Análise Matemática APOLS

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y
−1
x
0
(−1)
x
f(x)
x=2
f(x)
2
x
f(x)
1
2
f(x)
-2
f(x)
[−1,4]
f(x)
limx→af(x)=f(a)
limx→af(x)
f
a
f(a)
limx→af(x)=f(a)
a
f
X
x
X
x∈X
X
(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅
ε>0
X
X−x∈R
X
(xn)
X
x∈R
X
(x−ε,x+ε)
ε>0
X
x∈X
X
X
(x−ε,x+ε)∩(X−{x})≠∅
ε>0
x
(x−ε,x+ε)⊂X
ε>0
x∈X
X
x∈X
X
X
X
X
x
x
A(D)=e−1
A(D)=e
limt→+∞(−1t+1)=0+1=1
∫1+∞1x2=limt→+∞∫1t1x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))=
A(D)=1
A(D)=2
A(D)=∞
∫1+∞1x2dx
[a,b]
f
f
[a,b]
f
∫abf(x)dx
lim12n=0
|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε
n>n0
12n0<ε
n0>log2⁡1ε
n0∈N
ε>0
−∞
∞
12
(12n)n∈N
a
a
xn
xn→a
a=limn→∞xn
a=limn∈Nxn
a=limxn
a=limn∈Nxn
|xn−a|<ε
n>n0
n
n0∈N
ε>0
(xn)
a
(x+1)(x−1)
(x−1)
limx→12x−2x2−1=limx→122x=1
00
∞
−2
limx→12x−2x2−1
x
f
limx→1f(x)=2
limx→1+f(x)=2≠0=f(1)
limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2
f(1)=0
limx→1f(x)=2
∄limx→1f(x)
limx→1f(x)=f(1)
limx→1+f(x)=2
f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1
limx→x0f(x)g(x)=L1L2
L2≠0
limx→x0g(x)=L2
limx→x0f(x)=L1
g:X→R
f:X→R
limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73
limx→2g(x)=3
limx→2f(x)=7
g(x):x+1
f(x)=3x+1
g:R−{2}→R
f
limx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)k
f(x):X→R
limx→x0f(x)g(x)=L1+L2
limx→x0g(x)=L1
limx→x0f(x)=L1
g:X→R
f:X→R
L1≠L2
limx→x0f(x)=L2
limx→x0f(x)=L1
x0∈X′
f:X→R
1
limx→2(x+3)
f(x)=x+3
f:R−{2}→R
a
x∈X
L
f(x)
limx→af(x)=L
f(1)=
x
limx→3f(x)=5≠f(3)
limx→5−f(x)=5=limx→5+f(x)
f(1)=3
x=1
f
limx→1+f(x)=5.
x=3
f
limx→3f(x)=5
f:R→R
x=1
f(x)
k=0
x=1
f(x)
k=3
limx→1f(x)=3
limx→1−f(x)=3
limx→1+f(x)=3
x=1
f(x)
k=3
limx→1f(x)=5
2
x
f(x)
x=1
f(x)
k=2
f(x)={ 2x+1,x≠1kx=1
f:R→R
n>2
S=1+3+5+7+9=25=52
5
S=1+3=4=22
n=2
1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)
n2, n≥1
n
X=X¯
X=X∘
X
X
X
X∘
X=X∘
X
X
X¯
X=X¯
X
∑n=1∞n
∑n=1∞n2
∑n=1∞n3
∑n=1∞1n3
∑n=1∞1n2
∑n=1∞1n
∑n=1∞(−1)nn
|p|=12<1
∑n=1∞12n+1
p=2>1
∑n=1∞1n2
∑n=1∞(−1)nn
∑n=1∞12n+1
∑n=1∞1n2
∑n=1∞1n
∑n=1∞2n+1
∑n=1∞1n2
∑n=1∞n
∑n=1∞1n2
∑n=1∞1n
∑n=1∞an=limn→∞∑i=1nai
s
∑n=1∞an=s
limx→0(x2−1)x
limx→2(x2−1)x−2
limx→0(x2−1)−2x−2
limx→2(x2−1)−3x−2
f′(2)=limx→2f(x)−f(2)x−2
f(2)=3
limx→2(x2−1)−3x−2
limx→2(x2−1)±5x−2
x=2
f(x)=x2−1
f′(x0)=limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0
∑n=0∞(12)n=11−12=112=2
r=12
|r|≥1
Sn
|r|≥1
∑n=0∞(12)n=2
|r|≥1
1−rn+11−r
Sn=1+r+r2+⋯+rn
r∈R
(rn)
∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯
y=−x+4
y=−x+3
y=2x−1
(y−1)=2(x−1)
y=f(1)=1
x=1
f′(1)=2
f′(x)=2x
y=2x–1
y=3x–32
y=−2x+1
x=1
f(x)
x=1
f(x)=x2
X
f(x)>M
0<x−(−1)<δ
δ>0
M>0
f(x)>M
0<|1−x|<δ
x∈X
δ>0
M>0
limx→+∞f(x)=0
f(2)=0
x=2
X
x
f(x)
limx→−1+f(x)=+∞
+∞
f(x)
1
x
limx→∞f(x)=+∞
|f(x)|<ε
0<|x−2|<δ
x∈X
δ>0
ε>0
f(x)=x−2x2−1
X=R−{−1,1}
f(x)=x−2x2−1
f:X→R
limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4
12
17
limx→2x2−4x−2
f(x)g(x)
−∞
+∞
f′(x)g′(x)
g
f
00
f(x)g(x)
lim12n=0
|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε
n>n0
12n0<ε
n0>log2⁡1ε
n0∈N
ε>0
−∞
∞
12
(12n)n∈N
a
a
xn
xn→a
a=limn→∞xn
a=limn∈Nxn
a=limxn
a=limn∈Nxn
|xn−a|<ε
n>n0
n
n0∈N
ε>0
(xn)
a
a
(xn)
ε>0
n0∈N
n
n>n0
|xn−a|<ε
a=limn∈Nxn
a=limxn
a=limn∈Nxn
a=limn→∞xn
xn→a
xn
a
a
(12n)n∈N
12
∞
−∞
ε>0
n0∈N
n0>log2⁡1ε
12n0<ε
n>n0
|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε
lim12n=0
n
n2, n≥1
1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)
n=2
S=1+3=4=22
5
S=1+3+5+7+9=25=52
n>2
X=(−2,2 )
X
X
X
X
X
X
R>0
R=3
|x|<3
x∈X
X
X
x=2
X
N
N
ε
N
ε
x
fn
ε
x
(fn)
fn:[a,b]→R
f:[a,b]→R
fn
f
f:R→R
f(x)={x2+1, x≤12x, x>1
x=1
f
x=1
f
x=1
f
x=1
f
limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)
limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)
f
x=1
limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2
limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2
f
x=1
f′(1)=2
x=1
f
(xn)
a
b
a≤(xn)≤b
n∈N
(sin⁡(n)n)n∈N
limsin⁡(n)n=0
lim1n=0
(sin⁡(n))
|sin⁡(n)n|≤12
n∈N
limsin⁡(n)n=1
(sin⁡(n)n)n∈N
Xα={x∈Q∣x2<1}
N
x∈Q
x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0
a≠0
x
y=(b,a)¯∈Q
(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯
(1,1)¯
y=x−1
Xα
Xα⊂Q
Xα≠Q
Xα
0∈Xα,−2<0
−2∉Xα
f
∫abf(x)dx
s(f,P)
S(f,P)
∫01x2dx=13
a≥b
N∪{0}XN∪{0}
f:[c,d]→R
a∈[c,d]
a∈(c,d)
a
a
a
f+′(x0)
f−′(x0)
x0
x0
x0
x0
x0
f
g
a
(xn)
ε>0
n0∈N
n
n>n0
|xn−a|<ε
a=limn∈Nxn
a=limxn
a=limn∈Nxn
a=limn→∞xn
xn→a
xn
a
a
(12n)n∈N
12
∞
−∞
ε>0
n0∈N
n0>log2⁡1ε
12n0<ε
n>n0
|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε
lim12n=0
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)
(fg(x))
(f(g(x))
f(x)=ex
g(x)=x2+2
h(x)=f(g(x))=e(x2+2)
h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
h′(x)=2x⋅e(x2+2)
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)
h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1
h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1
X=(−2,2 )
X
X
X
X
X
X
R>0
R=3
|x|<3
x∈X
X
X
x=2
X
f(x)
f(x)
(a,b)
f
x0
F
x0
(a,b)
x
a≥b
N∪{0}XN∪{0}
R
a<b
a
b
x,y∈R
|x−y|
x
y
[a,b]
a
b
x=1
X={1}∪[32 , 2]
X={n | n∈N}
x=0
X={12 | n∈N}
x=0
X={12 | n∈N}
x=1
X
x∈R
x∉X
x
X
x∈X
x
x
X
(1n)
X
A={1,2,3,4}
R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
(x,x)∈R,∀x∈A
(x,y)
R
(y,x)
R
(x,y)
(y,z)
(x,z)
R
R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
R={(2,1),(3,1)}
R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
f(x)=(1+1x)x
