MATEMATICA APLICADA 1

Prévia do material em texto

Autoras: Profa. Maria Ester Domingues de Oliveira
 Profa. Deiby Santos Gouveia 
Colaboradores: Prof. Flávio Celso Müller Martin
Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Matemática Aplicada
Professoras conteudistas: Maria Ester Domingues de Oliveira / Deiby Santos Gouveia
Maria Ester Domingues de Oliveira
Graduada em Engenharia de Produção pela Universidade Paulista – UNIP (1995). Pós-graduada em Gestão de 
Pessoas pela Fundação Getulio Vargas (2008), também possui pós-graduação em Coaching Integrado, pelo Integrated 
Coaching Institute (2009), MBA em Recursos Humanos pela Fundação Getúlio Vargas (2011), e mestrado em Engenharia 
Civil pela Escola Politécnica da USP (2011).
Tem experiência consolidada de mais de 17 anos nas áreas de recursos humanos, desenvolvimento de pessoas e 
treinamento em cargos de comando. Atua como professora universitária desde 2003. 
Foi Coordenadora do Programa de Iniciação a Práticas Administrativas – PIPA, em 2007, na UNIP.
É autora de alguns livros para a UNIP Interativa nas disciplinas Processos Decisórios, Matemática Básica, Matemática 
Aplicada, Matemática Comercial e Estatística. 
Deiby Santos Gouveia
É licenciada em Química (2000) e mestre em Química (2002) pela Universidade Federal da Paraíba. Atuou em 2003 
como técnica na área de Células a Combustível pelo Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (IPEN-USP). 
Em 2008, obteve o título de doutora em Engenharia de Materiais pelo mesmo instituto, na área de Biomateriais.
É professora desde 2006, tendo trabalhado em diversas instituições de ensino.
Na Universidade Paulista (UNIP), atua desde 2008 como professora em diversas disciplinas na área de Matemática, 
Estatística, e Tecnologia da Informação. Na EaD, ministra aula para os cursos de Economia e para o Pronatec. Além 
disso, é coordenadora auxiliar da Empresa Júnior (JUNIP).
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
O48m Oliveira, Maria Ester Domingues de 
Matemática aplicada. / Maria Ester Domingues de Oliveira, 
Deiby Santos Gouveia. – São Paulo: Editora Sol, 2020.
 
88 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Matemática. 2. Receita. 3. Custo. I. Gouveia, Deiby Santos II. Título.
CDU 51
U507.72 – 20
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcello Vannini
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Juliana Maria Mendes
 Amanda Casale
Sumário
Matemática Aplicada
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 DEMANDA DE MERCADO ................................................................................................................................9
1.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 14
2 OFERTA DE MERCADO ................................................................................................................................... 18
2.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 21
3 PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO .................................................................................................. 24
3.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 26
4 RECEITA TOTAL .................................................................................................................................................. 28
4.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 32
Unidade II
5 CUSTO TOTAL ..................................................................................................................................................... 38
5.1 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 39
6 PONTO DE NIVELAMENTO E LUCRO TOTAL ............................................................................................ 42
6.1 Ponto de nivelamento ........................................................................................................................ 42
6.2 Lucro total ............................................................................................................................................... 44
6.3 Exercícios resolvidos passo a passo ............................................................................................... 46
Unidade III
7 APLICAÇÃO ECONÔMICA: FUNÇÃO 1º GRAU ...................................................................................... 52
8 APLICAÇÃO ECONÔMICA: FUNÇÃO 2º GRAU ...................................................................................... 65
7
APRESENTAÇÃO
A Matemática é uma ciência de grande relevância na formação profissional do aluno nas mais 
diversas carreiras. Na disciplina Matemática Aplicada, procuramos focar os estudos em conteúdos que 
apresentem ligação com o escopo profissional do administrador de empresas. Dessa forma, objetivamos 
modelar matematicamente os problemas quantitativos característicos dessa profissão, possibilitando 
uma visão analítica e mais criteriosa dos contextos aplicados dessa ciência.
Em contrapartida, visamos possibilitar o desenvolvimento de uma forma de expressão mais crítica e 
criativa na solução de problemas, quando da aplicação das funções matemáticas correlacionadas a esse 
campo profissional.
O conhecimento matemático aqui demonstrado auxiliará o futuro profissional da área de 
Administração a enfrentar os desafios típicos do exercício da profissão, com as devidas confiança e 
competência.
Primeiramente, estudaremos demanda, oferta de mercado e preço/quantidade de equilíbrio. 
Depois abordaremos receita e custo total, ponto de nivelamento e lucro total. Os conteúdos estão 
apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugerimos, como complemento de estudo, a 
utilização de outras bibliografias.
 Observação
Durante as aulas, os questionários e as provas, utilize uma calculadora 
simples para facilitar os cálculos.
INTRODUÇÃO
Esta disciplina trata da aplicação dos conteúdos de Matemática em situações práticas que servem 
ao entendimento de fenômenos ligados aos problemas relacionados com a formação profissional na 
área de Administração. A contextualização e a aplicação dos conteúdos matemáticos (já estudados) 
contemplarão o objetivo geral da disciplina Matemática Aplicada: transformar – por meio de 
formulações e modelos matemáticos, do desenvolvimento do raciocínio lógico, do espírito de 
investigação e da habilidade em solucionar impasses – os problemas desse campo profissional,com 
base nas condições dadas, em métodos e modelos dedutíveis que sirvam para obter resultados válidos 
e, principalmente, para possibilitar que você se expresse de maneira crítica e criativa na solução das 
questões que se apresentem.
