CÁLCULO-I-DIAGRAMADA-NOVA

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Cálculo I 
 
 02 
 
 
1. Equações 3º e 4º Graus 4 
Equações Polinomiais 4 
Equações Biquadradas 6 
 
2. Limites 11 
Limite de uma Função Real 13 
Teorema do Valor Intermediário 14 
Limite Infinito 19 
Limite no Infinito 21 
Propriedades dos Limites 22 
 
3. Referências Bibliográficas 26 
 
 
 03 
 
 
 
 
 
 4 
CÁLCULO I 
1. Equações 3º e 4º Graus 
 
 
Fonte: Prova Fácil Web1 
 
ntes de iniciar de fato a nossa 
matéria que compreende o cál-
culo I vamos relembrar alguns con-
ceitos. 
 
Equações Polinomiais 
 
Note que versa sobre a equa-
ção o qual tem-se sua variável inde-
pendente (na maioria das vezes si-
mulada pela letra “x “) elevada ao 
expoente 3, isto é, constitui em ser 
um polinômio com 3 graus. 
Podemos encontra-la com ou-
tros nomes, bem como sendo uma 
função do terceiro grau análogas às 
nomenclaturas equação cúbica, ou 
ainda, como um polinômio de ter-
ceiro grau. 
Sua representação gráfica é 
como descrita a seguir: 
 
 
1 Retirado em http://provafacilnaweb.com 
A 
 
 
5 
CÁLCULO I 
 
Fonte: Só matemática 
 
Ainda, sua fórmula geral pode 
ser representada sendo como uma 
equação cúbica. Isto é, sua fórmula 
geral e dada por: 
 
y = ax³ + bx² + cx + d 
 
Onde: 
 “a“, “b“, “c” e “d” representam 
os coeficientes, todavia, o “d” 
designado como um termo in-
dependente; 
 “x” será a variável indepen-
dente da função; 
 “y” ainda, y será a variável que 
dependente da função. 
 
Note que uma função polino-
mial do terceiro grau poderá apre-
sentar até três raízes reais e dis-
tintas. Essencialmente, pode ser 
interpretada aplicando as Rela-
ções de Girard para resolver uma 
questão contendo uma equação do 
terceiro grau. 
 
 
 
Fonte: http://querobolsa.com.br 
 
Note que as fundamentações 
de Girard serão as responsáveis por 
estabelecer uma relação vivente em 
meio aos coeficientes de uma equa-
ção algébrica, bem como as suas raí-
zes. Assim, na equação do 2º grau, 
as afinidades são alcançadas através 
das fórmulas da soma e do produto: 
- b/a e c/a, concomitantemente. 
Assim, as equações do 3º grau 
têm como lei de desenvolvimento a 
equação algébrica: ax³ + bx² + cx + 
d = 0, com a ≠ 0 junto as raízes x1, x2 
e x3. A alteração dessa equação pos-
sibilita a resolução de expressões 
matemáticas adequados para relaci-
onar as raízes da equação. 
 
ax³ + bx² + cx + d = a[x³ - 
(x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + 
x2*x3) - x1*x2*x3 
 
Logo, dividindo a equação por 
a, obtemos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
6 
CÁLCULO I 
Desse modo, realizando uma 
igualdade em meio aos polinômios 
da seguinte maneira: 
 
x1 + x2 + x3 = - b/a 
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a 
x1 * x2 * x3 = - d/a 
 
Logo, os polinômios do 4º 
grau têm a consequente lei de for-
mação: 
 
ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0. 
 
