Conhecimentos Matemáticos

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Câmara de Salgueiro-PE 
Agente Administrativo 
 
Raciocínio Lógico................................................................................................................. 1 
Conjuntos Numéricos: Números Naturais, Inteiros e Racionais. ........................................ 36 
Operações Fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Resolução de 
Problemas. ............................................................................................................................. 57 
Regra de três simples e porcentagem................................................................................ 67 
Geometria básica. .............................................................................................................. 81 
Sistema Monetário Brasileiro. ......................................................................................... 126 
Noções de Lógica. ........................................................................................................... 133 
Sistema de Medidas: comprimento, superfície, volume, massa, capacidade e tempo. .... 160 
Fundamentos de Estatísticas ........................................................................................... 168 
 
 
 
 
Olá Concurseiro, tudo bem? 
 
Sabemos que estudar para concurso público não é tarefa fácil, mas acreditamos na sua 
dedicação e por isso elaboramos nossa apostila com todo cuidado e nos exatos termos do 
edital, para que você não estude assuntos desnecessários e nem perca tempo buscando 
conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você 
tenha uma ótima experiência de estudo e que consiga a tão almejada aprovação. 
 
Pensando em auxiliar seus estudos e aprimorar nosso material, disponibilizamos o e-mail 
professores@maxieduca.com.br para que possa mandar suas dúvidas, sugestões ou 
questionamentos sobre o conteúdo da apostila. Todos e-mails que chegam até nós, passam 
por uma triagem e são direcionados aos tutores da matéria em questão. Para o maior 
aproveitamento do Sistema de Atendimento ao Concurseiro (SAC) liste os seguintes itens: 
 
01. Apostila (concurso e cargo); 
02. Disciplina (matéria); 
03. Número da página onde se encontra a dúvida; e 
04. Qual a dúvida. 
 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhar em e-mails separados, 
pois facilita e agiliza o processo de envio para o tutor responsável, lembrando que teremos até 
cinco dias úteis para respondê-lo (a). 
 
Não esqueça de mandar um feedback e nos contar quando for aprovado! 
 
Bons estudos e conte sempre conosco! 
 
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ESTRUTURAS LÓGICAS 
 
A lógica pela qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles, constituindo-a como uma ciência 
autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração) 
do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material. 
A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. As estruturas 
lógicas consistem em um sistema dedutivo de enunciados, que tem como objetivo criar um grupo de leis 
e regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é 
possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras. 
O estudo das estruturas lógicas1, consiste em aprendermos a associar determinada proposição ao 
conectivo correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o 
aprendizado. 
 
Conceito de Proposição 
 
Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou 
uma ideia de sentido completo. Assim, as proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam, 
declaram fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes. 
Elas devem possuir além disso: 
- um sujeito e um predicado; 
- deve sempre ser possível atribuir um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). 
Preenchendo esses requisitos estamos diante de uma proposição. 
 
Exemplos 
A) Júpiter é o maior planeta do sistema Solar 
Analisando temos: 
- Quem é o maior planeta do sistema Solar? Júpiter, logo tem um sujeito e um predicado; 
- É uma frase declarativa (a frase informa ou declara alguma coisa); 
- Podemos atribuir um valor lógico V ou F, independente da questão em si. 
 
B) Salvador é a capital do Brasil. 
- Quem é a capital do Brasil? Salvador (atenção, não estamos aqui para julgar), logo tem um sujeito e 
um predicado; 
- É uma frase declarativa (a frase informa ou declara alguma coisa); 
- Podemos atribuir um valor lógico V ou F, independente da questão em si. 
 
C) Todos os músicos são românticos. 
- Quem são românticos? Todos os músicos, logo tem um sujeito e um predicado; 
- É uma frase declarativa (a frase informa ou declara alguma coisa); 
- Podemos atribuir um valor lógico V ou F, independente da questão em si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 CABRAL, L. C. D.; NUNES, M. C. de A. Raciocínio lógico passo a passo. Rio de Janeiro. Elsevier, 2013. 
ALENCAR FILHO, E. de. Iniciação a lógica matemática. São Paulo. Nobel, 2002. 
Raciocínio Lógico. 
 
 
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Princípios Fundamentais da Lógica 
 
A Lógica matemática adota como regra fundamental três princípios2 (ou axiomas): 
 
I – PRINCÍPIO DA IDENTIDADE: uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição 
falsa é falsa. 
 
II – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa 
ao mesmo tempo. 
 
III – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, 
verificamos sempre um desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso. 
 
 
Se os princípios acimas não puderem ser aplicados, NÃO podemos classificar uma frase como 
proposição. 
 
Valores Lógicos das Proposições 
 
Chamamos de valor lógico de uma proposição: a verdade, se a proposição for verdadeira (V), e a 
falsidade, se a proposição for falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos 
verdade e falsidade respectivamente. 
 
Consideremos as seguintes proposições e os seus respectivos valores lógicos: 
a) A velocidade de um corpo é inversamente proporcional ao seu tempo. (V) 
b) A densidade da madeira é maior que a densidade da água. (F) 
 
A maioria das proposições são proposições contingenciais, ou seja, dependem do contexto para sua 
análise. Assim, por exemplo, se considerarmos a proposição simples: 
 
“Existe vida após a morte”, ela poderá ser verdadeira ou falsa, não importa no que nós pensamos, o 
que importa é que pode ser atribuído um valor lógico que será verdadeiro ou falso. 
 
Classificação das Proposições 
 
As proposições podem ser classificadas em: 
 
I - Proposições simples (ou atômicas): são formadas por uma única oração, sem conectivos, ou seja, 
elementos de ligação. 
 
Exemplos 
O céu é azul. 
Hoje é sábado. 
 
II - Proposições compostas (ou moleculares): possuem elementos de ligação (conectivos) que ligam 
as orações, podendo ser duas, três, e assim por diante. 
 
Exemplos 
O ceu é azul ou cinza. 
Se hoje é sábado, então vou à praia e jogo futebol. 
 
Observação: os termos em destaque são alguns dos conectivos (termos de ligação) que utilizamos 
em lógica matemática. 
 
Sentença aberta 
Quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!), 
portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas: 
 
2 Algumas bibliografias consideram apenas dois axiomas o II e o III. 
 
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a) Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem? 
b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso! 
c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão. 
d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” 
(expressão paradoxal); O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua); y + 6 = 4 (se y = - 2 é 
verdadeira, mas se y for igual a qualquer outro valor, será falsa e uma proposiçãonão pode ser verdadeira 
e falsa ao mesmo tempo, princípio da não contradição). 
 
Proposição (sentença) fechada 
Quando a proposição admitir um único valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será 
considerada uma frase, proposição ou sentença lógica. 
 
 
 
Questões 
 
01. (TJ/PR – Técnico Judiciário – CESPE/2019) Considere as seguintes sentenças. 
I A ouvidoria da justiça recebe críticas e reclamações relacionadas ao Poder Judiciário do estado. 
II Nenhuma mulher exerceu a presidência do Brasil até o ano 2018. 
III Onde serão alocados os candidatos aprovados no concurso para técnico judiciário do TJ/PR? 
Assinale a opção correta. 
(A) Apenas a sentença I é proposição. 
(B) Apenas a sentença III é proposição. 
(C) Apenas as sentenças I e II são proposições. 
(D) Apenas as sentenças II e III são proposições. 
(E) Todas as sentenças são proposições. 
 
02. (CEEE/RS – Técnico em Enfermagem do Trabalho – FUNDATEC/2019) Lista de símbolos: 
⇒ Condicional 
⇔ Bicondicional 
∧ Conector “e” 
∨ Conector “ou” 
⊻ Conector “ou” exclusivo 
¬ Negação da proposição 
Assinale a alternativa que apresenta um exemplo de proposição simples. 
(A) João é alto e Maria é baixa 
(B) Qual é o horário da missa? 
(C) Se João estuda, então Maria passa no concurso. 
(D) Dois é um número par se e somente se dez é um número ímpar. 
(E) Florianópolis é a capital do estado de Santa Catarina. 
 
03. (Pref. de Guarulhos/SP – Inspetor Fiscal de Rendas – VUNESP/2019) Dentre as sentenças a 
seguir, aquela que é uma sentença aberta é 
(A) 3 ⋅ x + 4 – x – 3 – 2 ⋅ x = 0 
(B) 7 + 3 = 11 
(C) 0 ⋅ x = 5 
(D) 13 ⋅ x = 7 
(E) 43 – 1 = 42 
 
DICA: Tire esse PESO de você! 
P: Perguntas; 
E: Exclamações; 
S: Sem sentido; 
O: Ordem. 
Não são consideradas proposições. 
 
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04. (FDSBC – Oficial Administrativo – QUADRIX/2019) Das frases a seguir, a única que representa 
uma proposição é: 
(A) Ronaldo, venha até aqui, por favor. 
(B) Que tarde agradável! 
(C) Sim. 
(D) Maria preparou os documentos. 
(E) Onde estão os documentos? 
 
05. (PM/RR – Soldado da Polícia Militar – UERR) Uma sentença aberta pode ser transformada numa 
proposição se for atribuído valor a uma variável. Dada a sentença aberta p(y): y2 > 10, assinale o valor a 
ser atribuído para tornar a proposição p(y) verdadeira: 
(A) x = 4 
(B) y = -2 
(C) y = 1 
(D) x = 0 
(E) y = 5 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
I A ouvidoria da justiça recebe críticas e reclamações relacionadas ao Poder Judiciário do estado. É 
PROPOSIÇÃO. 
II Nenhuma mulher exerceu a presidência do Brasil até o ano 2018. É PROPOSIÇÃO. 
III Onde serão alocados os candidatos aprovados no concurso para técnico judiciário do TJ/PR? NÃO 
É UMA PROPOSIÇÃO, pois é uma pergunta. 
 
02. Resposta: E 
(A) João é alto e Maria é baixa (proposição composta ligada pelo conectivo “e” conjunção) 
(B) Qual é o horário da missa? (Não é proposição, pois é uma pergunta) 
(C) Se João estuda, então Maria passa no concurso. (proposição composta ligada pelo conectivo 
se...então... condicional) 
(D) Dois é um número par se e somente se dez é um número ímpar. (proposição composta ligada pelo 
conectivo ...se, e somente se... bicondicional) 
(E) Florianópolis é a capital do estado de Santa Catarina. (é uma proposição simples) 
 
03. Resposta: D 
(A) 3 ⋅ x + 4 – x – 3 – 2 ⋅ x = 0 (simplificando esta expressão teremos 0x + 1 = 0, logo será sentença 
fechada, pois qualquer que seja o valor para x, teremos sempre uma mesma resposta) 
(B) 7 + 3 = 11 (é uma sentença fechada, pois podemos assumir apenas um valor, F ou V) 
(C) 0 ⋅ x = 5 (é uma sentença fechada, pois qualquer que seja o valor de x, sempre podemos atribuir a 
mesma resposta, logo podemos valorar em V ou em F) 
(D) 13 ⋅ x = 7 (não é uma sentença fechada, pois um valor gera V e qualquer outro valor gera uma F) 
(E) 43 – 1 = 42 (é uma sentença fechada, pois podemos assumir apenas um valor, F ou V.) 
 
04. Resposta: D 
(A) Ronaldo, venha até aqui, por favor. (Uma ordem, não é proposição) 
(B) Que tarde agradável! (Exclamação, não é uma proposição) 
(C) Sim. (não é proposição, não possui nem verbo) 
(D) Maria preparou os documentos. (É uma proposição, pois possui sentido e verbo, podendo atribuir 
V ou F) 
(E) Onde estão os documentos? (É uma pergunta, logo não é proposição) 
 
05. Resposta: E 
Analisando as alternativas: 
A) x = 4, errado pois não temos a variável x. 
B) y = -2, errado, pois −22 = 4 < 10 
C) y = 1, errado, pois 12 = 1 < 10 
D) x = 0, não temos a variável x. 
E) y = 5, correto. 52 = 25 > 10 
 
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Conceito de Tabela Verdade 
 
É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada 
proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. Partimos do Princípio do 
Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa , tendo os valores lógicos V (verdade) 
ou F (falsidade). 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das 
proposições simples que a compõe. 
 
 
 
 
 
Número de Linhas de uma Tabela Verdade 
 
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simples componentes 
contém 2n linhas.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”) 
Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um 
para a segunda proposição “q”, em suas respectivas colunas, e, além disso, VV, VF, FV e FF, em cada 
linha, são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”, segundo ensina a Análise 
Combinatória. 
 
Construção da tabela verdade de uma proposição composta 
Vamos começar contando o número de proposições simples que a integram. Se há n proposições 
simples componentes, então temos 2n linhas. Feito isso, atribuimos a 1ª proposição simples “p1” 2n / 2 = 
2n -1 valores V , seguidos de 2n – 1 valores F, e assim por diante. 
 
Exemplos 
1) Se tivermos 2 proposições temos que 2n =22 = 4 linhas e 2n – 1 = 22 - 1 = 2, temos para a 1ª proposição 
2 valores V e 2 valores F se alternam de 2 em 2 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam 
de 1 em 1 (ou seja metade dos valores da 1ª proposição). Observe a ilustração, a primeira parte dela 
corresponde a árvore de possibilidades e a segunda a tabela propriamente dita. 
 
 
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO: 
O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos 
valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles 
UNIVOCAMENTE determinados. 
 
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2) Se tivermos 3 proposições simples, fazendo os cálculos temos: 2n =23 = 8 linhas e 2n – 1 = 23 - 1 = 4, 
temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 , para a 2ª proposição temos 
que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos valores 
que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição). 
 
 
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 
 
Estudo dos Operadores e Operações Lógicas (Conectivos Lógicos) 
Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas, efetuamos 
cálculos proposicionais, semelhantes a aritmética sobre números, de forma a determinarmos os valores 
das proposições. 
 
1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico 
é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico 
oposto daquele de p. 
Pela tabela verdade temos: 
 
 
Exemplos 
 
Na primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras, logo ao negarmos os termos passam 
a ter como valor lógico a falsidade. 
Para negar algo que já possui o “não”, basta retirá-lo. 
A negação de “Mário não é palmeirense” será “Mário é palmeirense”. 
 
- Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas, p:” 
Netuno é o planeta mais distante do Sol”; sendo seu valor verdadeiroao negarmos “p”, vamos obter a 
seguinte proposição ~p: “Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a 
proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol”, 
sendo seu valor lógico verdadeiro (V). Logo, a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua 
proposição primitiva. 
p ≡ ~(~p) 
 
2) Conjunção “e” – produto lógico (^): chama-se de conjunção de duas proposições p e q a 
proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições, p e q, são 
ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. 
 
 
 
7 
 
Simbolicamente temos: “p ^ q” (lê-se: “p E q”). 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
Exemplos 
Sejam as seguintes proposições: 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
 
I – 
p: Carlos é médico; 
r: Ricardo é professor; 
Carlos é médico e Ricardo é professor. 
V e V 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
II – 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
Carlos é médico e João é Dentista. 
V e F 
Gera uma proposição composta Falsa. 
 
III – 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
Manoel é jogador de futebol e Ricardo é professor. 
F e V 
Gera uma proposição composta Falsa. 
 
IV – 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
 
João é dentista e Manoel é jogador de futebol. 
F e F 
Gera uma proposição composta Falsa. 
 
 
 
3) Disjunção inclusiva “ou” – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção 
inclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdade 
(V) quando pelo menos uma das proposições, p e q, é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são 
falsas. 
 
 
DICA: 
Na conjunção (e), só é Verdade se as duas partes 
forem V, caso contrário a conjunção será Falsa. 
 
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Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”). 
Pela tabela verdade temos: 
 
Exemplos 
Sejam as seguintes proposições: 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
 
I – 
p: Carlos é médico; 
r: Ricardo é professor; 
Carlos é médico ou Ricardo é professor. 
V ou V 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
II – 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
Carlos é médico ou João é Dentista. 
V ou F 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
III – 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
Manoel é jogador de futebol ou Ricardo é professor. 
F ou V 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
IV – 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
 
João é dentista ou Manoel é jogador de futebol. 
F ou F 
Gera uma proposição composta Falsa. 
 
 
 
4) Disjunção exclusiva ( v ): chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q, cujo valor 
lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são 
ambas verdadeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
Simbolicamente: “p v q” (lê-se; “OU p OU q”; “OU p OU q, MAS NÃO AMBOS”). 
 
DICA: 
Na disjunção simples (ou), só é Falso se as duas 
partes forem F, caso contrário a disjunção simples 
será V, ou seja, uma parte sendo V já garante que 
ela seja V. 
 
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Pela tabela verdade temos: 
 
 
Exemplos 
Sejam as seguintes proposições: 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
 
I – 
p: Carlos é médico; 
r: Ricardo é professor; 
OU Carlos é médico ou Ricardo é professor. 
Ou V ou V 
Gera uma proposição composta Falsa. 
 
II – 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
Ou Carlos é médico ou João é Dentista. 
Ou V ou F 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
III – 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
OU Manoel é jogador de futebol ou Ricardo é professor. 
Ou F ou V 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
IV – 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
Ou João é dentista ou Manoel é jogador de futebol. 
Ou F ou F 
Gera uma proposição composta Falsa. 
 
 
 
5) Implicação lógica ou condicional (→): chama-se proposição condicional ou apenas condicional 
representada por “se p então q”, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdade e q é falsa 
e a verdade (V) nos demais casos. 
 
 
 
DICA: 
Na disjunção exclusiva (ou...ou...), só é Falso se as 
duas partes forem F, ou se as duas partes forem V, 
ou seja, se as duas partes tiverem o mesmo valor 
lógico, o resultado será falso. 
 
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Simbolicamente: “p → q” (lê-se: p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p). 
p é o antecedente e q o consequente e “→” é chamado de símbolo de implicação. 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
 
Exemplos 
Sejam as seguintes proposições: 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
 
I – 
p: Carlos é médico; 
r: Ricardo é professor; 
Se Carlos é médico, então Ricardo é professor. 
V → V 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
II – 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
Se Carlos é médico, então João é Dentista. 
V → F 
Gera uma proposição composta FALSA. 
 
III – 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
Se Manoel é jogador de futebol, então Ricardo é professor. 
F → V 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
IV – 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
Se João é dentista, então Manoel é jogador de futebol. 
F → F 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
 
 
 
DICA: 
Na condicional (Se...então...), só é Falso se a 
primeira parte (antecedente) for V e a segunda parte 
(consequente) for F, caso contrário será sempre 
Verdadeiro. 
 
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6) Dupla implicação ou bicondicional (↔):chama-se proposição bicondicional ou apenas 
bicondicional representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são 
ambas verdadeiras ou ambas falsas e a falsidade (F) nos demais casos. 
Simbolicamente: “p ↔ q” (lê-se: p é condição necessária e suficiente para q; q é condição necessária 
e suficiente para p). 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
Exemplos 
Sejam as seguintes proposições: 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
 
I – 
p: Carlos é médico; 
r: Ricardo é professor; 
Carlos é médico se, e somente se Ricardo é professor. 
V ↔ V 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
II – 
p: Carlos é médico; (suponha que seja V) 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
Carlos é médico se, e somente se João é Dentista. 
V ↔ F 
Gera uma proposição composta FALSA. 
 
III – 
r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
Manoel é jogador de futebol se, e somente se Ricardo é professor. 
F ↔ V 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
IV – 
q: João é dentista; (suponha que seja F) 
s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) 
João é dentista se, e somente se Manoel é jogador de futebol. 
F ↔ F 
Gera uma proposição composta Verdadeira. 
 
 
 
 
DICA: 
Na bicondicional (...se,e somente se...), só é 
Verdadeiro quando ambas forem iguais (FF ou VV), 
se for uma parcela verdadeira e a outra falsa, a 
bicondicional será falsa, é o contrário da disjunção 
exclusiva. 
 
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Transformação da linguagem corrente para a simbólica 
Este assunto é muito abordado em provas, ou então, os candidatos(as) acabam utilizando para 
resolver as questões de lógica, eu particularmente, sempre transformo para a linguagem simbólica, pois 
acredito que facilita a resolução dos exercícios. 
 
Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”, “q” e “r” representadas por: 
p: Luciana estuda. 
q: João bebe. 
r: Carlos dança. 
 
Sejam, agora, as seguintes proposições compostas denotadas por: “P”, “Q”, “R”, representadas por: 
P: Se Luciana estuda e João bebe, então Carlos não dança. 
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana não estuda. 
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. 
 
O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições. 
Depois reescrevermos de forma simbólica, vejamos: 
 
 
Juntando as informações temos que, P: (p ^ q) → ~r 
 
Continuando: 
 
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana estuda. 
 
 
Simbolicamente temos: Q: ~ (q v r ^ ~p). 
 
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. 
(p v r) ↔ ~q 
 
Observação: os termos “É falso que”, “Não é verdade que”, “É mentira que” e “É uma falácia que”, 
quando iniciam as frases negam, por completo, as frases subsequentes. 
 
O uso de parêntesis 
A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de 
ambiguidade, assim na proposição, p ^ q v r, nos dá as seguintes proposições: 
 
(I) (p ^ q) v r - Conectivo principal é da disjunção simples. 
(II) p ^ (q v r) - Conectivo principal é da conjunção. 
 
As quais apresentam significados diferentes, pois os conectivos principais de cada proposição 
composta dão valores lógicos diferentes como conclusão. 
Agora observe a expressão: p ^ q → r v s, dá lugar, colocando parêntesis as seguintes proposições: 
a) ((p ^ q) → r) v s 
b) p ^ ((q → r) v s) 
c) (p ^ (q → r)) v s 
d) p ^ (q → (r v s)) 
e) (p ^ q) → (r v s) 
 
 
13 
 
Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. Porém existem muitos casos que os 
parêntesis são suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, 
ambiguidade alguma venha a aparecer. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a 
algumas convenções, das quais duas são particularmente importantes: 
 
1ª) A “ordem de precedência” para os conectivos é: 
(I) ~ (negação) 
(II) ̂ , v (conjunção “e” ou disjunção simples “ou”, têm a mesma precedência, operando-se o que ocorrer 
primeiro, da esquerda para direita). 
(III) v (disjunção exclusiva, ou...ou...) 
(III) → (condicional, se...então...) 
(IV) ↔ (bicondicional, ...se, e somente se...) 
Portanto o mais “fraco” é “~” e o mais “forte” é “↔”. 
 
Logo: Os símbolos → e ↔ têm preferência sobre ^ e v. 
 
