Aula 1 - Capitulo 2

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MECÂNICA VETORIAL PARA 
ENGENHEIROS: ESTÁTICA
Nona Edição
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Notas de Aula:
J. Walt Oler
Texas Tech University
CAPÍTULO
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2 Estática das Partículas
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 Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
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Conteúdo
2 - 2
Introdução
Resultante de Duas Forças
Vetores
Adição de Vetores
Resultante de Várias Forças 
Concorrentes
Problema Resolvido 2.1
Problema Resolvido 2.2
Componentes Retangulares de 
uma Força: Vetores Unitários
Adição de Forças pela Soma 
dos Componentes 
Problema Resolvido 2.3
Equilíbrio de uma Partícula
Diagramas de Corpo Livre
Problema Resolvido 2.4
Problema Resolvido 2.6
Componentes Retangulares no Espaço
Problema Resolvido 2.7
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Introdução
2 - 3
• O objetivo deste capítulo é investigar o efeito de forças que atuam sobre 
partículas:
- substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por uma 
única força equivalente ou resultante,
- analisar as relações entre forças que atuam em uma partícula 
que está em estado de equilíbrio.
• O foco em partículas não implica uma restrição a pequenos corpos. 
Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o 
formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos 
problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado 
corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de 
aplicação.
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Resultante de Duas Forças
2 - 4
• Força: ação de um corpo sobre outro; 
caracterizada por seu ponto de aplicação, 
sua intensidade, sua direção, e seu sentido.
• Evidências experimentais mostram que o 
efeito conjunto de duas forças pode ser 
representado por uma única força resultante.
• A resultante de duas forças é equivalente à 
diagonal de um paralelogramo que contém as 
forças em lados adjacentes.
• Força é uma grandeza vetorial.
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Vetores
2 - 5
• Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção 
e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. 
Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações.
• Classificações de vetores:
- Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos e 
não podem ser deslocados sem que se alterem as 
condições do Problema.
- Vetores livres podem se mover livremente no espaço 
sem que se alterem as condições do Problema.
- Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de 
suas linhas de ação sem que se alterem as condições do 
Problema.
• Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido.
• O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua 
mesma intensidade e sentido oposto.
• Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não 
têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura.
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Adição de Vetores
2 - 6
• Regra do trapézio para soma de vetores
• Regra do triângulo para soma de vetores
B
B
C
C
• Lei dos cossenos,
• Lei dos senos,
• A adição de vetores é comutativa,
• Subtração de vetores
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Adição de Vetores
2 - 7
• Soma de três ou mais vetores por meio da 
aplicação sucessiva da regra do triângulo.
• Regra do polígono para a soma de três ou mais 
vetores.
• A adição de vetores é associativa,
• Multiplicação de um vetor por um escalar.
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Resultante de Várias Forças Concorrentes
2 - 8
• Forças concorrentes: conjunto de forças que 
passam por um mesmo ponto. 
Um conjunto de forças concorrentes 
aplicadas em uma partícula pode ser 
substituído por uma única força resultante 
que é o vetor equivalente à soma das forças 
aplicadas.
• Componentes do vetor força: dois ou mais 
vetores que, juntos, têm o mesmo efeito que 
um único vetor.
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Problema Resolvido 2.1
2 - 9
As duas forças atuam sobre um 
parafuso A. Determine sua 
resultante.
SOLUÇÃO:
• Solução gráfica - construímos um 
paralelogramo com lados nas mesmas 
direções de P e Q desenhados em escala. 
Avaliamos graficamente a resultante que 
é equivalente à diagonal em direção e 
proporcional em módulo.
• Solução trigonométrica – usamos a regra 
do triângulo para soma de vetores em 
conjunto com a lei dos cossenos ou a lei 
dos senos para encontrar a resultante de P 
e Q. 
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Problema Resolvido 2.1
2 - 10
• Solução gráfica - Um paralelogramo com lados 
iguais a P e Q é desenhado em escala. A 
intensidade e o ângulo que define a direção da 
resultante (diagonal do paralelogramo) são 
medidos,
• Solução gráfica – Um triângulo é desenhado 
com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em 
escala. A intensidade e o ângulo que define a 
direção da resultante (terceiro lado do triângulo) 
são medidos,
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Problema Resolvido 2.1
2 - 11
• Solução trigonométrica – Aplicamos a regra do 
triângulo. Pela lei dos cossenos,
Pela lei dos senos,
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Problema Resolvido 2.2
2 - 12
a) A força de tração em cada um 
dos cabos para α = 45o, 
b) O valor de α para o qual a tração 
no cabo 2 é mínima.
Uma barcaça é puxada por dois 
rebocadores. Se a resultante das 
forças exercidas pelos rebocadores 
é 22.250 N dirigida ao longo do 
eixo da barcaça, determine:
SOLUÇÃO:
• Obtemos uma solução gráfica aplicando a 
Regra do Paralelogramo para soma vetorial. 
O paralelogramo tem lados nas direções dos 
dois cabos e diagonal na direção do eixo da 
barcaça com comprimento proporcional a 
22.250 N.
• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é 
determinado aplicando-se a Regra do 
Triân-gulo e observando o efeito de variações 
em α.
• Obtemos uma solução trigonométrica 
aplicando a Regra do Triângulo para soma 
vetorial. Com a intensidade e a direção da 
resultante conhecida e as direções dos 
outros dois lados, paralelas aos cabos 
dados, aplicamos a Lei dos Senos para 
encontrar as trações nos cabos.
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Problema Resolvido 2.2
2 - 13
• Solução gráfica – Aplicamos a regra do 
paralelogramo conhecendo a direção e a 
intensidade da resultante e as direções dos 
lados
• Solução trigonométrica - Regra do 
triângulo e Lei dos Senos
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Problema Resolvido 2.2
2 - 14
• O ângulo para tração mínima no cabo 2 é 
determinado aplicando a regra do triângulo e 
observando o efeito de variações em α.
• A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T1 
e T2 são perpendiculares
 
