CÁLCULO-I-E-II-DIAGRAMADA-NOVA

Prévia do material em texto

Cálculo I e II 
 
 02 
 
 
1. Equações 3º e 4º Graus 4 
Equações Polinomiais 4 
Equações Biquadradas 6 
 
2. Limites 11 
Limite de uma Função Real 13 
Teorema do Valor Intermediário 14 
Limite Infinito 19 
Limite no Infinito 21 
Propriedades dos Limites 22 
 
3. Cálculo II 25 
Derivadas 25 
Definição de Derivada 25 
Definição 26 
Notações para a Derivada 26 
Interpretação Geométrica 28 
Regras Tabeladas para Derivar 33 
 
4. Integral 36 
Integral Indefinida 37 
Propriedades da Integral Indefinida 40 
Integral Definida e Indefinida 41 
Integrais Definidas 41 
Restrições e Notação 45 
Integral por Substituição 47 
Materiais Complementares 48 
 
5. Referências Bibliográficas 50 
 
 
 03 
 
 
 
 
 
 4 
CÁLCULO I E II 
1. Equações 3º e 4º Graus 
 
 
Fonte: Prova Fácil Web1 
 
ntes de iniciar de fato a nossa 
matéria que compreende o cál-
culo I vamos relembrar alguns con-
ceitos. 
 
Equações Polinomiais 
 
Note que versa sobre a equa-
ção o qual tem-se sua variável inde-
pendente (na maioria das vezes si-
mulada pela letra “x “) elevada ao 
expoente 3, isto é, constitui em ser 
um polinômio com 3 graus. 
Podemos encontra-la com ou-
tros nomes, bem como sendo uma 
função do terceiro grau análogas às 
nomenclaturas equação cúbica, ou 
ainda, como um polinômio de ter-
ceiro grau. 
Sua representação gráfica é 
como descrita a seguir: 
 
 
1 Retirado em http://provafacilnaweb.com 
A 
 
 
5 
CÁLCULO I E II 
 
Fonte: Só matemática 
 
Ainda, sua fórmula geral pode 
ser representada sendo como uma 
equação cúbica. Isto é, sua fórmula 
geral e dada por: 
 
y = ax³ + bx² + cx + d 
 
Onde: 
 “a“, “b“, “c” e “d” representam 
os coeficientes, todavia, o “d” 
designado como um termo in-
dependente; 
 “x” será a variável indepen-
dente da função; 
 “y” ainda, y será a variável que 
dependente da função. 
 
Note que uma função polino-
mial do terceiro grau poderá apre-
sentar até três raízes reais e dis-
tintas. Essencialmente, pode ser 
interpretada aplicando as Rela-
ções de Girard para resolver uma 
questão contendo uma equação do 
terceiro grau. 
 
 
 
Fonte: http://querobolsa.com.br 
 
Note que as fundamentações 
de Girard serão as responsáveis por 
estabelecer uma relação vivente em 
meio aos coeficientes de uma equa-
ção algébrica, bem como as suas raí-
zes. Assim, na equação do 2º grau, 
as afinidades são alcançadas através 
das fórmulas da soma e do produto: 
- b/a e c/a, concomitantemente. 
Assim, as equações do 3º grau 
têm como lei de desenvolvimento a 
equação algébrica: ax³ + bx² + cx + 
d = 0, com a ≠ 0 junto as raízes x1, x2 
e x3. A alteração dessa equação pos-
sibilita a resolução de expressões 
matemáticas adequados para relaci-
onar as raízes da equação. 
 
ax³ + bx² + cx + d = a[x³ - 
(x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + 
x2*x3) - x1*x2*x3 
 
Logo, dividindo a equação por 
a, obtemos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
6 
CÁLCULO I E II 
Desse modo, realizando uma 
igualdade em meio aos polinômios 
da seguinte maneira: 
 
x1 + x2 + x3 = - b/a 
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a 
x1 * x2 * x3 = - d/a 
 
Logo, os polinômios do 4º 
grau têm a consequente lei de for-
mação: 
 
ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0. 
 
Observe que nessa equação 
polinomial obtemos, no máximo, a 
vivência de quatro plausíveis raízes, 
cujos quando correlacionadas, de-
senvolvem as consequentes expres-
sões: 
 
x1 + x2 + x3 + x4 = - b/a 
x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 
* x4 + x3 * x4 = c/a 
x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 
+ x2 * x3 * x4 = - d/a 
x1 * x2 * x3 * x4 = e/a 
Equações Biquadradas 
 
 
Fonte: http://youtube.com 
 
Veja que a resolução de uma 
equação biquadrada em IR, isto é 
uma equação de 4º grau, precisamos 
trocar sua variável, transformando-
a em uma simples equação do 2º 
grau. Note que agora a expressão 
que precisa ser empregada, será: 
A partir da sequência prática: 
 Substitua x4 por y2 (ou qual-
quer outra incógnita elevada 
ao quadrado) e x2 por y. 
 Resolva a equação ay2 + by + c 
= 0. 
 Determine a raiz quadrada de 
cada uma da raízes (y'e y'') da 
 
 
7 
CÁLCULO I E II 
equação (SÓ MATEMÁTICA, 
2021). 
 
ay2 + by + c = 0. 
 
 
Desse jeito, temos que essas 
duas analogias recomendam-nos 
que cada raiz positiva da equação 
acima (ay2 + by + c = 0) representara 
a origem a duas raízes harmônicas 
para a biquadrada: logo, a raiz ne-
gativa, por sua vez, não dará origem 
a qualquer raiz real para a mesma. 
Vamos observar os exemplos a 
seguir: 
Vamos determinar as raízes da 
equação biquadrada abaixo: 
 
x4 - 13 x2 + 36 = 0. 
 
Resolução: 
Trocando x4 por y2 e x2 por y, 
obtemos que: 
 
y2 - 13y + 36 = 0 
 
Logo, a partir disso teremos 
que essa equação>:y'=4 e y''=9 
Bem como x2 = y, chegamos 
em: 
 
 
 
 
Assim, alcançamos que para 
conjunto verdade será: V={ -3, -2, 2, 
3}. 
Mais um exemplo a seguir: 
Vamos determine as raízes pa-
ra a equação biquadrada. 
 
x4 + 4x2 - 60 = 0. 
 
Resolução: 
Trocando x4 por y2 e x2 por y, 
observamos que: 
 
y2 + 4y - 60 = 0 
 
Logo, a resolução essa equa-
ção, alcançamos o seguir: 
 
y'=6 e y''= -10 
 
Assim, temos que x2= y, logo: 
 
 
 
Dessa forma, chegamos que 
para o conjunto verdade: 
 
 
 
Por fim, para um último exem-
plo vamos determinar a soma das 
raízes da equação. 
 
 
 
 
8 
CÁLCULO I E II 
 
 
Resolução: 
Neste caso, empregamos a se-
guinte aplicação: 
 
 
 
Logo: 
 
y2 - 3y = -2 
y2 - 3y + 2 = 0 
y'=1 e y''=2 
 
Trocando y, produzimos que: 
 
 
 
Assim, a somatória das raízes 
é representada por: 
 
 
 
Note então que a equação bi-
quadrada é uma equação a qual pos-
sui até o quarto grau, e como já men-
cionada para descobrir os valores de 
suas raízes será necessário mudá-la 
para uma equação de 2º grau. 
Desse modo, essa equação 
possui a sua forma geral: 
ax4 + bx2 + c = 0. 
 