Por meio dessa disciplina, você será capaz de: trabalhar as operações com fórmulas e modelos 
matemáticos; desenvolver habilidades de raciocínio lógico e espírito de investigação; desenvolver 
habilidades de solução de problemas, identificação de variáveis, condições de contorno, contextualização 
e trabalhar uma visão global do pensamento matemático; aplicar os conhecimentos matemáticos em 
situações específicas envolvidas em problemas ligados ao escopo do administrador; transformar os 
8
problemas do campo profissional, com base nas condições dadas, em métodos e modelos dedutíveis 
para a obtenção de resultados válidos; e expressar-se de maneira crítica e criativa na solução de 
problemas, quando da aplicação de conceitos matemáticos correlacionados à formação profissional 
do administrador.
9
MATEMÁTICA APLICADA
1 DEMANDA DE MERCADO
Preços reduzirão demanda por milho e soja para ração – Oil World
Um aumento nos preços de soja e milho nas últimas quatro semanas, que se elevaram 
a altas históricas, diminuirá a demanda mundial por parte dos produtores agropecuários, 
à medida que reduzem o número de animais e aumentam a busca por alternativas mais 
baratas, disse a consultoria especializada em oleaginosas Oil World, nessa terça-feira (24).
“A recente explosão dos preços dos alimentos levará inevitavelmente à diminuição da 
demanda no uso de milho e farelo de soja para alimentação animal nos próximos meses”, 
disse a Oil World (CENÁRIO MT, 2012).
Esse artigo mostra que demanda (ou procura) é a quantidade de um bem tangível ou intangível 
que os clientes querem adquirir por um preço estipulado, durante determinado tempo, em um 
certo mercado.
A demanda pode ser chamada de procura, mas nem sempre pode ser considerada consumo, já que é 
possível querermos comprar e não querermos consumir. A quantidade de um bem que os compradores 
desejam e podem comprar é chamada de quantidade demandada.
Segundo Silva (2011), a função que a todo preço (P) associa a demanda ou a procura de 
mercado é denominada função demanda ou função procura de mercado da utilidade no período 
considerado. Ou seja, variações de preço correspondem, de alguma maneira, a variações de 
quantidade demandada.
 Observação
As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois 
elementos.
Por exemplo, uma caneta esferográfica simples com um preço na casa de alguns poucos reais 
encontra mercado de milhões de unidades. Essa mesma caneta, se tiver o preço na casa de centenas de 
reais, terá procura bem menor.
Segundo Bonora (2006), a demanda de um bem é função do preço: q = f (p), e essa função é linear 
(y = ax + b).
Unidade I
10
Unidade I
A representação gráfica dessa função constitui a curva de demanda ou de procura da utilidade.
• Exemplo
Para determinado produto foi calculada a função D = 10 – 2P, onde P é o preço por unidade do bem 
ou serviço e D é a demanda de mercado correspondente.
Para que ocorra mercado, as condições básicas devem ser:
— preço maior que zero (P > 0);
— demanda ou procura pelo produto maior que zero (D > 0).
• Observe
Ao admitirmos D > 0, ocorre:
10 – 2P > 0
10 > 2P
10 > P
 2
5 > P ou P < R$ 5,00
Portanto, o preço do produto, nessa situação, varia entre 0 e R$ 5,00.
0 < P < R$ 5,00
Ao admitirmos P > 0, ocorre:
D = 10 – 2P
D + 2P = 10
2P = 10 – D
P = 10 – D
 2
10 – D > 0
 2
11
MATEMÁTICA APLICADA
10 – D > 0 · 2
10 – D > 0
10 > D ou D < 10
Portanto, a demanda (ou procura) pelo produto, nessa situação, varia entre 0 e 10 unidades.
0 < D < 10 unidades
Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte tabela:
Tabela 1
P D
0
 0
D = 10 – 2P = 10 – 2 · (0) = 10 – 0 = 10 unidades
Tabela 2
P D
0 10
 0
D = 10 – 2P
0 = 10 – 2P
2P = 10
P = R$ 5,00.
Tabela 3
P D
0 10
 5 0
12
Unidade I
Demanda (D): quantidade
10
0 5 Preço (P): R$
Figura 1 – Representação gráfica de D = 10 – 2P
• Observe o gráfico anterior:
— variação do preço: 0 < P < R$ 5,00;
— variação da demanda: 0 < D < 10 unidades;
— conforme o preço aumenta, a demanda ou procura pelo produto diminui, tornando tal 
função decrescente.
Nesse caso, onde D = 10 – 2P, podemos dizer que, quando o preço do produto aumenta em uma 
unidade, a procura pelo produto diminui em duas unidades.
• Exemplo
Para P = R$ 1,00, temos: D = 10 – 2·(1) = 10 – 2 = 8 unidades.
Para P = R$ 2,00, temos: D = 10 – 2·(2) = 10 – 4 = 6 unidades.
