APX2-MD2-2021-2 - Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX2 - Métodos Determinísticos II (2021-2)
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
Código da disciplina EAD06077
GABARITO
Questão 1: [2,0 pts] O custo, em dólares, da produção de x metros de tecido é dado por:
C (x) = 1200+12x −0,1x2 +0,0005x3.
Faça o que se pede abaixo.
a) [0,5 pts] Encontre a função custo marginal.
b) [1,5 pts] Calcule o custo marginal da produção de 100 metros de tecido e compare este valor com o
custo do centésimo primeiro metro de tecido. O que você conclui?
Solução:
a) A função custo marginal é obtida a partir da derivada da função custo. Dessa forma,
C (x) = 1200+12x −0,1x2 +0,0005x3 =⇒C ′(x) = 12−0,2x +0,0015x2.
Portanto, a função custo marginal é dada por C ′(x) = 12−0,2x +0,0015x2.
b) O custo marginal de 100 metros de tecido é dado pelo cálculo de C ′(100). Portanto,
C ′(100) = 12−0,2×100+0,0015× (100)2 = 12−20+15 = 7.
Logo, o custo marginal de 100 metros de tecido é de 7 dólares/metro.
O custo de produção do 101º metro de tecido é dado por C (101)−C (100). Assim,
C (101) = 1200+12×101−0,1× (101)2 +0,0005× (101)3 = 1200+1212−1020,1+515,15 = 1907,05
e
C (100) = 1200+12×100−0,1× (100)2 +0,0005× (100)3 = 1200+1200−1000+500 = 1900.
Portanto, C (101)−C (100) = 1907,05−1900 = 7,05 é o custo do 101º metro de tecido. Comparando este
valor com C ′(100) = 7, percebemos que ambos são muito próximos, donde concluímos que o custo
marginal de 100 metros de tecido fornece um valor aproximado de quanto custará para produzir o
101º metro.
Questão 2: [3,0 pts] Sejam P (x) = F (x)G(x) e Q(x) = F (x)/G(x) funções cujos gráficos de F e de G estão
representados na figura abaixo.
Faça o que se pede nos itens (a) e (b) a seguir, apresentando todos os cálculos efetuados.
a) [1,0 pto] Encontre P ′(2). b) [1,0 pto] Calcule Q ′(7).
c) [1,0 pto] É possível calcular G ′(4)? Justifique sua resposta.
Solução:
a) Como P (x) = F (x)G(x), F e G são deriváveis em x = 2, podemos utilizar a Regra do Produto para obter
P ′(2). Assim, P ′(2) = F ′(2)G(2)+F (2)G ′(2). De acordo com o gráfico apresentado, temos que
F (2) = 3, G(2) = 2, e F ′(2) = 0.
Resta encontrar G ′(2).
Observe que, de acordo com o gráfico, G ′(2) é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
(0,1) e (4,3) e a equação desta reta é dada por y = 12 x +1. Portanto, G ′(2) = 12 .
Logo, P ′(2) = F ′(2)G(2)+F (2)G ′(2) = 0×2+3× 12 = 32 .
Dessa forma, P ′(2) = 32 .
b) Analogamente ao item (a) acima, como Q(x) = F (x)
G(x)
, F e G são deriváveis em x = 7, podemos utilizar
a Regra do Quociente para obter Q ′(7). Assim, Q ′(7) = F
′(7)G(7)−F (7)G ′(7)
[G(7)]2
.
Pelo gráfico apresentado, temos que
F (7) = 5 e G(7) = 1.
Resta encontrar F ′(7) e G ′(7).
Note que, de acordo com o gráfico, F ′(7) é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (3,4)
e (7,5) e a equação desta reta é dada por y = 14 x + 134 . Portanto, F ′(7) = 14 .
Analogamente, G ′(7) é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (4,3) e (7,1) e a equação
desta reta é dada por y =−23 x + 173 . Logo, G ′(7) =−23 .
