70749779-teoria-dos-conjuntos-exercicios-resoolvidos

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Apresentamos aqui alguns exercícios resolvidos sobre a Teoria de 
Conjuntos. Tais exercícios são utilizados estudo de Análise na reta, 
embora devessem estar em algum tópico relacionado com a Teoria dos 
Conjuntos. 
1. Provar que se A Ø, isto é, A é um subconjunto do conjunto vazio, 
então A=Ø. 
Dem: O conjunto vazio é um subconjunto de todo conjunto e em 
particular Ø A. Por hipótese, A Ø, pois A é um subconjunto do 
conjunto vazio. 
Como A Ø e Ø A, por definição de igualdade de conjuntos, segue 
que A=Ø. 
2. Provar que A B=B A (Comutatividade). 
Dem: Seja y€(A B). Então y€A ou y€B. Pela equivalência lógica pνq
qνp segue que y€B ou y€A. Logo y€B A. Conclui-se que A B=B
A. 
3. Provar que A B=B A (Comutatividade). 
Dem: Seja x€(A B). Então x€A e x€B. Pela equivalência lógica pΛq
qΛp segue que x€B e x€A. Logo x€B A. Conclui-se que A B=B
A. 
4. Provar que A e B são subconjuntos de A B. 
Para a prova, deve-se demonstrar as inclusões: (a) A (A B) e (b) B
(A B). 
Dem de a: Seja x€A. Pela implicação lógica p pνq segue que x€A 
ou x€B. Logo x€A B e segue que A (A B). 
Dem de b: Se x€B, então pela implicação lógica q pνq segue que 
x€B ou x€A. Logo x€B A. 
Como a reunião de conjuntos é comutativa, segue que x€A B, logo 
B (A B). 
Portanto A e B são subconjuntos de A B. 
5. Provar que A=A A (Idempotência). 
Deve-se mostrar que: (a) A (A A) e (b) (A A) A. 
Dem de a: Como A (A B), tomando B=A segue que A (A A). 
Dem de b: Seja x€A A. Segue que x€A ou x€A. 
Pela implicação lógica pνp p segue que x€A. Logo, (A A) A. 
Como A (A A) e (A A) A, então pela definição de igualdade de 
conjuntos, conclui-se que A=A A. 
6. Provar que U A=U. 
Deve-se mostrar que (a) U (U A) e (b) (U A) U. 
Dem de a: Como A (A B). Tomando A=U e B=A segue que U (U
A). 
Dem de b: Se y€U A, então y€U ou y€A, logo y€U, pois todo 
conjunto é um subconjunto do conjunto universo. 
Então, (U A) U. Conclui-se que U A=U. 
7. Provar que A Ø=A (Identidade com respeito à reunião). 
Deve-se mostrar que (a) (A Ø) A e (b) A ( A Ø). 
Dem de a: Se x€A Ø, segue que x€A ou x€Ø. Pela definição de 
conjunto vazio, segue que x€A, logo (A Ø) A. 
Dem de b: Como A (A B). Tomando B=Ø segue que A (A Ø). 
Como (A Ø) A e A ( A Ø), pela definição de igualdade de 
conjuntos, conclui-se então que A Ø=A. 
8. Provar que se A B=Ø então A=Ø e B=Ø. 
Dem: Sabe-se que A (A B). Por hipótese A B=Ø, logo A Ø. 
Como o conjunto vazio é um subconjunto de todo conjunto, segue 
que Ø A. Pela definição de igualdade de conjuntos A=Ø. 
Analogamente mostra-se que B=Ø. 
Portanto, se A B=Ø então A=Ø e B=Ø. 
9. Provar que (A B) é um subconjunto de A e de B. 
Deve-se provar que (A B) A e (b) (A B) B. 
Dem de a: Se x€(A B), então x€A e x€B. Em particular, x€A. Logo 
(A B) A. 
Dem de b: Se y€(A B), então, y€A e y€B. Em particular, y€B. Logo 
(A B) B. 
Conclui-se que (A B) é um subconjunto de A e de B. 
10. Provar que A A=A (Idempotência). 
Deve-se mostrar que (a) (A A) A e (b) A (A A). 
Dem de a: Como (A B) A. Tomando B=A segue que (A A) A. 
Dem de b: Se x€A, então x€A e x€A, logo x€(A A), assim A (A
A). 
Conclui-se então que A A=A. 
11. Provar que U A=A (Identidade com respeito à interseção). 
Deve-se demonstrar que: (a) (U A) A e (b) A (U A). 
Dem de a: Como (A B) B, tomando A=U e B=A segue que (U A)
A. 