Exemplos 
1) p → q ↔ s ^ r, é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la 
numa condicional há que se usar parêntesis: 
p →( q ↔ s ^ r ) 
E para convertê-la em uma conjunção: 
(p → q ↔ s) ^ r 
 
2ª) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os 
parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. 
 
Segundo estas duas convenções, as duas seguintes proposições se escrevem: 
 
- Outros símbolos para os conectivos (operadores lógicos): 
“¬” (cantoneira) para negação (~). 
“●” e “&” para conjunção (^). 
 .(→) ferradura) para a condicional) ”כ“
 
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões 
 
 
(Fonte: http://www laifi.com.) 
 
Exemplo 
 
1) Vamos construir a tabela verdade da proposição: 
P(p,q) = ~ (p ^ ~q) 
 
1ª Resolução) Vamos formar o par de colunas correspondentes as duas proposições simples p e q. 
Em seguida a coluna para ~q , depois a coluna para p ^ ~q e a útima contendo toda a proposição ~ (p ^ 
~q), atribuindo todos os valores lógicos possíveis de acordo com os operadores lógicos. 
 
 
 
14 
 
2ª Resolução) Vamos montar primeiro as colunas correspondentes a proposições simples p e q , 
depois traçar colunas para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que compõem 
a proposição composta. 
 
Depois completamos, em uma determinada ordem as colunas escrevendo em cada uma delas os 
valores lógicos. 
 
 
Observe que, vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F), depois resolvemos os 
operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que 
correspondem a todas possíveis atribuições de p e q. 
 
3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas 
às proposições simples componentes p e q. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada: 
 
 
 
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES3 
 
Propriedades da Conjunção 
Sendo as proposições p, q e r simples, quaisquer que sejam t e w, proposições também simples, cujos 
valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade), temos as seguintes propriedades: 
 
1) Idempotente: p ^ p ⇔ p (o símbolo “⇔” representa equivalência). 
A tabela verdade de p ^ p e p, são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ p ↔ p é tautológica. 
 
 
 
 
3 CABRAL, L. C. D.; NUNES, M. C. de A. Raciocínio lógico passo a passo. Rio de Janeiro. Elsevier, 2013. 
ALENCAR FILHO, E. de. Iniciação a lógica matemática. São Paulo. Nobel, 2002. 
 
15 
 
2) Comutativa: p ^ q ⇔ q ^ p 
A tabela verdade de p ^ q e q ^ p são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ q ↔ q ^ p é tautológica. 
 
 
3) Associativa: (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ (q ^ r) 
A tabela verdade de (p ^ q) ^ r e p ^ (q ^ r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ 
r) é tautológica. 
 
 
4) Identidade: p ^ t ⇔ p e p ^ w ⇔ w 
A tabela verdade de p ^ t e p, e p ^ w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ t ↔ p e p ^ w ↔ w 
são tautológicas. 
 
 
Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente 
da conjunção. 
 
Propriedades da Disjunção 
Sendo as proposições p, q e r simples, quaisquer que sejam t e w, proposições também simples, cujos 
valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade), temos as seguintes propriedades: 
 
1) Idempotente: p v p ⇔ p 
A tabela verdade de p v p e p, são idênticas, ou seja, a bicondicional p v p ↔ p é tautológica. 
 
 
2) Comutativa: p v q ⇔ q v p 
A tabela verdade de p v q e q v p são idênticas, ou seja, a bicondicional p v q ↔ q v p é tautológica. 
 
 
3) Associativa: (p v q) v r ⇔ p v (q v r) 
A tabela verdade de (p v q) v r e p v (q v r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p v q) v r ↔ p v (q v 
r) é tautológica. 
 
 
16 
 
 
4) Identidade: p v t ⇔ t e p v w ⇔ p 
A tabela verdade de p v t e p, e p v w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p v t ↔ t e p v w ↔ p 
são tautológicas. 
 
Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro 
da disjunção. 
 
Propriedades da Conjunção e Disjunção 
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer. 
 
1) Distributiva: 
- p ^ (q v r) ⇔ (p ^ q) v (p ^ r) 
- p v (q ^ r) ⇔ (p v q) ^ (p v r) 
 
A tabela verdade das proposições p ^ (q v r) e (p v q) ^ (p v r) são idênticas, e observamos que a 
bicondicional p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r) é tautológica. 
 
 
Analogamente temos ainda que a tabela verdade das proposições p v (q ^ r) e (p v q) ^ (p v r) são 
idênticas e sua bicondicional p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r) é tautológica. 
 
A equivalência p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r), exprime que a conjunção é distributiva em relação à 
disjunção, e a equivalência p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r), exprime que a disjunção é distributiva em relação 
à conjunção. 
 
Exemplo 
“Carlos estuda E Jorge trabalha OU viaja” é equivalenteà seguinte proposição: 
“Carlos estuda E Jorge trabalha” OU “Carlos estuda E Jorge viaja”. 
 
2) Absorção: 
- p ^ (p v q) ⇔ p 
- p v (p ^ q) ⇔ p 
 
 
 
 
 
17 
 
A tabela verdade das proposições p ^ (p v q) e p, ou seja, a bicondicional p ^ (p v q) ↔ p é tautológica. 
 
 
Analogamente temos ainda que a tabela verdade das proposições p v (p ^ q) e p são idênticas, ou 
seja, a bicondicional p v (p ^ q) ↔ p é tautológica. 
 
 
 
Sinônimos dos Conectivos Lógicos 
 
Não é tão incomum utilizar alguns sinônimos para os conectivos lógicos, vamos ver alguns deles. 
Seja p: João é Dentista, q: João é paulista. 
 
João é dentista, mas é paulista. 
João é dentista e paulista. 
e = mas (conjunção) 
 
João não é dentista, nem paulista. 
João não é dentista e não é paulista. 
Nem = e + não 
 
Referências 
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. 
 
Questões 
 
01. (DOCAS/PB – Assistente Administrativo – IBFC) Se o valor lógico de uma proposição “P” é 
verdade e o valor lógico de uma proposição “Q” é falso, então o valor lógico do bicondicional entre as 
duas proposições é: 
(A) Falso 
(B) Verdade 
(C) Inconclusivo 
(D) Falso ou verdade 
 
02. (DOCAS/PB – Assistente Administrativo – IBFC) Dentre as alternativas, a única correta é: 
(A) O valor lógico da conjunção entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
(B) O valor lógico do bicondicional entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
(C) O valor lógico da disjunção entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
(D) O valor lógico do condicional entre duas proposições é falso se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
 
03. (EBSERH – Técnico em Citopatologia – AOCP) Considerando a proposição composta (p ∨ r), é 
correto afirmar que 
(A) a proposição composta é falsa se apenas p for falsa. 
(B) a proposição composta é falsa se apenas r for falsa. 
 
18 
 
(C) para que a proposição composta seja verdadeira é necessário que ambas, p e r sejam verdadeiras. 
(D) para que a proposição composta seja verdadeira é necessário que ambas, p e r sejam falsas. 
(E) para que a proposição composta seja falsa é necessário que ambas, p e r sejam falsas. 
 
04. (MEC – Conhecimentos básicos para os Postos 9,10,11 e 16 – CESPE) 
 
 
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam 
proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso. 
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo. 
 
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na 
posição horizontal é igual a 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
05. (FLAMA/SC – Geólogo – UNESC/2019) Considere verdadeiras as afirmações a seguir: 
I - Se Vivi é costureira, então Verônica não é advogada 
II - Se Verinha é bailarina, então Verônica é advogada 
III - Virna é professora 
IV - Ou Verinha é bailarina, ou Virna não é professora. 
Com base nessas afirmações podemos concluir corretamente que: 
(A) Se Virna é professora, então Verônica não é advogada 
(B) Se Verônica não é advogada, então Verinha não é bailarina 
(C) Virna é professora e Verônica não é advogada 
(D) Verônica não é advogada ou Vivi é costureira 
 
06. (Pref. de Manaus/AM – Assistente Técnico Fazendário – FCC/2019) Aos domingos, 
− como pizza no jantar ou não tomo açaí, 
− corro ou jogo futebol e 
− tomo açaí ou não corro. 
Se, no último domingo, não joguei futebol, então 
(A) corri e não comi pizza no jantar. 
(B) não corri e comi pizza no jantar. 
(C) não comi pizza no jantar e não tomei açaí. 
(D) não corri e não tomei açaí. 
(E) corri e tomei açaí. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
07. (BRDE-Analista de Sistemas, Desenvolvimento de Sistemas – FUNDATEC) Qual operação 
lógica descreve a tabela verdade da função Z abaixo cujo operandos são A e B? Considere que V significa 
Verdadeiro, e F, Falso. 
 
(A) Ou. 
(B) E. 
(C) Ou exclusivo. 
(D) Implicação (se...então). 
(E) Bicondicional (se e somente se). 
 
08. (TCE/SP – Auxiliar da Fiscalização Financeira II – FCC) Considere a afirmação condicional: Se 
Alberto é médico ou Alberto é dentista, então Rosa é engenheira. 
Seja R a afirmação: 'Alberto é médico'; 
Seja S a afirmação: 'Alberto é dentista' e 
Seja T a afirmação: 'Rosa é engenheira'. 
A afirmação condicional será considerada necessariamente falsa quando 
(A) R for verdadeira, S for falsa e T for verdadeira. 
(B) R for falsa, S for verdadeira e T for verdadeira. 
(C) R for falsa, S for falsa e T for falsa. 
(D) R for falsa, S for falsa e T for verdadeira. 
(E) R for verdadeira, S for falsa e T for falsa. 
 
09. (TER-RJ – Analista Judiciário – CONSULPLAN) De acordo com algumas implicações lógicas, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. Se p é verdadeira e q é verdadeira, então p Λ q é verdadeira. 
II. Se p é verdadeira ou q é verdadeira, então p V q é falsa. 
III. Se p é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então q é verdadeira. 
IV. Se ~p é verdadeira e p V q é verdadeira, então q é verdadeira. 
V. Se ~q é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então ~p é verdadeira. 
VI. Se p V q é verdadeira, p ⟶ r é verdadeira e q ⟶ r é verdadeira, então r é verdadeira. 
VII. p V [q Λ (~q)]⇔ p. 
VIII. p⟶ q⇔(~p) V p. 
Estão INCORRETAS apenas as afirmativas 
(A) I e II. 
(B) II e VIII. 
(C) I, II, VI e VIII. 
(D) III, IV, V e VI. 
 
10. (ISGH - Médico Pediatra - Instituto Pró Município) Analise as seguintes proposições: 
Proposição I: 4 é número par; 
Proposição II: 2 > 5; 
Proposição III: 6 é número ímpar. 
Qual das proposições abaixo apresenta valor lógico verdadeiro? 
(A) Se 2 > 5 e 6 é número ímpar, então 4 é número par; 
(B) Se 2 > 5 ou 4 é número par, então 6 é número ímpar; 
(C) Se 4 é número par ou 6 é número ímpar, então 2 > 5; 
(D) Se 4 é número par, então 2 > 5 ou 6 é número ímpar. 
 
11. (Câm. de Indaiatuba/SP – Analista de Sistemas – VUNESP/2018) Considere verdadeiras as 
afirmações I e II, e falsa a afirmação III. 
I. Se Hugo é policial, então Beatriz é juíza. 
II. Se Fernando é vereador, então Vanessa é professora. 
III. Beatriz não é juíza ou Vanessa é professora. 
 
20 
 
A alternativa que contém uma afirmação necessariamente verdadeira, com base nas afirmações 
apresentadas é: 
(A) Fernando não é vereador 
(B) Hugo é policial. 
(C) Hugo não é policial e Fernando é vereador. 
(D) Hugo é policial e Fernando não é vereador. 
(E) Hugo é policial ou Fernando é vereador. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Na tabela da bicondicional só será verdadeiro se a primeira parte for igual à segunda, ou seja, VV ou 
FF, neste exercício ele pergunta VF, portanto gera uma falsidade. 
 
02. Resposta: B 
Vamos relembrar as tabelas verdades. 
Conjunção: Só é Verdadeiro se as duas partes forem verdadeiras (VV), caso contrário será FALSA. 
Disjunção Simples: Só é Falso se as duas partes forem falsas (FF), caso contrário será VERDADEIRA. 
Condicional: Só é Falso se for Verdade na primeira e falsidade na segunda (VF), caso contrário será 
VERDADEIRA. 
Bicondicional: Só é Verdadeiro se as duas partes forem iguais (VV ou FF), caso contrário será FALSA. 
Disjunção Exclusiva: É o contrário da bicondicional, é Falsa quando as duas partes forem iguais (VV 
ou FF), caso contrário será VERDADEIRA. 
Portanto a alternativa correta é a alternativa B. 
 
03. Resposta: E 
O símbolo “v” é da disjunção simples, e ela só é falsa quando as duas proposições que a compõe são 
falsas. 
 
04. Resposta: Certo 
Precisamos montar a tabela verdade de P v (Q↔R), como a bicondicional está entre parêntesis a 
última coluna será da disjunção simples, montando a tabela verdade temos: 
 
No enunciado a última coluna está na horizontal, mas a ordem é idêntica, logo estácorreta. 
 
05. Resposta: B 
I - Se Vivi é costureira, então Verônica não é advogada 
II - Se Verinha é bailarina, então Verônica é advogada 
III - Virna é professora 
IV - Ou Verinha é bailarina, ou Virna não é professora. 
Como elas são verdadeiras, procuramos alguma proposição simples ou alguma conjunção, pois só 
existe uma possibilidade para elas serem verdadeiras, vamos iniciar pela III - Virna é professora, pois é 
uma proposição simples. 
Agora vamos pela: 
Como temos um Ou...ou... para ser verdadeiro sabendo que Virna não é professora é falso, resta que 
Verinha é bailarina será verdadeira. 
IV - Ou Verinha é bailarina, ou Virna não é professora. 
 V F 
 
21 
 
Agora vamos para a II 
II - Se Verinha é bailarina, então Verônica é advogada 
 V V 
Verônica é advogada tem que ser verdadeira, pois caso contrário teríamos VF e na condicional isso é 
falso, agora vamos para I. 
I - Se Vivi é costureira, então Verônica não é advogada 
 F F 
Verônica não é advogada será falso, pois Verônica é advogada era verdadeira, logo Vivi é costureira 
precisa ser falsa, senão teríamos um VF e na condicional isso é falso. 
Verinha é bailarina – VERDADEIRO 
Virna é professora – VERDADEIRO 
Verônica é advogada – VERDADEIRO 
Vivi é costureira – FALSO 
Vamos analisar as alternativas agora: 
(A) Se Virna é professora, então Verônica não é advogada 
 V→F essa condicional é falsa 
(B) Se Verônica não é advogada, então Verinha não é bailarina 
 F → F, essa condicional é verdadeira, logo é a alternativa correta. 
(C) Virna é professora e Verônica não é advogada 
 F e F a conjunção será FALSA 
(D) Verônica não é advogada ou Vivi é costureira 
 F ou F, essa disjunção simples será falsa. 
 
06. Resposta: E 
Repare que temos algumas premissas, portanto precisamos encontrar alguma destas premissas que 
contenha uma conjunção ou proposição simples, ou iniciar pela informação dada no enunciado, observe: 
Se, no último domingo, não joguei futebol, então 
Não jogar futebol será V, logo jogar Futebol será F, portanto partiremos daqui, agora utilizaremos a 
premissa que fala sobre futebol: 
− corro ou jogo futebol 
? ou F, para a disjunção simples ser verdadeira o ? precisa obrigatoriamente ser V, logo correr é V. 
− tomo açaí ou não corro. 
? ou F, repare que para a disjunção simples ser V o ? precisa obrigatoriamente ser V, logo tomo açaí 
é V. 
− como pizza no jantar ou não tomo açaí, 
? ou F, novamente o ? precisa ser V, logo como pizza no jantar é V. 
Sendo assim teremos: 
Correr: VERDADEIRO 
Jogar futebol: VERDADEIRO 
Tomar açaí: VERDADEIRO 
Comer pizza no jantar: VERDADEIRO 
Vamos analisar as alternativas: 
(A) corri e não comi pizza no jantar. 
 V e F, essa conjunção é FALSA. 
(B) não corri e comi pizza no jantar. 
 F e V, essa conjunção é FALSA. 
(C) não comi pizza no jantar e não tomei açaí. 
 F e F, essa conjunção é FALSA. 
(D) não corri e não tomei açaí. 
 F e F, essa conjunção é FALSA. 
(E) corri e tomei açaí. 
 V e V, essa conjunção é VERDADEIRA, logo é a alternativa correta. 
 
07. Resposta: D 
Como Z é o operador, repare a tabela verdade, só temos 1 caso em que é falso, sendo assim já diminui 
nossas possibilidades, repare que no falso, os operandos temos VF e gera F, pensando na tabela 
verdade, teríamos uma condicional, vamos exemplificar: 
Observe novamente a tabela abaixo, considere A = p, B = q e Z = condicional. 
 
22 
 
 
 
08. Resposta: E 
RvS→T 
Para a condicional ser falsa, devemos ter: 
V→F 
Portanto a afirmação (T: Rosa é engenheira) tem que ser falsa. 
E para RvS ser verdadeira, as duas só não podem ser falsas. 
Lembrando pela tabela verdade de cada uma: 
Condicional 
 
Disjunção 
 
Desta forma, T é necessariamente falsa, já R, S só não pode ser ambas falsas, portanto a única 
alternativa em que T é falsa e R ou S não são falsas simultaneamente é a alternativa E. 
 
09. Resposta: B 
Vamos analisar as informações. 
I. Se p é verdadeira e q é verdadeira, então p Λ q é verdadeira. 
Verdadeira, pois V e V gera uma verdade 
II. Se p é verdadeira ou q é verdadeira, então p V q é falsa. 
Na disjunção se uma for verdadeira já basta para a disjunção simples ser verdadeira. 
III. Se p é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então q é verdadeira. 
Na condicional, p,q verdadeiras gera p ⟶ q verdadeira, correta. 
IV. Se ~p é verdadeira e p V q é verdadeira, então q é verdadeira. 
~p é verdadeira, então p é falsa, com isso q é obrigatoriamente verdadeira, logo está correta. 
V. Se ~q é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então ~p é verdadeira. 
~q é verdadeira, então q é falsa, mas temos que p ⟶ q é verdadeira, logo p precisa ser falsa, sendo 
assim ~p vai ser verdadeira. 
Podemos até continuar mostrando cada uma delas, mas apenas com a I sendo verdadeira e II sendo 
falsa, a única alternativa que dá certo é a alternativa “B”. 
 
10. Resposta: A 
Para solucionar essa questão, basta saber que na condicional (A ⟶ B), sendo B (Verdade) ela será 
sempre verdadeira. 
Pois na condicional somente é falso quando: 
(V ⟶ F = F) 
Sabendo disso, 
Se 2 > 5 e 6 é número ímpar, então 4 é número par; 
 Nem precisa fazer ⟶ V = Verdadeiro 
4 é um número par então será verdadeiro, daí não importa o valor do antecedente (nesse caso 2 > 5 
e 6 é número ímpar) a afirmação inteira já vai ser verdadeira. 
 
11. Resposta: A 
No enunciado foi dado os valores lógicos das afirmações: 
I. Se Hugo é policial, então Beatriz é juíza. VERDADEIRA 
II. Se Fernando é vereador, então Vanessa é professora. VERDADEIRA 
III. Beatriz não é juíza ou Vanessa é professora. FALSA 
 
23 
 
Precisamos descobrir o valor lógico de cada uma das proposições simples, vamos começar pela III, 
pois para a disjunção simples ser falsa, só tem uma possibilidade, que será ambas falsas, sendo assim 
Beatriz não é juíza FALSA 
Vanessa é professora FALSA 
Agora vamos para a afirmação II. 
II. Se Fernando é vereador, então Vanessa é professora 
 ? ⟶ F, logo o ? precisa obrigatoriamente ser Falso, pois II é verdadeiro, sendo assim: 
Fernando é vereador FALSA 
Vamos analisar a afirmação I. 
I. Se Hugo é policial, então Beatriz é juíza. 
 ? ⟶ V, independentemente do valor de ? a condicional sempre será verdadeira, logo não podemos 
afirmar nada sobre Hugo é policial. 
Portanto: 
Beatriz é juíza VERDADEIRO 
Vanessa não é professora VERDADEIRO 
Fernando não é vereador VERDADEIRO 
Hugo é policial – NADA podemos afirmar. 
Vamos analisar as afirmativas: 
(A) Fernando não é vereador 
Verdadeiro, portanto, é a alternativa correta. 
(B) Hugo é policial. 
Não podemos afirmar. 
(C) Hugo não é policial e Fernando é vereador. 
 ? e F, independentemente de Hugo não ser policial, na conjunção se uma proposição já for falsa a 
conjunção já será falsa. 
(D) Hugo é policial e Fernando não é vereador. 
 ? e V, para esta conjunção ser V, Hugo é policial deveria ser V, mas não podemos afirmar nada sobre 
ele, portanto não podemos concluir. 
(E) Hugo é policial ou Fernando é vereador. 
 ? ou F, como temos uma disjunção simples, pelo menos uma das proposições precisa ser verdadeira, 
logo neste caso Hugo é policial deveria ser verdadeiro, mas não podemos afirmar nada sobre ele, 
portanto, não podemos concluir a veracidade desta afirmação. 
 
IMPLICAÇÃO LÓGICA 
 
Se uma proposição P (p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q (p,q,r,...) se 
Q (p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P (p,q,r,...) é verdadeira (V), ou seja, a proposição P 
implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia. 
 
Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos: 
 
P (p,q,r,...) ⇒ Q (p,q,r,...). 
 
A não ocorrência de VF na tabela verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → 
Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia. 
 
Observação: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a 
condicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”)representa a relação de implicação lógica que pode ou 
não existir entre duas proposições. 
 
Exemplo 
 
A tabela verdade da condicional (p ^ q) → (p ↔ q) será: 
p q p ^ q p ↔ q (p ^ q) → (p ↔ q) 
V V V V V 
V F F F V 
F V F F V 
F F F V V 
 
24 
 
Portanto, (p ^ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p ^ q) ⇒ (p ↔q). 
 
Em particular: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: p ⇒ p v ~p 
 
p p v ~p 
V V 
F V 
 
- Somente uma contradição implica uma contradição: p ^ ~p ⇒ p v ~p → p ^ ~p 
 
p ~p p ^ ~p p v ~p → p ^ ~p 
V F F F 
F V F F 
 
Propriedades da Implicação Lógica 
A implicação lógica goza das propriedades reflexiva e transitiva: 
Reflexiva: P (p,q,r,...) ⇒ P (p,q,r,...) 
Uma proposição complexa implica ela mesma 
Transitiva: Se P (p,q,r,...) ⇒ Q (p,q,r,...) e 
 Q (p,q,r,...) ⇒ R (p,q,r,...), então 
 P (p,q,r,...) ⇒ R (p,q,r,...) 
 
Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R 
 
Exemplificação e Regras de Inferência 
 
Inferência é o ato de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamente 
verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras 
já existentes. Vejamos as regras de inferência obtidas da implicação lógica: 
 
1 – A tabela verdade das proposições p ^ q, p v q , p ↔ q é: 
 
 
 
A proposição “p ^ q” é verdadeira (V) somente na 1ª linha, e também nesta linha as proposições “p v 
q” e “p → q” também são. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. 
Então: 
p ^ q ⇒ p v q 
p ^ q ⇒ p → q 
 
A tabela acima também demonstram as importantes Regras de Inferência: 
Adição – p ⇒ p v q e q ⇒ p v q 
Simplificação – p ^ q ⇒ p e p ^ q ⇒ q 
 
2 – A tabela verdade das proposições p ↔ q, p → q e q → p, é: 
 
L p q p ↔ q p → q q → p 
1ª V V V V V 
2ª V F F F V 
3ª F V F V F 
4ª F F V V V 
 
25 
 
A proposição “p ↔ q” é verdadeira (V) na 1ª e 4ª linha e as proposições “p → q” e “q → p” também são 
verdadeiras. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. Então: 
 
p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p 
 
3 - Dada a proposição: (p v q) ^ ~p sua tabela verdade é: 
 
p q p v q ~p (p v q) ^ ~p 
V V V F F 
V F V F F 
F V V V V 
F F F V F 
 
Esta proposição é verdadeira somente na 3ª linha e nesta linha a proposição “q” também verdadeira, 
logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada Regra do Silogismo disjuntivo. 
 
(p v q) ^ ~p ⇒ q 
 
É válido também: (p v q) ^ ~q ⇒ p 
 
4 – A tabela verdade da proposição (p → q) ^ p é: 
 
 
 
A proposição é verdadeira somente na 1ª linha, e nesta linha a proposição “q” também é verdadeira, 
logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, também denominada Regra de Modus ponens. 
 
(p → q) ^ p ⇒ q 
 
5 – A tabela verdade das proposições (p → q) ^ ~q e ~p é: 
 
 
 
A proposição (p → q) ^ ~q é verdadeira somente na 4º linha e nesta a proposição “~p” também é 
verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada de Regra Modus tollens. 
 
(p → q) ^ ~q ⇒ ~p 
 
Observe que “~p” implica “p → q”, isto é: ~p ⇒ p → q 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Recapitulando as Regras de Inferência aplicadas a Implicação Lógica: 
 
Adição p ⇒ p v q 
q ⇒ p v q 
Simplificação p ^ q ⇒ p 
p ^ q ⇒ q 
Silogismo disjuntivo (p v q) ^ ~p ⇒ q 
(p v q) ^ ~q ⇒ p 
Modus ponens (p → q) ^ p ⇒ q 
Modus tollens (p → q) ^ ~q ⇒ ~p 
 
Referência 
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. 
 
Questões 
 
01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Renato falou a verdade quando disse: 
• Corro ou faço ginástica. 
• Acordo cedo ou não corro. 
• Como pouco ou não faço ginástica. 
Certo dia, Renato comeu muito. 
 
É correto concluir que, nesse dia, Renato: 
(A) correu e fez ginástica; 
(B) não fez ginástica e não correu; 
(C) correu e não acordou cedo; 
(D) acordou cedo e correu; 
(E) não fez ginástica e não acordou cedo. 
 
02. Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: 
(A) André é artista se e somente Bernardo não é engenheiro. 
(B) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
(C) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. 
(D) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
(E) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
03. Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista,” é do ponto de vista lógico, o mesmo que 
dizer que: 
(A) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. 
(B) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. 
(C) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. 
(D) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
(E) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Na disjunção, para evitarmos que elas fiquem falsas, basta por uma das proposições simples como 
verdadeira, logo: 
“Renato comeu muito” 
Como pouco ou não faço ginástica 
 F V 
 
Corro ou faço ginástica 
 V F 
 
Acordo cedo ou não corro 
 V F 
 
 
27 
 
Portanto ele: 
 Comeu muito 
 Não fez ginástica 
 Correu, e; 
 Acordou cedo 
 
02. Resposta D 
Na expressão temos ~p v q  p → q  ~q → ~p. Temos duas possibilidades de equivalência p → q: 
Se André não é artista , então Bernardo não é engenheiro. Porém não temos essa opção ~q → ~p: Se 
Bernardo é engenheiro, então André é artista. Logo reposta letra d). 
 
03. Resposta: A. 
Na expressão temos ~p v q  p → q p → q: Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. Letra a). 
 
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS 
 
Diz-se que duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo 
estruturas lógicas diferentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade. 
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são 
CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES. 
 
Exemplo 
Dada as proposições “~p → q” e “p v q” verificar se elas são equivalentes. 
 
Vamos montar a tabela verdade para sabermos se elas são equivalentes. 
 
 
Observamos que as proposições compostas “~p → q” e “p ∨ q” são equivalentes. 
 
~p → q ≡ p ∨ q ou ~p → q ⇔ p ∨ q, onde “≡” e “⇔” são os símbolos que representam a equivalência 
entre proposições. 
 
Equivalências fundamentais (Propriedades Fundamentais): a equivalência lógica entre as 
proposições goza das propriedades simétrica, reflexiva e transitiva. 
 
1 – Simetria (equivalência por simetria) 
 
a) p ^ q ⇔ q ^ p 
 
b) p v q ⇔ q v p 
 
 
 
 
 
28 
 
c) p ∨ q ⇔ q ∨ p 
 
d) p ↔ q ⇔ q ↔ p 
 
 
2 - Reflexiva (equivalência por reflexão) 
p → p ⇔ p → p 
 
3 – Transitiva 
Se P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) E 
Q(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) ENTÃO 
P(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) . 
 
Equivalências notáveis 
 
1 - Distribuição (equivalência pela distributiva) 
 
a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 
 
 
b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
2 - Associação (equivalência pela associativa) 
 
a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r) 
 
 
 
b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r) 
 
 
3 – Idempotência 
 
a) p ⇔ (p ∧ p) 
 
 
b) p ⇔ (p ∨ p) 
 
 
4 - Pela contraposição: de uma condicional gera-se outra condicional equivalente à primeira, apenas 
invertendo-se e negando-se as proposições simples que as compõem. 
 
1º caso – (p → q) ⇔ (~q → ~p) 
 
 
Exemplo 
 
p → q: Se André é professor, então é pobre. 
~q → ~p: Se André não é pobre, então não é professor. 
 
 
 
30 
 
2º caso: (~p → q) ⇔ (~q → p) 
 
Exemplo 
 
~p → q: Se André não é professor, então é pobre. 
~q → p: Se André não é pobre, então é professor. 
 
3º caso: (p → ~q) ⇔ (q → ~p) 
 
 
Exemplo 
 
p → ~q: Se André é professor, então não é pobre. 
q → ~p: Se André é pobre, então não é professor. 
 
4 º Caso: (p → q) ⇔ ~p v q 
 
Exemplo 
 
p → q: Se estudo então passo no concurso. 
~p v q: Não estudo ou passo no concurso. 
 
5 - Pela bicondicional 
a) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p), por definição 
 
 
b) (p ↔ q) ⇔ (~q → ~p) ∧ (~p → ~q), aplicando-se a contrapositiva às partes31 
 
c) (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) 
 
6 - Pela exportação-importação 
 
[(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)] 
 
 
 
Proposições Associadas a uma Condicional (se, então) 
 
Chama-se proposições associadas a p → q as três proposições condicionadas que contêm p e q: 
– Proposições recíprocas: p → q: q → p 
– Proposição contrária: p → q: ~p → ~q 
– Proposição contrapositiva: p → q: ~q → ~p 
 
Observe a tabela verdade dessas quatro proposições: 
 
 
 
Note que: 
 
 
 
Observamos ainda que a condicional p → q e a sua recíproca q → p ou a sua contrária ~p → ~q NÃO 
SÃO EQUIVALENTES. 
 
Exemplos 
 
p → q: Se T é equilátero, então T é isósceles. (V) 
q → p: Se T é isósceles, então T é equilátero. (F) 
 
 
32 
 
Exemplo 
 
Vamos determinar: 
a) A contrapositiva de p → q 
b) A contrapositiva da recíproca de p → q 
c) A contrapositiva da contrária de p → q 
 
Resolução 
 
a) A contrapositiva de p → q é ~q → ~p 
A contrapositiva de ~q → ~p é ~~p → ~~q ⇔ p → q 
 
b) A recíproca de p → q é q → p 
A contrapositiva de q → p é ~p → ~q 
 
c) A contrária de p → q é ~p → ~q 
A contrapositiva de ~p → ~q é q → p 
 
Equivalência “NENHUM” e “TODO” 
 
1 – NENHUM A é B ⇔ TODO A é não B. 
Exemplo: 
Nenhum médico é tenista ⇔ Todo médico é não tenista (= Todo médico não é tenista) 
 
2 – TODO A é B ⇔ NENHUM A é não B. 
Exemplo: 
Toda música é bela ⇔ Nenhuma música é não bela (= Nenhuma música é bela) 
 
Referências 
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. 
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 
 
Questões 
 
01. (MRE – Oficial de Chancelaria – FGV) Considere a sentença: 
“Corro e não fico cansado". 
Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é: 
(A) Se corro então fico cansado. 
(B) Se não corro então não fico cansado. 
(C) Não corro e fico cansado. 
(D) Corro e fico cansado. 
(E) Não corro ou não fico cansado. 
 
02. (TCE/RN – Conhecimentos Gerais para o cargo 4 – CESPE) Em campanha de incentivo à 
regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: 
“O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel". 
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador não escritura 
o imóvel, então ele não o registra" seja verdadeira, julgue o item seguinte. 
A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O comprador escritura o imóvel, ou não o 
registra". 
( ) Certo ( ) Errado 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
A negação de P→Q é P ^ ~ Q 
A equivalência de P→Q é ~P v Q ou pode ser: ~Q-->~P 
 
02. Resposta: Certo. 
Relembrando temos que: Se p então q = Não p ou q. (p → q = ~p v q) 
 
33 
 
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
Quando se nega uma proposição composta primitiva, gera-se outra proposição também composta e 
equivalente à negação de sua primitiva. 
 
Obs.: O símbolo “⇔” representa equivalência entre as proposições. 
 
 
Vejamos: 
 
– Negação de uma disjunção exclusiva 
Por definição, ao negar-se uma DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, gera-se uma BICONDICIONAL. 
~ (p v q) ⇔ (p ↔ q) ⇔ (p → q) ^ (q → p) 
 
p q ~ (p v q) p ↔ q (p → q) ^ (q → p) 
V V V V F V V V V V V V V V V V 
V F F V V F V F F V F F F F V V 
F V F F V V F F V F V V F V F F 
F F V F F F F V F F V F V F V F 
 
- Negação de uma condicional 
Ao negar-se uma condicional, conserva-se o valor lógico de sua 1ª parte, troca-se o conectivo 
CONDICIONAL pelo conectivo CONJUNÇÃO e nega-se sua 2ª parte. 
 
~ (p → q) ⇔ (p ^ ~q) ⇔ ~~ p ^ ~q 
 
p q ~ (p → q) p ^ ~q 
V V F V V V V F F 
V F V V F F V V V 
F V F F V V F F F 
F F F F V F F F V 
 
- Negação de uma bicondicional 
Ao negarmos uma bicondicional do tipo “p ↔ q” estaremos negando a sua fórmula equivalente dada 
por “(p → q) ∧ (q → p)”, assim, negaremos uma conjunção cujas partes são duas condicionais: “(p → q)” 
e “(q → p)”. Aplicando-se a negação de uma conjunção a essa bicondicional, teremos: 
 
~ (p ↔ q) ⇔ ~ [(p → q) ∧ (q → p)] ⇔ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)] 
 
p q ~ (p ↔ q) ~ [(p → q) ^ (q → p)] (p ^ ~q) v (q ^ ~p) 
V V F V V V F V V V V V V V V F F F V F F 
V F V V F F V V F F F F V V V V V V F F F 
F V V F F V V F V V F V F F F F F V V V V 
F F F F V F F F V F V F V F F F V F F F V 
 
DUPLA NEGAÇÃO (TEORIA DA INVOLUÇÃO) 
 
– De uma proposição simples: p ⇔ ~ (~p) 
 
p ~ (~ p) 
V V F V 
F F V F 
 
- De uma condicional: p → q ⇔ ~p v q 
A dupla negação de uma condicional dá-se por negar a 1ª parte da condicional, troca-se o conectivo 
CONDICIONAL pela DISJUNÇÃO e mantém-se a 2ª parte. Ao negarmos uma proposição primitiva duas 
vezes consecutivas, a proposição resultante será equivalente à sua proposição primitiva. 
 
 
34 
 
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES MATEMÁTICAS 
 
Considere os seguintes símbolos matemáticos: igual (“=”); diferente (“≠”); maior que (“>”); menor que 
(“<”); maior ou igual a (“≥”) e menor ou igual a (“≤”). Estes símbolos, associados a números ou variáveis, 
formam as chamadas expressões aritméticas ou algébricas. 
 
Exemplo 
 
a) 5 + 6 = 11 
b) 5 – 3 ≠ 4 
c) 5 > 1 
d) 7< 10 
e) 3 + 5 ≥ 8 
f) y + 5 ≤ 7 
 
Para negarmos uma sentença matemática basta negarmos os símbolos matemáticos, assim 
estaremos negando toda sentença, vejamos: 
 
Sentença Matemática ou algébrica Negação Sentença obtida 
5 + 6 = 11 ~ (5 + 6 = 11) 5 + 6 ≠ 11 
5 – 3 ≠ 4 ~ (5 – 3 ≠ 4) 5 – 3 = 4 
5 > 1 ~ (5 > 1) 5 ≤ 1 
7< 10 ~ (7< 10) 7≥ 10 
3 + 5 ≥ 8 ~ (3 + 5 ≥ 8) 3 + 5 < 8 
y + 5 ≤ 7 ~ (y + 5 ≤ 7) y + 5 > 7 
 
 
É comum a banca, através de uma assertiva, “induzir” os candidatos a cometerem um erro 
muito comum, que é a negação dessa assertiva pelo resultado, utilizando-se da operação 
matemática em questão para a obtenção desse resultado, e não, como deve ser, pela negação 
dos símbolos matemáticos. 
Exemplo: 
Negar a expressão “4 + 7 = 16” não é dada pela expressão “4 + 7 = 11”, e sim por “4 + 7 ≠ 
16” 
 
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – LEIS DE MORGAN 
 
As Leis de Morgan ensinam 
 
- Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que pelo 
menos uma é falsa; 
- Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são 
falsas. 
 
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÃO transforma: 
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO e 
DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO 
 
Vejamos: 
– Negação de uma conjunção (Leis de Morgan) 
Para negar uma conjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo CONJUNÇÃO pelo conectivo 
DISJUNÇÃO. 
 
~ (p ^ q) ⇔ (~p v ~q) 
 
p q ~ (p ^ q) ~p v ~q 
V V F V V V F F F 
V F V V F F F V V 
 
35 
 
F V V F F V V V F 
F F V F F F V V V 
 
- Negação de uma disjunção (Lei de Morgan) 
Para negar uma disjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo DISJUNÇÃO pelo conectivo-
CONJUNÇÃO. 
 
~ (p v q) ⇔ (~p ^ ~q) 
 
p q ~ (p v q) ~p ^ ~q 
V V F V V V F F F 
V F F V V F F F V 
F V F F V V V F F 
F F V F F F V V V 
 
Exemplo 
 
Vamos negar a proposição “É inteligente e estuda”, vemos que se trata de uma CONJUNÇÃO, pela 
Lei de Morgan temos que uma CONJUNÇÃO se transforma em uma DISJUNÇÃO, negando-se as partes, 
então teremos: 
“Não é inteligente ou não estuda” 
 
Referências 
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. 
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 
 
Questões 
 
01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Considere a afirmação: 
“Mato a cobra e mostro o pau" 
A negação lógica dessa afirmação é: 
(A) não mato a cobra ou não mostro o pau; 
(B) não mato a cobra e não mostro o pau; 
(C) não mato a cobra e mostro o pau; 
(D) mato a cobra e não mostro o pau; 
(E) mato a cobra ou não mostro o pau. 
 
02. (CODEMIG – Advogado Societário – FGV) Em uma empresa, o diretor de um departamento 
percebeu que Pedro, um dos funcionários,tinha cometido alguns erros em seu trabalho e comentou: 
“Pedro está cansado ou desatento." 
A negação lógica dessa afirmação é: 
(A) Pedro está descansado ou desatento. 
(B) Pedro está descansado ou atento. 
(C) Pedro está cansado e desatento. 
(D) Pedro está descansado e atento. 
(E) Se Pedro está descansado então está desatento. 
 
03 (TJ/AP-Técnico Judiciário / Área Judiciária e Administrativa- FCC) Vou à academia todos os 
dias da semana e corro três dias na semana. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da 
afirmação anterior é 
(A) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana. 
(B) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na semana. 
(C) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a semana. 
(D) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na semana. 
 
04. (HUGG-UNIRIO / Advogado – IBFC) Considerando a frase “João comprou um notebook e não 
comprou um celular”, a negação da mesma, de acordo com o raciocínio lógico proposicional é: 
(A) João não comprou um notebook e comprou um celular. 
(B) João não comprou um notebook ou comprou um celular 
 
36 
 
(C) João comprou um notebook ou comprou um celular. 
(D) João não comprou um notebook e não comprou um celular. 
(E) Se João não comprou um notebook, então não comprou um celular. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Negação do ''ou'': nega-se as duas partes e troca o conectivo ''ou'' pelo ''e''. 
 
02. Resposta: D. 
Pedro está cansado ou desatento. 
O conectivo ou vira e, dai basta negar as proposições. 
Pedro não está cansado e nem está desatento, ou seja, Pedro está descansado e atento. 
 
03. Resposta: A. 
Quebrando a sentença em P e Q: 
P: Vou à academia todos os dias da semana 
Conectivo: ∧ (e) 
Q: Corro três dias na semana 
 
Aplicando a lei de Morgan: ~(P∧ Q) ≡ ~P ∨ ~Q 
 ~P: Não vou à academia todos os dias da semana 
 Conectivo: ∨ (ou) 
 ~Q: Não corro três dias na semana 
 
Logo: Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana. 
 
04. Resposta: B. 
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “e”, basta negarmos 
ambas as proposições individuais (simples) e trocarmos o conectivo “e” pelo conectivo ”ou”. 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N 
 
O conjunto dos números naturais4 é representado pela letra maiúscula N e estes números são 
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos 
indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de 
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que estes números. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este 
conjunto como: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos 
números. 
 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 
 
4IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
Conjuntos Numéricos: Números Naturais, Inteiros e Racionais. 
 
 
37 
 
Subconjuntos notáveis em N: 
 
1 – Números Naturais não nulos 
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 
 
2 – Números Naturais pares 
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 
 
3 - Números Naturais ímpares 
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 
 
4 - Números primos 
P={2,3,5,7,11,13...} 
 
Construção dos Números Naturais 
Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando 
também o zero. 
Exemplos: Seja m um número natural. 
a) O sucessor de m é m+1. 
b) O sucessor de 0 é 1. 
c) O sucessor de 3 é 4. 
 
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números 
consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 7 e 8 são números consecutivos. 
c) 50 e 51 são números consecutivos. 
 
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do 
primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. 
Exemplos: 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. 
b) 7, 8 e 9 são consecutivos. 
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 
 
Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número 
dado). 
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. 
a) O antecessor do número m é m-1. 
b) O antecessor de 2 é 1. 
c) O antecessor de 56 é 55. 
d) O antecessor de 10 é 9. 
 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência 
real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação 
sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também 
chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Operações com Números Naturais 
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. 
Praticamente, toda a matemática é construída a partir dessas duas operações: adição (e subtração) e 
multiplicação (e divisão). 
 
Adição de Números Naturais 
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as 
unidades de dois ou mais números. 
 
38 
 
Exemplo: 
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total 
 
Subtração de Números Naturais 
É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação 
de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b 
tal que a≥ 𝑏. 
Exemplo: 
254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 61 a diferença. 
 
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. 
 
Multiplicação de Números Naturais 
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, 
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
Exemplo: 
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. 
 
- 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” 
(vezes) utilizar o ponto “.”, para indicar a multiplicação. 
 
Divisão de Números Naturais 
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no 
primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o 
divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente 
obteremos o dividendo. 
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um 
número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. 
 
 
 
Relações Essenciais numa Divisão de Números Naturais 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 
35 : 7 = 5 
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 
35 = 5 x 7 
 
A divisão de um número natural n por zero não é possível, pois, se admitíssemos que o quociente 
fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! 
Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais 
Para todo a, b e c ∈ 𝑁 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
5) Comutativa da multiplicação: a.b= b.a 
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
39 
 
Questões 
 
01. (SABESP – Aprendiz – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema de 
recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e 
vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina e 
sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e os 
pagamentos na seguinte tabela: 
 
No final do mês, Enzo observou que tinha 
(A) crédito de R$ 7,00. 
(B) débito de R$ 7,00. 
(C) crédito de R$ 5,00. 
(D) débito de R$ 5,00. 
(E) empatado suas despesas e seus créditos. 
 
02. (Pref. Imaruí/SC - Auxiliar De Serviços Gerais - PREF. IMARUI) José, funcionário público, recebe 
salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 
35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? 
(A) R$ 1800,00 
(B) R$ 1765,00 
(C) R$ 1675,00 
(D) R$ 1665,00 
 
03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o 
dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 25 
(D) 50 
(E) 100 
 
04. (Pref. Águas de Chapecó/SC– Operador de Máquinas – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em 
uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar uma 
geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: 
(A) R$ 150,00. 
(B) R$ 175,00. 
(C) R$ 200,00. 
(D) R$ 225,00. 
 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Ontem, eu tinha 345 
bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e perdi 
67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, depois 
de participar do campeonato? 
(A) 368 
(B) 270 
(C) 365 
(D) 290 
(E) 376 
 
 
40 
 
06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas 
duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela 
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: 
 
(A) 3995 
(B) 7165 
(C) 7532 
(D) 7575 
(E) 7933 
 
07. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Durante um mutirão para 
promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco 
regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a: 
(A) 2500 
(B) 3200 
(C) 1500 
(D) 3000 
(E) 2000 
 
08. UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado número de 
bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29, e que 
fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, quantos bombons 
ao todo Joana possui? 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28 
 
09. (CREFITO/SP – Almoxarife – VUNESP) O sucessor do dobro de determinado número é 23. Esse 
mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a 
(A) 24. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 18. 
(E) 16. 
 