f(x)=(1+1x)x
limx→∞f(x)=∞
limx→−∞f(x)=−∞
limx→∞f(x)=e
limx→−∞f(x)=−∞
limx→0+f(x)=1
limx→0−f(x)=∞
limx→0+f(x)=−∞
limx→0−f(x)=∞
limx→0+f(x)=1
limx→∞f(x)=e
limx→∞f(x)=e
limx→−∞f(x)=e
limx→−∞f(x)=e
limx→0+f(x)=1
(xn)
a
b
a≤(xn)≤b
n∈N
(sin⁡(n)n)n∈N
limsin⁡(n)n=0
lim1n=0
(sin⁡(n))
|sin⁡(n)n|≤12
n∈N
limsin⁡(n)n=1
(sin⁡(n)n)n∈N
nϵN
a
(xn)
ε>0
n0∈N
n
n>n0
|xn−a|<ε
a=limn∈Nxn
a=limxn
a=limn∈Nxn
a=limn→∞xn
xn→a
xn
a
a
(12n)n∈N
12
∞
−∞
ε>0
n0∈N
n0>log2⁡1ε
12n0<ε
n>n0
|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε
lim12n=0
A={1,2,3,4}
R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
(x,x)∈R,∀x∈A
(x,y)
R
(y,x)
R
(x,y)
(y,z)
(x,z)
R
R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
R={(2,1),(3,1)}
R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯
(rn)
r∈R
Sn=1+r+r2+⋯+rn
1−rn+11−r
|r|≥1
∑n=0∞(12)n=2
|r|≥1
Sn
|r|≥1
r=12
∑n=0∞(12)n=11−12=112=2
limx→af(x)=L
f(x)
L
x∈X
a
f:R−{2}→R
f(x)=x+3
limx→2(x+3)
1
f:X→R
x0∈X′
limx→x0f(x)=L1
limx→x0f(x)=L2
L1≠L2
f:X→R
g:X→R
limx→x0f(x)=L1
limx→x0g(x)=L1
limx→x0f(x)g(x)=L1+L2
f(x):X→R
limx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)k
f
g:R−{2}→R
f(x)=3x+1
g(x):x+1
limx→2f(x)=7
limx→2g(x)=3
limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73
f:X→R
g:X→R
limx→x0f(x)=L1
limx→x0g(x)=L2
L2≠0
limx→x0f(x)g(x)=L1L2
∑n∞an(x−x0)n
x
x0
R
ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯
e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯
e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯
e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯
n
n2, n≥1
1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)
n=2
S=1+3=4=22
5
S=1+3+5+7+9=25=52
n>2
N
N
ε
N
ε
x
fn
ε
x
(fn)
fn:[a,b]→R
f:[a,b]→R
fn
f
f(x)=(1+1x)x
f(x)=(1+1x)x
limx→∞f(x)=∞
limx→−∞f(x)=−∞
limx→∞f(x)=e
limx→−∞f(x)=−∞
limx→0+f(x)=1
limx→0−f(x)=∞
limx→0+f(x)=−∞
limx→0−f(x)=∞
limx→0+f(x)=1
limx→∞f(x)=e
limx→∞f(x)=e
limx→−∞f(x)=e
limx→−∞f(x)=e
limx→0+f(x)=1
X=(−2,2 )
X
X
X
X
X
X
R>0
R=3
|x|<3
x∈X
X
X
x=2
X
Xα={x∈Q∣x2<1}
N
x∈Q
x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0
a≠0
x
y=(b,a)¯∈Q
(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯
(1,1)¯
y=x−1
Xα
Xα⊂Q
Xα≠Q
Xα
0∈Xα,−2<0
−2∉Xα
∑n∞an(x−x0)n
x
x0
R
ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯
e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯
e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯
e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯
f:X→R
a∈X
q(x)=f(x)−f(a)x−a
x≠a
q:X−{a}→R
q(x)
(a,f(a))
(x,f(x))
f
x
X→R
X
x
X
X⊂R
f:X→R
x0
X
X
f
x0
f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
f′(x0)
f
x0
∑1∞32k41−k
94
34
∑1∞32k41−k=∑1∞9k4k−1=∑1∞9(94)k−1
r=94>1
43
f(x)=(1+1x)x
f(x)=(1+1x)x
limx→∞f(x)=∞
limx→−∞f(x)=−∞
limx→∞f(x)=e
limx→−∞f(x)=−∞
limx→0+f(x)=1
limx→0−f(x)=∞
limx→0+f(x)=−∞
limx→0−f(x)=∞
limx→0+f(x)=1
limx→∞f(x)=e
limx→∞f(x)=e
limx→−∞f(x)=e
limx→−∞f(x)=e
limx→0+f(x)=1
nϵN
R
a<b
a
b
x,y∈R
|x−y|
x
y
[a,b]a
b
x=1
X={1}∪[32 , 2]
X={n | n∈N}
x=0
X={12 | n∈N}
x=0
X={12 | n∈N}
x=1
X
x∈R
x∉X
x
X
x∈X
x
x
X
(1n)
X
f:R→R
f(x)={x2+1, x≤12x, x>1
x=1
f
x=1
f
x=1
f
x=1
f
limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)
limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)
f
x=1
limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2
limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2
f
x=1
f′(1)=2
x=1
f
∑0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯
(a0,a1,⋯∈R
)
x0=0
f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯
(C0,C1,⋯∈R
)
ex
ex=∑0∞xnn!
x∈R
sin⁡(x)
sin⁡(x)=∑0∞(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1
x∈R
ex
sin⁡(x)
nϵN
Xα={x∈Q∣x2<1}
N
x∈Q
x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0
a≠0
x
y=(b,a)¯∈Q
(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯
(1,1)¯
y=x−1
Xα
Xα⊂Q
Xα≠Q
Xα
0∈Xα,−2<0
−2∉Xα
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)
(fg(x))
(f(g(x))
f(x)=ex
g(x)=x2+2
h(x)=f(g(x))=e(x2+2)
h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
h′(x)=2x⋅e(x2+2)
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)
h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1
h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1
∑1∞32k41−k
94
34
∑1∞32k41−k=∑1∞9k4k−1=∑1∞9(94)k−1
r=94>1
43
(xn)
a
b
a≤(xn)≤b
n∈N
(sin⁡(n)n)n∈N
limsin⁡(n)n=0
lim1n=0
(sin⁡(n))
|sin⁡(n)n|≤12
n∈N
limsin⁡(n)n=1
(sin⁡(n)n)n∈N
X=(−2,2 )
X
X
X
X
X
X
R>0
R=3
|x|<3
x∈X
X
X
x=2
X
∑n∞an(x−x0)n
x
x0
R
ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯
e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
e=∑n=0∞1n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯
e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯
e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯
n
n2, n≥1
1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)
n=2
S=1+3=4=22
5
S=1+3+5+7+9=25=52
n>2
∑0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯
(a0,a1,⋯∈R
)
x0=0
f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯
(C0,C1,⋯∈R
)
ex
ex=∑0∞xnn!
x∈R
sin⁡(x)
sin⁡(x)=∑0∞(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1
x∈R
ex
sin⁡(x)
f:X→R
a∈X
q(x)=f(x)−f(a)x−a
x≠a
q:X−{a}→R
q(x)
(a,f(a))
(x,f(x))
f
x
X→R
X
x
X
X⊂R
f:X→R
x0
X
X
f
x0
f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
f′(x0)
f
x0
∫01exdx
∫01exdx=0
∫01exdx=1−e2
∫01exdx=1−2e
∫01exdx=e−1
∫01exdx=ex|01=(e1−e0)=e−1
∫01exdx=1+e
A={1,2,3,4}
