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Cálculo I 02 1. Equações 3º e 4º Graus 4 Equações Polinomiais 4 Equações Biquadradas 6 2. Limites 11 Limite de uma Função Real 13 Teorema do Valor Intermediário 14 Limite Infinito 19 Limite no Infinito 21 Propriedades dos Limites 22 3. Referências Bibliográficas 26 03 4 CÁLCULO I 1. Equações 3º e 4º Graus Fonte: Prova Fácil Web1 ntes de iniciar de fato a nossa matéria que compreende o cál- culo I vamos relembrar alguns con- ceitos. Equações Polinomiais Note que versa sobre a equa- ção o qual tem-se sua variável inde- pendente (na maioria das vezes si- mulada pela letra “x “) elevada ao expoente 3, isto é, constitui em ser um polinômio com 3 graus. Podemos encontra-la com ou- tros nomes, bem como sendo uma função do terceiro grau análogas às nomenclaturas equação cúbica, ou ainda, como um polinômio de ter- ceiro grau. Sua representação gráfica é como descrita a seguir: 1 Retirado em http://provafacilnaweb.com A 5 CÁLCULO I Fonte: Só matemática Ainda, sua fórmula geral pode ser representada sendo como uma equação cúbica. Isto é, sua fórmula geral e dada por: y = ax³ + bx² + cx + d Onde: “a“, “b“, “c” e “d” representam os coeficientes, todavia, o “d” designado como um termo in- dependente; “x” será a variável indepen- dente da função; “y” ainda, y será a variável que dependente da função. Note que uma função polino- mial do terceiro grau poderá apre- sentar até três raízes reais e dis- tintas. Essencialmente, pode ser interpretada aplicando as Rela- ções de Girard para resolver uma questão contendo uma equação do terceiro grau. Fonte: http://querobolsa.com.br Note que as fundamentações de Girard serão as responsáveis por estabelecer uma relação vivente em meio aos coeficientes de uma equa- ção algébrica, bem como as suas raí- zes. Assim, na equação do 2º grau, as afinidades são alcançadas através das fórmulas da soma e do produto: - b/a e c/a, concomitantemente. Assim, as equações do 3º grau têm como lei de desenvolvimento a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 junto as raízes x1, x2 e x3. A alteração dessa equação pos- sibilita a resolução de expressões matemáticas adequados para relaci- onar as raízes da equação. ax³ + bx² + cx + d = a[x³ - (x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) - x1*x2*x3 Logo, dividindo a equação por a, obtemos o seguinte: 6 CÁLCULO I Desse modo, realizando uma igualdade em meio aos polinômios da seguinte maneira: x1 + x2 + x3 = - b/a x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a x1 * x2 * x3 = - d/a Logo, os polinômios do 4º grau têm a consequente lei de for- mação: ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0. Observe que nessa equação polinomial obtemos, no máximo, a vivência de quatro plausíveis raízes, cujos quando correlacionadas, de- senvolvem as consequentes expres- sões: x1 + x2 + x3 + x4 = - b/a x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = - d/a x1 * x2 * x3 * x4 = e/a Equações Biquadradas Fonte: http://youtube.com Veja que a resolução de uma equação biquadrada em IR, isto é uma equação de 4º grau, precisamos trocar sua variável, transformando- a em uma simples equação do 2º grau. Note que agora a expressão que precisa ser empregada, será: A partir da sequência prática: Substitua x4 por y2 (ou qual- quer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y. Resolva a equação ay2 + by + c = 0. Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes (y'e y'') da 7 CÁLCULO I equação (SÓ MATEMÁTICA, 2021). ay2 + by + c = 0. Desse jeito, temos que essas duas analogias recomendam-nos que cada raiz positiva da equação acima (ay2 + by + c = 0) representara a origem a duas raízes harmônicas para a biquadrada: logo, a raiz ne- gativa, por sua vez, não dará origem a qualquer raiz real para a mesma. Vamos observar os exemplos a seguir: Vamos determinar as raízes da equação biquadrada abaixo: x4 - 13 x2 + 36 = 0. Resolução: Trocando x4 por y2 e x2 por y, obtemos que: y2 - 13y + 36 = 0 Logo, a partir disso teremos que essa equação>:y'=4 e y''=9 Bem como x2 = y, chegamos em: Assim, alcançamos que para conjunto verdade será: V={ -3, -2, 2, 3}. Mais um exemplo a seguir: Vamos determine as raízes pa- ra a equação biquadrada. x4 + 4x2 - 60 = 0. Resolução: Trocando x4 por y2 e x2 por y, observamos que: y2 + 4y - 60 = 0 Logo, a resolução essa equa- ção, alcançamos o seguir: y'=6 e y''= -10 Assim, temos que x2= y, logo: Dessa forma, chegamos que para o conjunto verdade: Por fim, para um último exem- plo vamos determinar a soma das raízes da equação. 8 CÁLCULO I Resolução: Neste caso, empregamos a se- guinte aplicação: Logo: y2 - 3y = -2 y2 - 3y + 2 = 0 y'=1 e y''=2 Trocando y, produzimos que: Assim, a somatória das raízes é representada por: Note então que a equação bi- quadrada é uma equação a qual pos- sui até o quarto grau, e como já men- cionada para descobrir os valores de suas raízes será necessário mudá-la para uma equação de 2º grau. Desse modo, essa equação possui a sua forma geral: ax4 + bx2 + c = 0. Logo, temos que a ≠ 0 e b e c precisam admitir valores reais. Desse jeito, para solucionar e assim encontrar as suas raízes trans- formamos em uma equação do se- gundo grau. Utilizando a mudança e substituindo as incógnitas. Para melhor entendermos, co- mo veremos a seguir. Veja que essa transformação ocorre ao chegamos às raízes da equação biquadrada. 9 CÁLCULO I 4x4 - 17x2 + 4 = 0 → equação biquadrada 4(x2)2 - 17x2 + 4 = 0 → pode ser transcrita assim. Logo, trocando as variáveis: x2 = y, isso constitui que onde for x2 co- locaremos y. 4y2 - 17y + 4 = 0 → agora solu- cionamos essa equação do 2º grau descobrindo x’ e x”. a = 4 b = -17 c = 4 ∆ = b2 - 4ac ∆ = (-17)2 - 4 . 4 . 4 ∆ = 289 - 64 ∆ = 225 x = - b ± √∆/2a x = -(-17) ± √225/ 2 4 x = 17 ± 15 /8 x’ = 17 + 15/ 8 = 32 : 8 = 4 x” = 17 - 15/8 = 2/8 = 1/4 Veja que essas consistem nas raízes da equação 4y2 - 17y + 4 = 0, para descobrirmos as raízes da equação biquadrada, precisamos de: 4x4 – 17x2 + 4 = 0 Logo, precisamos trocar os va- lores de x’ e x”, para x2 = y. Desse modo, considerando que x = 4 x2 = y x2 = 4 x = √4 x = ± 2 Logo temos que x= 1/4: x = 1 /4 x2 = y x2 = 1/ 4 y = ±1/2 Desse modo, a resolução da equação biquadrada é dada da se- guinte forma: S = {-2, -1/2, 1/2, 2} 11 CÁLCULO I 2. Limites Fonte: Veja Abril2 ote que quando introduzimos cálculo I, um dos primeiros as- suntos em que devemos empreender é o de limites. Ele tem várias apli- cações, entretanto a sua essência versa em considerar e delinear o comportamento de funções e além disso é o fundamento para a defini- ção de derivadas. Para compreen- dermos o que consiste no limite é imprescindível uma introdução ba- silar sobre continuidade. Veja que uma função 𝑓 é profe- rida contínua em um ponto 𝑎 do seu 2 Retirado em http://veja.abril.com.br domínio se o gráfico dela não exibe pulos neste ponto 𝑎. Fonte: Lessa (2020) N 12 CÁLCULO I Nesta circunstância, observe que o gráfico da função 𝑓 é contínua sendo assim no ponto 𝑎, isto é, não existe nenhuma cessação ou salto. Por outro lado, observe o caso abaixo: Fonte: Lessa (2020) Observamos que a função rea- liza um saltona sua simulação gráfi- ca, mais exatamente no valor em que admite a função no ponto 𝑎, sendo assim, ela não será contínua em 𝑎. Observe novamente o primeiro gráfico, onde a função é contí- nua em 𝑎. As setas indicam que a medida que 𝑥 se aproxima de 𝑎, pela direita ou pela esquerda, os valores de 𝑓(𝑥) se aproxi- mam