Logo, temos que a ≠ 0 e b e c 
precisam admitir valores reais. 
Desse jeito, para solucionar e 
assim encontrar as suas raízes trans-
formamos em uma equação do se-
gundo grau. Utilizando a mudança e 
substituindo as incógnitas. 
Para melhor entendermos, co-
mo veremos a seguir. Veja que essa 
transformação ocorre ao chegamos 
às raízes da equação biquadrada. 
 
 
 
9 
CÁLCULO I E II 
4x4 - 17x2 + 4 = 0 → equação 
biquadrada 
4(x2)2 - 17x2 + 4 = 0 → pode 
ser transcrita assim. 
Logo, trocando as variáveis: x2 
= y, isso constitui que onde for x2 co-
locaremos y. 
4y2 - 17y + 4 = 0 → agora solu-
cionamos essa equação do 2º grau 
descobrindo x’ e x”. 
 
a = 4 b = -17 c = 4 
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (-17)2 - 4 . 4 . 4 
∆ = 289 - 64 
∆ = 225 
x = - b ± √∆/2a 
x = -(-17) ± √225/ 2 4 
x = 17 ± 15 /8 
x’ = 17 + 15/ 8 = 32 : 8 = 4 
x” = 17 - 15/8 = 2/8 = 1/4 
 
Veja que essas consistem nas 
raízes da equação 4y2 - 17y + 4 = 0, 
para descobrirmos as raízes da 
equação biquadrada, precisamos de: 
 
4x4 – 17x2 + 4 = 0 
 
Logo, precisamos trocar os va-
lores de x’ e x”, para x2 = y. 
Desse modo, considerando 
que x = 4 
 
x2 = y 
x2 = 4 
x = √4 
x = ± 2 
Logo temos que x= 1/4: 
 
x = 1 /4 
x2 = y 
x2 = 1/ 4 
y = ±1/2 
 
Desse modo, a resolução da 
equação biquadrada é dada da se-
guinte forma: 
 
S = {-2, -1/2, 1/2, 2} 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
CÁLCULO I E II 
2. Limites 
 
 
Fonte: Veja Abril2 
 
ote que quando introduzimos 
cálculo I, um dos primeiros as-
suntos em que devemos empreender 
é o de limites. Ele tem várias apli-
cações, entretanto a sua essência 
versa em considerar e delinear o 
comportamento de funções e além 
disso é o fundamento para a defini-
ção de derivadas. Para compreen-
dermos o que consiste no limite é 
imprescindível uma introdução ba-
silar sobre continuidade. 
Veja que uma função 𝑓 é profe-
rida contínua em um ponto 𝑎 do seu2 Retirado em http://veja.abril.com.br 
domínio se o gráfico dela não exibe 
pulos neste ponto 𝑎. 
 
 
Fonte: Lessa (2020) 
N 
 
 12 
CÁLCULO I E II 
Nesta circunstância, observe 
que o gráfico da função 𝑓 é contínua 
sendo assim no ponto 𝑎, isto é, não 
existe nenhuma cessação ou salto. 
Por outro lado, observe o caso 
abaixo: 
 
 
Fonte: Lessa (2020) 
 
Observamos que a função rea-
liza um salto na sua simulação gráfi-
ca, mais exatamente no valor em que 
admite a função no ponto 𝑎, sendo 
assim, ela não será contínua em 𝑎. 
 
 
Observe novamente o primeiro 
gráfico, onde a função é contí-
nua em 𝑎. As setas indicam que 
a medida que 𝑥 se aproxima de 
𝑎, pela direita ou pela esquerda, 
os valores de 𝑓(𝑥) se aproxi-
mam de 𝑓(𝑎). Consequente-
mente, quanto mais próximo 𝑥 
estiver de 𝑎, mais próximo 𝑓(𝑥) 
estará de 𝑓(𝑎). De uma forma 
intuitiva, podemos dizer que se 
𝑓 é contínua em 𝑎, então o li-
mite de 𝑥 tendendo a 𝑎, da fun-
ção 𝑓(𝑥) é igual a 𝑓(𝑎) (LESSA, 
2020). 
Assim, na notação usual, mi-
nutamos: 
 
limx→af(x)=f(a) 
 
Entretanto, se caso a função 𝑓 
não for contínua em 𝑎, e insistirmos 
atribuí-la um limite 𝐿, temos que: 
 
limx→af(x)=L 
 
Logo, 𝐿 consiste no valor que 𝑓 
precisaria ter em 𝑎. Note a seguir 
uma imagem para melhor compre-
endermos: 
 
 
Fonte: Lessa (2020) 
 
Então temos, no caso em que 𝐿 
≠ 𝑓(𝑎). Logo, 𝐿 versará no valor que 
𝑓 precisaria ter em 𝑎 para assim ser 
considerada contínua. 
 
 
 
 13 
CÁLCULO I E II 
Limite de uma Função Real 
 
Como já mencionamos se f 
uma função real acentuada sobre o 
intervalo (a,b) menos quiçá no pon-
to x=c que compete a intervalo (a,b), 
Le e Ld números reais. Articulamos 
que: 
 
1. O limite lateral de fà direita do 
ponto c é igual a Ld, se os valores da 
função se aproximam de Ld, quando 
x se aproxima de c por valores (à di-
reita de c) maiores do que c. Em sím-
bolos: 
 
limx→c+f(x)=Ld 
 
2. Limite lateral de f à esquerda 
de c é igual a Le, se os valores da fun-
ção se aproximam de Le, quando x se 
aproxima de c, por valores (à es-
querda de c) menores que cc. Em 
símbolos: 
 
limx→c−f(x)=Le 
 
3. Quando o limite lateral à es-
querda Le é igual ao limite lateral à 
direita Ld, diz-se que existe o limite 
da função no pont cc e o seu valor é 
Ld=Le=L. Com notações simbólicas, 
escrevemos: 
 
limx→cf(x)=L, significando 
que, para qualquer ε>0 e arbitrário, 
existe um δ>0, que depende de ε, tal 
que |f(x)−L|<ε para todo x satisfa-
zendo 0<|x−a|<δ. 
 
