[Área 3] Aula 9 - Exercícios

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Área 3: Aula 9
Ondas sonoras: Exerćıcios
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Problema 1
A figura mostra o visor de um medidor de variação de pressão de uma
onda sonora que viaja a 343 m/s através do ar com densidade uniforme
de 1, 21 kg/m3. ∆Ps = 4 mPa. Se a função deslocamento é s(x , y) =
smcos(kx − ωt), qual é (a) sm, (b) k e (c) ω? O ar é então resfriado para
que sua densidade fique 1, 35 kg/m3 e a velocidade do som fique 320 m/s.
Se a fonte emite o som na mesma frequência e na mesma amplitude de
pressão, Quais são (d) sm, (e) k e (f) ω?
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Resposta:
(a) ∆Pm = vρωsm → sm = ∆Pmvρω =
2∆PsT
vρ2π = 6, 1× 10
−9 m
(b) v = ωk → k =
ω
v =
2π
Tv = 9, 16 m
−1
(c) ω = 2πT = 1000π s
−1
(d) sm =
2∆PsT
vρ2π = 5, 9× 10
−9 m
(e) k = 2πTv = 9, 81 m
−1
(f) ω não muda.
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Problema 2
Considere quatro fontes sonoras dispostas em um eixo x , separadas por
uma distância d uma da outra. As ondas emitem sons idênticos. Que
múltiplo de sm, a amplitude das ondas geradas, corresponde a amplitude
da onda resultante em P, um ponto localizado sobre o mesmo eixo x , se
(a) d =
λ
4
, (b) d =
λ
2
, (c) d = λ?
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Problema 2
Considere quatro fontes sonoras dispostas em um eixo x , separadas por
uma distância d uma da outra. As ondas emitem sons idênticos. Que
múltiplo de sm, a amplitude das ondas geradas, corresponde a amplitude
da onda resultante em P, um ponto localizado sobre o mesmo eixo x , se
(a) d =
λ
4
, (b) d =
λ
2
, (c) d = λ?
Resposta:
(a) Nesse caso, temos uma int. destrutiva entre a primeira e a terceira
fontes, já que ∆L = λ/2. Também teremos entre a segunda e a quarta
fontes, logo em P teremos s ′m = 0.
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Problema 2
Considere quatro fontes sonoras dispostas em um eixo x , separadas por
uma distância d uma da outra. As ondas emitem sons idênticos. Que
múltiplo de sm, a amplitude das ondas geradas, corresponde a amplitude
da onda resultante em P, um ponto localizado sobre o mesmo eixo x , se
(a) d =
λ
4
, (b) d =
λ
2
, (c) d = λ?
Resposta:
(b) Nesse caso, temos uma int. destrutiva entre a primeira e a segunda
fontes, já que ∆L = λ/2. Também teremos entre a terceira e a quarta
fontes, logo em P teremos s ′m = 0.
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Problema 2
Considere quatro fontes sonoras dispostas em um eixo x , separadas por
uma distância d uma da outra. As ondas emitem sons idênticos. Que
múltiplo de sm, a amplitude das ondas geradas, corresponde a amplitude
da onda resultante em P, um ponto localizado sobre o mesmo eixo x , se
(a) d =
λ
4
, (b) d =
λ
2
, (c) d = λ?
Resposta:
(c) Nesse caso, temos uma int. construtiva entre a primeira e a segunda
fontes, já que ∆L = λ. Também teremos entre a terceira e a quarta fontes,
logo em P teremos s ′m = 4sm.
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Problema 3
Dois auto-falantes em fase estão separados por uma distância de 2 m.
Um ouvinte está localizado a uma distância de 3, 75 m do auto-falante
da direita. Se o ser humano pode ouvir entre 20 Hz e 20 kHz, (a) quais
são as três menores frequências para qual a intensidade do som é ḿınima
na posição do ouvinte? (b) Quais são as três menores frequências para
qual a intensidade do som é máxima na posição do ouvinte? Considere
v = 342 m/s.
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Problema 3
Dois auto-falantes em fase estão separados por uma distância de 2 m.
Um ouvinte está localizado a uma distância de 3, 75 m do auto-falante
da direita. Se o ser humano pode ouvir entre 20 Hz e 20 kHz, (a) quais
são as três menores frequências para qual a intensidade do som é ḿınima
na posição do ouvinte? (b) Quais são as três menores frequências para
qual a intensidade do som é máxima na posição do ouvinte? Considere
v = 342 m/s.
Resposta:
(a) A distância em relação ao outro auto-falante é
D =
√
22 + 3, 752 = 4, 25 m
Logo, ∆L = 4, 25− 3, 75 = 0, 5 m.
