋𝑓 * 𝑅2 * 𝐶
1 + (2𝜋𝑓 * 𝐶 * (𝑅1 + 𝑅2))2
 
Com algumas manipulações matemáticas, a
equação 22 mostra o resultado.
(22) 𝑓
𝑐
 = 235, 233 𝐻𝑧 
Com a simulação do circuito e com o valor da
frequência de corte encontrado, é possível variar o
valor da entrada, tanto para diminuir como para
aumentar, fazendo com que seja possível montar
uma tabela com os valores encontrados. A tabela 2
mostra os resultados.
Tabela 2: Relações de módulo e fase para o filtro
passa-altas com a variação da frequência.
Frequência
(Hz)
Módulo
(dB)
Fase
(°)
23,5 -20,0 84,2
40,0 -15,4 80,2
60,0 -12,1 75,5
100,0 -8,1 66,7
200,0 -3,7 49,3
235,2 -3,0 44,7
300,0 -2,1 37,8
500,0 -0,9 25,0
700,0 -0,5 18,5
1000,0 -0,3 13,1
2352,3 -0,1 5,7
Através dos valores obtidos na tabela, gráficos
para o módulo e fase foram montados com utilização
do excel. A figura 23 mostra o gráfico gerado para o
módulo e a figura 24 para a fase.
Figura 23: Gráfico de módulo do circuito
passa-altas, no Excel.
Fonte: Elaboração própria.
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Belo Horizonte - 10/01/2022
Figura 24: Gráfico de fase do circuito passa-altas, no
Excel.
Fonte: Elaboração própria.
Por fim, com o auxílio de uma ferramenta do
próprio software de simulação, é possível determinar
a resposta em frequência tanto para módulo como
para fase automaticamente. A figura 25 mostra o
resultado.
Figura 25: Resposta em frequência do circuito
passa-altas.
Fonte: Elaboração própria.
Percebe-se que com essa ferramenta é possível
observar o gráfico de uma maneira muito mais
ampla, já que o programa permite uma amostragem
muito maior. Além do fato de conseguir calcular
todos os pontos necessários para gerar um gráfico
mais contínuo do que o feito manualmente.
C. Resultados Filtro Passa-Faixa
Para o circuito mostrado anteriormente na figura
23, temos a seguinte função de transferência
(equação 24).
(23)𝑉
𝑅
(𝑠) = 𝑅
𝑅+𝑠𝐿+ 1𝑠𝐶
· 𝑉
𝑚
 
(24).: 𝐻(𝑠) =
( 𝑅𝐿 )
( 𝑅𝐿 )+𝑠+
1
𝑠𝐶𝐿
=
( 𝑅𝐿 )𝑠
𝑠2+( 𝑅𝐿 )𝑠+
1
𝐶𝐿
O módulo e a fase dessa função de circuito são
explicitados aseguir (equações 25 e 27,
respectivamente).