Para P = R$ 3,00, temos: D = 10 – 2·(3) = 10 – 6 = 4 unidades.
Ainda nesse caso, o preço do produto, quando D = 4 unidades, é de P = R$ 3,00.
13
MATEMÁTICA APLICADA
Veja:
D = 4
10 – 2P = 4
10 = 4 + 2P
10 – 4 = 2P
6 = 2P
3 = P
P = R$ 3,00.
Ainda no mesmo caso, quando D > 4 unidades, os preços poderão variar: P < R$ 3,00.
Veja:
D > 4
10 – 2P > 4
10 > 4 + 2P
10 – 4 > 2P
6 > 2P
3 > P ou P < R$ 3,00.
A aplicação prática da função demanda está diretamente relacionada à capacidade das organizações 
de levantar dados que permitam o estabelecimento da função.
 Saiba mais
Leia em <http://monografias.brasilescola.com/administracao-financas/
demanda-oferta-procura.htm> um artigo sobre a lei da Demanda da 
Oferta e Procura.
14
Unidade I
1.1 Exercícios resolvidos passo a passo
1. Uma grande rede de supermercados analisou seus dados de vendas em função de preços diferentes 
nas diversas lojas.
Figura 2 
A análise revelou que o produto x tem uma demanda de mercado dada por: D = 250 – 10P. Qual o 
preço para uma quantidade demandada de 150 produtos?
D = 250 – 10P
P = (250 – D)/10
P = (250 – 150)/10
P = 10
Portanto, para uma demanda de 150 unidades, o preço deve ser de R$ 10,00.
2. Leia este trecho de artigo jornalístico.
Souza Cruz reduz preços de quatro marcas de cigarro
A Souza Cruz baixou, na terça-feira, o preço de algumas de suas marcas vendidas na 
cidade de São Paulo, única, até o momento, beneficiada pela redução. As marcas que tiveram 
corte no preço são a Dunhill, Free Box, Lucky Strike e Hollywood. Segundo informações da 
assessoria de imprensa da empresa, a nova tabela de preços deve vigorar também em outras 
cidades, mas os porcentuais de redução serão diferentes, variando de acordo com a carga 
tributária de cada região do País.
15
MATEMÁTICA APLICADA
“A Souza Cruz tem monitorado os movimentos de preço de seus competidores desde o 
dia 6 de abril com o objetivo de garantir a competitividade de seu portfólio. Em resposta 
aos movimentos de preços de seu principal concorrente, a Souza Cruz decidiu reposicionar 
o preço de algumas de suas principais marcas em áreas específicas do país”, informa um 
comunicado divulgado pela Souza Cruz.
Segundo a empresa, o preço do Dunhill recuou de R$ 6,00 para R$ 5,50; do Free Box, de 
R$ 5,50 para R$ 5,25; do Lucky Strike, de R$ 5,25 para R$ 5,00; do Free maço, de R$ 5,00 
para R$ 4,40; e do Hollywood, de R$ 4,60 para R$ 4,30. Apenas a marca Derby manteve o 
preço, de R$ 4,25 (PETRY e SILVA, 2012).
Imagine que, para o produto Derby, a função demanda seja D = 15 – 3P. Como o preço desse 
produto poderá variar?
15 – 3P > 0
15 > 3P
15 > P
 3
5 > P ou P < R$ 5,00
Portanto, o preço de Derby, nessa situação, pode variar entre 0 e R$ 5,00.
0 < P < R$ 5,00
3. Uma operadora de turismo na cidade do Rio de Janeiro apresenta vários pacotes de um dia com 
passeios a pontos selecionados da cidade.
Figura 3 
16
Unidade I
Esses pacotes podem incluir, por exemplo, visitas guiadas ao Pão de Açúcar, Corcovado, Maracanã e 
outros. Uma análise matemática revelou que a demanda de mercado do passeio ao Forte de Copacabana 
é dada por D = 4.000 – 30P. Qual a demanda se o preço for de R$ 35,00?
D = 4.000 – 30P
D = 4.000 – 30 · (35)
D = 4.000 – 1.050
D = 2.950 unidades
Portanto, ao preço de R$ 35,00, existirá procura (demanda) de2.950 unidades.
4. Uma importadora de vinhos conseguiu calcular a demanda de mercado de determinado vinho 
francês.
Figura 4 
A demanda é expressa por D = 5.000 – 30P. Uma vez que a vinícola francesa estabeleceu condições 
comerciais limitando a quantidade, qual o preço para a demanda ser de 2.000 unidades?
D = 2.000
5.000 – 30P = 2.000
5.000 = 2.000 + 30P
5.000 – 2.000 = 30P
17
MATEMÁTICA APLICADA
3.000 = 30P
3.000 = P
 30
R$ 100,00 = P
Portanto, a procura de 2.000 unidades do produto corresponde ao preço de R$ 100,00 / unidade.
5. Uma loja de roupas femininas calculou a demanda de mercado de determinado conjunto como 
D = 4300 – 16P.
Figura 5 
Uma vez que há dúvidas sobre o volume da demanda, é necessário estipular os preços com a demanda 
entre 500 e 800 unidades. Quais são esses preços?
D > 500
4.300 – 16P > 500
– 16P > 500 – 4.300
– 16P > – 3.800
 – 16 – 16
P < R$ 237,50.