Dem de b: Se x€A, então x€U, pois o conjunto U representa o 
conjunto universo. Assim x€U e x€A. Logo x€(U A). Portanto A (U
A). 
Conclui-se então que U A=A. 
12. Provar que A Ø=Ø. 
Deve-se mostrar que: (a) (A Ø) Ø e (b) Ø (A Ø). 
Dem de a: Como (A B) B, então tomando B=Ø segue que (A Ø)
Ø. 
Dem de b: Como o conjunto vazio é um subconjunto de todo 
conjunto, segue que Ø (A Ø). 
Conclui-se que A Ø=Ø. 
13. Provar que (A–B) A. 
Dem: Se y€(A–B), então y€A e y B, logo y€A. Conclui-se então que 
(A–B) A. 
14. Provar que (A–B) B=Ø. 
Dem: Por redução ao absurdo. Nega-se a tese, aceita-se a hipótese 
para obter uma contradição. 
Se (A–B) B # Ø, então existe p€(A–B) B. Assim, p€(A–B) e p€B, 
isto é, (p€A e p B) e p€B. Pela equivalência lógica (pΛq)Λr
pΛ(qΛr) segue que p€A e (p B e p€B), o que é uma contradição. 
Conclui-se então que (A–B) B=Ø. 
15. Provar a lei de De Morgan (A B)c=Ac Bc. 
Deve-se mostrar que: (a) (A B)c Ac Bc e (b) Ac Bc (A B)c. 
Dem de a: Se x€(A B)c então x (A B). Assim, x A e x B, isto é, 
x€Ac e x€Bc. Disto segue que x€Ac Bc. Logo (A B)c Ac Bc. 
Dem de b: Se y€Ac Bc então y€Ac e y€Bc. Assim, y A e y B. Disto 
segue que y (A B), ou seja, y€(A B)c. Logo Ac Bc (A B)c 
Conclui-se que (A B)c=Ac Bc. 
16. Provar a lei de De Morgan (A B)c=Ac Bc. 
Deve-se mostrar que (a) (A B)c Ac Bc e (b) Ac Bc (A B)c. 
Dem de a: Se x€(A B)c então x (A B). Logo, x A ou x B, isto é, 
x€Ac ou x€Bc. Disto segue que x€Ac Bc. Assim, (A B)c Ac Bc. 
Dem de b: Se y€Ac Bc então y€Ac ou y€Bc. Assim, y A ou y B. 
Segue que y (A B), ou seja, y€(A B)c. Logo Ac Bc (A B)c. 
Conclui-se então que (A B)c=Ac Bc. 
17. Provar a proposição de De Morgan (A B C)c=Ac Bc Cc. 
Deve-se mostrar que: (a) (A B C)c Ac Bc Cc e (b) Ac Bc Cc
(A B C)c. 
Dem de a: Se x€(A B C)c, então x (A B C). Desse modo, x A 
ou x B ou x C, isto é, x€Ac ou x€Bc ou x€Cc. Assim x€Ac Bc Cc. 
Logo (A B C)c Ac Bc Cc. 
Dem de b: Se y€Ac Bc Cc, então y€Ac ou y€Bc ou y€Cc. Assim, y
A ou y B ou y C. Segue que y (A B C), ou seja, y€(A B C)c. 
Logo Ac Bc Cc (A B C)c. 
Conclui-se então que (A B C)c=Ac Bc Cc. 
Dem. alternativa: Como (A B)c Ac Bc, então tomando X=A B, 
segue que 
(A B C)c=(X C)c=Xc Cc=(A B)c Cc=(Ac Bc) Cc=Ac Bc Cc 
18. Provar a proposição de De Morgan (A B C)c=Ac Bc Cc. 
Deve-se mostrar que: (a) (A B C)c Ac Bc Cc e (b) Ac Bc Cc
(A B C)c. 
Dem de a: Se x€(A B C)c, então x (A B C). Desse modo, x A 
e x B e x C, isto é, x€Ac e x€Bc e x€Cc. Segue que x€Ac Bc Cc. 
Logo (A B C)c Ac Bc Cc. 
Dem de b: Se y€Ac Bc Cc, então y€Ac e y€Bc e y€Cc, isto é, y A e 
y B e y C. Assim y (A B C), ou seja, y€(A B C)c. Logo Ac Bc
Cc (A B C)c. 
Conclui-se que (A B C)c=Ac Bc Cc. 