4. No caso em que um dos limites 
laterais não existe ou no caso de am-
bos existirem, mas com valores dife-
rentes, dizemos que a função não 
tem limite no ponto em questão. 
Fonte: Sodré (2020) 
 
Note que o próximo resultado 
assegura que uma função não pode 
beirar a dois limites distintos ao 
mesmo tempo e este aspecto é cu-
nhado sendo como o teorema da 
unicidade, porque afiança que se o 
limite de uma função é vivente, logo, 
ele necessita ser único. 
Quando se refere a unicidade 
do limite temos que: 
 
Se limf(x)=A e limf(x)=B 
quando x→c, então A=B. 
Demonstração: Se ε> é arbi-
trário, então existe δ1>0 tal que 
f(x)−A|<ε/2 sempre que 
0<|x−a|<δ1. 
Como também temos por hi-
pótese que existe δ2>0 tal que 
|f(x)−B|<ε/2 sempre que 
0<|x−a|<δ2 então, tomando 
δ=mind1, d2>0, obtemos 
|f(x)−A|<ε/2 e |f(x)−B|<ε/2 sempre 
que 0<|x−a|<δ e pela desigualdade 
triangular, temos: 
|A−B|=|A−f(x)+f(x)−B|≤|A−f
(x)|+|f(x)−B 
 
 14 
CÁLCULO I E II 
E como ε>0ε>0 é arbitrário, 
temos: 
|A−B|<ε 
Então |A−B|=0, o que garante 
que A=B. 
Exercício: Se |z|<ε para todo 
ε>0, mostre que z=0. 
Fonte: Sodré (2020) 
 
Teorema do Valor Intermediá-
rio 
 
Vemos caso tenhamos que f 
consiste em uma função contínua no 
intervalo fechado [a, b]. Isto consti-
tui que, para todo c ∈ (a, b), teremos 
que limx→c f(x) = f(c). Logo: 
Em suas extremidades do in-
tervalo a definição de continuidade 
se expressa por meio de limites late-
rais: 
 
lim x→a+ f(x) = f(a), lim x→b− f(x) 
= f(b). 
 
Desse modo, para fixar os pen-
samentos vamos conjecturar que 
f(a) < f(b) e ponderar um número y0 
tal que f(a) < y0 < f(b). 
Logo, a reta horizontal y = y0 
decompõe no plano cartesiano em 
duas porções avulsas: uma delas, 
que denominaremos de R+, apre-
senta todos os pontos que estão aci-
ma da reta e a outra, que denomina-
remos R-, apresenta os pontos que 
estão abaixo da reta. Bem como f(a) 
< y0 < f(b), precisamos alcançar: 
 
A = (a, f(a)) ∈ R−, B = (b, f(b)) ∈ 
R+. 
 
Note que o gráfico de f será em 
forma de uma curva contínua li-
gando todos os pontos. Desse modo, 
é natural asseverar que esta curva 
necessita tocar a reta horizontal em 
determinado ponto (x0, y0). 
Este ponto compete ao gráfico, 
de forma que f(x0) = y0 (mostrado a 
abaixo). 
 
Em outras palavras, “se você 
está dentro de uma sala que não tem 
janelas e tem somente uma porta, a 
única maneira de sair da sala ´e pas-
sando pela porta...” O argumento ge-
ométrico que usamos acima pode 
ser formalizado matematicamente. 
A sua conclusão ´e um importante 
resultado que enunciamos abaixo. 
Teorema 1 (Teorema do Valor Inter-
mediário). Suponha que f ´e uma 
função contínua no intervalo fe-
chado [a, b]. Se y0 ´e um valor entre 
f(a) e f(b), então existe pelo menos 
um x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = y0. 
Fonte: UNB (s/a) 
 
 
 15 
CÁLCULO I E II 
 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Vejamos que no enunciado su-
pra, como não estamos conjectu-
rando f(a) < f(b), a citação “entre f(a) 
e f(b)” precisa ser compreendida 
como em meio ao menor e o maior 
deles. 
As figuras acima ilustram pri-
meiro o caso f(a) < f(b) e, em se-
guida, o caso f(a) > f(b). Se tivermos 
f(a) = f(b), então a única opção seria 
y0 = f(a) e, neste caso o teorema cla-
ramente é verdadeiro bastando to-
marmos x0 = a, por exemplo. 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Logo, antes de comparecer 
atenções vamos considerar que a 
conclusão do teorema pode ser falsa, 
caso a função f não seja contínua. A 
título de exemplo simples é a função 
a seguir: 
 
 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Vejamos a seguir dois exem-
plos elucidando a aplicação do TVI-
Teorema do Valor Intermediário. 
 
Exemplo 1: Vamos usar o TVI para 
encontrar aproximações para uma 
raiz da função 
 
 
 16 
CÁLCULO I E II 
f(x) = x 3 − 2x 2 − 4x − 2. 
 
Uma conta simples mostra que 
f(2) = -10, de modo que o ponto (2, 
f(2)) está abaixo do eixo Ox. Por ou-
tro lado, como f(6) = 118, o ponto (6, 
f(6)) se situa acima do eixo Ox. 
Sendo f contínua, o seu gráfico deve 
ligar esses dois pontos com uma 
curva suave, sem saltos. 
 A curva deve então intercep-
tar o eixo Ox em um ponto cuja abs-
cissa é uma raiz de f(x). Vamos colo-
car as coisas na notação do teorema: 
a função f é contínua no intervalo [2, 
6], por ser um polinômio. Além 
disso, se considerarmos d = 0, temos 
que 
 
f(2) = −10 < d < 118 = f(6). 
 
Segue do Teorema 1 que existe 
x0 ∈ [2, 6] tal que f(x0) = d = 0. 
Logo, a função f possui pelo menos 
uma raiz no intervalo [2, 6]. 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Note que o teorema não nos 
possibilita encontrar a raiz. Nada 
obstante, como compreendemos 
que no intervalo [2, 6] tem-se uma 
raiz, podemos articular que x = 4 é 
uma raiz aproximada. 
Todavia, nesta aproximação, 
estaremos caindo em um erro de no 
máximo 2. Ou seja, que partindo da 
posição x = 4, se caminharmos 2 
unidades no sentido da esquerda ou 
2 unidades no sentido da direita 2 
seguramente encontraremos uma 
raiz. 
Para a aproximação, escolhe-
mos o ponto médio do intervalo [2, 
6], que é exatamente x = 4. Se você 
considera que um erro de tamanho 2 
não ´e aceitável, pode melhorar a 
aproximação usando o TVI mais 
uma vez: calculamos f(4) = 14 e per-
cebemos que x = 4 não ´e uma raiz. 
Se considerarmos o intervalo [4, 6], 
temos que f(4) e f(6) são positivos. 
Assim,pode ser que o gráfico não 
cruze o eixo Ox quando ligamos os 
pontos (4, (f4)) e (6, f(6)). Porém, 
olhando para o outro extremo do in-
tervalo [2, 6], temos que 
 
f(2) = −10 < 0 < 14 = f(4), 
 
E, portanto, o TVI nos garante 
que existe uma raiz no intervalo [2, 
4]. 
Fonte: UNB (s/a). 
 
Resultando como antes, pode-
mos ponderar x = 3 (consisti no pon-
to médio do intervalo [2, 4]) sendo 
assim a raiz aproximada. O erro in-
cumbido agora será no máximo 1. 
 
 
 
 17 
CÁLCULO I E II 
 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Logo, para concluirmos a 
questão notando que, para o primei-
ro passo do processo mencionado, é 
necessário encontrar valores a e b 
bem como os sinais de f(a) e f(b) são 
contrários. 
Apesar que isto possa parecer 
complexo e contraditório, você ca-
rece concordar que é mais simples 
do que tentar achar a raiz esponta-
neamente, também mais em cir-
cunstância em que a expresso da 
função f será mais complexa. 
Para melhor compreendermos 
vamos analisar mais um exemplo: 
 
1. Vamos verificar que a equação 
 
√3 x = 1 − x 
 
Possui pelo menos uma solu-
ção. Para tanto, observe inicialmen-
te que as soluções da equação acima 
são precisamente as raízes da função 
 
f(x) = √3 x − 1 + x. 
 