D < 800
18
Unidade I
4.300 – 16P < 800
– 16P < 800 – 4.300
– 16P < – 3.500
– 16 – 16
P > R$ 218,75.
Os preços oscilam entre R$ 218,75 e R$ 237,50, conforme ocorre a variação da demanda entre 500 
e 800 unidades, ou seja, nesse caso, R$ 218,75 < P < R$ 237,50.
Exemplo de aplicação
Imagine um banco de dados com preços de gasolina associados com o volume de vendas em cada 
posto. Há diversas interseções preço x volume, o que permitiria a análise matemática dessas relações 
para estabelecer uma função.
2 OFERTA DE MERCADO
Preço do suíno vivo aumenta em SP
Os suinocultores em São Paulo estão registrando aumento de preço nas vendas do quilo 
do suíno. Alguns criadores chegaram a comercializar, nesta quinta-feira (26/7), por R$ 50,00 
a arroba, que representa R$ 2,67 o quilo do suíno vivo.
Na semana passada, segundo a Associação Paulista de Criadores de Suínos (APCS), a 
arroba chegou a ser negociada a R$ 42,00, preço que foi subindo ao longo da semana em 
virtude da redução de oferta do suíno vivo no mercado.
No início desta semana, a entidade recomendou aos suinocultores que não vendessem 
os animais por valores abaixo de R$ 47,00 por arroba (equivalente a R$ 4,2 o quilo da 
carcaça) (GLOBO RURAL, 2012).
O artigo mostra que os suinocultores só aceitarão vender a produção se um patamar de preços for 
respeitado. Trata-se da função oferta, que representa a relação entre o preço de mercado de um bem e 
a quantidade desse mesmo bem que os produtores estão dispostos a produzir e a vender.
Segundo Silva (2011), a função que a todo preço (P) associa a oferta de mercado é denominada 
função oferta de mercado da utilidade no período considerado. Ou seja, variações de preço provocam, 
de alguma maneira, variações de quantidade ofertada (produzida).
Por exemplo, a alta dos preços de carne suína em determinado período pode incentivar suinocultores 
a aumentar a produção, ou até mesmo levar novos produtores a passarem a oferecer no mercado. Em 
19
MATEMÁTICA APLICADA
contrapartida, se o preço da carne suína estiver em baixa, os produtores poderão mudar para outro tipo 
de produção.
A representação gráfica dessa função constitui a curva de oferta da utilidade.
 Saiba mais
Leia em <http://www.artigos.com/artigos/sociais/administracao/
demanda-e--oferta!-2109/artigo/> mais explicações sobre curva de oferta.
• Exemplo
Para determinado produto, foi calculada a função S = – 8 + 2P, onde P é o preço por unidade do 
bem ou serviço e S é a correspondente oferta de mercado. Sabemos que P ≤ R$ 10,00.
Para que ocorra mercado, o produto deve ser oferecido para venda, portanto: (S > 0).
• Observe
Ao admitirmos S > 0, ocorre:
– 8 + 2P > 0
2P > 8
P > R$ 4,00
Portanto, o preço do produto, nessa situação, deverá ser maior que R$ 4,00. Ou seja, o fabricante 
somente oferecerá o produto ao cliente se os preços forem maiores do que R$ 4,00.
• Exemplo
Para P = R$ 4,00, -S = – 8 + 2·(4) = – 8 + 8 = 0 unidade oferecida para venda.
Para P = R$ 5,00, S = – 8 + 2·(5) = – 8 + 10 = 2 unidades oferecidas para venda.
Para P = R$ 6,00, S = – 8 + 2·(6) = – 8 + 12 = 4 unidades oferecidas para venda.
Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte tabela:
Tabela 4
P S
0
10
20
Unidade I
Atenção: adotamos P = 10, pois o problema, nesse caso, diz que P ≤ R$ 10,00.
Para S = 0
– 8 + 2P = 0
2P = 8
P = 4
P = R$ 4,00
Tabela 5
P S
4 0
 10
Para P = 10
S = – 8 + 2P = – 8 + 2·(10) = – 8 + 20 = 12 unidades
Tabela 6
P S
4 0
 10 12
Oferta (S): quantidade
12
0 4 10 Preço (P): R$
Figura 6 – Representação gráfica de S = – 8 + 2P
• Observe o gráfico anterior:
— o oferecimento do produto existirá para preços acima de R$ 4,00;
21
MATEMÁTICA APLICADA
— conforme o preço aumenta, o oferecimento (S) do produto aumenta também, tornando a 
função crescente.
Para o vendedor, quanto maior o preço do produto, mais produtos oferecerá para venda. Entretanto, 
será que a procura (demanda) pelo produto será satisfatória? O próximo tópico cruzará demanda e 
oferta por meio de preço e quantidade de equilíbrio.
 Lembrete
Logicamente, o produtor / vendedor quer oferecer o bem pelo maior 
preço possível, enquanto o cliente quer comprar pelo menor preço possível. 
É importante entender as funções demanda e oferta exatamente em 
virtude dessa dinâmica de mercado.
2.1 Exercícios resolvidos passo a passo
1. Uma loja calculou que a oferta de mercado de determinado produto é dada por: S = P – 10, com 
P < 200.
