Análise Matemática (apols 1,2,3,4,5)

Prévia do material em texto

Questão 1/10 - Análise Matemática 
Considere o seguinte trecho de texto a seguir: 
 
“Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→Rf:[c,d]→R, definida num 
intervalo compacto, é derivável num ponto a∈[c,d]a∈[c,d] isto significam, no caso de 
a∈(c,d)a∈(c,d), que possui as duas derivadas laterais no ponto aa e elas são iguais. 
No caso de aa ser um dos extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto aa, 
aquela derivada lateral que faz sentido.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 257. 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa 
correta: 
Nota: 0.0 
 A As derivadas laterais f′+(x0)f+′(x0) e f′−(x0)f−′(x0) devem ter valores diferentes para exista a derivada no ponto x0x0. 
 B Toda função derivável em um ponto x0x0 é contínua no ponto x0x0. 
Teorema de derivadas que tem utilidade no estudo da continuidade das funções (livro-base p.115 e 116)} 
 C Toda função contínua em um ponto x0x0 é derivável no ponto x0x0. 
 D Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no cálculo de limites para qualquer tipo de expressão indeterminada. 
 E Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções ff e gg é igual ao produto das derivadas. 
 
Questão 2/10 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar 
essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na 
composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como: 
A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de 
dentro vezes a derivada da função de dentro”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. 
Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta 
h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise 
Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a 
derivada da função composta dada. 
Nota: 0.0 
 A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) 
 B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x 
 C h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) 
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4). 
 D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 
 E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 
 
Questão 3/10 - Análise Matemática 
“Escrevemos limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se SnSn se torna arbitrariamente 
grande à medida que nn cresce. Neste caso, dizemos que (Sn)(Sn) diverge para 
+∞+∞. Mais precisamente, limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se, e somente se, para 
qualquer número cc, não importa o quão grande seja, existe um inteiro positivo 
n0n0 tal que quando n≥n0n≥n0, temos Sn>cSn>c”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
AYRES, Frank, MENDENSON ELLIOTT. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Bookman, 2013. 
p. 353. 
 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise 
Matemática sobre Sequências, assinale a alternativa que só contém sequências que 
divergem para +∞+∞: 
 
 
Nota: 0.0 
 A (1n), (√ n ), (2n)(1n), (n), (2n) 
 
 B (lnn), (n), (√ n )(ln⁡n), (n), (n) 
 
Dado um número c, temos que: (livro-base, p. 
60)lnn>c,∀n>ec (n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)√ n >c,∀n>c2 (n0=c2)ln⁡n>c,∀n>ec (n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)n>c,∀n>c2 (n0=c2) 
 C (2n+1), (ln2), (n)(2n+1), (ln⁡2), (n) 
 D (cos(n)), (n2), (lnn)(cos⁡(n)), (n2), (ln⁡n) 
 E (n√ n ), (sin(n)), (n)(nn), (sin⁡(n)), (n) 
 
Questão 4/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte citação: 
 
“Ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o limite considerado 
não existe ou que ele não pode ser calculado, mas que um estudo mais minucioso é 
necessário”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://e-
scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=88&Itemid=298>. Acesso em: 20 jun. 2017. 
 
Dado o seguinte limite: limx→12x−2x2−1limx→12x−2x2−1 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática 
sobre limites, assinale a alternativa que fornece o valor do limite dado: 
Nota: 0.0 
 A −2−2 
 B 2 
 C ∞∞ 
 D 0 
 E 1 
Temos uma indeterminação do tipo 0000, então podemos usar a Regra de L’Hôpital: limx→12x−2x2−1=limx→122x=1limx→12x−2x2−1=limx→122x=1. Outra 
forma de calcular esse limite seria isolando no numerador a expressão (x−1)(x−1) e fatorando o denominador como (x+1)(x−1)(x+1)(x−1). 
(livro-base, p. 128). 
 
Questão 5/10 - Análise Matemática 
 Veja esta informação sobre relação de equivalência. 
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da 
Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a 
relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo 
distintos, cumprem papel equivalente”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre as relações 
entre conjunto, assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência 
do conjunto A={1,2,3,4,5}A={1,2,3,4,5}: 
Nota: 10.0 
 A R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)} 
Você acertou! 
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R, ∀x∈A(x,x)∈R, ∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y)que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também 
pertence à RR. E essa relação é transitiva, pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1). 
 B R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5)}R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5)} 
 C R={(2,2),(3,3)}R={(2,2),(3,3)} 
 D R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(2,4)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(2,4)} 
 E R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4)} 
 
Questão 6/10 - Análise Matemática 
Observe a seguir o gráfico da função f:X→Rf:X→R, dada por 
f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1, onde X=R−{−1,1}X=R−{−1,1}: 
 
 
 
Observando o gráfico da função f(x)=x−2x2−1f(x)=x−2x2−1 e considerando os 
conteúdos do livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. 
 
 
I. Para todo ε>0ε>0, é possível encontrar δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X e 
0<|x−2|<δ0<|x−2|<δ impliquem |f(x)|<ε|f(x)|<ε. 
 
II. limx→∞f(x)=+∞limx→∞f(x)=+∞ 
 
III. Podemos dizer que quando xx se aproxima de 11 pela esquerda a função 
f(x)f(x) tende a +∞+∞. 
 
IV. limx→−1+f(x)=+∞limx→−1+f(x)=+∞ 
 
V. Podemos dizer que não existe o limite de f(x)f(x) quando xx se aproxima de 1 
porque 1 não é ponto de acumulação do conjunto XX. 
 
 
São corretas apenas as afirmativas: 
Nota: 0.0 
 A I, II e V 
 B II, III e IV 
 C III e IV 
 D I, III e IV 
As afirmativas I, III e IV são corretas. A afirmativa I é correta porque a função é contínua em x=2x=2 e f(2)=0f(2)=0. A afirmativa II é incorreta 
porque limx→+∞f(x)=0limx→+∞f(x)=0. A afirmativa III é correta porque dado M>0M>0 existe δ>0δ>0 tal 
que x∈Xx∈X e 0<|1−x|<δ0<|1−x|<δ implicam f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa IV é correta porque dado M>0M>0 existe δ>0δ>0 tal 
que 0<x−(−1)<δ0<x−(−1)<δ implica que f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa V está incorreta porque 1 é ponto de acumulação de XX. (livro-base, Capítulo 3). 
 E I, IV e V 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
Na definição de integral definida ∫baf(x)dx∫abf(x)dx, trabalhamos com uma função ff 
definida em um intervalo limitado [a,b][a,b] e presumimos que ff não tenha uma 
descontinuidade infinita.Agora entenderemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é 
infinito e também para o caso onde ff tem uma descontinuidade infinita em [a,b][a,b]. 
Em ambos os casos, a integral é chamada integral imprópria. 
 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 470. 
 