Int. destrutiva: ∆L = (n + 1/2)λ → λ = ∆L
n + 1/2
v = λf f =
v
λ
f =
v
∆L
(n + 1/2)
As 3 primeiras frequências ocorrem para n = 0, 1, 2 f = 343, 1029, 1715 Hz.
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Problema 3
Dois auto-falantes em fase estão separados por uma distância de 2 m.
Um ouvinte está localizado a uma distância de 3, 75 m do auto-falante
da direita. Se o ser humano pode ouvir entre 20 Hz e 20 kHz, (a) quais
são as três menores frequências para qual a intensidade do som é ḿınima
na posição do ouvinte? (b) Quais são as três menores frequências para
qual a intensidade do som é máxima na posição do ouvinte? Considere
v = 342 m/s.
Resposta:
(b) Para ter uma int. construtiva temos
∆L = nλ
v = λf f =
v
λ
f =
v
∆L
n
As 3 primeiras frequências ocorrem para n = 0, 1, 2 f = 686, 1372, 2058 Hz.
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Problema 4
Uma fonte pontual emite 30 W de som isotropicamente. Um pequeno mi-
crofone intercepta o som em uma área de 0, 75 cm2, a 200 m de distância
da fonte. Calcule (a) a intensidade sonora nessa posição e (b) a potência
interceptada pelo microfone.
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Problema 4
Uma fonte pontual emite 30 W de som isotropicamente. Um pequeno mi-
crofone intercepta o som em uma área de 0, 75 cm2, a 200 m de distância
da fonte. Calcule (a) a intensidade sonora nessa posição e (b) a potência
interceptada pelo microfone.
Resposta:
(a) I =
P
A
=
P
4πr2
= 5, 97× 10−5 W/m2.
(b) P = AI = 0, 75 cm2 5, 97× 10−5 W/m2 = 4, 48× 10−9 W.
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Problema 5
O ponto P emite sons enquanto que o ponto Q detecta, a uma determi-
nada intensidade. Ambos estão inicialmente separados por uma distância
de 1, 2 m. Se o rúıdo de fundo aumenta em 5 dB, qual é a distância que
os pontos devem distar para que a intensidade seja a mesma?
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Problema 5
O ponto P emite sons enquanto que o ponto Q detecta, a uma determi-
nada intensidade. Ambos estão inicialmente separados por uma distância
de 1, 2 m. Se o rúıdo de fundo aumenta em 5 dB, qual é a distância que
os pontos devem distar para que a intensidade seja a mesma?
Resposta:
β = (10 dB) log (
I
I0
) βn − βv = (10 dB) log (
In
I0
)− (10 dB) log ( Iv
I0
)
βn − βv = (10 dB) log (
In
Iv
)
βn − βv
(10 dB)
= log (
In
Iv
)
10
βn − βv
(10 dB) =
In
Iv
In = Iv 10
βn − βv
(10 dB) In = Iv 10
(5 dB)
(10 dB)
In = 3, 16 Iv
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Problema 5
O ponto P emite sons enquanto que o ponto Q detecta, a uma determi-
nada intensidade. Ambos estão inicialmente separados por uma distância
de 1, 2 m. Se o rúıdo de fundo aumenta em 5 dB, qual é a distância que
os pontos devem distar para que a intensidade seja a mesma?
Resposta:
Se a intensidade do som do rúıdo de fundo aumentou 3, 16 vezes, a inten-
sidade do som que chega em Q também deve aumentar.
I =
P
4πr2
r =
√
P
4πI
Se queremos um aumento de 3, 16 na intensidade devemos ter
rn =
√
P
4πIn
=
√
P
4πI (3, 16)
=
1√
3, 16
√
P
4πI
rn =
1√
3, 16
r = 0, 5625 r = 0, 675 m.
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Problema 6
Um auto-falante gera ondas perpendicularmente a uma das extremidades
de um tubo de 45, 7 cm de comprimento, aberto nas duas extremidades.
A frequência do audio varia entre 1000 e 2000 Hz. A velocidade do ar no
interior do tubo é 344 m/s. (a) Para quantas frequências o som produz
ressonâncias no tubo? (b) Quais são as duas menores frequências de res-
sonância?
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Problema 6
Um auto-falante gera ondas perpendicularmente a uma das extremidades
de um tubo de 45, 7 cm de comprimento, aberto nas duas extremidades.
A frequência do audio varia entre 1000 e 2000 Hz. A velocidade do ar no
interior do tubo é 344 m/s. (a) Para quantas frequências o som produz
ressonâncias no tubo? (b) Quais são as duas menores frequências de res-
sonância?
