Projeto_mec_2

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Universidade Tecnológica
Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
Relatório Final do Projeto Disciplinar
de Mecânica 2
Autores:
Edson Toshio Kawasaki RA:1710800
Campo Mourão
11 de Dezembro de 2018
Conteúdo
1 Resumo 2
2 Introdução 2
2.1 O Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Análise Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Exploração Teórica 3
3.1 Conteúdo de Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Casos Limı́trofes e/ou Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Script Python 6
5 Resultados 6
6 Conclusão 7
7 Referências 7
1 Resumo
Aplicar as teorias de movimento geral, translação, rotação, movimento
plano geral e as relações de trabalho e energia para desenvolver o projeto
que consiste na solução do problema proposto e no desenvolvimento de um
programa via Phyton para resolução da equação final.
2 Introdução
2.1 O Problema
Se a barra uniforme e esbelta de 1,2 kg é liberada, partido do repouso,
na posição θ = 0, em que a mola não está esticada, determine e trace um
gráfico de sua velocidade angular, como uma função de θ, ao longo da faixa
0 < θ < θmax, em que θmax é o valor de θ para o qual a barra atinge
momentaneamente, o repouso. O valor da constante de mola k é 100 N/m,
e o atrito pode ser desprezado. Determine a velocidade angular máxima e o
valor de θ para o qual ela.
Figura 1:
2
2.2 Análise Preliminar
O mecanismo funciona da barra sendo liberada com o θ = 0o ,
velocidade angular de w = 0 e a mola sem deformação (x = 0), assim que é
liberada a barra acelera até um certo ponto no qual a força da mola começa
a desacelerar a barra ate atingir o repouso novamente mas em uma posição
2 com o θ 6= 0 .
O mais indicado nesse problema seria a resoluçao pela lei de conservação de
energia.
3 Exploração Teórica
Utilizando a lei dos cossenos para calcular o valor de l − l0
l2 = 0.62 + 0.62 − 2 ∗ 0.6 ∗ 0.6 ∗ cos(90 + θ) = 2 ∗ 0.62 ∗ (1 + senθ)
γ = l − l0 =
√
2 ∗ 0.62 ∗ (1 + senθ)− 0.6 ∗
√
2 = 0.6 ∗
√
2 ∗ (
√
1 + senθ − 1)
θmax → v = 0
3
Utlizando a lei da conservação de energia para posição de θ = 0 ate o θmax
para descobrir o θmax
m ∗ g ∗ h1 +
1
2
k ∗ x21 +
1
2
∗ I0 ∗ w21 = m ∗ g ∗ h2 +
1
2
+
1
2
∗ k ∗ x22 +
2
2
∗ Io ∗ w22
x1 = 0;w1 = 0;h2 = 0;w2 = 0
x1 = 0 → mola nao foi esticada
w1 = 0 → parte do repouso
h2 = 0→ final do movimento como ponto de referencia
w2 = 0→volta ao estado de repouso
1.2 ∗ 9.81 ∗ 0.4 ∗ senθ = 1
2
∗ 100 ∗ (0.6 ∗
√
2 ∗ (
√
1 + senθ)− 1)2
4.7088 ∗ senθ = 36 ∗ (2 + senθ − 2 ∗
√
1 + senθ)
31.2912 ∗ senθ − 72
√
1 + senθ + 72 = 0
senθ = X
31.2912 ∗X − 72
√
1 +X + 72 = 0
X1 = 0;X2 = 0.6925
θ1 = 0
o
θ2 = 43, 83
o
Utilizando a lei de conservação de energia novamente porem não
zerando o w2 para obter uma função em relaçao a w
m ∗ g ∗ h1 +
1
2
kx21 +
1
2
∗ Io ∗ w21 = m ∗ g ∗ h2 +
1
2
+
1
2
∗ k ∗ x22 +
2
2
∗ Io ∗ w22
x1 = 0;w1 = 0;h2 = 0
x1 = 0 → mola nao foi esticada
w1 = 0 → parte do repouso
h2 = 0→ final do movimento como ponto de referencia
1.2∗9.81∗0.4∗senθ = 1
2
∗100∗(0.6∗
√
2∗(
√
1 + senθ)−1)2+1
2
∗1
3
∗1.2∗0.82∗w2
4.7088 ∗ senθ = 36 ∗ (2 + senθ − 2 ∗
√
1 + senθ) + 0.128 ∗ w2
4
(w =
√
−244.4625 ∗ senθ + 562.5 ∗
√
1 + senθ − 562.5) ∗ ∗
∗∗ Equaçao utilizada para realização do programa.