(25) |𝐻(ω)| =
𝑅
𝐿 ω
( 𝑅𝐿 ω)
2+( 1𝐶𝐿 −ω
2)2
 |𝐻(ω)|
𝑑𝐵
= 20 · 𝑙𝑜𝑔(
𝑅
𝐿 ω
( 𝑅𝐿 ω)
2+( 1𝐶𝐿 −ω
2)2
)
(26)
(27)ϕ(ω) = 90º − 𝑡𝑎𝑛−1(
𝑅
𝐿 ω
1
𝐶𝐿 −ω
2 )
Desde que a função seja uma função𝑡𝑎𝑛−1(𝑥)
de .𝑅 → [− 90º , 90º]
Como sabemos que elementos reativos (indutor e
capacitor) não dissipam potência ativa, a maior
potência ativa dissipada acontece na frequência de
ressonância , quando , assim:ω
0
𝐼 = 𝑉
𝑚
/𝑅
(28)𝑃(ω
0
) = 12
𝑉
𝑚
2
𝑅
Em e , a potência dissipada pelo circuito éω
1
ω
2
metade da potência máxima (equação 28). Logo, são
denominados frequências de meia potência. Dessa
forma, um método de encontrar valor numérico para
as frequências de meia potência é fazendo-se a
impedância do circuito igual a , assim:2𝑅
(29)𝑃(ω
1
) = 𝑃(ω
2
) =
(𝑉
𝑚
/ 2)2
2𝑅 =
𝑉
𝑚
2
4𝑅
(30)𝑅2 + (ω𝐿 − 1ω𝐶 )
2 = 2𝑅
Expressão da qual obtemos os seguintes valores
de frequências (31 e 32):
(31)ω
1
=− 𝑅2𝐿 + (
𝑅
2𝐿 )
2
+ 1𝐿𝐶
(32)ω
2
= 𝑅2𝐿 + (
𝑅
2𝐿 )
2
+ 1𝐿𝐶
Por último, a frequência central ou de
ressonância , como já foi mencionadoω
0
anteriormente, é encontrada igualando a reatância do
circuito a zero. Assim:
𝑋(ω) = ω𝐿 − 1ω𝐶 = 0 .: ω0 =
1
𝐿𝐶
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Outro ponto importante a salientar é que pelas
expressões, vemos que a frequência central pode ser
deduzida através de uma média geométrica entre as
frequências de corte.
Para o circuito simulado, para uma frequência
variável , temos como função de transferência,𝑓
utilizando a fonte como sinal de entrada, e a tensão
do resistor de 1kΩ como saída:
(33)𝐻(𝑠) =
𝑠𝑅
2
𝐶
1
𝐿
1
𝐶
1
𝑠2+𝑠𝐶
1
(𝑅
1
+𝑅
2
)+1
Ou ainda:
(34)𝐻(ω) =
𝑗ω𝑅
2
𝐶
1
𝑗ω(𝑅
1
+𝑅
2
)𝐶
1
−𝐿
1
𝐶
1
ω2+1
Substituindo , o módulo e a fase𝑠 = 𝑗ω = 𝑗2π𝑓
da função de transferência é dado por:
(35)|𝐻(ω)| =
ω𝑅
2
𝐶
1
(ω𝐶
1
(𝑅
1
+𝑅
2
)2+(1−𝐿
1
𝐶
1
ω2)2)
Ou ainda:
|𝐻(ω)|
𝑑𝐵
= 20𝑙𝑜𝑔 (
ω𝑅
2
𝐶
1
(ω𝐶
1
(𝑅
1
+𝑅
2
)2+(1−𝐿
1
𝐶
1
ω2)2)
)
(36)
Em função da frequência :𝑓
|𝐻(𝑓)|
𝑑𝐵
= 20𝑙𝑜𝑔 (
2π𝑓𝑅
2
𝐶
1
(2π𝑓𝐶
1
(𝑅
1
+𝑅
2
))2+(1−𝐿
1
𝐶
1
4π2𝑓2)2)
)
(37)
Com fase:
(38)ϕ(ω) = 90º − 180ºπ 𝑡𝑎𝑛
−1(
ω𝐶
1
(𝑅
1
+𝑅
2
)
1−𝐿
1
𝐶
1
ω2
)
Fornecendo essas equações ao software gráfico
GeoGebra, obtemos a resposta em frequência
esperada do circuito (figura 26).
Figura 26: Curva característica do módulo (em dB)
do filtro passa-faixa, fornecido pelo software gráfico
GeoGebra.
Fonte: Elaboração própria.
