mat 2 - aula 23

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Mat 2 – Apostila 23 – Círculos e Circunferências:
1) Circunferência: 
É a curva que reúne os pontos que possuem a mesma distância (raio) para um ponto (centro da circunferência). Unindo dois pontos de uma circunferência, temos um segmento que é denominado corda. Elas podem ser de diferentes tamanhos, sendo que a maior corda é aquela que passa pelo centro da circunferência. Nesse caso, temos um segmento denominado diâmetro, cuja medida é o dobro da medida de um raio. Um arco é a linha curva localizada sobre a circunferência, linha essa delimitada por dois pontos da circunferência. O segmento denominado flecha mensura a distância entre a corda e o arco. Observe a figura abaixo, que retrata os principais segmentos de uma circunferência:
2) Círculo: 
Constituído por todos os pontos de uma circunferência, além de seus pontos internos. Por esse motivo, dizemos que vamos calcular a área de um círculo e não a área de uma circunferência. Vale frisar que existem regiões importantes dentro de um círculo, como por exemplo o setor circular que é uma parcela de uma circunferência delimitada por um ângulo menor que 360o e dois raios. Também temos a coroa circular, região limitada por dois círculos concêntricos (região interna ao maior círculo e interna ao maior círculo).
3) Posições Relativas entre uma Reta e uma Circunferência:
Uma reta e uma circunferência podem ter:
· dois pontos de encontro (nesse caso, dizemos que a reta é secante à circunferência); 
· um ponto de encontro (nesse caso, dizemos que a reta é tangente à circunferência) ou
· nenhum ponto de encontro (nesse caso, dizemos que a reta é exterior à circunferência).
4) Relações Angulares em uma Circunferência:
5) Relações Métricas em uma Circunferência:
6) Teorema da Tangente:
A partir de um ponto externo, determinamos duas retas tangentes a uma circunferência. A distância de tal ponto externo a um dos pontos de tangência é exatamente igual à distância entre esse mesmo ponto externo e o outro ponto de tangência.
7) Teorema de Pitot: 
Também conhecido como Teorema do Quadrilátero Circunscritível, mostra que a soma de dois lados opostos de um quadrilátero circunscrito a uma circunferência é igual a soma dos outros dois lados opostos do mesmo quadrilátero.
EXERCÍCIOS:
01) (FUVEST) Um arco de circunferência mede 300o, e seu comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio em metros? 
a) 157 		b) 284 		c) 382 		d) 628 		e) 764
02) (FUVEST) O perímetro de um setor circular de lado R e ângulo central medindo radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então é igual a: 
a) /3 		b) 2 		c) 1 		d) 2/3 	e) /2
03) (FUVEST) Considere um arco AB de 110o numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco AB' de 60o numa circunferência de raio 5 cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco AB' ' (ambos medidos em cm), obtém-se: 
a) 11/6		b) 2 		c) 11/3		d) 22/3		e) 11
04) (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: 
a) 125o 	b) 110o 		c) 120o 		d) 100o 		e) 135o
05) (FUVEST) Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de centro O. Sabe-se que OA é perpendicular a OB e forma com BC um ângulo de 70º. Então, a tangente à circunferência no ponto C forma com a reta OA um ângulo de: 
a) 10o 		b) 20o 		c) 30o 		d) 40o 		e) 50o
06) (UNIFOR) Seja uma circunferência de centro O. Por um ponto P traçam-se uma tangente PT e uma secante PS, que contém o ponto O, como mostra a figura seguinte.
Se U PS, a medida , do ângulo assinalado, é: 
a) 85o 		b) 75o30'	c) 65o 		d) 57o30' 	e) 45o
07) (UFES) Na figura, são dados AE/AC = 1/4, BE 8 cm e ED 6 cm. 
O comprimento de AC , em cm, é: 
a) 10 		b) 12 		c) 16 		d) 18 		e) 20
08) (MACKENZIE) Na figura, O é o centro da circunferência, AB=a ; AC=b e AO=x. 
