Cap3 - Metodo dos Deslocamentos

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Mecânica Estrutural II 
Curso de Engenharia Civil Empresarial 
Universidade Federal do Rio Grande 
 Escola de Engenharia 
1 
Mecânica Estrutural II 
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2 
Capítulo 3 
Método dos Deslocamentos 
Versão: 15/11/2020 17:44 
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3 
3.1 – Introdução 
3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidades Internas e Externas, Sistema Principal 
3.3 – Aspectos Fundamentais 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
3.7 – Cedimento de Apoio 
3.8 – Deformação por Força Normal 
3.9 – Vínculos Elásticos 
3.10 – Variação de Temperatura 
3.11 – Determinação de Deslocamento Ortogonal Recíproco em Barra Inclinada 
 3.11.1 – Processo de Williot 
 3.11.2 – Método Geométrico 
3.12 – Exemplos de Estruturas com Barras Inclinadas 
3.13 – Barras com Inércia Variável 
3.14 – Consideração da Simetria 
 
 
Plano do Capítulo 
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4 
• Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, v. 3, Ed. Globo. O Método das 
Deformações, pg. 1-180. 
 
• Soriano, H.L., Lima, S. S., Análise de Estruturas – Método das Forças e 
Método dos Deslocamentos, v. 1, Ed. Ciência Moderna. Cap. 3 - Método dos 
Deslocamentos, pg. 137-218. 
 
• Martha, L. F., Análise de Estruturas – Conceitos e Métodos Básicos, 2ª ed., 
Ed. Campus. Cap. 10 - Método dos Deslocamentos, pg. 305-334 e Cap. 11 - 
Método dos Deslocamentos com Redução de Deslocabilidades, pg. 335-397. 
 
3.1 – Introdução 
Método dos Deslocamentos – Bibliografia 
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5 
3.1 – Introdução 
3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidades Internas e Externas, Sistema Principal 
3.3 – Aspectos Fundamentais 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
3.7 – Cedimento de Apoio 
3.8 – Deformação por Força Normal 
3.9 – Vínculos Elásticos 
3.10 – Variação de Temperatura 
3.11 – Determinação de Deslocamento Ortogonal Recíproco em Barra Inclinada 
 3.11.1 – Processo de Williot 
 3.11.2 – Método Geométrico 
3.12 – Exemplos de Estruturas com Barras Inclinadas 
3.13 – Barras com Inércia Variável 
3.14 – Consideração da Simetria 
 
 
Plano da aula 1 
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• O método dos deslocamentos é aplicado utilizando-se uma estrutura 
auxiliar semelhante à original, o Sistema Principal (SP), sendo que no SP 
são restringidos quase todos os deslocamentos desconhecidos; 
 
• Os deslocamentos restringidos para obter o SP são aplicados um a um 
com valor unitário e os esforços provocados são avaliados; 
 
• Os valores dos deslocamentos inicialmente restringidos no SP são 
calculados para que o nó fique em equilíbrio; 
 
• A partir dos deslocamentos nos nós inicial e final das barras agora 
conhecidos, considerando o carregamento externo atuante na barra, é 
possível calcular os esforços ao longo das barras. 
Grau de Indeterminação Cinemática 
3.1 – Introdução 
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7 
• Considere-se as solicitações em uma barra carregada de uma estrutura 
genérica cujos nós se deslocam conforme os graus de liberdade 
admissíveis para o tipo de estrutura em questão... 
3.1 – Introdução 
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8 
Movimento de 
corpo rígido 
Deslocamento 
ortogonal 
recíproco 
Giro do nó A 
Giro do nó B 
Efeito do 
carregamento 
externo 
• Considere-se uma barra biengastada sujeita a 
carregamento transversal, parte de uma estrutura maior... 
• Quais os esforços que surgem? 
• Nós inicial e final sofrem translações 
e rotações... 
3.1 – Introdução 
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1 deslocabilidade (1 grau de liberdade não restringido) 
 
restrição das deslocabilidades: estrutura indeslocável! 
BARRAS INDEFORMÁVEIS AXIALMENTE 
• Considere-se o pórtico abaixo... 
3.1 – Introdução 
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ESFORÇOS NOS NÓS DE EXTREMIDADE DE BARRA BIENGASTADA 
SUJEITA A GIRO UNITÁRIO EM NÓ DE EXTREMIDADE 
• Cada barra passa a se comportar como uma barra biengastada, 
podendo estar sujeita a carregamento externo e giros dos nós extremos! 
ESFORÇOS NOS NÓS DE EXTREMIDADE DE BARRA 
BIENGASTADA SUJEITA A CARREGAMENTO TRANSVERSAL 
3.1 – Introdução 
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11 
3.1 – Introdução 
EFEITO DA ROTAÇÃO DESCONHECIDA DO NÓ C 
SOBRE AS BARRAS CONECTADAS AO MESMO 
4
. Cz
BC
EI
L

4
. Cz
AC
EI
L

EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO NAS BARRAS 
BIENGASTADAS 
8
BCPL
8
BCPL
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3.1 – Introdução 
EFEITO DA ROTAÇÃO DESCONHECIDA DO NÓ C SOBRE AS 
BARRAS CONECTADAS AO MESMO 
4
. Cz
BC
EI
L

4
. Cz
AC
EI
L

EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO NA EXTREMIDADE DAS 
BARRAS BIENGASTADAS 
8
ACPL
4 4
. . 0
8
C CAC
C z z
AC BCAC BC
PL EI EI
M
L L
 
   
       
   
8
4 4
AC
C
z
AC BC
PL
EI EI
L L

 
 
 
.
C
zPAC AC AC C
C C C zM M M

       
EQUILÍBRIO DO NÓ C! 8
ACPL
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Plano da aula 1 
3.1 – Introdução 
3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidades Internas e Externas, Sistema Principal 
3.3 – Aspectos Fundamentais 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
3.7 – Cedimento de Apoio 
3.8 – Deformação por Força Normal 
3.9 – Vínculos Elásticos 
3.10 – Variação de Temperatura 
3.11 – Determinação de Deslocamento Ortogonal Recíproco em Barra Inclinada 
 3.11.1 – Processo de Williot 
 3.11.2 – Método Geométrico 
3.12 – Exemplos de Estruturas com Barras Inclinadas 
3.13 – Barras com Inércia Variável 
3.14 – Consideração da Simetria 
 
 
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3.2 – Número de Incógnitas 
• No método dos deslocamentos o número de incógnitas fica 
dependente do número de deslocamentos desconhecidos na 
Estrutura. 
• Identifica-se dois tipos de deslocabilidade: 
- interna, associada a rotações de nós; 
- externa, associada a translações de nós. 
• O número de deslocamentos desconhecidos depende das 
deformações consideradas.... (consideração ou não das 
deformações axiais); 
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3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidade Interna 
• Dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao 
número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder “resolvê-Ia”, 
determinando seus esforços; 
 
• Para o caso de estruturas pórticos espaciais,o número de deslocabilidades 
internas é igual ao triplo do número de nós internos rígidos que a estrutura 
possui, pois que, para cada um deles, precisamos conhecer suas componentes de 
rotação em torno de cada um dos eixos coordenados. 
• Para o caso de grelhas, o número de deslocabilidades internas é igual ao dobro do 
número de nós internos rígidos que ela possui (supondo a grelha situada no plano 
xz, não haverá componente de rotação em torno do eixo y). 
• Em outras palavras, o número de deslocabilidades internas, di de uma estrutura 
plana (pórtico plano ou viga) é igual ao número de nós internos rígidos que 
ela possui (não incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e, 
evidentemente, nem os nós internos rotulados); 
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3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidade Interna 
Em princípio haveriam 4 deslocamentos desconhecidos, caso fossem consideradas 
deformações axiais. 
Apoio esquerdo: Δx e θz 
Desconsiderando as deformações axiais: 
Apoio central: Δx e θz 
Apoio esquerdo: Δx restringido pelo engaste à direita 
 Apoio central: Δx restringido pelo engaste à direita 
Número de Deslocabilidades Internas: 1 
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3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidade Interna 
Em princípio haveriam 5 deslocamentos desconhecidos, caso fossem consideradas 
deformações axiais. 
Nó B: Δx, Δy e θz 
Desconsiderando as deformações axiais: 
Nó C: Δx e θz 
Nó B: Δx restringido pelo engaste D 
 Δy restringido pelo engaste A 
Nó C: Δx restringido pelo engaste D 
Número de Deslocabilidades Internas: 2 
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3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidade Externa 
• Dizemos que o número de deslocabilidades externas de uma estrutura é igual ao 
número de translações de nós que precisamos conhecer para determinar os 
esforços em suas barras; 
 