de 𝑓(𝑎). Consequente- mente, quanto mais próximo 𝑥 estiver de 𝑎, mais próximo 𝑓(𝑥) estará de 𝑓(𝑎). De uma forma intuitiva, podemos dizer que se 𝑓 é contínua em 𝑎, então o li- mite de 𝑥 tendendo a 𝑎, da fun- ção 𝑓(𝑥) é igual a 𝑓(𝑎) (LESSA, 2020). Assim, na notação usual, mi- nutamos: limx→af(x)=f(a) Entretanto, se caso a função 𝑓 não for contínua em 𝑎, e insistirmos atribuí-la um limite 𝐿, temos que: limx→af(x)=L Logo, 𝐿 consiste no valor que 𝑓 precisaria ter em 𝑎. Note a seguir uma imagem para melhor compre- endermos: Fonte: Lessa (2020) Então temos, no caso em que 𝐿 ≠ 𝑓(𝑎). Logo, 𝐿 versará no valor que 𝑓 precisaria ter em 𝑎 para assim ser considerada contínua. 13 CÁLCULO I Limite de uma Função Real Como já mencionamos se f uma função real acentuada sobre o intervalo (a,b) menos quiçá no pon- to x=c que compete a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Articulamos que: 1. O limite lateral de fà direita do ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à di- reita de c) maiores do que c. Em sím- bolos: limx→c+f(x)=Ld 2. Limite lateral de f à esquerda de c é igual a Le, se os valores da fun- ção se aproximam de Le, quando x se aproxima de c, por valores (à es- querda de c) menores que cc. Em símbolos: limx→c−f(x)=Le 3. Quando o limite lateral à es- querda Le é igual ao limite lateral à direita Ld, diz-se que existe o limite da função no pont cc e o seu valor é Ld=Le=L. Com notações simbólicas, escrevemos: limx→cf(x)=L, significando que, para qualquer ε>0 e arbitrário, existe um δ>0, que depende de ε, tal que |f(x)−L|<ε para todo x satisfa- zendo 0<|x−a|<δ. 4. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de am- bos existirem, mas com valores dife- rentes, dizemos que a função não tem limite no ponto em questão. Fonte: Sodré (2020) Note que o próximo resultado assegura que uma função não pode beirar a dois limites distintos ao mesmo tempo e este aspecto é cu- nhado sendo como o teorema da unicidade, porque afiança que se o limite de uma função é vivente, logo, ele necessita ser único. Quando se refere a unicidade do limite temos que: Se limf(x)=A e limf(x)=B quando x→c, então A=B. Demonstração: Se ε> é arbi- trário, então existe δ1>0 tal que f(x)−A|<ε/2 sempre que 0<|x−a|<δ1. Como também temos por hi- pótese que existe δ2>0 tal que |f(x)−B|<ε/2 sempre que 0<|x−a|<δ2 então, tomando δ=mind1, d2>0, obtemos |f(x)−A|<ε/2 e |f(x)−B|<ε/2 sempre que 0<|x−a|<δ e pela desigualdade triangular, temos: |A−B|=|A−f(x)+f(x)−B|≤|A−f (x)|+|f(x)−B 14 CÁLCULO I E como ε>0ε>0 é arbitrário, temos: |A−B|<ε Então |A−B|=0, o que garante que A=B. Exercício: Se |z|<ε para todo ε>0, mostre que z=0. Fonte: Sodré (2020) Teorema do Valor Intermediá- rio Vemos caso tenhamos que f consiste em uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Isto consti- tui que, para todo c ∈ (a, b), teremos que limx→c f(x) = f(c). Logo: Em suas extremidades do in- tervalo a definição de continuidade se expressa por meio de limites late- rais: lim x→a+ f(x) = f(a), lim x→b− f(x) = f(b). Desse modo, para fixar os pen- samentos vamos conjecturar que f(a) < f(b) e ponderar um número y0 tal que f(a) < y0 < f(b). Logo, a reta horizontal y = y0 decompõe no plano cartesiano em duas porções avulsas: uma delas, que denominaremos de R+, apre- senta todos os pontos que estão aci- ma da reta e a outra, que denomina- remos R-, apresenta os pontos que estão abaixo da reta. Bem como f(a) < y0 < f(b), precisamos alcançar: A = (a, f(a)) ∈ R−, B = (b, f(b)) ∈ R+. Note que o gráfico de f será em forma de uma curva contínua li- gando todos os pontos. Desse modo, é natural asseverar que esta curva necessita tocar a reta horizontal em determinado ponto (x0, y0). Este ponto compete ao gráfico, de forma