10. (Pref. de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em uma gráfica, a máquina 
utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5 calendários perfeitos 
(P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. 
 
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos 
e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é 
correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi 
(A) 3 642. 
(B) 3 828. 
(C) 4 093. 
(D) 4 167. 
(E) 4 256. 
 
 
 
41 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B 
Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 
Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 
120 – 127 = - 7 
Ele tem um débito de R$ 7,00. 
 
02. Alternativa: B 
2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 
O salário líquido de José é R$ 1.765,00. 
 
03. Alternativa: E 
D= dividendo 
d= divisor 
Q = quociente = 10 
R= resto = 0 (divisão exata) 
Equacionando: 
D = d.Q + R 
D = d.10 + 0 ➔ D = 10d 
Pela nova divisão temos: 
5𝐷 =
𝑑
2
. 𝑄 → 5. (10𝑑) =
𝑑
2
. 𝑄 , isolando Q temos: 
 
𝑄 = 
50𝑑
𝑑
2
 → 𝑄 = 50𝑑.
2
𝑑
 → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100 
 
04. Alternativa: B 
 
2100
12
= 175 
 
Cada prestação será de R$175,00 
 
05. Alternativa: A 
345 – 67 = 278 
Depois ganhou 90 
278 + 90 = 368 
 
06. Alternativa: E 
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 
 
07. Alternativa: D 
15000
5
= 3000 
Cada região terá 3000 voluntários. 
 
08. Alternativa: E 
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
09. Alternativa: A 
Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11. 
(11 + 1)2 = 24 
 
10. Alternativa: D 
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 
5000 / 6 = 833 + resto 2. 
 
42 
 
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram 
na conta de divisão. 
Assim, são 4167 calendários perfeitos. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros5 como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela 
letra Z (Zahlen = número em alemão). 
 
 
 
 
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: 
 
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma questão, 
tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Z+ , Z_ , Z*). 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, 
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma 
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de 
zero é o próprio zero. 
 
5IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
 
43 
 
 
 
Operações entre Números Inteiros 
Adição de Números Inteiros 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de 
ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do númeronegativo 
nunca pode ser dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 
4 + 5 = 9 
4 – 5 = -1 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a 
variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
 
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura 
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto 
do segundo. 
 
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal 
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
Ex.: 
10 – (10+5) = 
10 – (+15) = 
10 – 15 = 
- 5 
 
 
 
 
44 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e 
esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
 
Divisão de Números Inteiros 
 
- Divisão exata de números inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20) : (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
Logo (– 20) : (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro 
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. 
Exemplo: (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado 
não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência 
do elemento neutro. 
- Não existe divisão por zero. 
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão 
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. 
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. 
 
Potenciação de Números Inteiros 
A potência xn do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número x é 
denominado a base e o número n é o expoente. xn = x . x . x . x ... x, x é multiplicado por x, n vezes. 
 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (–8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
45 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. 
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
(–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. 
(-13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
[(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. 
(-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 
(+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação de Números Inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo b que elevado à potência n fornece o número x. O número n é o índice da raiz enquanto que 
o número x é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
 
√𝑥
𝑛
 = b 
bn = x 
 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número x. 
 
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números 
inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: 
9 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 9 = +3 
 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte 
em um número negativo. 
 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro x é a operação que resulta em outro número inteiro 
que elevado ao cubo seja igual ao número x. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos 
números não negativos. 
 
Exemplos: 
(a) 
3 8 = 2, pois 2³ = 8 
(b) 
3 8− = –2, pois (–2)³ = -8 
(c) 
3 27 = 3, pois 3³ = 27 
(d) 
3 27− = –3, pois (–3)³ = -27 
 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
 
46 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a.(b.c) 
6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b + c) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a.(b – c) = ab – ac 
 
Atenção: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua 
como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01. (Fundação Casa – Agente Educacional – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados e orientá-
los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas, 
bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes 
negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse suas 
atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude 
negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos 
atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior 
quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o 
troco recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
 
03. (BNDES– Técnico Administrativo – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número inteiro 
menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
 
 
 
 
 
47 
 
04. (Polícia Militar/MG - Assistente Administrativo - FCC) Em um jogo de tabuleiro, Carla e Mateus 
obtiveram os seguintes resultados: 
 
Ao término dessas quatro partidas, 
(A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. 
(B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. 
(C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. 
(D) Carla e Mateus empataram. 
 
05. (Pref. de Palmas/TO – Técnico Administrativo Educacional – COPESE/UFT) Num determinado 
estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante uma ronda dos agentes de 
trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era de 124 (desconsiderando 
os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento, é 
CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
06. (Casa da Moeda) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e 
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a 
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em 
cada cidade. 
 
O número de passageiros que chegou a Belém foi: 
(A) 362 
(B) 280 
(C) 240 
(D) 190 
(E) 135 
 
07. (Pref.de Niterói/RJ) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que 
durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia 
e noite, em ºC será de: 
(A) 10 
(B) 35 
(C) 45 
(D) 50 
(E) 55 
 
08. (Pref.de Niterói/RJ) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que 
custa R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses 
que ele levará para adquirir a televisão será: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
 
48 
 
09. (Pref.de Niterói/RJ) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. 
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura 
de 3cm, o número de livros na pilha é: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 22 
 
10. (FINEP – Assistente Administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no oitavo 
degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 
degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. 
A quantos degraus do topo da escada ele parou? 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 15 
(E) 19 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: D 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento 
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do 
orçamento. 
Troco:2200 – 2174 = 26 reais 
 
03. Resposta: D 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: C 
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos 
Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 
 
05. Resposta: B 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
12.2=24 
124-24=100 
100/4=25 carros 
 
06. Resposta: D 
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 
 
07. Resposta: E 
45 – (- 10) = 55 
 
08. Resposta: D 
420: 35 = 12 meses 
 
49 
 
09. Resposta: D 
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm 
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 
36 : 3 = 12 livros de 3 cm 
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 
 
10. Resposta: E 
 8 + 13 = 21 
21– 15 = 6 
25 – 6 = 19 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional6 é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo que 
n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero} 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
 
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma 
questão, tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Q+ , Q_ , Q*). 
 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p
, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
 
 
6IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções 
http://mat.ufrgs.br 
 
50 
 
2º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
 
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: 
 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso, estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
 
2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
 
a) Seja a dízima 0, 333... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3) ➔ então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
b) Seja a dízima 5, 1717... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 
5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512
. 
 
51 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração, basta utilizarmos o 
dígito 9 no denominador de acordo com a quantidade de dígitos que tiver o período da dízima. 
 
c) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. Neste caso dizemos que a dízima periódica 
é composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Temos então um anteperíodo 
(2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o anteperíodo (234-2), obtemos 232 no qual será o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99 (dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o anteperíodo, neste caso 
0 (um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, que será a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos:1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
− = 
2
3
 
 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
+ = 
2
3
 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
 
52 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição 
entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto 
de q, isto é: p – q = p + (–q), onde p =
b
a
e q = 
d
c
. 
 
 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto 
de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
 
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que 
vale em toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
 
 
53 
 
Propriedades da Potenciação: 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
7) Divisão de potências de mesma base. Para reduzir uma divisão de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou
2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1
= 
3
1
 
 
2) 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0 = 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada no conjunto dos números racionais. 
 
54 
 
Por exemplo, o número 
9
100
− não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10
− como 
3
10
+ , quando elevados 
ao quadrado, dão 
9
100
. 
Já um número racional positivo, só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
E o número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP– Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Na escola onde estudo, ¼ 
dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os 
demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como 
disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
02. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) De um total de 180 candidatos, 
2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3 estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de 
candidatos que estuda alemão é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
03. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) Em um estado do Sudeste, um 
Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma gratificação de 
R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi 
descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
(A) R$ 810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
04. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo: 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 
 
Obtém-se 
(A) ½. 
(B) 1. 
(C) 3/2. 
(D) 2. 
(E) 3. 
 
05. (SABESP – Aprendiz – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
 
55 
 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
(A) −4; −1; √16; √25;
14
3
 
(B) −1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(C) −1; −4; 
14
3
; √16; √25 
(D) −4; −1; √16;
14
3
; √25 
(E)−4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
06. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x ao 
numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, 
o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
07. (SABESP – Aprendiz – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
08. (PM/SE – Soldado 3ªclasse – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
09. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Quando perguntado sobre 
qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
 
 
56 
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Alternativa: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 180 ∙
2
45
= 8 
 
03. Alternativa: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
 
04. Alternativa: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
4
3
+
3
2
3
2
+
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
 
05. Alternativa: D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é: −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
06. Alternativa: B. 
Lá vem o tal do “x”né, mas analise o seguinte, temos a fração 
2
3
, aí ele disse o seguinte: Somando-se 
certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração, 
logo devemos somar “x” no 2 e subtrair “x” de 3, ficando: 
2 + x
3 − x
 
Isso é igual a 5, assim teremos formada nossa equação com números racionais! 
2+x
3−x
= 5, para resolver devemos multiplicar em cruz (como não tem ninguém no denominador do 5, 
devemos colocar o 1). 
 
1.(2 + x) = 5.(3 – x) 
Aplicando a propriedade distributiva: 
2 + x = 15 – 5x 
Letra para um lado e número para o outro, não esquecendo que quando troca de lado inverte o número. 
x + 5x = 15 – 2 
6x = 13 
x = 
13
6
 
Portanto a alternativa correta é a “B”. 
 
07. Alternativa: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 
57 
 
 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
08. Alternativa: A. 
Este problema é clássico na utilização de frações, primeiro vamos calcular a quantidade de homens e 
mulheres abordadas: 
Total: 800 
Homens: 
3
4
 sendo assim devemos encontrar 
3
4
 𝑑𝑒 800 = 3𝑥800 = 2400, 𝑒 2400 ∶ 4 = 600 
Se temos 600 homens, significa que 200 são as mulheres, pois o total é 800, agora vamos calcular os 
detidos! 
Homens detidos: 
1
5
 de 600, logo 600 x 1 = 600 e 600 : 5 = 120, portanto 120 homens detidos. 
 
Mulheres detidas: 
1
8
 de 200, logo 200 x 1 = 200 e 200 : 8 = 25, portanto 25 mulheres detidas. 
 
O enunciado pede o total de pessoas detidas nessa operação policial, logo 120 + 25 = 145, o que nos 
remete a alternativa “A”. 
 
09. Alternativa: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
675
15
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
 
 
As operações básicas da matemática são quatro: 
Adição (+) 
Subtração (-) 
Multiplicação ( * ou x ou .) e 
Divisão (: ou / ou ÷) 
Em linguagem comum, elas são chamadas de aritmética ou operações aritméticas. 
 
Adição: é a operação que determina um número natural para representar a junção de quantidades. 
Para indicar a adição usaremos o sinal + (mais). 
Exemplo: 2 + 3 = 5 
Os números 2 e 3 são chamados de parcelas e o número 5 é a soma. 
Propriedades: 
A adição de números naturais é comutativa. 
a + b = b + a ou 1 + 2 = 2 + 1 
O zero é o elemento neutro da adição. 
0 + a = a = a + 0 ou 0 + 3 = 3 = 3 + 0 
A adição de números naturais é associativa. 
(a + b) + c = a + (b + c) ou (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) 
A soma de números naturais é sempre um número natural. 
a + b = número natural 
 
Subtração: é a operação que determina um número natural para representar a diminuição de 
quantidades. 
Para indicar a subtração usaremos o sinal - (menos). 
 
Operações Fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Resolução 
de Problemas. 
 
 
58 
 
Exemplo: 
 
 
Obs.: Apesar do que possa aparecer a tabela não está 
incompleta, sua apresentação que é diferente, pois, para 
subtrair um número de outro, o minuendo tem que ser maior 
que o subtraendo nos números naturais. 
 
Considerando a e b números naturais e a > b, podemos estabelecer a seguinte equivalência: 
 a - b = c <==> c + b = a 
O sinal <==> significa equivalente a 
A subtração de números naturais só é possível quando o minuendo é maior ou igual ao subtraendo. 
Exemplo: 5 - 4 = 1 
Para provar que uma subtração está correta, aplicamos a equivalência. 
Exemplo: 10 - 2 = 8 <==> 8 + 2 = 10 
A subtração de números naturais não é comutativa. 
Exemplo: 5 - 2 é diferente de 2 - 5 
A subtração de números naturais não é associativa. 
Exemplo: (6 - 4) - 1 é diferente de 6 - (4 - 1) 
O zero não é elemento neutro da subtração de números naturais. 
 
Multiplicação: é a operação que determina a soma de parcelas iguais. 
Para indicar a multiplicação usaremos o sinal x ou · (vezes ou multiplicado por) 
Exemplo: 
 
Ou 
5 + 5 + 5 + 5 = 20 
 
Propriedades: 
O produto de dois números naturais é um número natural. 
Exemplo: 2 x 7 = 14 
A multiplicação de dois números naturais é comutativa. 
Exemplo: 2 x 7 = 14 = 7 x 2 
A multiplicação com números naturais é associativa. 
Exemplo: (3 x 5) x 2 = 3 x (5 x 2) 
15 x 2 = 3 x 10 
 30 30 
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. 
Exemplo: 1 x 4 = 4 = 4 x 1 
O produto de um número natural por uma soma indicada de dois ou mais números naturais é igual à 
soma dos produtos desse número natural pelas parcelas da soma indicada. 
Exemplo: 2 x (4 + 6) = 2 x 4 + 2 x 6 
2 x 10 = 8 + 12 
 20 20 
 
Divisão: é a operação inversa da multiplicação e está ligada à ação de repartir em partes iguais. 
Para indicar a divisão usaremos o sinal : ou ÷ (dividido por) 
 
 
 
59 
 
Exemplo: 
 
 
À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente. 
 
1) A divisão exata 
Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto 
A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8 
Propriedades da divisão exata 
Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N 
O conjunto N não tem elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence 
a N. Logo 3:1 é diferente de 1:3 
A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15 
A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4 
Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade. 
Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8 
(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8 
 
O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta 
propriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações 
de adição e subtração. 
Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma 
operação o divisor tem que ser diferente de zero. 
 
2) A divisão não-exata 
Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o 
quociente e 1 é o resto. 
A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9 
 
Questões 
 
01. (SAEG - Auxiliar de Serviços Administrativos - Financeiro - VUNESP) Multiplicando-se por 20 
a diferença entre os números naturais x e y obtém-se 1 600. 
Se y é igual a 4 ⁄ 5 x , então (x + y) vale 
(A) 720. 
(B)700. 
(C)680. 
(D)650. 
(E)620. 
 
02. (SAEG -Técnico de Saneamento - VUNESP) Considere a, b, c três números naturais 
consecutivos cuja soma é igual a 3,2 a. Nesse caso, é correto afirmar que (a . b) vale 
(A)272. 
(B)240. 
(C)210. 
(D)182. 
(E)156. 
 
03. (Prefeitura de Canavieira/PI - Auxiliar de Serviços Gerais - IMA) São números pares, EXCETO: 
(A)123 
(B)106 
(C)782 
(D)988 
 
60 
 
04. (Câmara Municipal de Itatiba/SP - Auxiliar Administrativo - VUNESP) Uma grande avenida teve 
a extensão total a ser recapeada dividida em 3 trechos iguais, A, B e C. Sabe-se que já foram recapeados 
3,3 quilômetros do total, sendo que o número de quilômetros já recapeados nos trechos A, B e C é 
diretamente proporcional aos números 6, 3 e 2, respectivamente. Se no trecho B restam 600 metros ainda 
não recapeados, então a soma das extensões totais dos trechos A, B e C é igual, em quilômetros, a 
(A)6,0. 
(B)5,4. 
(C)5,0. 
(D)4,8. 
(E)4,5. 
 
05. (Prefeitura de São José dos Campos/SP - Assistente Técnico Municipal - VUNESP) Em um 
número de cinco algarismos, o produto do algarismo das unidades com o algarismo das dezenas de 
milhar é igual a 3, e o produto do algarismo das dezenas com o algarismo das centenas é igual a 4. Nesse 
número, o produto de todos os algarismos é zero e existem mais algarismos ímpares do que pares; logo, 
a soma de seus algarismos é igual a: 
Considere a tabela das ordens e classes dos números: 
(A)6 
(B)7 
(C)8 
(D)9 
(E)10 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração - COVEST-COPSET) Em uma loja de eletrodomésticos, 
no início de determinado mês, o número de aparelhosde TV estava para o número de computadores 
assim como 4 : 5. No final do mês, depois que 160 TVs e 220 computadores foram vendidos, os números 
de TVs e computadores remanescentes na loja ficaram iguais. Quantos eram os computadores na loja, 
no início do mês? 
(A) 300 
(B)310 
(C)320 
(D)330 
(E)340 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Em um concurso existem provas de 
Português, Matemática, Informática e Conhecimentos Específicos, com pesos respectivos 2, 3, 1 e 4. Um 
candidato obteve as seguintes notas nas provas de Português, Matemática e Informática: 
 
Disciplina Nota 
Português 77 
Matemática 62 
Informática 72 
 
Se a nota do candidato no concurso foi 80, qual foi a sua nota na prova de Conhecimentos Específicos? 
(A) 95 
(B) 96 
(C) 97 
(D) 98 
(E) 99 
 
08. (Pref. Jucás/CE – Professor de Matemática – INSTITUTO NEO EXITUS) Efetuando (–4) . (–6) ÷ 
(–3) obtemos: 
(A) –6. 
(B) –8. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
 
61 
 
09. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dona Maria preparou 127 docinhos iguais e quer 
colocar a mesma quantidade de docinhos em cada uma das caixas de que dispõe. Se ela colocar 12 
docinhos em cada caixa, 7 docinhos ficarão de fora, mas se ela quiser colocar 13 docinhos em cada caixa, 
faltarão 3 docinhos para completar a última caixa. Sabendo que todas as caixas de que ela dispõe serão 
utilizadas, pode-se concluir que o número de caixas é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra as corridas que 
um taxista fez em uma semana. 
Para que a média de corridas de segunda a sexta-feira, nessa semana, seja de 20 corridas, o número 
de corridas que ele fez na sexta-feira foi 
 
Semana (dias) Corridas 
segunda-feira 16 
terça-feira 18 
 
quarta-feira 15 
quinta-feira 27 
sexta-feira ? 
 
(A) 20. 
(B) 21. 
(C) 22. 
(D) 23. 
(E) 24. 
 
11. Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – VUNESP) 
Os quatro elevadores de um tribunal de 30 andares, durante a subida, fazem paradas somente em 
andares predeterminados. O primeiro elevador faz a primeira parada no primeiro andar e depois para de 
quatro em quatro andares; o segundo elevador só para nos andares pares; o terceiro elevador faz a 
primeira parada no terceiro andar e depois para de três em três andares. O quarto elevador para somente 
nos andares não atendidos por nenhum dos outros três elevadores. O número de andares atendidos pelo 
quarto elevador, durante a subida, é igual a 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 6. 
 
12. (EBSERH/ HUSM-UFSM/RS - Técnico em Informática – AOCP) Lucas estava fazendo sua tarefa, 
quando em uma das questões apareceu a expressão 
1
2
×
1
3
. Qual das alternativas a seguir apresenta a 
resposta que Lucas deverá obter com essa expressão? 
(A) Meia vez 
1
3
, que são 
2
3
. 
(B) Meia vez 
1
3
, que são 
1
6
. 
(C) O dobro de 
1
3
, que são 
2
3
. 
(D) Mais a sua metade, que são 
5
6
. 
(E) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
13. (EBSERH/HUPES/UFBA – Técnico em Informática – IADES) O suco de três garrafas iguais foi 
dividido igualmente entre 5 pessoas. Cada uma recebeu 
(A) 
3
5
 do total dos sucos. 
(B) 
3
5
 do suco de uma garrafa. 
 
62 
 
(C) 
5
3
 do total dos sucos. 
(D) 
5
3
 do suco de uma garrafa. 
(E) 
6
15
 do total dos sucos. 
 
14. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Caio é 15 cm mais alto do que Pedro. 
Pedro é 6 cm mais baixo que João. João é 7 cm mais alto do que Felipe. Qual é, em cm, a diferença entre 
as alturas de Caio e de Felipe? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 9 
(D) 14 
(E) 16 
 
15. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um fio de barbante foi cortado em pedaços iguais, 
cada um deles com 5 cm de comprimento. Se esse mesmo fio de barbante tivesse sido cortado em 
pedaços iguais, cada um deles com 3 cm de comprimento, seriam obtidos 16 pedaços a mais. O número 
de pedaços cortados, cada um deles com 5 cm de comprimento, foi 
(A) 24. 
(B) 26. 
(C) 28. 
(D) 30. 
(E) 32. 
 
16. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O dono de um bar decidiu 
comprar uma TV de tela maior, para exibir os jogos da Copa do Mundo. O preço da TV escolhida seria 
inicialmente dividido em 12 parcelas mensais iguais, sem acréscimos. Na hora da compra, porém, ele 
decidiu pagar em 8 parcelas, sem alteração no preço final e, assim, o valor de cada parcela aumentou R$ 
175,00. Na compra efetuada, o valor de cada parcela foi igual a 
(A) R$ 525,00. 
(B) R$ 425,00. 
(C) R$ 420,00. 
(D) R$ 515,00. 
(E) R$ 450,00. 
 
17. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Para uma 
reunião, foram preparados 60 relatórios e colocados em duas pastas, ambas podendo comportar um 
mesmo número máximo de relatórios. Sabendo-se que a primeira pasta ficou com o número máximo de 
relatórios que poderia comportar e que a segunda pasta ficou com 2 / 3 desse número máximo, então o 
número de relatórios colocados na primeira pasta foi 
(A) 42. 
(B) 40. 
(C) 38. 
(D) 36. 
(E) 34. 
 
18. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
19. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Na tabela abaixo, a sequência de 
números da coluna A é inversamente proporcional à sequência de números da coluna B. 
 
63 
 
 
A letra X representa o número 
(A) 90. 
(B) 80. 
(C) 96. 
(D) 84. 
(E) 72. 
 
20. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A diferença entre a idade de Diogo e Paulo é 8 anos. Sabendo-se que a idade de um 
está para 6, assim como a do outro está para 8, então a soma de suas idades é igual a 
(A) 56. 
(B) 58. 
(C) 60. 
(D) 62. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Pelo enunciado temos que: 
Multiplicando-se por 20 a diferença entre os números naturais x e y obtém-se 1 600 
 
Diferença significa subtração, então devemos multiplicar por 20 a subtração entre x e y, mas não 
sabemos ainda o valor de x e nem de y, portanto devemos formular o problema para assim poder resolver. 
 
Por isso temos 20.(x – y) = 1600, esta é uma equação com duas variáveis, mas no enunciado está dito 
que y = 
4
5
x, assim para resolver o problema devemos substituir y na equação 20.(x – y) = 1600 por 
4
5
x, 
logo ficará assim: 
 
20.(x – y) = 1600 
20.(x – 
4
5
x) = 1600 (resolvendo a propriedade distributiva, ou seja multiplicando todos que estão dentro 
do parênteses por 20) 
20x – 20.
4
5
x = 1600 
20x –
80
5
x = 1600 
20x – 16x = 1600 
4x = 1600 
x = 
1600
4
 = 400 
Assim o valor de x é 400, mas sabemos que y = 
4
5
x, portanto 
y = 
4
5
x 
y = 
4
5
400 
y = 
1600
5
 = 320 
 
Agora já sabemos o valor de x e de y, como o exercício perguntou a soma entre eles, teremos: 
 
320 + 400 = 720 
 
02. Resposta: B 
 Como trata-se de números consecutivos tem-se: 
 
x + (x + 1) + (x + 2) = 3,2x 
3x + 3 = 3,2x 
 
64 
 
3 = 3,2x - 3x 
3 = 0,2x 
x = 15 
 Portanto: 
x = 15 
x + 1 = 16 
x + 2 = 17 
A multiplicação a.b: 
a.b = 15.16 = 240 
 
03. Resposta: A 
Sabemos que: 
Todo número par é terminado em um dos seguintes (0, 2, 4, 6, 8). 
Todo número ímpar é terminado em um dos seguintes (1, 3, 5, 7, 9). 
Portanto: 
O número que NÃO é PAR acima é 123 
 
04. Resposta: E 
Pelo enunciado temos que: 
Somando as 3 proporções já recapeadas: 6 + 3 + 2 = 11 
Para saber o quanto o trecho B já foi recapeado: 
( 3300 / 11 ) x 3 = 900 m 
Total do trecho B (parte recapeada + não recapeada) = 900m + 600m = 1500m 
 Como todos os trechos são iguais, então = 1500 x 3 = 4500m = 4,5 km 
 
05. Resposta: D 
De acordo com os dados temos que pela ordem: 
 
Produto da unidade com dezenas de milhar = 3 x 1 = 3 
 
Produto das dezenas com centenas = 4 x 1 = 4 
 
Produto de todos os algarismos = 1 x 0 x 1 x 4 x 3= 0 
 
Existem mais algarismos ímpares do que par ou seja: três impares e dois pares. 
 Portanto: 
 
Soma de todos os algarismos: 
 
1 + 0 + 1 + 4 + 3 = 9 
 
06. Resposta: A 
 Para facilitar os cálculos vamos colocar as seguintes incógnitas: 
 
X=TVs Y=Computadores 
Onde: 
x/y=4/5......5x=4y......x=4y/5 
substituindo x: 
x-160=Y-220 
4y/5-160=y-220 
4y/5-y=160-220 
4y-5y/5=-60 
y=300 
 
07. Resposta: C 
De acordo com a tabela e os respectivos pesos temos que: 
 
2.77+3.62+1.72+4.𝑥
2+3+1+4
= 80 
 
65 
 
412 + 4.𝑥
10
= 80 
 
4x + 412 = 80 . 10 
 
4x = 800 – 412 
 
x = 388 / 4 
 
x = 97 
08. Resposta: B 
(–4) . (–6) ÷ (–3) = 24 ÷ (–3) = –8 
 
09. Resposta: E 
12.x + 7 = 13.x – 3 
12x – 13x = – 3 – 7 
– x = – 10 .( – 1) multiplica-se por (-1) 
x = 10 caixas 
 
10 Resposta: E 
 Através dos dados da tabela temos que: 
 
16+18+15+27+𝑥
5
= 20 
76 + 𝑥
5
= 20 76 + x = 20 . 5 
 
x = 100 – 76 x = 24 
 
11. Resposta: C 
 
* 1º elevador (de 4 em 4 andares): 1º andar; 5º andar; 9º andar; 13º andar; 17º andar; 21º andar; 25º 
andar; 29º andar. 
 
* 2º elevador (andares pares): 2º andar; 4º andar; 6º andar; 8º andar; 10º andar; 12º andar; 14º andar; 
16º andar; 18º andar; 20º andar; 22º andar; 24º andar; 26º andar; 28º andar; 30º andar. 
 
* 3º elevador (de 3 em 3 andares): 3º andar; 6º andar; 9º andar; 12º andar; 15º andar; 18º andar; 21º 
andar; 24º andar; 27º andar; 30º andar. 
 
* 4º elevador (andares não atendidos): 7º andar; 11º andar; 19º andar; 23º andar. 
 
12. Resposta: B 
 
1
2
×
1
3
=
1.1
2.3
=
1
6
 
 
13. Resposta: B 
3: 5 =
3
5
 
 
14. Resposta: E 
Caio = Pedro + 15cm 
Pedro = João – 6cm 
João = Felipe + 7cm , ou seja: Felipe = João – 7 
Caio – Felipe = ? 
Pedro + 15 – (João – 7) = 
= João – 6 + 15 – João + 7 = 
= 16 
 
15. Resposta: A 
5.x = 3.(x + 16) 5x = 3x + 48 5x – 3x = 48 2x = 48 
x = 48/2 x = 24 pedaços 
 
66 
 
16. Resposta: A 
12 . x = 8 . (x + 175) 
12x = 8x + 8 . 175 
12x – 8x = 1400 
4x = 1400 
x = 1400 / 4 
x = 350 
Na compra efetuada, a parcela foi de 350 + 175 = R$ 525,00 
 
17. Resposta: D 
𝑥 + 
2
3
. 𝑥 = 60 
 
3𝑥+2𝑥=3.60
3
 
 
5.x = 180 
x = 180 / 5 
x = 36 relatórios 
 
18. Resposta: A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 
 
19. Resposta: B 
 
 
𝟏𝟔
𝟏
𝟔𝟎
=
𝟏𝟐
𝟏
𝑿
 
 
 16 ∙ 60 = 12 ∙ 𝑋 
X=80 
 
20. Resposta: A 
 Chamando a idade de Diogo de ( D ) e a de Paulo de ( P ), temos: 
 
D – P = 8 , ou seja, D = P + 8 ( I ) 
𝑃
𝐷
= 
6
8
 , ou seja, 8.P = 6.D ( II ) 
 
Substituindo a equação ( I ) na equação ( II ), temos: 
 
8.P = 6 . (P + 8) 
8.P = 6.P + 48 
8.P – 6.P = 48 
2.P = 48 
P = 48 / 2 
P = 24 anos (Paulo) 
 
Assim: ( I ) D = 24 + 8 = 32 anos (Diogo) 
Por fim, a soma das duas idades é: 24 + 32 = 56 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples7. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
 
Exemplos 
01. Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
7MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 3ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier,2013. 
Regra de três simples e porcentagem. 
 
 
68 
 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
02. Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375hora corresponde a 22 minutos aproximadamente (0,375 x 60 minutos), então o percurso 
será feito em 4 horas e 22 minutos aproximadamente. 
 
03. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
 
69 
 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte 
e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por 
quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
 
70 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala era 
1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliarem Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
 
71 
 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 75 
anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de vida 
que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
(B) 
5
6
 
(C) 
4
5
 
(D) 
3
4
 
(E) 
2
3
 
 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
 
 
72 
 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total, regra de três simples 
diretamente proporcional. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
 
73 
 
80 ---------- x 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
 
08. Resposta: B 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 
74 
 
 x ------------ 1 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠15. Resposta: E 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem8. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um 
"todo" se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
01. A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
 
8IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
 
75 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Resolução: 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
, = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
, = 12,5% 
 
Com isso podemos concluir que Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco 
B. 
 
Uma outra maneira de expressar será apenas dividir o numerador pelo denominador, ou seja: 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
= 0,10 = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
= 0,125 = 12,5% 
 
02. Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de 
rapazes na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
Exemplos: 
01. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
76 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
02. O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% 
sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
Aumento e Desconto Percentuais 
 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
01. Aumentar um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
02. Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
03. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do 
retângulo é aumentada de: 
(A)35% 
(B)30% 
(C)3,5% 
(D)3,8% 
(E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Logo, alternativa E. 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
01. Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
 
 
77 
 
02. Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
03. O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual 
era o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
01. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
02. Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
03. Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, 
um desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
 
 
 
78 
 
Questões 
 
01. (MPE/GO – Auxiliar Administrativo – MPE/GO/2018) João e Miguel são filhos de Pedro e 
recebem pensão alimentícia do pai no percentual de 20% sobre o seu salário, cada um. Considerando 
que os rendimentos de Pedro são de R$ 2.400,00 mensais, quantos reais sobram para Pedro no final do 
mês? 
(A) R$ 1.510,00 
(B) R$ 1.920,00 
(C) R$ 960,00 
(D) R$ 1.440,00 
(E) R$ 480,00 
 
02. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE/GO/2018) Joana foi trazer compras. Encontrou um vestido 
de 150 reais. Descobriu que se pagasse à vista teria um desconto de 35%. Depois de muito pensar, Joana 
pagou à vista o tal vestido. 
Quanto ela pagou? 
 
(A) 120,00 reais; 
(B) 112,50 reais 
(C) 127,50 reais. 
(D) 97,50 reais. 
(E) 95,00 reais. 
 
03. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2018) O preço de um automóvel, à vista, 
é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite que esse mesmo automóvel seja pago em 18 
parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando por financiar a compra do automóvel, 
o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, aumentará em 
(A) 20%. 
(B) 12%. 
(C) 10%. 
(D) 15%. 
(E) 22%. 
 
04. (SANEAGO/GO – Agente de Saneamento – UFG/2018) As vendas de Natal em 2017 nos 
shopping centers cresceram 6% em relação a 2016, movimentando R$ 51,2 bilhões [O Estado de S. 
Paulo, 27/12/2017, p. B1]. De acordo com essas informações, o valor movimentado, em bilhões, pelos 
shopping centers com as compras de Natal em 2016 foi, aproximadamente, de 
(A) R$ 45,13 
(B) R$ 48,20 
(C) R$ 48,30 
(D) R$ 50,1405. (SEAD/AP – Assistente Administrativo – FCC/2018) Em uma empresa, o departamento de 
recursos humanos fez um levantamento a respeito do número de dependentes de cada funcionário e 
organizou os resultados na seguinte tabela: 
 
A porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente é igual a 
(A) 60%. 
(B) 40%. 
(C) 50%. 
(D) 33%. 
(E) 66%. 
 
06. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO/2018) Um comerciante comprou 
algumas geladeiras, ao preço unitário de R$ 1.550,00, e conseguiu vender apenas algumas delas. Em 
 
79 
 
cada geladeira vendida, o comerciante obteve um lucro de 16% sobre o preço de compra, e o lucro total 
obtido com todas as geladeiras vendidas foi de R$ 26.040,00. 
Quantas geladeiras o comerciante vendeu? 
(A) 15 
(B) 45 
(C) 75 
(D) 105 
(E) 150 
 
07. (Câm. de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
09. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
10. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
11. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do 
valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
80 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Para resolver esta questão devemos encontrar 20% do salário de Pedro, ou seja: 
2.400,00 x 20% = 2400 x 0,20 = 480,00 
que é o valor que ele paga de pensão, mas como são 2 filhos será 480 + 480 = 960,00, portanto o 
valor que ele recebe será de 2400 – 960 = 1440,00. 
 
02. Resposta: D 
Vamos calcular quanto representa 35% de 150 reais. 
150 x 0,35 = 52,50 (é o valor do desconto) 
Logo o valor do vestido à vista será de: 150,00 – 52,50 = 97,50. 
 
03. Resposta: C 
Primeiramente vamos encontrar o valor o automóvel financiado em 18 parcelas de 2.200: 
18 x 2.200 = 39.600. 
Agora basta fazermos uma regra de três simples onde o valor à vista de 36.000,00 será os 100% e do 
resultado o que aumentar além dos 100% será o valor da porcentagem de acréscimo. 
36000 ---- 100 
39600 ---- x 
36000x = 39600 . 100 
36000x = 3960000 
x = 
3960000
36000
= 110 
Assim o valor financiado passou a ser 110%, logo o aumento foi de 110 – 100 = 10% 
 
04. Resposta: C 
Primeiramente devemos saber que 51,2 bilhões já está com o aumento de 6% então ele representa 
106%, agora basta descobrir o valor ante do aumento, através de uma regra de três simples. 
 
51,2 ---- 106 
 x ---- 100 
106x = 51,2 . 100 
106x = 5120 
x = 
5120
106
 = 48,30 aproximadamente. 
 
05. Resposta: B 
Aqui devemos ficar atentos pois existe uma pegadinha, observe que o número de funcionários que têm 
um ou mais dependentes é de 15, e na outra coluna o número de funcionários que têm dois ou mais 
dependentes é de 5, assim estes 5 já estão inclusos nos 5, portanto o total de funcionários será 10 + 15 
= 25 e também temos que o número de funcionários que terão apenas 1 dependente será 15 – 5 = 10 
funcionários. 
Vamos agora encontrar a porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente: 
10
25
= 0,40 = 40% 
 
06. Resposta: D 
O primeiro passo é saber quanto que o comerciante lucra por geladeira, com ele lucra 16%, basta 
encontrar 16% de 1550. 
0,16 x 1550 = 248 
Assim o valor que ele lucra por geladeira será 248, mas 26040 foi o valor total de lucro, portanto para 
saber quantas geladeiras ele vendeu devemos dividir o lucro total pelo lucro de uma geladeira. 
26040
248
= 105 
Vendeu 105 geladeiras no total. 
 
 
 
 
 
81 
 
07. Resposta: B 
Vamos encontrar o valor pago pelo sofá e pelo tapete em cada uma das formas de pagamento: 
 
Cartão de crédito: 
10
100
 (750 + 380) = 0,10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 
8
100
. (750 + 380) = 0,08 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
08. Resposta: E 
Vamos encontrar o preço que ele revende e depois dar o desconto sob esse preço de revenda. 
Preço de revenda: 1500 + 40% = 1500 + 1500 x 0,40 = 1500 + 600 = 2100 
Preço com desconto: 2100 – 35% =2100 – 0,35 x 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
09. Resposta: A 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
10. Resposta: A 
Vamos encontrar o valor da primeira embalagem: 
2,40 . 12 = 28,80 
Agora como tem desconto de 25% na segunda embalagem, vamos encontrar seu valor (100% - 25% 
= 75%): 
28,80. 0,75 = 21,60 
O total que ele gastou foi de 
28,80 + 21,60 = 50,40 
Como ele revendeu cada lata por 3,50 ele terá recebido um total de: 
3,50 x 24 = 84,00 
O lucro então foi de: 
R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
 
11. Resposta: B 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
 
 
PONTO – RETA E PLANO 
 
Ao estudo das figuras em um só plano chamamos de Geometria Plana. 
A Geometria estuda, basicamente, os três princípios fundamentais (ou também chamados de “entes 
primitivos”) que são: Ponto, Reta e Plano. Estes três princípios não tem definição e nem dimensão 
(tamanho). 
 
Para representar um ponto usamos. e para dar nome usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Exemplo: . A (ponto A). 
 
Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome usamos letras minúsculas do nosso alfabeto 
ou dois pontos por onde esta reta passa. 
Geometria básica. 
 
 
82 
 
Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵 ⃡ ). 
 
 
Para representar um plano usamos uma figura chamada paralelogramo e para dar nome usamos letras 
minúsculas do alfabeto grego (α, β, π, θ,...). 
Exemplo: 
 
 
Semiplano: toda reta de um plano que o divide em outras duas porções as quais denominamos de 
semiplano. Observe a figura: 
 
 
 
Partes de uma reta 
Estudamos, particularmente, duas partes de uma reta: 
 
- Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um ponto e é infinita. 
Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵 ), tem origem em A e passa por B. 
 
 
- Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) da reta. 
Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ). 
 
 
Observação: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
- Retas concorrentes: duas retas são concorrentes quando se interceptam em um ponto. Observe 
que a figura abaixo as retas c e d se interceptamno ponto B. 
 
 
 
- Retas paralelas: são retas que por mais que se prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma 
distância e nunca se cruzam. O ângulo de inclinação de duas ou mais retas paralelas em relação a outra 
é sempre igual. Indicamos retas paralelas a e b por a // b. 
 
 
 
83 
 
- Retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos 
os pontos em comum. 
 
 
 
- Retas perpendiculares: são retas concorrentes que se cruzam num ponto formando entre si ângulos 
de 90º ou seja ângulos retos. 
 
 
PARALELISMO 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal 
 
Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum. 
Vamos observar a figura abaixo: 
 
 
 
Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado) 
 
 
A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°. 
 
A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180° 
 
84 
 
Ângulos colaterais externos: 
 
 
A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180° 
 
 
 
A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180° 
 
Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes) 
 
 
Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos alternos externos: 
 
 
Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
85 
 
 
Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos correspondentes: são ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na 
região interna e o outro na região externa. 
 
 
Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais) 
 
 
 
 
 
 
86 
 
Questões 
 
01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
(A) 10° 
(B) 20° 
(C) 30° 
(D) 40° 
(E) 50° 
 
02. O valor de x na figura seguinte, em graus, é: 
 
(A) 32° 
(B) 32° 30’ 
(C) 33° 
(D) 33° 30’ 
(E) 34° 
 
03. Na figura abaixo, sabendo que o ângulo  é reto, o valor de 𝛼 é: 
 
(A) 20° 
(B) 30° 
(C) 40° 
(D) 50° 
(E) 60° 
 
04. Qual é o valor de x na figura abaixo? 
 
 
(A) 100° 
(B) 60° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 110° 
 
 
87 
 
05. Na figura seguinte, o valor de x é: 
 
(A) 20° 
(B) 22° 
(C) 24° 
(D) 26° 
(E) 28° 
 
06. (Pref. de Curitiba – Docência I – NC-UFPR) Sabendo que as retas r e s da figura ao lado são 
paralelas, o valor, em graus, de α - β é: 
 
(A) 12 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 30 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Na figura, os ângulos assinalados são correspondentes, portanto são iguais. 
 
 
x + 2x + 30° = 180° 
3x = 180°- 30° 
3x = 150° 
x = 150° : 3 
x = 50° 
 
02. Resposta: B. 
Na figura dada os ângulos 47° e 2x – 18° são correspondentes e, portanto tem a mesma medida, 
então: 
2x – 18° = 47° → 2x = 47° + 18° → 2x = 65° → x = 65°: 2 
 
88 
 
 
x = 32° 30’ 
 
03. Resposta: C. 
Precisamos traçar uma terceira reta pelo vértice A paralela às outras duas. 
 
 
 
Os ângulos são dois a dois iguais, portanto 𝛼 = 40° 
 
04. Resposta: A. 
Aqui também precisamos traçar um terceira reta pelo vértice. 
 
x = 80° + 20° → x = 100° 
Obs.: neste tipo de figura, o ângulo do meio sempre será a soma dos outros dois. 
 
05. Resposta: D. 
Os ângulos assinalados na figura, x + 20° e 4x + 30°, são colaterais internos, portanto a soma dos dois 
é igual a 180°. 
 
x + 20° + 4x + 30° = 180° → 5x + 50° = 180° → 5x = 180° - 30° → 5x = 130° 
x = 130° : 5 → x = 26° 
 
06. Resposta: D. 
O ângulo oposto a 138º vale 138º também, para saber o valor de α é só subtrair 138-54 = 84º. 
O ângulo oposto a 54º vale 54º também. Só subtrair agora α - β = 
84-54=30º. 
 
89 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. 
 
Elementos de um ângulo 
 
- LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 . 
-VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. 
 
 
 
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Central 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por 
vértices consecutivos do polígono. 
 
 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são 
tangentes a ela. 
 
 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. 
 
 
 
 
 
90 
 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Raso: 
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semirretas opostas. 
 
 
 
Ângulo Reto: 
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
 
 
 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90
0
. 
 
 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360
0
. 
 
 
 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois 
ângulos é 180º. 
 
 
91 
 
Então, se x e y são dois ângulos, temos: 
- se x + y = 90° → x e y são Complementares. 
- se x + y = 180° → e y são Suplementares. 
- se x + y = 360° → x e y são Replementares. 
 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. 
 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as 
respectivas semirretas opostas aos lados do outro. 
 
 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. 
 
- Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares de ângulos consecutivos. 
- Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
Unidades de medida de ângulos: 
Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 
1/400 da circunferência denominamos de grado. 
 
Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 
da circunferência denominamos de grau. 
- o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) 
e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). 
 
Exemplos: 
01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: 
 
a) 
 
 
 
92 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
 
 
03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
93 
 
d) 
 
 
Resoluções 
01. Respostas: 
a) 55˚ 
b) 74˚ 
c) 33˚ 
 
02. Resposta: 130. 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
 
 
 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130°. 
 
03. Respostas: 
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
 
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° 
8x = 160° 
x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° 
 
c) Sabemos que a figura tem 90°. 
 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° 
4x = 40° 
x = 40°/4 
x = 10° 
 
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. 
Então, 138° + x = 180° 
x = 180° - 138° 
x = 42° 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
 
94 
 
Questões 
 
01. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 
(A) 375’’. 
(B) 22.500”. 
(C) 3.615’’ 
(D) 2.950’’ 
(E) 25.000’’ 
 
02. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
(A) 60° 
(B) 90° 
(C) 45° 
(D) 120° 
(E) 135° 
 
03. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Qual é o complemento 
desse ângulo? 
(A) 60° 
(B) 30° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 150° 
 
04. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual a medida desses 
dois ângulos? 
(A) 35° e 55°(B) 40° e 50° 
(C) 20° e 70° 
(D) 45° e 45° 
(E) 40° e 55° 
 
05. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Qual é p valor 
do ângulo y? 
 
(A) 45° 
(B) 90° 
(C) 135° 
(D) 120° 
(E) 155° 
 
06. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. 
 