• O número de deslocabilidades externas de de uma estrutura fica dependente da 
sua geometria, da consideração ou não da possibilidade deformação axial das 
barras e da vinculação externa. 
• Como as grelhas não admitem carregamento em seu plano, não há esforço 
normal nas barras. Não havendo esforço normal, é irrelevante a consideração ou 
não da deformabilidade axial das barras. 
• Como o único esforço diferente de zero nas treliças é o esforço normal, não é 
possível desconsiderar a deformação axial das barras. Caso isso fosse feito, a 
estrutura se apresentaria como rígida, completamente indeformável. 
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3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidade Externa 
Em princípio haveriam 8 deslocamentos translacionais desconhecidos. 
Nós D,E,F,G: Δx e Δy 
Desconsiderando as deformações axiais: 
Nó D: Δy restringido pelo engaste A 
Nó F: Δx e Δy resultam dependentes dos deslocamentos dos nós E e G 
Número de Deslocabilidades Externas: 2 
Nó E: Δy restringido pelo engaste B 
Nó G: Δy restringido pelo engaste C 
Nós D e E: se a barra DE é inextensível, Δx dos nós D e E é idêntico 
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Engastes: Δy restringidos pelos engastes 
 
3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidade Externa 
6 deslocamentos por nó: 
3 translações e 3 rotações 
Desconsiderando as deformações axiais: 
Barras horizontais: Δx e Δz vínculados 2 a 2 nos nós superiores 
Número de Deslocabilidades Internas:12 
Em princípio haveriam 24 deslocamentos 
desconhecidos, caso fossem 
consideradas deformações axiais. 
Número de Deslocabilidades Externas: 4 
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3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidade Externa 
Em princípio haveriam 6 deslocamentos desconhecidos, entre translações e rotações. 
Nós B e C: x ,z e Δy 
Considerando apenas as translações... 
Nós B e C: Δy possível 
Número de Deslocabilidades Externas: 2 
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3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidades 
• Dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao 
número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder resolvê-Ia. Em 
outras palavras, o número de deslocabilidades internas, di de uma estrutura plana 
(pórtico plano ou viga) é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui (não 
incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e, evidentemente, nem os nós 
internos rotulados); em grelhas o número de deslocabilidades internas será igual ao 
dobro do número de nós elásticos da mesma. 
 
• É usual chamar-se às estruturas que possuem deslocabilidades externas de 
estruturas deslocáveis, e aquelas que não as possuem (mesmo tendo 
deslocabilidades internas) de estruturas indeslocáveis. 
• O número de incógnitas associado ao problema em estudo, também chamado de 
grau de indeterminação cinemática, é dado pela soma entre as deslocabilidades 
internas e as deslocabilidades externas. 
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23 
3 2 5i ed d d    
3 2 5i ed d d    
3.2 – Número de Incógnitas 
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24 
8 4 12i ed d d    
4 3 7i ed d d    
3.2 – Número de Incógnitas 
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25 
8 4 12i ed d d    
8 1 9i ed d d    
8 2 10i ed d d    
9 3 12i eg g g    
18 3 21i eg g g    
12 3 15i eg g g    
Contraventamentos (barras inextensíveis!)... 
3.2 – Número de Incógnitas 
d – grau de indeterminação cinemática 
g – grau de indeterminação estática 
 
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26 
1 0 1i ed d d    
3 0 3i ed d d    
4 1 5i ed d d    
Sem deslocabilidade externa! 
Sem deslocabilidade externa! 
3.2 – Número de Incógnitas 
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Eliminação de trechos isostáticos... 
1 1 2i ed d d    
3.2 – Número de Incógnitas 
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28 
3.2 – Número de Incógnitas 
Em treliças, como o único 
esforço não-nulo é o 
esforço normal, não é 
possível desprezar as 
deformações axiais. 
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3.2 – Número de Incógnitas 
2.2 2 6i ed d d    
2.6 6 18i ed d d    
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3.2 – Número de Incógnitas 
4.2 0 8i ed d d    
2.2 2 6i ed d d    
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31 
Intervalo 
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32 
3.1 – Introdução 
3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidades Internas e Externas, SistemaPrincipal 
3.3 – Aspectos Fundamentais 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
3.7 – Cedimento de Apoio 
3.8 – Deformação por Força Normal 
3.9 – Vínculos Elásticos 
3.10 – Variação de Temperatura 
3.11 – Determinação de Deslocamento Ortogonal Recíproco em Barra Inclinada 
 3.11.1 – Processo de Williot 
 3.11.2 – Método Geométrico 
3.12 – Exemplos de Estruturas com Barras Inclinadas 
3.13 – Barras com Inércia Variável 
3.14 – Consideração da Simetria 
 
 
Plano da aula 1 
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33 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Sistema Principal 
Sistema Principal: o sistema principal é uma estrutura geometricamente 
semelhante à estrutura original, na qual são eliminadas todas as 
deslocabilidades, através do emprego de vínculos hipotéticos. 
• Eliminar rotações (deslocabilidade interna): chapa rígida 
• Eliminar translações (deslocabilidade externa): apoio simples 
Sistema Hipergeométrico (Martha) e Sistema Principal (Sussekind, Soriano) 
tem o mesmo significado! 
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34 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Sistema Principal 
Sistema Principal 
1 0 1i ed d d    
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Sistema Principal 
Sistema Principal 
3 2 5i ed d d    
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Sistema Principal 
Sistema Principal 
0 2 2i ed d d    
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Sistema Principal 
Sistema Principal 
4 2 6i ed d d    
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Sistema Principal 
Sistema Principal 
1 0 1i eg g g    
TRELIÇAS ! 
0 5 5i ed d d    
Sistema Principal 
2 0 2i eg g g    
0 9 9i ed d d    
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39 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Rigidez 
• Denomina-se rigidez de uma barra em um nó ao valor do momento que, 
aplicado neste nó, suposto livre para girar, provoca uma rotação unitária do 
mesmo (Sussekind, Curso de Análise Estrutural, v. 3, pg.11). 
a) Barra biengastada: 
A rigidez da barra AB no nó é o momento que 
provocaria um giro unitário no nó A, se este 
pudesse girar... 
Seu valor pode ser obtido considerando um 
recalque de apoio rotacional unitário no nó A... 
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40 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Rigidez 
• Considerando uma barra de seção transversal constante com momento de 
inércia I, material com módulo de elasticidade E, e resolvendo empregando 
Analogias de Mohr (método da viga conjugada...) 
0 2A A BM M M  
2
0 1+
2 2
B B
y
M l M l
F
EI EI
  
4 2
 A B
EI EI
M M
l l
 
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41 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Rigidez 
• Como consequência do giro unitário em A surge um momento em B igual à metade do 
que surge em A, e de mesmo sentido. Então se diz que o coeficiente de transmissão 
de A para B é da ordem de ½. Isso vale somente para barras com inércia constante! 
1
2
B
AB
A
M
t
M
  
4 2
 A B
EI EI
M M
l l
 
• Para barras com inércia variável os valores de K e t encontram-se tabelados, como se 
verá adiante. 
Rigidez dos nós da barra biengastada 
com inércia constante 
4EI
K
l

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3.3 – Aspectos Fundamentais: Rigidez 
• Convenção de Sinais: consideram-se positivos os momentos e rotações com 
sentido anti-horário. 
Tal convenção é estabelecida de forma independente da convenção utilizada 
para representação de esforços internos, onde se chama de positivos os 
momentos que tracionam as fibras inferiores das barras. 
Tanto MA quanto MB são positivos! 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Rigidez 
b) Barra engastada-apoiada: 
A rigidez da barra AB no nó A é o momento que 
provocaria um giro unitário no nó, se este 
pudesse girar... 
Solução apresentada por Sussekind, V. 2, Cap. 1, 
Aplicação 1-26. 
' 3EIK
l

Rigidez do nó engastado da barra 
engastada-apoiada com inércia constante 
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44 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Rigidez 
• Rigidez relativa k: define-se a rigidez relativa de uma barra em um nó como 
sendo sua rigidez absoluta K dividida pelo quadruplo do módulo de Elasticidade. 
4
K I
k
E l
 