Para encontrar a frequência de meia potência,
igualamos a equação 35 a . Assim:1
2
|𝐻(𝑓
𝑐
)| =
2π𝑓
𝑐
𝑅
2
𝐶
1
(2π𝑓
𝑐
𝐶
1
(𝑅
1
+𝑅
2
))2+(1−𝐿
1
𝐶
1
4π2𝑓
𝑐
2)2
= 1
2
(39)
Após uma minuciosa manipulação matemática
encontramos uma equação biquadrada, ou seja, de
grau 4, mas com a variável presente apenas em
expoentes pares. A equação é mostrada a seguir (40):
(40)𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Sendo:
𝑎 = (𝐿
1
2𝐶
1
216π4)
𝑏 = (4π2𝐶
1
2(𝑅
1
+ 𝑅
2
)2 − 2𝐿
1
𝐶
1
4π2 − 8π2𝑅
2
2𝐶
1
2)
𝑐 = 1
E, por se tratar de uma equação biquadrada,
utilizamos a simplificação . Ao utilizar a𝑥 = 𝑓
𝑐
2
equação de Bhaskara para encontrar as soluções,
descartamos as soluções negativas, pois se trata de
uma impossibilidade. Assim, encontramos como
soluções:
e 𝑓
𝑐1
= 2. 06 𝑘𝐻𝑧 𝑓
𝑐2
= 1. 307 𝑘𝐻𝑧
(41)
Analisando os valores das frequências de meia
potência obtidas, e o gráfico de módulo (figura 26),
vemos que estão condizentes, confirmando o método
utilizado para determinação. Para o circuito da figura
11, a frequência de ressonância é dada por:𝑓
0
=
ω
0
2π
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(42) 𝑓
0
= 𝑓
1
𝑓
2
= 1641 𝐻𝑧
Mais uma vez, como realizado anteriormente,
obteremos mais uma confirmação dos valores e
informações encontrados acima através de
simulações sucessivas do circuito da figura 27 para
diferentes frequências e posterior análise.
Uma simulação interessante é mostrada abaixo
(figura 27). Para tal valor de frequência, o circuito se
comporta como puramente resistivo. Pode-se
verificar tal fato pois a corrente que circula pelo
resistor de 1kΩ (
) é673. 302 𝑚𝑉/1000 Ω = 673. 302 µ𝐴 
aproximadamente idêntica a corrente do circuito na
ausência dos elementos reativos (
), ou seja, um erro0. 707 𝑉/1050 Ω = 673. 333 µ𝐴
de menos de 0.01%.
Figura 27: Esquemático do filtro passa-faixa na
frequência central .𝑓
0
= 1640 𝐻𝑧
Fonte: Elaboração própria.
As frequências utilizadas nas simulações não
foram igualmente espaçadas ( fixo), pois∆𝑓
utilizaremos uma escala logarítmica. Assim, foram
escolhidas frequências aleatórias que permitiram
uma boa visualização gráfica da resposta em
frequência do circuito. Novamente, foram escolhidos
11 pontos, destes, sendo um a frequência central, e
as frequências de meia potência. As frequências
utilizadas e os resultados das simulações podem ser
observados nas primeiras duas colunas da tabela 3.
Assim como utilizado no filtro passa-baixas, a
medição da defasagem angular foi realizada através
do uso do osciloscópio digital do MultiSim (figura
28). Novamente usamos como exemplo a frequência
de ressonância, a partir da imagem vemos que sob a
mesma escala (500mV/div) os sinais apresentam-se
sincronizados, sem defasagem (T2-T1=0).
Figura 28: Osciloscópio digital do filtro passa-faixa,
para .𝑓
0
= 1640 𝐻𝑧 
Fonte: Elaboração própria.
Após repetidas simulações, e conversão de dados
temporais em angulares, os resultados foram
adicionados à terceira coluna da tabela 3.
A seguir (tabela 3), apresentam-se as tabulações
dos resultados obtidos para os dois procedimentos de
simulação, especificados anteriormente.
Tabela 3: Módulo e fase em função da frequência
para filtro passa-faixa.
Frequência (Hz) Módulo (dB) Fase (º)
164 -26.2 80.5
459.2 -16.7 78.3
754.4 -11.3 78.2
1049.6 -6.6 67.3
1307 -2,73 33.9
1640 -0.0 0
2060 -2,8 -44.9
3000 -9.1 -67.5
4592 -14.3 -78.3
7544 -19.2 -77.2
16400 -26.2 -89.5
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Com os dados da tabela 3 em mãos, podemos
montar nossos próprios gráficos de módulo e fase da
resposta em frequência do circuito. O software
utilizado para montar a figura 29 abaixo foi o Excel,
usando o tipo de gráfico “Dispersão com linhas retas
e marcadores”.