Como 
 
f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1), 
 
O TVI implica a existência de 
uma raiz no intervalo [0, 1], 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Quer dizer que na equação em 
questão tem uma solução neste in-
tervalo. 
Sendo que P0 qualquer ponto 
no plano da Terra, que considerare-
mos em ser uma esfera. Ou seja, a 
semirreta que liga P0 ao centro do 
plano fura a superfície em um outro 
ponto P ′ 0, que denominaremos de 
antípoda do ponto P0. 
Vamos utilizar o TVI para 
comprovar o seguinte aspecto curi-
oso: em algum instante de tempo, 
tem um ponto sobre o equador da 
Terra no qual a temperatura será a 
mesma do seu ponto antípoda. 
 
 
 
 
 18 
CÁLCULO I E II 
 
 
 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Desse modo, a intuição física 
nos possibilita assegurar que a fun-
ção T é contínua, uma vez que os 
pontos próximos na superfície da 
terra possuem temperaturas próxi-
mas. 
Vamos considerar agora a fun-
ção contínua 
g(θ) = T(θ) − T(θ + π), ∀ θ ∈ [0, π], 
 
Que mede a diferença de tem-
peratura entre dois pontos antípo-
das. Note que 
 
g(0) = T(0) − T(π), g(π) = T(π) − 
 
 19 
CÁLCULO I E II 
T(2π) = T(π) − T(0) = −g(0). Se 
g(0) = 0, 
 
Então a temperatura nos pon-
tos P0 e Pπ são iguais. Caso contrá-
rio, devemos ter g(0) 6= 0. 
Neste caso, como g(π) = -g(0), 
os sinais de g(0) e g(π) são opostos. 
Segue então do TVI que g(θ0) = 0 
par algum θ0 ∈ (0, π). Assim, os 
pontos Pθ0 e Pθ0+π estão sob a 
mesma temperatura. 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Dessa forma, o argumento aci-
ma conservar-se válido para qual-
quer outra forma escalar que diver-
sifica ininterruptamente sobre a su-
perfície da Terra, a título de exem-
plo, a pressão, ou a elevação. 
Ainda, não necessitamos nos 
desconjuntar sobre o equador, toda-
via sim sobre qualquer circunferên-
cia máxima, a título de exemplo to-
das aquelas fantasiosas que produ-
zem a longitude de um ponto na su-
perfície terrestre. 
 
Limite Infinito 
 
Conjecturamos a função: 
 
f (x) = 1 /x2. 
 
Veja que quando o x se beira 
de p = 0, x 2 ainda se aproxima de 0 
e, por conseguinte, 1 x2 fica arbitra-
riamente amplo quando adotamos 
valores de x acompanhantes de p = 
0. -4 -2 2 4 2 4 6 8 10 Para recomen-
dar este aspecto escrevemos: 
 
lim x→0 f (x) = +∞. 
 
Vale ressaltar que nessa cir-
cunstância, não se tem: 
 
lim x→0 f (x). 
 
Desse modo, diversas vezes 
mencionamos a este aspecto como f 
(x) discrepa para +∞ quando x vai a 
zero. Note que a reta vertical x = 0 é 
denominada uma assíntota vertical 
do gráfico de f. 
Dando uma definição (Limite 
Infinito), que consiste em seja f uma 
função e p um ponto de ajuntamento 
de Df . Logo, proferimos que: 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Logo, quando p consiste no 
ponto de ajuntamento à direita (es-
querda) de Df. 
Vejamos um exemplo a seguir: 
 
 
 20 
CÁLCULO I E II 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Definindo a reta x = p será de-
nominada como assíntota vertical 
do gráfico da função f caso algum 
das seguintes condições jazerem sa-
tisfeita: 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Veja que a proposição conse-
guinte será muito benéfica para cal-
cular limites. Observe a proposição: 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Ou seja, dependerá das condi-
ções da proposição. Agora provando 
a Proposição: 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Agora considerando as propri-
edades dos limites infinito, vejamos 
que seja L um valor real. Tal que: 
 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Lembre-se que as proprieda-
des acima são apropriadas se no lu-
gar de x → p, utilizamos x → p + ou 
x → p -. 
Ainda, vale ressaltar que as 
propriedades acima recomendam 
como operar com os Símbolos +∞ e 
−∞. 
 
 21 
CÁLCULO I E II 
Assim, por exemplo, se L ∈ R, 
 
L±∞=±∞, ∞.(−∞) =−∞ e 
L.(±∞)=±∞(∓∞)se L>0(L<0). 
 
Também temos indetermina-
ções, por exemplo, 
 
∞ − ∞, −∞ + ∞, 0 . ∞. 
 
Limite no Infinito 
 
Iremos analisar por agora o 
comportamento de h(x)=1/x, uma 
vez quando x cresce arbitrariamente 
(x→∞) ou mesmo quando x decresce 
arbitrariamente (x→−∞). 
Logo, o caminho que h per-
corre em x pequenos: 
 
 
 
 
 
Logo, o comportamento de h 
para z grandes: 
 
 
Desse modo, observando as ta-
belas temos que: 
 
 
Fonte: Sodré (2020) 
 
Desse jeito, ao arquitetar o 
gráfico de h, notamos que tem uma 
reta (assíntota) horizontal que con-
siste em uma reta y=0, que jamais 
toca a função, entretanto se beira a 
ela em +∞ e em −∞. 
 
 
 22 
CÁLCULO I E II 
 
Fonte: Sodré (2020) 
 
Note que obtemos assim uma 
definição geral, conglomerando tal 
circunstância: 
Olhe que definindo considera-
mos que seja f uma função acentu-
ada para todos os valores dentro do 
intervalo (a,∞). 
Ponderamos: 
 
 
 
Logo, quando consideramos 
para todo ε>0, tem um número real 
M>0 tal que |f(x)−L|<ε continua-
mente que x>M. 
Igualmente, formalizamos as-
sim o conceito de assíntota horizon-
tal. 
Ainda, trazendo uma definição 
articulamos que a reta y=L será uma 
assíntota horizontal do gráfico de f, 
caso se: 
 
limx→∞f(x)=L ou limx→−∞f(x)=L 
 
Propriedades dos Limites 
 
Como vimos em diversas fun-
ções do Cálculo podem ser alcança-
das como somas, quociente, diferen-
ças, produtos e potências de funções 
simples. Assim, todas as circunstân-
cias abaixo, ponderamos x→ax→a. 
 
Se f(x)=C onde C é constante, 
então 
 
limf(x)=limC=C 
 
Se k e b são constantes e 
f(x)=kx+b, então 
 
limf(x)=lim(kx+b)=ka+b 
 
Se f e g são funções, k uma 
constante, A e B números reais e 
além disso limf(x)=A e limg(x)=B, 
então: 
 
lim(f±g)(x)=[limf(x)]±[limg(x)]=A
±B 
 
lim(f⋅g)(x)=[limf(x)]⋅[limg(x)]=A⋅B 
 
lim(k⋅f)(x)=k⋅limf(x)=k⋅A 
 
lim(f)n(x)=(limf(x))n=Na 
 
lim(f÷g)(x)=[limf(x)]÷[limg(x)]=A
÷B, se B≠0. 
 