'
' 3 .
4 4
K I
k
E l
 
BARRA BIENGASTADA 
BARRA ENGASTADA-APOIADA 
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45 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Deslocamentos Ortogonais Recíprocos 
a) Barra biengastada: 
Qual o valor dos momentos que surgem nos 
nós A e B de uma barra em que um dos nós 
extremos fica sujeito a um deslocamento 
ortogonal recíproco positivo*? 
Solução apresentada por Sussekind, V. 2, Cap. 1, 
Aplicação 1-27. 
Possível obter os valores de MA e MB utilizando 
os conceitos de rigidez K e coeficiente de 
transmissão t. 
* Giro horário da corda que une os nós! 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Deslocamentos Ortogonais Recíprocos 
a) Barra biengastada: 
As expressões anteriores valem para qualquer lei 
de variação de seção transversal ao longo da barra, 
não ficando limitadas a inércia constante. O que 
muda caso haja variação de inércia são as 
rigidezes K e os coeficientes de transmissão t. 
Considerando os momentos MA e MB como 
originados por um par de rotações de valor +φ/l. 
( )A A A BA B B A BA BM K t K K t K
l

    
( )B B B AB A A B AB AM K t K K t K
l

    
2
6
A B
EI
M M
l
 
Para barra de inércia constante, introduzindo os 
valores de rigidez e coeficiente de transmissão já 
determinados resulta ... 
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47 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Deslocamentos Ortogonais Recíprocos 
b) Barra engastada-apoiada: 
Qual o valor do momento que surge no nó A de 
uma barra AB onde o nó B fica sujeito a um 
deslocamento ortogonal recíproco positivo? 
Possível obter os valores de MA utilizando os 
conceitos de rigidez K’ e coeficiente de 
transmissão t. 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Deslocamentos Ortogonais Recíprocos 
b) Barra engastada-apoiada: 
Considerando o momento MA como originado 
por uma rotação de valor +φ/l. 
' '
A A A AM K K
l

 
2
3
A
EI
M
l

Para barra de inércia constante, introduzindo o 
valor da rigidez já determinado resulta ... 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Rigidez, Deslocamentos Ortogonais Recíprocos 
• Barra Biengastada 
• Barra Engastada-apoiada 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Rigidez 
• Para alongamento unitário devido a esforço normal 
• Para giro unitário devido a torção 
0GJT
l

EA
N
l

N
T
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51 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Momentos de Engastamento Perfeito 
• Representam o efeito do carregamento externo atuante na barra. 
São as reações correspondentes às cargas que atuam na barra. 
• Podem ser obtidos por solução do problema hiperestático 
correspondente à barra biengastada ou engastada-apoiada sujeita 
ao carregamento. 
 
• Normalmente tabelados. 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Momentos de Engastamento Perfeito 
Momentos de Engastamento 
Perfeito para barras de inércia 
constante sujeitas a cargas 
distribuídas e concentradas 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Momentos de Engastamento Perfeito 
Momentos de Engastamento 
Perfeito para barras de inércia 
constante sujeitas a cargas 
concentradas 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Rigidez 
Rigidez para barras de inércia 
constante biengastadas e 
engastada-apoiadas 
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55 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Notação 
Correspondência: diz-se que um esforço é correspondente a um grau 
de liberdade ou deslocamento quando ocorre no mesmo local e é de tipo 
análogo. 
Força Translação 
 Momento Rotação 
 -ijK esforço correspondente à deslocabilidade i, causado pela 
imposição da deslocabilidade unitária j 
• Pode ser rigidez, momento transmitido, reação de apoio... 
“rigidez”: β (Sussekind), K (Martha), k (Soriano), S (Gere e Weaver) 
“deslocamentos”: Δ (Sussekind), D (Martha), d (Soriano), u ... 
“ações corrigidas”: βi0 (Sussekind, Martha), fC (Soriano) , A (Gere), P, F 
• Será rigidez se i = j... 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
Movimento de corpo rígido 
Deslocamento ortogonal recíproco 
MOMENTOS 
Giros de nó RIGIDEZ 
Efeito do carregamento externo 
MOM. DE ENGASTAMENTO PERFEITO 
Giros de nó RIGIDEZ 
• Considerando uma barra biengastada, é possível definir os esforços na mesma em função do 
carregamento externo, dos giros de seus nós extremos e da translação relativa entre os mesmos. 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
Funcionamento do método: a ideia básica do Método dos Deslocamentos é 
reproduzir o comportamento da estrutura original empregando um sistema principal 
semelhante à estrutura original. Para garantir que ambos se comportem de forma 
idêntica, é imposta a condição de equilíbrio de esforços correspondentes às 
deslocabilidades identificadas. 
ESTRUTURA ORIGINAL 
SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO 
BARRAS INDEFORMÁVEIS AXIALMENTE 
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ESTRUTURA ORIGINAL 
3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
+D1 
 +D2 +D3 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 EFEITO DA DESLOCABILIDADE 3 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 
0
, 31 1 32 2 33 3 30 . . . 0x DF K U K U K U P    ,0; 0; 0C D x DM M F    
SISTEMA PRINCIPAL COM RESTRIÇÕES 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
0 -iP Esforço correspondente à deslocabilidade i, 
causado pelo carregamento externo 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
0 ,0 ,0
1 1 1
BC ACP p p 
0 ,0
2 2
CDP p 
0 ,0
3 3
ACP p 
0 ...iP TABELADOS
OBTENÇÃO DOS COEFICIENTES P 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 
Esforços correspondentes à deslocabilidade i, 
causados pela aplicação de deslocamento 
unitário correspondente à deslocabilidade 1 
11 11 11
4 4CD AC
CD AC
EI EI
K k k
L L
   
21 21
2CD
CD
EI
K k
L
 
31 2
6
AC
EI
K
L

OBTENÇÃO DOS COEFICIENTES Ki1 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 
Esforços correspondentes à deslocabilidade i, 
causados pela aplicação de deslocamento 
unitário correspondente à deslocabilidade 2 
12 12
2CD
CD
EI
K k
L
 
22 22 22
4 3CD BD
CD BD
EI EI
K k k
L L
   
32 2
3
BD
EI
K
L

OBTENÇÃO DOS COEFICIENTES Ki2 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 3 
Esforços correspondentes à deslocabilidade i, 
causados pela aplicação de deslocamento 
unitário correspondente à deslocabilidade 3 
13 13 2
6AC
AC
EI
K k
L
 
23 23 2
3BD
BD
EI
K k
L
 
33 33 33 3 3
12 3AC BD
AC BD
EI EI
K k k
L L
   
OBTENÇÃO DOS COEFICIENTES Ki3 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
0
11 12 13 1 1
0
21 22 23 2 2
0
31 32 33 3 3
0
0
0
K K K U P
K K K U P
K K K U P
      
     
       
           
Matriz de Rigidez 
Vetor de Deslocamentos 
Ações de Engastamento Perfeito 
Matriz de Rigidez sempre simétrica!!!!! 
• Sistema de Equações a ser resolvido: 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
2
0
1 1
0
2 22
0
3 3
2 2 3 3
4 4 2 6
0
2 3 4 3
0
0
6 3 12 3
CD AC CD AC
CD BD CD BD
AC BD AC BD
EI EI EI EI
L L L L
U P
EI EI EI EI
U P
L L L L
U P
EI EI EI EI
L L L L
 
 
      
      
         
      
     
 
 
Matriz de Rigidez 
Ações de Engastamento Perfeito 
Matriz de Rigidez sempre simétrica!!!!! 
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3.3 – Aspectos Fundamentais: Funcionamento do Método 
+U1 
 +U2 +U3 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 EFEITO DA DESLOCABILIDADE 3 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 
0 1 1 2 2 3 3. . .E E E U E U E U   Cálculo dos Esforços Finais 
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3.1 – Introdução 
3.2 – Número de Incógnitas: DeslocabilidadesInternas e Externas, Sistema Principal 
3.3 – Aspectos Fundamentais 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
3.7 – Cedimento de Apoio 
3.8 – Deformação por Força Normal 
3.9 – Vínculos Elásticos 
3.10 – Variação de Temperatura 
3.11 – Determinação de Deslocamento Ortogonal Recíproco em Barra Inclinada 
 3.11.1 – Processo de Williot 
 3.11.2 – Método Geométrico 
3.12 – Exemplos de Estruturas com Barras Inclinadas 
3.13 – Barras com Inércia Variável 
3.14 – Consideração da Simetria 
 