R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
(x,x)∈R,∀x∈A
(x,y)
R
(y,x)
R
(x,y)
(y,z)
(x,z)
R
R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
R={(2,1),(3,1)}
R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
f:R→R
f(x)={ 2x+1,x≠1kx=1
k=2
f(x)
x=1
f(x)
x
2
limx→1f(x)=5
k=3
f(x)
x=1
limx→1+f(x)=3
limx→1−f(x)=3
limx→1f(x)=3
k=3
f(x)
x=1
k=0
f(x)
x=1
f
a
limx→af(x)=f(a)
f(a)
a
f
limx→af(x)
limx→af(x)=f(a)
f(x)
[−1,4]
f(x)
-2
f(x)
2
1
f(x)
x
2
f(x)
x=2
f(x)
x
(−1)
0
x
−1
y
(xn)
a
b
a≤(xn)≤b
n∈N
(sin⁡(n)n)n∈N
limsin⁡(n)n=0
lim1n=0
(sin⁡(n))
|sin⁡(n)n|≤12
n∈N
limsin⁡(n)n=1
(sin⁡(n)n)n∈N
f(x)=x2
x=1
f(x)
x=1
y=−2x+1
y=3x–32
y=2x–1
f′(x)=2x
f′(1)=2
x=1
y=f(1)=1
(y−1)=2(x−1)
y=2x−1
y=−x+3
y=−x+4
f(x)={3x,x<1x+2x≥1
f′(1−)=3
f′(1+)=1
f′(1−)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−3x−3x−1=3
f′(1+)=limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+x+2−3x−1=1
f
x=1
∑0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯
(a0,a1,⋯∈R
)
x0=0
f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯
(C0,C1,⋯∈R
)
ex
ex=∑0∞xnn!
x∈R
sin⁡(x)
sin⁡(x)=∑0∞(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1
x∈R
ex
sin⁡(x)
A={1,2,3,4,5}
R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}
(x,x)∈R, ∀x∈A
(x,y)
R
(y,x)
R
(x,y)
(y,z)
(x,z)
R
R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5)}
R={(2,2),(3,3)}
R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(2,4)}
R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4)}
f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1
limx→1+f(x)=2
limx→1f(x)=f(1)
∄limx→1f(x)
limx→1f(x)=2
f(1)=0
limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2
limx→1+f(x)=2≠0=f(1)
limx→1f(x)=2
f
x
∫abf(x)dx
f
[a,b]
f
f
[a,b]
∫1+∞1x2dx
A(D)=∞
A(D)=2
A(D)=1
∫1+∞1x2=limt→+∞∫1t1x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))=
limt→+∞(−1t+1)=0+1=1
A(D)=e
A(D)=e−1
∫01exdx
∫01exdx=0
∫01exdx=1−e2
∫01exdx=1−2e
∫01exdx=e−1
∫01exdx=ex|01=(e1−e0)=e−1
∫01exdx=1+e
f,g:R→R
f(x)=ex
g(x)=3x
(f∘g)(x)=e3x
(f∘g)′(x)=3ex+2ex
(f∘g)′(x)=3ex+2e2x
(f∘g)′(x)=e3x2+2
(f∘g)′(x)=3e3x
f′(x)=ex
g′(x)=3
(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)=3e3x
(f∘g)′(x)=(3x2)ex
nϵN
f:X→R
f(x)=x−2x2−1
X=R−{−1,1}
f(x)=x−2x2−1
ε>0
δ>0
x∈X
0<|x−2|<δ
|f(x)|<ε
limx→∞f(x)=+∞
x
1
f(x)
+∞
limx→−1+f(x)=+∞
f(x)
x
X
x=2
f(2)=0
limx→+∞f(x)=0
M>0
δ>0
x∈X
0<|1−x|<δ
f(x)>M
M>0
δ>0
0<x−(−1)<δ
f(x)>M
X
X={1,12,13,14,15,⋯1n,⋯}
X
0
X
X
x=1
X
X
X
X
ε>0
n>1ε
1ε∈(−ε,ε)∩X−{0}
|x|≤1
x∈X
(1)n∈N
X
X
X
X
f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1
limx→1+f(x)=2
limx→1f(x)=f(1)
∄limx→1f(x)
limx→1f(x)=2
f(1)=0
limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2
limx→1+f(x)=2≠0=f(1)
limx→1f(x)=2
f
x
limx→12x−2x2−1
−2
∞
00
limx→12x−2x2−1=limx→122x=1
(x−1)
(x+1)(x−1)
f:R→R
limx→3f(x)=5
f
x=3
limx→1+f(x)=5.
f
x=1
f(1)=3
limx→5−f(x)=5=limx→5+f(x)
limx→3f(x)=5≠f(3)
x
f(1)=
∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯
(rn)
r∈R
Sn=1+r+r2+⋯+rn
1−rn+11−r
|r|≥1
∑n=0∞(12)n=2
|r|≥1
Sn
|r|≥1
r=12
∑n=0∞(12)n=11−12=112=2
f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1
limx→1+f(x)=2
limx→1f(x)=f(1)
∄limx→1f(x)
limx→1f(x)=2
f(1)=0
limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2
limx→1+f(x)=2≠0=f(1)
limx→1f(x)=2
f
x
f
I
x0∈I
f(x)−f(x0)x−x0
x→x0
f
x0
f′(x0),   (∂f)(x0)  e  dfdx(x0),
x0
f,g:I→R
x0∈I
f:I→R
x0
limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0
x0
x0
f(x)=|x|
x=0
x=0
f:R→R
f(x)=3x+1
f
limx→2f(x)=f(2)=3⋅2+1=7
ε>0
δ=ε3
0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε
|f(x)−7|=|3x+1−7|=|3x−6|=3|x−2|.
δ=ε3
0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε
ε>0
δ=ε2
0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε
ε>0
δ=ε3
0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε
ε>0
δ=ε2
0<|x−7|<δ⇒|f(x)−2|<ε
ε>0
δ=3ε
0<|x−2|<δ⇒|f(x)−7|<ε
x
f(x)=x+2
x=0
x=2
32
14
A(D)=∫02(x+2)dx=(x22+2x)|02=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6
f(x)g(x)
00
f
g
f′(x)g′(x)
+∞
−∞
f(x)g(x)
limx→2x2−4x−2
17
12
limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4
f
a
limx→af(x)=f(a)
f(a)
a
f
limx→af(x)
limx→af(x)=f(a)
f(x)
[−1,4]
f(x)
-2
f(x)
2
1
f(x)
x
2
f(x)
x=2
f(x)
x
(−1)
0
x
−1
y
∑n=1∞an=s
s
∑n=1∞an=limn→∞∑i=1nai
∑n=1∞1n
∑n=1∞1n2
∑n=1∞n
∑n=1∞1n2
∑n=1∞2n+1
∑n=1∞1n
∑n=1∞1n2
∑n=1∞12n+1
∑n=1∞(−1)nn
∑n=1∞1n2
p=2>1
∑n=1∞12n+1
|p|=12<1
∑n=1∞(−1)nn
∑n=1∞1n
∑n=1∞1n2
∑n=1∞1n3
∑n=1∞n3
∑n=1∞n2
∑n=1∞n
∫abf(x)dx
f
[a,b]
f
f
[a,b]
∫1+∞1x2dx
A(D)=∞
A(D)=2
A(D)=1
∫1+∞1x2=limt→+∞∫1t1x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))=
limt→+∞(−1t+1)=0+1=1
A(D)=e
A(D)=e−1
f:R→R
f(x)={x2+1, x≤12x, x>1
x=1
f
x=1
f
x=1
f
x=1
f
limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)
limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)
f
x=1
limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2
limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2
f
x=1
f′(1)=2
x=1
f
Questão 1/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real a é limite da sequência (xn) quando, para todo número real ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈N tal que todos os termos xn com índice n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxn, a=limn→∞xn ou xn→a. Esta última expressão lê-se ‘xn  tende para a’ ou ‘converge para a’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 10.0
	