Figura 7 
Qual o preço para a oferta ser de 80 unidades?
S = 80
P = ?
S = P – 10
P = S + 10
P = 80 + 10 = 90
Portanto, o preço é de R$ 90,00.
22
Unidade I
2. Uma grande metalúrgica analisou os dados de preços e produção de determinado produto e 
concluiu que a função oferta é S = – 10 + 0,5P, com P < R$ 60,00.
Figura 8 
Quais os preços que impedem o oferecimento do produto?
Sabemos que haverá oferta do produto quando S > 0.
– 10 + 0,5P > 0
0,5P > 10
P > 10 
 0,5
P > R$ 20,00.
Haverá oferta do produto para preços maiores que R$ 20,00 e não haverá oferta do produto para 
preços compreendidos entre 0 e R$ 20,00 (inclusive R$ 20,00, pois, para P = 20, S = 0).
Portanto, podemos dizer que não haverá oferta do produto para a seguinte variação de preço: 
0 ≤ P ≤ R$ 20,00.
2. Uma cozinheira produz bolos para venda na escola em que trabalha.
23
MATEMÁTICA APLICADA
Figura 9 
Um dos alunos ajudou a calcular a função oferta dada por S = – 12 + 3P, com P < R$ 20,00. Com 
um preço de R$ 20,00, podemos afirmar que serão oferecidas quantas unidades para venda?
S = – 12 + 3·(20)
S = – 12 + 60
S = 48 unidades.
Ao preço de R$ 20,00 / unidade, a quantidade oferecida para venda é de 48 unidades.
3. Considere a função oferta S = – 12 + 3P, com P = < R$ 20,00. Quais os preços em que a oferta do 
produto existirá e será menor do que 12 unidades?
S > 0
– 12 + 3P > 0
3P > 12
P > 12
 3
P > R$ 4,00 (o oferecimento do produto existirá para preços maiores que R$ 4,00).
S < 12
24
Unidade I
– 12 + 3P < 12
3P < 12 + 12
3P < 24
P < 24
 3
P < R$ 8,00
Portanto, para preços que variam entre R$ 4,00 e R$ 8,00, o oferecimento do produto existirá e será 
menor que 12 unidades. Ou seja, nesse caso, R$ 4,00 < P < R$ 8,00.
3 PREÇO E QUANTIDADE DE EQUILÍBRIO
Quando as quantidades oferecidas de um bem tangível ou intangível são iguais às quantidades 
demandadas, ocorre o equilíbrio de mercado. O preço para o qual as quantidades oferecidas são iguais às 
quantidades demandadas é chamado de preço de equilíbrio. A quantidade de equilíbrio é a quantidade 
em que tanto a procura como a oferta são iguais.
Quando a oferta é maior que a demanda, ou seja, há mais produtos à venda do que clientes dispostos 
a comprar, parte das empresas tenta reduzir seus estoques diminuindo os preços. Quando a demanda é 
maior que a oferta, ou seja, há mais interessados no produto do que produtos disponíveis, as empresas 
aumentam a quantidade ofertada e os preços dos produtos, fazendo que a demanda diminua. Nos dois 
casos, o objetivo é levar o mercado para o preçoe a quantidade de equilíbrio.
Conforme Silva (2011), o preço de mercado (PE) para dada utilidade é o preço para o qual a demanda 
e a oferta de mercado dessa utilidade coincidem. A quantidade correspondente ao preço de equilíbrio é 
denominada quantidade de equilíbrio de mercado da utilidade (QE).
 Saiba mais
Leia em <http://www.infoescola.com/economia/lei-da-oferta-e-da-procura 
-demanda-e-oferta/> um artigo sobre a Lei de Oferta e Demanda.
• Exemplo
Considere estes casos:
Demanda: D = 40 – 2P
Oferta: S = – 15 + 3P, com P ≤ R$ 20,00.
25
MATEMÁTICA APLICADA
Para construir a representação gráfica destes casos:
Demanda (a tabela se constrói como no exemplo anterior):
Tabela 7
P D P D
0 0 40
0 20 0
Oferta (a tabela se constrói como no exemplo anterior):
Tabela 8
P S P S
 0 5 0
20 20 45
(QE) 18
45
40
5 11 20
D = 40 - 2P
S = -15 + 3P
(PE)
Demanda (D), oferta (S): qualidade
Preço (P): R$0
Figura 10 – Representação gráfica de demanda: D = 40 – 2P e S = – 15 + 3P
Como encontrar PE e QE?
26
Unidade I
• Observando o gráfico:
— na função demanda, quanto maior o preço, menor a procura pelo produto (gráfico decrescente);
— na função oferta, quando maior o preço, maior é o oferecimento do produto (gráfico crescente).
Sabemos que preços elevados de um produto possibilitam a obtenção de maior lucro e, por isso, 
para o vendedor, quanto mais alto o preço do produto oferecido, maior será seu lucro. No entanto, 
não podemos esquecer que a procura pelo produto está vinculada, também, ao seu preço de venda, 
ocorrendo de maneira inversa ao seu oferecimento: quanto maior o preço, maior será o oferecimento 
do produto, porém menor será sua procura. Daí a importância de um preço (PE) em que a oferta e a 
demanda sejam comuns (QE) – preço e quantidade de equilíbrio.