Observe a imagem: 
 
 
 
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre 
Integrais impróprias, a área da região hachurada na figura é o valor da integral 
imprópria ∫+∞11x2dx∫1+∞1x2dx que corresponde a: 
Nota: 0.0 
 A A(D)=∞A(D)=∞ 
 B A(D)=2A(D)=2 
 C A(D)=1A(D)=1 
∫+∞11x2=limt→+∞∫t11x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))=∫1+∞1x2=limt→+∞∫1t1x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))= limt→+∞(−1t+1)=0+1=1limt→+∞(−1t+1)=0+1=1 (livro-
base, p. 161) 
 D A(D)=eA(D)=e 
 E A(D)=e−1A(D)=e−1 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
Atente para a seguinte citação: 
 
“Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma 
função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os 
pontos xx e yy”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/limite-uma-funcao.htm>. Acesso em: 21 jun. 2017. 
 
Dada a função f:R→Rf:R→R tal que f(x)=xlnxf(x)=xln⁡x 
Levando em consideração as informações do dado fragmento de texto e os conteúdos 
do livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, responda: 
 
Qual é o limite da função dada quando x tende a 1 (um)? 
Nota: 0.0 
 A −1−1 
 B −∞−∞ 
 C ∞∞ 
 D 1 
 E 0 
Temos que limx→1x=1limx→1x=1 e limx→1lnx=ln1=0limx→1ln⁡x=ln⁡1=0. Assim limx→1x⋅lnx=1⋅0=0limx→1x⋅ln⁡x=1⋅0=0 (livro-base, p. 93) 
 
Questão 9/10 - Análise Matemática 
Atente para a seguinte informação sobre topologia: 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma 
função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de 
estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, 
espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem 
sentido falar em limites e continuidades de funções”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada, 2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre os conceitos 
topológicos, assinale a alternativa que melhor define, de maneira informal, ponto de 
acumulação de um conjunto. 
Nota: 0.0 
 A É um ponto de um conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 
 B É um ponto do conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem a ele. 
 C É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 
 D É um ponto que é limite de uma sequência de elementos do conjunto. 
 E É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 
Definição de ponto de acumulação (livro-base, p. 89). 
 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
"Uma função ff é contínua em um número aa se limx→af(x)=f(a)limx→af(x)=f(a) 
 
1. f(a)f(a) está definida (isto é, aa está no domínio de ff) 
2. limx→af(x)limx→af(x) existe 
3. limx→af(x)=f(a)limx→af(x)=f(a) ". 
 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 109. 
 
 
 
Observe o gráfico da função f(x)f(x) definida no intervalo [−1,4][−1,4]: 
 
 
 
De acordo com a figura e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática 
sobre Limite e Continuidade, assinale a alternativa correta. 
Nota: 0.0 
 A O limite lateral de f(x)f(x) quando x tende a -1 pela direita é -2-2 
 B O limite lateral de f(x)f(x) quando x tende a 22 pela esquerda é 11. 
 C O limite de f(x)f(x) quando xx tende a 22 existe e vale zero. 
 D A função f(x)f(x) é contínua em x=2x=2. 
 E O limite lateral de f(x)f(x) quando xx tende a (−1)(−1) pela esquerda é 00. 
Pelo gráfico podemos ver que quando xx se aproxima de −1−1 pela esquerda o yy se aproxima de zero (livro-base, p. 96). 
Questão 1/10 - Análise Matemática 
Atente para a seguinte citação: 
 
“Aplicando a Regra de L’Hôpital 
Passo 1: Verifique que lim f(x)g(x)f(x)g(x) é uma forma indeterminada do tipo 0000. 
Passo 2: Diferencie separadamente ff e gg. 
Passo 3: Encontre o limite de f′(x)g′(x)f′(x)g′(x). Se esse limite for finito, +∞+∞ ou 
−∞−∞, então ele é igual ao limite de f(x)g(x)f(x)g(x)”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen; Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. I. p. 257. 
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática , podemos dizer que limx→2x2−4x−2limx→2x2−4x−2 é igual a: 
Nota: 0.0 
 A 1717 
 B 1212 
 
 
 C 4 
Temos , pela regra de L'Hôpital, que limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4 
 
 
Livro (p128 e p129). 
 D 8 
 E 1 
 
Questão 2/10 - Análise Matemática 
Leia a seguinte afirmação: 
 
Considere a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)=3x+1f(x)=3x+1. Desde que ff é 
uma função contínua, temos que 
limx→2f(x)=f(2)=3⋅2+1=7limx→2f(x)=f(2)=3⋅2+1=7. 
 
Fonte: Citação elaborada pelo autor da questão. 
Levando em consideração o texto dado e os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática sobre Limite e continuidade, assinale a alternativa que demonstra, 
usando a definição, o limite mostrado acima. 
Nota: 0.0 
 A Dado ε>0ε>0, existe δ=ε3δ=ε3 tal que: 0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε 
Temos que |f(x)−7|=|3x+1−7|=|3x−6|=3|x−2|.|f(x)−7|=|3x+1−7|=|3x−6|=3|x−2|. Assim, se escolhermos δ=ε3δ=ε3, teremos 
que 0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε. (livro-base, p.90). 
 B Dado ε>0ε>0, existe δ=ε2δ=ε2 tal que: 0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε 
 C Dado ε>0ε>0, existe δ=ε3δ=ε3 tal que: 0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε 
 D Dado ε>0ε>0, existe δ=ε2δ=ε2 tal que: 0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε 
 E Dado ε>0ε>0, existe δ=3εδ=3ε tal que: 0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε 
 
Questão 3/10 - Análise Matemática 
“Informalmente: limx→af(x)=Llimx→af(x)=L quer dizer que se pode tornar 
f(x)f(x) tão próximo de LL quanto se queira desde que se tome x∈Xx∈X 
suficientemente próximo, porém diferente, de aa.” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 61.} 
 
 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a 
alternativa correta. 
Nota: 0.0 
 A Seja f:R−{2}→Rf:R−{2}→R, f(x)=x+3f(x)=x+3, então o valor de limx→2(x+3)limx→2(x+3) é 11. 
 B Seja f:X→Rf:X→R e x0∈X′x0∈X′. Assim, se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0f(x)=L2limx→x0f(x)=L2, então L1≠L2L1≠L2. 
 C Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L1limx→x0g(x)=L1, 
então limx→x0f(x)g(x)=L1+L2limx→x0f(x)g(x)=L1+L2. 
 D Seja a função f(x):X→Rf(x):X→R então limx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)klimx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)k. 
 E Sejam ff e g:R−{2}→Rg:R−{2}→R definidas por f(x)=3x+1f(x)=3x+1 e g(x):x+1g(x):x+1 e os 
limites limx→2f(x)=7limx→2f(x)=7 e limx→2g(x)=3limx→2g(x)=3 então limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73. 
Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L2limx→x0g(x)=L2 com L2≠0L2≠0, 
então limx→x0f(x)g(x)=L1L2limx→x0f(x)g(x)=L1L2. (Livro-base p. 93 a 95) 
 
Questão 4/10 - Análise Matemática 
Observe a seguinte série numérica: 
 
∑∞132k41−k∑1∞32k41−k 
 
 
Com base nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre a 
convergência de séries numéricas, assinale a única alternativa correta a respeito da 
série mostradaacima. 
Nota: 0.0 
 A A série converge para 9494 
 B A série converge para 3434 
 C A série diverge. 
reescrevendo a série, temos: ∑∞132k41−k=∑∞19k4k−1=∑∞19(94)k−1∑1∞32k41−k=∑1∞9k4k−1=∑1∞9(94)k−1. Logo, essa é uma série geométrica 
com r=94>1r=94>1. Portanto, a série diverge. (livro-base, Capítulo 2). 
 D A série diverge para 4343 
 E A série converge para 12. 
 