	A
	12
	
	B
	∞
	
	C
	−∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Dado ε>0, escolhemos n0∈N tal que n0>log21ε, isto é, 12n0<ε. Assim, se n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 2/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos n primeiros números ímpares é n2, n≥1.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0),
se tivermos dois ímpares n=2 a soma será S=1+3=4=22 e se tivermos
5 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1).
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 3/10 - Análise Matemática
Observe o intervalo X=(−√2,√2 ) representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) X é um conjunto aberto.
II.  ( ) X é um conjunto limitado.
III. ( ) X  é um conjunto compacto.
IV.  ( ) X é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto X é ponto interior de X. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0, por exemplo, R=3 tal que |x|<3 para todo x∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto X não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto X não é aberto, por exemplo, x=√2 pertence ao complementar de X, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91).
	
	B
	V-V-V-F
	
	C
	F-F-V-V
	
	D
	F-V-F-F
	
	E
	V-F-V-F
Questão 4/10 - Análise Matemática
“Em vários problemas da Matemática e das duas aplicações busca-se uma função que cumpra certas condições dadas. É frequente, nestes casos, obter-se uma sequência de funções cada uma das quais cumpre as condições exigidas apenas aproximadamente, porém com aproximações cada vez melhores.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 151.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	Na convergência simples o valor de N encontrado não depende de nenhum valor atribuído.
	
	B
	A sequência de Cauchy está relacionada é um exemplo de convergência simples.
	
	C
	Na convergência uniforme o valor de N a ser encontrado deve depender apenas do valor de ε.
Você acertou!
Consequência da definição da convergência uniforme em contraposição à convergência simples onde N depende dos valores dados para ε e x. (livro-base p.167-168)
	
	D
	Geometricamente qualquer sequência de funções fn converge de forma simples para outras funções sendo dependente de ε e x.
	
	E
	Seja (fn) uma sequência de funções com fn:[a,b]→R que converge uniformemente para uma função f:[a,b]→R. Se cada função fn é integrável então f não tem primitiva.
Questão 5/10 - Análise Matemática
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir:
 
	Conjunto aberto 
	Ponto interior 
	Conjunto fechado 
	Ponto de acumulação 
	Conjunto compacto 
	Ponto aderente 
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele.
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto.
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
 
Agora marque a sequência correta:
 
Nota: 10.0
	
	A
	6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
	
	B
	4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
	
	C
	2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
	
	D
	6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5
	
	E
	4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1
Você acertou!
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 2. Ponto interior – É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 3. Conjunto fechado – É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 5. Conjunto compacto – É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente – É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto” (livro-base, Capítulo 3).
Questão 6/10 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 0.0
	
	A
	Em x=1, f é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1, f é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1, f possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1, f é contínua e é derivável.
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, f é contínua em x=1. Além disso, temos que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, f é derivável em x=1 e f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1, f não é contínua nem é derivável.
 
Questão 7/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que a sequência (xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais a e b tais que a≤(xn)≤b para todo n∈N”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 101.
De acordo com estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa correta:
Nota: 0.0
	
	A
	A sequência (sin(n)n)n∈N é divergente
	
	B
	limsin(n)n=0
A alternativa correta é a letra b), pois lim1n=0 e (sin(n)) é uma sequência limitada. (livro-base, Capítulo 2)
	
	C
	∣∣sin(n)n∣∣≤12, para todo n∈N
	
	D
	limsin(n)n=1
	
	E
	A sequência (sin(n)n)n∈N  é limitada.
Questão 8/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
 “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de corpo ordenado completo. Em outras palavras: partindo dosnúmeros naturais (digamos, apresentados através dos axiomas de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de número, chegar à construção dos números reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir o método dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para citar apenas os dois mais populares”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. v. 1. p. 60.
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
         I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos números racionais dá a esse conjunto a propriedade de seus elementos possuírem um inverso multiplicativo, exceto ao elemento neutro da adição.
        II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do conjunto dos números racionais com algumas propriedades.
       III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1} é um corte de Dedekind.
       IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos números naturais, partindo de um conjunto denominado  N e uma função denominada de função sucessor.
 