Observe que nessa equação 
polinomial obtemos, no máximo, a 
vivência de quatro plausíveis raízes, 
cujos quando correlacionadas, de-
senvolvem as consequentes expres-
sões: 
 
x1 + x2 + x3 + x4 = - b/a 
x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 
* x4 + x3 * x4 = c/a 
x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 
+ x2 * x3 * x4 = - d/a 
x1 * x2 * x3 * x4 = e/a 
Equações Biquadradas 
 
 
Fonte: http://youtube.com 
 
Veja que a resolução de uma 
equação biquadrada em IR, isto é 
uma equação de 4º grau, precisamos 
trocar sua variável, transformando-
a em uma simples equação do 2º 
grau. Note que agora a expressão 
que precisa ser empregada, será: 
A partir da sequência prática: 
 Substitua x4 por y2 (ou qual-
quer outra incógnita elevada 
ao quadrado) e x2 por y. 
 Resolva a equação ay2 + by + c 
= 0. 
 Determine a raiz quadrada de 
cada uma da raízes (y'e y'') da 
 
 
7 
CÁLCULO I 
equação (SÓ MATEMÁTICA, 
2021). 
 
ay2 + by + c = 0. 
 
 
Desse jeito, temos que essas 
duas analogias recomendam-nos 
que cada raiz positiva da equação 
acima (ay2 + by + c = 0) representara 
a origem a duas raízes harmônicas 
para a biquadrada: logo, a raiz ne-
gativa, por sua vez, não dará origem 
a qualquer raiz real para a mesma. 
Vamos observar os exemplos a 
seguir: 
Vamos determinar as raízes da 
equação biquadrada abaixo: 
 
x4 - 13 x2 + 36 = 0. 
 
Resolução: 
Trocando x4 por y2 e x2 por y, 
obtemos que: 
 
y2 - 13y + 36 = 0 
 
Logo, a partir disso teremos 
que essa equação>:y'=4 e y''=9 
Bem como x2 = y, chegamos 
em: 
 
 
 
 
Assim, alcançamos que para 
conjunto verdade será: V={ -3, -2, 2, 
3}. 
Mais um exemplo a seguir: 
Vamos determine as raízes pa-
ra a equação biquadrada. 
 
x4 + 4x2 - 60 = 0. 
 
Resolução: 
Trocando x4 por y2 e x2 por y, 
observamos que: 
 
y2 + 4y - 60 = 0 
 
Logo, a resolução essa equa-
ção, alcançamos o seguir: 
 
y'=6 e y''= -10 
 
Assim, temos que x2= y, logo: 
 
 
 
Dessa forma, chegamos que 
para o conjunto verdade: 
 
 
 
Por fim, para um último exem-
plo vamos determinar a soma das 
raízes da equação. 
 
 
 
 
8 
CÁLCULO I 
 
 
Resolução: 
Neste caso, empregamos a se-
guinte aplicação: 
 
 
 
Logo: 
 
y2 - 3y = -2 
y2 - 3y + 2 = 0 
y'=1 e y''=2 
 
Trocando y, produzimos que: 
 
 
 
Assim, a somatória das raízes 
é representada por: 
 
 
 
Note então que a equação bi-
quadrada é uma equação a qual pos-
sui até o quarto grau, e como já men-
cionada para descobrir os valores de 
suas raízes será necessário mudá-la 
para uma equação de 2º grau. 
Desse modo, essa equação 
possui a sua forma geral: 
ax4 + bx2 + c = 0. 
 
Logo, temos que a ≠ 0 e b e c 
precisam admitir valores reais. 
Desse jeito, para solucionar e 
assim encontrar as suas raízes trans-
formamos em uma equação do se-
gundo grau. Utilizando a mudança e 
substituindo as incógnitas. 
Para melhor entendermos, co-
mo veremos a seguir. Veja que essa 
transformação ocorre ao chegamos 
às raízes da equação biquadrada. 
 