que f(x0) = y0 (mostrado a abaixo). Em outras palavras, “se você está dentro de uma sala que não tem janelas e tem somente uma porta, a única maneira de sair da sala ´e pas- sando pela porta...” O argumento ge- ométrico que usamos acima pode ser formalizado matematicamente. A sua conclusão ´e um importante resultado que enunciamos abaixo. Teorema 1 (Teorema do Valor Inter- mediário). Suponha que f ´e uma função contínua no intervalo fe- chado [a, b]. Se y0 ´e um valor entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = y0. Fonte: UNB (s/a) 15 CÁLCULO I Fonte: UNB (s/a) Vejamos que no enunciado su- pra, como não estamos conjectu- rando f(a) < f(b), a citação “entre f(a) e f(b)” precisa ser compreendida como em meio ao menor e o maior deles. As figuras acima ilustram pri- meiro o caso f(a) < f(b) e, em se- guida, o caso f(a) > f(b). Se tivermos f(a) = f(b), então a única opção seria y0 = f(a) e, neste caso o teorema cla- ramente é verdadeiro bastando to- marmos x0 = a, por exemplo. Fonte: UNB (s/a) Logo, antes de comparecer atenções vamos considerar que a conclusão do teorema pode ser falsa, caso a função f não seja contínua. A título de exemplo simples é a função a seguir: Fonte: UNB (s/a) Vejamos a seguir dois exem- plos elucidando a aplicação do TVI- Teorema do Valor Intermediário. Exemplo 1: Vamos usar o TVI para encontrar aproximações para uma raiz da função 16 CÁLCULO I f(x) = x 3 − 2x 2 − 4x − 2. Uma conta simples mostra que f(2) = -10, de modo que o ponto (2, f(2)) está abaixo do eixo Ox. Por ou- tro lado, como f(6) = 118, o ponto (6, f(6)) se situa acima do eixo Ox. Sendo f contínua, o seu gráfico deve ligar esses dois pontos com uma curva suave, sem saltos. A curva deve então intercep- tar o eixo Ox em um ponto cuja abs- cissa é uma raiz de f(x). Vamos colo- car as coisas na notação do teorema: a função f é contínua no intervalo [2, 6], por ser um polinômio. Além disso, se considerarmos d = 0, temos que f(2) = −10 < d < 118 = f(6). Segue do Teorema 1 que existe x0 ∈ [2, 6] tal que f(x0) = d = 0. Logo, a função f possui pelo menos uma raiz no intervalo [2, 6]. Fonte: UNB (s/a) Note que o teorema não nos possibilita encontrar a raiz. Nada obstante, como compreendemos que no intervalo [2, 6] tem-se uma raiz, podemos articular que x = 4 é uma raiz aproximada. Todavia, nesta aproximação, estaremos caindo em um erro de no máximo 2. Ou seja, que partindo da posição x = 4, se caminharmos 2 unidades no sentido da esquerda ou 2 unidades no sentido da direita 2 seguramente encontraremos uma raiz. Para a aproximação, escolhe- mos o ponto médio do intervalo [2, 6], que é exatamente x = 4. Se você considera que um erro de tamanho 2 não ´e aceitável, pode melhorar a aproximação usando o TVI mais uma vez: calculamos f(4) = 14 e per- cebemos que x = 4 não ´e uma raiz. Se considerarmos o intervalo [4, 6], temos que f(4) e f(6) são positivos. Assim, pode ser que o gráfico não cruze o eixo Ox quando ligamos os pontos (4, (f4)) e (6, f(6)). Porém, olhando para o outro extremo do in- tervalo [2, 6], temos que f(2) = −10 < 0 < 14 = f(4), E, portanto, o TVI nos garante que existe uma raiz no intervalo [2, 4]. Fonte: UNB (s/a). Resultando como antes, pode- mos ponderar x = 3 (consisti no pon- to médio do intervalo [2, 4]) sendo assim a raiz aproximada. O erroin- cumbido agora será no máximo 1. 