escoamento compressível 17 02 2022

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MECÂNICA DOS FLUIDOS II
Engenharia Mecânica
• Escoamento compressível
• Número de Mach
• Escoamento em bocais
Fernando Osório
fernando.osorio@ifsc.edu.br
Escoamento Compressível
• Pré-Requisitos
• Variação de massa específica associada à variação de 
energia cinética
• Termodinâmica de Gases
• Equação de energia
• Entalpia e temperatura de estagnação
• Escoamento subsónico, crítico e supersónico.
Escoamento Compressível
Escoamento quase incompressível determinado
por um pequeno número de Mach
Número de Mach, M
som do velocidade
fluido do velocidade
==
a
V
M
Funções de compressibilidade
• Aumento do número de variáveis (e equações):
Esc. incompressível Esc. compressível
V e p
Equação da continuidade
Equação de Bernoulli
(ou de quantidade de movimento)
V, p,  e T
Equação da continuidade
Equação de Energia
Equação da quantidade de movimento
Equação de estado (G.P.): RTp =
◼ Novos parâmetros: a – Velocidade do som
M – Número de Mach 
(M = V/a)
Número de Mach, M
•
som do velocidade
fluido do velocidade
==
a
V
M
( )
M
p
V
=

=

( )
M
p
V
=

=

◼
( ) 2
22
Lp
LV



=
elálásti forço
inércia de forçoForça de inércia
Força elástica
◼
( ) 3
32
Lp
LV



=
elálásti energia
cinética energiaEnergia cinética
Energia elástica
◼ aRT
p
s
==









para um gás perfeito 
Revisão de Termodinâmica
• Algumas definições:
• Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de 
duas delas (p.ex. pressão e temperatura).
❑ Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o final.
❑ Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem 
interferência do exterior.
❑ Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de 
trocas de calor).
◼ Leis da Termodinâmica:
❑ 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de 
energia.
❑ 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais
1ª Lei da Termodinâmica (para 
sistemas abertos/volumes de 
controle)
• Equação de energia para escoamentos unidimensionais:
QWmgy
V
hmgy
V
hd
V
u
t
veio
ent
k
ksaída
i
iVC
 +=





++−





+++











+


 222
222

◼ Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao 
meio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia potencial 
(gases), por unidade de massa:
q
V
h
V
h =





+−





+
1
2
2
2
22
2ª Lei da Termodinâmica
• Num processo real a entropia s varia de modo a que;
T
dq
ds  ( ) ( )irrevrev dsdsds +=
s e q expressos por unidade de massa
T
dq
◼ Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta,
exceto se o processo for reversível (sem atrito), caso em que
s = cte – processo isentrópico.
Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0
2
2
0
V
hh +=
qhh =−
1020
◼ Entalpia de estagnação adiabática:
◼ Equação de energia: q
V
h
V
h =





+−





+
1
2
2
2
22
◼ Num escoamento adiabático (q = 0): .
2
2
0 cte
V
hh =+=
Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso
numa desaceleração adiabática
Entalpia de estagnação adiabática
◼ Temperatura de estagnação adiabática:
Temperatura de estagnação 
adiabática
pc
V
TT
2
2
0 +=
qhh =−
1020
.
2
2
0 cte
V
hh =+=
◼ Para um gás perfeito: dTcdh p=
◼ Num escoamento adiabático: 
Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado 
ao repouso numa desaceleração adiabática
◼ Equação da energia:
pc
q
TT =−
1020
.
2
2
0 cte
c
V
TT
p
=+=
Gases perfeitos
• Equação de estado: comRTp = MR R=
R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma 
mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1)
𝑘 𝑜𝑢 𝛾 razão de calores específicos do gás (para os gases comuns, k decresce
lentamente com a temperatura e fica entre 1,0 e 1,7. As variações de k tem apenas um
pequeno efeito sobre os cálculos de escoamento compressível e o ar, k < 1,40, é o fluido
dominante de interesse
Gases perfeitos
dTcdh
dTcdu
p
v
=
=
vp
vp
ccR
cc
−=
=
◼ Evoluções isentrópicas:
1
1
2
1
1
2
1
2
−
−






=





=





p
p
T
T
 varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da 
molécula do gás; vapor de água  =1,33.
1−
=

R
cp
• Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia 
cinética:
2
2V
p

−= Equação de Bernoulli:
2V pelevados elevados

 =  (T,p)
significativos Efeitos de 
compressibilidade
Importância do termo
p

2
1
a
= a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos 
fluidos de menor a)
Compressibilidade
Condições críticas (M=1)
• Para M=1
( )





 −
+=
2
1
10

TT
( )





 −
+= 20
2
1
1 MTT

( )
1
0 2
1
−





 +
=

T
T
 =
+
= a
RT
V
1
0


T* é a temperatura crítica
V* é a velocidade crítica:
a* é a velocidade do som crítica
Temperatura de estagnação em 
função do número de Mach - M
• Temperatura de estagnação, T0:
pc
V
TT
2
2
0 +=








+=
Tc
V
TT
p2
1
2
0
( )





 −
+=
RT
V
TT

 2
0
2
1
1
2a
( )