 
 
9 
CÁLCULO I 
4x4 - 17x2 + 4 = 0 → equação 
biquadrada 
4(x2)2 - 17x2 + 4 = 0 → pode 
ser transcrita assim. 
Logo, trocando as variáveis: x2 
= y, isso constitui que onde for x2 co-
locaremos y. 
4y2 - 17y + 4 = 0 → agora solu-
cionamos essa equação do 2º grau 
descobrindo x’ e x”. 
 
a = 4 b = -17 c = 4 
∆ = b2 - 4ac 
∆ = (-17)2 - 4 . 4 . 4 
∆ = 289 - 64 
∆ = 225 
x = - b ± √∆/2a 
x = -(-17) ± √225/ 2 4 
x = 17 ± 15 /8 
x’ = 17 + 15/ 8 = 32 : 8 = 4 
x” = 17 - 15/8 = 2/8 = 1/4 
 
Veja que essas consistem nas 
raízes da equação 4y2 - 17y + 4 = 0, 
para descobrirmos as raízes da 
equação biquadrada, precisamos de: 
 
4x4 – 17x2 + 4 = 0 
 
Logo, precisamos trocar os va-
lores de x’ e x”, para x2 = y. 
Desse modo, considerando 
que x = 4 
 
x2 = y 
x2 = 4 
x = √4 
x = ± 2 
Logo temos que x= 1/4: 
 
x = 1 /4 
x2 = y 
x2 = 1/ 4 
y = ±1/2 
 
Desse modo, a resolução da 
equação biquadrada é dada da se-
guinte forma: 
 
S = {-2, -1/2, 1/2, 2} 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
CÁLCULO I 
2. Limites 
 
 
Fonte: Veja Abril2 
 
ote que quando introduzimos 
cálculo I, um dos primeiros as-
suntos em que devemos empreender 
é o de limites. Ele tem várias apli-
cações, entretanto a sua essência 
versa em considerar e delinear o 
comportamento de funções e além 
disso é o fundamento para a defini-
ção de derivadas. Para compreen-
dermos o que consiste no limite é 
imprescindível uma introdução ba-
silar sobre continuidade. 
Veja que uma função 𝑓 é profe-
rida contínua em um ponto 𝑎 do seu 
 
2 Retirado em http://veja.abril.com.br 
domínio se o gráfico dela não exibe 
pulos neste ponto 𝑎. 
 
 
Fonte: Lessa (2020) 
N 
 
 12 
CÁLCULO I 
Nesta circunstância, observe 
que o gráfico da função 𝑓 é contínua 
sendo assim no ponto 𝑎, isto é, não 
existe nenhuma cessação ou salto. 
Por outro lado, observe o caso 
abaixo: 
 
 
Fonte: Lessa (2020) 
 
Observamos que a função rea-
liza um saltona sua simulação gráfi-
ca, mais exatamente no valor em que 
admite a função no ponto 𝑎, sendo 
assim, ela não será contínua em 𝑎. 
 
 
Observe novamente o primeiro 
gráfico, onde a função é contí-
nua em 𝑎. As setas indicam que 
a medida que 𝑥 se aproxima de 
𝑎, pela direita ou pela esquerda, 
os valores de 𝑓(𝑥) se aproxi-
mam de 𝑓(𝑎). Consequente-
mente, quanto mais próximo 𝑥 
estiver de 𝑎, mais próximo 𝑓(𝑥) 
estará de 𝑓(𝑎). De uma forma 
intuitiva, podemos dizer que se 
𝑓 é contínua em 𝑎, então o li-
mite de 𝑥 tendendo a 𝑎, da fun-
ção 𝑓(𝑥) é igual a 𝑓(𝑎) (LESSA, 
2020). 
Assim, na notação usual, mi-
nutamos: 
 
limx→af(x)=f(a) 
 
Entretanto, se caso a função 𝑓 
não for contínua em 𝑎, e insistirmos 
atribuí-la um limite 𝐿, temos que: 
 
limx→af(x)=L 
 
Logo, 𝐿 consiste no valor que 𝑓 
precisaria ter em 𝑎. Note a seguir 
uma imagem para melhor compre-
endermos: 
 
 
Fonte: Lessa (2020) 
 
Então temos, no caso em que 𝐿 
≠ 𝑓(𝑎). Logo, 𝐿 versará no valor que 
𝑓 precisaria ter em 𝑎 para assim ser 
considerada contínua. 
 