Agora marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	a) F – V – V – V
	
	B
	b) V – F – F – V
	
	C
	c) F – V – F – V
	
	D
	d) V – F – V – V
	
	E
	e) V – V – F – V
A afirmativa I é verdadeira pois, se x∈Q, então x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b) a,b∈Z,b≠0. Se a≠0, então, x não é o elemento neutro da adição e y=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)∈Q. Temos que ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b)⋅¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ba)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ab)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1). Como ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1) é o elemento neutro da multiplicação, temos que y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, pois se Xα é um corte de Dedekind, então Xα⊂Q e Xα≠Q por definição. A afirmativa III é falsa porque Xα não contém todos os pontos menores que seus pontos. Basta ver que, por exemplo, 0∈Xα,−2<0, mas −2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira por definição. (livro-base, capítulo 1).
Questão 9/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
“Quando f é integrável, sua integral ∫baf(x)dx é o número real cujas aproximações por falta são as somas superiores s(f,P) e cujas aproximações por excesso são as somas superiores S(f,P).”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 122.
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I.   ( ) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo podemos deduzir que ∫10x2dx=13.
II.  ( ) Se uma integral é imprópria então ela não pode ser convergente.
III. ( ) Toda função contínua é integrável.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – V
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo (p.156). A afirmativa II é falsa pois uma integral imprópria pode ser tanto convergente como divergente conforme a função e o intervalo considerado (p.161). A afirmativa III é verdadeira pois representa uma propriedade que tem recíproca falsa ou seja, uma função pode ser integrável e não ser contínua (livro-base p.143 e 144)
	
	E
	V – V – V
Questão 10/10 - Análise Matemática
Leia a passagem de texto a seguir: 
“No conjunto dos números naturais, que, segundo o matemático Leopold Kronecker (1823–1891), foi criado por Deus (o resto foi criado pelo homem, complementava ele), a diferença entre a e b só está definida se a≥b . Mas há questões envolvendo a ideia de subtração de números naturais em que o minuendo é menor que o subtraendo – por exemplo, gastar mais do que se tem. Para enfrentar essas questões, foi preciso ampliar o conjunto dos números naturais, com a adjunção de novos números, os números inteiros negativos, introduzidos a princípio para possibilitar uma resposta a uma subtração qualquer de dois elementos de N”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a construção dos números inteiros, analise as assertivas que seguem e marque V para as asserções verdadeiras e F para as asserções falsas.
I. ( ) A operação de adição definida para o conjunto dos números inteiros é associativa e comutativa.
II. ( ) Cada elemento do conjunto dos números inteiros possui um inverso multiplicativo.
III. ( ) A classe de equivalência que representa o número zero é formada pelos pares ordenados que possuem o número zero em uma de suas coordenadas.
IV. ( ) O conjunto dos números inteiros é definido por meio de classes de equivalência da relação do conjunto N∪{0}XN∪{0}.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V – V – V – F
	
	B
	V – F – F – V
	
	C
	F – F – V – V
	
	D
	V – V – F – F
	
	E
	V – V – F – V
APOL1 
Questão 1/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→R, definida num intervalo compacto, é derivável num ponto a∈[c,d] isto significam, no caso de a∈(c,d), que possui as duas derivadas laterais no ponto a e elas são iguais. No caso de a ser um dos extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto a, aquela derivada lateral que faz sentido.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 257.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As derivadas laterais f′+(x0) e f′−(x0) devem ter valores diferentes para exista a derivada no ponto x0.
	
	B
	Toda função derivável em um ponto x0 é contínua no ponto x0.
Você acertou!
Teorema de derivadas que tem utilidade no estudo da continuidade das funções (livro-base p.115 e 116)}
	
	C
	Toda função contínua em um ponto x0 é derivável no ponto x0.
	
	D
	Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no cálculo de limites para qualquer tipo de expressão indeterminada.
	
	E
	Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções f e g é igual ao produto das derivadas.
Questão 2/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real a é limite da sequência (xn) quando, para todo número real ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈N tal que todos os termos xn com índice n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxn, a=limn→∞xn ou xn→a. Esta última expressão lê-se ‘xn  tende para a’ ou ‘converge para a’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 10.0
	
	A
	12
	
	B
	∞
	
	C
	−∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Dado ε>0, escolhemos n0∈N tal que n0>log21ε, isto é, 12n0<ε. Assim, se n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 3/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar  a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x)) e, então, expressar em palavras como:
A derivada de (f(g(x)) é a derivadada função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1.  2007. p. 210-211.
Considere as funções e f(x)=ex , g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2).
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
Nota: 10.0
	
	A
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
	
	B
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
	
	C
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)
Você acertou!
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4).
	
	D
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1
	
	E
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1
Questão 4/10 - Análise Matemática
Observe o intervalo X=(−√2,√2 ) representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) X é um conjunto aberto.
II.  ( ) X é um conjunto limitado.
III. ( ) X  é um conjunto compacto.
IV.  ( ) X é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto X é ponto interior de X. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0, por exemplo, R=3 tal que |x|<3 para todo x∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto X não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto X não é aberto, por exemplo, x=√2 pertence ao complementar de X, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91).
	
	B
	V-V-V-F
	
	C
	F-F-V-V
	
	D
	F-V-F-F
	
	E
	V-F-V-F
Questão 5/10 - Análise Matemática
“É uma circunstância notável que a noção de área esteja relacionada com as derivadas.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 304.}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática , assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado somente a funções trigonométricas.
	
	B
	Se uma a derivada de uma função f(x) é igual ao valor numérico da integral de f(x) dizemos que  é uma função primitiva.
	
	C
	O valor numérico da integral superior em um intervalo (a,b) corresponde ao dobro do valor da integral inferior no intervalo considerado.
	
	D
	A primitiva de uma função f em x0 é outra função F que representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto x0.
	
	E
	A representação geométrica do valor de uma integral para uma função integrável em um intervalo (a,b) é a área entre o gráfico da função e o eixo das abscissas x no intervalo de integração.
Você acertou!
Resultado da igualdade entre a integral superior e a integral inferior no intervalo considerado e que possibilita muitas aplicações da integral em diversas áreas (livro-base p.139)
Questão 6/10 - Análise Matemática
Leia a passagem de texto a seguir: 
“No conjunto dos números naturais, que, segundo o matemático Leopold Kronecker (1823–1891), foi criado por Deus (o resto foi criado pelo homem, complementava ele), a diferença entre a e b só está definida se a≥b . Mas há questões envolvendo a ideia de subtração de números naturais em que o minuendo é menor que o subtraendo – por exemplo, gastar mais do que se tem. Para enfrentar essas questões, foi preciso ampliar o conjunto dos números naturais, com a adjunção de novos números, os números inteiros negativos, introduzidos a princípio para possibilitar uma resposta a uma subtração qualquer de dois elementos de N”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a construção dos números inteiros, analise as assertivas que seguem e marque V para as asserções verdadeiras e F para as asserções falsas.
I. ( ) A operação de adição definida para o conjunto dos números inteiros é associativa e comutativa.
II. ( ) Cada elemento do conjunto dos números inteiros possui um inverso multiplicativo.
III. ( ) A classe de equivalência que representa o número zero é formada pelos pares ordenados que possuem o número zero em uma de suas coordenadas.
IV. ( ) O conjunto dos números inteiros é definido por meio de classes de equivalência da relação do conjunto N∪{0}XN∪{0}.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V – V – V – F
	
	B
	V – F – F – V
Você acertou!
	