Derivando a equaçao para achar o ponto de maxima velocidade
angular e em qual θ isso acontece.
w =
√
f
dw
dθ
=
−244.625 ∗ cosθ + 562.5 ∗ cosθ
2∗
√
1+senθ
2 ∗
√
f
= 0
cosθ ∗ (−488.925 ∗
√
1 + senθ + 562.5) = 0
cosθ1 = 0; cosθ2 =
√
1 + senθ = 1.1505
θ1 = 90
o
θ2 = 18.88
o
θ = 18.88o = 0.3295rad→ wmax = 2.353rad/s
3.1 Conteúdo de Mecânica
O prinćıpio geral da conservação de energia diz que a energia total de um
sistema isolado é sempre constante. Quando a energia é conservada,
podemos criar equações que igualam a soma das diferentes formas de
energia no sistema. Nós, então, talvez sejamos capazes de resolver as
equações para a velocidade, a distância ou algum outro parâmetro do qual
a energia dependa. Se não temos informações suficientes das variáveis para
encontrar uma solução única, ainda sim, pode ser útil traçar variáveis
relacionadas para ver onde estão as soluções.
Ec1 + Ee1 + Eg = Ec2 + Ee2 + Eg2 = CTE
3.2 Casos Limı́trofes e/ou Especiais
O equaçao final do problema apresenta um limite do θmax porque a
incógnita θ esta dentro de uma raiz e multiplicada por um numero negativo
assim não podendo passar de 43.83o
0 ≤ θ ≤ 43, 83o
5
4 Script Python
Foi desenvolvido o programa em código Python através do sistema Sypder
na plataforma Anaconda para a resolução da equação final obtida.
Através desse programa foi posśıvel chegar aos mesmos resultados obtidos
através das contas desenvolvidas, assim como a obtenção do gráfico.
1 #Reso lve problema de Mecanica
2
3 @author : edson
4 ”””
5 import math
6 from ma t p l o t l i b import p yp l o t
7 p r i n t (” Se a barra uniforme e e s b e l t a de 1 ,2 kg l i b e rada , pa r t i do do repouso , na p o s i o = 0 , em que a mola n o e s t e s t i cada , determine e t race um g r f i c o de sua v e l o c i dade angular , como uma f u n o de , ao longo da f a i x a 0 mx , em que mx o va l o r de para o qua l a barra a t in g e momentaneamente , o repouso . O va l o r da cons tante de mola k 100 N/m, e o a t r i t o pode ser desprezado . Determine a v e l o c i dade angu lar m x ima e o va l o r de para o qua l e l a ocorre . ” )
8 r = f l o a t ( input ( ’ D i g i t e o va l o r do ra io em (m) : ’ ) )
9 k = f l o a t ( input ( ’ D i g i t e o va l o r da cons tan te e l a s t i c a da mola em (N/m) : ’ ) )
10 m = f l o a t ( input ( ’ D i g i t e o va l o r da massa da barra e s b e l t a em ( kg ) : ’ ) )
11
12
13 t e t a = range (44)
14
15 w = [math . s q r t ((−244.4625∗math . s in ( i ∗math . p i /180.0)+562.5∗(math . s q r t (1+math . s in ( i ∗math . p i /180.0)))−562.5)) f o r i in t e t a ]
16
17 pyp l o t . p l o t ( t e ta , w)
18
19 pyp l o t . g r i d (True )
20
21 pyp l o t . x l a b e l ( r ’$\ t h e t a \ , (ˆ{o})$ ’ )
22
23 pyp l o t . y l a b e l (” Veloc idade angu lar ”)
24
25 pyp l o t . s a v e f i g ( ’ g r a f i c o . png ’ )
26
27 pyp l o t . show ()
5 Resultados
Aplicando as teorias de movimento geral, translação, rotação, movimento
plano geral e relações de trabalho e energia foi posśıvel chegar a um
θmax = 43.83 graus e a velocidade angular máxima(wmax) de 2.353 na
6
posição de θ = 18.88graus. E desenvolver um programa para a resolução da
equaçao final e a expressão do grafico(abaixo) cujo o codigo foi:
w = [math.sqrt((-244.4625*math.sin(i*math.pi/180.0)+562.5*(math.sqrt(1+math.sin(i*math.pi/180.0)))-562.5))
6 Conclusão
Neste trabalho foi desenvolvida uma formulação dinâmica para o movimento
de rotação de uma barra restrita pela ação de uma mola. Utilizando
prinćıpios de conservação de energia mecânica, foi obtida uma expressão da
velocidade angular da barra em função da posição angular da mesma, sendo
a posição horizontal tida como o ińıcio do movimento. O resultado indicou
que a barra atinge uma velocidade angular máxima de w = 2, 353rad/s
quando θ = 18, 88opara depois retornar a zero quando o θ = 43, 83o.
7 Referências
Meriam e Kraige: Mecânica do Corpo Ŕıgido. LTC, Edição X.
7