Questão resolvida - Encontre o comprimento do arco da cardioide r=2+2cos(theta) - Coordenadas polares - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre o comprimento do arco da cardioide . r = 2 + 2cos 𝜃( )
 
Resolução:
 
O comprimento de arco de curvas em equações polares é dado por;
L = d𝜃∫
𝛽
𝛼
r + r'( )2 ( )2
Como foi pedido o comprimento de arco da cardioide, o limite de integração deve ir do 
ângulo 0 até o ângulo , ou seja, uma volta completa. Derivando a equação da cardioide, 2𝜋
temos:
r = 2 + 2cos 𝜃 r' = -2sen 𝜃( ) → ( )
 
Substituindo as informações na fórmula do comprimento de arco, fica;
L = d𝜃 L = d𝜃
0
∫
2𝜋
2 + 2cos 𝜃 + -2sen 𝜃( ( ))2 ( ( ))2 →
0
∫
2𝜋
4 + 8cos 𝜃 + 4cos 𝜃 + 4sen 𝜃( ) 2( ) 2( )
 
O comprimento do arco da cardioide pode ser dado por :
 
 
L = d𝜃
0
∫
2𝜋
4 + 8cos 𝜃 + 4 cos 𝜃 + sen 𝜃( ) 2( ) 2( )
 
Pela identidade trigonométrica : cos x + sen x = 1, temos que cos 𝜃 + sen 𝜃 = 12( ) 2( ) → 2( ) 2( )
 
L = d𝜃 = d𝜃 = d𝜃
0
∫
2𝜋
4 + 8cos 𝜃 + 4 1( ) ( )
0
∫
2𝜋
4 + 8cos 𝜃 + 4( )
0
∫
2𝜋
8 + 8cos 𝜃( )
 
L = d𝜃 L = 2 d𝜃
0
∫
2𝜋
8 1 + cos 𝜃( ( )) → 2
0
∫
2𝜋
1 + cos 𝜃( )
 
Devemos fazer uma modificação no limite de integração por um valor equivalente para 
possibilitar a solução da integral definida;
 
L = 2 d𝜃 = 2 ⋅ 2 d𝜃 = 4 d𝜃2
0
∫
2𝜋
1 + cos 𝜃( ) 2
0
∫
𝜋
1 + cos 𝜃( ) 2
0
∫
𝜋
1 + cos 𝜃( )
 
 
 
Pela identidade trigonométrica : cos 2x = ; 2( )
1 + cos x
2
( )
podemos chegar em : cos =2
𝜃
2
1 + cos 𝜃
2
( )
 
1 + cos 𝜃 = 2cos , substituindo na integral;→ ( ) 2
𝜃
2
 
L = 2 d𝜃 L = 2 d𝜃2
0
∫
2𝜋
1 + cos 𝜃( ) → 2
0
∫
2𝜋
2cos2
𝜃
2
 
L = 4 ⋅ d𝜃2
0
∫
2𝜋
2 cos2
𝜃
2
 
L = 2 cos d𝜃 L = 4 ⋅ 2 cos d𝜃 L = 8 cos d𝜃2
2
0
∫
2𝜋 𝜃
2
→
0
∫
𝜋 𝜃
2
→
0
∫
𝜋 𝜃
2
 
Vamos resolver a integral em sua forma indefinida :
 
cos d𝜃 t = dt = 2dt = d𝜃, substituindo e resolvendo;∫ 𝜃
2
→
𝜃
2
→
d𝜃
2
→
 
cos d𝜃 = cos t 2dt = 2 cos t dt = 2sen t = 2sen , voltando para a integral∫ 𝜃
2
∫ ( ) ∫ ( ) ( ) 𝜃
2
definida temos;
 
L = 8 cos d𝜃 = 8 2sen = 16sen = 16sen - 16sen
0
∫
𝜋 𝜃
2
𝜃
2
𝜋
0
𝜃
2
𝜋
0
𝜋
2
0
2
 
L = 16 ⋅ 1 - 16 ⋅ 0 L = 16 u. c.→
 
 
(Resposta )