Figura 29: Gráfico de Módulo, feito com os dados da
tabela 3, no Excel.
Fonte: Elaboração própria.
Figura 30: Gráfico de Fase, feito com os dados da
tabela 3, no Excel.
Fonte: Elaboração própria.
Obtemos novamente a resposta em frequência do
circuito a partir do MultiSim, com a ferramenta “AC
Sweep”, para fins comparativos. Segue abaixo
(figura 31), o resultado da simulação. A seguir, é
apresentado dois gráficos de módulo, um ressaltando
a frequência de ressonância (figura 32) através do
valor máximo da função, e o outro ressaltando as
frequências de corte (figura 31). Utilizando a
ferramenta “SET X VALUE” alocamos os cursores
para ficarem sob a frequência que desejamos (
), e 𝑓
𝑐1
= 2. 06 𝑘𝐻𝑧 𝑒 𝑓
𝑐2
= 1. 307 𝑘𝐻𝑧
verificamos a redução de -3dB em módulo. Em
seguida, utilizamos outra ferramenta “GO TO NEXT
Y MAX” para encontrar o valor da frequência de
pico, e encontramos valores compatíveis com os
encontrados anteriormente.
Figura 31: Simulação AC Sweep, no MultiSim, para
filtro passa-faixa, explicitando frequências de meia
potência.
Fonte: Elaboração própria.
Figura 32: Simulação AC Sweep, no MultiSim, para
filtro passa-baixas,explicitando a frequência central.
Fonte: Elaboração própria.
D. Resultados Filtro Rejeita-Faixa
O primeiro passo da análise do circuito foi a
determinação da função de transferência. Para isso, é
necessário encontrar a tensão no canal 2. A equação
43 mostra o resultado.
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(43) 𝑉𝑜(𝑠) = 𝑉𝑖(𝑠) * 𝑅2𝑅1 + (𝐿1 // 𝐶1) + 𝑅2 
Manipulando essa equação, é possível encontrar
a função de transferência, representada pela equação
44 logo abaixo.
𝐻(𝑠) = 𝑅2𝑅1 + (𝐿1 // 𝐶1) + 𝑅2 =
𝑅2 * (𝑠2 * 𝐿1 * 𝐶1 + 1)
(𝑠2 * 𝐿1 * 𝐶1 + 1) * (𝑅1 + 𝑅2) + 𝑠𝐿1
(44)
Logo em seguida, as expressões de módulo e fase
em função da frequência de 2πf foram encontradas.
As equações a seguir mostram o módulo.
(45) 𝐻(ω) = (−𝑅2 · 𝜔
2 · 𝐿1 · 𝐶1 + 𝑅2)+𝑗(0)
[(−𝜔2 * 𝐿1 * 𝐶1 + 1) · (𝑅1 + 𝑅2)] +𝑗(𝜔𝐿1)
 
(46) |𝐻(ω)| = −𝑅2 · 𝜔
2 · 𝐿1 · 𝐶1 + 𝑅2 
[(−𝜔2 * 𝐿1 * 𝐶1 + 1) · (𝑅1 + 𝑅2)]2 + (𝜔𝐿1)2
 
𝐻(𝑓)| |
𝑑𝐵
 = 20𝑙𝑜𝑔( −𝑅2 · 𝜔
2 · 𝐿1 · 𝐶1 + 𝑅2 
[(−𝜔2 * 𝐿1 * 𝐶1 + 1) · (𝑅1 + 𝑅2)]2 + (𝜔𝐿1)2
)
(47)
Enquanto a equação 48 mostra a fase.
 𝐻(𝑓)| | =− 𝑡𝑎𝑛−1( 𝜔𝐿1
[(−𝜔2 * 𝐿1 * 𝐶1 + 1) · (𝑅1 + 𝑅2)]
) 
(48)
O próximo passo foi determinar as frequências
centrais e de corte. Para isso, seguem as equações
abaixo.