Dem. alternativa: Como Ac Bc (A B)c, tomando Y=A B, segue 
que 
(A B C)c=(Y C)c=Yc Cc=(A B)c Cc=(Ac Bc) Cc=Ac Bc Cc 
19. Provar que A (B C)=(A B) C (Associatividade). 
Dem: Se x€A (B C), então x€A ou x€(B C). Desse modo, x€A ou 
(x€B ou x€C). 
Pela equivalência lógica pν(qνr) (pνq)νr segue que (x€A ou x€B) 
ou x€C. Logo, x€(A B) ou x€C, isto é, x€(A B) C. 
Conclui-se que A (B C)=(A B) C. 
20. Provar que A (B C)=(A B) C (Associatividade). 
Dem: Se x€A (B C), então x€A e x€(B C). Desse modo, x€A e 
(x€B e x€C). 
Pela equivalência lógica pΛ(qΛr) (pΛq)Λr segue que (x€A e x€B) e 
x€C. Logo, x€(A B) e x€C, isto é, x€(A B) C. 
Conclui-se então que A (B C)=(A B) C. 
21. Provar que A (A B)=A (Lei de Absorção). 
Deve-se mostrar que: (a) A (A B) A e (b) A A (A B). 
Dem de a: Se x€A (A B), então x€A ou x€A B. Mas A B A, 
assim se x€A B então x€A. Desse modo, x€A ou x€A. Logo, x€A. 
Portanto, A (A B) A . 
Dem de b: Esta demonstração segue direto de A (A B) com B=(A
B). 
Conclui-se então que A (A B)=A. 
22. Provar que A (A B)=A. 
Deve-se mostrar que: (a) A (A B) A e (b) A A (A B). 
Dem de a: A demonstração segue direto de (A B) A, tomando 
B=(A B). 
Dem de b: Seja x€A. Como A A B, segue que x€A B. Assim x€A 
e x€A B. Logo, x€A (A B). Portanto, A A (A B). 
Conclui-se então que A (A B)=A. 
23. Provar que A (B C)=(A B) (A C) (Distributividade). 
Dem: Se x€A (B C), então x€A ou x€(B C). Desse modo, x€A ou 
(x€B e x€C). 
Pela equivalência lógica pν(qΛr) (pνq)Λ(pνr) segue que (x€A 
ou x€B) e (x€A ou x€C). Logo, x€(A B) e x€(A C), isto é, x€(A B)
(A C). 
Conclui-se então que A (B C)=(A B) (A C). 
24. Provar que A (B C)=(A B) (A C) (Distributividade). 
Dem: Se x€A (B C), segue que x€A e x€(B C). Desse modo, x€A 
e (x€B ou x€C). 
Pela equivalência lógica pΛ(qνr) (pΛq)ν(pΛr) segue que (x€A e 
x€B) ou (x€A e x€C). Logo, x€(A B) ou x€(A C), isto é, x€(A B)
(A C). 
Conclui-se então que A (B C)=(A B) (A C). 
25. Provar que (A–B) (B–A)=Ø. 
Deve-se mostrar que: (a) (A–B) (B–A) Ø e (b) Ø (A–B) (B–A). 
Demde a: Se x€(A–B) (B–A), então x€(A–B) e x€(B–A), ou seja, 
x€A e x B e x€B e x A. Assim, x€A e x A e x€B e x B. Não existe 
qualquer elemento que satisfaça x€A e x A. Também não existe 
qualquer elemento que satisfaça x€B e x B ao mesmo tempo, logo, 
(A–B) (B–A) Ø. 
Dem de b: Ø (A–B) (B–A) é uma propriedade trivial, pois o 
conjunto vazio é um subconjunto de todo conjunto. 
Logo conclui-se que (A–B) (B–A)=Ø. 
26. Demonstrar que se S U, então U–S=U Sc. 
Mostraremos que: (a) U–S U Sc e (b) U Sc U–S. 
Dem de a: Se x€U–S, então x€U e x S. Como S U, por definição, 
x€Sc. Mas Sc=Sc U e disto segue que x€Sc U. De fato, Sc U=U
Sc, assim x€U Sc. Portanto, U–S U Sc. 
Dem de b: Se x€U Sc, então x€U e x€Sc. Como S U, segue que 
x€U e x S. Desse modo, por definição, x€U–S. Logo, U Sc U–S. 
Conclui-se então que U–S=U Sc. 
27. Se A e B são conjuntos tal que A B, então A=(A–B) (B A). 
Dem: Se A B então A–B=A Bc. Além disso, B A=A B. Logo 
A=(A–B) (B A), pois 
(A–B) (B A)=(A Bc) (A B)=A (Bc B)=A U=A 
28. Sejam A e B conjuntos. Demonstrar que são equivalentes as 
seguintes afirmações: 
(a) A B, (b) A=A B, (c) B=A B. 
