Gabarito ENG1007 P2 12.2B

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Segunda prova – turma B 18/10/2012 
1
a
 Questão (2,5 pontos) 
O eixo representado abaixo tem um trecho de seção maciça AB com raio de 15 mm, acoplado a um 
tubo BD com raio interno de 12,5 mm e externo de 25 mm. O eixo é feito de aço, com módulo de 
elasticidade transversal G = 75 GPa. 
 
a) Traçar o gráfico de torques que ocorrem ao longo do eixo. 
b) Determinar a máxima tensão de cisalhamento que ocorre no eixo. 
c) Determinar a máxima rotação relativa que pode ocorrer entre duas das seções A, B, C e D. 
 



 dG2
)x(T
dx
d
)x(r
0
3
 
 
 



d2
)(
)(
0
3


xr
G
GxT
 
 
 
Solução: 
a) 
 
 
b) 
 
4
40 15
7,55 ;
15
2
AB
Nm mm
MPa
mm
 

 
 
 4 4 4
30 25
1,30
25 12,5
2
CD
Nm mm
MPa
mm
 

 

7,55máx MPa 
 
c) 
 
4
40 300
0,0020
75 15
2
AB
Nm mm
rad
GPa mm
 

  

 
 4 4 4
20 200
0,000093
75 25 12,5
2
BC
Nm mm
rad
GPa mm
 

  
 
 
 4 4 4
30 300
-0,00021
75 25 12,5
2
CD
Nm mm
rad
GPa mm
 
 
  
 
 
 0,0021 entre as seções A e C, no sentido do vetor em Amáx AB BC rad        
 
A
C
B
D
40 Nm
20 Nm
30 Nm
2
a
 Questão (2,5 pontos) 
O tubo abaixo tem três segmentos, todos eles feitos do mesmo material (módulo de elasticidade 
transversal G), de mesmo comprimento 

 e mesma seção transversal circular de raio r e parede de 
espessura 
20/rt 
, ou seja, 
rt 
. O segmento BC tem um corte longitudinal, conforme indicado, 
não podendo ser classificado topologicamente como de seção transversal circular, embora a área da 
seção transversal seja numericamente igual à da dos outros segmentos. Nos anéis de reforço das seções 
A, B, C e D são aplicados momentos de torção auto-equilibrados, conforme indicado na figura. 
Calcular: 
a) a rotação da seção D em relação à seção A; Fórmulas para eixo de seção 
b) a máxima tensão de cisalhamento no tubo. transversal circular: 
 
 



 dG2
)x(T
dx
d
)x(r
0
3
 
 
 



d2
)(
)(
0
3


xr
G
GxT
 
 
 
Fórmulas para eixo de seção transversal retangular: 
 
2max ab
T


 
G3ab
TL

 
 
 
Tabela para obtenção dos coeficientes  e  
a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0  
 0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333 
 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333 
 
Solução: 
 Segmentos AB e CD: Torque atuante 
T
, seção transversal circular de parede fina. 
 Segmento BC: Torque atuante 
2095,0 TTT 
, seção transversal aberta com largura 
ra 2
 e 
altura 
20rtb 
. 
 Como 
rt 
, tem-se na tabela dada, para 
ba
, 
31333,0  
. 
a) Rotação relativa entre as seções A e D: 
GrttGr
AD 3
3
13 2
20
2
2 
 TT

 
 Sendo 
20/rt 
, 
GrGrGr
AD 44
2
4
620
2
20320

 TTT



 
b) Tensão em qualquer ponto dos segmentos AB e CD: 
332, r
10
r2
20
tr2 
TTT


CDAB
 
 Tensão em qualquer ponto do segmento BC: 
332
3
1 r
30
r2
203
rt2
20

TTT


BC
 
3r
30


T
 máx
 
 
max 
T T 
a 
b 



T
T
T950,
A
B
C
D
T950,
3
a
 Questão (2,5 pontos) 
Um tubo de parede fina 
( )t d
 tem seção quadrada de lado d. Compare a eficiência deste tubo, em 
termos da tensão máxima 
máx
 que ocorre no tubo e da rotação 
d dx
 entre seções, quando da 
aplicação de um torque, em relação a um outro de seção transversal circular de mesma área transversal 
e mesma espessura de parede 
( )t r
, ou seja, feito com a mesma quantidade de material. 
Fórmulas relativas ao torque de um tubo de parede fina: 
m
T
2A t
 
 
m
2
Cm
T ds
d dx
4A G t






 
Solução: 
 
