Matematica Basica - Parábolas no Cotidiano

Prévia do material em texto

PARÁBOLA NO COTIDIANO 
 
 
 
Hercules de Souza 
Idelmario Macedo Correia Junior 
Pedro Henrique da Silva Silveira 
Wesley Sampaio de Jesus 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
O objetivo desse trabalho é abordar a parábola não só como aquela 
demonstrada em sala de aula, mas como objeto do nosso cotidiano. Unindo a parte 
teórica com exemplos práticos como: fornos solares, antenas parabólicas, pontes 
pênseis e faróis de carros que utilizam da parábola como base. Explorando a sua 
propriedade refletora, propriedade essa que fundamenta o uso da parábola não só 
nos exemplos citados no trabalho, mas em todos os outros. 
 
Palavras-chave: Parábola. Aplicabilidade. Cônicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Professor Doutor Orientador. Graduado em Física, pela Universidade Federal de Campinas (1984), 
Mestrado em Geofísica, pela Universidade Federal da Bahia (1989), Doutorado em Geofísica, pela 
Universidade Federal da Bahia (1997). Docente do Curso Superior em Ciência da Computação da 
disciplina de Matemática Básica. 
 
 Graduando do Curso Superior em Ciência da Computação. 
 
 Graduando do Curso Superior em Análise e Desenvolvimento de Sistemas. 
 
 Graduando do Curso Superior em Segurança da Informação. 
 
 2 
INTRODUÇÃO 
 
A matemática está presente em nossas vidas desde muito cedo, creio que em 
algum momento de sua vida você já se deparou com um farol de carro, talvez uma 
antena parabólica ou até mesmo quando você vai ao consultório e se depara com 
aquela luz incrivelmente forte que os médicos colocam sob nossos rostos, tudo isso 
foi feito através dos estudos das Cônicas da matemática. Apesar do assunto ser 
inserido somente a partir do segundo grau, nos vemos suas aplicações no dia a dia 
desde sempre, e de forma despercebida ou sem conhecimento básico sobre como tal 
obra de arquitetura ou até mesmo infraestrutura é feita e como funciona. 
A assunto sobre Parábola é passado de forma meio tardia na vida dos alunos, 
ainda mais se comparado a países desenvolvidos, isso faz com que a maioria dos 
professores abordem muito pouco ou sem se aprofundar no tema, apenas com 
formulas, fazendo com que haja pouco sentido e interesse dos alunos, é importante 
mostrar exemplos reais pois estamos lidando com parábolas a todo tempo. 
Nosso trabalho tem o forte intuito de apresentar as definições do tema sobre 
Parábola, desde a teoria, e principalmente mostrar exemplos reais de suas aplicações. 
 
1 APRESENTAÇÃO DA PARÁBOLA 
 
1.1 Introdução sobre cônicas 
 
As cônicas são elementos da geometria plana obtidos através da intersecção 
da superfície de um cone com plano em diversas posições. Podem-se ser 
denominadas de cônicas as circunferências, elipses, parábolas e hipérboles. 
O cone, é uma figura geométrica tridimensional e pode ser definido como um 
sólido delimitado por uma base plana circular ou qualquer base plana, e a superfície 
formada por segmentos de retas que ligam todos os pontos do limite da base a um 
vértice comum. E seus elementos são: 
 
1. Vértice do cone é o ponto (V) onde estão ligados todos os segmentos de 
retas da base. 
 
2. Base é a região definida pela área interna da curva, incluindo ela mesma. 
 
 3 
3. Diretriz é o caminho em forma de curva que envolve a base do cone. 
 
4. Geratriz é qualquer segmento de reta que tenha uma extremidade ligada ao 
vértice e a outra a diretriz. 
 
5. Eixo ou altura é a distância entre o vértice e o centro da base do cone. 
 
 
 
Figura 1 – Elementos do Cone 
 
1.2 Definição de parábola 
 
 Parábola pode ser descrita como a curva feita a partir da intersecção da 
superfície de um cone com um plano paralelo a qualquer uma de suas geratrizes, 
ou seja, é uma curva plana definida como um conjunto de todos os pontos 
equidistantes do foco e da diretriz. Na figura 2 pode-se observar a parábola formada 
pela intersecção do plano (π2), que é paralelo a geratriz (d) do cone, com a superfície 
do cone. A parábola possui um eixo de simetria(es) que passa pelo seu vértice (Vp), 
tal eixo divide a parábola em duas partes idênticas, chegasse à conclusão de que 
ela é uma curva simétrica. Como mostra a figura 2. (MACHADO, 2008: p. 5). 
 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Cone seccionado pelo plano π2, paralela à sua geratriz d 
 
 
1.3 Confecção de uma parábola 
 
Para construir uma parábola deve-se considerar um ponto F (foco) e uma reta d 
(diretriz), onde o ponto F não pertence a reta d, assim todos os pontos que forem 
equidistantes de F e d em conjunto chama-se parábola. (PAIVA, 1999: p.378). 
 