Dem que (a) implica (b), isto é, se A B então A=A B. 
Para mostrar que A=A B, devemos mostrar que A A B e que A
B A. 
Se x€A, por hipótese, A B e disto segue que x€B. Então x€A e x€B, 
então x€A B e concluímos que a inclusão A B implica que A A
B. 
Como (A B) A, segue que A B A. Assim, como A A B e A B
A, segue que A=A B, logo A B implica que A=A B. 
Dem que (b) implica (c), segue que A=A B implica que B=A B. 
Vamos assumir a hipótese: A=A B. 
Para mostrar que B=A B, devemos mostrar que B A B e A B
B. 
Como mostrado entes, temos que B A B. 
Se x€A B, então, x€A ou x€B. Por hipótese, A=A B. Disto segue 
que x€A B ou x€B. Logo, x€B. Portanto, A B B. Assim, como B
A B e A B B, segue que B=A B. 
Portanto, A=A B implica que B=A B. 
Dem (c) implica (a), segue que B=A B implica que A B. 
Se x€A, então x€A ou x€B, isto é, x€A B. 
Como por hipótese A B=B, então x€B, logo B=A B implica que A
B. 
Como A B implica que A=A B, A=A B implica que B=A B e B=A
B implica que A B, concluímos que as três afirmações são 
equivalentes. 
 
 
 
 
Introdução 
 
 
Georg Cantor. 
A teoria ingênua dos conjuntos foi criada no final do século XIX por Georg Cantor para permitir que 
matemáticos trabalhassem de forma consistente com conjuntos infinitos. 
Como se verificou, a suposição de que se poderiam realizar operações quaisquer sobre conjuntos 
levou a paradoxos tais como o paradoxo de Russell. Em resposta, a teoria axiomática dos conjuntos 
foi desenvolvida para determinar precisamente quais operações seriam permitidas e em quais. Hoje, 
quando os matemáticos falam sobre "teoria dos conjuntos" como uma área, geralmente querem dizer 
teoria axiomática dos conjuntos. As aplicações informais da teoria do conjunto em outras áreas são 
referidas algumas vezes como aplicações da "teoria ingênua dos conjuntos", mas são geralmente 
entendidas como justificáveis em termo de um sistema axiomático (normalmente a teoria de 
conjuntos de Zermelo-Fraenkel). 
É importante observar que alguns acreditam que a teoria dos conjuntos de Georg Cantor não esteve 
realmente implicada nos paradoxos (este é um assunto que continuará em discussão). Cantor estava 
ciente de alguns paradoxos e não parecia acreditar que eles tirariam o crédito de sua 
teoria. Frege axiomatizou explicitamente uma teoria na qual a versão formalizada da teoria ingênua 
dos conjuntos pode ser interpretada, e é sobre uma teoria formal que Bertrand Russell se dirigiu 
realmente quando apresentou o paradoxo de Russell. 
É útil estudar conjuntos de forma ingênua de modo a desenvolver a facilidade para trabalhar com 
eles. Além disso, uma compreensão clara dos conceitos de teoria dos conjuntos do ponto de vista 
ingênuo é importante como um primeiro estágio de entendimento para os axiomas formais da teoria 
dos conjuntos. 
Este artigo trata da teoria ingênua. Os conjuntos são definidos informalmente e algumas de suas 
propriedades são investigadas. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XIX
http://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_infinito
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_de_Russell
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel
http://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel
http://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Frege
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_de_Russell
http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Matematiker_georg_cantor.jpg
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Matematiker_georg_cantor.jpg
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Matematiker_georg_cantor.jpg
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Matematiker_georg_cantor.jpg
O termo "teoria ingênua dos conjuntos" nem sempre se refere à teoria inconsistente de Frege. Pode 
se referir à teoria usual dos conjuntos apresentada informalmente, como no caso do conhecido livro 
de Halmos Teoria Ingênua dos Conjuntos, o qual consiste realmente numa apresentação informal da 
teoria axiomática dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel. 
[editar]Conjuntos, pertinência e igualdade 
Na teoria ingênua dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção bem definida de 
objetos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Objetos podem ser 
qualquer coisa: números, povos, outros conjuntos, etc. Por exemplo, 4 é um membro do conjunto de 
todos os inteiros pares. Claramente, o conjunto de números pares é infinitamente grande; não há 
exigência qualquer exigência de que um conjunto seja finito. 