17 CÁLCULO I Fonte: UNB (s/a) Logo, para concluirmos a questão notando que, para o primei- ro passo do processo mencionado, é necessário encontrar valores a e b bem como os sinais de f(a) e f(b) são contrários. Apesar que isto possa parecer complexo e contraditório, você ca- rece concordar que é mais simples do que tentar achar a raiz esponta- neamente, também mais em cir- cunstância em que a expresso da função f será mais complexa. Para melhor compreendermos vamos analisar mais um exemplo: 1. Vamos verificar que a equação √3 x = 1 − x Possui pelo menos uma solu- ção. Para tanto, observe inicialmen- te que as soluções da equação acima são precisamente as raízes da função f(x) = √3 x − 1 + x. Como f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1), O TVI implica a existência de uma raiz no intervalo [0, 1], Fonte: UNB (s/a) Quer dizer que na equação em questão tem uma solução neste in- tervalo. Sendo que P0 qualquer ponto no plano da Terra, que considerare- mos em ser uma esfera. Ou seja, a semirreta que liga P0 ao centro do plano fura a superfície em um outro ponto P ′ 0, que denominaremos de antípoda do ponto P0. Vamos utilizar o TVI para comprovar o seguinte aspecto curi- oso: em algum instante de tempo, tem um ponto sobre o equador da Terra no qual a temperatura será a mesma do seu ponto antípoda. 18 CÁLCULO I Fonte: UNB (s/a) Desse modo, a intuição física nos possibilita assegurar que a fun- ção T é contínua, uma vez que os pontos próximos na superfície da terra possuem temperaturas próxi- mas. Vamos considerar agora a fun- ção contínua g(θ) = T(θ) − T(θ + π), ∀ θ ∈ [0, π], Que mede a diferença de tem- peratura entre dois pontos antípo- das. Note que g(0) = T(0) − T(π), g(π) = T(π) − 19 CÁLCULO I T(2π) = T(π) − T(0) = −g(0). Se g(0) = 0, Então a temperatura nos pon- tos P0 e Pπ são iguais. Caso contrá- rio, devemos ter g(0) 6= 0. Neste caso, como g(π) = -g(0), os sinais de g(0) e g(π) são opostos. Segue então do TVI que g(θ0) = 0 par algum θ0 ∈ (0, π). Assim, os pontos Pθ0 e Pθ0+π estão sob a mesma temperatura. Fonte: UNB (s/a) Dessa forma, o argumento aci- ma conservar-se válido para qual- quer outra forma escalar que diver- sifica ininterruptamente sobre a su- perfície da Terra, a título de exem- plo, a pressão, ou a elevação. Ainda, não necessitamos nos desconjuntar sobre o equador, toda- via sim sobre qualquer circunferên- cia máxima, a título de exemplo to- das aquelas fantasiosas que produ- zem a longitude de um ponto na su- perfície terrestre. Limite Infinito Conjecturamos a função: f (x) = 1 /x2. Veja que quando o x se beira de p = 0, x 2 ainda se aproxima de 0 e, por conseguinte, 1 x2 fica arbitra- riamente amplo quando adotamos valores de x acompanhantes de p = 0. -4 -2 2 4 2 4 6 8 10 Para recomen- dar este aspecto escrevemos: lim x→0 f (x) = +∞. Vale ressaltar que nessa cir- cunstância, não se tem: lim x→0 f (x). Desse modo, diversas vezes mencionamos a este aspecto como f (x) discrepa para +∞ quando x vai a zero. Note que a reta vertical x = 0 é denominada uma assíntota vertical do gráfico de f. Dando uma definição (Limite Infinito), que consiste em seja f uma função e p um ponto de ajuntamento de Df . Logo, proferimos que: Fonte: Carvalho (2020) Logo, quando p consiste no ponto de ajuntamento à direita (es- querda) de Df. Vejamos um exemplo a seguir: 20 CÁLCULO I Fonte: Carvalho (2020) Definindo a reta x = p será de- nominada como assíntota vertical do gráfico da função f caso algum das seguintes condições jazerem sa- tisfeita: Fonte: Carvalho (2020) Veja que a proposição conse- guinte será muito benéfica para cal- cular limites. Observe a proposição: Fonte: Carvalho (2020) Ou seja, dependerá das condi- ções da proposição. Agora provando a Proposição: Fonte: Carvalho (2020) Agora considerando as propri- edades dos limites infinito, vejamos que seja L um valor real. Tal que: Fonte: Carvalho (2020) Lembre-se que as proprieda- des acima são apropriadas se no lu- gar de x → p, utilizamos x → p + ou x → p -. Ainda, vale ressaltar que as propriedades acima recomendam como operar com os Símbolos +∞ e −∞. 