Encontrando PE e QE da situação anterior (por meio de cálculos):
Dadas as funções D = 40 – 2P e S = – 15 + 3P, com P ≤ R$ 20,00, encontre preço de equilíbrio (PE) 
e quantidade de equilíbrio (QE):
D = S (ou seja, demanda igual à oferta)
40 – 2P = – 15 + 3P
40 + 15 = 3P + 2P
55 = 5P
55 = P
 5
11 = P
P = R$ 11,00 (PE).
Escolher uma das funções para encontrar QE, por exemplo, D = 40 – 2P:
D = 40 – 2·(11) = 40 – 22 = 18 unidades (QE).
Como D = S, podemos escolher qualquer uma das funções para encontrar QE (dará o mesmo 
resultado).
3.1 Exercícios resolvidos passo a passo
1. Uma sorveteria tem demanda dada por D = 20 – P e oferta dada por S = -10 + 2P, sendo o preço 
máximo R$ 20,00.
27
MATEMÁTICA APLICADA
Figura 11 
Determinar o preço de equilíbrio (PE) e a quantidade de equilíbrio (QE).
 Lembrete
Preço de equilíbrio e quantidade de equilíbrio são estabelecidos quando 
demanda (D) é igual a oferta (S), portanto iniciamos com D = S.
D = S
20 – P = – 10 + 2P
20 – P + 10 = 2P
30 = 2P + P
30 = 3P
30 = P
 3
R$ 10,00 = P
Preço de equilíbrio (PE) = R$ 10,00
Escolhemos uma das funções e substituímos o valor encontrado (PE) na variável P:
D = 20 – P
D = 20 – 10 = 10 unidades
Quantidade de equilíbrio (QE) = 10 unidades
Portanto, ao preço de R$ 10,00 / unidade, temos quantidades iguais de procura e oferecimento do produto.
28
Unidade I
4 RECEITA TOTAL
Xerox teve alta em 7% na receita de negócios com serviços no ST12
A Xerox (NYSE: XRX) anunciou seu resultado no primeiro trimestre de 2012, que inclui 
lucro ajustado por ação de US$ 0,26, excluindo US$ 0,04 relativos à amortização de 
intangíveis – resultando no lucro líquido por ação de US$ 0,229. A receita total no período, 
de US$ 5,5 bilhões, teve queda de 1%, ou aumento de 1% em moeda constante. A receita 
de negócios com serviços subiu 7%.
“Com mais da metade de nossa receita total vindo de serviços, acelerar o crescimento 
nesse segmento é uma prioridade”, afirmou Ursula Burns, presidente e CEO da Xerox. 
“Os resultados do segundo trimestre reflete um progresso sólido nos negócios de BPO 
com crescimento de 8% no segmento, 9% de crescimento em outsourcing de TI e 
crescimento de 6% em gestão de documentos, sempre desconsiderando os efeitos 
cambiais” (FATOR BRASIL, 2012).
A receita total é fruto da multiplicação do preço pela quantidade vendida.
Conforme Silva (2011), seja U uma utilidade (bem ou serviço) cujo preço de venda por unidade 
seja um preço fixo P0, para quantidades entre q1 e q2 unidades. A função dada por RT = P0 · q, com 
q1 ≤ q ≤ q2, é denominada função receita total ou simplesmente receita total (valor total recebido 
por uma quantidade de produtos vendidos).
• Exemplo
RT = 3·q, 0 ≤ q ≤ 6.
Para representar graficamente essa situação, podemos construir a seguinte tabela:
Tabela 9
q RT
 0
 6
Atenção: respeitamos a restrição em q colocada pelo problema.
Para q = 0, RT = 3·(0) = 0.
Para q = 6, RT = 3·(6) = R$ 18,00.
29
MATEMÁTICA APLICADA
Tabela 10
q RT
 0 0
 6 18
RT (R$)
18
0 6 q (quantidade)
Figura 12 – Representação gráfica de RT = 3·q, 0 < q < 6
A receita total é o valor recebido pela venda de q produtos. No exemplo anterior, observamos que a 
receita total é limitada ao valor de R$ 18,00 quando a quantidade vendida é de 6 unidades, pois o valor 
unitário do produto é fixo e equivale a R$ 3,00.
 Observação
Quando o preço da mercadoria não é fixo, a receita total pode 
variar, pois, se o preço varia, a demanda também se altera, mudando 
assim a receita total.
RT = P·D.
 Lembrete
Você provavelmente deva estar pensando: isto é muito fácil! Mas 
lembre-se de que preços diferentes provocam demandas diferentes.
Simplesmente subir preços não garante aumento da receita total. Veja o exemplo:
Dada a demanda de mercado D = 20 – 2P, a variação de preço (primeira coluna) altera a 
receita total:
30
Unidade I
Tabela 11
P D RT = P·D
1 20 – 2·(1) = 18 unidades RT = 1·18 = R$ 18,00
3 20 – 2·(3) = 14 unidades RT = 3·14 = R$ 42,00
5 20 – 2·(5) = 10 unidades RT = 5·10 = R$ 50,00
7 20 – 2·(7) = 6 unidades RT = 7·6 = R$ 42,00
9 20 – 2·(9) = 2 unidades RT = 9·2 = R$ 18,00
 Observação
Conforme o preço (P) aumenta, a procura (D) pelo produto diminui. No 
entanto, a receita total (RT) varia de acordo com o preço do produto e a 
quantidade de procura (D) por essa mercadoria.