Se x é um membro de A, então se diz também que x pertence a A, ou que x está em A. Em tal caso, 
escrevemos x A. (O símbolo " " é uma derivação do épsilon do alfabeto grego, "ε", introduzido 
por Peano em 1888). O símbolo é usado para escrever x A, para dizer que "x não está emA" ou 
que "x não pertence a A". 
Dois conjuntos A e B são definidos como iguais quando eles têm exatamente os mesmos elementos, 
isto é, se cada elemento de A for um elemento de B e cada elemento de B for um elemento de A. 
(Ver axioma da extensionalidade). Desta forma, um conjunto é completamente determinado por seus 
elementos; sua descrição não é importante. Por exemplo, o conjunto com elementos 2, 3 e 5 é igual 
ao conjunto de todos os números primos menores do que 6. Se os conjuntos A e B são iguais, este 
fato é denotado simbolicamente como A = B (como de costume). 
Há também um conjunto vazio, geralmente denotado por e às vezes por {}: um conjunto sem 
quaisquer membros. Uma vez que um conjunto é determinado completamente por seus elementos, 
só haver um conjunto vazio. (Ver axioma do conjunto vazio.) 
[editar]Especificando conjuntos 
A maneira mais simples de descrever um conjunto é listando seus elementos entre chaves 
(Conhecidas como definindo um conjunto extensionalmente). Dessa maneira, {1,2} denota um 
conjunto cujos únicos elementos são 1 e 2. (Ver axioma dos pares). Anotar os seguintes pontos: 
 A ordem dos elementos não importa; por exemplo, {1,2} = {2,1}. 
 A repetição (multiplicidade) dos elementos é irrelevante; por exemplo, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2} 
(Estas são conseqüências da definição de igualdade na seção anterior.) 
Pode-se abusar informalmente desta notação ao se escrever algo como {cães} para indicar o 
conjunto de todos os cães, mas este exemplo seria usado normalmente lido por matemáticos como 
"o conjunto que contém o único elemento". 
Um exemplo extremo (mas correto) desta notação é {}, o qual denota o conjunto vazio. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Halmos
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=2http://pt.wikipedia.org/wiki/Inteiros
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%89psilon
http://pt.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_grego
http://pt.wikipedia.org/wiki/Peano
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Axioma_da_extensionalidade&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vazio
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Axioma_do_conjunto_vazio&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=3
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Axioma_dos_pares&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Multiplicidade
Podemos ainda usar a notação { x : P(x)}, ou { x | P(x)} ou, ainda, { x / P(x)} (diz-se, nos três casos, 
"x tal que P(x)" ), para denotar o conjunto contendo todos os objetos para os quais vale a 
condição P (conhecido como definindo um conjunto intencionalmente). Por exemplo, {x : x é um 
número real} denota o conjunto dos números reais, {x : x tem cabelo loiro} denota o conjunto de 
todas as coisas com cabelos loiros, e {x : x é um cão} denota o conjunto de todos os cães. 
Esta notação é chamada notação de construção de conjuntos por compreensão. Algumas variantes 
da compreensão são: 
 {x A : P(x)} denota o conjunto de todo x que já são membros de A tais que a condição P vale 
para x. por exemplo, se for o conjunto dos inteiros, então {x : x é par} é o conjunto de 
todos os inteiros pares (Ver axioma da especificação). 
 {F(x): x A} denota o conjunto de todos os objetos obtidos ao se colocar membros do 
conjunto A na fórmula F. Por exemplo, {2x : x } é novamente o conjunto de todos os inteiros 
pares. (Ver axioma da substitutividade). 
 {F(x) : P(x)} é a forma mais comum da notação por compreensão. Por exemplo, {o dono de x : x é 
um cão} é o conjunto de todos os donos de cães. 
[editar]Subconjuntos 
Dado dois conjuntos A e B nós dizemos que A é um subconjunto de B se todo elemento de A é 
também um elemento de B. Percebe-se que, em particular, B é um subconjunto de si próprio; um 
subconjunto de B que não é igual a B é chamado subconjunto próprio. 
Se A é um subconjunto de B, então pode-se dizer também que B é um superconjunto de A, 
que A está contido em B, ou que B contém A. Em símbolos, A B significa que A é um 
subconjunto de B, e B A significa que B é um superconjunto de A. Alguns autores utilizam e 
 para subconjuntos, e outros usam estes símbolos somente para subconjuntos próprios. Para uma 
maior clareza, pode-se explicitamente usar os símbolos e para indicar não igualdade. Nesta 
enciclopédia, e são usados para subconjuntos enquanto e são reservados para 
subconjuntos próprios. 