 23 
CÁLCULO I E II 
limexp[f(x)]=exp[limf(x)]=exp(A) 
 
Se acontecer uma das situa-
ções abaixo: 
a. limf(x)=0 
b. limf(x)>0 e n é um número na-
tural 
c. limf(x)<0 e n é um número na-
tural ímpar 
 
Então: 
 
 
Fonte: Sodré (2020) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
CÁLCULO I E II 
3. Cálculo II 
 
 
Fonte: Matemática PT3 
 
Derivadas 
 
Definição de Derivada 
 
cálculo derivado também conta 
com um estudo introdutório, 
todavia, averígua-se sendo como o 
conceito de derivada em uma função 
real de uma variável. Logo, a deri-
vada submerge a diversificação ou a 
alteração no comportamento de di-
versos fenômenos. Para melhor en-
tender a definição de derivada, abor-
dando os três problemas do Cálculo 
que submergem variação e movi-
mento: 
 O problema da reta tangente: 
 
3 Retirado em http://matematica.pt 
sejam f: D(f) ⊂R → R uma 
função real e x0 ∈ D(f), como 
obter a equação da reta tan-
gente ao gráfico de f que passa 
pelo ponto (x0, f(x0))? 
 O problema da velocidade e da 
aceleração: seja s: D(s) ⊂ R → 
R uma função real que descre-
ve o deslocamento de um ob-
jeto no plano e t0 ∈ D(s), como 
determinar a velocidade e a 
aceleração do objeto em t = t0? 
 O problema de máximos e mí-
nimos: seja f: D(f) ⊂ R → R 
uma função real qualquer. Co-
mo encontrar os pontos extre-
mos do gráfico de f? 
Fonte: RODRIGUES; MENECHETTI; 
POFFAL (2016) 
O 
 
 26 
CÁLCULO I E II 
Note que estes problemas são 
delineados a partir do conceito de li-
mite que foram mencionados anteri-
ormente. É importante lembrar que 
para uma função real 
 
f: D(f) ⊂ R → R, 
 
Consiste em que chamamos de 
“derivada da função f” será além dis-
so uma função. Logo a função “deri-
vada da função f” é alcançada por 
meio do cálculo de um limite que 
será analisado na seção a seguir. 
 
Definição 
 
Observe que seja f D(f) ⊂ R → 
R uma função real 
 
Note que a derivada de f es-
tando no ponto de abscissa x = x0 é 
definida como o número: 
 
f 0 (x0) = lim f(x0 + ∆x) − f(x0)/ ∆x 
 
Logo, supondo que o limite 
exista. Quando o limite (1.1.1) exis-
tir, diz-se que a função é derivável 
em x = x0. 
Pode-se pensar em f 0 como 
uma função cuja entrada é o número 
x0 e cuja saída é o valor f 0 (x0). Por-
tanto, ao substituir-se x0 por x em 
(1.1.1), tem-se f 0 (x), ou seja, a deri-
vada da função f em relação à variá-
vel x, definida por, 
f 0 (x) = lim f(x + ∆x) − f(x) / ∆x . 
 
O processo para calcular uma 
derivada é chamado derivação ou di-
ferenciação. 
Fonte: RODRIGUES; MENECHETTI; 
POFFAL (2016) 
 
Notações para a Derivada 
 
Observe que têm diferentes 
formas de simular a derivada de 
uma função y = f(x), no caso a variá-
vel independente é x junto a depen-
dente é y. Determinadas notações 
mais habituais para a derivada são: 
 Notação “linha” (Joseph La-
grange): f 0 (x), y 0. 
 Notação de Leibniz: dy/ dx, df 
/dx, d/ dx [f(x)]. 
 Notação de operador: Dx[y]. 
 Notação de Newton: y˙. 
Fonte: RODRIGUES; MENECHETTI; 
POFFAL (2016) 
 
Desse modo, para descobrir o 
valor de uma derivada em um algum 
ponto x = x0, empregam-se as se-
guintes notações 
 
 
 
Vamos a exemplos de em-
prega-los. 
Mostre que a derivada de f(x) 
= x 2 + 3x é f 0 (x) = 2x + 3. 
 
 27 
CÁLCULO I E II 
Resolução: Como já identifi-
cando que f(x) = x 2 + 3x, precisa de-
monstrar que f 0 (x) = 2x + 3. Para 
fazê-lo devemos aplicar a definição 
de derivada, mostrada anterior-
mente. Basicamente precisa calcular 
f(x + ∆x): 
 
 
 
Logo, trocando as equações, 
temos que: 
 
 
Fonte: RODRIGUES; MENECHETTI; 
POFFAL (2016) 
 
Vamos aplicar a definição, as-
sim, determinando a derivada da 
função: 
 
a. f(x) = e ax 
 
Vamos a resolução do proble-
ma apresentado. Tendo que f(x) = e 
ax e justapondo, teremos que: 
 
 
 
 
Fonte: RODRIGUES; MENECHETTI; 
POFFAL (2016) 
 
Vamos mais um exemplo para 
melhor compreendermos: 
 
b. g(x) = sen(ax). 
 
Tendo que g(x) = sen(ax), e 
justapondo a notação, alcançaremos 
o seguinte: 
 
 
Fonte: RODRIGUES; MENECHETTI; 
POFFAL (2016) 
 
Logo, considerado os limites 
fundamentais, temos que: 
 
 
 
 
 
 28 
CÁLCULO I E II 
Assim, a derivada da função 
g(x) será apresentada por: 
 
g’(x)+ a cos (ax) 
 
Desse modo, podemos sinteti-
zar e articular que a Derivada de 
uma função 𝑓 em analogia à variável 
𝑥: consiste na taxa de variação de 𝑓 
de forma que 𝑥 varia. Logo, a deri-
vada no ponto 𝑥 = 𝑥0 será: 
 
 
 
Assim, o gráfico dessa deriva-
da consiste em um ponto é o coefici-
ente angular da reta tangente ao grá-
fico no mesmo lugar. 
 
 
Fonte: Responde ai (s/a) 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação Geométrica 
 
Como vimos a derivada con-
siste em ser uma função f a partir de 
um ponto a exibir na reta tangente 
um coeficiente angular (inclinação) 
no gráfico de f no ponto (a, f(a)). 
Observamos que se dada uma 
curva plana que simula o gráfico de 
f, se admitirmos um ponto P(a, f(a)), 
logo a equação da reta tangente r à 
curva em P será formulada por: 
 
y - f(a) = m (x - a) 
 
Assim, onde m será o coefici-
ente angular da reta. 
Desse modo, basta que admi-
tamos o coeficiente angular m da re-
ta junto a um dos seus pontos, para 
apreciarmos a sua equação. Todavia, 
como alcançar m para que r signifi-
que ser tangente à curva em P? Pon-
deremos um outro ponto arbitrativo 
sobre a curva, Q, no quais coordena-
das consistem em: 
 
(a + ∆x, f(a+ ∆x)) 
 
Note que a reta que advém por 
P e Q que é denominada reta secante 
à curva. 
 