Resposta:
(a) Para um tubo de duas extremidades abertas, temos ressonâncias se
L = n
λ
2
f =
v
λ
f = n
v
2L
n = f
2L
v
Nos casos de 1000 e 2000 Hz, temos n = 2, 65 e n = 5, 31, respectiva-
mente. Logo, temos frequências de ressonância para n = 3, 4, 5.
(b) f3 = 1129 Hz e f4 = 1505 Hz.
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Problema 7
Um poço com paredes verticais e água no fundo ressoa em 7 Hz e em ne-
nhuma outra frequência mais baixa. O Ar possui ρ = 1, 1 kg/m3 e módulo
volumétrico B = 1, 33× 105 Pa. A queprofundidade está a superf́ıcie da
água?
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Problema 7
Um poço com paredes verticais e água no fundo ressoa em 7 Hz e em ne-
nhuma outra frequência mais baixa. O Ar possui ρ = 1, 1 kg/m3 e módulo
volumétrico B = 1, 33× 105 Pa. A que profundidade está a superf́ıcie da
água?
Resposta:
Vemos que nesse caso L = n
λ
4
onde n = 1, 3, 5, ...
v = λf → L = n v
4f
Sabemos que n = 1, logo
L =
v
4f
=
√
B
µ
4f
= 12.4 m
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Problema 8
Uma corda de violino de 30 cm de comprimento com massa espećıfica lin-
ear µ = 0, 650 g/m é colocada perto de um alto-falante alimentado por
um oscilador de audio de frequência variável. Observa-se que a corda entra
em oscilação apenas nas frequências de 880 e 1320 Hz quando a frequência
do oscilador varia no intervalo de 500 a 1500 Hz. Qual é a tensão na corda?
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Problema 8
Uma corda de violino de 30 cm de comprimento com massa espećıfica lin-
ear µ = 0, 650 g/m é colocada perto de um alto-falante alimentado por
um oscilador de audio de frequência variável. Observa-se que a corda entra
em oscilação apenas nas frequências de 880 e 1320 Hz quando a frequência
do oscilador varia no intervalo de 500 a 1500 Hz. Qual é a tensão na corda?
Resposta:
Sabemos que, para duas extremidades fixas, fn =
nv
2L
. Logo,
fn+1 − fn =
(n + 1)v
2L
− nv
2L
=
v
2L
∆f =
√
τ
µ
2L
τ = 4µL2∆f 2 = 4(0, 00065)(0, 3)2(1320− 880)2 = 45, 3 N
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Problema 9
No tubo A, a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência
do harmônico precedente é 1, 2. No tubo B, a razão entre a frequência
de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1, 4. Quantas
extremidades abertas existem no tubo A e no tubo B?
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Problema 9
No tubo A, a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência
do harmônico precedente é 1, 2. No tubo B, a razão entre a frequência
de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1, 4. Quantas
extremidades abertas existem no tubo A e no tubo B?
Resposta:
Duas extremidades abertas: fn =
nv
2L
onde n = 1, 2, 3, ...
Uma extremidade aberta: fn =
nv
4L
onde n = 1, 3, 5, ...
fn
fn−1
=
nv
2L
(n − 1)v
2L
=
n
(n − 1)
fn
fn−2
=
nv
4L
(n − 2)v
4L
=
n
(n − 2)
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Problema 9
No tubo A, a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência
do harmônico precedente é 1, 2. No tubo B, a razão entre a frequência
de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1, 4. Quantas
extremidades abertas existem no tubo A e no tubo B?
Resposta:
fn
fn−1
=
n
(n − 1)
fn
fn−2
=
n
(n − 2)
Para o tubo A
n
(n − 1)
= 1, 2→ n = 1, 2 n − 1, 2→ 0, 2n = 1, 2→ n = 6
n
(n − 2)
= 1, 2→ n = 1, 2 n − 2, 4→ 0, 2n = 2, 4→ n = 12
Mas n não pode ser par. Logo, o tubo A possui duas extremidades abertas.
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Problema 9
No tubo A, a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência
do harmônico precedente é 1, 2. No tubo B, a razão entre a frequência
de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1, 4. Quantas
extremidades abertas existem no tubo A e no tubo B?
Resposta:
fn
fn−1
=
n
(n − 1)
fn
fn−2
=
n
(n − 2)
Para o tubo B
n
(n − 1)
= 1, 4→ n = 1, 4 n − 1, 4→ 0, 4n = 1, 4→ n = 14/4
n
(n − 2)
= 1, 4→ n = 1, 4 n − 2, 8→ 0, 4n = 2, 8→ n = 7
Logo o tubo B tem uma extremidade aberta.