Como uma ilustração, seja o conjunto dos números reais, o conjunto dos inteiros, I o conjunto 
dos inteiros ímpares, e seja P o conjunto de atuais ou antigos presidentes dos Brasil. Então I é um 
subconjunto de , é um subconjunto de e (por conseguinte) I é um subconjunto de onde, 
em todos os casos, subconjunto pode ser lido como subconjunto próprio. Note que nem todos os 
conjuntos são comparáveis desta maneira. Por exemplo, não é o caso nem que seja subconjunto 
de P, nem que P seja um subconjunto de . 
Segue imediatamente da definição acima de igualdade de conjuntos, que dados dois 
conjuntos A e B, A = B se e somente se A B e B A. De fato, isto é frequentemente dado como 
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Constru%C3%A7%C3%A3o_de_conjuntos&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Inteiros
http://pt.wikipedia.org/wiki/Inteiros
http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma_da_especifica%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Axioma_da_substitutividade&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=4
http://pt.wikipedia.org/wiki/Subconjunto
http://pt.wikipedia.org/wiki/Presidente_do_Brasil
http://pt.wikipedia.org/wiki/Se_e_somente_se
a própria definição de igualdade. Geralmente, ao se tentar demonstrar que dois conjuntos são iguais, 
objetiva-se mostrar estas duas inclusões. 
O conjunto de todos subconjuntos de um dado conjunto A é chamado de conjunto das 
partes de A e é denotado por 2
A
 ou Partes(A). Se o conjunto A tem n elementos, 
então Partes(A) terá 2
n
 elementos. Observe que o conjunto vazio é um subconjunto de todo 
conjunto (a afirmação de que todos os elementos do conjunto vazio são também membros de algum 
conjunto A é vacuamente verdadeiro, pois não há elementos no conjunto vazio). 
[editar]Conjuntos universais e complementos absolutos 
Em certos contextos podemos considerar todos os conjuntos como sendo subconjuntos de 
algum conjunto universal dado. Por exemplo, se estivéssemos investigando propriedades 
dos números reais (e de subconjuntos de ), poderíamos então tomar como nosso conjunto 
universal. É importante compreender que um conjunto universal está somente definido 
temporariamente pelo contexto; não há nenhum objeto como um conjunto "universal", isto é, um 
"conjunto de todas as coisas" (ver Paradoxos abaixo). 
Dado um conjunto universal e um subconjunto A de podemos definir 
o complemento de A (em ) como: 
A
C
 = { x : x A}. 
Em outras palavras A
C
 ("complemento de A"; algumas vezes denotado por A', "A-linha") é o conjunto 
de todos os membros de que não são membros de A. Assim dados , e I definido como na 
seção sobre subconjuntos, se for o conjunto universal, então I 
C
 é o conjunto de inteiros pares, 
mas se for o conjunto universal, então I 
C
 é o conjunto de todos os números reais que são inteiros 
e pares ou simplesmente não inteiros. 
[editar]União, interseção e complementos relativos 
Dado dois conjuntos A e B, podemos construir sua união. Este é o conjunto que consiste em todos 
os objetos que são elementos de A ou de B ou de ambos (ver axioma da união). É denotado por A 
 B. 
A interseção de A e B é o conjunto de todos os objetos que estão tanto em A quanto em B. É 
denotado por A B. 
Finalmente, o complemento relativo de B com rtelação a A, também conhecido como a diferença 
entre os conjuntos A e B, é o conjunto de todos objetos que pertencem a A mas não a B. É denotado 
por A \ B ou A - B. Simbolicamente, estes conjuntos são respectivamente 
A B = { x : (x A) (x B) }; 
A B = { x : (x A) (x B) } = { x A : x B } = { x B : x A }; 
A \ B = { x : (x A (x B) } = {x A : (x B) }. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_partes
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_partes
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vazio
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=5
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universal
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Complementar
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=6
http://pt.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma_da_uni%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Interse%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Complementar
Note que A não tem que ser um subconjunto de B para B \ A fazer sentido; esta é a 
diferença entre o complemento relativo e complemento absoluto definido na seção 
anterior. 
Para ilustrar estas idéias, seja A é o conjunto das pessoas canhotas; e B é o 
conjunto de pessoas com cabelos loiros. Então A B é o conjunto de todas as 
pessoas canhotas e loiras, enquanto A B é o conjunto de todas as pessoas 
canhotas ou loiras ou ambas. A \ B, por outro lado, é o conjunto de todas as pessoas 
que são canhotas, mas não são loiras, enquanto, B \ A é o conjunto de pessoas com 
cabelos loiros mas que não são canhotas. 