 
Plano da aula 1 
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67 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
• Definição do sistema principal, identificando as deslocabilidades 
existentes e restringindo-as; 
• Aplicação de deslocamentos unitários correspondentes às 
deslocabilidades identificadas, no sistema principal, um a um; 
• Identificação dos esforços correspondentes às deslocabilidades 
unitárias; 
• Montagem das equações de equilíbrio; 
• Solução do sistema de equações de equilíbrio; 
• Cálculo dos esforços e reações de apoio finais. 
• Avaliação do efeito do carregamento externo no sistema principal; 
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FINAL DA AULA 1 
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3 
3.1 – Introdução 
3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidades Internas e Externas, Sistema 
Hipergeométrico 
3.3 – Aspectos Fundamentais 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
3.7 – Cedimento de Apoio 
3.8 – Deformação por Força Normal 
3.9 – Vínculos Elásticos 
3.10 – Variação de Temperatura 
3.11 – Determinação de Deslocamento Ortogonal Recíproco em Barra Inclinada 
 3.11.1 – Processo de Williot 
 3.11.2 – Método Geométrico 
3.12 – Exemplos de Estruturas com Barras Inclinadas 
3.13 – Barras com Inércia Variável 
3.14 – Consideração da Simetria 
 
 
Plano da aula 2 
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4 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
KU P Sistema de Equações de Equilíbrio CORRESPONDENTES às Deslocabilidades... 
• O equilíbrio é imposto considerando as ações SOBRE AS EXTREMIDADES 
DE BARRAS (Apostila, pg. 56)... 
Como incluir AÇÕES NODAIS nas Equações de Equilíbrio? 
• Ações Nodais correspondentes a deslocabilidades... 
• Ações Nodais que não são correspondentes a deslocabilidades... 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
KU P SISTEMA DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO CORRESPONDENTES ÀS DESLOCABILIDADES... 
• O equilíbrio é imposto considerando as ações SOBRE AS EXTREMIDADES 
DE BARRAS (Apostila, pg. 56)... 
23 3
0
8
B
EI EI qL
L L

 
   
 
• MOMENTOS SOBRE AS EXTREMIDADES DE 
BARRA 
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6 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
23 3
0
8
B
EI EI qL
L L

 
   
 
• MOMENTOS SOBRE AS EXTREMIDADES DE 
BARRA 
• MOMENTOS SOBRE O NÓ 
23 3
0
8
B
EI EI qL
L L

 
    
 
• Como incluir uma AÇÃO NODAL CORRESPONDENTE às deslocabilidades?? 
KU P nodal epP F F 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
• Como incluir uma AÇÃO NODAL NÃO CORRESPONDENTE às deslocabilidades?? 
• Considerando como carga de barra! 
• Transmitindo a partir do nó, como rigidez proveniente de giro unitário... 
CB Ct M
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
ESTRUTURAS INDESLOCÁVEIS 
• São aquelas em que os nós não apresentam translações; 
Vigas? 
Pórticos Planos? 
Grelhas? 
• Os esforços nas barras pode-se admitir como oriundos unicamente do 
carregamento atuante na prórpria barra e dos giros dos nós de 
extremidade da mesma. 
Treliças nunca! 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
Exemplo 1: Obter o diagrama de momentos fletores para a viga de inércia constante da 
figura a seguir. 
SISTEMA PRINCIPAL ESTRUTURA SIMPLIFICADA 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
2
0
1
2
8 8 2
20 .4 40 .(5 )
 10 25
8 8
 80,00 
BCAB
B
kN
m
qLPL M
P M
kN m m
kNm kNm
kNm
 
       
 
 
       
 
 
SISTEMA PRINCIPAL 
nodal epP F F 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
,0 10
2
y
P
A kN 
SISTEMA PRINCIPAL 
,0
5 3
10 125 6 129
2 8 2
BC C
y
BC
qL MP
B kN kN kN kN
L
      
,0
3 3
10 75 6 10 91
8 2
BC C
y
BC
qL M
C kN kN kN kN kN
L
      
,0 10
8
AB
A
PL
M kNm 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 UNITÁRIA 
11 11 11
4 3
1,6AB BC
AB BC
EI EI EI
K k k
L L m
    
SISTEMA PRINCIPAL 
,1 2 2 2
6 3 51
200
y
AB BC
EI EI EI
B
L L m
    
,1
2
2
A
AB
EI EI
M
L m
 
,1 2 2
6 3
8
y
AB
EI EI
A
L m
 
,1 2
3
y
BC
EI
C
L
 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
11,6 . 80,00 
EI
U kNm
m
 
2
2
1
80,00 50,000
1,6
kNm
U kNm
EI EI
   
Sistema de Equações 
Cálculo dos Esforços Finais 
1 1 0.E E U E 
2
0 1
50,000
.E E kNm E
EI
 
0
11 1 1K U P
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
22 50,000 15,00 
8
AB
AB
AB
PL EI
M kNm kNm
L EI
 
     
 
2
0 1
50,000
.E E kNm E
EI
 
24 50,000 60,00 
8
AB
BA
AB
PL EI
M kNm kNm
L EI
 
      
 
• Cálculo de Ações de Extremidade de Barra 
2
2
6 50,000
8,75 
2
AB
AB
P EI
V kNm kN
L EI
 
     
 
2
2
6 50,000
28,75 
2
BA
AB
P EI
V kNm kN
L EI
 
    
 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
2
0 1
50,000
.E E kNm E
EI
 
2
23 50,000 85,00 
8 2
BC C
BC
BC
qL M EI
M kNm kNm
L EI
 
     
 
250,0000. 20,00CB CM M kNm kNm
EI
 
     
 
• Cálculo de Ações de Extremidade de Barra 
2
2
5 3 3 50,000
113 
8 2
BC C
BC
BC BC
qL M EI
V kNm kN
L L EI
 
     
 
2
2
3 3 3 50,000
87 
8 2
BC C
CB
BC BC
qLM EI
V kNm kN
L L EI
 
     
 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
2
2
6 50,000
8,75
2
y
AB
P EI
A kNm kN
L EI
 
     
 
2
0 1
50,000
.E E kNm E
EI
 
2
2 2
5 3
2 8 2
6 3 50,000
 + 141,75 
BC C
y
BC
AB BC
qL MP
B
L
EI EI
kNm kN
L L EI
   
   
      
  
2
2
3 3 3 50,000
10 97,00
8 2
BC C
y
BC BC
qL M EI
C kN kNm kN
L L EI
 
      
 
• Cálculo de Reações de Apoio 
(1ª maneira) 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
8,75 yA kN  141,75 yB kN 97,00 yC kN
85,00 BCM kNm
20,00 CBM kNm 
113 BCV kN
87 CBV kN
15,00 ABM kNm 
60,00 BAM kNm 
8,75 ABV kN 
28,75 BAV kN
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
DMF 
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3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
Exercício 1 (Soriano, Exemplo 3.1, pg. 144): Determine os diagramas de solicitação da viga a 
seguir, considerando E = 2,1.107 kN/m2. 
I = 0,01 m4 I = 0,006 m4 
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Intervalo 
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21 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
Exemplo 2: (Curso de Análise Estrutural, Sussekind, v. 3, p. 27) Obter o diagrama de momentos 
fletores e as reações de apoio para o quadro a seguir, cujo material tem E = 20 GPa e cujas 
barras possuem inércia constante e igual a 0,024 m4. 
SISTEMA PRINCIPAL 
Mecânica Estrutural II 
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 Escola de Engenharia 
22 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
0
1 1
60 .8
60 
8 8
ep CDPL kN mP F kNm       
2 2
0
2 2
40 .(6 ) 60 .8
120 
8 8 8 8
kN
ep mCDDE
PLqL m kN m
P F kNm
   
            
  
Mecânica Estrutural II 
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 Escola de Engenharia 
23 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
11
4 4 4 4 7
6 8 6AC CD
EI EI EI EI EI
K
L L m m m
    
21
2 2
8 4CD
EI EI EI
K
L m m
  
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 COM VALOR UNITÁRIO 
Mecânica Estrutural II 
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24 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
12
2 2
8 4CD
EI EI EI
K
L m m
  
22
4 4 3 4 4 3 5
8 6 6 3CD BD DE
EI EI EI EI EI EI EI
K
L L L m m m m
      
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 COM VALOR UNITÁRIO 
Mecânica Estrutural II 
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25 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
1
2
7
606 4
5 120
4 3
EI EI
U kNmm m
UEI EI kNm
m m
 
     
     
   
  