• Observe:
— se o preço (P) for muito baixo, existirá grande procura (D) pelo produto, mas não necessariamente 
teremos uma receita total (RT) máxima;
— se o preço (P) for muito alto, existirá pouca procura (D) pelo produto, e também não 
necessariamente teremos uma receita total (RT) máxima;
— existirá um preço (P) adequado que corresponderá a uma procura (D), a qual, por sua vez, 
proporcionará uma receita total (RT) máxima.
 Saiba mais
Leia em <http://www.gazetadopovo.com.br/economia/conteudo.phtml?id= 
1265226> alguns exemplos de variação de preços afetando as vendas.
Para maximizar a receita total, podemos seguir estes passos:
Considerando D = 48 – 2P, vamos estabelecer a expressão da receita total RT = P·D somente em 
função da variável D:
1) “Isolando” P em função de D:
D = 48 – 2P
31
MATEMÁTICA APLICADA
D + 2P = 48
2P = 48 – D
P = 48 – D = 48 – D
 2 2 2
P = 24 – 0,5D.
2) “Substituindo” em RT = P·D:
RT = (24 – 0,5D)·D
RT = 24D – 0,5D2
Qual deverá ser o valor de D (quantidade de procura) que tornará a receita total (RT) máxima?
Vamos calcular:
RT = 24D – 0,5D2
1) Considerar RT = 0:
24D – 0,5D2 = 0
24D – 0,5D2 = 0 (a = – 0,5 b = 24 c = 0)
D = b2 – 4·a·c
D = (24)2 – 4·(- 0,5)·(0) = 576 + 0 = 576
D = – b + – √D
 2·a
D = − ±
⋅( ) = −
±
−
24 576
2 0 5
24 24
1,
D’ = 0 D” = 48
2) Receita total (RT) máxima em função da procura (D) por determinado produto:
D = -b = – (24) = 24 unidades
 2·a 2·(-0,5)
RT = 24D – 0,5D2 = 24 . 24 – 0,5 . 242 = 576 – 0,5 . 576 = 288
32
Unidade I
3) Preço correspondente à demanda de 24 unidades do produto:
P = 24 – 0,5D
P = 24 – 0,5·(24)
P = 24 – 12 = R$ 12,00
Portanto, existirá, ao preço (P) de R$ 12,00, uma demanda (D) de 24 unidades do produto para que 
a receita total (RT), nesse caso, seja a maiorpossível. Veja o gráfico:
RT (R$)
480
288
D (quantidade)
24
Vértice (24;288)
Figura 13 – Representação gráfica de D = 48 – 2P, para RT = P·D somente em função de D
Observando os cálculos e o gráfico anterior, podemos dizer que, nesse caso, ao preço (P) de R$ 12,00, 
temos uma demanda (D) de R$ 24,00, que proporciona uma receita total (RT) máxima de R$ 288,00. Ou 
seja, com esses parâmetros, ocorre a maximização da receita.
 Observação
Cuidado para não confundir maximização da receita com maximização 
do lucro.
A maximização da receita trata de identificar a melhor solução entre 
demanda e preço, mas não necessariamente traz a melhor solução no 
tocante a lucro unitário.
4.1 Exercícios resolvidos passo a passo
1. Um restaurante tem um cardápio com preço fixo de R$ 13,50 e consegue atender até 256 pessoas 
por dia.
33
MATEMÁTICA APLICADA
Figura 14 
Considere a função RT = 13,5·q, na qual o preço é fixo (R$ 13,50) e q é a quantidade de produtos 
vendidos diariamente, que pode variar de zero a 256 (0 ≤ q ≤ 256 unidades). Se a ocupação do restaurante 
for de 50%, qual será o valor recebido em decorrência da venda dos produtos?
Nesse caso, a metade dos produtos vendidos corresponde a 128 unidades, visto que a quantidade 
varia entre 0 e 256 unidades.
RT = 13,5·(128) = R$ 1.728,00.
Portanto, o valor recebido pela metade dos produtos vendidos é de R$ 1.728,00.
2. Uma empresa de ônibus interurbanos oferece em determinada linha o preço de R$ 20,50 e precisa 
ter, no mínimo, uma receita de R$ 1.025,00.
Figura 15 
34
Unidade I
Considere a função RT = 20,5·q, na qual o preço é fixo (R$ 20,50) e q é a quantidade de produtos 
vendidos (0 ≤ q ≤ 120 unidades). Qual será a quantidade de produtos vendidos quando a receita total 
atingir o valor de R$ 1.025,00?
Sabendo que RT = 1.025,00, podemos afirmar que:
RT = 1.025
20,5·q = 1.025
Q = 1.025
 20,5
Q = 50 unidades vendidas.
Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00 quando são vendidas 50 unidades do produto.
 Resumo
Para que ocorra mercado, as condições básicas devem ser: preço maior 
que zero, demanda ou procura pelo produto maior que zero e oferta 
maior que zero.