 
Figura 3 – PF=PD e PD é perpendicular à reta d 
 5 
 
 
 Na figura 3 foi confeccionada uma parábola levando em consideração a 
definição exposta anteriormente. É possível observar que independentemente das 
posições que F e d se encontram, sempre será possível a obtenção de uma 
parábola. 
A parábola pode ter a concavidade não só voltada para cima e para baixo, 
mas também voltada para a esquerda e direita. E para cada uma delas tem-se uma 
equação reduzida. As equações das figuras a seguir foram embasadas no livro; 
“Matemática” (PAIVA, 1999: p.379-380). Considerando um plano cartesiano onde x 
é o eixo das abcissas (reta horizontal) que é perpendicular ao y, eixo das ordenadas 
(reta vertical): 
 
 Sendo a reta d (diretriz) paralela ao eixo x e a concavidade virada para o 
lado positivo do eixo y, ou seja, côncava para cima, dará a seguinte 
equação: 
(x – x0)2 = 4α (y – y0), como mostra a figura 4. 
 
Figura 4 – Parábola com concavidade para cima 
 
 
 Sendo a reta d (diretriz) paralela ao eixo x e a concavidade virada para o 
lado negativo do eixo y, ou seja, côncava para baixo, dará a seguinte 
equação: 
(x – x0)2 = - 4α (y – y0), como mostra a figura 5. 
 
 6 
 
Figura 5 – Parábola com concavidade para baixo 
 
 
 Sendo a reta d (diretriz) paralela ao eixo y e a concavidade virada para o 
lado positivo do eixo x, ou seja, côncava para direita, dará a seguinte 
equação: 
(y – y0)2 = 4α (x – x0), como mostra a figura 6. 
 
 
Figura 6 – Parábola com concavidade para direita 
 
 
 Sendo a reta d (diretriz) paralela ao eixo y e a concavidade virada para o 
lado negativo do eixo x, ou seja, côncava para esquerda, dará a seguinte 
equação: 
(y – y0)2 = - 4α (x – x0), como mostra a figura 7. 
 
 7 
 
Figura 7 – Parábola com concavidade para esquerda 
 
 
2 APLICAÇÕES DAS PARÁBOLAS 
 
O uso da parábola é muito comum, grande parte das pessoas não sabem, 
mas a parábola está nos faróis dos carros que utilizam todos os dias, nas antenas 
de tv que possuem em suas casas, nas pontes e lanternas. Enfim, não é difícil 
encontrar algo que seja construído com base em uma parábola. 
 
2.1 Pontes pênseis 
 
Os comentários a seguir, sobre as pontes pênseis, foram extraídos da tese de 
mestrado apresentada a UFRJ: “Programa para análise de superestruturas de pontes 
de concreto armado e protendido” (MATOS, 2001: p. 35). 
As pontes penseis ou suspensas, juntas com as 
estaiadas, são aquelas que possibilitam os maiores vãos. Nelas 
o tabuleiro continuo e sustentado por vários cabos metálicos 
atirantados ligados a dois cabos maiores que, por sua vez, 
ligam-se as torres de sustentação. Os cabos comprimem as 
torres de sustentação, que transferem os esforços de 
compressão para as fundações. 
 
Nas pontes penseis os cabos metálicos são uniformemente distribuídos, 
consequentemente toda a carga da ponte é distribuída nos dois cabos maiores, e 
esses formas a parábola. Como mostra a figura 8. 
 
 8 
 
Figura 8 – Parábola numa ponte pênsil 
 
 
A maior ponte suspensa da atualidade encontra-se no Japão, ligando as 
cidades de Kobe e Awaji Island, possui um comprimento total de 3.911 metros e um 
recorde de 1.991 metros de vão central, chamada de Akashi-Kaikyo e construídano 
ano de 1998. 
 
 
Figura 9 – Ponte Akashi-Kaikyo, Japão 
(disponível em: https://en.wikiarquitectura.com/building/akashi-kaikyo-bridge/) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
2.2 Faróis de carro 
 
O farol do carro é um grande exemplo da aplicação pratica da parábola, onde 
em sua estrutura tem-se uma fonte de luz posicionada no foco da parábola que ilumina 
um espelho parabólico, que por sua vez reflete os raios e os lança paralelamente ao 
seu eixo de simetria. Como mostra a figura 10. 
 