	C
	F – F – V – V
	
	D
	V – V – F – F
	
	E
	V – V – F – V
Questão 7/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo R como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<b’ por ‘a está à esquerda de b’, dados x,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y| como ‘distância do ponto x ao ponto y’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos a e b.”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.   ( ) O ponto x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2].
II.  ( ) O conjunto X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}.
IV.  ( ) O ponto x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}.
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V
	
	C
	V-F-F-V
	
	D
	V-F-V-F
	
	E
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1 não está contido no conjunto X. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈R, com x∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de x que não contém pontos de X e para os pontos x∈X, existem vizinhanças de x que contém apenas o ponto x. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto X. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n) que é formada por pontos de X. (livro-base, Capítulo 3).
Questão 8/10 - Análise Matemática
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
Considere o conjunto A={1,2,3,4}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado:
 
Nota: 10.0
	
	A
	R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
Você acertou!
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R,∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y) que pertence à R o seu simétrico (y,x) também pertence à R. E essa relação é transitiva pois se os pares (x,y) e (y,z), então, o par (x,z) também pertence à R (livro-base, capítulo 1).
	
	B
	R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}C
	R={(2,1),(3,1)}
	
	D
	R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	E
	R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Questão 9/10 - Análise Matemática
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir:
 
	Conjunto aberto 
	Ponto interior 
	Conjunto fechado 
	Ponto de acumulação 
	Conjunto compacto 
	Ponto aderente 
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele.
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto.
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
 
Agora marque a sequência correta:
 
Nota: 10.0
	
	A
	6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
	
	B
	4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
	
	C
	2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
	
	D
	6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5
	
	E
	4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1
Você acertou!
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 2. Ponto interior – É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 3. Conjunto fechado – É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 5. Conjunto compacto – É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente – É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto” (livro-base, Capítulo 3).
Questão 10/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir.
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)x  e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞
II. limx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞
III. limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞
IV. limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞
V. limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=e
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	III e V
Você acertou!
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1. A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3).
	
	B
	I e III
	
	C
	I e IV
	
	D
	II e V
	
	E
	II, III e V
Questão 1/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que a sequência (xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais a e b tais que a≤(xn)≤b para todo n∈N”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 101.
De acordo com estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	A sequência (sin(n)n)n∈N é divergente
	
	B
	limsin(n)n=0
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b), pois lim1n=0 e (sin(n)) é uma sequência limitada. (livro-base, Capítulo 2)
	
	C
	∣∣sin(n)n∣∣≤12, para todo n∈N
	
	D
	limsin(n)n=1
	
	E
	A sequência (sin(n)n)n∈N  é limitada.
Questão 2/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
	
	A
	O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo.
	
	B
	Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n}  e o conjunto Q para algum nϵN.
	
	C
	Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais.
	
	D
	O conjunto dos números racionais não é enumerável.
	
	E
	O número que satisfaz a equação  X2 = 2 é racional.
Questão 3/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real a é limite da sequência (xn) quando, para todo número real ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈N tal que todos os termos xn com índice n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxn, a=limn→∞xn ou xn→a. Esta última expressão lê-se ‘xn  tende para a’ ou ‘converge para a’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 10.0
	
	A
	12
	
	B
	∞
	
	C
	−∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Dado ε>0, escolhemos n0∈N tal que n0>log21ε, isto é, 12n0<ε. Assim, se n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 4/10 - Análise Matemática
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
Considere o conjunto A={1,2,3,4}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado:
 
Nota: 10.0
	
	A
	R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
Você acertou!
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R,∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y) que pertence à R o seu simétrico (y,x) também pertence à R. E essa relação é transitiva pois se os pares (x,y) e (y,z), então, o par (x,z) também pertence à R (livro-base, capítulo 1).
	
	B
	R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	C
	R={(2,1),(3,1)}
	
	D
	R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	E
	R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Questão 5/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte série numérica conhecida por série geométrica:
∑∞n=0rn=1+r+r2+r3+⋯
 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de séries numéricas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
 
I.   ( ) A sequência de termos (rn) da série geométrica converge para zero para todo r∈R
II.  ( ) A soma parcial dos temos da série da geométrica Sn=1+r+r2+⋯+rn é igual a 1−rn+11−r .
III. ( ) A série geométrica diverge para |r|≥1
IV.  ( ) ∑∞n=0(12)n=2
Agora, assinale a alternativaque apresenta a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V-V-V-F
	
	B
	V-F-V-F
	
	C
	F-V-V-F
	
	D
	F-V-V-V
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d). A afirmativa I é falsa porque a sequência dos termos diverge se |r|≥1. A afirmativa II é verdadeira pois Sn é a soma dos termos de uma progressão geométrica. A afirmativa III é verdadeira pois se |r|≥1, a sequencia dos termos não converge para zero, logo, a série diverge. A afirmativa IV é verdadeira, pois a série é geométrica com r=12. Logo, ∑∞n=0(12)n=11−12=112=2. (livro-base, Capítulo 2).
	
	E
	F-V-F-V
Questão 6/10 - Análise Matemática
“Informalmente: limx→af(x)=L quer dizer que se pode tornar f(x) tão próximo de L quanto se queira desde que se tome x∈X suficientemente próximo, porém diferente, de a.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 61.}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
	
	A
	Seja f:R−{2}→R, f(x)=x+3, então o valor de limx→2(x+3) é 1.
	
	B
	Seja f:X→R e x0∈X′. Assim, se limx→x0f(x)=L1 e limx→x0f(x)=L2, então L1≠L2.
	
	C
	Sejam as funções f:X→R e g:X→R. Se limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L1, então limx→x0f(x)g(x)=L1+L2.
	
	D
	Seja a função f(x):X→R então limx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)k.
	
	E
	Sejam f e g:R−{2}→R definidas por f(x)=3x+1 e g(x):x+1 e os limites limx→2f(x)=7 e limx→2g(x)=3 então limx→23x+1x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=73.
Sejam as funções f:X→R e g:X→R. Se limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L2 com L2≠0, então limx→x0f(x)g(x)=L1L2. (Livro-base p. 93 a 95)
Questão 7/10 - Análise Matemática
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n é que o conjunto de valores de x para os quais ela converge é um intervalo de centro x0. Esse intervalo  pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a R  ou até mesmo reduzir-se a um único ponto.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159.
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1.
Nota: 0.0
	
	A
	e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯
	
	B
	e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 185).
	