Demanda (ou procura) é a quantidade de produtos que os clientes 
querem adquirir, mediante um preço estipulado durante certo tempo em 
um determinado local. O cálculo da demanda pode ser realizado por meio 
da função demanda, que explica a relação entre demanda e preço em 
cada caso apresentado.
Oferta é a quantidade de mercadorias que os produtores estão dispostos a 
produzir e vender, mediante um preço estipulado durante certo tempo em um 
determinado local. O cálculo da oferta pode ser realizado por meio da função 
oferta, que explica a relação entre oferta e preço em cada caso apresentado.
Quando a oferta é igual à demanda, ocorre o equilíbrio de mercado, ou 
seja, é uma situação denominada ótima, na qual tudo o que foi produzido 
é vendido, e não há nenhum comprador sem acesso ao bem ofertado.
Sendo possível calcular tanto demanda quanto oferta, é possível 
calcular também as condições para ocorrer equilíbrio de mercado.
Receita total é o valor total recebido por uma quantidade de produtos 
vendidos, como fruto da multiplicação do preço pela quantidade vendida.
35
MATEMÁTICA APLICADA
 Exercícios
Questão 1. Podemos enunciar a lei da oferta em relação ao preço de um produto da seguinte 
forma: “A predisposição para a oferta ou demanda de um produto pelos fornecedores no mercado, 
geralmente aumenta quando o preço aumenta, e diminui quando o preço diminui” (MUROLO; 
BONETTO, 2006).
As funções demanda e oferta para uma marca de calculadora são:
D P e S P= − + = −3
4
30
5
4
10
Assinale a alternativa incorreta:
A) O preço de equilíbrio da calculadora é R$ 20,00.
B) O preço que impede o oferecimento do produto é de P > R$ 9,00.
C) O preço de equilíbrio é atingido quando15 calculadoras são vendidas.
D) O preço da calculadora deve ser menor que R$ 40,00 para que haja demanda de mercado.
E) Na função oferta podemos perceber que, quanto maior o preço, maior é o oferecimento do 
produto.
Resposta incorreta: alternativa B.
Análise das alternativas
A) Alternativa correta.
Justificativa: o preço de equilíbrio é atingido quando o preço da quantidade de calculadoras oferecida 
é igual ao da quantidade demandada. Assim, D = S:
D S P P P P
P P P
= → − + = = − − → − − =
−( ) → − = − → = −
−
→ =
3
4
30
5
4
10 30 3 5 4
40 8 160
160
8
.
220
Portanto, o preço de equilíbrio é de R$ 20,00.
36
Unidade I
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: sabemos que haverá oferta do produto quando S > 0. Então, 
5
4
10 0
5
4
10 5 10 4 5 40
40
5
8 00P P P P P P R− > → > → > → > → > → >. $ , . Haverá oferta do produto 
para preços maiores que R$ 9,00. Portanto, não haverá oferta do produto quando a variação de preço 
for 0 < P < R$ 9,00.
C) Alternativa correta.
Justificativa: o preço de equilíbrio é de R$ 20,00. Então, usando a função demanda ou a 
função oferta, podemos determinar a quantidade de calculadoras. Usamos a função oferta: 
S P= − = − = − =5
4
10
5
4
20 10 25 10 15 . Assim, determinamos que a quantidade de calculadoras 
 
vendidas para atingir o preço de equilíbrio é 15.
D) Alternativa correta.
Justificativa: para determinar o preço da calculadora e para que haja demanda de mercado, D > 0. 
Então, − + > → − > − → < → < → <3
4
30 0
3
4
30
3
4
30
30 4
3
40P P P P P
.
O preço deve ser menor que R$ 40,00.
E) Alternativa correta.
Justificativa: para verificar se a oferta aumenta quando o preço aumenta, devemos substituir valores 
 
do preço na função S P= −5
4
10 para determinar a oferta. A tabela mostra que, quanto maior o preço, 
 
maior será a oferta de calculadoras.
Tabela 12
Preço (P) Oferta (S)
0 -10
8 0
16 10
20 15
37
MATEMÁTICA APLICADA
Questão 2. Uma indústria de margarina produz, atualmente, 50.000 unidades de um único produto. 
Nesse processo, a demanda e a oferta são dadas pelo gráfico a seguir:
y
p
200
100
150
50
-50
-10 10 30 5020
Preço (R$)
De
m
an
da
 (D
); 
Of
er
ta
 (s
)
40 60
Figura
O problema foi que o gráfico não identificou qual reta corresponde à demanda e qual reta corresponde 
à oferta do produto, mas sabe-se que o preço de equilíbrio é de R$ 40,00. Analise os itens seguintes:
I – A oferta é dada por S = 2p –40 produtos, enquanto a demanda local é de D = –4p + 200.
II – A quantidade de produtos que foram vendidos para obter-se um preço de equilíbrio foi entre 
0 e 40 unidades (0 < q < 40).
III – A função oferta no gráfico está representada pela reta decrescente porque, quanto maior o 
preço, menor é o oferecimento do produto.
IV – O preço da demanda de mercado pelo produto varia entre 0 e R$ 40.
Quais dessas afirmativas estão corretas?
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) III, apenas.
D) III e IV.
E) II e IV.
Resolução desta questão na plataforma.