 
 
 13 
CÁLCULO I 
Limite de uma Função Real 
 
Como já mencionamos se f 
uma função real acentuada sobre o 
intervalo (a,b) menos quiçá no pon-
to x=c que compete a intervalo (a,b), 
Le e Ld números reais. Articulamos 
que: 
 
1. O limite lateral de fà direita do 
ponto c é igual a Ld, se os valores da 
função se aproximam de Ld, quando 
x se aproxima de c por valores (à di-
reita de c) maiores do que c. Em sím-
bolos: 
 
limx→c+f(x)=Ld 
 
2. Limite lateral de f à esquerda 
de c é igual a Le, se os valores da fun-
ção se aproximam de Le, quando x se 
aproxima de c, por valores (à es-
querda de c) menores que cc. Em 
símbolos: 
 
limx→c−f(x)=Le 
 
3. Quando o limite lateral à es-
querda Le é igual ao limite lateral à 
direita Ld, diz-se que existe o limite 
da função no pont cc e o seu valor é 
Ld=Le=L. Com notações simbólicas, 
escrevemos: 
 
limx→cf(x)=L, significando 
que, para qualquer ε>0 e arbitrário, 
existe um δ>0, que depende de ε, tal 
que |f(x)−L|<ε para todo x satisfa-
zendo 0<|x−a|<δ. 
 
4. No caso em que um dos limites 
laterais não existe ou no caso de am-
bos existirem, mas com valores dife-
rentes, dizemos que a função não 
tem limite no ponto em questão. 
Fonte: Sodré (2020) 
 
Note que o próximo resultado 
assegura que uma função não pode 
beirar a dois limites distintos ao 
mesmo tempo e este aspecto é cu-
nhado sendo como o teorema da 
unicidade, porque afiança que se o 
limite de uma função é vivente, logo, 
ele necessita ser único. 
Quando se refere a unicidade 
do limite temos que: 
 
Se limf(x)=A e limf(x)=B 
quando x→c, então A=B. 
Demonstração: Se ε> é arbi-
trário, então existe δ1>0 tal que 
f(x)−A|<ε/2 sempre que 
0<|x−a|<δ1. 
Como também temos por hi-
pótese que existe δ2>0 tal que 
|f(x)−B|<ε/2 sempre que 
0<|x−a|<δ2 então, tomando 
δ=mind1, d2>0, obtemos 
|f(x)−A|<ε/2 e |f(x)−B|<ε/2 sempre 
que 0<|x−a|<δ e pela desigualdade 
triangular, temos: 
|A−B|=|A−f(x)+f(x)−B|≤|A−f
(x)|+|f(x)−B 
 
 14 
CÁLCULO I 
E como ε>0ε>0 é arbitrário, 
temos: 
|A−B|<ε 
Então |A−B|=0, o que garante 
que A=B. 
Exercício: Se |z|<ε para todo 
ε>0, mostre que z=0. 
Fonte: Sodré (2020) 
 
Teorema do Valor Intermediá-
rio 
 
Vemos caso tenhamos que f 
consiste em uma função contínua no 
intervalo fechado [a, b]. Isto consti-
tui que, para todo c ∈ (a, b), teremos 
que limx→c f(x) = f(c). Logo: 
Em suas extremidades do in-
tervalo a definição de continuidade 
se expressa por meio de limites late-
rais: 
 
lim x→a+ f(x) = f(a), lim x→b− f(x) 
= f(b). 
 
Desse modo, para fixar os pen-
samentos vamos conjecturar que 
f(a) < f(b) e ponderar um número y0 
tal que f(a) < y0 < f(b). 
Logo, a reta horizontal y = y0 
decompõe no plano cartesiano em 
duas porções avulsas: uma delas, 
que denominaremos de R+, apre-
senta todos os pontos que estão aci-
ma da reta e a outra, que denomina-
remos R-, apresenta os pontos que 
estão abaixo da reta. Bem como f(a) 
< y0 < f(b), precisamos alcançar: 
 
A = (a, f(a)) ∈ R−, B = (b, f(b)) ∈ 
R+. 
 
