Circunferências elementos divisões tangentes e retificações

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DESENHO 
GEOMÉTRICO 
Mariana Comerlato
Circunferências: 
elementos, divisões, 
tangentes e retificações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir circunferência.
  Classificar os elementos e as divisões das circunferências.
  Determinar tangentes e retificações de circunferências.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar a circunferência, os seus conceitos funda-
mentais e os principais estudiosos do assunto. Você também vai aprender 
a identificar e classificar seus principais elementos e a desenvolver as 
construções geométricas da circunferência, desde seu traçado básico 
até suas divisões e retificações.
Conceitos fundamentais
A circunferência é um elemento formado por um conjunto de pontos distribu-
ídos no espaço que possuem como característica o fato de todos eles estarem a 
uma mesma distância de um ponto conhecido como centro, conforme mostra 
a Figura 1. Assim como existem infi nitos pontos ao redor do seu perímetro, a 
circunferência também possui infi nitos raios e infi nitos diâmetros que conectam 
esses pontos do perímetro, conforme leciona Januário (2010).
Figura 1. Conceito geométrico da circunferência: um ponto central e infinitos pontos 
equidistantes do centro pela medida conhecida como raio.
A circunferência é considerada uma curva, então não podemos medi-la com 
uma régua. Para isso, estudiosos matemáticos da Antiguidade desenvolveram 
uma forma de calcular o comprimento de uma circunferência, representado 
da seguinte maneira:
C = 2 ∙ π ∙ r
onde:
  π = número que representa a relação métrica constante entre o com-
primento da circunferência e o seu diâmetro — segundo Reis (2014), 
π é um número irracional cujo valor é 3,141592, aproximadamente;
  r = raio da circunferência.
Ao longo deste capítulo, veremos que existe uma maneira precisa de reti-
ficar a circunferência por meio do desenho geométrico. Com a circunferência 
retificada, é possível medir o seu comprimento em linha reta.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações2
Quando falamos em geometria, não podemos deixar de fora Euclides de Alexandria, 
grande matemático da Antiguidade e o primeiro a estudar a geometria. Uma das suas 
obras mais importantes é o tratado intitulado Os elementos, composto por 13 livros 
que serviram de base para diversos outros estudos e para o que ficou conhecido até 
hoje como geometria euclidiana. A publicação de Euclides é baseada em axiomas 
(verdades incontestáveis sobre a ciência) e postulados (verdades incontestáveis sobre 
um determinado assunto), conforme explica Boyer (1991). É nesse tratado que Euclides 
vai definir os elementos principais da geometria, como ponto, reta, arco, superfície, 
ângulo e diâmetro. Euclides também vai afirmar que, com um ponto e uma distância 
quaisquer, é possível construir uma circunferência com centro naquele ponto e raio igual 
àquela distância, conforme leciona Costa (2011). Além de ser uma das publicações mais 
antigas de que se tem registro, Os elementos também é uma das obras mais traduzidas 
da história da humanidade.
Elementos da circunferência
Junto com o centro e o raio, outros elementos são importantes para as demais 
construções geométricas da circunferência, como a sua divisão em partes 
iguais e a sua retifi cação, conforme leciona Carvalho (2008). Vejamos abaixo 
e, também, na Figura 2, a defi nição desses elementos.
  Arco: é uma porção da circunferência, ou seja, do seu perímetro, com-
preendida entre dois pontos. O arco pode apresentar tamanhos diversos. 
  Corda: é o segmento de reta que une as extremidades de um arco.
  Diâmetro: é a única corda que passa pelo centro da circunferência, 
tendo a dimensão equivalente ao dobro do raio. O diâmetro é a maior 
corda da circunferência.
  Flecha: é o trecho do raio que é limitado pela corda e pelo arco e que 
é perpendicular à corda.
3Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Figura 2. Elementos da circunferência: arco, corda, diâmetro e flecha.