Questão 5/10 - Análise Matemática 
Considere o seguinte subconjunto do conjunto dos números reais: 
 
X={1,12,13,14,15,⋯1n,⋯}X={1,12,13,14,15,⋯1n,⋯} 
 
Levando em consideração o conjunto dado e os conteúdos estudados no livro-base 
Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e 
marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas. 
 
I. ( ) XX é um conjunto aberto. 
II. ( ) 00 é um ponto de acumulação do conjunto XX. 
III. ( ) XX é um conjunto limitado. 
IV. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto de aderência do conjunto XX. 
V. ( ) O conjunto XX é compacto. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
Nota: 0.0 
 A V-V-V-F-F 
 B F-F-V-V-V 
 C F-V-V-V-F 
A alternativa que apresenta a sequencia correta é a letra c). A afirmativa I é falsa porque os pontos do conjunto XX não são interiores de XX. A afirmativa II é 
verdadeira porque dado ε>0ε>0 existe um natural n>1εn>1ε tal que 1ε∈(−ε,ε)∩X−{0}1ε∈(−ε,ε)∩X−{0}. A afirmativa III é verdadeira porque |x|≤1|x|≤1, para 
todo x∈Xx∈X. A afirmativa IV é verdadeira porque a sequencia constante (1)n∈N(1)n∈N converge para 1 e é formada por pontos do conjunto XX. A afirmativa 
V é falsa pois XX não é um conjunto fechado. De fato, 0 é um ponto de aderência do conjunto XX, mas 0 não pertence à XX. (livro-base, Capítulo 3). 
 D V-V-F-F-F 
 E F-V-V-V-V 
 
Questão 6/10 - Análise Matemática 
Observe o intervalo X=(−√ 2 ,√ 2 )X=(−2,2 ) representado na reta real: 
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base 
Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e 
marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas. 
 
I. ( ) XX é um conjunto aberto. 
II. ( ) XX é um conjunto limitado. 
III. ( ) XX é um conjunto compacto. 
IV. ( ) XX é um conjunto fechado. 
 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta. 
Nota: 0.0 
 A V-V-F-F 
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto XX é ponto interior de XX. A afirmativa 
II é verdadeira porque existe R>0R>0, por exemplo, R=3R=3 tal que |x|<3|x|<3 para todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto XX não é fechado 
e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto XX não é aberto, por exemplo, x=√ 2 x=2 pertence ao complementar de XX, mas 
não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91). 
 B V-V-V-F 
 C F-F-V-V 
 D F-V-F-F 
 E V-F-V-F 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
 Veja esta informação sobre relação de equivalência. 
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da 
Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a 
relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo 
distintos, cumprem papel equivalente”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre as relações 
entre conjunto, assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência 
do conjunto A={1,2,3,4,5}A={1,2,3,4,5}: 
Nota: 0.0 
 A R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)} 
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R, ∀x∈A(x,x)∈R, ∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y)que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também 
pertence à RR. E essa relação é transitiva, pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1). 
 B R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5)}R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5)} 
 C R={(2,2),(3,3)}R={(2,2),(3,3)} 
 D R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(2,4)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(2,4)} 
 E R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4)} 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
Na definição de integral definida ∫baf(x)dx∫abf(x)dx, trabalhamos com uma 
função ff definida em um intervalo limitado [a,b][a,b] e presumimos que ff não 
tenha uma descontinuidade infinita. 
 Agora entenderemos o conceito de integral definida para o caso em que o 
intervalo é infinito e também para o caso onde ff tem uma descontinuidade 
infinita em [a,b][a,b]. Em ambos os casos, a integral é chamada integral 
imprópria. 
 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 470. 
 
Observe a imagem: 
 
 
 
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre 
Integrais impróprias, a área da região hachurada na figura é o valor da integral 
imprópria ∫+∞11x2dx∫1+∞1x2dx que corresponde a: 
Nota: 0.0 
 A A(D)=∞A(D)=∞ 
 B A(D)=2A(D)=2 
 C A(D)=1A(D)=1 
∫+∞11x2=limt→+∞∫t11x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))=∫1+∞1x2=limt→+∞∫1t1x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))= limt→+∞(−1t+1)=0+1=1limt→+∞(−1t+1)=0+1=1 (livro-
base, p. 161) 
 D A(D)=eA(D)=e 
 E A(D)=e−1A(D)=e−1 
 
Questão 9/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte imagem: 
 
 
Fonte: imagem elaborada pelo autor da questão. 
 
Considerando o gráfico fornecido e os conteúdos estudados no livro-base Análise 
Matemática sobre Teoria da Integral, assinale a alternativa que contém a área da 
região compreendida entre o eixo xx e o gráfico da função f(x)=x+2f(x)=x+2 no 
intervalo limitado por x=0x=0 e x=2x=2. 
 
 
 
Nota: 0.0 
 A 2 
 B 3232 
 C 4 
 D 1414 
 E 6 
A área da região é dada 
por: A(D)=∫20(x+2)dx=(x22+2x)∣∣∣20=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6A(D)=∫02(x+2)dx=(x22+2x)|02=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6. (livro-base, p. 
156). 
 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências 
∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela 
converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo pode ser limitado (aberto, 
fechado ou semi-aberto), igual a RR ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159. 
Considere a expansão da série de 
potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!
+x33!+⋯(x∈R) 
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1. 
Nota: 10.0 
 A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯ 
 B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯ 
Você acertou! 
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório 
temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 
185). 
 C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯ 
 D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯ 
 E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯ 
Questão 1/10 - Análise Matemática 
Observe a seguinte informação: 
 Seja f:R→Rf:R→R uma função dada 
por:f(x)={ 2x+1,x≠1kx=1f(x)={ 2x+1,x≠1kx=1 
Considerando a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática 
sobre limite e continuidade, assinale a única alternativa correta. 
Nota: 0.0 
 A Se k=2k=2, então a função f(x)f(x) é contínua em x=1x=1. 
 B O limite lateral de f(x)f(x) quando xx tende a 1 pela direita é igual a 22. 
 C limx→1f(x)=5limx→1f(x)=5 
 D Se tivermos k=3k=3 então f(x)f(x) será contínua em x=1x=1. 
Temos que limx→1+f(x)=3limx→1+f(x)=3 e limx→1−f(x)=3limx→1−f(x)=3.Logo, limx→1f(x)=3limx→1f(x)=3. Portanto, se k=3k=3, f(x)f(x) será contínua 
em x=1x=1. (livro-base, p. 96). 
 E Se k=0k=0, então, f(x)f(x) é contínua em x=1x=1. 
 