O valor de x, em função de a e b, é: 
a) (a b)/2		b) (a – b)/2	c) 2 		d)a²/2 – b²/2
09) (UNIFICADO) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência. 
O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:
a) 36 		b) 45 		c) 48 		d) 50 		e) 54
10) (UFES) Encontre o valor de α na figura abaixo:
a) 50o 		b) 52o 		c) 54o 		d) 56o 		e) 58o 
11) (UNISANTOS) Na figura abaixo, temos uma circunferência de raio 3. Determine o valor de α.
a) 31o 		b) 38o 		c) 48o 		d) 50o 		e) 56o 
12) (CESGRANRIO) Encontre o valor de α na figura abaixo:
a) 20o 		b) 30o 		c) 40o 		d) 50o 		e) 60o 
13) (CESGRANRIO) Na figura a abaixo, AB=8cm, BC=10cm, AD=4cm e o ponto O é o centro da circunferência. 
O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:
a) 26		b) 45		c) 48		d) 50		e) 54
14) (UFRRJ) O raio de um círculo mede 6 m. Por um ponto P, distante 10 m do centro, traça-se uma tangente. O comprimento da tangente entre P e o ponto de contato é:
a) 4m		b) 6m		c) 8m		d) 10m		12m
15) (UFMG) Na figura abaixo, a circunferência tem centro O e o seu raio tem a mesma medida do segmento BC. Sejam α a medida do ângulo AÔD e β a medida do ângulo ACD. 
A relação entre α e β é:
a) α = 5β/2 	b) α = 3β 	c) α = 7’β/2 	d) α = 2β
16) (UESPI) Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 6 metros de raio. Se o terreno tivesse 12 metros de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal terreno?
a) 6 h		b) 9 h		c) 12 h		d) 18 h		e) 20 h
17) (CN) As quatro circunferências da figura abaixo têm raios r = 0,5. 
O comprimento da linha que as envolve é aproximadamente igual a:
a) 6,96		b) 7,96		c) 8,96		d) 9,96		e) 10,96
18) (FAAP) Uma chapa de metal circular, com 1m de raio, ficou exposta ao sol. Em consequência, sofreu uma dilatação de 1% na dimensão do raio. (Considerar π=3,14) 
O perímetro dessa chapa após a dilatação (em metros) é:
a) 6,28		b) 6,34		c) 6,48		d) 6,42		e) 6,25
19)  (CESGRANRIO) Em um círculo de raio 5 está inscrito um quadrilátero ABCD. Sobre a soma dos ângulos opostos BAD e BCD, podemos afirmar que vale:
a) 5 x 180°	b) 3 x 180°	c) 2 x 180°	d) 180°		e) 90°
20)  (CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa o resultado da eleição para governador do Estado do Rio de Janeiro.
 Brizola: 47%; Brancos e nulos: 22%; Bittar: 14%; Nelson: 10%; Ronaldo: 6%; Jussara: 1%
Sabendo que, no gráfico, a votação de cada candidato é proporcional à área do setor que o representa, podemos afirmar que o ângulo central do setor do candidato Bittar é de:
a) 14°		b) 25°		c) 50° 24'	d) 57° 36'	e) 60° 12'
21)  (Mackenzie) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem, respectivamente, 170° e 130°. 
Então, o arco MSN mede:
a) 60°		b) 70°		c) 80°		d) 100°		e) 110°
22) (FATEC) Na figura a seguir, o triângulo APB está inscrito na circunferência de centro C.
 Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas, então x é igual a:
a) 23°45'	b) 30°		c) 60°		d) 62°30'	e) 66°15'
23) (MACKENZIE)
O ângulo α da figura mede:
a) 60°		b) 55°		c) 50°		d) 45°		e) 40°
24) (UFES) Na figura, A, B, C e D são pontos de uma circunferência, a corda CD é bissetriz do ângulo ACB e as cordas AB e AC têm o mesmo comprimento. 