2
5
1
42
2
10080 
7,74907 10271
1,38376 1018000 
271
kNm
U x radEI
U x radkNm
EI


 
    
     
    
 
 
Sistema de Equações 
Cálculo dos Esforços Finais 
0 1 1 2 2. .E E E U E U  
2 2
0 1 2
10800 18000 
. .
271 271
kNm kNm
E E E E
EI EI
  
0
11 12 1 1
0
21 22 2 2
K K U P
K K U P
    
    
     
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26 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
2 10080 18000
0 . 0. 12,40 
271 271
AC
AC
EI
M kNm
L EI EI
   
         
   
2 2
0 1 2
10800 18000 
. .
271 271
kNm kNm
E E E E
EI EI
  
• Cálculo de Momentos 
4 10080 18000
0 . 0. 24,80 
271 271
CA
AC
EI
M kNm
L EI EI
   
         
   
4 10080 2 18000
. . 24,80 
8 271 271
CD
CD
CD CD
PL EI EI
M kNm
L EI L EI
   
        
   
2 10080 4 18000
. . 102,51 
8 271 271
CD
DC
CD CD
PL EI EI
M kNm
L EI L EI
   
          
   
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27 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
10080 4 18000
0 0. . 44,28 
271 271
DB
BD
EI
M kNm
EI L EI
   
         
   
2 10080 3 18000
0. . 146,79 
8 271 271
DE
DE
DE
qL EI
M kNm
EI L EI
   
        
   
10080 2 18000
0 0. . 22,14 
271 271
BD
BD
EI
M kNm
EI L EI
   
         
   
2 2
0 1 2
10800 18000 
. .
271 271
kNm kNm
E E E E
EI EI
  
• Cálculo de Momentos 
Mecânica Estrutural II 
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28 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
12,40 ACM kNm 
24,80 CAM kNm 
24,80 CDM kNm
102,51 DCM kNm 
44,28 DBM kNm  146,79 DEM kNm
22,14 BDM kNm 
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29 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
DMF 
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30 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
, 0 12,40 24,80 .6 0 6,20 C baixoz x xM A m A kN      
, 0 22,14 44,28 .6 0 11,07 D baixoz x xM B m B kN      
0 0 17,27 x x x x xF A B E E kN      
0 60 40.6 0 184,17 y y y y yF A B E m B kN       
, 0 .8 24,80 102,51 60.4 0 20,29 D esqz y yM A m m A kN       
, 0 .6 146,79 40.6 .3 0 95,54 D dirz y yM E m m m E kN     
Erro Sussekind, v. 3, fl. 30, Fig. I-38 
Erro Sussekind, v. 3, fl. 30, Fig. I-38 
• CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO 
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31 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
• CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO 
- Considerando a solução final para os momentos fletores, tomar cada 
barra como biapoiada, sujeita a carregamento externo e momentos 
fletores nas extremidades. Calcular as reações de apoio que surgem, e 
ver como se transmitem aos vínculos; 
- Considerando o sistema principal, utilizar as reações advindas do 
efeito do carregamento externo e os coeficientes que vão surgindo 
quando da imposição das deslocabilidades com valor unitário. Aplicar a 
equação de superposição de efeitos. 
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32 
Intervalo 
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33 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
Exemplo 3: Obter os diagramas de momentos fletores e momentos de torção para a grelha 
a seguir, cujas barras têm, todas, GJ = 0,8 EI. 
SISTEMA PRINCIPAL 
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34 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
0
1 1
20 .4
10 
8 8
ep BCPL kN mP F kNm       
2 2
0
2 2
10 .(5 )
20,83 
12 12
kN
ep mABqL mP F kNm   
CARGA EM BC 
CARGA EM AB 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
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35 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 
11
4 0,8 4 1,16
5 4AB BC
GJ EI EI EI EI
K
L L m m m
    
21 0K 
TORÇÃO EM AB, FLEXÃO EM BC 
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36 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 
22
4 4 0,8
5 4AC BC
EI GJ EI EI EI
K
L L m m m
     
12 0K 
TORÇÃO EM BC, FLEXÃO EM AB 
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37 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
1
2
1,16
0
10 
20,83 
0
EI
U kNmm
UEI kNm
m
 
     
     
   
  
2
1
22
8,621
20,833
kNm
U EI
U
kNm
EI
 
  
   
  
 
 
Sistema de Equações 
Cálculo dos Esforços Finais 
0 1 1 2 2. .E E E U E U  
2 2
0 1 2
8,621 20,833
. .E E E kNm E kNm
EI EI
   
       
   
0
11 12 1 1
0
21 22 2 2
K K U P
K K U P
    
    
     
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38 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
2
1 2
10 .(5 ) 2
0. . 29,17 
12 5
kN
m
AB
m EI
M U U kNm
m
   
CARGA EXTERNA 
DESLOCABILIDADE 1 
DESLOCABILIDADE 2 
BARRA AB 
2 2
0 1 2
8,621 20,833
. .E E E kNm E kNm
EI EI
   
       
   
1 2
0,8
0 . 0. 1,38 
5
AB
EI
T U U kNm
m
   
2
1 2
10 .(5 ) 4
0. . 4,17 
12 5
kN
m
BA
m EI
M U U kNm
m
     
1 2
0,8
0 . 0. 1,38 
5
BA
EI
T U U kNm
m
    
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39 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
1 2
20 .4 4
. 0. 1,38 
8 4
BC
kN m EI
M U U kNm
m
   
CARGA EXTERNA 
DESLOCABILIDADE 1 
DESLOCABILIDADE 2 
BARRA BC 
2 2
0 1 2
8,621 20,833
. .E E E kNm E kNm
EI EI
   
       
   
1 2
0,8
0 0. . 4,17 
4
BC
EI
T U U kNm
m
   
1 2
20 .4 2
. 0. 14,31 
8 4
CB
kN m EI
M U U kNm
m
     
1 2
0,8
0 0. . 4,17 
4
CB
EI
T U U kNm
m
    
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40 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
1,38 BCM kNm
4,17 BCT kNm
14,31 CBM kNm 
4,17 CBT kNm 
29,17 ABM kNm
1,38 ABT kNm
4,17 BAM kNm 
1,38 BAT kNm 
DMF DMT 
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41 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
Exercício 2 (Hibbeler, exemplo 11.6, pg. 348): Determine os momentos internos em cada 
nó do pórtico da figura. Os momentos de inércia são dados ao lado das barras. 
Considere E = 200 GPa. 
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42 
 
 
 
 
 
 
FINAL DA AULA 2 
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3 
3.1 – Introdução 
3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidades Internas e Externas, Sistema 
Hipergeométrico 
3.3 – Aspectos Fundamentais 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
3.7 – Cedimento de Apoio 
3.8 – Deformação por Força Normal 
3.9 – Vínculos Elásticos 
3.10 – Variação de Temperatura 
3.11 – Determinação de Deslocamento Ortogonal Recíproco em Barra Inclinada 
 3.11.1 – Processo de Williot 
 3.11.2 – Método Geométrico 
3.12 – Exemplos de Estruturas com Barras Inclinadas 
3.13 – Barras com Inércia Variável 
3.14 – Consideração da Simetria 
 
 
Plano da aula 3 
Mecânica Estrutural II 
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4 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
• Estruturas com deslocabilidade externa... 
• Cedimento de Apoio (Translação) 
• Cedimento de Apoio (Translação) 
• Variação de Temperatura 
Aquelas que possuem um deslocamento de translação desconhecido, que afeta os 
esforços! 
• Estruturas indeslocáveis ao considerar 
somente carga mecânica atuando, entretanto... 
SP 
SP 
SP 
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5 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
• Barra Biengastada 
• Barra Engastada-apoiada 
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6 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
Exemplo 4: Traçar o diagrama de momento fletor para o pórtico da figura abaixo, cujas barras 
tem rigidez EI. 
SISTEMA PRINCIPAL 
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7 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
2
0
1
2
8 8
10 (3 ) 40 .3
 3,75
8 8
BC AB
kN
m
qL PL
P
m kN m
kNm
 
    
 
 
    
 
0
2 20 
2
P
P kN
 
    
 
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8 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 UNITÁRIA 
11
4 3 7
3AB BC
EI EI EI
K
L L m
  
21 2 2 2
6 6 2
9 3AB
EI EI EI
K
L m m
  
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9 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 UNITÁRIA 
12 2 2 2
6 6 2
9 3AB
EI EI EI
K
L m m
  