 
 29 
CÁLCULO I E II 
 
Fonte: UNESP (s/a) 
 
Note que ao ponderarmos ago-
ra a diversificação do coeficiente an-
gular da reta secante avaliando Q se 
aproximar de P, isto é, adotando ∆x 
cada vez menor. Tudo recomenda 
que quando P está achegado de Q, o 
coeficiente angular msec da reta se-
cante necessita estar acompanhante 
do coeficiente angular m da reta r, 
isto é, o coeficiente angular msec pos-
sui um limite m quando Q inclinasse 
para P, que consiste em ser o coefici-
ente angular da reta tangente r. 
Mostrando-se a abscissa do ponto Q 
por: 
 
x = a + ∆x (∆x = x - a) 
 
Ainda, compreendendo-se que 
a abscissa de P é explanada por a, 
logo, se Q → P tal que ∆x → 0, o que 
é análogo a x→ a. 
Agora: 
 
Fonte: UNESP (s/a) 
 
A seguir, se m = f’(a), isto é, a 
derivada consiste em ser uma fun-
ção em um ponto, que logo, aprovi-
sione o coeficiente angular da reta 
tangente ao gráfico da função, neste 
ponto. Vamos observar exemplos 
para melhor compreender: 
Se f(x) = x2, determine qual é a 
equação da reta tangente ao gráfico 
de f, no ponto P(2, 4): 
 
 
 
Desse jeito, o coeficiente angu-
lar m da reta, será quando x0=2, te-
mos que: 
 
 
 
Assim, a equação abreviada 
para a reta tg no ponto P, será apre-
sentada por: 
 
 
 
 
 30 
CÁLCULO I E II 
Logo, a sua representação grá-
fica será apresentada a seguir: 
 
 
Fonte: UNESP (s/a) 
 
Vale ressaltar que a definição 
que se compreende na geometria 
plana de reta tangente consiste em 
uma circunferência, cujo situa que a 
reta tg encosta na circunferência so-
mente em um único ponto, não po-
derá ser desdobrado ao conceito de 
reta tg a uma curva acentuada pela 
função y = f(x). 
A imagem a seguir demonstra 
essa afirmação. 
 
 
Fonte: UNESP (s/a) 
 
Vamos observar aos exemplos 
a seguir: 
 
Dada a função f(x) = x: 
 
a. Determine a equação da reta 
tangente ao gráfico de f, no ponto 
P(4,2) 
 
Solução: A equação da reta 
tangente ao gráfico de f no ponto P é 
dada por: y – 2 = f ´(4) (x – 4). Por-
tanto, basta determinar f ´(4): 
 
 
 
Logo, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dada por y 
- 2 = ¼ (x-4) ou 
 
 31 
CÁLCULO I E II 
 
Fonte: UNESP (s/a) 
 
Vamos ponderar que uma im-
plicação imediata da interpretação 
geométrica da derivada é que uma 
função somente será derivável (ou 
diferenciável), caso um ponto de seu 
domínio se haver uma reta tangente 
no seu gráfico por este ponto, isto é, 
o gráfico da função no ponto em 
questão não exibe comportamento 
pontiagudo. 
Aplicando este pensamento 
para todos os pontos do domínio da 
função, compreendemos que o gráfi-
co de uma função diferenciável con-
sistirá em ser uma curva suave, sem 
nem um pico “pontudo”. Do mesmo 
modo, a função exibida na imagem 
abaixo, a título de exemplo, não é di-
ferenciável em x0, isto é, neste ponto 
não tem a sua derivada, porquanto 
por (x0, f(x0) não passa uma única 
reta tg. 
 
 
Fonte: UNESP (s/a) 
 
Desse modo, notamos que o 
cálculo da derivada pelo meio da sua 
definição determinadas vezes será 
complexo, porquanto submerge o 
cálculo de um limite. 
 Para tornar mínimo este pro-
blema, empregamos determinadaspropriedades das derivadas, que de-
nominaremos de regras de deriva-
ção, cujos não serão evidenciadas na 
apostila, mas será trabalhado no 
material complementar, entretanto 
 
 32 
CÁLCULO I E II 
suas expressões transcursam da de-
finição de derivada e podem ser des- 
cobertas na maior parte dos livros de 
Cálculo. 
 
 
 
 
 
 33 
CÁLCULO I E II 
 
 
Regras Tabeladas para Derivar 
 
Ainda, faz necessário apresentar algumas regras que são necessárias para 
resolução do cálculo derivada: 
 
 
 
 
Fonte: Responde ai 
 
 34 
CÁLCULO I E II 
Por fim, se analisarmos o cál-
culo de uma derivada de f no ponto 
x=a, vemos que a função será deline-
ada de maneira diversa no ponto 
x=a, logo, empregaremos a definição 
de derivada. 
Exemplificando, se almejamos 
a derivar na função de 𝑓(𝑥) no ponto 
𝑎: 
 
 
 
Logo, empregamos a defini-
ção. jamais não esquecendo que 
existem as derivadas implícitas. A tí-
tulo de exemplo ao derivar 
 
𝑦2 = 𝑥3 + 2 
 
Assim, em relação a 𝑥, com 𝑦 = 
𝑓(𝑥), empregamos a Regra da Ca-
deia, multiplicando a derivada de 𝑦2 
por 𝑦′: 2𝑦(𝑦 ′ ) = 3𝑥2 . Assim, tere-
mos nesse caso 2𝑦𝑦 ′ = 3𝑥2. 
 
35 
 
 
 
 36 
CÁLCULO I E II 
4. Integral 
 
 
Fonte: Veja Abril4 
 
ote que a derivada é uns prin-
cipais conceitos do Cálculo. 
Além disso, outro conceito até mais 
relevante é o de Integral. Tem-se 
uma estreita correlação entre esses 
dois raciocínios. A operação inversa 
da derivação, como já mencionamos 
consiste na antiderivação ou como 
ainda conhecemos a integração in-
definida. 
Newton e Leibniz, em seus es-
tudos se envolveram em uma polê-
mica sobre quem de fato desenvol-
veu a descoberta do Cálculo, ocasio-
nando amplo desgaste particular a 
cada um deles. Todavia, as aborda- 
 
4 Retirado em http://veja.abril.com.br 
gens em que cada um utilizou o tema 
foram diferentes. 
 
Newton apresenta o seu Méto-
do das Fluxões como uma ferra-
menta que lhe permite aprofun-
dar seus conhecimentos dos fe-
nômenos físicos. Isto é, uma vi-
são cinemática do Cálculo: a de-
rivada vista como uma taxa de 
variação. Ele considerava x e y 
variando em função do tempo. 
Leibniz, por sua vez, considera-
va x e y variando sobre uma se-
quência de valores infinitamen-
te próximos. Ele introduziu dx e 
dy como sendo as diferenças 
entre os valores nesta sequên-
cia. Newton encarava a integra-
ção como um problema de en-
contrar os x e y de uma determi-
N 
 
 37 
CÁLCULO I E II 
nada fluxão, isto é, achar o des-
locamento de uma dada veloci-
dade (CONHECER, s/a). 
 
Desse modo, para ele, a inte-
gração era, espontaneamente, o pro-
cesso avesso da diferenciação. Uma 
vez que Leibniz olhava a integração 
como uma soma, sendo que o estilo 
em que empregaram, antes dele Ca-
valieri e Roberval e Arquimedes. Lo-
go, ele foi feliz em empregar os ‘infi-
nitésimos’ dx e dy, de modo análogo 
Newton empregou x’ e y’, isto é, ve-
locidades. 
Observe que Leibniz utilizava 
a palavra ‘mônada' para recomendar 
algo tão singelo que não se divide em 
partes. Nenhum deles avaliava o que 
nós cognominamos de funções, por-
quanto este conceito somente foi in-
troduzido diversos séculos depois. 
Entretanto, os dois, categoricamen-
te, pensavam em adjacências de grá-
ficas. 
 