 
 
 
 
95 
 
(A) 11º; 159º. 
(B) 12º; 158º. 
(C) 10º; 160º. 
(D) 15º; 155º. 
(E) 16º; 150º. 
 
07. Determine o valor de a na figura seguinte: 
 
 
(A) 135° 
(B) 40° 
(C) 90° 
(D) 100° 
(E) 45° 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”, temos: 
6°.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 
360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 
375’.60 = 22.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). 
Portanto 6° 15’ equivale a 22.500”. 
 
02. Resposta: A. 
- sendo x o ângulo, o seu suplemento é 180° - x, então pelo enunciado temos a seguinte equação: 
x =
180°−x
2
 (multiplicando em “cruz”) 
 
2x = 180° - x 
2x + x = 180° 
3x = 180° 
x = 180° : 3 = 60° 
 
03. Resposta: B. 
- sendo x o ângulo, o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x. Então, temos: 
90° - x = 
180°−x
4
 (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 
4.(90° - x) = 180° - x (aplicando a distributiva) 
360° - 4x = 180° - x 
360° - 180° = - x + 4x 
180° = 3x 
x = 180° : 3 = 60º 
- o ângulo x mede 60º, o seu complemento é 90° - 60° = 30° 
 
04. Resposta: A. 
- do enunciado temos a seguintes figura: 
 
 
Então: 
x + x + 20° = 90° 
 
96 
 
2x = 90° - 20° 
2x = 70° 
x = 70° : 2 = 35° 
- os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° 
 
05. Resposta: C. 
Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
Então vale lembrar que: 
x + y = 180 então y = 180 – x. 
 
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z 
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. 
Calcule y. 
x = y / 6 + z / 2 
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z 
Então: 
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x 
6x – 2x = 180° 
4x = 180° 
x=180°/4 
x=45º 
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x 
y=180º - 45° 
y=135°. 
 
06. Resposta: A. 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 
3m - 12º = m + 10º 
3m - m = 10º + 12º 
2m = 22º 
m = 22º/2 
m = 11º 
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. 
(m + 10º) + n = 180º 
(11º + 10º) + n = 180º 
21º + n = 180º 
n = 180º - 21º 
n = 159º 
 
07. Resposta: E. 
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais. 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
 
 
 
 
97 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
 
 
Área: é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
 
 
 
98 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
 
99 
 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
 
 
100 
 
(A) 21,2. 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
 
 
 
 
 
 
 
101 
 
Comentários 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 d2 = l2 + l2 
 (2√7)
2
= 2l2 
 4.7 = 2l2 
 2l2 = 28 
 l2 =
28
2
 
 A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
 S =
x2+302−2.30.x+x2
16
 
 S =
x2+900−60x+x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
 xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
 
102 
 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
 
08. Resposta: D. 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
 
 
104 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada 
um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (PETROBRÁS - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
105 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
(A) 6 π - 6√3 cm² 
(B) 2. (2 π - 3√3) cm² 
 
106 
 
(C) 3. (4 π - 3√3) cm² 
(D) 3. (1 π - 3√3) cm² 
(E) 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
 
107 
 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: E. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os 
catetos. 
 
 
 
No exemplo ao lado: 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
 
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Exemplos 
 
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos 
o fragmento abaixo: 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma 
Incógnita. 
 
108 
 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca 
trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. 
“Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – 
Trinta Anos de Mim Mesmo). 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a 
seguinte resposta: 
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: D. 
 
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 
5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e 
finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de 
partida? 
(A) 3 milhas a sudoeste. 
(B) 3 milhas a sudeste. 
(C) 4 milhas ao sul. 
(D) 5 milhas ao norte. 
(E) 5 milhas a nordeste. 
 
Resposta: 
 
 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16 
x2 = 25 
x = √25 = 5 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida 
do outro cateto? 
(A) 10 
(B) 11 
(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
Resposta: 
 
132 = x2 + 52 
169 = x2 + 25 
169 – 25 = x2 
x2 = 144 
x = √144 = 12 cm 
 
04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a: 
(A) 𝑙√2 
(B) 𝑙√3 
 
109 
 
(C) 𝑙√5 
(D) 𝑙√6 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: 
 
 
𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 
𝑑2 = 2𝑙2 
𝑑 = √2𝑙2 
𝑑 = 𝑙√2 
 
05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa 
altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo 
a uma distância de 3 m da base dele, conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o poste? 
 
(A) 4 m 
(B) 4,5 m 
(C) 5 m 
(D) 5,5 m 
(E) 6 m 
 
Resposta: 
 
(9 – x)2 = x2 + 33 
92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9 
81 – 18x = 9 
81 – 9 = 18x 
72 = 18x 
x =
72
18
 
x = 4 m 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Jacundá/PA – Psicólogo – INAZ) Em fase treino, um maratonista parte de um ponto 
inicial A percorrendo 2 km em linha reta até o ponto B, girando 90° para a esquerda e percorre mais 1,5 
km parando no ponto C. Se o maratonista percorresse em linha reta do ponto A até o ponto C, 
percorreria: 
(A) 3500 m 
(B) 500 m 
(C) 2500 m 
(D) 3000 m 
(E) 1800 m 
 
 
110 
 
02. (IBGE – Agente de Pesquisas e Mapeamento – CESGRANRIO) Na Figura a seguir, PQ mede 6 
cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm. 
 
A distância entre os pontos P e T, em cm, mede: 
(A) 17 
(B) 21 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 19 
 
03. (UNIFESP – Técnico de Segurança do Trabalho – VUNESP) Um muro com 3,2 m de altura está 
sendo escorado por uma barra de ferro, de comprimento AB, conforme mostra a figura. 
 
O comprimento, em metros, da barra de ferro 
(A) 3,2. 
(B) 3,0. 
(C) 2,8. 
(D) 2,6. 
(E) 2,4. 
 
04. (Pref. de Marilândia/ES – Auxiliar Administrativo – IDECAN) Tales desenhou um triângulo 
retângulo com as seguintes medidas, todas dadas em centímetros. 
 
Qual é o perímetro deste triângulo? 
(A) 6 cm 
(B) 9 cm 
(C) 12 cm 
(D) 15 cm 
(E) 18 cm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
AC representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são 2Km = 2000 m e 1,5Km = 1500m. 
AC² = 2² + 1,5² 
AC² = 4 + 2,25 
AC = 2,5Km = 2500 m. 
 
111 
 
02. Resposta: A. 
Observe que PQ = 6 e RS= 9 e também são retas paralelas então podemos somar elas como se 
puxasse a reta RS pra cima formando uma reta só. Total 15cm. Ortogonalmente a reta QR fecha um 
triângulo retângulo com essa reta que fechamos juntando PQ e RS. Assim, ficamos com um triângulo 
retângulo com catetos 15 e 8. Aplicando Pitágoras, teremos a medida da hipotenusa que é a reta PT = 
17cm, que representa a distância ente P e T. 
 
03. Resposta: B. 
Observe que a altura do solo até o ponto B é dada por 3,2 -0,80 = 2,4m, agora basta utilizar o Teorema 
de Pitágoras para resolvermos esta questão: 
AB² = 1,8² + 2,4² 
AB² = 3,24 + 5,76 = 9 
AB = 3m. 
 
04. Resposta: C. 
Basta resolver pelo teorema de Pitágoras e depois resolver a equação que será formada. 
(x+1)² = (x-1)² + x² 
x² + 2x + 1 = x² - 2x +1 + x² 
x²-4x = 0 
x(x-4) = 0 
x = 0 (não convém utilizarmos pois o lado de um triângulo não pode ser nulo) 
ou x – 4 = 0 
x = 4. 
Assim os lados são: 
3, 4, 5, logo o perímetro será a soma de todos os lados: 3+ 4 + 5 = 12. 
 
TEOREMA DE TALES 
 
- Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas e paralelas entre si. 
- Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas de um feixe de paralelas. 
- Teorema de Tales9: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão 
entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos 
segmentos correspondentes da outra. 
 
 
r//s//t//u (// → símbolo de paralelas); a e b são retas transversais. Então, temos que os segmentos 
correspondentes são proporcionais. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐹𝐺̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐺𝐻̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅
= ⋯. 
 
Teorema da bissetriz interna 
 
“Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos 
proporcionais ao outros dois lados do triângulo”. 
 
9
SOUZA, Joamir Roberto; PATARO, Patricia Moreno – Vontade de Saber Matemática 6º Ano – FTD – 2ª edição – São Paulo: 2012 
www.jcpaiva.net/ 
conteudoonline.objetivo.br 
 
112 
 
 
 
Teorema da bissetriz externa 
 
Se a bissetriz BE de um ângulo externo de um triângulo ABC, não isósceles, intercepta a reta suporte 
do lado oposto, então a bissetriz determina nessa reta dois segmentos proporcionais (AE̅̅̅̅ e CE̅̅̅̅ ) aos lados 
adjacentes (AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ ) ao ângulo interno. 
 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Fortaleza – Matemática – Pref. de Fortaleza) Na figura abaixo, as retas são 
paralelas. Sabendo que o valor de x é: 
 
(A) 3 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 5 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
 
113 
 
(D) 6 
(E) 7 
 
03. Calcular o valor de x na figura abaixo. 
 
 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 4 
(D) 3 
(E) 2 
 
04. Os valores de x e y, respectivamente, na figura seguinte é: 
 
 
(A) 30 e 8 
(B) 8 e 30 
(C) 20 e 10 
(D) 10 e 20 
(E) 5 e 25 
 
05. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
5/10 = (5-x)/3x 
15x = 50 - 10x 
25x = 50 
x = 2 
 
114 
 
02. Resposta: B. 
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
=
5
6
 
6.(2x – 3) = 5(x + 2) 
12x – 18 = 5x + 10 
12x – 5x = 10 + 18 
7x = 28 
x = 28 : 7 = 4 
 
03. Resposta: A. 
10
30
=
𝑥
18
 
 
30x = 10.18 
30x = 180 
x = 180 : 30 = 6 
 
04. Resposta: A. 
𝑥
45
=
20
30
 
3x = 45.23x = 90 
x = 90 : 3 = 30 
𝑦
30
=
12
45
 
45y = 12.30 
45y = 360 
y = 360 : 45 = 8 
 
05. Resposta: D. 
𝑥−3
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
 
(x – 3). (x + 2) = x.(x – 2) 
x2 + 2x – 3x – 6 = x2 – 2x 
-x – 6 = - 2x 
-x + 2x = 6 → x = 6 
 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
 
Sólidos Geométricos10 são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por 
um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera, dessas figuras 
podemos encontrar o seu volume, pois são figuras geométricas espaciais. 
 
- Principio de Cavalieri 
Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um método capaz de 
determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este 
princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções 
planas de iguais altura possuírem a mesma área. 
Vejamos: 
Suponhamos a existência de uma coleção de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de 
mesmas dimensões, e consequentemente, de mesmo volume. Imaginemos ainda a formação de dois 
sólidos com essa coleção de chapas. 
 
10
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da matemática elementar – Vol 10 – Geometria Espacial, Posição e Métrica – 5ª edição – Atual 
Editora 
www.brasilescola.com.br 
 
115 
 
 
 
Tanto em A como em B, a parte do espaço ocupado, ou seja, o volume ocupado, pela coleção de 
chapas é o mesmo, isto é, os sólidos A e B tem o mesmo volume. 
Mas se imaginarmos esses sólidos com base num mesmo plano α e situados num mesmo semiespaço 
dos determinados por α. 
 
 
Qualquer plano β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α, determina em A e em B superfícies de áreas 
iguais (superfícies equivalentes). A mesma ideia pode ser estendida para duas pilhas com igual número 
de moedas congruentes. 
 
 
Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado 
plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies 
equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes). 
 
 
 
A aplicação do princípio de Cavalieri, em geral, implica na colocação dos sólidos com base num mesmo 
plano, paralelo ao qual estão as secções de áreas iguais (que é possível usando a congruência). 
 
Sólidos geométricos 
 
I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. 
 
 
 
 
116 
 
Elementos de um prisma: 
a) Base: pode ser qualquer polígono. 
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases. 
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. 
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais. 
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. 
f) Altura: distância entre as duas bases. 
 
 Classificação: 
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto à base: 
- Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°). 
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 Fórmulas: 
- Área da Base 
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo 
calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim 
por diante. 
- Área Lateral: 
Soma das áreas das faces laterais 
- Área Total: 
At=Al+2Ab 
- Volume: 
V = Abh 
 
 Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais, 
que são: 
 
a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares. 
 
 
Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = altura. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) 
 
- Volume: V = a.b.c 
 
- Diagonal: D = √a2 + b2 + c2 
 
 
 
117 
 
b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas. 
 
As três dimensões de um cubo: comprimento, largura e altura são iguais. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 6.a2 
 
- Volume: V = a3 
 
- Diagonal: D = a√3 
 
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. 
 
 Elementos de uma pirâmide: 
 
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas 
laterais, vértice e altura. Além destes, ela também tem um apótema lateral e um apótema da base. 
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um 
triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. 
 
 Classificação: 
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 
1- Quanto à base: 
- Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base. 
- Pirâmide Obliqua: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base pode ser qualquer polígono não existe uma 
fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado 
calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. 
- Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 
 
 
118 
 
- Área Total: At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- TRONCO DE PIRÂMIDE 
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a 
figura: 
 
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho. 
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as 
bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre 
si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco. 
 
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide. 
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. 
De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície 
lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, 
se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral. 
A área total do tronco de pirâmide é dada por: 
St = Sl + SB + Sb 
Onde: 
St → é a área total 
Sl → é a área da superfície lateral 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
Cálculo do volume do tronco de pirâmide. 
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume 
de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. 
Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do 
tronco é: 
 
Onde, 
V → é o volume do tronco 
h → é a altura do tronco 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares. 
 
Elementos de um cilindro: 
a) Base: é sempre um círculo. 
 
119 
 
b) Raio 
c) Altura: distância entre as duas bases. 
d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral é formada por infinitas 
geratrizes.Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele só pode ser classificado de acordo com 
a inclinação: 
- Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°). 
- Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = 2.π.r.h 
 
- Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab 
 
- Volume: V = π.r2.h ou V = Ab.h 
 
Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro. O retângulo obtido através 
desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo a área da secção meridiana 
é dada pela fórmula: ASM = 2r.h. 
 
 
 
Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um 
quadrado, para isto temos que: h = 2r. 
 
IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior. 
 
Elementos de um cone: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. 
d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral e formada por infinitas 
geratrizes. 
 
 
120 
 
Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só tem classificação quanto à inclinação. 
- Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base. 
- Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
 Fórmulas: 
- Área da base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = π.r.g 
 
- Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝜋. 𝑟2. ℎ ou 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo retângulo, então: g2 = h2 + r2. 
 
Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. O triângulo obtido através desse corte é 
chamado de secção meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da secção meridiana é 
dada pela fórmula: ASM = r.h. 
 
 
Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo 
equilátero, para isto temos que: g = 2r. 
 
TRONCO DE CONE 
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, 
teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. 
 
Elementos 
- A base do cone é a base maior do tronco, e a seção transversal é a base menor; 
- A distância entre os planos das bases é a altura do tronco. 
 
 
121 
 
Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior 
que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a 
medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na 
composição do tronco de cone. 
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral 
(geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso 
da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso. 
 
 
Onde: 
h = altura 
g = geratriz 
 
Área da Superfície e Volume 
 
 
 
Exemplo: 
Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m. 
Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14. 
 
 
V) ESFERA 
 
 
 Elementos da esfera 
- Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da esfera. 
- Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera. 
- Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando círculos. 
- Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, determinando, assim, o maior círculo possível. 
 
 Fórmulas 
 
 
 
 
122 
 
- na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r), a distância do centro ao paralelo ao centro 
da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, podemos aplicar o Teorema 
de Pitágoras: R2 = r2 + d2. 
- Área: A = 4.π.R2 
 
- Volume: V = 
4
3
. π. R3 
 
Fuso Esférico: 
 
Fórmula da área do fuso: 
𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 =
𝛼. 𝜋. 𝑅2
90°
 
 
Cunha Esférica: 
 
 
Fórmula do volume da cunha: 
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 =
𝛼. 𝜋. 𝑅3
270°
 
 
Questões 
 
01. (IPSM – Analista de gestão Municipal – VUNESP/2018) Um tanque em formato de prisma reto 
retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está completamente cheio de água. Durante 3 
horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 
m3 é equivalente a 1000 litros. Após esse tempo, o número de litros de água que ainda permanecem no 
tanque é igual a 
(A) 980. 
(B) 1020. 
(C) 1460. 
(D) 1580. 
(E) 1610. 
 
02. (UFSM – Auxiliar em Administração – UFSM/2017) O número de furtos a bancos tem crescido 
muito nos últimos anos. Em um desses furtos, criminosos levaram 20 barras de ouro com dimensões 
dadas, em centímetros, pela figura a seguir. 
 
 
 
Se a densidade do ouro é de aproximadamente 19g/cm³, aproximadamente quantos quilogramas de 
ouro foram furtados? 
 
123 
 
(A) 0,456 
(B) 9,120 
(C) 24,000 
(D) 45,600 
(E) 91,200 
 
03. (DEMAE – Técnico em Informática – CS-UFG/2017) Em um canteiro de obra, para calcular o 
volume de areia contida na caçamba de um caminhão, mede-se a altura da areia em cinco pontos 
estratégicos (indicados por M), a largura (L) e o comprimento (C) da base da caçamba, conforme ilustra 
a figura a seguir. 
 
O volume de areia na caçamba do caminhão é dado pelo produto da área da base da caçamba pela 
média aritmética das alturas da areia. Considere um caminhão carregado com 13,25 m³ de areia. A largura 
de sua caçamba é 2,4 m e o comprimento, 5,8 m. Assim, a média aritmética das alturas da areia na 
caçamba, em metros, é, aproximadamente, de: 
 
(A) 9,5 
(B) 2,3 
(C) 0,95 
(D) 0,23 
 
04. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em 
cm2, é: 
(A) 90π 
(B) 100π 
(C) 80π 
(D) 110π 
(E) 120π 
 
05. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse 
prisma é: 
(A) 288√3 cm3 
(B) 144√3 cm3 
(C) 200√3 cm3 
(D) 100√3 cm3 
(E) 300√3 cm3 
 
06. Um cubo tem aresta igual a 3 m, a área total e o volume desse cubo são, respectivamente, iguais 
a: 
(A) 27 m2 e 54 m3 
(B) 9 m2 e 18 m3 
(C) 54 m2 e 27 m3 
(D) 10 m2 e 20 m3 
 
07. Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. O volume dessa 
pirâmide, em cm3, é igual a: 
(A) 60 
(B) 60√3 
 
124 
 
(C) 80 
(D) 80√3 
(E) 90√3 
 
08. (Pref. SEARA/SC – Adjunto Administrativo – IOPLAN) Um reservatório vertical de água com a 
forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 6 metros e profundidade de 10 metros tem a 
capacidade aproximada de, admitindo-se π=3,14: 
(A) 282,60 litros. 
(B) 28.260 litros. 
(C) 282.600,00 litros. 
(D) 28.600,00 litros. 
 
09. Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. A altura desse cone, em cm, é: 
(A) 6√3 
(B) 6√2 
(C) 8√2 
(D) 8√3 
(E) 8 
 
10. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases 
são iguais a 36 dm² e 144 dm² vale: 
(A) 330 cm³ 
(B) 720 dm³ 
(C) 330 m³ 
(D) 360 dm³ 
(E) 336 dm³ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume do paralelepípedo, depois a quantidade de água que vaza 
para poder descobrir quanto de agua ainda resta, basta subtrair o volume pela quantidade de água que 
vazou. 
V= a . b . c 
V= 3,5 . 1,2 . 0,8 
V= 3,36 m³ 
1 m³__________ 1000 LITROS 
3,36__________ x 
x= 3.360 L 
 
Aqui precisamos descobrir quanto vazou de água 
3 H 15 MIN = 3*60 +15 = 180 +15= 195 MIN 
12L ----------- 1 MIN 
y ----------- 195 MIN 
y= 195 . 12 
y= 2.340 L 
x-y = 3.360 - 2.340= 1020 LITROS 
 
02. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume de 1 das barras e depois basta multiplicar por 20, logo: 
V = 8x3x1 = 24cm³ 
24x19 = 456 g (pois ele possui 19g por cada cm³) 
456 x 20 (foram furtadas) = 9120g, devemos lembrar que 1 kg equivale à 1000g.9120/1000 = 9,120kg. 
 
 
 
 
125 
 
03. Resposta: C. 
Como ele quer saber a média aritmética das alturas basta substituirmos na fórmula: 
V = M . L . C 
13,25 = M . 2,4 . 5,8 = 
13,92M = 13,25 
M = 13,25/13,92 
M = 0,95m 
 
04. Resposta: B. 
Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm. 
h = 2r → h = 2.5 = 10 cm 
Al = 2.π.r.h 
Al = 2.π.5.10 → Al = 100π 
 
05. Resposta: A. 
O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do enunciado temos que a aresta da base é a 
= 4 cm e a altura h = 12 cm. 
A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular 
𝐴𝑏 =
6.𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
6.42√3
4
 ➔ 𝐴𝑏 =
6.16√3
4
 ➔ 𝐴𝑏 = 6.4√3 ➔ 𝐴𝑏 = 24√3 cm
2 
 
V = 24√3.12 
V = 288√3 cm3 
 
06. Resposta: C. 
Do enunciado, o cubo tem aresta a = 3 m. 
At = 6.a2 V = a3 
At = 6.32 V = 33 
At = 6.9 V = 27 m3 
At = 54 m2 
 
07. Resposta: D. 
Do enunciado a base é um triângulo equilátero. E a fórmula da área do triângulo equilátero é 𝐴 =
𝑙2√3
4
. 
A aresta da base é a = 8 cm e h = 15 cm. 
 