(49) 1
2
= −𝑅2 · 𝜔
2 · 𝐿1 · 𝐶1 + 𝑅2 
[(−𝜔2 * 𝐿1 * 𝐶1 + 1) · (𝑅1 + 𝑅2)]2 + (𝜔𝐿1)2
 
Após várias manipulações matemáticas,
obtém-se uma equação biquadrada, ou seja, de grau
4, mas com a variável presente apenas em expoentes
pares. A equação 50 mostra o resultado.
(50) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Sendo:
𝑘 = (𝑅
1
+ 𝑅
2
)2
𝑎 = (𝐿
1
𝐶
1
)2(2𝑅
2
2 − 𝑘)
𝑏 = (− 4𝑅
2
2𝐿
1
𝐶
1
− 𝐿
1
2 + 2𝑘𝐿
1
𝐶
1
)
𝑐 = (2𝑅
2
2 − 𝑘)
Novamente, por se tratar de uma equação
biquadrada, foi utilizado a simplificação .𝑥 = 𝑓
𝑐
2
Ao utilizar a equação de Bhaskara para encontrar as
soluções, descartam-se as soluções negativas, pois se
trata de uma impossibilidade. Assim, a equação 51
mostra os valores encontrados
e𝑓
𝑐1
= 4, 2 𝑘𝐻𝑧 𝑓
𝑐2
= 665 𝑘𝐻𝑧
(51)
Então, calculado a frequência de ressonância,
encontra-se o seguinte valor, evidenciado pela
equação 52.
(52) 𝑓
0
= 1
𝐿𝐶
= 1
200 * 47 * 10−12
= 1642 𝐻𝑧 
Com a simulação do circuito e com os valores de
frequência encontrados, é possível variar o valor da
entrada, tanto para diminuir como para aumentar,
fazendo com que seja possível montar uma tabela
com os valores encontrados. A tabela 4 mostra os
resultados.
Tabela 4: Relações de módulo e fase para o filtro
rejeita-faixa com a variação da frequência.
Frequência (Hz) Módulo (dB) Fase (°)
164,2 -0,6 -11,3
400,0 -1,4 -27,1
600,0 -2,7 -39,7
800,0 -4,6 -51,6
1000,0 -7,1 -62,4
1642,0 -29,3 -86,8
2000,0 -14,4 78,4
4000,0 -3,3 44,0
6000,0 -1,7 30,3
8000,0 -1,1 22,8
16420,0 -0,6 11,2
Através dos valores obtidos na tabela, gráficos
para o módulo e fase foram montados com utilização
do excel. A figura 33 mostra o gráfico gerado para o
módulo e a figura 34 para a fase.
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Figura 33: Gráfico de módulo do circuito
rejeita-faixa, no Excel.
Fonte: Elaboração própria.
Figura 34: Gráfico de fase do circuito rejeita-faixa,
no Excel.
Fonte: Elaboração própria.
Por fim, com o auxílio de uma ferramenta do
próprio software de simulação, é possível determinar
a resposta em frequência tanto para módulo como
para fase automaticamente. A figura 35 mostra o
resultado.
Figura 35: Resposta em frequência do circuito
rejeita-faixa.
Fonte: Elaboração própria.
Novamente, com essa ferramenta é possível
observar o gráfico muito mais claramente, devido
aos benefícios que esse programa entrega.
Análise de resultados e conclusão
As análises dos resultados e conclusões foram
realizadas individualmente.
A. Aluno 1
A análise das figuras 1, 20 e 21 do circuito
passa-baixas, entre uma década antes e uma década
depois, revela que o gráfico de fase (com eixo de
frequências em escala logarítmica) se aproxima de
uma reta com declinação de -45º/dec, como estamos
acostumados a simplificar. Analogamente para o
módulo (mesmo com suas imperfeições), temos que
a resposta em frequência pode ser aproximada por
uma reta sem inclinação até a frequência de corte,
seguida por uma reta com inclinação -20 dB/dec.