 
Questão 2/10 - Análise Matemática 
Considere o trecho de texto a seguir: 
 
“As séries de funções mais importantes da Análise são as do tipo 
∑∞0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯∑0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+
⋯+an(x−x0)n+a1+⋯, (a0,a1,⋯∈R(a0,a1,⋯∈R são escalares)) que são chamadas 
séries de potências.” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 384.} 
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as 
afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as 
afirmativas falsas. 
 
I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0x0=0 isto é 
f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cn
xn+⋯ (C0,C1,⋯∈R(C0,C1,⋯∈R são escalares)). 
II. ( ) Podemos escrever exex como ex=∑∞0xnn!ex=∑0∞xnn! para x∈Rx∈R. 
III. ( ) Podemos escrever sin(x)sin⁡(x) como 
sin(x)=∑∞0(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1sin⁡(x)=∑0∞(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈Rx∈R. 
Agora marque a sequência correta: 
Nota: 0.0 
 A F – F – F 
 B F – V – V 
 C V – V – F 
 D V – F – V 
 E V – V – V 
A afirmativa I é verdadeira como consequência da série de Taylor (p.154). A afirmativa II é verdadeira pois a expansão de exex pode ser escrita desta 
maneira(p.185). A afirmativa III é verdadeira pois a expansão de sin(x)sin⁡(x) (livro-base p.153,154 e 185). 
 
Questão 3/10 - Análise Matemática 
Atente para a seguinte informação sobre topologia: 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma 
função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de 
estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, 
espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem 
sentido falar em limites e continuidades de funções”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada, 2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre os conceitos 
topológicos, assinale a alternativa que melhor define, de maneira informal, ponto de 
acumulação de um conjunto. 
Nota: 0.0 
 A É um ponto de um conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 
 B É um ponto do conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem a ele. 
 C É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 
 D É um ponto que é limite de uma sequência de elementos do conjunto. 
 E É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 
Definição de ponto de acumulação (livro-base, p. 89). 
 
Questão 4/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte citação: 
 
“Ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o limite considerado 
não existe ou que ele não pode ser calculado, mas que um estudo mais minucioso é 
necessário”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://e-
scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=88&Itemid=298>. Acesso em: 20 jun. 2017. 
 
Dado o seguinte limite: limx→12x−2x2−1limx→12x−2x2−1 
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática 
sobre limites, assinale a alternativa que fornece o valor do limite dado: 
Nota: 0.0 
 A −2−2 
 B 2 
 C ∞∞ 
 D 0 
 E 1 
Temos uma indeterminação do tipo 0000, então podemos usar a Regra de L’Hôpital: limx→12x−2x2−1=limx→122x=1limx→12x−2x2−1=limx→122x=1. Outra 
forma de calcular esse limite seria isolando no numerador a expressão (x−1)(x−1) e fatorando o denominador como (x+1)(x−1)(x+1)(x−1). 
(livro-base, p. 128). 
 
Questão 5/10 - Análise Matemática 
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma 
função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de 
estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, 
espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem 
sentido falar em limites e continuidades de funções”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada, 2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos 
topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal 
– que se relacionam a cada um dos elementos a seguir: 
 
1. Conjunto aberto 
2. Ponto interior 
3. Conjunto fechado 
4. Ponto de acumulação 
5. Conjunto compacto 
6. Ponto aderente 
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente 
dele. 
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto. 
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 
 
Agora marque a sequência correta: 
 
Nota: 0.0 
 A 6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1 
 B 4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3 
 C 2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3 
 D 6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5 
 E 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1 
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 2. Ponto 
interior – É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 3. Conjunto fechado – É um conjunto tal que todos os pontos aderentes 
pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 5. Conjunto compacto – É 
todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente – É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto” (livro-
base, Capítulo 3). 
 
Questão 6/10 - Análise Matemática 
Considere as funções f,g:R→Rf,g:R→R dadas por f(x)=exf(x)=ex 
e g(x)=3xg(x)=3x e seja a função composta (f∘g)(x)=e3x(f∘g)(x)=e3x. 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito das 
derivadas, podemos concluir que a derivada da função composta dada é: 
Nota: 0.0 
 A 
(f∘g)′(x)=3ex+2ex(f∘g)′(x)=3ex+2ex 
 B 
(f∘g)′(x)=3ex+2e2x(f∘g)′(x)=3ex+2e2x 
 C (f∘g)′(x)=e3x2+2(f∘g)′(x)=e3x2+2 
 D (f∘g)′(x)=3e3x(f∘g)′(x)=3e3x 
A alternativa correta é a letra d), pois temos que f′(x)=exf′(x)=ex e g′(x)=3g′(x)=3. Logo, pela Regra da Cadeia, temos 
que (f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)=3e3x(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)=3e3x 
 
(livro-base, p. 119-121). 
 E (f∘g)′(x)=(3x2)ex(f∘g)′(x)=(3x2)ex 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
“Escrevemos limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se SnSn se torna arbitrariamente 
grande à medida que nn cresce. Neste caso, dizemos que (Sn)(Sn) diverge para 
+∞+∞. Mais precisamente, limn→+∞Sn=+∞limn→+∞Sn=+∞ se, e somente se, para 
qualquer número cc, não importa o quão grande seja, existe um inteiro positivo 
n0n0 tal que quando n≥n0n≥n0, temos Sn>cSn>c”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
AYRES, Frank, MENDENSON ELLIOTT. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Bookman, 2013. 
p. 353. 
 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise 
Matemática sobre Sequências, assinale a alternativa que só contém sequências que 
divergem para +∞+∞: 
 
 
Nota: 0.0 
 A (1n), (√ n ), (2n)(1n), (n), (2n) 
 
 B (lnn), (n), (√ n )(ln⁡n), (n), (n) 
 
Dado um número c, temos que: (livro-base, p. 
60)lnn>c,∀n>ec (n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)√ n >c,∀n>c2 (n0=c2)ln⁡n>c,∀n>ec(n0=ec)n>c,∀n>c (n0=c)n>c,∀n>c2 (n0=c2) 
 C (2n+1), (ln2), (n)(2n+1), (ln⁡2), (n) 
 D (cos(n)), (n2), (lnn)(cos⁡(n)), (n2), (ln⁡n) 
 E (n√ n ), (sin(n)), (n)(nn), (sin⁡(n)), (n) 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir: 
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica 
segundo a qual nos referimos ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de 
‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados 
x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto xx 
ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta 
cujos extremos são os pontos aa e bb.” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162. 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas 
da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F 
para as afirmativas falsas. 
 
I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto 
X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2]. 
II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação. 
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto 
X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto 
X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
 
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
Nota: 0.0 
 A V-V-F-V 
 B F-F-V-V 
 C V-F-F-V 
 D V-F-V-F 
 E F-V-V-V 
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no 
conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de xx que não contém pontos de XX e 
para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, 
pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da 
sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-base, Capítulo 3). 
 