Se o ângulo BAÂD mede 40°, a medida α do ângulo BÂC é:
a) 10°		b) 15°		c) 20°		d) 25°		e) 30°
25) (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente
a) 16 horas	b) 20 horas	c) 25 horas	d) 32 horas	e) 36 horas
26) (UERJ) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir.
Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento.
Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é:
a) 100		b) 110		c) 120		d) 130		
27) (UFES) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo APD é
 
 a) 15		b) 20c) 25		d) 30		e) 35
28) (PUC) O ângulo x, na figura a seguir, mede:
 a) 60°		b) 80°		c) 90°		d) 100°		e) 120°
29) (UERJ) Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração:
- colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD;
- em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD.
 Veja as figuras adiante.
 Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio da circunferência maior e do raio do CD, chamando-a de x. Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada. Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y:
a) x + y = π-1		b) x + y = π-2		c) y - x = π-2		d) y - x = π-1
30) (UFLAVRAS) Um automóvel percorreu uma distância de 125,6km. Sabendo-se que os pneus têm 0,5m de diâmetro, o número de voltas dadas por um pneu foi aproximadamente:
a) 251.200	b) 125.600	c) 80.000	d) 40.000	e) 12.560
31) (UEM) Uma pista de atletismo tem a forma circular e seu diâmetro mede 80 m. Um atleta treinando nessa pista deseja correr 10 km diariamente. Determine o número mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa pista a cada dia.
32) (UAM) Um setor circular de raio 5cm tem arco de comprimento 8cm. Calcule sua área em cm2.
33) (UFOP) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500km em torno de uma pista circular de raio 200m. Calcule o número aproximado de voltas que ele deve dar. (Use ).
34) (UNESP) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. Calcule o perímetro do “monstro” em cm.
35) (UEL) Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A e B, respectivamente, e as medidas dadas no esquema a seguir. 
As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC, bem ajustada, que transmite o movimento de uma roldana para outra. Calcule o comprimento dessa correia em centímetros.
36) (UFMT) Um relógio analógico marca, num certo instante, 1h15min. Admita que o ponteiro dos minutos se movimente 36º. Nessas condições, calcule o novo horário apresentado por esse relógio.
37) (UNIMONTES) Quando os ponteiros de um relógio marcam 1h50min, qual a medida do menor ângulo central formado por eles?
38) (UFC) A figura a seguir mostra quatro rodas circulares, tangentes duas a duas, todas de mesmo raio r e circundadas por uma correia ajustada. Determine o comprimento da correia, em termos de r.
 Obs.: despreze a espessura da correia.
39) (UFRJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.
Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.
40) (UNB) Ana e Maria estão se divertindo em uma roda-gigante, que gira em sentido anti-horário e possui oito lugares equidistantes. Inicialmente, a roda encontra-se na posição indicada na figura, estando Maria na parte inferior e Ana à meia altura entre as partes inferior e superior da roda. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir.
 (1) A roda deve girar 90° para que Ana alcance o topo.
(2) Maria estará diretamente acima de Ana, na vertical, após a roda ter girado 225° a partir do momento inicial.
(3) Se a distância entre os pontos de sustentação das cadeiras de Ana e de Maria for igual a 4 m, então a circunferência que contém esses pontos e tem centro coincidente com a da roda-gigante possui diâmetro maior que 9 m.
GABARITO
01) C	02) B	03) C	04) A	05) D	06) D	07) C	08) D	09) E	10) E
11) C	12) E	13) E	14) C	15) B	16) C	17) B	18) B	19) D	20) C
21) A	22) E	23) C	24) C	25) C	26) A	27) B	28) B	29) A	30) C
31) 40 voltas
32) 20 cm²
33) 398 voltas
34) 2π + 1
35) (58π/3 + 20) cm
36) 1h e 21 minutos
37) 115o
38) 2r(4 + π)
39) 32 voltas
40) V-V-F
14
,
3
=
p