Vejamos também outros elementos importantes — as retas e as suas posi-
ções relativas em relação à circunferência — abaixo e na Figura 3.
  Reta secante: reta que corta a circunferência em dois pontos, formando 
o segmento de reta conhecido como corda. Quando a secante corta a 
circunferência pelo seu centro, ela gera o seu diâmetro.
  Reta tangente: reta que toca a circunferência em apenas um ponto e que 
é perpendicular ao raio que passa por esse ponto. O encontro entre a reta 
tangente e a circunferência é chamado de ponto de tangência. Além de 
saber identificar uma tangente, é importante desenhá-la de forma correta. 
Mais adiante veremos como construir uma reta tangente à circunferência.
Figura 3. Elementos da circunferência: retas secante e tangente.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações4
As circunferências também possuem ângulos relevantes, que podem ser 
os seguintes (Figura 4).
  Ângulo central: é o ângulo cujo vértice é o centro (O) da circunferência 
e que gera um arco correspondente (AB).
  Ângulo inscrito: ângulo que possui o vértice (D) na circunferência e 
seus lados são cordas (DE e CD). Ângulo encontrado em situações de 
inscrição de polígono em circunferência.
  Ângulo circunscrito: ângulo formado quando o vértice (G) está fora 
da circunferência e seus lados a tangenciam.
Figura 4. Elementos da circunferência: ângulos.
A geometria é um grande campo de estudo que possui muitos enfoques, como a 
geometria analítica, a descritiva e a espacial. Neste capítulo, estudamos a circunferência 
a partir do tema do desenho geométrico, mas a circunferência também pode ser 
observada e representada a partir de outras abordagens da geometria. A geometria 
analítica, por exemplo, estuda os lugares geométricos (retas, circunferência, parábolas, 
etc.) por meio de representações algébricas relacionadas a produtos cartesianos. Nesse 
caso, pela geometria analítica, a circunferência é caracterizada por uma expressão 
matemática que representa, em um plano cartesiano, as coordenadas x e y de seu 
centro (Xc e Yc), as coordenadas x e y de algum ponto genérico de sua formação, e 
a dimensão de seu raio (r). Portanto, segundo Santos e Ferreira (2009), na geometria 
analítica, a circunferência é dada por:
5Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Construções geométricas e divisões
Pode-se dizer que são dois os elementos mais importantes para a construção 
geométrica da circunferência: o ponto correspondente ao seu centro e o raio, 
que determina a distância do centro à borda composta pelos demais pontos. 
Essa é a lógica inicial para traçar uma circunferência. No desenho geométrico, 
o instrumento utilizado para o traçado de uma circunferência é o compasso, 
cuja ponta seca é posicionada no centro da circunferência, e cuja abertura 
representa o raio. Com o grafi te do compasso, desenha-se a circunferência, 
conforme leciona Giovanni (2016) e demonstra a Figura 5.
Figura 5. Desenho da circunferência por meio do 
instrumento compasso.
Fonte: FERNANDO BLANCO CALZADA/Shutterstock.com.
Além da construção básica da circunferência, é importante para o desenho 
geométrico saber determinar e construir outros elementos. A seguir, veremos 
o passo a passo dessas construções. É importante ressaltar a necessidade de 
instrumentos adequados para as construções, como régua, compasso e dupla 
de esquadros. 
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações6
Identificação do centro de uma circunferência
Para identifi car o centro de uma circunferência dada, é necessário traçar duas 
cordas quaisquer (AB e BC) e as suas mediatrizes. O centro da circunferência 
será o ponto O, localizado no encontro das mediatrizes, conforme leciona 
Carvalho (2008) e demonstra a Figura 6.
Figura 6. Passo a passo para determinar o centro de uma circunferência.
A mediatriz é uma reta que corta outra reta ou segmento de reta em seu ponto médio. 