Note que o gráfico de f será em 
forma de uma curva contínua li-
gando todos os pontos. Desse modo, 
é natural asseverar que esta curva 
necessita tocar a reta horizontal em 
determinado ponto (x0, y0). 
Este ponto compete ao gráfico, 
de forma que f(x0) = y0 (mostrado a 
abaixo). 
 
Em outras palavras, “se você 
está dentro de uma sala que não tem 
janelas e tem somente uma porta, a 
única maneira de sair da sala ´e pas-
sando pela porta...” O argumento ge-
ométrico que usamos acima pode 
ser formalizado matematicamente. 
A sua conclusão ´e um importante 
resultado que enunciamos abaixo. 
Teorema 1 (Teorema do Valor Inter-
mediário). Suponha que f ´e uma 
função contínua no intervalo fe-
chado [a, b]. Se y0 ´e um valor entre 
f(a) e f(b), então existe pelo menos 
um x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = y0. 
Fonte: UNB (s/a) 
 
 
 15 
CÁLCULO I 
 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Vejamos que no enunciado su-
pra, como não estamos conjectu-
rando f(a) < f(b), a citação “entre f(a) 
e f(b)” precisa ser compreendida 
como em meio ao menor e o maior 
deles. 
As figuras acima ilustram pri-
meiro o caso f(a) < f(b) e, em se-
guida, o caso f(a) > f(b). Se tivermos 
f(a) = f(b), então a única opção seria 
y0 = f(a) e, neste caso o teorema cla-
ramente é verdadeiro bastando to-
marmos x0 = a, por exemplo. 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Logo, antes de comparecer 
atenções vamos considerar que a 
conclusão do teorema pode ser falsa, 
caso a função f não seja contínua. A 
título de exemplo simples é a função 
a seguir: 
 
 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Vejamos a seguir dois exem-
plos elucidando a aplicação do TVI-
Teorema do Valor Intermediário. 
 
Exemplo 1: Vamos usar o TVI para 
encontrar aproximações para uma 
raiz da função 
 
 
 16 
CÁLCULO I 
f(x) = x 3 − 2x 2 − 4x − 2. 
 
Uma conta simples mostra que 
f(2) = -10, de modo que o ponto (2, 
f(2)) está abaixo do eixo Ox. Por ou-
tro lado, como f(6) = 118, o ponto (6, 
f(6)) se situa acima do eixo Ox. 
Sendo f contínua, o seu gráfico deve 
ligar esses dois pontos com uma 
curva suave, sem saltos. 
 A curva deve então intercep-
tar o eixo Ox em um ponto cuja abs-
cissa é uma raiz de f(x). Vamos colo-
car as coisas na notação do teorema: 
a função f é contínua no intervalo [2, 
6], por ser um polinômio. Além 
disso, se considerarmos d = 0, temos 
que 
 
f(2) = −10 < d < 118 = f(6). 
 
Segue do Teorema 1 que existe 
x0 ∈ [2, 6] tal que f(x0) = d = 0. 
Logo, a função f possui pelo menos 
uma raiz no intervalo [2, 6]. 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Note que o teorema não nos 
possibilita encontrar a raiz. Nada 
obstante, como compreendemos 
que no intervalo [2, 6] tem-se uma 
raiz, podemos articular que x = 4 é 
uma raiz aproximada. 
Todavia, nesta aproximação, 
estaremos caindo em um erro de no 
máximo 2. Ou seja, que partindo da 
posição x = 4, se caminharmos 2 
unidades no sentido da esquerda ou 
2 unidades no sentido da direita 2 
seguramente encontraremos uma 
raiz. 
Para a aproximação, escolhe-
mos o ponto médio do intervalo [2, 
6], que é exatamente x = 4. Se você 
considera que um erro de tamanho 2 
não ´e aceitável, pode melhorar a 
aproximação usando o TVI mais 
uma vez: calculamos f(4) = 14 e per-
cebemos que x = 4 não ´e uma raiz. 
Se considerarmos o intervalo [4, 6], 
temos que f(4) e f(6) são positivos. 
Assim, pode ser que o gráfico não 
cruze o eixo Ox quando ligamos os 
pontos (4, (f4)) e (6, f(6)). Porém, 
olhando para o outro extremo do in-
tervalo [2, 6], temos que 
 
f(2) = −10 < 0 < 14 = f(4), 
 
E, portanto, o TVI nos garante 
que existe uma raiz no intervalo [2, 
4]. 
Fonte: UNB (s/a). 
 