A imperfeição do gráfico de fase do filtro passa
baixas (gráfico com um “platô” em -78º) atribuímos
à resolução limitada de informação do osciloscópio,
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ao selecionar automaticamente o valor máximo, pois
não houve nenhum arredondamento/truncamento
intermediário que pudesse deturpar o valor final. No
entanto, verifica-se que fomos capazes de montar
realmente um filtro, que elimina/atenua frequências
altas (superiores à frequência de corte), e deixa
passar sem atenuação as demais.
Deve-se salientar que o simples acréscimo de
uma não-idealidade como a resistência parasítica da
fonte de alimentação dos circuitos discutidos neste
presente relatório, modificou as respostas em
frequência fornecidas como padrão pelo professor no
roteiro, requisitando para todos os circuitos, a
dedução das fórmulas informadas pelo mesmo, e a
dedução das fórmulas adequadas ao circuito
trabalhado. Pela análise das equações 37 e 47,
torna-se claro a alta complexidade e cuidado
desenvolvida por nós, alunos, para realização do
documento.
Novamente, a obtenção de gráficos, função de
transferência entre outros dados relevantes foi
alcançada com um alto nível de qualidade, e com
diferentes fontes, ou seja, uma informação sólida e
muitas vezes ratificada, estando em coerência com
as simulações computacionais em calculadoras
gráficas e em softwares de simulação próprios para
circuitos. Tal fato não se verifica exclusivamente
para um tipo único de filtros, mas sim, todos os
desenvolvidos no experimento.
Analogamente ao processo feito anteriormente, o
gráfico obtido no Excel para o filtro passa altas é
equivalente ao formato tradicional de simplificação
da resposta em frequência real pela aproximação por
retas: a banda passante se aproxima de uma reta sem
inclinação, iniciada na frequência de corte e se
estendendo até o infinito, e uma reta com inclinação
-20 dB/déc antes da frequência de corte. Da mesma
forma para fase, que entre uma década antes da
frequência de corte e uma década depois, a curva se
assemelha a uma reta, com declinação -45º/déc.
Para o filtro passa faixa, vimos que foi possível
obter a frequência de ressonância/central a partir de
duas equações distintas, o que ratifica ainda mais o
valor obtido. Além disso, na tabela 3 vemos a não
idealidade atrapalhando a obtenção do resultado
esperado: nas frequências de corte, não foi obtido o
módulo de -3 dB, exatamente com o numeral três,
mas próximo. Como se trata de um passa-faixa,
vemos que entre as frequências de corte se
encontram os sinais com menor atenuação, com
ápice na frequência de ressonância, cujo módulo não
foi alterado (0 dB). Entre as frequências de corte, há
a alteração dos sinais no circuito: a corrente que
estava adiantada em relação a tensão, se torna
atrasada em relação a mesma, alternando o sinal da
defasagem no gráfico.
Vimos também, que o gráfico é
aproximadamente simétrico, ou seja, uma década a
mais e uma década a menos na frequência central é
responsável por uma atenuação de pouco mais de 25
dB, e assim como outras frequências
geometricamente distribuídas ao redor da frequência
central.
Damesma forma, o filtro rejeita faixa revelou-se
adequado, de forma que suas equações, gráficos e
simulações foram todos ao encontro, permitindo
assim, uma solidificação do tema. O rejeita faixa
possui resposta complementar ao filtro passa faixa.
São tão complementares que um se trata de circuito
RC série, e o outro RC paralelo, cuja mesma
expressão é utilizada para encontrar a frequência de
ressonância.
Assim, o rejeita faixa possui banda passante
larga, com uma depressão em uma pequena banda de
frequências, chamada de banda de rejeição, a qual
sofre atenuação da informação. A frequência de
ressonância é o auge da resposta do filtro, onde todo
sinal de tensão fica retido nas cargas reativas,
reduzindo assim a saída no resistor.
A frequência de ressonância em circuitos de
segunda ordem, é um fenômeno muito interessante
de ser estudado, porém muito perigoso na prática, e
por isso, costuma ser evitado. Isso acontece pois
nessa situação, sobretensões e sobrecorrentes
acontecem no circuito, ocasionando degradação de
componentes (danos devidos a sobrecorrente e efeito
joule, e sobretensões cujos dispositivos não estão
especificados para trabalhar em tal regime),
aumentando o risco de explosão de capacitores,
fusão de fios, etc.