Considere agora E como o conjunto de todos os seres humanos, e F como o 
conjunto de todas as coisas vivas com mais de 1000anos de idade. O que é E 
 F neste caso? Nenhum ser humano está acima de 1000 anos de idade, então, E 
 F deve ser o conjunto vazio { }. 
Para qualquer conjunto A, o conjunto das partes Partes(A) é uma álgebra 
booleana sob as operações de união e interseção. 
[editar]Pares ordenados e produtos cartesianos 
Intuitivamente, um par ordenado é simplesmente uma coleção de dois objetos tais 
que um deles possa ser distinguido como o primeiro elemento e o outro como 
o segundo elemento, e tendo a propriedade fundamental de que dois pares 
ordenados são iguais se e somente se os primeiros elementos deles forem iguais e 
os segundos elementos deles forem iguais. 
Formalmente um par ordenado com primeira coordenada a e segunda 
coordenada b, geralmente denotado por (a,b) ou por <a,b>, é definido como o 
conjunto {{a}, {a,b}}. 
Segue que, dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se e somente 
se a = c e b = d. 
Alternativamente, um par ordenado pode ser pensado formalmente como um 
conjunto {a,b} com uma relação de ordem total. 
(A notação (a,b) é usada também para denotar um intervalo aberto na reta 
dos números reais, mas o contexto deve deixar claro qual significado é pretendido. 
De outra maneira, a notação ]a,b[ pode ser usada para denotar o intervalo aberto 
enquanto que (a,b) é usado para o par ordenado). Se Ae B são conjuntos, então 
o produto cartesiano (ou simplesmente produto) é definido como: 
A × B = {(a,b) : a está em A e b está em B}. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vazio
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booleana
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_booleana
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=7
http://pt.wikipedia.org/wiki/Par_ordenado
http://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_ordem
http://pt.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_cartesiano
Isto é, A × B é o conjunto de todos os pares ordenados cuja primeira 
coordenada é um elemento de A e cuja segunda coordenada é um elemento 
de B. 
Podemos estender essa definição para um conjunto A × B × C de trios 
ordenados e de modo mais geral para n-uplas ordenadas para algum inteiro 
positivo n. É possível até mesmo definir produtos cartesianos infinitos, mas 
para fazer isto nós precisamos de uma definição mais elaborada do produto. 
Produtos cartesianos foram desenvolvidos primeiramente por René 
Descartes no contexto da geometria analítica. Se denota o conjunto de 
todos os números reais, então 
2
 = x representa o plano Euclidiano 
e 
3
 = x x representa o espaço tridimensional euclidiano. 
[editar]Alguns conjuntos importantes 
Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais e r e s são números reais 
1. Os números naturais são usados para contagem. Os símbolos N ou 
 são freqüentemente usados para representar este conjunto. 
2. Os números inteiros aparecem como soluções para x em equações 
como x + a = b. Os símbolos Z ou são freqüentemente usados para 
representar este conjunto (derivados do alemão Zahlen, que 
significa números). 
3. Os números racionais aparecem como soluções para equações 
como a + bx = c. Os símbolos Q ou são freqüentemente usados 
para representar este conjunto (da palavra quociente, já que R é usado 
para o conjunto de números reais). 
4. Os números algébricos aparecem como soluções para 
equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e podem 
envolver radicais e alguns outros números irracionais. Os 
símbolos A ou ou um Q com uma linha em cima ( ) são 
freqüentemente usados para representar este conjunto. 
5. Os números reais incluem os números algébricos e também 
os números transcendentes, que não podem aparecer como soluções 
para equações polinomiais com coeficientes racionais. Os 
símbolos R ou são freqüentemente usados para representar este 
conjunto. 
6. Os números complexos são somas de um real e um número 
imaginário: r + si. Aqui ambos r e s podem ser iguais a zero; assim, o 
conjunto dos números reais e o conjunto dos números imaginários são 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_cartesiano
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=8
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_inteiros
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Quociente
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_alg%C3%A9brico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Polin%C3%B3mio
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_transcendente
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complexos
subconjuntos do conjunto dos números complexos, o qual forma 
um fecho algébricopara o conjunto de números reais significando que 
todo polinômio com coeficientes em tem pelo menos uma raiz neste 
conjunto. Os simbolos C ou são freqüentemente usados para 
representar este conjunto. Note que como um número r+si pode ser 
identificado como um ponto (r,s) neste plano, C é basicamente "o 
mesmo" que o produto cartesiano R×R ("o mesmo" significando que 
um ponto qualquer de um deles determina um ponto único no outro e 
para o resultado dos cálculos não importa qual deles é usado). 
