Teste 1 - Investigacao Operacional 2019 correccao

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 UNIVERSIDADE TÉCNICA DE MOÇAMBIQUE 
 
FACULDADE DE CIÊNCIAS FACULDADE DE CIÊNCIAS FACULDADE DE CIÊNCIAS FACULDADE DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICASTECNOLÓGICASTECNOLÓGICASTECNOLÓGICAS 
Disciplina: Métodos Quantitativos aplicados a Gestão 4o Ano/ semestre VII 
Carga horária semanal 2 blocos Regime Semestral, Área: Ciências exactas 
Licenciatura em Engenharia e Gestão de tecnologias de Informação e comunicação 
Teste 1- Investigação Operacional – 2019 
 
 
Número 1. Um fabricante de papel produz três tipos de papel: pesado (P) com um lucro de 6 
u.m. por tonelada, médio (M) com um lucro de 4 u.m por tonelada e fino (F) com um lucro de 5 
u.m por tonelada Considera-se que para produzir uma tonelada de P são necessárias 2 toneladas 
de pasta e 2 u.m de energia eléctrica, para M os valores são 1 e 2 e para F são 1 e 5. Sabe se 
ainda que o fabricante dispõe de 30 toneladas de pasta e 40 unidades de medida de energia 
eléctrica. Formule o problema como um problema de programação linear. -----------(4.0 valores) 
Resolução 1 
Matéria prima Tipos de Papel disponibilidade 
P M F 
Pasta 2 1 1 30 
Energia electrica 2 2 5 40 
lucro 6 4 5 (1.5) 
Maximizar Z = 6x1+4x2+5x3 (1.0) 
Sujeito à 





≥
≤++
≤++
03,2,1
40352212
30312112
xxx
xxx
xxx
 (0.5*3=1.5) 
 
 
 
Número 2. Usando o medo gráfico resolva o 
seguinte problema de programação linear. 
(4.0 valores) 
 
Minimizar W = 3x1 + 2x2 
Sujeito à 







≥
≥+
≤−
≥+
02,1
32110
52113
62212
xx
xx
xx
xx
 
Resolução 
R1: (0,3) e (3,0) (0.5) 
R2: (0, -5) e (5/3; 0) (0.5) 
R3: x2 >= 3; (0.5) 
Recta W: (0, 0) e (2,-3) (0.5) 
 
Pmin = R1 e R3 (0.5) 
Solução X = (0, 3); (1.0) 
Wmin = 6 (0.5) 
 
 
 
 
 
 2
Número 3. Usando o método simplex resolva o seguinte 
problema de programação linear. ----------- (4.0 valores) 
Maximizar Z = 2x1 + 6x2 
Sujeito à 





≥
≤+
≤+
02,1
122214
101512
xx
xx
xx
 
 
Resolução 3 (1.5) 
base x1 x2 x3 x4 RHS 
x3 2 5 1 0 10 2 
x4 4 2 0 1 12 6 
z -2 -6 0 0 0 
Tabela 2 (1.5) 
base X1 X2 X3 X4 RHS 
X2 2/5 1 1/5 0 2 
X4 16/5 0 -2/5 1 8 
z 2/5 0 6/5 0 12 
Solução X = (0, 2, 0, 8), (0.5) Zmax = 12 (0.5) 
 
 
Número N4. Usando o método simplex de duas 
fazes, resolva o seguinte problema de programação 
linear. ……............................................(4.0 valores) 
 
 







≥∀
≤+
≤+
=+
+=
0 x
21x0x
104xx2
88x2x
 à Sujeito
2012Maximizar 
i
21
21
21
21 xxZ
 
Resolução 4 
Tabela 1 (1ª fase) (1.0) 
base x1 x2 x3 x4 a1 RHS 
a1 2 8 0 0 1 8 
x3 2 4 1 0 0 10 
x4 0 1 0 1 0 2 
z -12 -20 0 0 0 0 
Za -2 -8 0 0 0 -8 
Tabela 2 (1ª fase) (1.0) 
base x1 x2 x3 x4 a1 RHS 
x2 1/4 1 0 0 1/8 1 
x3 1 0 1 0 -1/2 6 
x4 -1/4 0 0 1 -1/8 1 
z -7 0 0 0 5/2 20 
za 0 0 0 0 1 0 
Tabela 1 (2ª fase) (1.0) 
base x1 x2 x3 x4 RHS 
x2 1/4 1 0 0 1 
x3 1 0 1 0 6 
x4 -1/4 0 0 1 1 
z -7 0 0 0 20 
Tabela 2 (2ª fase) (0.5) 
base x1 x2 x3 x4 RHS 
x1 1 4 0 0 4 
 3
x3 0 -4 1 0 2 
x4 0 1 0 1 2 
z 0 28 0 0 48 
 
Solução X = (4, 0, 2, 2) (0.25) ; Zmax = 48 (0.25) 
 
 
 
Número 5. Dado o problema de programação linear: 
---------------------------------------------------(4.0 valores) 
a) Escrever o problema dual correspondente. 
b) Resolva o dual pelo método simplex e apresente a 
Solução do problema primal. 



≥
≥++
≥++
++=
0,,
4126
6264
a sujeito
102412 min
321
321
321
321
yyy
yyy
yyy
yyyw
 
 
Resolução 5 
a) O problema dual é: 
Maximizar Z = 6x1 + 4x2 (0.25) 
Sujeito à







≥
≤+
≤+
≤+
02,1
102112
242216
122614
xx
xx
xx
xx
 (0.5*3=1.5 + 0.25) 
b) Resolução pelo método simplex 
Tabela 1 (0.5) 
BASE X1 X2 Y1 Y2 Y3 RHS 
Y1 4 6 1 0 0 12 
Y2 6 2 0 1 0 24 
Y3 2 1 0 0 1 10 
Z -6 -4 0 0 0 0 
Tabela 2 (0.5) 
BASE X1 X2 Y1 Y2 Y3 rhs 
X1 1 3/2 1/4 0 0 3 
Y2 0 -7 -3/2 1 0 6 
Y3 0 -2 -1/2 0 1 4 
Z 0 5 3/2 0 0 18 
 
Solução Primal Y = (3/2, 0, 0, 0, 5); (0.5) com Wmin = 18 (0.5) 
 
 
 
Maputo, 20/09/2019 Docente: Mulenga