Veja nolink abaixo um vídeo que mostra como traçar uma mediatriz.
https://goo.gl/U66GJ3
Divisão da circunferência em três partes iguais 
e inscrição de um triângulo
A divisão de uma circunferência em três partes iguais inicia com o traçado 
de um eixo qualquer que passa pelo centro da circunferência (O) e corta o seu 
perímetro (A). Com a ponta seca do compasso em A e a abertura da dimensão 
do raio, desenha-se um arco que cruza a circunferência marcando os pontos B 
e C. Estes já são os dois primeiros pontos da divisão. O terceiro ponto (D) se 
encontra no cruzamento do eixo traçado inicialmente com a outra extremidade 
da circunferência.
7Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
O triângulo inscrito em uma circunferência dividida em partes iguais 
é chamado de triângulo equilátero, pois possui três lados e três ângulos 
internos iguais. Os ângulos internos do triângulo são considerados ângulos 
inscritos da circunferência (Figura 7). Para dividir uma circunferência em seis 
ou 12 partes iguais, basta traçar as mediatrizes dos lados e criar os pontos de 
intersecção das mediatrizes com a circunferência.
Figura 7. Passo a passo para dividir uma circunferência em três partes iguais e inscrever 
um polígono regular.
O lado de um hexágono inscrito em uma circunferência é igual ao raio dessa circun-
ferência. Sendo assim, para dividir uma circunferência em seis partes iguais, basta ter 
um compasso em mãos com sua abertura na mesma medida do raio. Marque seis 
pontos consecutivos na circunferência e a divisão estará completa.
Divisão da circunferência em quatro partes iguais 
e inscrição de um quadrado
Para dividir uma circunferência em quatro partes iguais é necessário traçar 
dois diâmetros perpendiculares entre si (AB e CD). Os pontos dos diâmetros 
na circunferência formam o polígono, conforme mostra a Figura 8. Para 
dividir a circunferência em oito ou 16 partes, basta traçar as mediatrizes dos 
lados do polígono.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações8
Figura 8. Passo a passo para dividir uma circunferência em quatro partes iguais e inscrever 
um polígono regular.
Divisão da circunferência em cinco partes iguais 
e inscrição de um pentágono
Para dividir uma circunferência em cinco partes iguais, inicialmente deve-
-se traçar dois diâmetros perpendiculares entre si (AB e CD) e, em seguida, 
traçar a mediatriz do raio CO, achando o ponto médio (M). Com a ponta seca 
do compasso em M e a abertura do compasso MA, traçar o arco e localizar 
o ponto N no raio OD. A distância AN corresponde a 1/5 da circunferência, 
e essa medida pode ser transferida com o compasso marcando-se os vértices 
(F, G, H e I) do polígono iniciando em A, conforme mostra a Figura 9. Para 
divisões em partes múltiplas de cinco, é necessário traçar a mediatriz dos 
lados do polígono. 
Figura 9. Passo a passo para dividir uma circunferência em cinco partes iguais e inscrever 
um polígono regular.
9Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações
Traçado de uma tangente
Conforme já vimos no início deste capítulo, a tangente é uma reta que toca a 
circunferência em apenas um ponto (ponto de tangência), sendo perpendicular 
ao raio que passa naquele ponto. Portanto, para traçar uma reta tangente a 
uma circunferência dada, é necessário, primeiramente, determinar o ponto 
de tangência (A) e seu respectivo raio (AO). Em seguida, com o auxílio de 
esquadros, deve-se traçar uma reta perpendicular (t) ao raio determinado, no 
ponto A, conforme mostra a Figura 10.
Figura 10. Passo a passo para o traçado de uma reta tangente.
Retificações de circunferência
Retifi car a circunferência signifi ca transformar sua curva em uma linha 
reta que possua a mesma extensão do perímetro original da circunferência. 
A retifi cação da circunferência é importante para defi nirmos grafi camente 
seu comprimento. Como já vimos no início deste capítulo, é possível defi nir 
o comprimento de uma circunferência por meio da álgebra, com a expressão 
C = 2 ∙ π ∙ r. Trata-se, portanto, de duas formas diferentes e complementares 
de se obter o mesmo resultado, sendo o cálculo o modo mais preciso, pois 
trabalha com casas decimais que, muitas vezes, a régua não abrange.