22 3 3 3
12 12 4
27 9AB
EI EI EI
K
L m m
  
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 Escola de Engenharia 
10 
1
2
7 2
3,75 3 3
2 4 20 
3 9
EI EI
U kNmm m
UEI EI kN
m m
 
     
     
   
  
2
1
3
2
315 
16
2385 
32
kNm
U EI
U kNm
EI
 
  
  
  
 
 
Sistema de Equações 
Cálculo dos Esforços Finais 
0 1 1 2 2. .E E E U E U  
2 2
0 1 2
315 2385 
. .
16 16
kNm kNm
E E E E
EI EI
  
0
11 12 1 1
0
21 22 2 2
K K U P
K K U P
    
    
     
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
Mecânica Estrutural II 
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 Escola de Engenharia 
11 
2
2 315 6 2385
15 . . 51,56 
16 16
AB
AB AB
EI EI
M kNm
L EI L EI
   
       
   
• Cálculo de Momentos e Reações de Apoio 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
2 2
0 1 2
315 2385 
. .
16 16
kNm kNm
E E E E
EI EI
  
2
4 315 6 2385
15 . . 8,44 
16 16
BA
AB AB
EI EI
M kNm
L EI L EI
   
        
   
3 315 2385
11,25 . 0. 8,44 
16 16
BC
BC
EI
M kNm
L EI EI
   
        
   
2 3
6 315 12 2385
20 . . 40,00 
16 16
x
AB AB
EI EI
A kN
L EI L EI
   
         
   
2
3 315 2385
18,75 . 0. 12,19 
16 16
y
BC
EI
A kN
L EI EI
   
       
   
2
3 315 2385
11,25 . 0. 17,81 
16 16
y
BC
EI
C kN
L EI EI
   
       
  
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12 
51,56 ABM kNm
• Confecção do DMF 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
8,44 BAM kNm
8,44 BCM kNm 
40,00 xA kN 
12,19 yA kN
17,81 yC kN
DMF 
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13 
Intervalo 
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14 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
Exemplo 5: Obter os diagramas de momentos fletores e momentos de torção para a 
grelha a seguir, cujas barras têm, todas, GJ = 0,8 EI. 
SISTEMA PRINCIPAL 
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15 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
0
1 1
20 .4
10 
8 8
ep BCPL kN mP F kNm
   
          
  
2 2
0
2 2
10 .(5 )
20,83 
12 12
kN
ep mABqL mP F kNm
 
       
 
CARGA EM BC 
CARGA EM AB 
0
3 3
10 .5 20
35,00 
2 2 2 2
kN
ep mABqL P m kNP F kN
   
            
  
CARGAS EM AB e BC 
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16 
3.5 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 
11
4 0,8 4 1,16
5 4AB BC
GJ EI EI EI EI
K
L L m m m
    
21 0K 
TORÇÃO EM AB, FLEXÃO EM BC 
FLEXÃO EM BC 
31 2 2 2
6 6 3
16 8BC
EI EI EI
K
L m m
  
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17 
3.5 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 
22
4 4 0,8
5 4AC BC
EI GJ EI EI EI
K
L L m m m
     
12 0K 
TORÇÃO EM BC, FLEXÃO EM AB 
32 2 2
6 6
25AB
EI EI
K
L m
   
FLEXÃO EM AB 
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18 
3.5 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 3 
33 3 3 3 3
12 12 12 12
125 64AB BC
EI EI EI EI
K
L L m m
   
13 2 2 2
6 6 3
16 8BC
EI EI EI
K
L m m
  
FLEXÃO EM AB e FLEXÃO EM BC 
FLEXÃO EM BC 
23 2 2
6 6
25AB
EI EI
K
L m
   
FLEXÃO EM AB 
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19 
2
1
22
3
2 2 3 3
1,16 3
0
8 10,00 
6
0 20,83 
25
35,00 
3 6 12 12
8 25 125 64
EI EI
m m U kNm
EI EI
U kNm
m m
U kN
EI EI EI EI
m m m m
 
 
    
         
        
  
  
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
2
1 2
2
33
74,0494
40,5409
255,726
kNm
rad
EI
U
kNm
U rad
EI
U
kNm
EI
 
 
  
  
   
   
 
 
 
 
Sistema de Equações 
Cálculo dos Esforços Finais 
1 1 2 2 3 3 0. . .E E U E U E U E   
2 2 3
0 1 2 3
74,0494 40,5409 255,726
. . .
kNm kNm kNm
E E E E E
EI EI EI
   
0
11 12 13 1 1
0
21 22 23 2 2
0
31 32 33 3 3
K K K U P
K K K U P
K K K U P
    
   
    
         
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20 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
2 2 3
0 1 2 3
74,0494 40,5409 255,726
. . .
kNm kNm kNm
E E E E E
EI EI EI
   
2
1 2 32
10 .(5 ) 2 6
0. . . 65,99 
12 5 25
kN
m
AB
m EI EI
M U U U kNm
m m
    
CARGA EXTERNA 
DESLOCABILIDADE 1 
BARRA AB 
1 2 3
0,8
0 . 0. 0. 11,85 
5
AB
EI
T U U U kNm
m
     
2
1 2 32
10 .(5 ) 4 6
0. . . 8,11 
12 5 25
kN
m
BA
m EI EI
M U U U kNm
m m
     
1 2 3
0,8
0 . 0. 0. 11,85 
5
BA
EI
T U U U kNm
m
    
DESLOCABILIDADE 3 
DESLOCABILIDADE 2 
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21 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
2 2 3
0 1 2 3
74,0494 40,5409 255,726
. . .
kNm kNm kNm
E E E E E
EI EI EI
   
1 2 32
20 .4 4 6
. 0. . 11,85 
8 4 16
BC
kN m EI EI
M U U U kNm
m m
     
CARGA EXTERNA 
DESLOCABILIDADE 1 
BARRA BC 
1 2 3
0,8
0 0. . 0. 8,11 
4
BC
EI
T U U U kNm
m
     
1 2 32
20 .4 2 6
. 0. . 68,87 
8 4 16
CB
kN m EI EI
M U U U kNm
m m
      
1 2 3
0,8
0 0. . 0. 8,11 
4
CB
EI
T U U U kNm
m
    
DESLOCABILIDADE 3 
DESLOCABILIDADE 2 
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22 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
11,85 BCM kNm 
8,11 BCT kNm 
68,87 CBM kNm 
8,11 CBT kNm
65,99 ABM kNm
11,85 ABT kNm 
8,11 BAM kNm
11,85 BAT kNm
DMF DMT 
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23 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
Exercício 3: (Curso de Análise Estrutural, Sussekind, v. 3, p. 69) Obter os diagramas de 
momentos fletores e momentos de torção para a grelha a seguir, considerando que todas as 
barras têm, EI = 1,0.105 kNm2 e GJ = 1,5.105 kNm2. (erro Livro...) 
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24 
 
 
 
 
 
 
FINAL DA AULA 3 
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3 
3.1 – Introdução 
3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidades Internas e Externas, Sistema 
Hipergeométrico 
3.3 – Aspectos Fundamentais 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
3.7 – Cedimento de Apoio 
3.8 – Deformação por Força Normal 
3.9 – Vínculos Elásticos 
3.10 – Variação de Temperatura 
3.11 – Determinação de Deslocamento Ortogonal Recíproco em Barra Inclinada 
 3.11.1 – Processo de Williot 
 3.11.2 – Método Geométrico 
3.12 – Exemplos de Estruturas com Barras Inclinadas 
3.13 – Barras com Inércia Variável 
3.14 – Consideração da Simetria 
 
 
Plano da aula 4 
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4 
• A consideração de cedimento de apoio entra como um deslocamento conhecido, que 
normalmente gera deslocamentos ortogonais recíprocos entre as extremidades das 
barras, ocasionando momentos de engastamento perfeito. As ações de extremidade de 
barra podem ser somadas às originadas pelas demais ações da estrutura, conduzindo a 
uma reposta única. 
3.7 – Cedimento de Apoio 
  0 Rij j i iK U P P           
• A solução pode ser obtida de forma independente para o efeito de cedimento de apoio, e 
os esforços obtidos somados aos originados por outras causas. Nesse caso, a solução 
para o cedimento de apoio pode ser feita toda em função de EI. 
• Caso vão ser consideradas conjuntamente ações devido a cargas mecânicas e 
cedimento de apoio, é necessário substituir o valor do EI nas ações de extremidade de 
barra devido ao recalque de apoio, para poder somar com os termos devido às forças 
externas. 
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5 
3.7 – Cedimento de Apoio 
Exemplo 6: (Curso de Análise Estrutural, Sussekind, v. 3, p. 57) Obter o diagrama de 
momentos fletores para o quadro aseguir, cujas barras tem EI = 2.105 kNm2. Avalie em 
separado o efeito de um recalque vertical de 1 cm para baixo no apoio D associado a um 
recalque horizontal no mesmo apoio da ordem de 1 cm para a direita. 
SISTEMA PRINCIPAL 
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6 
3.7 – Cedimento de Apoio 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 
5 2 5 2
4
11
1 2
4 3 4.2.10 3.2.10
23,333.10
6 6
EI EI kNm kNm
K kNm
L L m m
    
