31 - Campos vetoriais conservativos, independência do caminho

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Campos vetoriais conservativos, independência do
caminho
Joana Mohr
IME-UFRGS
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Seja F um campo de vetores e C uma curva parametrizada, vimos que
o trabalho realizado pelo campo em uma part́ıcula que se move ao
longo de C de um ponto inicia P até um ponto final Q é dado pela
integral de linha
∫
C
F · dr =
∫
C
f(x, y)dx+ g(x, y)dy
ou ∫
C
F · dr =
∫
C
f(x, y, z)dx+ g(x, y, z)dy + h(x, y, z)dz,
onde f, g, h são as funções componentes de F.
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Pergunta: Como o caminho de integração afeta o trabalho realizado
por um campo vetorial, numa part́ıcula que se move de um ponto P a
um ponto Q?
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Exemplo: Seja F(x, y) = x2 i +
y
3 j, calcule a integral de trabalho ao
longo dos seguintes caminhos ligando os pontos P (4, 1) e Q(0, 1):
a) O segmento de reta de P até Q.
b) O semi-ćırculo unindo P e Q no sentido anti-horário.
a) O segmento de reta pode ser parametrizado por r1(t) = 〈4− 4t, 1〉,
0 ≤ t ≤ 1, como r′1(t) = 〈−4, 0〉 e F(r1(t)) = 〈2− 2t, 13〉, temos que∫
C
F · dr =
∫ 1
0
F(r1(t)) · r′1(t)dt =
∫ 1
0
(
− 8 + 8t
)
dt = −8t+ 4t2
∣∣∣1
0
= −4
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b) O semi-ćırculo pode ser parametrizado por
r2(t) = 〈2 cos(t) + 2, 2 sen(t) + 1〉 0 ≤ t ≤ π, como
r′2(t) = 〈−2 sen(t), 2 cos(t)〉 e F(r2(t)) = 〈cos(t) + 1, 23 sen(t) +
1
3〉
temos que ∫
C
F · dr =
∫ π
0
F(r2(t)) · r′2(t)dt =∫ π
0
(
− 2 sen(t)− 2
3
sen(t) cos(t) +
2
3
cos(t)
)
dt =
= 2 cos(t)− 1
3
sen2(t) +
2
3
sen(t)
∣∣∣π
0
= −4.
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Lembre que F é conservativo, se existe φ : D → R tal que
F(x, y) = ∇φ(x, y), (x, y) ∈ D.
Note que F(x, y) = x2 i +
y
3 j é conservativo , já que
φ(x, y) =
1
4
x2 +
1
6
y2 =⇒ ∇φ(x, y) = x
2
i +
y
3
j = F(x, y).
Note também que
φ(0, 1)− φ(4, 1) = 1
6
− (4 + 1
6
) = −4,
veremos no próximo teorema que não é por acaso que o valor é o
mesmo. Ou seja, independente da curva C que liga P a Q,∫
C
F · dr = φ(0, 1)− φ(4, 1)
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Teorema Fundamental das Integrais de Linha (TFIL)
Suponha que F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j seja um campo vetorial
conservativo em alguma região aberta D ⊂ R2 contendo os pontos
(x0, y0) e (x1, y1) e que f(x, y) e g(x, y) sejam cont́ınuas nessa região.
Como F é conservativo, existe φ : D → R tal que
F(x, y) = ∇φ(x, y), (x, y) ∈ D
e se C for uma curva paramétrica lisa por partes qualquer, começando
em (x0, y0), terminando em (x1, y1), e que está totalmente contida em
D então ∫
C
F(x, y) · dr = φ(x1, y1)− φ(x0, y0).
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Com as hipóteses do TFIL, podemos usar a seguinte notação:∫
C
F(x, y) · dr =
∫ (x1,y1)
(x0,y0)
F(x, y) · dr =
=
∫ (x1,y1)
(x0,y0)
∇φ(x, y) · dr = φ(x1, y1)− φ(x0, y0).
Obs: Repare na semelhança com o Teorema Fundamental do Cálculo,
se G′(x) = g(x) vale que∫ b
a
g(x)dx =
∫ b
a
G′(x)dx = G(b)−G(a).
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Pergunta: O que acontece com uma integral de linha de um campo
conservativo ao longo de uma curva fechada, ou seja, uma curva
parametrizada r(t) tal que r(a) = r(b)?
∫
C
F(x, y) · dr = φ(x1, y1)− φ(x0, y0) = 0
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Exemplo: Seja F(x, y) = −y i + x j e C a curva parametrizada por
r(t) = 2 cos(t) i + 2 sen(t) j, 0 ≤ t ≤ 2π. Calcule
∫
C F(x, y) · dr.
∫
C
F(x, y) · dr =
∫ 2π
0
〈−2sen(t), 2 cos(t)〉 · 〈−2sen(t), 2 cos(t)〉dt = 8π,
logo F não é conservativo.
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