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Problema 10
Duas cordas de piano iguais têm uma frequência fundamental de 600 Hz,
quando são submetidas a uma mesma tensão. Que aumento relativo da
tensão de uma das cordas faz com que haja 6 batimentos por segundo
quando as duas cordas oscilam simultaneamente?
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Problema 10
Duas cordas de piano iguais têm uma frequência fundamental de 600 Hz,
quando são submetidas a uma mesma tensão. Que aumento relativo da
tensão de uma das cordas faz com que haja 6 batimentos por segundo
quando as duas cordas oscilam simultaneamente?
Resposta:
Para o caso de duas extremidades fixas fn =
nv
2L
→ f1 =
v
2L
v = 2Lf1 →
√
τ
µ
= 2Lf1 → τ = 4µL2f 21
Aumentando a tensão: τ ′ = 4µL2(f1 + 6)
2 = 4µL2f 21
(f1 + 6)
2
f 21
τ ′ = τ
(f1 + 6)
2
f 21
= τ
(600 + 6)2
6002
τ ′ = 1, 02 τ O aumento relativo fica
τ ′ − τ
τ
= 0, 02
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Problema 11
Uma fonte sonora A e uma superf́ıcie refletora B se movem uma em direção
a outra. Em relação ao ar, a velocidade da fonte A é 29, 9 m/s e a ve-
locidade da superf́ıcie refletora B é 65, 8 m/s; a velocidade do som no
ar é 329 m/s. A fonte emite ondas com uma frequência de 1200 Hz no
referencial da fonte. No referencial da superf́ıcie B, qual é a (a) frequência
e (b) o comprimento de onda das ondas sonoras? No referencial da fonte
A, qual é (c) a frequência e (d) o comprimento de onda das ondas sonoras
refletidas de volta para a fonte?
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Problema 11
Uma fonte sonora A e uma superf́ıcie refletora B se movem uma em direção
a outra. Em relação ao ar, a velocidade da fonte A é 29, 9 m/s e a ve-
locidade da superf́ıcie refletora B é 65, 8 m/s; a velocidade do som no
ar é 329 m/s. A fonte emite ondas com uma frequência de 1200 Hz no
referencial da fonte. No referencial da superf́ıcie B, qual é a (a) frequência
e (b) o comprimento de onda das ondas sonoras? No referencial da fonte
A, qual é (c) a frequência e (d) o comprimento de onda das ondas sonoras
refletidas de volta para a fonte?
Resposta: f ′ = f
vs ± vd
vs ∓ vf
(a) f ′ = f
vs + vd
vs − vf
= 1200
329 + 65, 8
329− 29, 9
= 1584 Hz
(b) λ =
v
f ′
=
329
1584
= 0, 207 m
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Problema 11
Uma fonte sonora A e uma superf́ıcie refletora B se movem uma em direção
a outra. Em relação ao ar, a velocidade da fonte A é 29, 9 m/s e a ve-
locidade da superf́ıcie refletora B é 65, 8 m/s; a velocidade do som no
ar é 329 m/s. A fonte emite ondas com uma frequência de 1200 Hz no
referencial da fonte. No referencial da superf́ıcie B, qual é a (a) frequência
e (b) o comprimento de onda das ondas sonoras? No referencial da fonte
A, qual é (c) a frequência e (d) o comprimento de onda das ondas sonoras
refletidas de volta para a fonte?
Resposta: f ′ = f
vs ± vd
vs ∓ vf
(c) f ′′ = f ′
vs + vf
vs − vd
= 1584
329 + 29, 9
329− 65, 8
= 2160 Hz
(d) λ =
v
f ′′
=
329
2160
= 0, 152 m
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Problema 12
Um alarme acústico contra roubo usa uma fonte que emite ondas de
f = 28 kHz. Qual é a frequência de batimento entre a fonte e as on-
das refletidas em um intruso que caminha a vi = 0, 950 m/s afastando-se
em linha reta do alarme, se vs = 342 m/s?
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Problema 12
Um alarme acústico contra roubo usa uma fonte que emite ondas de
f = 28 kHz. Qual é a frequência de batimento entre a fonte e as on-
das refletidas em um intruso que caminha a vi = 0, 950 m/s afastando-se
em linha reta do alarme, se vs = 342 m/s?
Resposta: f ′ = f
vs ± vd
vs ∓ vf
f ′ = f
vs − vi
vs
= 28000
342− 0, 950
342
= 27922, 2 Hz
f ′′ = f ′
vs
vs + vi
= 27922.2
342
342 + 0, 950
= 27844, 8 Hz
fb = 28000− 27844, 8 = 155 Hz
32 / 33
Obrigado!
Próxima aula: Prova!
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