2 2
0 ,0 2
1 1 1
20 .(6 )
0 90
8 8
kN
nodal ep mqL mP F F kNm       
0 ,0
2 2 2 0
nodal epP F F  
5 2
4
21 2 2
1
6 6.2.10
3,333.10
(6 )
EI kNm
K kN
L m
  
5 2
4
12 2 2
1
6 6.2.10
3,333.10
(6 )
EI kNm
K kN
L m
  
5 2
4
22 3 3
1
12 12.20.10
1,111.10
(6 )
EI kNm kN
K
L m m
  
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7 
3.7 – Cedimento de Apoio 
4 4
1
4 4
2
9023,333.10 3,333.10
03,333.10 1,111.10 /
U kNmkNm kN
UkN kN m
     
     
   
4
1
3
2
6,74966.10
2,02495.10
U rad
U m


  
   
   
Sistema de Equações 
Cálculo dos Esforços Finais 
0 1 1 2 2. .E E E U E U  
4 3
0 1 26,74966.10 . 2,0249.10 .E E E E
   
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8 
3.7 – Cedimento de Apoio 
4 3
2
2 6
0 6,74966.10 . 2,0249.10 . 22,489
6 (6 )
A
EI EI
M kNm
m m
    
4 3
2
4 6
0 6,74966.10 . 2,0249.10 . 22,498
6 (6 )
BA
EI EI
M kNm
m m
     
4 3390 6,74966.10 . 2,0249.10 .0 22,503
6
BC
EI
M kNm
m
    
Cálculo dos Esforços Finais 
4 3
0 1 26,74966.10 . 2,0249.10 .E E E E
   
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9 
3.7 – Cedimento de Apoio 
Efeito do Recalque de Apoio 
5 2
,
1 1 1 2 2
3 3.2.10
0 .0,01 166,667
(6 )
R nodal ep R
CB
CB
EI kNm
P F F m kNm
L m
       
4 4
1
4 4
2
166,6723,333.10 3,333.10
03,333.10 1,111.10 /
U kNmkNm kN
UkN kN m
     
     
   
1
2
0,00125
0,00375
R
R
radU
mU
   
   
  
Sistema de Equações 
Cálculo dos Esforços Finais 
1 20,00125. 0,00375.RE E E E  
,
2 2 2 0,0
R nodal ep RP F F kN  
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10 
3.7 – Cedimento de Apoio 
2
2 6
0 0,00125. 0,00375 . 41,667
6 (6 )
A
EI EI
M m kNm
m m
   
2
4 6
0 0,00125. 0,00375 . 41,667
6 (6 )
BA
EI EI
M m kNm
m m
    
3
166,67 0,00125. 0,00375 .0 41,667
6
BC
EI
M kNm m kNm
m
   
Cálculo dos Esforços Finais 
1 20,00125. 0,00375.RE E E E  
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11 
3.7 – Cedimento de Apoio 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 
11
1 2
4 3 4 3 7
6 6 6
EI EI EI EI EI
K
L L
    
,
2 2 2 0
R nodal ep RP F F  
21 2 2
1
6 6.
6 6
EI EI EI
K
L
  
12 2 2
1
6 6
6 6
EI EI EI
K
L
  
22 3 3
1
12 12
6 18
EI EI EI
K
L
  
,
1 1 1 2 2
3 3
0 .0,01
(6 ) 1200
R nodal ep R
BC
BC
EI EI EI
P F F m
L m
      
EFEITO DO RECALQUE DE APOIO 
1
2
7 1 1
6 6 1200
1 1 0
6 18
U
EI EI
U
                
1
2
0,00125
0,00375
R
R
radU
mU
   
   
  
SISTEMA DE EQUAÇÕES 
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12 
3.1 – Introdução 
3.2 – Número de Incógnitas: Deslocabilidades Internas e Externas, Sistema 
Hipergeométrico 
3.3 – Aspectos Fundamentais 
3.4 – Roteiro de Aplicação do Método 
3.5 – Aplicação a Estruturas sem Deslocabilidade Externa 
3.6 – Aplicação a Estruturas com Deslocabilidade Externa 
3.7 – Cedimento de Apoio 
3.8 – Deformação por Força Normal 
3.9 – Vínculos Elásticos 
3.10 – Variação de Temperatura 
3.11 – Determinação de Deslocamento Ortogonal Recíproco em Barra Inclinada 
 3.11.1 – Processo de Williot 
 3.11.2 – Método Geométrico 
3.12 – Exemplos de Estruturas com Barras Inclinadas 
3.13 – Barras com Inércia Variável 
3.14 – Consideração da Simetria 
 
 
Plano da aula 4 
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13 
3.8 – Deformação por Força Normal 
• A consideração da deformação por esforço normal é importante nas treliças, 
uma vez que este é o único esforço presente nas mesmas. Por outro lado, 
não faz sentido considerá-la em vigas ou grelhas. 
 • O esforço normal também pode ser significativo em pórticos com grande 
rigidez à flexão, nos quais as deformações por força normal podem ser 
comparáveis às deformações por flexão. E ainda nos pórticos com tirantes... 
• A consideração da deformação por esforço normal implica no aumento do 
número de deslocabilidades a considerar. 
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14 
3.8 – Deformação por Força Normal 
Exemplo 7: Seja determinar os esforços normais nas barras da treliça a seguir. A treliça é 
feita toda do mesmo material, sendo que as barras diagonais tem o dobro da área de seção 
transversal das demais barras. 
SISTEMA PRINCIPAL 
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15 
3.8 – Deformação por Força Normal 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
1 0P 
2 2 2 150
nodal epP F F kN   
SISTEMA PRINCIPAL 
Barra N0 
AB 0,0 
BC 0,0 
AD 0,0 
BD 0,0 
CD 0,0 
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16 
3.8 – Deformação por Força Normal 
EFEITO DE D1 = 1.0 
2
11 .cos45º .cos45º 2 sin45º.cos 45ºAD CDK N N EA  
SISTEMA PRINCIPAL 
1,0.sin 45ºADL 
( ) 2 .1,0.sin 45º
.sin 45º.cos45º
(2 / cos45º )
AD AD
AD
AD
EA L EA
N EA
L m

  
21 .sin 45º .sin 45º 0AD CDK N N  
Barra N1 
AB 0,0 
BC 0,0 
AD 0,5.EA 
BD 0,0 
CD -0,5.EA 
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17 
3.8 – Deformação por Força Normal 
EFEITO DE D2 = 1.0 
12 .cos 45º .cos 45º 0AD CDK N N   
SISTEMA PRINCIPAL 
1,0.cos 45ºADL 
2( ) 2 .1,0.cos45º .cos 45º
(2 / cos45º )
AD AD
AD
AD
EA L EA
N EA
L m

  
2
22 .sin 45º .sin 45º 2 .cos 45º.sin 45º
2
AD BD CD
EA
K N N N EA    
Barra N2 
AB 0,0 
BC 0,0 
AD 0,5.EA 
BD 0,5.EA 
CD 0,5.EA 
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18 
2
1
2
2
02sin 45º cos 45º 0
. . 0
1500 2cos 45º.sin 45º 1/ 2
U
EA
U
     
      
    
1
2
0
124,264
U
U
EA
 
       
 
Sistema de Equações 
Cálculo dos Esforços Finais 
0 1 1 2 2. .E E E E    
0 1 2
124,264
0. .E E E E
EA
  
3.8 – Deformação por Força Normal 
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19 
Cálculo dos Esforços Finais 
0 1 1 2 2. .E E E E    
1 2
124,264
0. .N N N
EA
 