Como o tubo circular e o tubo quadrado têm a mesma área de seção transversal (mesma quantidade de 
material), 
2 4rt dt 
. Portanto, 
2d r
 
Tem-se para a tensão na seção quadrada: 
2 2 2 2
2 4 4
1,27
2 2 2
q c c
m
T T T T
A t d t r t r t
          
 
Tem-se para a rotação entre duas seções do tubo de seção quadrada: 
2
2 4 3 3 3
8 4
4 1,62
4 4 2
m
q c
Cm
d dT ds T T T
d
dx A G t d Gt r Gt r Gt dx
   




 
     
 
 
já que, para o círculo, 
22
c
T
r t



 e 
32
cd T
dx r Gt



. 
Portanto, o tubo de seção transversal quadrada apresenta tensão de cisalhamento cerca de 27% maior e 
rotação entre seções cerca de 62% maior que no tubo de seção transversal circular. 
 
4
a
 Questão (2,5 pontos) 
Um eixo está submetido a torques que variam trecho a trecho ao longo de seu comprimento, conforme 
representado na figura abaixo. O eixo se compõe de três tubos, de seções transversais circulares: 
 há um tubo de raio r2 e espessura t << r2, feito de um material B (módulo de elasticidade GB), que 
se estende ao longo de todo o eixo; 
 há um tubo de material A (módulo de elasticidade GA) no trecho AB, de seção cheia de raio r2; 
 e há um tubo de mesmo material A no trecho CD, de seção transversal vazada de raio interno r1 e 
externo r2. 
Sabe-se que GB = 50 GA, t = r2/100, r1 = r2/2. 
 
Traçar o diagrama de torque aplicado a cada um dos trechos AB, BC e CD e em seguida calcular: 
a) a rotação sofrida pela extremidade do eixo em relação ao seu engaste; 
b) as tensões de cisalhamento máximas a que cada material está submetido. 
 


d2
)(
),(
)(
0
3


xr
G
GxT
x
 
dx
G
xT
xr







0
)(
0
3
0
d2
)(


 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Diagrama de torques aplicados (supondo que o torque aplicado em D seja positivo): 
 
 
 
 
a) Rotação sofrida pela extremidade do eixo em relação ao seu engaste (positiva no sentido do torque 
aplicado em D): 
  trGrrG
T
trG
T
trGrG
T
BABBA
3
2
4
1
4
2
3
2
3
2
4
2 222
2
222
3   
 
Para os dados do problema: 
4
2
4
2
1151,0
47
17
rG
T
rG
T
AA

 
 
b) Tensões de cisalhamento máximas a que cada material está submetido (em módulo): 
Trecho AB: 
3
2
3
2
4
2
2 2
22
3
r
T
trGrG
rTG
BA
AAB
A  
 
3
2
3
2
4
2
2 100
22
3
r
T
trGrG
rTG
BA
BAB
B  
 
Trecho BC: 
3
2
2
2
50
2 r
T
tr
TBC
B 
 
 
 
 
Trecho CD: 
 
 
Portanto, as tensões máximas são as atuantes no trecho AB. 
T2
2r
1r
T
 
T4
2rt 
Bmat 
Amat 
Amat A
B C
D
A
B
C D
2T
3T-
T
  3232324142
2 4334,0
47
64
222
2
r
T
r
T
trGrrG
rTG
BA
ACD
A 

 
  3232324142
2 67,21
47
3200
222
2
r
T
r
T
trGrrG
rTG
BA
BCD
B 

 