	C
	e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯
	
	D
	e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯
	
	E
	e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯
Questão 8/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos n primeiros números ímpares é n2, n≥1.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0),
se tivermos dois ímpares n=2 a soma será S=1+3=4=22 e se tivermos
5 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1).
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 9/10 - Análise Matemática
“Em vários problemas da Matemática e das duas aplicações busca-se uma função que cumpra certas condições dadas. É frequente, nestes casos, obter-se uma sequência de funções cada uma das quais cumpre as condições exigidas apenas aproximadamente, porém com aproximações cada vez melhores.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 151.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	Na convergência simples o valor de N encontrado não depende de nenhum valor atribuído.
	
	B
	A sequência de Cauchy está relacionada é um exemplo de convergência simples.
	
	C
	Na convergência uniforme o valor de N a ser encontrado deve depender apenas do valor de ε.
Você acertou!
Consequência da definição da convergência uniforme em contraposição à convergência simples onde N depende dos valores dados para ε e x. (livro-base p.167-168)
	
	D
	Geometricamente qualquer sequência de funções fn converge de forma simples para outras funções sendo dependente de ε e x.
	
	E
	Seja (fn) uma sequência de funções com fn:[a,b]→R que converge uniformemente para uma função f:[a,b]→R. Se cada função fn é integrável então f não tem primitiva.
Questão 10/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir.
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)x  e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞
II. limx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞
III. limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞
IV. limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞
V. limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=e
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	III e V
Você acertou!
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1. A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3).
	
	B
	I e III
	
	C
	I e IV
	
	D
	II e V
	
	E
	II, III e V
Questão 1/10 - Análise Matemática
Observe o intervalo X=(−√2,√2 ) representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) X é um conjunto aberto.
II.  ( ) X é um conjunto limitado.
III. ( ) X  é um conjunto compacto.
IV.  ( ) X é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto X é ponto interior de X. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0, por exemplo, R=3 tal que |x|<3 para todo x∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto X não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto X não é aberto, por exemplo, x=√2 pertence ao complementar de X, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91).
	
	B
	V-V-V-F
	
	C
	F-F-V-V
	
	D
	F-V-F-F
	
	E
	V-F-V-F
Questão 2/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
 “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de corpo ordenado completo. Em outras palavras: partindo dos números naturais (digamos, apresentados através dos axiomas de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de número, chegar àconstrução dos números reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir o método dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para citar apenas os dois mais populares”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. v. 1. p. 60.
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
         I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos números racionais dá a esse conjunto a propriedade de seus elementos possuírem um inverso multiplicativo, exceto ao elemento neutro da adição.
        II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do conjunto dos números racionais com algumas propriedades.
       III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1} é um corte de Dedekind.
       IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos números naturais, partindo de um conjunto denominado  N e uma função denominada de função sucessor.
 
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	a) F – V – V – V
	
	B
	b) V – F – F – V
	
	C
	c) F – V – F – V
	
	D
	d) V – F – V – V
	
	E
	e) V – V – F – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira pois, se x∈Q, então x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b) a,b∈Z,b≠0. Se a≠0, então, x não é o elemento neutro da adição e y=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)∈Q. Temos que ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b)⋅¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ba)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ab)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1). Como ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1) é o elemento neutro da multiplicação, temos que y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, pois se Xα é um corte de Dedekind, então Xα⊂Q e Xα≠Q por definição. A afirmativa III é falsa porque Xα não contém todos os pontos menores que seus pontos. Basta ver que, por exemplo, 0∈Xα,−2<0, mas −2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira por definição. (livro-base, capítulo 1).
Questão 3/10 - Análise Matemática
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n é que o conjunto de valores de x para os quais ela converge é um intervalo de centro x0. Esse intervalo  pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a R  ou até mesmo reduzir-se a um único ponto.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159.
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1.
Nota: 10.0
	
	A
	e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯
	
	B
	e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 185).
	
	C
	e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯
	
	D
	e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯
	
	E
	e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯
Questão 4/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
"Sejam f:X→R e a∈X. O quociente q(x)=f(x)−f(a)x−a tem sentido para x≠a, logo define uma função q:X−{a}→R, cujo valor q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os pontos (a,f(a)) e (x,f(x)) no gráfico de f em relação ao eixo x."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 88.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) Dizemos que uma função X→R é derivável em X quando é derivável em todos os pontos de x pertencentes a X.
II. ( ) Sejam X⊂R, f:X→R e x0 um ponto de acumulação de X pertencente ao conjunto X. Assim a função f é derivável no ponto x0 quando existe o limite a seguir: f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
III. ( ) Informalmente podemos dizer que a noção geométrica da derivada f′(x0) é a inclinação da reta tangente à função f no ponto x0.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	F – V – F
	
	E
	V – V – V
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência da definição(p.111). A afirmativa II é correta pois expressa a definição de derivada em um ponto (p.111) e a afirmativa III é correta porque corresponde à interpretação geométrica da derivada(livro base - p.111 e 112).
Questão 5/10 - Análise Matemática
Observe a seguinte série numérica:
∑∞132k41−k
Com base nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre a convergência de séries numéricas, assinale a única alternativa correta a respeito da série mostrada acima.
Nota: 10.0
	
	A
	A série converge para 94
	
	B
	A série converge para 34
	
	C
	A série diverge.
Você acertou!
reescrevendo a série, temos: ∑∞132k41−k=∑∞19k4k−1=∑∞19(94)k−1. Logo, essa é uma série geométrica com r=94>1. Portanto, a série diverge. (livro-base, Capítulo 2).
	
	D
	A série diverge para 43 
	
	E
	A série converge para 12.
Questão 6/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir.
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)x  e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞
II. limx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞
III. limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞
IV. limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞
V. limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=e
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	III e V
Você acertou!
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1. A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3).
	
	B
	I e III
	
	C
	I e IV
	
	D
	II e V
	
	E
	II, III e V
Questão 7/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo.
	
	B
	Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n}  e o conjunto Q para algum nϵN.
	
	C
	Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais.
Você acertou!
	
	D
	O conjunto dos números racionais não é enumerável.
	
	E
	O número que satisfaz a equação  X2 = 2 é racional.
Questão 8/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo R como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<b’ por ‘a está à esquerda de b’, dados x,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y| como ‘distância do ponto x ao ponto y’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos a e b.”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.   ( ) O ponto x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2].
II.  ( ) O conjunto X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0 é um ponto deacumulação do conjunto X={12 | n∈N}.
IV.  ( ) O ponto x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}.
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V
	
	C
	V-F-F-V
	
	D
	V-F-V-F
	
	E
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1 não está contido no conjunto X. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈R, com x∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de x que não contém pontos de X e para os pontos x∈X, existem vizinhanças de x que contém apenas o ponto x. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto X. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n) que é formada por pontos de X. (livro-base, Capítulo 3).
Questão 9/10 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 10.0
	
	A
	Em x=1, f é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1, f é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1, f possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1, f é contínua e é derivável.
Você acertou!
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, f é contínua em x=1. Além disso, temos que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, f é derivável em x=1 e f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1, f não é contínua nem é derivável.
 