Resultando como antes, pode-
mos ponderar x = 3 (consisti no pon-
to médio do intervalo [2, 4]) sendo 
assim a raiz aproximada. O erroin-
cumbido agora será no máximo 1. 
 
 
 
 17 
CÁLCULO I 
 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Logo, para concluirmos a 
questão notando que, para o primei-
ro passo do processo mencionado, é 
necessário encontrar valores a e b 
bem como os sinais de f(a) e f(b) são 
contrários. 
Apesar que isto possa parecer 
complexo e contraditório, você ca-
rece concordar que é mais simples 
do que tentar achar a raiz esponta-
neamente, também mais em cir-
cunstância em que a expresso da 
função f será mais complexa. 
Para melhor compreendermos 
vamos analisar mais um exemplo: 
 
1. Vamos verificar que a equação 
 
√3 x = 1 − x 
 
Possui pelo menos uma solu-
ção. Para tanto, observe inicialmen-
te que as soluções da equação acima 
são precisamente as raízes da função 
 
f(x) = √3 x − 1 + x. 
 
Como 
 
f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1), 
 
O TVI implica a existência de 
uma raiz no intervalo [0, 1], 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Quer dizer que na equação em 
questão tem uma solução neste in-
tervalo. 
Sendo que P0 qualquer ponto 
no plano da Terra, que considerare-
mos em ser uma esfera. Ou seja, a 
semirreta que liga P0 ao centro do 
plano fura a superfície em um outro 
ponto P ′ 0, que denominaremos de 
antípoda do ponto P0. 
Vamos utilizar o TVI para 
comprovar o seguinte aspecto curi-
oso: em algum instante de tempo, 
tem um ponto sobre o equador da 
Terra no qual a temperatura será a 
mesma do seu ponto antípoda. 
 
 
 
 
 18 
CÁLCULO I 
 
 
 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Desse modo, a intuição física 
nos possibilita assegurar que a fun-
ção T é contínua, uma vez que os 
pontos próximos na superfície da 
terra possuem temperaturas próxi-
mas. 
Vamos considerar agora a fun-
ção contínua 
g(θ) = T(θ) − T(θ + π), ∀ θ ∈ [0, π], 
 
Que mede a diferença de tem-
peratura entre dois pontos antípo-
das. Note que 
 
g(0) = T(0) − T(π), g(π) = T(π) − 
 
 19 
CÁLCULO I 
T(2π) = T(π) − T(0) = −g(0). Se 
g(0) = 0, 
 
Então a temperatura nos pon-
tos P0 e Pπ são iguais. Caso contrá-
rio, devemos ter g(0) 6= 0. 
Neste caso, como g(π) = -g(0), 
os sinais de g(0) e g(π) são opostos. 
Segue então do TVI que g(θ0) = 0 
par algum θ0 ∈ (0, π). Assim, os 
pontos Pθ0 e Pθ0+π estão sob a 
mesma temperatura. 
Fonte: UNB (s/a) 
 
Dessa forma, o argumento aci-
ma conservar-se válido para qual-
quer outra forma escalar que diver-
sifica ininterruptamente sobre a su-
perfície da Terra, a título de exem-
plo, a pressão, ou a elevação. 
Ainda, não necessitamos nos 
desconjuntar sobre o equador, toda-
via sim sobre qualquer circunferên-
cia máxima, a título de exemplo to-
das aquelas fantasiosas que produ-
zem a longitude de um ponto na su-
perfície terrestre. 
 
Limite Infinito 
 
Conjecturamos a função: 
 
f (x) = 1 /x2. 
 