21 CÁLCULO I Assim, por exemplo, se L ∈ R, L±∞=±∞, ∞.(−∞) =−∞ e L.(±∞)=±∞(∓∞)se L>0(L<0). Também temos indetermina- ções, por exemplo, ∞ − ∞, −∞ + ∞, 0 . ∞. Limite no Infinito Iremos analisar por agora o comportamento de h(x)=1/x, uma vez quando x cresce arbitrariamente (x→∞) ou mesmo quando x decresce arbitrariamente (x→−∞). Logo, o caminho que h per- corre em x pequenos: Logo, o comportamento de h para z grandes: Desse modo, observando as ta- belas temos que: Fonte: Sodré (2020) Desse jeito, ao arquitetar o gráfico de h, notamos que tem uma reta (assíntota) horizontal que con- siste em uma reta y=0, que jamais toca a função, entretanto se beira a ela em +∞ e em −∞. 22 CÁLCULO I Fonte: Sodré (2020) Note que obtemos assim uma definição geral, conglomerando tal circunstância: Olhe que definindo considera- mos que seja f uma função acentu- ada para todos os valores dentro do intervalo (a,∞). Ponderamos: Logo, quando consideramos para todo ε>0, tem um número real M>0 tal que |f(x)−L|<ε continua- mente que x>M. Igualmente, formalizamos as- sim o conceito de assíntota horizon- tal. Ainda, trazendo uma definição articulamos que a reta y=L será uma assíntota horizontal do gráfico de f, caso se: limx→∞f(x)=L ou limx→−∞f(x)=L Propriedades dos Limites Como vimos em diversas fun- ções do Cálculo podem ser alcança- das como somas, quociente, diferen- ças, produtos e potências de funções simples. Assim, todas as circunstân- cias abaixo, ponderamos x→ax→a. Se f(x)=C onde C é constante, então limf(x)=limC=C Se k e b são constantes e f(x)=kx+b, então limf(x)=lim(kx+b)=ka+b Se f e g são funções, k uma constante, A e B números reais e além disso limf(x)=A e limg(x)=B, então: lim(f±g)(x)=[limf(x)]±[limg(x)]=A ±B lim(f⋅g)(x)=[limf(x)]⋅[limg(x)]=A⋅B lim(k⋅f)(x)=k⋅limf(x)=k⋅A lim(f)n(x)=(limf(x))n=Na lim(f÷g)(x)=[limf(x)]÷[limg(x)]=A ÷B, se B≠0. 23 CÁLCULO I limexp[f(x)]=exp[limf(x)]=exp(A) Se acontecer uma das situa- ções abaixo: a. limf(x)=0 b. limf(x)>0 e n é um número na- tural c. limf(x)<0 e n é um número na- tural ímpar Então: Fonte: Sodré (2020) 24 CÁLCULO I Materiais Complementares Links “gratuitos” a serem con- sultados para um acrescentamento no estudo do aluno de assuntos que não poderão ser abordados na apos- tila em questão: Aulas sobre limites Introdução-ao-Cálculo.pdf pucgoias.Introdução_ao_cál- culo.pdf https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home https://mtm.grad.ufsc.br/files/2014/04/Introdução-ao-Cálculo.pdf http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17601/material/Introdução_ao_cálculo.pdf http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17601/material/Introdução_ao_cálculo.pdf 25 CÁLCULO I 26 3. Referências Bibliográficas CARVALHO, Alexandre Nolasco de. Aula 11 - Limites Infinitos e no Infinito. Univer- sidade de São Paulo, São Carlos/SP, Brasil, 2020. DA SILVA, Lino Marcos et al. O LIVRO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I: A VISÃO DOS ALUNOS DE CURSOS DEENGENHARIA. Equações do 2º grau" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998- 2021. Consultado em 16/08/2021 às 14:30. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/fun- dam/equacoes2/equacoes2_12.php FONSECA, Carla Camargo; SILVA, Gabri- ele Bonotto; FELICETTI, Vera Lucia. A Gestão da Matéria e a Gestão de Classe no ensino de Matemática: uma perspectiva sobre a metodologia “Lógica do Cálculo”. Revista de Educação Matemática, v. 18, p. e021032-e021032, 2021. LESSA, José Roberto. Limites. Info escola, 2020. Retirado em: https://www.infoescola.com/matema- tica/limites/ MARQUES, Tarniê Vilela Nunes et al. In- fluência de métodos de cálculo do TRRF na verificação de edifícios em situação de incêndio. 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