Questão 9/10 - Análise Matemática 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
“Sempre que falarmos em ‘número’ sem qualquer qualificação, entenderemos tratar-se 
de um número real. Como os números reais são representados por pontos de uma 
reta, através de suas abscissas, é costume usar a palavra ‘ponto’ em lugar de 
‘número’; assim, ‘ponto xx’ significa ‘número xx’”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
ÁVILA, G., Análise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 
2006. p. 140. 
 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, os pontos de um 
conjunto podem ser classificados de acordo com algumas propriedades. Enumere, na 
ordem sequencial, as propriedades que se relacionam a cada um dos pontos a seguir: 
 
1. Ponto interior do conjunto XX 
2. Ponto aderente ao conjunto XX 
3. Ponto de acumulação do conjunto XX 
4. Ponto isolado do conjunto XX 
 
( ) É um ponto x∈Xx∈X que não é ponto de acumulação de XX. 
( ) É um ponto x∈Xx∈X e que existe ε>0ε>0 tal que (x−ε,x+ε)⊂X(x−ε,x+ε)⊂X . 
( ) É um ponto xx tal que para todo ε>0ε>0 tem-
se (x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅. 
( ) É um ponto que é o limite de alguma sequência formada por pontos de XX. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 0.0 
 A 4-1-3-2 
A sequência correta é 4 – 1 – 3 – 2. Segundo o livro-base: “1. Ponto interior do conjunto XX – um ponto x∈Xx∈X é um ponto interior de XX quando 
existir ε>0ε>0 tal que o intervalo (x−ε,x+ε)(x−ε,x+ε) esteja contido no conjunto XX. 2. Ponto aderente ao conjunto – x∈Rx∈R é um ponto aderente 
de XX quando é limite de alguma sequência de elementos (xn)(xn) de XX. 3. Ponto de acumulação do conjunto X−x∈RX−x∈R é um ponto de acumulação do 
conjunto XX quando para todo ε>0ε>0 temos que (x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅. 4. Ponto isolado do conjunto XX – um ponto x∈Xx∈X é ponto 
isolado do conjunto XX quando xx não é ponto de acumulação de XX.” (livro-base, p.87-89). 
 B 1-3-2-4 
 C 2-4-1-3 
 D 4-3-1-2 
 E 2-1-3-4 
 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
Na definição de integral definida ∫baf(x)dx∫abf(x)dx, trabalhamos com uma 
função ff definida em um intervalo limitado [a,b][a,b] e presumimos que ff não 
tenha uma descontinuidade infinita. 
 Agora entenderemos o conceito de integral definida para o caso em que o 
intervalo é infinito e também para o caso onde ff tem uma descontinuidade 
infinita em [a,b][a,b]. Em ambos os casos, a integral é chamada integral 
imprópria. 
 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 470. 
 
Observe a imagem: 
 
 
 
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre 
Integrais impróprias, a área da região hachurada na figura é o valor da integral 
imprópria ∫+∞11x2dx∫1+∞1x2dx que corresponde a: 
Nota: 10.0 
 A A(D)=∞A(D)=∞ 
 B A(D)=2A(D)=2 
 C A(D)=1A(D)=1 
Você acertou! 
∫+∞11x2=limt→+∞∫t11x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))=∫1+∞1x2=limt→+∞∫1t1x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))= limt→+∞(−1t+1)=0+1=1limt→+∞(−1t+1)=0+1=1 (livro-
base, p. 161) 
 D A(D)=eA(D)=e 
 E A(D)=e−1A(D)=e−1 
Questão 1/10 - Análise Matemática 
Considere o seguinte excerto de texto: 
 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma 
função, o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de 
estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, 
espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem 
sentido falar em limites e continuidade de funções”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161. 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática os conjuntos podem ser 
classificados de acordo com algumas propriedades. Enumere, na ordem sequencial, 
as propriedades que se relacionam a cada um dos conjuntos a seguir: 
 
1. Conjunto aberto 
2. Conjunto fechado 
3. Conjunto compacto 
4. Conjunto enumerável 
5. Conjunto completo 
 
( ) Conjunto finito ou infinito que possui uma bijeção com o conjunto dos números 
naturais. 
( ) Conjunto XX que satisfaz X=¯¯̄̄̄XX=X¯, onde ¯¯̄̄̄XX¯ é o conjunto dos pontos 
aderentes de XX. 
( ) Conjunto XX que satisfaz X=X∘X=X∘, onde X∘X∘ é o conjunto dos pontos interiores 
de XX. 
( ) Conjunto XX tal que todo subconjunto não-vazio de XX que é limitado 
superiormente e possui supremo. 
( ) Conjunto que é fechado e limitado. 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 0.0 
 A 3-1-2-4-5 
 B 5-4-1-3-2 
 C 4-1-2-5-3 
 D 5-2-1-3-4 
 E 4-2-1-5-3 
A sequência correta é 4 – 2 – 1 – 5 – 3. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – quando todos seus pontos são pontos interiores, isto é, X=X∘X=X∘. 2. 
Conjunto fechado – quando todos os pontos aderentes pertencem ao conjunto, ou seja, verifica-se a igualdade X=¯¯̄̄̄XX=X¯. 3. Conjunto compacto – todo 
conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 4. Conjunto enumerável – todo conjunto finito ou infinito que possui bijeção com os naturais. 5. Conjunto 
completo – quando todo subconjunto não-vazio e limitado superiormente possui supremo” (livro-base, p.22-33 e p.87-89). 
 
Questão 2/10 - Análise Matemática 
Atente para a seguinte informação sobre topologia: 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma 
função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de 
estrutura, tornando-seo que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, 
espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem 
sentido falar em limites e continuidades de funções”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada, 2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre os conceitos 
topológicos, assinale a alternativa que melhor define, de maneira informal, ponto de 
acumulação de um conjunto. 
Nota: 10.0 
 A É um ponto de um conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 
 B É um ponto do conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem a ele. 
 C É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 
 D É um ponto que é limite de uma sequência de elementos do conjunto. 
 E É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 
Você acertou! 
Definição de ponto de acumulação (livro-base, p. 89). 
 
Questão 3/10 - Análise Matemática 
Considere o seguinte subconjunto do conjunto dos números reais: 
 
X={1,12,13,14,15,⋯1n,⋯}X={1,12,13,14,15,⋯1n,⋯} 
 
Levando em consideração o conjunto dado e os conteúdos estudados no livro-base 
Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e 
marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas. 
 
I. ( ) XX é um conjunto aberto. 
II. ( ) 00 é um ponto de acumulação do conjunto XX. 
III. ( ) XX é um conjunto limitado. 
IV. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto de aderência do conjunto XX. 
V. ( ) O conjunto XX é compacto. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 A V-V-V-F-F 
 B F-F-V-V-V 
 C F-V-V-V-F 
Você acertou! 
A alternativa que apresenta a sequencia correta é a letra c). A afirmativa I é falsa porque os pontos do conjunto XX não são interiores de XX. A afirmativa II é 
verdadeira porque dado ε>0ε>0 existe um natural n>1εn>1ε tal que 1ε∈(−ε,ε)∩X−{0}1ε∈(−ε,ε)∩X−{0}. A afirmativa III é verdadeira porque |x|≤1|x|≤1, para 
todo x∈Xx∈X. A afirmativa IV é verdadeira porque a sequencia constante (1)n∈N(1)n∈N converge para 1 e é formada por pontos do conjunto XX. A afirmativa 
V é falsa pois XX não é um conjunto fechado. De fato, 0 é um ponto de aderência do conjunto XX, mas 0 não pertence à XX. (livro-base, Capítulo 3). 
 D V-V-F-F-F 
 E F-V-V-V-V 
 