Veja que quando o x se beira 
de p = 0, x 2 ainda se aproxima de 0 
e, por conseguinte, 1 x2 fica arbitra-
riamente amplo quando adotamos 
valores de x acompanhantes de p = 
0. -4 -2 2 4 2 4 6 8 10 Para recomen-
dar este aspecto escrevemos: 
 
lim x→0 f (x) = +∞. 
 
Vale ressaltar que nessa cir-
cunstância, não se tem: 
 
lim x→0 f (x). 
 
Desse modo, diversas vezes 
mencionamos a este aspecto como f 
(x) discrepa para +∞ quando x vai a 
zero. Note que a reta vertical x = 0 é 
denominada uma assíntota vertical 
do gráfico de f. 
Dando uma definição (Limite 
Infinito), que consiste em seja f uma 
função e p um ponto de ajuntamento 
de Df . Logo, proferimos que: 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Logo, quando p consiste no 
ponto de ajuntamento à direita (es-
querda) de Df. 
Vejamos um exemplo a seguir: 
 
 
 20 
CÁLCULO I 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Definindo a reta x = p será de-
nominada como assíntota vertical 
do gráfico da função f caso algum 
das seguintes condições jazerem sa-
tisfeita: 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Veja que a proposição conse-
guinte será muito benéfica para cal-
cular limites. Observe a proposição: 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Ou seja, dependerá das condi-
ções da proposição. Agora provando 
a Proposição: 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Agora considerando as propri-
edades dos limites infinito, vejamos 
que seja L um valor real. Tal que: 
 
 
 
Fonte: Carvalho (2020) 
 
Lembre-se que as proprieda-
des acima são apropriadas se no lu-
gar de x → p, utilizamos x → p + ou 
x → p -. 
Ainda, vale ressaltar que as 
propriedades acima recomendam 
como operar com os Símbolos +∞ e 
−∞. 
 
 21 
CÁLCULO I 
Assim, por exemplo, se L ∈ R, 
 
L±∞=±∞, ∞.(−∞) =−∞ e 
L.(±∞)=±∞(∓∞)se L>0(L<0). 
 
Também temos indetermina-
ções, por exemplo, 
 
∞ − ∞, −∞ + ∞, 0 . ∞. 
 
Limite no Infinito 
 
Iremos analisar por agora o 
comportamento de h(x)=1/x, uma 
vez quando x cresce arbitrariamente 
(x→∞) ou mesmo quando x decresce 
arbitrariamente (x→−∞). 
Logo, o caminho que h per-
corre em x pequenos: 
 
 
 
 
 
Logo, o comportamento de h 
para z grandes: 
 
 
Desse modo, observando as ta-
belas temos que: 
 
 
Fonte: Sodré (2020) 
 
Desse jeito, ao arquitetar o 
gráfico de h, notamos que tem uma 
reta (assíntota) horizontal que con-
siste em uma reta y=0, que jamais 
toca a função, entretanto se beira a 
ela em +∞ e em −∞. 
 
 
 22 
CÁLCULO I 
 
Fonte: Sodré (2020) 
 
Note que obtemos assim uma 
definição geral, conglomerando tal 
circunstância: 
Olhe que definindo considera-
mos que seja f uma função acentu-
ada para todos os valores dentro do 
intervalo (a,∞). 
Ponderamos: 
 
 
 
Logo, quando consideramos 
para todo ε>0, tem um número real 
M>0 tal que |f(x)−L|<ε continua-
mente que x>M. 
Igualmente, formalizamos as-
sim o conceito de assíntota horizon-
tal. 
Ainda, trazendo uma definição 
articulamos que a reta y=L será uma 
assíntota horizontal do gráfico de f, 
caso se: 
 
limx→∞f(x)=L ou limx→−∞f(x)=L 
 
Propriedades dos Limites 
 
Como vimos em diversas fun-
ções do Cálculo podem ser alcança-
das como somas, quociente, diferen-
ças, produtos e potências de funções 
simples. Assim, todas as circunstân-
cias abaixo, ponderamos x→ax→a. 
 