B. Aluno 2
A realização da primeira parte serviu como
pontapé inicial das simulações de circuitos para
seleção de frequência, envolvendo os dois tipos de
filtros de primeira ordem, sendo eles o passa-baixas
e o passa-altas, com o objetivo de analisar,
principalmente, as principais características entre
esses dois modelos.
Quando se trata do filtro passa-baixas, percebe-se
através do nome que a seleção será feita em baixas
frequências, claramente vistas nas imagens
mostradas que quanto maior a frequência, menor a
magnitude, ou seja, o circuito cumpriu com seu
papel. Podendo observar nitidamente através das
contas e tabelas a variação desses valores.
Em relação ao filtro passa-altas, como o próprio
nome já diz, será o contrário do anterior, fazendo
com que em frequências menores, a magnitude
esteja baixa, e conforme aumenta-se a frequência, a
magnitude também aumenta. Os gráficos mostram
perfeitamente isso acontecendo, além de que através
da tabela é possível observar essa variação.
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Os valores encontrados pelas simulações e
medições estavam de acordo com o esperado, e
validaram diversas relações mostradas previamente.
Além de que, por envolver simulações tanto para
passa-baixas como para o passa-altas, foi possível
observar ambos modelos funcionando em cada tipo
de circuito.
O protagonismo da segunda parte é a mudança de
circuitos de primeira ordem para circuitos de
segunda ordem, com o objetivo da seleção de
frequência, sendo eles o passa-faixa e o rejeita-faixa.
Por se tratar de circuitos de segunda ordem, tanto o
indutor como o capacitor são utilizados em ambos
circuitos, no primeiro em série e no segundo em
paralelo, provocando as diferentes variações entre
eles.
O filtro de passa-faixa atua para selecionar um
alcance pré estipulado durante a determinação do
circuito. Esse primeiro modelo possui seus
componentes em série, e através da visualização das
imagens percebe que quanto mais distante o valor da
frequência dessa faixa, a magnitude diminui, e
conforme a frequência se aproxima do valor, a
magnitude aumenta.
Com a mudança do indutor e capacitor em série
para paralelo, forma-se o filtro rejeita-faixa, que
possui objetivo contrário ao anterior, que é
basicamente de não aceitar frequências de uma faixa
de valores estabelecida. Sendo assim, o gráfico passa
a ser o inverso, tendo a magnitude elevada quão
mais longe a frequência estiver dos valores
selecionados, e diminui conforme se aproxima.
A partir das diversas análises de cada
experimento, conclui-se que a realização desse
relatório no modelo à distância torna-se muito mais
fácil, visto que pode-se colocar quaisquer valores
para os componentes, facilitando o processo
experimental. Caso fosse necessário a realização
prática, seria importante buscar por valores
comerciais.
É válido comentar que para o caso específico dos
modelos de segunda ordem o cálculo da frequência
de ressonância é o mesmo para ambos. Como os
valores dos componentes, indutor e capacitor, não
mudaram, o resultado foi o mesmo, e a faixa de
aceitação ou rejeição foi a mesma.
Conforme demonstrado durante todo o relatório,
todos os resultados simulados estavam de acordo
com os calculados, evidenciando que todo o
processo experimental ocorreu bem. Vale lembrar
que eventuais diferenças minimamente pequenas
podem surgir do processo de arredondamento tanto
manual, na parte dos cálculos, como virtual, na parte
das simulações no software. Por se tratar de
pequenas casas decimais, não prejudica nada o
entendimento das práticas.
Pode-se dizer que a realização desse relatório foi
concluída com sucesso, e que todo conhecimento
teórico e prático foi absorvido.
Referências
[1] Alexander CK, Sadiku MNO. Fundamentos de
Circuitos Elétricos. Quinta Edição. Porto Alegre:
AMGH, 2013.
[2] Material didático disponibilizado pelo professor
Carlos Andrey Maia durante as aulas.
[3] http://www.cpdee.ufmg.br/~palhares/aula12_csl.
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