Assim, Q ′(7) = F
′(7)G(7)−F (7)G ′(7)
[G(7)]2
=
(1
4 ×1
)− (5× (−23 ))
[1]2
= 1
4
+ 10
3
= 43
12
.
Dessa forma, Q ′(7) = 43
12
.
2
c) Não é possível calcular G ′(4), pois G não é derivável para x = 4.
Observe que, para valores de x menores do que 4, temos G ′(x) = 1
2
; já para valores de x maiores do
que 4, temos que G ′(x) =−23 , o que significa que a função G ′ não é contínua para x = 4.
Questão 3: [3,0 pts] Considere a função f (x) = x2e4−x e faça o que se pede abaixo, justificando todos os
cálculos realizados.
a) [1,5 pts] Enconte os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
b) [1,5 pts] Encontre os pontos de máximo e de mínimo locais de f , caso existam.
Solução:
a) Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f , precisamos estudar os sinais de
f ′. Assim, utilizando a regra do produto e a regra da cadeia, obtemos:
f ′(x) = 2xe4−x −x2e4−x = e4−x (2x −x2).
Como e4−x > 0 para todo x ∈R, segue que:
f ′(x) > 0 ⇔ 2x −x2 > 0 ⇔ x ∈ ]0,2)
e
f ′(x) < 0 ⇔ 2x −x2 < 0 ⇔ x ∈ (−∞,0)∪ (2,+∞).
Portanto, f é crescente em ]0,2) e decrescente em (−∞,0)∪ (2,+∞).
b) Conforme vimos no item (a) acima, os pontos críticos de f ocorrem quando 2x−x2 = 0, já que e4−x > 0
para todo x ∈R. Dessa forma, x = 0 e x = 2 são números críticos de f .
Pela estudo dos sinais de f ′(x) realizado no item (a), concluímos que o gráfico de f possui um mínimo
local em x = 0 e um máximo local em x = 2. Portanto, (0,0) é ponto de mínimo local de f e (2,4e2) é
ponto de máximo local de f .
Questão 4: [2,0 pts] Calcule a área da região S, limitada pelas curvas y = l n(x), y = 1e2 x +1 e pelo eixo OX.
Solução: Para encontrar a área da região pedida, primeiro é necessário encontrar os pontos de interseção
entre as curvas dadas no enunciado. Calculemos esses pontos.
1) Ponto de encontro entre a curva y = ln(x) e a reta y = 1e2 x +1:
ln(x) = 1e2 x +1 ⇒ x = e2 e y = 2.
2) Ponto de encontro entre a reta y = 1e2 x +1 e a reta y = 0 (eixo OX):
1
e2 x +1 = 0 ⇒ x =−e2 e y = 0.
3
3) Ponto de encontro entre a curva y = ln(x) e a reta y = 0:
ln(x) = 0 ⇒ e0 = x ⇒ x = 1 e y = 0.
Logo, os pontos de interseção procurados são (e2,2), (−e2,0) e (1,0).
Dessa forma, a região S pode ser representada pela parte hachurada (cinza) na figura abaixo.
Denotando por A(S) a área da região S, temos:
A(S) =
∫ 1
−e2
(
1
e2
x +1
)
d x +
∫ e2
1
(
1
e2
x +1− l n(x)
)
d x
=
[
x2
2e2
+x
]1
−e2
+
[
x2
2e2
+x
]e2
1
−
∫ e2
1
ln(x) d x
=
[
x2
2e2
+x
]e2
−e2
−
∫ e2
1
ln(x) d x
=
[
(e2)2
2e2
+e2 −
(
(−e2)2
2e2
−e2
)]
−
∫ e2
1
ln(x) d x
=
[
e4
2e2
+e2 − e
4
2e2
+e2
]
− [xln(x)−x]e21
= 2e2 − [e2ln(e2)−e2 − (1× ln(1)−1)]
= 2e2 − [2e2 −e2 − (−1)]
= 2e2 −2e2 +e2 −1
= e2 −1
Logo, a área da região S é (e2 −1) u.a.
Observação: A sigla "u.a" significa "unidades de área".
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