De qualquer forma, eles esta-
vam travando uma luta com o 
infinito, no caso, o infinitamen-
te pequeno. Apesar de Newton 
ter desenvolvido sua teoria pri-
meiro, coube a Leibniz o mérito 
de ter publicado a sua versão, 
em 1684, introduzindo o termo 
calculus summatorius, e divul-
gando assim suas ideias. Leib-
niz dava muita importância à 
notação, no que estava absolu-
tamente certo (CONHECER, 
s/a). 
 
Assim, foi Leibniz quem colo-
cou os símbolos matemáticos d e f, 
situando, em meados de 1675, a no-
tação precisamente como fazemos 
presentemente. 
 
 
 
Integral Indefinida 
 
Note que o estudo das inte-
grais indefinidas consiste no primei-
ro passo para alcançar o entendi-
mento de uma aplicação da ferra-
menta matemática: a integral. As-
sim, como a operação da derivada 
será introduzida a ideia de integral, 
despontando sua analogia com a de-
rivada. 
Logo, se temos que é a função 
F(x) é primitiva da função f(x), a ex-
pressão F(x) + C será denominada 
integral indefinida da função f(x) e é 
apresentada por: 
 
 
 
Temos que: 
 
 
Fonte: Conhecer.org 
 
 38 
CÁLCULO I E II 
Onde se lê Integral Indefinida 
de f(x) em conexão a x ou integral de 
f(x) em relação a x. Ainda, o proces-
so que possibilita calcular a integral 
indefinida consiste em ser uma fun-
ção é cunhado integração. 
Assim, temos que da definição 
de integral indefinida é explanada 
da seguinte forma: 
 
 
Fonte: Conhecer.org 
 
A título de exemplos temos que: 
 
 
Fonte: Conhecer.org 
Logo, como vimos acima, podemos ponderar que: 
 
 
 
 
 
 39 
CÁLCULO I E II 
Logo, possibilita alcançarmos as fórmulas gerais da integração por meio 
das formulas das derivadas. 
 
 
Fonte: Cálculo A 
 
 40 
CÁLCULO I E II 
Propriedades da Integral Inde-
finida 
 
Assim, podemos articular que 
sejam f(x) e g(x) funções reais acen-
tuadas dentro do mesmo domínio e 
k uma constante real. Logo, teremos 
que: 
 
 
Fonte: Conhecer.org 
 
 
Fonte: Cálculo A 
 
 41 
CÁLCULO I E II 
Integral Definida e Indefinida 
 
Como vimos a Integral que di-
zemos que consiste em ser uma de-
rivada definida se dá um valor como 
resultado, por outro lado, a Integral 
chamada de INDEFINIDA que vere-
mos a seguir se dá por uma função. 
 
 
 
Fonte: Responde ai 
 
Integrais Definidas 
 
Veja que considerando a área 
na antiguidade a matemática traba-
lha com o MÉTODO DA EXAUS-
TÃO: 
 
 
 
 
Fonte: Freire (2015) 
 
 
 
 
 42 
CÁLCULO I E II 
A título de exemplo vamos encontrar área das circunferências acima: 
 
 
Fonte: Freire (2015) 
 
Logo, temos que: 
 
 
Fonte: Freire (2015) 
 
Assim, considerando a região plana S, isto é, soma de Riemann: 
 
 
Fonte: Freire (2015) 
 
Desse modo, ampliando a ima-
gem por polígonos, no qual áreas te-
nham a possibilidade de serem cal-
culadas por meio dos métodos da ge-
ometria elementar, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 43 
CÁLCULO I E II 
 
 
 
 
 
Fonte: Freire (2015) 
 
 
 
 
 
 
 44 
CÁLCULO I E II 
Assim, a soma das áreas dos n retângulos, será exibido por: 
 
 
Fonte: Freire (2015) 
 
Então será conhecida sendo 
como a Soma de Riemann. 
Trazendo uma definição, po-
demos articular que seja y = f(x) 
uma função contínua, não negativa 
em [a,b]. Sendo que área na curva y 
= f(x), de a chegando até b, é deline-
ada por: 
 
 
Fonte: Freire (2015) 
 
Logo, para cada i = 1, ... n, ci 
consistirá no pondo arbitrário do in-
tervalo [x i-1, xi]. 
Que será representada por: 
 
 
Fonte: Freire (2015) 
 
Note que poderemos utilizar 
qualquer símbolo para simular a va-
riável independente. 
 
 
Fonte: Freire (2015) 
 
 
 
 
 45 
CÁLCULO I E II 
Restrições e Notação 
 
Note que em consequência das 
alternativas que optamos, para as 
estimativas para a variação total co-
meçando pela variação acumulada 
das funções analisadas podem ser 
aperfeiçoadas por meio do aumen-
tarmos o número n de subintervalos. 
Assim, a probabilidade de calcular-
mos uma estimação “exato” da vari-
ação total, promove em primeiro lu-
gar uma ponderação sobre como a 
metodologia para elevar de modo in-
definido o valor de n pode ser suge-
rido. 
Dessa forma, vamos nos ater a 
constatar se o procedimento de 
acrescentar o valor de n deriva, ou 
não, em um balanceamento dos va-
lores alcançados em cada Soma. Pa-
ra melhor compreender vamos ana-
lisar um exemplo sobre como decor-
rer. 
 
 
Fonte: http://docplayer.com.br 
 
Mas antes relembramos a nota-
ção com que indicamos o de-
senvolvimento de processoscomo “aumentar indefinida-
mente o valor de n”. A notação 
representa este processo e é 
lida: limite quando n tende ao 
infinito. Nesta linguagem, nos-
so desafio se traduz por investi-
gar a possibilidade de associar 
um número real às expressões e 
Se para y = f (t) num dado inter-
valo ambos os valores puderem 
ser definidos, 1 e se eles forem 
iguais, este valor terá o nome 
Integral Definida (PINTO, 
2009). 
 
A notação 
 
 
 
representa este processo e é lida: li-
mite quando n tende ao infinito. 
Nesta linguagem, nosso desafio se 
traduz por investigar a possibilidade 
de associar um número real às ex-
pressões 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 46 
CÁLCULO I E II 
Se para y = f (t) num dado in-
tervalo ambos os valores puderem 
ser definidos, 1 e se eles forem 
iguais, este valor terá o nome Inte-
gral. 
Fonte: Pinto (2009) 
 
Logo, a aplicação empregada 
que mencionarmos consiste na à In-
tegral Definida será 
 
 
 
Logo, na circunstância em que 
as funções y = f (t) que calculamos 
até agora, sendo: 
 
 
 
Desse modo, sempre terão e 
serão análogos. Assim, para este 
grupo de funções, devemos observar 
o seguinte: 
 
 
Fonte: Pinto (2009) 
Observe o seguinte exemplo: 
 
 
 
 47 
CÁLCULO I E II 
 
Fonte: Pinto (2009) 
 
Observe que ambas parcelas 
da última soma entre parênteses 
permanecerão desprezíveis quando 
n acender muito. Dessa maneira, a 
soma se consolida em 1/3 quando n 
cresce de modo indefinido. 
 