Questão 4/10 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar 
essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na 
composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como: 
A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de 
dentro vezes a derivada da função de dentro”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. 
Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta 
h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise 
Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a 
derivada da função composta dada. 
Nota: 10.0 
 A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) 
 B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x 
 C h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) 
Você acertou! 
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4). 
 D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 
 E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 
 
Questão 5/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte informação: 
 
“Se as funções contínuas f(x)f(x) e g(x)g(x) são zero em x=ax=a, então 
limx→af(x)g(x)limx→af(x)g(x) não pode ser encontrado com a substituição x=ax=a. 
A substituição gera 0000, uma expressão sem significado conhecida como uma forma 
indeterminada. [...] A Regra de l’Hôpital nos permite ter sucesso usando derivadas 
para calcular limites que, abordados de outra maneira, levam a formas 
indeterminadas”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FINNEY, R. L., WEIR, M. D., Giordano, F. R. Cálculo: George B. Thomas. 10. ed. São Paulo: Addison 
Wesley. v. I, 2002. p. 554. 
 
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática 
sobre a Regra de l’Hôpital, o limite da função 
limx→1x2−1x−1limx→1x2−1x−1 quando xx tende a 11 é: 
Nota: 0.0 
 A ee 
 B 1 
 C −∞−∞ 
 D +∞+∞ 
 E 2 
Usando a Regra de L'Hôspital temos: limx→1x2−1x−1=limx→12x1=2⋅11=2limx→1x2−1x−1=limx→12x1=2⋅11=2 (livro-base, p. 128). 
 
Questão 6/10 - Análise Matemática 
Considere o trecho de texto a seguir: 
 
“Quando ff é integrável, sua integral ∫baf(x)dx∫abf(x)dx é o número real cujas 
aproximações por falta são as somas superiores s(f,P)s(f,P) e cujas aproximações 
por excesso são as somas superiores S(f,P)S(f,P).” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 122. 
 
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as 
afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as 
afirmativas falsas. 
 
I. ( ) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo podemos deduzir que 
∫10x2dx=13∫01x2dx=13. 
II. ( ) Se uma integral é imprópria então ela não pode ser convergente. 
III. ( ) Toda função contínua é integrável. 
Agora marque a sequência correta: 
Nota: 0.0 
 A F – F – F 
 B F – V – V 
 C V – V – F 
 D V – F – V 
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo (p.156). A afirmativa II é falsa pois uma integral imprópria pode ser 
tanto convergente como divergente conforme a função e o intervalo considerado (p.161). A afirmativa III é verdadeira pois representa uma propriedade que 
tem recíproca falsa ou seja, uma função pode ser integrável e não ser contínua (livro-base p.143 e 144) 
 E V – V – V 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte imagem: 
 
 
Fonte: imagem elaborada pelo autor da questão. 
 
Considerando o gráfico fornecido e os conteúdos estudados no livro-base Análise 
Matemática sobre Teoria da Integral, assinale a alternativa que contém a área da 
região compreendida entre o eixo xx e o gráfico da função f(x)=x+2f(x)=x+2 no 
intervalo limitado por x=0x=0 e x=2x=2. 
 
 
 
Nota: 10.0 
 A 2 
 B 3232 
 C 4 
 D 1414 
 E 6 
Você acertou! 
A área da região é dada 
por: A(D)=∫20(x+2)dx=(x22+2x)∣∣∣20=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6A(D)=∫02(x+2)dx=(x22+2x)|02=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6. (livro-base, p. 
156). 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
Leia o seguinte fragmento de texto: 
 
“Diz-se que uma função ff, definida num intervalo aberto II, é derivável em 
x0∈Ix0∈I se existe e é finito o limite da razão incremental 
 
 f(x)−f(x0)x−x0f(x)−f(x0)x−x0 
com x→x0x→x0. Esse limite é, por definição, a derivada da função ff no ponto x0x0. 
Para indicar esse limite, usam-se as notações 
 
 f′(x0), (∂f)(x0) e dfdx(x0),f′(x0), (∂f)(x0) e dfdx(x
0), 
esta última sendo o quociente de diferenciais”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ÁVILA, G. Ánálise Matemática para Licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. p. 175-176. 
 
De acordo com o fragmento de texto dado e com os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática a respeito das derivadas de funções reais, analise as assertivas a seguir 
e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas. 
 
I. ( ) Uma função que é contínua em um ponto x0x0do seu domínio possui 
derivada neste ponto. 
II. ( ) Se duas funções f,g:I→Rf,g:I→R possuem derivada num ponto x0∈Ix0∈I, 
então a derivada da soma é igual à soma das derivadas. 
III. ( ) Uma função f:I→Rf:I→R possui derivada num ponto de acumulação x0x0 do 
seu domínio se, e somente se, existe e é finito o limite 
limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0. 
IV. ( ) Informalmente, o valor da derivada em um ponto x0x0 de uma curva indica a 
inclinação da reta tangente à curva em x0x0. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A V-F-V-F 
 B F-V-F-V 
 C V-V-V-F 
 D F-V-V-F 
 E F-V-V-V 
Você acertou! 
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra e). A afirmativa I é falsa, basta observar a função f(x)=|x|f(x)=|x|. Essa função é contínua 
em x=0x=0, porém, não é derivável em x=0x=0. A afirmativa II é verdadeira pela regra da soma. A afirmativa III é verdadeira, pois é a definição de derivada. A 
afirmativa IV é verdadeira, pois é a noção geométrica de derivada (livro-base, p. 112-121). 
 
Questão 9/10 - Análise Matemática 
Atente para a seguinte citação: 
 
“Aplicando a Regra de L’Hôpital 
Passo 1: Verifique que lim f(x)g(x)f(x)g(x) é uma forma indeterminada do tipo 0000. 
Passo 2: Diferencie separadamente ff e gg. 
Passo 3: Encontre o limite de f′(x)g′(x)f′(x)g′(x). Se esse limite for finito, +∞+∞ ou 
−∞−∞, então ele é igual ao limite de f(x)g(x)f(x)g(x)”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen; Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. I. p. 257. 
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática , podemos dizer que limx→2x2−4x−2limx→2x2−4x−2 é igual a: 
Nota: 10.0 
 A 1717 
 B 1212 
 
 
 C 4 
Você acertou! 
Temos , pela regra de L'Hôpital, que limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4 
 
 
Livro (p128 e p129). 
 D 8 
 E 1 
 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
Observe o gráfico da 
função f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x+1,x<10,x=13−x,x>1f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1 
 
 
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre 
Limite a continuidade, analise as afirmações a seguir e marque V para as afirmações 
verdadeiras e F para as afirmações falsas. 
 
