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EXAME FINAL DE
PROBABILIDADES & ESTATÍSTICA
GUIÃO DE CORREÇÃO
Curso: Engenharias 1ª Época
Turma: Todas as turmas - 2º Ciclo Data: 09-Fevereiro-2022
Ano Lectivo: 2021 – 2º Semestre Duração: 100 min.
Nome do Docente: O grupo de Disciplina Pontuação: 320
Importante:
1) A fraude no exame de uma disciplina tem como consequência a reprovação na disciplina,
sem possibilidade do infractor participar no exame de recorrência nem no exame especial
(se existir) da disciplina em causa (alı́nea b, artigo 1 da ADENDA AO RPL).
2) O aluno que se fizer à sala de exame ciente de problemas administrativos (dı́vidas), terá a
nota anulada sem possibilidade de negociação a posterior.
1 [64,0 Pontos]: Numa série de n=25 medições obteve-se x̄=56m e s=2m. Depois de obtidos
estes resultados descobriu-se que tinha sido cometido um engano numa das medições, que foi
registada com o valor de 64m. Admitindo que a medição incorrecta é omitida, determine a
média.
RESPOSTA:
Antes da omissão
Para n = 25, temos:
x̄ =
n∑
i=1
xi
n
⇐⇒ 56 =
25∑
i=1
xi
25
⇐⇒
25∑
i=1
xi = 56 ∗ 25⇐⇒
25∑
i=1
xi = 1400
Depois da omissão
Para n = 24, temos:
x̄ =
n∑
i=1
xi
n
⇐⇒ x̄ =
25∑
i=1
xi − 64
24
⇐⇒ x̄ = 1400− 64
24
⇐⇒ x̄ = 1336
24
= 55, 67
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2 [64,0 Pontos]: Considere a tabela abaixo:
RESPOSTAS:
(a) [28,0 Pontos]: Complete a tabela.
Intervalos de Classe f Ponto Médio Fi fr
56 ` 59 6 57,5 6 0,02
59 ` 62 12 60,5 18 0,04
62 ` 65 18 63,5 36 0,06
65 ` 68 48 66,5 84 0,16
68 ` 71 42 69,5 126 0,14
71 ` 74 36 72,5 162 0,12
74 ` 77 63 75,5 225 0,21
77 ` 80 45 78,5 270 0,15
80 ` 83 30 81,5 300 0,1
Total 300 —- —- 1
(b) [20,0 Pontos]: Calcule a média e a moda.
x̄ =
∑n
i=1 x0 ∗ fi
n
=
21669
300
= 72, 23
M0 = l + c
fpost
fant + fpost
= 74 + 3
45
45 + 36
= 75, 67
(c) [16,0 Pontos]: Construa o Polı́gono de frequências.
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3 [64,0 Pontos]: O número de vendas realizadas por um agente de segurança diariamente é uma
v.a. com a seguinte função de probabilidade:
X 0 1 2 3 4
f(x) W Z T Z W
Sabendo que em 10% dos dias as vendas são inferiores a um e que 70% dos dias são superiores
a um, determine os valores de W, Z & T.
RESPOSTA:
P (X < 1) = 0, 1
P (X > 1) = 0, 7∑4
i=0 f(xi) = 1
P (X = 0) = 0, 1
P (X > 1) + P (X ≤ 1) = 1
W + Z + T + Z + W = 1

W = 0, 1
P (X ≤ 1) = 0, 3
2W + 2Z + T = 1

W = 0, 1
W + Z = 0, 3
0, 2 + 2Z + T = 1
ASSIM, resolvendo o sistema temos:
W = 0, 1
Z = 0, 2
T = 0, 4
4 [64,0 Pontos]: Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de quali-
dade de uma empresa. São inspeccionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer
no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceite?
RESPOSTA:
Dados:
n = 20
p =
80
800
= 0, 1
Seja X, uma v.a. que representa o número de aparelhos defeituoos num lote de aparelhos de TV.
X ∼ Binomial(20; 0, 1)
Para que o lote seja aceite, deve-se cumprir a seguinte premissa: P (X ≥ 1), Então,
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P (X = x) = Cnx ∗ px ∗ qn−x
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1)
P (X ≤ 1) = C200 ∗ 0, 10 ∗ 0, 920−0 + C201 ∗ 0, 11 ∗ 0, 920−1
P (X ≤ 1) = 0, 1216 + 0, 2702
P (X ≤ 1) = 0, 3918
Conclusão: A probabilidade do lote ser aceite é de 0,3918.
5 [64,0 Pontos]: Uma fábrica de cachimbos utiliza três máquinas de acabamento com volume
diário de produção, respectivamente de 500, 1000 e 2000 unidades. De acordo com a ex-
periência anterior sabe-se que a percentagem de cachimbos defeituosos originados por cada
máquina é respectivamente de 0.005; 0.008 e 0.01.
RESPOSTAS:
Sejam:
M1: ”Primeira máquina de fabrico de cachimbos ”
M2: ”Segunda máquina de fabrico de cachimbos ”
M3: ”Terceira máquina de fabrico de cachimbos ”
D: ”Cachimbos defeituosos”
n = 500 + 1000 + 2000 = 3500unidades
P (M1) =
500
3500
= 0, 14 P (M2) =
1000
3500
= 0, 29 P (M2) =
2000
3500
= 0, 57
(a) [24,0 Pontos]: Determine a percentagem de cachimbos defeituosos.
P (D) = P (M1) ∗ P (D \M1) + P (M2) ∗ P (D \M2) + P (M3) ∗ P (D \M3)
P (D) = 0, 14 ∗ 0, 005 + 0, 29 ∗ 0, 008 + 0, 57 ∗ 0, 01
P (D) = 0, 0007 + 0, 00232 + 0, 0057
P (D) = 0, 00872 ∗ 100%
P (D) = 0, 872%
(b) [40,0 Pontos]: Sabendo que um cachimbo foi encontrado defeituoso, pretende-se apurar
qual a máquina que com maior probabilidade terá dado origem.
P (M1 \D) =
P (M1 ∩D)
P (D)
=
P (M1) ∗ P (D \M1)
P (D)
=
0, 0007
0, 00872
= 0, 08
P (M2 \D) =
P (M2 ∩D)
P (D)
=
P (M2) ∗ P (D \M2)
P (D)
=
0, 00232
0, 00872
= 0, 27
P (M3 \D) =
P (M3 ∩D)
P (D)
=
P (M3) ∗ P (D \M3)
P (D)
=
0, 0057
0, 00872
= 0, 65
Conclusão: A máquina que com maior probabilidade terá dado origem ao cachimbo en-
contrado com defeito, é a máquina 3 (M3) com probabilidade de 0,65.
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