 
Fonte: Pinto (2009) 
 
Integral por Substituição 
 
Para simplificar a visualização, 
podemos chegar a uma integral co-
nhecida. Utilize quando você conse-
guir decompuser o que está sendo 
integrado em ambas partes: uma 
função (𝑢) vezes a derivada dessa 
função (𝑑𝑢). Transformação de vari-
áveis como já vimos para integrais 
definidas, altera-se os limites de in-
tegração. 
 
 
 
Fonte: Responde ai 
 
 48 
CÁLCULO I E II 
Materiais Complementares 
 
Links “gratuitos” a serem con-
sultados para um acrescentamento 
no estudo do aluno de assuntos que 
não poderão ser abordados na apos-
tila em questão: 
 
Aulas sobre limites 
 
Introdução-ao-Cálculo.pdf 
 
pucgoias.Introdução_ao_cál-
culo.pdf 
 
Cálculo I e II (livro) 
 
Derivadas funções reais 
 
Download do Livro Cálculo A 
 
Apostila_Calculo_II.pdf 
 
calculo1.pdf 
 
ApostilaLimiteDerivada.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home
https://mtm.grad.ufsc.br/files/2014/04/Introdução-ao-Cálculo.pdf
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17601/material/Introdução_ao_cálculo.pdf
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17601/material/Introdução_ao_cálculo.pdf
https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MS123/UERJ.pdf
https://lemas.furg.br/images/Apostilas/derivadas_2016.pdf
https://re1opcao.blogspot.com/2014/09/calculo-diva-marilia-flemming-mirian.html
http://mz.pro.br/calculoII/02_Apostila_Calculo_II.pdf
https://sites.icmc.usp.br/andcarva/sma301/calculo1c-am6.pdf
https://www.cin.ufpe.br/~gamr/FAFICA/matematica/ApostilaLimiteDerivada.pdf
49 
 
 49 
50 
 
 
CÁLCULO I E II 
50 
5. Referências Bibliográficas 
 
CARDOSO, Cristiane Terezinha; GÓES, 
Anderson Roges Teixeira. ANÁLISE DAS 
RESOLUÇÕES REALIZADAS POR ESTU-
DANTES SOBRE CÁLCULO DE ÁREA. 
EDUCAÇÃO, TECNOLOGIAS E LINGUA-
GENS: PESQUISAS, METODOLOGIAS E 
PRÁTICAS INOVADORAS (vol. 1), p. 38. 
 
CARVALHO, Alexandre Nolasco de. Aula 
11 - Limites Infinitos e no Infinito. Univer-
sidade de São Paulo, São Carlos/SP, Brasil, 
2020. 
 
CARVALHO, João Paulo Antunes; DE 
MACÊDO, Josué Antunes; LOPES, Lail-
son dos Reis Pereira. Algumas aplicações 
do cálculo diferencial e integral. Research, 
Society and Development, v. 10, n. 8, p. 
e22410817220-e22410817220, 2021. 
 
CONHECER. Integrais. Curso de cálculo, 
Módulo 4, Centro Científico Conhecer 
[s/a]. 
 
DA SILVA, Lino Marcos et al. O LIVRO DE 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
I: A VISÃO DOS ALUNOS DE CURSOS DE 
ENGENHARIA. 
 
Equações do 2º grau" em Só Matemática. 
Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-
2021. Consultado em 16/08/2021 às 
14:30. Disponível em: 
https://www.somatematica.com.br/fun-
dam/equacoes2/equacoes2_12.php 
 
FLAMMING, Diva Marília E GONÇAL-
VES, Miriam Buss. Cálculo A: Funções, Li-
mite, Derivação e Integração, 2006. 
 
FONSECA, Carla Camargo; SILVA, Gabri-
ele Bonotto; FELICETTI, Vera Lucia. A 
Gestão da Matéria e a Gestão de Classe no 
ensino de Matemática: uma perspectiva 
sobre a metodologia “Lógica do Cálculo”. 
Revista de Educação Matemática, v. 18, p. 
e021032-e021032, 2021. 
FREIRE, Vinícius Martins. Cálculo Dife-
rencial e Integral I. UFSC, 2015. 
 
LESSA, José Roberto. Limites. Info escola, 
2020. Retirado em: 
https://www.infoescola.com/matema-
tica/limites/ 
 
MARQUES, Tarniê Vilela Nunes et al. In-
fluência de métodos de cálculo do TRRF 
na verificação de edifícios em situação de 
incêndio. HOLOS, v. 1, p. 1-15, 2021. 
 
MIRANDA, Danielle de. Equações Biqua-
dradas. Prepara Enem, [s/a]. Retirado em: 
https://www.preparaenem.com/matema-
tica/equacao-biquadrada.htm 
 
PINTO, Márcia Maria Fusaro Introdução 
ao cálculo integral / Márcia Maria Fusaro 
Pinto. - Belo Horizonte: Editora UFMG, 
2009. 
 
RACHELLI, Janice; MARTINS, Paulo Da-
mião Cristo. Máximos e mínimos de fun-
ções: um estudo com base em problemas 
históricos. Boletim Cearense de Educação 
e História da Matemática, v. 8, n. 24, p. 65-
83, 2021. 
 
Responde ai. RESUMÃO - INTEGRAIS 
(Cálculo) Formulário, Dicas e Macetes 
para a Prova. Politécnicos [s/a]. 
 
RODRIGUES, Bárbara Denicol Do Ama-
ral; MENECHETTI, Cinthya Maria 
Schneider; POFFAL, Cristiana Andrade. 
DERIVADAS DE FUNÇÕES REAIS DE 
UMA VARIÁVEL. 1ª Edição, Rio Grande 
Editora da FURG 2016. 
 
SILVA, Jéssica Marques; FELIX, João 
Paulo Santos; DA SILVA, Lara Raine Men-
des. Cálculo diferencial e integral e suas 
aplicações: o uso do cálculo na análise so-
bre o aquecimento dos fios. Brazilian Jour-
nal of Development, v. 7, n. 8, p. 77647-
77660, 2021. 
51 
 
 
CÁLCULO I E II 
51 
SODRÉ, Ulysses. Superior >> Limites: Li-
mites de funções reais (I) Matemática Es-
sencial, UEL, 2020. 
 
STOODI. Equação de 3º grau: saiba tudo 
sobre esse assunto! 2021. Retirado em: 
https://www.stoodi.com.br/blog/mate-
matica/equacao-de-3-grau/ 
 
UNB. Cálculo 1- O Teorema do Valor Inter-
mediário. Modulo 1, Universidade de Bra-
sília, Departamento de Matemática, [s/a]. 
UNESP. Derivadas. Universidade Esta-
dual Paulista, [s/a]. 
 
 
 
 
 
 05
2