3.8 – Deformação por Força Normal 
Barra N1 N2 Nfinal 
AB 0,0 0,0 0,0 
BC 0,0 0,0 0,0 
AD 0,5.EA 0,5.EA -62,13 
BD 0,0 0,5.EA -62,13 
CD -0,5.EA 0,5.EA -62,13 
Mecânica Estrutural II 
Curso de Engenharia Civil Empresarial 
Universidade Federal do Rio Grande 
 Escola de Engenharia 
20 
Intervalo 
Mecânica Estrutural II 
Curso de Engenharia Civil EmpresarialUniversidade Federal do Rio Grande 
 Escola de Engenharia 
21 
3.8 – Deformação por Força Normal 
Exemplo 8: (Curso de Análise Estrutural, Sussekind, v. 3, p. 167) Obter o diagrama de 
momentos fletores e as reações de apoio para o quadro da figura a seguir, cujas barras tem 
I/A=0,5 m2. Considere a deformação por esforço normal. 
X 
SISTEMA PRINCIPAL 
3 21
.
12 12
I bh h
A bh
 
  
 
2( ) ( )
0,01 0,35
0,05 0,77
0,2 1,55
0,5 2,45
I m h m
A





2I A
Mecânica Estrutural II 
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22 
3.8 – Deformação por Força Normal 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
1 1 1 0
nodal epP F F  
2 2 2 60
nodal epP F F kN   
SISTEMA PRINCIPAL 
3 3 3 100
nodal epP F F kN  
Mecânica Estrutural II 
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23 
3.8 – Deformação por Força Normal 
11
4 4 4 4 5
4 6 3AB BC
EI EI EI EI EI
K
L L m m m
    
21 2 2 2
6 6
(6 ) 6BC
EI EI EI
K
L m m
  
SISTEMA PRINCIPAL 
31 2 2 2
6 6 3
(4 ) 8AB
EI EI EI
K
L m m
  
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 
Mecânica Estrutural II 
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24 
3.8 – Deformação por Força Normal 
12 2 2 2
6 6
(6 ) 6BC
EI EI EI
K
L m m
  
22 3 2 3 3
12 .2 12 10
.4 (6 ) 18AB BC
EA EI E I EI EI
K
L L m m m m
    
SISTEMA PRINCIPAL 
32 0K 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 
Mecânica Estrutural II 
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 Escola de Engenharia 
25 
3.8 – Deformação por Força Normal 
13 2 2 2
6 6 3
(4 ) 8AB
EI EI EI
K
L m m
  
23 0K 
SISTEMA PRINCIPAL 
33 3 2 3 3
12 .2 12 25
.6 (4 ) 48BC AB
EA EI E I EI EI
K
L L m m m m
    
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 3 
Mecânica Estrutural II 
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 Escola de Engenharia 
26 
1
22
3
5 31
3 6 8 0
101 0 . . 60
6 18
1003 250
8 48
m
U
EI
U kN
m m
U kN
m
 
    
          
        
  
1
2
3
4050
101
9693
101
22308
101
EIU
U
EI
U
EI
 
 
   
       
    
 
 
 
Sistema de Equações 
Cálculo dos Esforços Finais 
1 1 2 2 3 3 0. . .E E E E E      
0 1 2 3
4050 9693 22308
. . .
101 101 101
E E E E E
EI EI EI
   
3.8 – Deformação por Força Normal 
Mecânica Estrutural II 
Curso de Engenharia Civil Empresarial 
Universidade Federal do Rio Grande 
 Escola de Engenharia 
27 
3.8 – Deformação por Força Normal 
2
2 4050 9693 6 22308
0 0 62,77
101 101 101
AB
AB AB
EI EI
M kNm
L EI EI L EI
     
           
     
2 3
6 4050 9693 12 22308
0 0 26,38
101 101 101
x
AB AB
EI EI
A kN
L EI EI L EI
        
                 
        
60yA  2
6
BC
EI
L

3
4050 12
101 BC
EI
EI L
  
      
9693 22308
0 47,98
101 101AB
EA
kN
L EI EI
    
            
* Os termos marcados com X não acarretam reação em A, e sim no apoio que bloqueia a deslocabilidade 2! 
4050 9693 22308
0 0 0 47,98
101 101 101
y
AB
EA
A kN
EI L EI EI
      
             
      
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28 
3.8 – Deformação por Força Normal 
2
4 4050 9693 6 22308
0 0 42,73
101 101 101
BA
AB AB
EI EI
M kNm
L EI EI L EI
     
           
     
2
4 4050 6 9693 22308
0 0 42,73
101 101 101
BC
BC BC
EI EI
M kNm
L EI L EI EI
      
             
      
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29 
3.8 – Deformação por Força Normal 
2
2 4050 6 9693 22308
0 0 29,36
101 101 101
CB
BC BC
EI EI
M kNm
L EI l EI EI
      
             
      
100xC   2
6
AB
EI
l

3
4050 9693 12
0
101 101 AB
EI
EI EI l
    
            
22308
73,62
101BC
EA
kN
l EI
  
       
2 3
6 4050 12 9693 22308
0 0 12,01
101 101 101
y
BC BC
EI EI
C kN
L EI L EI EI
        
               
        
* Os termos marcados com X não acarretam reação em C, e sim no apoio que bloqueia a deslocabilidade 3! 
4050 9693 22308
0 0 0 73,62
101 101 101
x
BC
EA
C kN
EI EI L EI
      
              
      
Mecânica Estrutural II 
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30 
3.8 – Deformação por Força Normal 
AÇÕES DE EXTREMIDADE DE BARRA 
MOMENTOS FLETORES FINAIS 
Mecânica Estrutural II 
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31 
3.8 – Deformação por Força Normal 
Neste problema, tanto a hipótese de Barras 
Inextensíveis quanto o emprego de nós 
rótulados nas extremidades de barras, faz 
com que só haja esforço normal nas barras. 
X 
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32 
2 2
1
22 3
3
2 3
4 4 6 6
0
6 12
0 . 60
100
6 12
0
AB BC BC AB
BC BC AB
AB AB BC
EI EI EI EI
L L L L
U
EI EI EA
U kN
L L L
U kN
EI EI EA
L L L
 
 
     
     
       
    
    
 
 
Sistema de Equações 
3.8 – Deformação por Força Normal 
Mecânica Estrutural II 
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33 
Intervalo 
Mecânica Estrutural II 
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 Escola de Engenharia 
34 
3.8 – Deformação por Força Normal 
Exemplo 9: (Quadro) Obter o diagrama de momentos fletores e as reações de apoio para o 
pórtico atirantado da figura a seguir, cujo tirante tem relação I/A=2 m2. Considere a deformação 
por esforço normal unicamente no tirante. 
SISTEMA PRINCIPAL 
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35 
3.8 – Deformação por Força Normal 
SISTEMA PRINCIPAL 
EFEITO DO CARREGAMENTO EXTERNO 
2 2
1 1 1
5 .(4 )
0 10
8 8
kN
nodal ep mql mP F F kNm       
2 0P 
3 0P 
4 0P 
5 0P 
6 6 6 10
nodal epP F F kN  
Mecânica Estrutural II 
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36 
3.8 – Deformação por Força Normal 
11
34 11
2 4 4
EIEI EIK   
21
2
2
EIK 
31 0K 
41
6
4
EIK 
51 0K 
61
6
4
EIK 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 1 
12
2
2
EIK 
22
3 74
2 2 2
EI EIEIK   
32 0K 
42
3 6 3
4 4 4
EI EI EIK   
52 0K 
62
6
4
EIK 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 2 
SISTEMA PRINCIPAL 
Mecânica Estrutural II 
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 Escola de Engenharia 
37 
3.8 – Deformação por Força Normal 
13 0K 
23 0K 
33
3 3 3
2 2
EI EIK EI  
43 0K 
53
3 3 0
4 4
EI EIK   
63
3
4
EIK 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 3 
14
6
4
EIK 
24
6 3 3
4 4 4
EI EI EIK    
34 0K 
44
312 2
8 8 4
EIEI EAK EI   
54 4 8
EA EIK   
64
12
8
EIK 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 4 
SISTEMA PRINCIPAL 
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38 
3.8 – Deformação por Força Normal 
15 0K 
25 0K 
35 0K 
45 4 8
EA EIK   
55
3 3 7
8 8 4 8
EI EI EIEAK    
65
3
8
EIK 
EFEITO DA DESLOCABILIDADE 5 
16
6
4
EIK 
26
6
4
EIK 
36
3
4
EIK 
46
12
8
EIK 
56
3
8
EIK 
66
3 1512
8 8 8
EI EIEIK 