 
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Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários
2 - 15
• Os componentes de um vetor podem ser expressos 
como produtos dos vetores unitários pelas intensidades 
dos componentes do vetor.
Fx e Fy são chamados de componentes escalares de .
• Pode-se decompor uma força em dois componentes 
perpendiculares de forma que o paralelogramo 
resultante é um retângulo. são chamados de 
componentes retangulares e
• Definimos então os vetores unitários perpendiculares 
que são paralelos aos eixos x e y.
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Adição de Forças pela Soma dos Componentes
2 - 16
• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças 
concorrentes,
• Para isso, decompomos cada força em 
componentes retangulares
• Os componentes escalares da resultante são 
iguais à soma dos componentes escalares 
correspondentes das forças dadas.
• Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,
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Problema Resolvido 2.3
2 - 17
Quatro forças atuam no parafuso A, 
como mostrado na figura. Determine a 
resultante das quatro forças no 
parafuso.
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em 
componentes retangulares.
• Calculamos a intensidade e a direção 
da resultante.
• Determinamos os componentes da 
resultante somando os componentes 
correspondentes de cada uma das 
forças.
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Problema Resolvido 2.3
2 - 18
SOLUÇÃO:
• Decompomos cada força em componentes 
retangulares.
• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.
• Determinamos os componentes da resultante 
somando os componentes correspondentes de 
cada uma das forças.
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Equilíbrio de uma Partícula
2 - 19
• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é 
zero, a partícula está em equilíbrio.
• Para uma partícula em 
equilí-brio sob a ação de duas 
forças, ambas as forças devem 
ter:
- mesma intensidade
- mesma linha de ação
- sentidos opostos
• Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças:
- a solução gráfica gera um polígono fechado
- solução algébrica:
• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a 
partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em 
linha reta.
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Diagramas de Corpo Livre
2 - 20
Diagrama espacial : Um esboço 
mostrando as condições físicas 
do problema.
Diagrama de Corpo Livre: Um esboço 
mostrando apenas as forças que atuam 
sobre a partícula escolhida para análise.
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Problema Resolvido 2.4
2 - 21
Numa operação de descarregamento 
de um navio, um automóvel de 
15.750 N é sustentado por um cabo. 
Uma corda é amarrada ao cabo em A 
e puxada para centrar o automóvel 
para a posição desejada. Qual é a 
tração na corda?
SOLUÇÃO:
• Construimos um diagrama de corpo livre 
para a partícula na junção da corda e do 
cabo.
• Aplicamos as condições de equilíbrio 
criando um polígono fechado a partir das 
forças aplicadas na partícula.
• Aplicamos relações trigonométricas 
para determinar a intensidade das forças 
desconhecidas.
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Problema Resolvido 2.4
2 - 22
SOLUÇÃO:
• Construimos um diagrama de corpo livre 
para a partícula A.
• Aplicamos as condições de equilíbrio.
• Calculamos as intensidades das forças 
desconhecidas.
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Problema Resolvido 2.6
2 - 23
Deseja-se determinar a força de arrasto 
no casco de um novo barco a vela a uma 
dada velocidade. Um modelo é 
colocado em um canal de teste e são 
usados três cabos para alinhar sua proa 
com a linha de centro do canal. A uma 
dada velocidade, a tração é de 180 N no 