I. ( ) limx→1+f(x)=2limx→1+f(x)=2 
 
II. ( ) limx→1f(x)=f(1)limx→1f(x)=f(1) 
 
III. ( ) ∄limx→1f(x)∄limx→1f(x) 
 
IV. ( ) limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2 
 
V. ( ) f(1)=0f(1)=0 
 
Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
Nota: 0.0 
 A F – F – V – F – V 
 B F – V – V – V – F 
 C V – F – F – F – V 
 D V – F – F – V – V 
A alternativa que contém a sequência correta é a letra d. A afirmativa I é verdadeira porque limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2. 
A afirmativa II é falsa porque limx→1+f(x)=2≠0=f(1)limx→1+f(x)=2≠0=f(1). A afirmativa III é falsa porque limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2. A afirmativa IV é 
verdadeira porque os limites laterais de ff quando xx tende a 1 são iguais a 2. A afirmativa V é verdadeira pela definição da função. (livro-base, p. 90-97). 
 E V – V – F – F – F 
Questão 1/10 - Análise Matemática 
Considere o seguinte excerto de texto: 
 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma 
função, o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de 
estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, 
espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem 
sentido falar em limites e continuidade de funções”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161. 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática os conjuntos podem ser 
classificados de acordo com algumas propriedades. Enumere, na ordem sequencial, 
as propriedades que se relacionam a cada um dos conjuntos a seguir: 
 
1. Conjunto aberto 
2. Conjunto fechado 
3. Conjunto compacto 
4. Conjunto enumerável 
5. Conjunto completo 
 
( ) Conjunto finito ou infinito que possui uma bijeção com o conjunto dos números 
naturais. 
( ) Conjunto XX que satisfaz X=¯¯̄̄̄XX=X¯, onde ¯¯̄̄̄XX¯ é o conjunto dos pontos 
aderentes de XX. 
( ) Conjunto XX que satisfaz X=X∘X=X∘, onde X∘X∘ é o conjunto dos pontos interiores 
de XX. 
( ) Conjunto XX tal que todo subconjunto não-vazio de XX que é limitado 
superiormente e possui supremo. 
( ) Conjunto que é fechado e limitado. 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A 3-1-2-4-5 
 B 5-4-1-3-2 
 C 4-1-2-5-3 
 D 5-2-1-3-4 
 E 4-2-1-5-3 
Você acertou! 
A sequência correta é 4 – 2 – 1 – 5 – 3. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – quando todos seus pontos são pontos interiores, isto é, X=X∘X=X∘. 2. 
Conjunto fechado – quando todos os pontos aderentes pertencem ao conjunto, ou seja, verifica-se a igualdade X=¯¯̄̄̄XX=X¯. 3. Conjunto compacto – todo 
conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 4. Conjunto enumerável – todo conjunto finito ou infinito que possui bijeção com os naturais. 5. Conjunto 
completo – quando todo subconjunto não-vazio e limitado superiormente possui supremo” (livro-base, p.22-33 e p.87-89). 
 
Questão 2/10 - Análise Matemática 
"Uma função ff é contínua em um número aa se limx→af(x)=f(a)limx→af(x)=f(a) 
 
1. f(a)f(a) está definida (isto é, aa está no domínio de ff) 
2. limx→af(x)limx→af(x) existe 
3. limx→af(x)=f(a)limx→af(x)=f(a) ". 
 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 109. 
 
 
 
Observe o gráfico da função f(x)f(x) definida no intervalo [−1,4][−1,4]: 
 
 
 
De acordo com a figura e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática 
sobre Limite e Continuidade, assinale a alternativa correta. 
Nota: 10.0 
 A O limite lateral de f(x)f(x) quando x tende a -1 pela direita é -2-2 
 B O limite lateral de f(x)f(x) quando x tende a 22 pela esquerda é 11. 
 C O limite de f(x)f(x) quando xx tende a 22 existe e vale zero. 
 D A função f(x)f(x) é contínua em x=2x=2. 
 E O limite lateral de f(x)f(x) quando xx tende a (−1)(−1) pela esquerda é 00. 
Você acertou! 
Pelo gráfico podemos ver que quando xx se aproxima de −1−1 pela esquerda o yy se aproxima de zero (livro-base, p. 96). 
 
Questão 3/10 - Análise Matemática 
Leia o seguinte fragmento de texto: 
 
“Diz-se que a sequência (xn)(xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é 
limitado, isto é, quando existem números reais aa e bb tais que 
a≤(xn)≤ba≤(xn)≤b para todo n∈Nn∈N”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 101. 
De acordo com estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática, 
assinale a afirmativa correta: 
Nota: 10.0 
 A A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N é divergente 
 B limsin(n)n=0limsin⁡(n)n=0 
 
Você acertou! 
A alternativa correta é a letra b), pois lim1n=0lim1n=0 e (sin(n))(sin⁡(n)) é uma sequência limitada. (livro-base, Capítulo 2) 
 C ∣∣sin(n)n∣∣≤12|sin⁡(n)n|≤12, para todo n∈Nn∈N 
 D limsin(n)n=1limsin⁡(n)n=1 
 E A sequência (sin(n)n)n∈N(sin⁡(n)n)n∈N é limitada. 
 
Questão 4/10 - Análise Matemática 
Leia o fragmento de texto a seguir: 
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica 
segundo a qual nos referimos ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de 
‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados 
x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto xx 
ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta 
cujos extremos são os pontos aa e bb.” 
 
Apósesta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162. 
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas 
da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F 
para as afirmativas falsas. 
 
I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto 
X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2]. 
II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação. 
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto 
X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto 
X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. 
 
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A V-V-F-V 
 B F-F-V-V 
 C V-F-F-V 
 D V-F-V-F 
 E F-V-V-V 
Você acertou! 
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no 
conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de xx que não contém pontos de XX e 
para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, 
pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da 
sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-base, Capítulo 3). 
 
Questão 5/10 - Análise Matemática 
Considere o trecho de texto a seguir: 
 
“Quando ff é integrável, sua integral ∫baf(x)dx∫abf(x)dx é o número real cujas 
aproximações por falta são as somas superiores s(f,P)s(f,P) e cujas aproximações 
por excesso são as somas superiores S(f,P)S(f,P).” 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 122. 
 
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as 
afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as 
afirmativas falsas. 
 
I. ( ) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo podemos deduzir que 
∫10x2dx=13∫01x2dx=13. 
II. ( ) Se uma integral é imprópria então ela não pode ser convergente. 
III. ( ) Toda função contínua é integrável. 
Agora marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A F – F – F 
 B F – V – V 
 C V – V – F 
 D V – F – V 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo (p.156). A afirmativa II é falsa pois uma integral imprópria pode ser 
tanto convergente como divergente conforme a função e o intervalo considerado (p.161). A afirmativa III é verdadeira pois representa uma propriedade que 
tem recíproca falsa ou seja, uma função pode ser integrável e não ser contínua (livro-base p.143 e 144) 
 E V – V – V 
 
Questão 6/10 - Análise Matemática 
Leia o seguinte fragmento de texto: 
 
“A função exponencial natural tem a propriedade de ser a sua própria derivada”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 164. 
 