[editar]Paradoxos 
Nós referimos anteriormente à necessidade de uma aproximação axiomática 
formal. Quais problemas surgem no tratamento que apresentamos? Os 
problemas dos conjuntos poderíamos pensar intuitivamente em uma primeira 
aproximação, que podemos construir quaisquer conjuntos que nós quisermos, 
mas esta visão conduz a inconsistências. Para qualquer conjunto x nós 
podemos perguntar se x é um membro dele mesmo. Defina 
Z = {x : x não é membro de x}. 
Agora para o problema: Z é um membro de Z? Se sim, então pela 
propriedade que define Z, Z não é um membro de si próprio, isto é, Z não 
é um membro de Z. Isto nos força a declarar que Z não é um membro 
de Z. Então Z não é um membro de si próprio e deste modo, novamente 
pela definição de Z, Z é um membro de Z. Assim, ambas as opções nos 
levam a uma contradição e nós temos uma teoria inconsistente. 
Desenvolvimentos axiomáticos restringem os tipos de conjuntos que 
podemos construir e previnir assim a geração de problemas como o nosso 
conjunto Z. Este paradoxo particular é conhecido como Paradoxo de 
Russell. 
A lição é que, como em qualquer argumento matemático rigoroso, deve-se 
cuidar bem das noções que são propostas. Em particular, é problemático 
falar de um conjunto de todas as coisas, ou para ser (possivelmente) um 
pouco menos ambiciosos, até mesmo de um conjunto de todos os 
conjuntos. Com efeito na axiomatização ususal da teoria dos conjuntos, 
não há um conjunto de todos os conjuntos. Nas áreas da matemática que 
parecem requerer um conjunto de todos os conjuntos (tais como teoria 
das categorias), pode-se resolver o problema tomando um conjunto 
universal tão grande que toda a matemática usual pode ser feita dentro 
dele (Ver universo). Alternativamente, pode-se fazer uso de classes 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fecho_alg%C3%A9brico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=9
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_de_Russell
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_de_Russell
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_categorias
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_categoriashttp://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universo
próprias. Ou ainda pode-se usar uma axiomatização diferente da teoria 
dos conjuntos tais como os Novos Fundamentos de W.V. Quine, que 
permite a existência de um conjunto de todos os conjuntos e evita o 
paradoxo de Russell. De outra forma a solução exata empregada para 
evitar os paradoxos raramente faz uma grande diferença. 
[editar]Ver também 
 Álgebra dos conjuntos 
 Teoria axiomática dos conjuntos 
 Teoria interna dos conjuntos 
 Conjunto 
 Teoria dos conjuntos 
[editar]Referências 
 
 
Paul Halmos 
 Halmos, Paul Richard, 1914 Teoria Ingênua dos Conjuntos; tradução 
de Irineu Bicudo. S. Paulo, Editora da Univ. S. Paulo e Editora 
Polígono 1970. 
 Jaime C. Ferreira. Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos 
Conjuntos. IST, 2001. 
 Seymour Lipschutz. Teoria dos Conjuntos. McGraw-Hill, 1972. 
[editar]Notas 
A respeito da origem do termo Teoria Ingênua dos Conjuntos, Jeff Miller 
diz o seguinte: "A Teoria Ingênua dos Conjuntos (em oposição à Teoria 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Willard_Van_Orman_Quine
http://pt.wikipedia.org/wiki/Russell
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=10
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_dos_conjuntos&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_axiom%C3%A1tica_dos_conjuntos&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_interna_dos_conjuntos&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntos
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=11
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paul_Richard_Halmos
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Jaime_C._Ferreira&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Seymour_Lipschutz&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos&action=edit&section=12
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Paul_Halmos.jpeg
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Paul_Halmos.jpeg
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Paul_Halmos.jpeg
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Paul_Halmos.jpeg
Axiomática dos Conjuntos) foi usada ocasionalmente na década de 40 e 
tornou-se um termo estabelecido na década de 50. Ele parece na 
rescensão de Hermann Weyl de P. A. Schlipp (ed). The Philosophy of 
Bertrand Russell in American Mathematical Monthly, 53, nº 4 (1946) p.210 
e revisão de Laszlo Kalmar do The Paradox of Kleene and Rosser in 
Journal of Symbolic Logic, 11, n} 4 (1916). P. 136. (JSTOR)". O termo foi 
popularizado mais tarde pelo livro de Paul Halmos, Teoria Ingênua dos 
Conjuntos (1960). 
Categoria: Teoria dos conjuntos 
 
 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paul_Halmos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Categorias
http://pt.wikipedia.org/wiki/Categoria:Teoria_dos_conjuntos