Se f(x)=C onde C é constante, 
então 
 
limf(x)=limC=C 
 
Se k e b são constantes e 
f(x)=kx+b, então 
 
limf(x)=lim(kx+b)=ka+b 
 
Se f e g são funções, k uma 
constante, A e B números reais e 
além disso limf(x)=A e limg(x)=B, 
então: 
 
lim(f±g)(x)=[limf(x)]±[limg(x)]=A
±B 
 
lim(f⋅g)(x)=[limf(x)]⋅[limg(x)]=A⋅B 
 
lim(k⋅f)(x)=k⋅limf(x)=k⋅A 
 
lim(f)n(x)=(limf(x))n=Na 
 
lim(f÷g)(x)=[limf(x)]÷[limg(x)]=A
÷B, se B≠0. 
 
 23 
CÁLCULO I 
limexp[f(x)]=exp[limf(x)]=exp(A) 
 
Se acontecer uma das situa-
ções abaixo: 
a. limf(x)=0 
b. limf(x)>0 e n é um número na-
tural 
c. limf(x)<0 e n é um número na-
tural ímpar 
 
Então: 
 
 
Fonte: Sodré (2020) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
CÁLCULO I 
Materiais Complementares 
 
Links “gratuitos” a serem con-
sultados para um acrescentamento 
no estudo do aluno de assuntos que 
não poderão ser abordados na apos-
tila em questão: 
 
Aulas sobre limites 
 
Introdução-ao-Cálculo.pdf 
 
pucgoias.Introdução_ao_cál-
culo.pdf 
 
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home
https://mtm.grad.ufsc.br/files/2014/04/Introdução-ao-Cálculo.pdf
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17601/material/Introdução_ao_cálculo.pdf
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17601/material/Introdução_ao_cálculo.pdf
 
 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO I 
26 
3. Referências Bibliográficas 
 
CARVALHO, Alexandre Nolasco de. Aula 
11 - Limites Infinitos e no Infinito. Univer-
sidade de São Paulo, São Carlos/SP, Brasil, 
2020. 
 
DA SILVA, Lino Marcos et al. O LIVRO DE 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
I: A VISÃO DOS ALUNOS DE CURSOS DEENGENHARIA. 
 
Equações do 2º grau" em Só Matemática. 
Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-
2021. Consultado em 16/08/2021 às 
14:30. Disponível em: 
https://www.somatematica.com.br/fun-
dam/equacoes2/equacoes2_12.php 
 
FONSECA, Carla Camargo; SILVA, Gabri-
ele Bonotto; FELICETTI, Vera Lucia. A 
Gestão da Matéria e a Gestão de Classe no 
ensino de Matemática: uma perspectiva 
sobre a metodologia “Lógica do Cálculo”. 
Revista de Educação Matemática, v. 18, p. 
e021032-e021032, 2021. 
 
LESSA, José Roberto. Limites. Info escola, 
2020. Retirado em: 
https://www.infoescola.com/matema-
tica/limites/ 
 
MARQUES, Tarniê Vilela Nunes et al. In-
fluência de métodos de cálculo do TRRF 
na verificação de edifícios em situação de 
incêndio. HOLOS, v. 1, p. 1-15, 2021. 
 
MIRANDA, Danielle de. Equações Biqua-
dradas. Prepara Enem, [s/a]. Retirado em: 
https://www.preparaenem.com/matema-
tica/equacao-biquadrada.htm 
 
SODRÉ, Ulysses. Superior >> Limites: Li-
mites de funções reais (I) Matemática Es-
sencial, UEL, 2020. 
 
 
 
 
STOODI. Equação de 3º grau: saiba tudo 
sobre esse assunto! 2021. Retirado em: 
https://www.stoodi.com.br/blog/mate-
matica/equacao-de-3-grau/ 
 
UNB. Cálculo 1- O Teorema do Valor Inter-
mediário. Modulo 1, Universidade de Bra-
sília, Departamento de Matemática, [s/a]. 
 
 
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