 
Figura 10 – Farol parabólico 
(disponível em: http://1blogs2.blogspot.com/) 
 
 
2.3 Antenas parabólicas 
 
Essas antenas são compostas por uma superfície parabólica e um receptor 
posicionado no foco da mesma. Como as ondas de radiofrequência tem comprimento 
que varia de algumas centenas de metros até o mínimo aproximadamente 0,3 metros, 
grande parte das superfícies servem como espelho para essas ondas, mesmo que 
seja uma tela de arame repleta de furos presente em quase todas as antenas 
parabólicas residenciais. O princípio de aplicação é o mesmo dos faróis do carro, mas 
de maneira reversa: no foco da parábola se encontra o receptor, responsável por 
concentrar todas as ondas refletidas pela superfície da antena, e transformá-los em 
um sinal que a tv converterá em canais. Para melhor compreensão observar as figuras 
11 e 12. (SOUZA, 2014: pag. 49-41) 
 
 
 10 
 
Figura 11 – Esquema de uma antena parabólica 
 
 
 
Figura 12 – Grande telescópio milimétrico, México 
(disponível em: https://gigantesdomundo.blogspot.com/2013/04/as-10-maiores-antenas-parabolicas-
do.html) 
 
 
2.4 Fornos solares 
 
Se levarmos em consideração a distância entre o Sol e a Terra, 
aproximadamente 150 milhões de quilômetros, o feixe de luz solar que nos atinge, tem 
seus raios praticamente paralelos. Sendo assim esses raios paralelos, quando 
refletidos pela superfície espelhada do forno solar convergem para o foco, o que 
acarretará numa grande concentração de energia, luminosa e térmica. A área a ser 
aquecida deve ficar exatamente sobre o foco. Um forno solar conhecido fica em 
 11 
Odeillo na França (figura 13), onde se tem uma grande incidência de luz solar. 
Construído em 1969, é composto por 9.500 espelhos planos e individuais, 40 metros 
de altura e por 54 metros de largura, concentram os raios solares em um forno, que 
fica a uma distância de 18 metros do refletor, na torre do coletor, obtém-se um foco 
de aproximadamente 40 cm de diâmetro. Pode-se alcançar temperaturas de até 
3.800ºC. (MACHADO, 2008: p. 5) 
 
 
 
Figura 12 – Forno solar – Odeillo, sul da França 
(disponível em: http://ofrioquevemdosol.blogspot.com/2013/09/universidade-de-perpignan-energia-
solar.html) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
3 CONCLUSÃO 
 
O conteúdo matemático abordado neste artigo apresentou uma análise do 
estudo de cônicas a fim de enfatizar o uso da parábola, apresentando seus conceitos 
contemplados com suas fórmulas algébricas e aplicações práticas. Foi realizado um 
estudo aprofundado em seus aspectos teóricos em diferentes artigos, dissertações, 
trabalhos de conclusão de curso e livros digitais acadêmicos, o que ocasionou um 
maior conhecimento acerca da sua grande capacidade refletora, onde foi explicado 
como funciona essa reflexão usando alguns exemplos comuns do cotidiano, que na 
maioria das vezes as pessoas usam todos os dia e não sabem que ali existe uma 
parábola, exemplos como: pontes pênseis, faróis de carros, fornos solares e antenas 
parabólicas, o que possibilitou uma melhor compreensão da parábola. Ao unir as 
partes de conceito(teoria) e pratica(exemplos), o leitor terá a capacidade de identificar 
uma parábola nos lugares que passar e entender seu funcionamento. 
 
 
 
 
4 REFERÊNCIAS 
 
MATOS, T. S. Programa para análise de superestruturas de pontes de concreto 
armado e protendido. p. 35. Dissertação de Mestrado em Ciências Sociais – UFRJ, 
Rio de Janeiro, 2001. Disponível em: 
<http://www.coc.ufrj.br/pt/documents2/mestrado/2001-1/1912-tales-simoes-mattos-
mestrado>. Acesso em: 9 novembro de 2019. 
 
PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo. Moderna, 1999. p. 378-380. 
 
MACHADO, M. T. G. Parábolas – As curvas preciosas. 2008. 31. Disponível em: 
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/673-4>. Acesso em: 9 de 
novembro de 2019. 
 
 13 
SOUZA, Lindomar Duarte de. Cônicas e suas propriedades notáveis. 2014. 64f. 
Dissertação de Mestrado em Matemática – UFSC, Florianópolis, 2014. Disponível 
em:<https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/128599/328484.pdf?sequ
ence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 9 de novembro de 2019.