Questão 10/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
“As séries de funções mais importantes da Análise são as do tipo ∑∞0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯, (a0,a1,⋯∈R são escalares) que são chamadas séries de potências.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 384.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0 isto é f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯ (C0,C1,⋯∈R são escalares).
II. ( ) Podemos escrever ex como ex=∑∞0xnn! para x∈R. 
III. ( ) Podemos escrever sin(x) como sin(x)=∑∞0(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈R.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – V
	
	E
	V – V – V
A afirmativa I é verdadeira como consequência da série de Taylor (p.154). A afirmativa II é verdadeira pois a expansão de ex pode ser escrita desta maneira(p.185). A afirmativa III é verdadeira pois a expansão de sin(x) (livro-base p.153,154 e 185).
Questão 1/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo.
	
	B
	Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n}  e o conjunto Q para algum nϵN.
	
	C
	Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais.
Você acertou!
	
	D
	O conjunto dos números racionais não é enumerável.
	
	E
	O número que satisfaz a equação  X2 = 2 é racional.
Questão 2/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
 “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de corpo ordenado completo. Em outras palavras: partindo dos números naturais (digamos, apresentados através dos axiomas de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de número, chegar à construção dos números reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir o método dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para citar apenas os dois mais populares”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. v. 1. p. 60.
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
         I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos números racionais dá a esse conjunto a propriedade de seus elementos possuírem um inverso multiplicativo, exceto ao elemento neutro da adição.
        II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do conjunto dos números racionais com algumas propriedades.
       III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1} é um corte de Dedekind.
       IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos números naturais, partindo de um conjunto denominado  N e uma função denominada de função sucessor.
 
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	a) F – V – V – V
	
	B
	b) V – F – F – V
	
	C
	c) F – V – F – V
	
	D
	d) V – F – V – V
	
	E
	e) V – V – F – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira pois, se x∈Q, então x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b) a,b∈Z,b≠0. Se a≠0, então, x não é o elemento neutro da adição e y=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)∈Q. Temos que ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b)⋅¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ba)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ab)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1). Como ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1) é o elemento neutro da multiplicação, temos que y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, pois se Xα é um corte de Dedekind, então Xα⊂Q e Xα≠Q por definição. A afirmativa III é falsa porque Xα não contém todos os pontos menores que seus pontos. Basta ver que, por exemplo, 0∈Xα,−2<0, mas −2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira por definição. (livro-base, capítulo 1).
Questão 3/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar  a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x)) e, então, expressar em palavras como:
A derivada de (f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1.  2007. p. 210-211.
Considere as funções e f(x)=ex , g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2).
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
Nota: 0.0
	
	A
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
	
	B
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
	
	C
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4).
	
	D
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1
	
	E
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1
Questão 4/10 - Análise Matemática
Observe a seguinte série numérica:
∑∞132k41−k
Com base nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre a convergência de séries numéricas, assinale a única alternativa correta a respeito da série mostrada acima.
Nota: 10.0
	
	A
	A série converge para 94
	
	B
	A série converge para 34
	
	C
	A série diverge.
Você acertou!
reescrevendo a série, temos: ∑∞132k41−k=∑∞19k4k−1=∑∞19(94)k−1.Logo, essa é uma série geométrica com r=94>1. Portanto, a série diverge. (livro-base, Capítulo 2).
	
	D
	A série diverge para 43 
	
	E
	A série converge para 12.
Questão 5/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“Diz-se que a sequência (xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais a e b tais que a≤(xn)≤b para todo n∈N”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 101.
De acordo com estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	A sequência (sin(n)n)n∈N é divergente
	
	B
	limsin(n)n=0
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b), pois lim1n=0 e (sin(n)) é uma sequência limitada. (livro-base, Capítulo 2)
	
	C
	∣∣sin(n)n∣∣≤12, para todo n∈N
	
	D
	limsin(n)n=1
	
	E
	A sequência (sin(n)n)n∈N  é limitada.
Questão 6/10 - Análise Matemática
Observe o intervalo X=(−√2,√2 ) representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) X é um conjunto aberto.
II.  ( ) X é um conjunto limitado.
III. ( ) X  é um conjunto compacto.
IV.  ( ) X é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto X é ponto interior de X. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0, por exemplo, R=3 tal que |x|<3 para todo x∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto X não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto X não é aberto, por exemplo, x=√2 pertence ao complementar de X, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91).
	
	B
	V-V-V-F
	
	C
	F-F-V-V
	
	D
	F-V-F-F
	
	E
	V-F-V-F
Questão 7/10 - Análise Matemática
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n é que o conjunto de valores de x para os quais ela converge é um intervalo de centro x0. Esse intervalo  pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a R  ou até mesmo reduzir-se a um único ponto.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159.
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1.
Nota: 10.0
	
	A
	e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯
	
	B
	e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯
Você acertou!
A alternativa correta é a letra b. Substituindo os valores de n no somatório temos: e=∑∞n=01n!=1+11!+122!+133!+⋯⇒e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯(livro-base p. 185).
	
	C
	e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯
	
	D
	e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯
	
	E
	e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯
Questão 8/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos n primeiros números ímpares é n2, n≥1.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0),
se tivermos dois ímpares n=2 a soma será S=1+3=4=22 e se tivermos
5 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1).
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 9/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
“As séries de funções mais importantes da Análise são as do tipo ∑∞0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯, (a0,a1,⋯∈R são escalares) que são chamadas séries de potências.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 384.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0 isto é f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯ (C0,C1,⋯∈R são escalares).
II. ( ) Podemos escrever ex como ex=∑∞0xnn! para x∈R. 
III. ( ) Podemos escrever sin(x) como sin(x)=∑∞0(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈R.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – V
	
	E
	V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira como consequência da série de Taylor (p.154). A afirmativa II é verdadeira pois a expansão de ex pode ser escrita desta maneira(p.185). A afirmativa III é verdadeira pois a expansão de sin(x) (livro-base p.153,154 e 185).
Questão 10/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
"Sejam f:X→R e a∈X. O quociente q(x)=f(x)−f(a)x−a tem sentido para x≠a, logo define uma função q:X−{a}→R, cujo valor q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os pontos (a,f(a)) e (x,f(x)) no gráfico de f em relação ao eixo x."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 88.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) Dizemos que uma função X→R é derivável em X quando é derivável em todos os pontos de x pertencentes a X.
II. ( ) Sejam X⊂R, f:X→R e x0 um ponto de acumulação de X pertencente ao conjunto X. Assim a função f é derivável no ponto x0 quando existe o limite a seguir: f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
III. ( ) Informalmente podemos dizer que a noção geométrica da derivada f′(x0) é a inclinação da reta tangente à função f no ponto x0.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	F – V – F
	
	E
	V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência da definição(p.111). A afirmativa II é correta pois expressa a definição de derivada em um ponto (p.111) e a afirmativa III é correta porque corresponde à interpretação geométrica da derivada(livro base - p.111 e 112).
Questão 1/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real a é limite da sequência (xn) quando, para todo número real ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈N tal que todos os termos xn com índice n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxn, a=limn→∞xn ou xn→a. Esta última