cabo AB e de 270 N no cabo AE. 
Determine a força de arrasto exercida 
no casco e a tração no cabo AC.
SOLUÇÃO:
• Escolhendo o casco como um corpo 
livre, desenhamos o diagrama de corpo 
livre. 
• Expressamos as condições de equilíbrio 
para o casco escrevendo que a resultante 
de todas as forças é zero.
• Decompomos a equação vetorial de 
equilíbrio em duas equações para as 
componentes. Resolvemos para as 
trações desconhecidas nos dois cabos.
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Problema Resolvido 2.6
2 - 24
SOLUÇÃO:
• Escolhendo o casco como um corpo livre, 
desenhamos o diagrama de corpo livre. 
• Expressamos as condições de 
equilíbrio para o casco escrevendo que 
a resultante de todas as forças é zero.
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Problema Resolvido 2.6
2 - 25
• Decompomos a equação vetorial de equilíbrio 
em duas equações para as componentes. 
Resolvemos para as trações desconhecidas nos 
dois cabos.
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Problema Resolvido 2.6
2 - 26
Esta equação só é satisfeita se cada componente 
da resultante é igual a zero.
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Componentes Retangulares no Espaço
2 - 27
• O vetor está 
contido no plano 
OBAC.
• Decompomos em 
uma componente 
horizontal e outra 
vertical
• Decompomos em 
componentes retangulares
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Componentes Retangulares no Espaço
2 - 28
• Com os ângulos entre e os eixos x, y e z temos,
• é um vetor unitário ao longo da linha de ação 
de e são os cossenos 
que orientam a linha de ação de . 
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Componentes Retangulares no Espaço
2 - 29
A direção de uma força é definida 
pelas coordenadasde dois pontos,
em sua linha de ação.
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Problema Resolvido 2.7
2 - 30
A tração no cabo de sustentação da torre 
é 2500 N. Determine:
a) os componentes Fx, Fy e Fz da força 
que atua no parafuso em A,
b) os ângulos θx, θy e θz que definem a 
direção da força.
SOLUÇÃO:
• Considerando a posição relativa dos 
pontos A e B, determinamos o vetor 
unitário orientado de A para B.
• Utilizamos o vetor unitário para 
determinar os componentes da força 
atuando em A.
• Observando que os componentes do 
vetor unitário são os cossenos que 
orientam a direção do vetor, calculamos 
os ângulos correspondentes.
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Problema Resolvido 2.7
2 - 31
SOLUÇÃO:
• Determinamos o vetor unitário orientado de A 
para B.
• Determinamos os componentes da força.
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Problema Resolvido 2.7
2 - 32
• Observando que os componentes do vetor 
unitário são os cossenos que orientam a direção 
da força, calculamos os ângulos correspondentes.
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Adição de forças concorrentes no espaço
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Equilíbrio no Espaço
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Problema Resolvido 2.8
2 - 35
Uma seção de um muro de concreto 
pré-moldado é temporariamente 
segurada pelos cabos mostrados na 
figura. Sabendo que a tração é 3780 N 
no cabo AB e 5400 N no cabo AC, 
determine a intensidade e a direção da 
resultante das forças exercidas pelos 
cabos AB e AC na estaca A.
 
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Problema Resolvido 2.8
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Problema Resolvido 2.8
2 - 37
 
 
 
 
 
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Problema Resolvido 2.8
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Problema Resolvido 2.8
2 - 39
 
O módulo e a direção são agora calculados:
 
 
 
 
 
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