Cálculo da área da base: 
𝐴𝑏 =
𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
82√3
4
=
64√3
4
 
 
𝐴𝑏 = 16√3 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
𝑉 =
1
3
. 16√3. 15 
 
𝑉 = 16√3. 5 
 
𝑉 = 80√3 
 
 
 
 
126 
 
08. Resposta: C. 
Pelo enunciado sabemos a altura (h) = 10 m e o Diâmetro da base = 6 m, logo o Raio (R) = 3m. 
O volume é Ab.h , onde Ab = π .R² → Ab = 3,14. (3)² → Ab = 28,26 
V = Ab. H → V = 28,26. 10 = 282,6 m³ 
Como o resultado é expresso em litros, sabemos que 1 m³ = 1000 l, Logo 282,26 m³ = x litros 
282,26. 1000 = 282 600 litros 
 
09. Resposta: D. 
Em um cone equilátero temos que g = 2r. Do enunciado o raio é 8 cm, então a geratriz é g = 2.8 = 16 
cm. 
g2 = h2 + r2 
162 = h2 + 82 
256 = h2 + 64 
256 – 64 = h2 
h2 = 192 
h = √192 
h = √26. 3 
h = 23√3 
h = 8√3 cm 
 
10. Resposta: E. 
𝑉 =
ℎ𝑡
3
(𝐴𝐵 + √𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏) 
AB=144 dm² 
Ab=36 dm² 
𝑉 =
4
3
(144 + √144 ∙ 36 + 36) =
4
3
(144 + 72 + 36) =
4
3
252 = 336 𝑑𝑚3 
 
 
 
O primeiro dinheiro do Brasil foi à moeda-mercadoria. Durante muito tempo, o comércio foi feito por 
meio da troca de mercadorias, mesmo após a introdução da moeda de metal. 
As primeiras moedas metálicas (de ouro, prata e cobre) chegaram com o início da colonização 
portuguesa. A unidade monetária de Portugal, o Real, foi usada no Brasil durante todo o período colonial. 
Assim, tudo se contava em réis (plural popular de real) com moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. 
O Real (R) vigorou até 07 de outubro de 1833. De acordo com a Lei nº 59, de 08 de outubro de 1833, 
entrou em vigor o Mil-Réis (Rs), múltiplo do real, como unidade monetária, adotada até 31 de outubro de 
1942. 
No século XX, o Brasil adotou nove sistemas monetários ou nove moedas diferentes (mil-réis, cruzeiro, 
cruzeiro novo, cruzeiro, cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real, real), por este motivo estaremos 
abordando o sistema monetário brasileiro. 
Por meio do Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942, uma nova unidade monetária, o cruzeiro 
– Cr$ veio substituir o mil-réis, na base de Cr$ 1,00 por mil-réis. 
A denominação “cruzeiro” origina-se das moedas de ouro (pesadas em gramas ao título de 900 
milésimos de metal e 100 milésimos de liga adequada), emitidas na forma do Decreto nº 5.108, de 18 de 
dezembro de 1926, no regime do ouro como padrão monetário. 
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro novo – 
NCr$, na base de NCr$ 1,00 por Cr$ 1.000. A partir de 15 de maio de 1970 e até 27 de fevereiro de 1986, 
a unidade monetária foi novamente o cruzeiro (Cr$). 
Em 27 de fevereiro de 1986, Dílson Funaro, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Cruzado (Decreto-
Lei nº 2.283, de 27 de fevereiro de 1986): o cruzeiro – Cr$ se transformou em cruzado – Cz$, na base de 
Cz$ 1,00 por Cr$ 1.000 (vigorou de 28 de fevereiro de 1986 a 15 de janeiro de 1989). Em novembro do 
mesmo ano, o Plano Cruzado II tentou novamente a estabilização da moeda. Em junho de 1987, Luiz 
Carlos Brésser Pereira, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Brésser: um Plano Cruzado “requentado” 
avaliou Mário Henrique Simonsen. 
Sistema Monetário Brasileiro. 
 
 
127 
 
Em 15 de janeiro de 1989, Maílson da Nóbrega, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Verão (Medida 
Provisória nº 32, de 15 de janeiro de 1989): o cruzado – Cz$ se transformou em cruzado novo – NCz$, 
na base de NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou de 16 de janeiro de 1989 a 15 de março de 1990). 
Em 15 de março de 1990, Zélia Cardoso de Mello, ministra da Fazenda, anunciou o Plano Collor 
(Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990): o cruzado novo – NCz$ se transformou em cruzeiro 
– Cr$, na base de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de 16 de março de 1990 a 28 de julho de 1993). Em 
janeiro de 1991, a inflação já passava de 20% ao mês, e o Plano Collor II tentou novamente a estabilização 
da moeda. 
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de1993, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro real – 
CR$, na base de CR$ 1,00 por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 29 de julho de 1993 a 29 de junho de 1994). 
Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Real: 
o cruzeiro real – CR$ se transformou em real – R$, na base de R$ 1,00 por CR$ 2.750,00 (Medida 
Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994, convertida na Lei nº 9.069, de 29 de junho de 1995). 
O artigo 10, I, da Lei nº 4.595, de 31 de dezembro de 1964, delegou ao Banco Central do Brasil 
competência para emitir papel-moeda e moeda metálica, competência exclusiva consagrada pelo artigo 
164 da Constituição Federal de 1988. 
Antes da criação do BCB, a Superintendência da Moeda e do Crédito (SUMOC), o Banco do Brasil e 
o Tesouro Nacional desempenhavam o papel de autoridade monetária. 
A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por finalidade exercer o controle monetário. 
A SUMOC fixava os percentuais de reservas obrigatórias dos bancos comerciais, as taxas do redesconto 
e da assistência financeira de liquidez, bem como os juros. Além disso, supervisionava a atuação dos 
bancos comerciais, orientava a política cambial e representava o País junto a organismos internacionais. 
O Banco do Brasil executava as funções de banco do governo, e o Tesouro Nacional era o órgão 
emissor de papel-moeda. 
 
 
 
 
128 
 
 
 
Como surgiram as moedas 
Por muito tempo, os objetos de metal foram mercadorias muito apreciadas. Como sua produção exigia, 
além do domínio das técnicas de fundição, o conhecimento dos locais onde o metal poderia ser 
encontrado, essa tarefa, naturalmente, não estava ao alcance de todas as pessoas. A valorização, cada 
vez maior, destes instrumentos levou à sua utilização como moeda, e ao aparecimento de réplicas de 
objetos metálicos, em pequenas dimensões, que circulavam como dinheiro. 
Surgem, então, no século VII a.C., as primeiras moedas com características das atuais: são pequenas 
peças de metal, com peso e valor definidos e com a impressão do cunho oficial, isto é, a marca de quem 
as emitiu, e lhes garante seu valor. Moedas de prata foram cunhadas na Grécia. A princípio, essas peças 
eram fabricadas por processos manuais muito rudimentares e não eram exatamente iguais, como as de 
hoje, que são peças absolutamente iguais umas às outras. 
 
Moedas utilizadas no Brasil (Real) 
As moedas utilizadas oficialmente no Brasil, e que compõem o Sistema Monetário Brasileiro são: 
 
 
É interessante notar que a moeda de 1 centavo (R$ 0,01) foi desativada em 2004. 
 
 
 
129 
 
Cédulas utilizadas no Brasil (Real) 
 
1ª Família do Real 
 
 
As notas apresentadas 
no anverso e verso. 
Atualmente não circula mais 
a cédula de R$ 1,00, dando 
lugar a de R$ 2,00. 
 
As notas da Primeira 
Família continuam valendo 
e podem ser usadas 
normalmente. Aos poucos, 
serão substituídas por suas 
versões mais recentes: a 
Segunda Família do Real. 
 
2ª Família do Real 
 
 
Por que mudar as notas? 
OReal está consolidado como uma moeda forte, utilizado cada vez mais nas transações cotidianas e 
como reserva de valor. Com o avanço das tecnologias digitais nos últimos anos, é necessário dotar as 
nossas cédulas de recursos gráficos e elementos antifalsificação mais modernos, capazes de continuar 
garantindo a segurança do dinheiro brasileiro no futuro. 
 
 
130 
 
 
 
Glossário 
 
Banco Central (BC ou Bacen) - Autoridade monetária do País responsável pela execução da política 
financeira do governo. Cuida ainda da emissão de moedas, fiscaliza e controla a atividade de todos os 
bancos no País. 
 
Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) - Órgão internacional que visa ajudar países 
subdesenvolvidos e em desenvolvimento na América Latina. A organização foi criada em 1959 e está 
sediada em Washington, nos Estados Unidos. 
 
Banco Mundial - Nome pelo qual o Banco Internacional de Reconstrução e Desenvolvimento (BIRD) 
é conhecido. Órgão internacional ligado a ONU, a instituição foi criada para ajudar países 
subdesenvolvidos e em desenvolvimento. 
 
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES) - Empresa pública federal 
vinculada ao Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior que tem como objetivo 
financiar empreendimentos para o desenvolvimento do Brasil. 
 
Casa da Moeda do Brasil (CMB) - é uma empresa pública vinculada ao Ministério da Fazenda. 
Fundada em 8 de março de 1694, acumula mais de 300 anos de existência. Foi criada no Brasil Colônia 
pelos governantes portugueses para fabricar moedas com o ouro proveniente das minerações. Na época, 
a extração de ouro era muito expressiva no Brasil e o crescimento do comércio começava a causar um 
caos monetário devido à falta de um suprimento local de moedas. A Casa da Moeda possui, atualmente, 
três fábricas: de cédulas, moedas e gráfica geral. 
 
Questões 
 
01. O carro do pai de Tiago gasta R$ 1,00 em gasolina a cada 1min. Para levar Tiago à escola, seu 
pai sai de casa às 13h45min e chega lá às 13h55min. Sabendo que o pai dele só tem moedas de R$ 0,50 
no bolso, quantas moedas ele deverá gastar com a gasolina deste percurso? 
(A) 5 moedas 
(B) 10 moedas 
 
131 
 
(C) 15 moedas 
(D) 20 moedas 
 
02. Lita comprou um sorvete por R$ 1,55. Que moedas ela utilizou para realizar essa compra? 
(A) 1 moeda de 1 real, 1 moeda de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos 
(B) 1 moeda de 1 real, 1 moeda de 25 centavos e 2 moedas de 10 centavos 
(C) 1 moeda de 1 real, 2 moedas de 25 centavos e 1 moeda de 5 centavos 
(D) 1 moeda de 1 real, 2 moedas de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos 
 
03. Durante o ano inteiro, Aliene poupou em seu cofrinho 20 moedas de 1 real, 11 moedas de 50 
centavos, 19 moedas de 25 centavos, 15 moedas de 10 centavos e 12 moedas de 5 centavos. Quantos 
reais ela terá quando for abrir o cofrinho? 
(A) R$ 32,25 
(B) R$ 32,35 
(C) R$ 33,25 
(D) R$ 33,35 
 
04. Tadeu foi ao cinema do shopping. Antes de entrar para assistir ao filme ele foi comprar pipoca. O 
saco de pipoca custa R$ 2,50 e ele tinha três moedas de R$ 1,00. Quanto ele recebeu de troco? 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
05. Joana ganhou de seu avô R$ 5,00 em moedas diversas do real. Qual das respostas abaixo 
representa este valor? 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
 
06. (UNESP – Campus de Araraquara – FCL - Assistente Operacional II – Jardinagem – VUNESP) 
Possuo 20 moedas na carteira. Sabe-se que 1/4 delas são de 1 real e 4/8 de todas as moedas são de 50 
centavos. Se as restantes são de 25 centavos, o valor que possuo em moedas na carteira é 
(A) R$ 11,50. 
(B) R$ 11,25. 
(C) R$ 10,75. 
 
 
132 
 
(D) R$ 10,25. 
(E) R$ 10,00. 
 
07. (Pref. de Campos dos Goytacazes) A distância da cidade A à cidade B é de km 473. Fazendo-
se esse percurso num automóvel que consome 1 litro de gasolina a cada km 11 e sabendo-se que o litro 
desse combustível é comprado a R$ 2,50, gastar-se-á com combustível nessa viagem a quantia de: 
(A) R$ 112,50 
(B) R$ 110,50 
(C) R$ 109,50 
(D) R$ 107,50 
(E) R$ 106,50 
 
08. (SABESP – APRENDIZ – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema 
de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito 
e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina 
e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e 
os pagamentos na seguinte tabela: 
 
 Valor Gasto Valor Creditado 
1ª semana R$ 27,00 R$ 40,00 
2ª semana R$ 33,00 R$ 30,00 
3ª semana R$ 42,00 R$ 35,00 
4ª semana R$ 25,00 R$ 15,00 
 
No final do mês, Enzo observou que tinha 
(A) crédito de R$ 7,00. 
(B) débito de R$ 7,00. 
(C) crédito de R$ 5,00. 
(D) débito de R$ 5,00. 
(E) empatado suas despesas e seus créditos. 
 
09. (Pref. Imarui/SC – Auxiliar de Serviços Gerais - Pref. Imarui) José, funcionário público, recebe 
salário bruto de R$ 2000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 
35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? 
(A) R$ 1800,00 
(B) R$ 1765,00 
(C) R$ 1675,00 
(D) R$ 1665,00 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Como a cada 1 min é gasto R$ 1,00, e o pai dele gastou 10 min, 1,00.10= 10,00. Como o pai só tem 
moedas de 0,50 centavos, logo: 10,00:0,5 = 20 moedas. Podemos também pensar da seguinte maneira: 
Como 10,00 = 10 moedas e com moedas de 0,50 , precisamos de 2 moedas para fazer um total de 
1,00, logo precisaríamos do dobro de moedas para chegar a 10,00. 
 
02. Resposta: C. 
R$ 1,55 = 1 moeda de 1 real + 2 moedas de 25 centavos= 0,50 + 1 moeda de 0,05 centavos = 
1+0,50+0,05 = 1,55. 
 
03. Resposta: B. 
20 x 1,00 = 20,00 
11 x 0,50 = 5,50 
19 x 0,25 = 4,75 
15 x 0,10 = 1,50 
12 x 0,05 = 0,60 
 
 
 
133 
 
04. Resposta: A. 
3 x 1,00 = 3,00 – 2,50 da pipoca = 0,50. A única opção que tem o valor correto é a A, 2 moedas de 
0,25 = 0,50. 
 
05. Resposta: D. 
Vamos somar cada um valor das alternativas para acharmos a correta: 
Alternativa Moeda R$ 1,00 Moeda R$ 0,50 Moeda R$ 0,25 Total 
A 2 x 1 = 2,00 3 x 0,50 = 1,50 0 3,50 
B 1 x 1 = 1,00 3 x 0,50 = 1,50 4x 0,25 = 1,00 3,50 
C 2 x 1 = 2,00 2 x 0,50 = 1,00 3 x 0,25 = 0,75 3,75 
D 3 x 1 = 3,00 3 x 0,50 = 1,50 2 x 0,25 = 0,50 5,00 
 
06. Resposta: B. 
1
4
 . 20 = 5 (são de 1 real) 
 
4
8
 . 20 =
1
2
 . 20 = 10 (são de 50 centavos) 
 
Restantes são de 25 centavos: 20 – 5 – 10 = 5 
Assim, o total é: 5.1,00 + 10 . 0,50 + 5 . 0,25 
T = 5 + 5 + 1,25 = R$ 11,25 
 
07. Resposta: D. 
Vamos dividir a km total 473, pela quantidade de km percorridos por 1 litro de gasolina: 473/11 = 43 
litros serão gastos para percorrer essa km total. 
Se cada litro custa R$ 2,50 ➔ 43 x 2,50 = 107,50 reais serão gastos. 
 
08. Resposta: B. 
Crédito: 40+30+35+15=120 
Débito: 27+33+42+25=127 
120-127=-7 
Ele tem um débito de R$ 7,00. 
 
09. Resposta: B. 
2000-200=1800-35=1765 
O salário líquido de José é R$1765,00. 
 
 
 
Raciocínio lógico11 é um processo de estruturação do pensamento de acordo com as normas da 
lógica que permite chegar a uma determinada conclusão ou resolver um problema. É aquele que se 
desvincula das relações entre os objetos e procede da própria elaboração do indivíduo. Surge através da 
coordenação das relações previamente criadas entre os objetos. 
 
Um raciocínio lógico requer consciência e capacidade de organização do pensamento. É possível 
resolver problemas usando o raciocínio lógico. No entanto, ele não pode ser ensinado diretamente, mas 
pode ser desenvolvido através da resolução de exercícios lógicos que contribuem para a evolução de 
algumas habilidades mentais. 
 
Raciocínio lógico matemático ou quantitativo 
É o raciocínio usado para a resolução de alguns problemas e exercícios matemáticos. Esses exercícios 
são frequentemente usados no âmbito escolar, através de problemas matriciais, geométricos e 
aritméticos, para que os alunos desenvolvam determinadas aptidões. Este tipo de raciocínio é bastante 
usado em áreascomo a análise combinatória. 
 
11 http://conceito.de/raciocinio-logico 
Noções de Lógica. 
 
 
134 
 
Raciocínio analítico (crítico) ou Lógica informal 
É a capacidade de raciocinar rapidamente através da percepção. Em concursos exigem bastante 
senso crítico do candidato e capacidade de interpretação, portanto exigem mecanismos próprios para a 
resolução das questões. O raciocínio analítico nada mais é que a avaliação de situações através de 
interpretação lógica de textos. 
Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, 
mesmo os melhores terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos. Grande 
parte dos problemas de Raciocínio Lógico, como não poderia deixar de ser, serão do tipo “charada” ou 
“quebra-cabeças”. Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte. 
Portanto veremos alguns conceitos sobre lógica e, posteriormente, alguns testes para avaliação do 
aprendizado. No mais, já servindo como dica, raciocínio lógico deve ser estudado, principalmente, através 
da prática, ou seja, resolução de testes. Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina “Raciocínio 
Lógico”. Entretanto, ela está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. 
Portanto, mãos à obra. 
 
Tipos de raciocínio 
 
Raciocínio verbal - consiste na capacidade de apreensão e estruturação de elementos verbais, 
culminando na formação de significados e uma ordem e relação entre eles. 
 
Raciocínio espacial - remete para a aptidão para criar e manipular representações mentais visuais. 
Está relacionada com a capacidade de visualização e de raciocinar em três dimensões. 
 
Raciocínio abstrato - responsável pelo pensamento abstrato e a capacidade para determinar ligações 
abstratas entre conceitos através de ideias inovadoras. 
 
Conceitos Lógicos12 
 
Uma definição ampla e precisa da Lógica, ou da ciência da lógica, que englobe com rigor todo o seu 
domínio atual, não é uma tarefa fácil mesmo para o especialista nessa matéria, porém faremos com que 
possa ficar de uma maneira acessível o entendimento. 
Em uma primeira aproximação, a lógica pode ser entendida como a ciência que estuda os princípios e 
métodos que permitem estabelecer as condições de validade e invalidade dos argumentos. 
 
Pode-se pensar na lógica como o estudo da validade dos argumentos, focalizando a atenção não no 
conteúdo, mas sim na sua forma ou na sua estrutura. 
A lógica, também chamada de formal, simbólica ou ainda matemática, pode ser tratada, a grosso modo, 
mediante três concepções: 
 
1º Lógica como um sistema de regras; 
2º Lógica como um conjunto de leis; 
3º Lógica como estrutura linguística. 
 
Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionada a maneira específica de 
raciocinar de forma acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que 
envolvem questões matemáticas, as sequências de números, palavras, entre outros e de desenvolver 
essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
01- Um exemplo que roda pela internet e redes sociais, os quais são chamados de Desafios, os 
mesmos envolvem o “raciocínio” para chegarmos ao resultado: 
 
12 http://www.significados.com.br/raciocinio-logico 
 
135 
 
 
 
Solução: 4 em romanos é IV e 1 em inglês é ONE, logo juntando os dois temos: IVONE. 
 
02 - O Pedro, a Rita e o Rui têm alturas diferentes. 
 
 
Levando em consideração as medidas indicadas e escreva o nome das três crianças, do mais baixo 
para o mais alto. 
Solução: Neste caso teremos que fazer a diferença entre a altura maior e a do banco (menor). 
Mas antes vamos transformar, pois temos que as unidades de medidas são diferentes. Sabemos que 
1m = 100cm. Observe que o banco de Pedro é a soma do de Rita com o de Rui. 
Pedro = Rita + Rui → 90 = Rita + 35 → Rita = 90 – 35 → Rita = 55 cm 
 
Nome Altura(cm) Banco(cm) Altura real (cm) 
Pedro 226 90 136 
Rita 194 55 139 
Rui 173 35 138 
 
Logo a ordem do mais baixo para o mais alto é: Pedro, Rui e Rita. 
 
03 - Qual das seguintes palavras não se enquadra no grupo? 
(A) Faca 
(B) Cisne 
(C) Lápis 
(D) Bonito 
(E) Livro 
(F) Pluma 
 
Solução: Observe que todas as palavras, exceto uma, não é substantivo: Bonito, logo a palavra que 
não faz parte do grupo é a que está na alternativa D. 
 
Este é um assunto muito cobrado em concursos e exige que o candidato tenha domínio de habilidades 
e conteúdos matemáticos (aritméticos, algébricos e geométricos) para sua resolução. Para que se ganhe 
gradativamente essas habilidades e o domínio dos conteúdos. Vejamos algumas questões que abordam 
o assunto. 
 
136 
 
Questões 
 
01. (SESAU-RO – Enfermeiro – FUNRIO/2017) Cinco times de futebol (Ajax, Barça, Celtas, Dínamo 
e Espanhol) estão disputando um torneio. Não há outros times no torneio. No momento sabe-se, em 
relação às posições dessas equipes na tabela de classificação, que: 
- Dínamo está em terceiro. 
- Ajax está na frente do Celtas. 
- O último colocado é o Barça. 
- Espanhol está imediatamente atrás do Ajax. 
O time que está na primeira posição é o: 
(A) Ajax. 
(B) Barça. 
(C) Celtas 
(D) Dínamo. 
(E) Espanhol. 
 
02. (TRT/20ªREGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Marina, Kátia, Carolina e Joana se sentam em 
uma mesa hexagonal (seis assentos), conforme indica a figura abaixo. 
 
Sabe-se que Carolina se senta imediatamente à direita de Marina e em frente à Kátia; e que Joana 
não se senta em frente a um lugar vazio. Dessa forma, é correto afirmar que, necessariamente, 
(A) Kátia se senta imediatamente ao lado de dois lugares vazios. 
(B) Joana se senta imediatamente ao lado de Kátia. 
(C) Marina se senta em frente à Kátia. 
(D) Carolina se senta imediatamente ao lado de dois lugares vazios. 
(E) Carolina está tão distante de Kátia na mesa quanto está de Marina. 
 
03. (CODEBA – Técnico Portuário – FGV) As letras da sigla CODEBA foram embaralhadas e a nova 
sequência dessas mesmas letras possui as seguintes propriedades: 
• nenhuma das 6 letras ocupa a sua posição inicial. 
• as vogais aparecem juntas, na mesma ordem que estavam: O, E, A. 
• a 5ª letra não é D. 
• a letra B aparece antes da letra C. 
É correto concluir que, na nova sequência, 
(A) a 3ª letra é E. 
(B) a 5ª letra é A. 
(C) a 1ª letra é B. 
(D) a 4ª letra é C. 
(E) a 6ª letra é D. 
 