 −
+= 20
2
1
1 MTT

1−
=

R
cp
p0=84 kPa
V
p1=70 kPa
T1=-50 C
Nota: os pontos 1 e 0 estão muito 
próximos e estariam à mesma 
pressão e temperatura se o ponto 0
não fosse de estagnação devido à 
presença do Pitot.
Exemplo
• Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da 
pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura local 
é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V.
pc
q
TT =−
1020
Equação da energia:
.
2
2
0 cte
c
V
TT
p
=+=
1 0
pc
V
TT
2
2
1
10 += ( )11 2 TTcV op −=
Evolução isentrópica:

 1
11
−






=
p
p
T
T oo
K 9,2340 =TK 223502731 =−=T m/s 1541 =VResultados:
0=q
?
Equações úteis em escoamento 
compressível
• Equação da energia:
pc
q
TT =−
1020
◼ Equação da continuidade:
◼ Equação de estado:
◼ Equação do número de Mach:
pc
dq
dT =0
.cteAV = 0=++
V
dV
A
dAd


RTp = 0=−−
T
dTd
p
dp


a
V
M = 0=−+
V
dV
a
da
M
dM
Equações a utilizar em 
escoamento compressível
( )( ) AVdV
d
dxV
fdAAdpppdApA  =−++−+
2
2
◼ Equação da quantidade de movimento:
( )
12 xxx
VVmF −= 
0
2
2
=−+
d
dx
A
M
f
RT
VdV
p
dp

V V+dV
A, p, 
A+dA
p+dp
+d
(escoamento sem mudança de direcção)
RTp
1
=

p
pForça longitudinal exercida pela pressão 
na parede lateral
Escoamento com transferência de 
calor numa conduta de secção 
constante
• Equação da energia:
pc
dq
dT =0
dq
V
p, 
V+dV p+dp
+d
pc
VdV
dTdT +=0
◼ Definição de temperatura 
de estagnação:
T+dT
T0+dT0
M+dM
Escoamento com transferência 
de calor numa conduta de secção 
constante
◼ Equação da continuidade: 0=++
V
dV
A
dAd


◼ Equação de estado: 0=−−
T
dTd
p
dp


◼ Eq. número de Mach: 0=−+
V
dV
a
da
M
dM
0
2
2
=−+
d
dx
A
M
f
RT
VdV
p
dp
◼ Eq. da quant. movimento:
(desprezando o atrito)
Escoamento com transferência 
de calor numa conduta de secção 
constante
◼ 6 incógnitas (dV, dp, dT, d, dM, dT0) e 6 equações
Solução:
( )
pc
dq
M
V
dV
T
dT
=−= 20 1
Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal, 
mantendo escoamento sónico à saída)
ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do 
caudal, mantendo escoamento sónico à saída)
Escoamento com transferência de 
calor numa conduta de secção 
constante
• Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal 
indicado (isto é, para Ms = 1)?
( )
2
22
es
esp
VV
TTcQ
−
+−=
q
M=0,3
T=250 K
saída
121436 −= smkg
A
m
ss RTV = ssV
A
m
=

sss RTp =maxQ 1=sM
Qual a equação 
que falta?𝐴𝑟 𝑘 ; 𝛾 = 1,4;
𝑅 = 287 𝑚2/(𝑠2 ∗ 𝐾)
Escoamento com transferência de 
calor numa conduta de secção 
constante
• Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal 
indicado (isto é, para Ms = 1)?
smRTMV eee 95== 
q
M=0,3
T=250 K
saída
121436 −= smkg
A
m
315 mkg
V
Am
e
e ==

 PaTRp eee 1083628== 
( )eses VV
A
m
pp −−=
 ( )22 eesse VVp  −−=
sRT
( )2eesses VRTpp  −−=
sp
Escoamento com transferência de 
calor numa conduta de secção 
constante
Pa
Vp
p eees 507918
1
2
=
+
+
=


39,2 mkg
RT
p
s
s
s ==
sm
Am
V
s
s 495==


M=0,3
T=250 K
saída
121436 −= smkg
A
m
s
ssss
AV
m
RTRTp

== 

s
s
RT
A
m
p

= KTs 610=
( ) KgKJ
VV
TTcq esesp 4,479
2
22
=
−
+−=
( )sss RTVM == 1
( )2eesses VRTpp  −−=
sp
Velocidade do som
A chamada velocidade do som é a taxa de propagação de um
pulso de pressão de intensidade infinitesimal através de um fluido
em repouso. É uma propriedade termodinâmica do fluido.
A velocidade C da onda desloca-se em relação ao 
fluido com C - ∆𝑉 sem variação de 𝑝, 𝜌 𝑒 𝑇.
Desprezando o atrito interno podemos considerar a quantidade de movimento 
unidirecional e determinar a variação da pressão de onda:
Velocidade do som
Velocidade do som
com
Velocidade do som
com
Velocidade do som
Velocidade do som
Para ondas sonoras de intensidade evanescente, temos então um
processo adiabático infinitesimal ou isentrópico. A expressão
correta para a velocidade do som é:
Evanescente: Que se pode desvanecer (desaparecer); cuja existência é efêmera ou fugaz.
• Bibliografia
• Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta, E.G. 
Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª edição, Prentice Hall, 
1999.
• Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics, 3ª edição, 
McGraw-Hill, 1994.
• WHITE, Frank M. Mecânica dos Fluidos. Grupo A, 2018. 
9788580556070. 
• ANP6 – entrega em 21/02/2022 – via SIGAA