De acordo com a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática 
sobre a função exponencial natural, pode-se dizer que a integral é ∫10exdx∫01exdx é 
equivalente a: 
Nota: 10.0 
 A ∫10exdx=0∫01exdx=0 
 B ∫10exdx=1−e2∫01exdx=1−e2 
 C ∫10exdx=1−2e∫01exdx=1−2e 
 D 
∫10exdx=e−1∫01exdx=e−1 
 
 
Você acertou! 
A primitiva da função exponencial natural é a própria função. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, tem-se: 
 
∫10exdx=ex|10=(e1−e0)=e−1∫01exdx=ex|01=(e1−e0)=e−1 
 
(livro p.155) 
 E ∫10exdx=1+e∫01exdx=1+e 
 
Questão 7/10 - Análise Matemática 
Observe a seguir o gráfico da função f:X→Rf:X→R, dada por 
f(x)=x−1x2−4f(x)=x−1x2−4, onde X=R−{−2,2}X=R−{−2,2}: 
 
 
 
 
Observando o gráfico da função acima e considerando os conteúdos do livro-base 
Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. Para todo ε>0ε>0, é possível encontrar δ>0δ>0 tal que x∈Xx∈X 
e 0<|x−3|<δ0<|x−3|<δ impliquem ∣∣∣f(x)−145∣∣∣<ε|f(x)−145|<ε. 
II. limx→∞f(x)=+∞limx→∞f(x)=+∞ 
III. Podemos dizer que quando xx se aproxima de 22 a função f(x)f(x) tende 
a +∞+∞. 
IV. limx→−2+f(x)=+∞limx→−2+f(x)=+∞ 
V. Podemos dizer que quando o valor de xx decresce demasiadamente, o valor da 
função f(x)f(x) não está definido. 
 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 A I, II e V 
 B I, II e IV 
Você acertou! 
As afirmativas I, II e IV são corretas. A afirmativa I é correta porque a função é contínua em x=3x=3 e f(3)=145f(3)=145. A afirmativa II é correta porque 
dado M>0M>0 sempre podemos encontrar N>0N>0 tal que x>Nx>N implique f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa III é incorreta porque a função tende a infinito 
quando xx se aproxima de −2−2 pela direita, porém, pela esquerda a função tende à −∞−∞. A afirmativa IV é correta porque dado M>0M>0 existe δ>0δ>0 tal 
que x−(−2)>0x−(−2)>0e x−(−2)<δx−(−2)<δ implica que f(x)>Mf(x)>M. A afirmativa V está incorreta porque o valor de f(x)f(x) está definido para qualquer 
valor diferente de 22 e −2−2. (livro-base, Capítulo 3). 
 C II e IV 
 D III, IV e V 
 E I, III e IV 
 
Questão 8/10 - Análise Matemática 
Considere o trecho de texto a seguir: 
 “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números reais, ou seja, se 
realmente se conhece algum exemplo de corpo ordenado completo. Em outras 
palavras: partindo dos números naturais (digamos, apresentados através dos axiomas 
de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de número, 
chegar à construção dos números reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de 
várias maneiras. A passagem crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir 
o método dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para citar apenas 
os dois mais populares”. 
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional 
de Matemática Pura e Aplicada, 2013. v. 1. p. 60. 
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as 
afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as 
afirmativas falsas. 
 
 I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos números racionais 
dá a esse conjunto a propriedade de seus elementos possuírem um inverso 
multiplicativo, exceto ao elemento neutro da adição. 
 II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do conjunto dos números 
racionais com algumas propriedades. 
 III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1}Xα={x∈Q∣x2<1} é um corte de Dedekind. 
 IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos números naturais, 
partindo de um conjunto denominado NN e uma função denominada de função 
sucessor. 
 
 
Agora marque a sequência correta: 
Nota: 10.0 
 A a) F – V – V – V 
 B b) V – F – F – V 
 C c) F – V – F – V 
 D d) V – F – V – V 
 E e) V – V – F – V 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira pois, se x∈Qx∈Q, então x=¯¯̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄(a,b) a,b∈Z,b≠0x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0. Se a≠0a≠0, então, xx não é o elemento neutro da adição 
e y=¯¯̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄(b,a)∈Qy=(b,a)¯∈Q. Temos que ¯¯̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄(a,b)⋅¯¯̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄(b,a)=¯¯̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄(ab,ba)=¯¯̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄(ab,ab)=¯¯̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄(1,1)(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯. Como ¯¯̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄(1,1)(1,1)¯ é o elemento neutro 
da multiplicação, temos que y=x−1y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, pois se XαXα é um corte de Dedekind, então Xα⊂QXα⊂Q e Xα≠QXα≠Q por definição. A 
afirmativa III é falsa porque XαXα não contém todos os pontos menores que seus pontos. Basta ver que, por exemplo, 0∈Xα,−2<00∈Xα,−2<0, 
mas −2∉Xα−2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira por definição. (livro-base, capítulo 1).Questão 9/10 - Análise Matemática 
Atente para a seguinte citação: 
 
“Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu 
conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como 
sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante 
reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico 
num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o 
‘Problema da Tangente’”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php>. Acesso em: 20 jun. 2017. 
 
De acordo com as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise 
Matemática sobre Derivadas, sendo 
f′(x0)=limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0f′(x0)=limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0, assinale a 
alternativa que contém o limite que devemos calcular para encontrar a derivada da 
função f(x)=x2−1f(x)=x2−1 no ponto x=2x=2: 
Nota: 10.0 
 A limx→2(x2−1)±5x−2limx→2(x2−1)±5x−2 
 B limx→2(x2−1)−3x−2limx→2(x2−1)−3x−2 
 
Você acertou! 
Como f(2)=3f(2)=3 e f′(2)=limx→2f(x)−f(2)x−2f′(2)=limx→2f(x)−f(2)x−2 quando esse limite existir, então, limx→2(x2−1)−3x−2limx→2(x2−1)−3x−2 
 C limx→0(x2−1)−2x−2limx→0(x2−1)−2x−2 
 D limx→2(x2−1)x−2limx→2(x2−1)x−2 
 E limx→0(x2−1)xlimx→0(x2−1)x 
 
Questão 10/10 - Análise Matemática 
Considere a seguinte informação: 
 
“Se as funções contínuas f(x)f(x) e g(x)g(x) são zero em x=ax=a, então 
limx→af(x)g(x)limx→af(x)g(x) não pode ser encontrado com a substituição x=ax=a. 
A substituição gera 0000, uma expressão sem significado conhecida como uma forma 
indeterminada. [...] A Regra de l’Hôpital nos permite ter sucesso usando derivadas 
para calcular limites que, abordados de outra maneira, levam a formas 
indeterminadas”. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FINNEY, R. L., WEIR, M. D., Giordano, F. R. Cálculo: George B. Thomas. 10. ed. São Paulo: Addison 
Wesley. v. I, 2002. p. 554. 
 
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática 
sobre a Regra de l’Hôpital, o limite da função 
limx→1x2−1x−1limx→1x2−1x−1 quando xx tende a 11 é: 
Nota: 10.0 
 A ee 
 B 1 
 C −∞−∞ 
 D +∞+∞ 
 E 2 
Você acertou! 
Usando a Regra de L'Hôspital temos: limx→1x2−1x−1=limx→12x1=2⋅11=2limx→1x2−1x−1=limx→12x1=2⋅11=2 (livro-base, p. 128).