Existem vários métodos de retificação de circunferências, sendo o método 
de Arquimedes o mais conhecido deles. Arquimedes foi um matemático da 
Antiguidade Clássica inspirado por Euclides e que, dentre muitos estudos 
relevantes, encontrou uma aproximação apurada do número π que é a relação 
entre comprimento da circunferência e diâmetro. A Figura 11 representa essa 
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações10
relação; ela demonstra que, se uma circunferência tem diâmetro de 1 unidade, 
o seu comprimento é de aproximadamente 3,14 unidades, valor da razão π.
Figura 11. Número π: relação entre o diâmetro e o com-
primento da circunferência.
Nos seus estudos algébricos, Arquimedes chegou à conclusão de que o 
comprimento de uma circunferência se dava a partir da seguinte combinação, 
baseada no número π: 
C = 3 ∙ d + 1/7 ∙ d
onde d é o diâmetro da circunferência.
A retificação da circunferência pelo método de Arquimedes segue, então, 
a lógica da fórmula desenvolvida por ele. Em uma circunferência dada, para 
retificarmos seu comprimento, necessitamos traçar três unidades inteiras do seu 
diâmetro mais um sétimo dessa mesma unidade. Para achar 1/7 do diâmetro, 
traçamos inicialmente um diâmetro AB e, em seguida, traçamos uma reta 
auxiliar (a), iniciando no ponto A desse diâmetro. Nessa reta, marcamos com 
o compasso, sempre na mesma abertura, 7 pontos. Unimos o sétimo ponto 
à outra extremidade do diâmetro (ponto B), formando um triângulo. Com 
os esquadros, traçamos uma reta paralela à reta do ponto 7 para transferir o 
ponto 6 para o diâmetro AB. A distância entre os pontos 6 e 7 no diâmetro AB 
equivale a 1/7 desse diâmetro. Por fim, é necessário marcar três dimensões do 
diâmetro e mais 1/7 do mesmo. Utilizamos o compasso para transferir essas 
medidas com precisão para um segmento de reta. Nesse caso, a retificação da 
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circunferência de diâmetro AB equivale ao segmento de reta AE, conforme 
mostra a Figura 12. Para efeitos de segurança, é possível medir a retificação e 
conferir se as dimensões estão corretas por meio da fórmula do comprimento 
da circunferência: C = 2 ∙ π ∙ r. 
Figura 12. Método de Arquimedes para retificação da circunferência.
Existem vários métodos de retificação de circunferências, mas todos se baseiam no 
estudo de Arquimedes sobre a relação entre comprimento e diâmetro da circunferência. 
Confira no link abaixo um vídeo que demonstra o método de Kochansky, matemático 
do século XVII.
https://goo.gl/CffRMi
Para finalizar, é importante ressaltar que, apesar de se tratar de um elemento 
simples, e talvez justamente por causa disso, o estudo da circunferência é de 
grande relevância. Sua simplicidade faz como que ela seja a base de muitos 
outros elementos. O fácil entendimento da circunferência e a compreensão 
de seus processos nos auxiliam em inúmeras questões do nosso dia a dia.
Circunferências: elementos, divisões, tangentes e retificações12
BOYER, C. B. A history of mathematics. 2. ed. New York: John Wiley & Sons, 1991.
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. 2. ed. Rio de Janeiro: Imperial, 2008.
COSTA, D. M. B. Apostila geometria descritiva. Curitiba: Universidade Federal do Paraná, 
2011.
GIOVANNI, J. R. Desenho geométrico. São Paulo: FDT, 2016. v. 1. 
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. 3. ed. Florianópolis: UFSC, 2010.
REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. Porto 
Alegre: Bookman, 2014.
SANTOS, F. J. S.; FERREIRA, F. S. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
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