04. (SESAU-RO – Farmacêutico – FUNRIO/2017) A soma de 10 números é 400. Um desses números 
é o 44. Assim, avalie se as seguintes afirmativas são falsas (F) ou verdadeiras (V): 
 Ao menos um dos demais 9 números é menor do que 40. 
 Ao menos três números são menores ou iguais a 39. 
 Ao menos um dos números é menor do que 37. 
As afirmativas são respectivamente: 
(A) F, V e V. 
(B) V, F e V. 
(C) V, F e F. 
(D) F, V e F. 
(E) F, F e F. 
 
 
137 
 
05. (SESAU-RO – Técnico em Informática – FUNRIO/2017) Capitu é mais baixa que Marilu e é mais 
alta que Lulu. Lulu é mais alta que Babalu mas é mais baixa que Analu. Marilu é mais baixa que Analu. 
Assim, a mais alta das cinco é: 
(A) Analu. 
(B) Babalu. 
(C) Capitu. 
(D) Lulu. 
(E) Marilu. 
 
06. Um terreno retangular será cercado com arames e estacas. Quantas estacas serão necessárias 
se em cada lado terá de haver 20 delas? 
(A) 80 estacas. 
(B) 78 estacas. 
(C) 76 estacas. 
(D) 74 estacas. 
(E) 72 estacas. 
 
07. (Pref. Cuiabá/MT – Técnico em Administração Escolar – FGV) As pessoas A, B, C, D, E e F 
estão sentadas em volta da mesa circular mostrada a seguir. 
 
 
Sabe-se que: 
• A e B estão juntos. 
• E e F não estão juntos. 
• D está à direita de A, mas não está em frente de F. 
É correto afirmar que: 
(A) F está à esquerda de C. 
(B) B está em frente de E. 
(C) E está à direita de B. 
(D) B está à direita de A. 
(E) C está em frente de D. 
 
08. (Câmara de Aracruz/ES – Agente Administrativo e Legislativo – IDECAN) Analise a lógica 
envolvida nas figuras a seguir. 
 
A letra que substitui o sinal “?” é: 
(A) O. 
(B) R. 
(C) T.(D) W. 
 
09. (Pref. Barbacena/MG – Advogado – FCM) Maria tem três filhos, Bianca, Celi e João, e seis netos, 
Ana, André, Beth, Cláudia, Fernando e Paula. Sabe-se que: 
Bianca tem três filhos(as). 
Celi tem dois filhos(as). 
João tem um(a) filho(a). 
Cláudia não tem irmãos. 
Beth é irmã de Paula. 
 
138 
 
André não tem irmãs. 
Com essas informações, pode-se afirmar que Ana é 
(A) filha de Celi. 
(B) prima de Beth. 
(C) prima de Paula. 
(D) filha de Bianca. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
Analisando as alternativas: 
 
✓ Dínamo está em terceiro. 
Letra D fora 
 
✓ Ajax está na frente do Celtas. 
? 
 
✓ O último colocado é o Barça. 
Letra B fora 
 
✓ Espanhol está imediatamente atrás do Ajax. 
Letra E fora 
 
A essa altura ficamos entre a letra A e E. Só que como o Ajax está na frente do Celta, Ajax é o primeiro 
colocado. 
Letra A 
 
02. Resposta: B. 
De acordo com as informações presentes no enunciado temos: 
1º Carolina se senta imediatamente à direita de Marina. 
 1 2 
M 3 
 C 4 
2º e em frente à Kátia. 
 1 K 
M 3 
 C 4 
 
3º e que Joana não se senta em frente a um lugar vazio. Logo não poderá sentar em 1 e nem em 4, 
portanto sentará em 3. 
 1 K 
M J 
 C 4 
Letra B. 
 
03. Resposta: E. 
Pelo enunciado: 
Nenhuma das 6 letras ocupa a sua posição inicial. 
A 5ª letra não é D. 
 
As vogais aparecem juntas, na mesma ordem que estavam: O, E, A. 
O E A ___ ___ ___ ---> Ok. 
___ O E A ___ ___ ---> O ESTÁ OCUPANDO A MESMA POSIÇÃO, NÃO PODE. 
___ ___ O E A ___ ---> E ESTÁ OCUPANDO A MESMA POSIÇÃO, NÃO PODE. 
___ ___ ___ O E A ---> A ESTÁ OCUPANDO A MESMA POSIÇÃO, NÃO PODE. 
 
 
 
139 
 
A letra B aparece antes da letra C. 
O E A ___ ___ ___ 
D não pode ser a 5ª, então na quinta ficará B ou C, então teríamos B C D ou D B C, mas o B ocuparia 
a mesma posição nos deixando apenas a opção B C D. 
Alternativa E. 
 
04. Resposta: C 
 Se um dos números é 44, os outros nove somam 356. 
Dividindo 356 por 9, temos 39,555.... Logo, podemos ver que não importa quais são os números, um 
necessariamente será menor que 40. Por isso, a afirmativa I é Verdadeira. 
É possível que menos de 3 números seja menor maior que 39. Por exemplo, 100 + 100 + 100 + 40 + 
10 + 2 + 2 + 1 + 1 = 356. Logo, afirmativa II é Falsa. 
Como vimos, é possível que os 9 números restantes sejam iguais a 39,999... ou seja, afirmação III é 
Falsa. 
Gabarito: V, F e F. 
 
05. Resposta: A. 
Seja A= Analu, B= Babalu, C= Capitu, L= Lulu e M= Marilu. 
Pelo enunciado temos: 
M>L 
L>B 
A>L 
A>M. 
Portanto a maior de todas é A= Analu. 
 
06. Resposta: C. 
Se em cada lado deverá haver 20 estacas, nos quatro lados do terreno deverá ter 4x20 – 4 = 76 
estacas. 
Diminuímos 4 porque contando 20 em cada lado as que estão no canto (vértices) foram contadas duas 
vezes. 
 
07. Resposta: A. 
Interpretando o enunciado temos a seguinte disposição: 
 
Observe que A forma como ficaria correto a disposição dos dados seria essa acima, assim F está a 
esquerda de C. 
 
08. Resposta: C. 
Substituindo as letras pelas posições no alfabeto: 
C - 3º posição do alfabeto / E - 5º posição do alfabeto / H - 8ºposição do alfabeto 
L- 12º posição do alfabeto / G- 7º posição do alfabeto / S-19º posição do alfabeto 
I - 9º posição do alfabeto / K - 11º posição do alfabeto / Qual será a letra? 
 
Após a substituição observamos que a 1ª letra é a diferença das outras duas: 
 
C (3) E (5) H (8) 
L (12) G (7) S (19) 
 
I (9) K (11) ? 
 
8 – 5 = 3 
19 – 7 = 12 
? – 11 = 9 → ? = 9 + 11 → ? = 20 = T. 
 
140 
 
09. Resposta: D. 
Partindo das informações temos: 
 
Maria 
Filhos (3) Netos (6) 
Bianca (3 filhos(as)) 
Celi (2 filhos (as)) 
João (1 filho (a) 
 
Netos: André e Fernando (2) 
Netas: Ana, Beth, Claudia, Paula (4) 
- A resposta mais direta é a de Claudia que não tem irmãos, logo é filha única e só pode ser filha de 
João. 
- Depois temos que André não tem irmãs. Logo ele pode ter irmão, como só tem 2 meninos. André e 
Fernando são filhos de Celi. 
- Observe que sobrou Ana, Beth e Paula que só podem ser filhas de Bianca. 
Analisando as alternativas a única correta é a D. 
 
LÓGICA SEQUENCIAL OU SEQUÊNCIAS LÓGICAS 
 
Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este 
considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, 
resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos 
processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas. 
 
Sequências Lógicas 
As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas 
de se estabelecer uma sequência, o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize 
a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua 
lógica. 
 
Sequência de Números 
 
Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão. 
 
 
 
Série de Fibonacci: Cada termo é igual à soma dos dois anteriores. 
 
1 1 2 3 5 8 13 
 
Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 
 
2 3 5 7 11 13 17 
 
Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais. 
 
1 4 9 16 25 36 49 
 
141 
 
Sequência de Letras 
As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos 
escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para 
entender a lógica proposta. 
 
A C F J O U 
 
Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 
 
B1 2F H4 8L N16 32R T64 
 
Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 
1, 3, 1, 3 e 1 posições. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 
 
Sequência de Pessoas 
Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão 
em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º, ...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, 
ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º, ...). Sendo assim, a sequência se repete 
a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. 
 
 
 
Sequência de Figuras 
Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente 
sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. 
 
 
 
 
 
Sequência de Fibonacci 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
 
142 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementosda 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos: 
 
Exemplo 1 
 
 
 
143 
 
A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 
6 x 4 = 24 
24 x 4 = 96 
96 x 4 = 384 
384 x 4 = 1536 
 
Exemplo 2 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 
13 – 10 = 3 
17 – 13 = 4 
22 – 17 = 5 
28 – 22 = 6 
35 – 28 = 7 
 
Exemplo 3 
 
 
 
Multiplicar os números sempre por 3. 
1 x 3 = 3 
3 x 3 = 9 
9 x 3 = 27 
27 x 3 = 81 
81 x 3 = 243 
243 x 3 = 729 
729 x 3 = 2187 
 
Exemplo 4 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 
24 – 22 = 2 
28 – 24 = 4 
 
144 
 
34 – 28 = 6 
42 – 34 = 8 
52 – 42 = 10 
64 – 52 = 12 
78 – 64 = 14 
 
Questões 
 
01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte: 
 
 
 
A carta que está oculta é: 
 
 
02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério. 
 
 
Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 
15 deverá ser: 
(A) 69 
(B) 67 
(C) 65 
(D) 63 
(E) 61 
 
03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ... 
(A) 800 
(B) 790 
(C) 780 
(D) 770 
 
 
145 
 
04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a 
ausência de um deles que pode ser: 
 
(A) 76 
(B) 10 
(C) 20 
(D) 78 
 
05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados 
conforme indicado abaixo: 
 
Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? 
(A) 20 palitos 
(B) 25 palitos 
(C) 28 palitos 
(D) 22 palitos 
 
06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar 
o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja 
figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é: 
 
07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo. 
 
 
Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na: 
(A) 36ª figura 
(B) 48ª figura 
(C) 72ª figura 
(D) 80ª figura 
(E) 96ª figura 
 
08. Analise a sequência a seguir: 
 
 
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar 
que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é: 
 
146 
 
 
09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número? 
(A) 20 
(B) 21 
(C) 100 
(D) 200 
 
10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número? 
(A) 4 
(B) 20 
(C) 31 
(D) 21 
 
11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. 
 
LACRAÇÃO → cal 
AMOSTRA → soma 
LAVRAR → ? 
 
Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: 
(A) alar 
(B) rala 
(C) ralar 
(D) larva 
(E) arval 
 
12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão. 
 
 
 
Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é: 
 
13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de 
formação. 
 
 
Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a: 
(A) 40 
(B) 42 
 
147 
 
(C) 44 
(D) 46 
(E) 48 
 
14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado 
critério. 
 
 
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui 
corretamente o ponto de interrogação é: 
(A) P 
(B) O 
(C) N 
(D) M 
(E) L 
 
15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e 
positivos, sem que os algarismos sejam separados. 
 
1234567891011121314151617181920... 
 
O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é: 
(A) 9 
(B) 8 
(C) 6 
(D) 3 
(E) 1 
 
16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão. 
 
 
 
Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é: 
 
 
17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros 
triângulos obedecem a um mesmo critério. 
 
 
 
148 
 
Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto 
de interrogação é: 
(A) 32 
(B) 36 
(C) 38 
(D) 42 
(E) 46 
 
18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108, ... O número que 
preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é: 
(A) 36, 
(B) 40, 
(C) 42, 
(D) 44, 
(E) 48 
 
19. Observando a sequência (1, 
1
2
 , 
1
6
 , 
1
12
 , 
1
20
 , ...) o próximo número será: 
(A) 
1
24
 
 
(B) 
1
30
 
 
(C) 
1
36
 
 
(D) 
1
40
 
 
20. Considere a sequência abaixo: 
 
BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXB BXX 
 
O padrão que completa a sequência é: 
 
(A) (B) (C) 
XXX XXB XXX 
XXX XBX XXX 
XXX BXX XXB 
 
(D) (E) 
XXX XXX 
XBX XBX 
XXX BXX 
 
21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos 
precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série 
é: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte 
modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o 
“B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim 
por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li: 
 
149 
 
(A) FAZ AS DUAS; 
(B) DIA DO LOBO; 
(C) RIO ME QUER; 
(D) VIM DA LOJA; 
(E) VOU DE AZUL. 
 
23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por: 
(A) 326187; 
(B) 876132; 
(C) 286731; 
(D) 827361; 
(E) 218763. 
 
24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo 
seguinte número: 
(A) 53452; 
(B) 23455; 
(C) 34552; 
(D) 43525; 
(E) 53542. 
 
25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números 
de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um 
número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns 
números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse 
número tem em comum com o número procurado. 
 
Número 
dado 
Quantidade de 
números de 2 
algarismos em comum 
48.765 1 
86.547 0 
87.465 2 
48.675 1 
 
O número procurado é: 
(A) 87456 
(B) 68745 
(C) 56874 
(D) 58746 
(E) 46875 
 
26. Considere que os símbolos e  que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações 
que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra 
na coluna da extrema direita. 
36  4  5 = 14 
48  6  9 = 17 
54  9  7 = ? 
 
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número: 
(A) 16 
(B) 15 
(C) 14 
(D) 13 
(E) 12 
 
 
150 
 
27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto 
de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto 
usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá 
anteceder o número 12 é: 
(A) J 
(B) L 
(C) M 
(D) N 
(E) O 
 
28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da 
tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal 
sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal. 
 
 
 
 
 
 
Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente 
aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que 
correspondem às letras que compõem o nome do animal é: 
(A) 37 
(B) 39 
(C) 45 
(D) 49 
(E) 51 
 
Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A 
mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, 
ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética 
adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y. 
 
29. CASA: LATA: LOBO:? 
(A) SOCO 
(B) TOCO 
(C) TOMO 
(D) VOLO 
(E) VOTO 
 
30. ABCA: DEFD: HIJH:? 
(A) IJLI 
(B) JLMJ 
(C) LMNL 
(D) FGHF 
(E) EFGE 
 
31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12, 
13, ...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: 
(A) Menor que 200. 
(B) Compreendido entre 200 e 400. 
(C) Compreendido entre 500 e 700. 
(D) Compreendido entre 700 e 1.000. 
(E) Maior que 1.000. 
 
Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois 
primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo 
determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser 
colocada no lugar do ponto de interrogação. 
 
151 
 
32. Ardoroso → rodo 
 Dinamizar → mina 
 Maratona → ? 
(A) mana 
(B) toma 
(C) tona 
(D) tora 
(E) rato 
 
33. Arborizado → azar 
Asteroide → dias 
Articular → ? 
(A) luar 
(B) arar 
(C) lira 
(D) luta 
(E) rara 
 
34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2, 
__, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __... 
 
35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de 
lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 
metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço? 
 
36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 
 
37. Quantos quadrados existem na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados. 
 
 
 
39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
152 
 
40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais. 
 
 
 
41. Observe as multiplicações a seguir: 
12.345.679 × 18 = 222.222.222 
12.345.679 × 27 = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × 54 = 666.666.666 
 
Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto? 
 
42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de 
frente para a estrada asfaltada. 
 
 
 
43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados. 
 
 
 
44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta 
que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1? 
 
 
 
45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito. 
 
 
 
153 
 
46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência 
abaixo? 
 
 
 
47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos. 
 
 
 
48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas. 
 
 
 
49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados. 
 
 
 
50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos. 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor 
da 3ª carta e, além disso, o naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser 
a da opção (A). 
 
02. Resposta: D. 
Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 01 ponto de cada lado → 02 pontos no total. 
Na figura 2: 02 pontos de cada lado → 04 pontos no total. 
Na figura 3: 03 pontos de cada lado → 06 pontos no total. 
Na figura 4: 04 pontos de cada lado → 08 pontos no total. 
Na figura n: n pontos de cada lado → 2.n pontos no total. 
 
154 
 
Em particular: 
Na figura 15: 15 pontos de cada lado → 30 pontos no total. 
 
Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo → 04 pontos no total. 
Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo → 06 pontos no total. 
Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo → 08 pontos no total. 
Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo → 10 pontos no total. 
Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo → 2.(n+1) pontos no total. 
 
Em particular: 
Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo → 32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não 
foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos. 
 
03. Resposta: B. 
Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o 
970 e 940 é 30, entre 940 e 900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, 
dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60. 
 
04. Resposta: D. 
Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e 
28 é 6, entre 42 e 34 é 8, entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 
14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14. 
 
05. Resposta: D. 
Observe a tabela: 
Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 
N° de 
Palitos 
4 7 10 13 16 19 22 
 
Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto, 
basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior 
acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade 
de palitos da 7ª figura. 
 
06. Resposta: A. 
Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do 
lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria 
em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta 
ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta 
ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a 
planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado. 
 
07. Resposta: B. 
Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 
16: 3. 16 = 48. Portanto, na 48ª figura existirão 16 círculos. 
 
08. Resposta: B. 
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequênciade 5 em 5 
elementos. A figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 
5n + 2, com n ∈ N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”. 
 
09. Resposta: D. 
A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que 
inicia cada número. “Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só 
pode iniciar também com “D”: Duzentos. 
 
 
 
 
155 
 
10. Resposta: C. 
Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta, ... O próximo só pode ser o 
número Trinta e um, pois ele inicia com a letra “T”. 
 
11. Resposta: E. 
Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem 
invertida. Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 
primeiras letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem 
invertida, obtém-se ARVAL. 
 
12. Resposta: C. 
Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já 
há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. 
As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as 
mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou 
abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que 
está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça 
quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda. 
 
13. Resposta: A. 
Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na 
parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 
10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. 
Logo, X + Y = 10 + 30 = 40. 
 
14. Resposta: A. 
A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita 
para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª 
linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra 
que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”. 
 
15. Resposta: B. 
A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém 
todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os 
números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o 
número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 
algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, 
tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição 
é o número 8, que aparece no número 128. 
 
16. Resposta: D. 
Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo 
e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de 
cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, 
mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em 
baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não 
terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª. 
 
17. Resposta: B. 
No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual 
à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 : 5 = 21 - 
13 = 8. 
A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6. 
Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo: 
? ÷ 3 = 19 – 7 
? ÷ 3 = 12 
? = 12 x 3 = 36. 
 
156 
 
18. Resposta: E. 
Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75, 
108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 
= 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48. 
 
19. Resposta: B. 
Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência: 
 
Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto 
1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 
 
20. Resposta: D. 
O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos: 
 
BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXB BXX 
7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X 
 
Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem 
também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma 
forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é: 
 
XXX 
XBX 
XXX 
1B e 8X 
 
21. Resposta: D. 
Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a 
alternativa “D”, pois como a questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois 
termos precedentes. 2 + 3 = 5 
 
22. Resposta: E. 
A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra 
que ocupa a quarta posição, além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” 
vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever 
a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o 
receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, 
nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. 
Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de 
modo que: 
VxzaB: B na verdade é V; 
OpqrS: S na verdade é O; 
UvxzA: A na verdade é U; 
DefgH: H na verdade é D; 
EfghI: I na verdade é E; 
AbcdE: E na verdade é A; 
ZabcD: D na verdade é Z; 
UvxaA: A na verdade é U; 
LmnoP: P na verdade é L; 
 
23. Resposta: B. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência 
numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. 
Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as 
letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira 
 
157 
 
palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência 
numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta. 
 
24. Resposta: A. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de 
maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas 
palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete 
na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás 
para frente, de maneira queSALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida 
temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta. 
 
25. Resposta: E. 
Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número 
48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. 
Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas 
alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado. 
 
26. Resposta: D. 
O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem-
se: 36  4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2ª linha, tem-se: 48  6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 
54  9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número 13. 
 
27. Resposta: A. 
As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a 
sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a 
sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J. 
 
28. Resposta: D. 
Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte 
ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela: 
 
P E R U 
M A R A 
T A T U 
U R S O 
 
O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. 
Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49. 
 
29. Resposta: B. 
Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de 
letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra 
do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é 
a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 
letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª 
sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência 
é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO. 
 
30. Resposta: C. 
Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª 
letra da sequência. Na 2ª sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, 
voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras 
HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, 
continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL. 
 
 
 
158 
 
31. Resposta: E. 
Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu 
a multiplicação do termo anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º 
termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º 
termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da 
sequência é um número maior que 1.000. 
 
32. Resposta: D. 
Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra 
“rodo”. Da mesma forma, da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra 
“mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”, 
criando-se a palavra “tora”. 
 
33. Resposta: A. 
Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem 
invertida. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida 
da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e 
“s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando 
as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”. 
 
34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois 
números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... 
 
35. 
Dia Subida Descida 
1º 2m 1m 
2º 3m 2m 
3º 4m 3m 
4º 5m 4m 
5º 6m 5m 
6º 7m 6m 
7º 8m 7m 
8º 9m 8m 
9º 10m ---- 
 
Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço. 
 
36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. 
Portanto, são necessários 20 algarismos. 
 
37. 
 
Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados. 
 
159 
 
38. 
 
 
39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88. 
 
40. 
 
 
41. 
12.345.679 × (2×9) = 222.222.222 
12.345.679 × (3×9) = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × (6×9) = 666.666.666 
Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81 
 
42. 
 
 
 
43. 
 
 
44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus 
sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas. 
 
45. 
 
 
 
160 
 
46. Observe que: 
 
 
Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960 
 
47. 
 
 
48. 
 
 
 
49. 
 
 
50. 
 
 
 
 
Sistema de Medidas Decimais: Área, volume, comprimento, capacidade, massa 
 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
Sistema de Medidas: comprimento, superfície, volume, massa, capacidade e 
tempo. 
 
 
161 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 ha. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos 
as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
 
 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3 e 1m³ = 1000l. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
 
 
O sistema métricodecimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
 
162 
 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
 
Questões 
 
 
01. (SESAP-RN – Administrador – COMPERVE/2018) Uma criança desenvolveu uma infecção cujo 
tratamento deve ser feito com antibióticos. O antibiótico utilizado no tratamento tem recomendação diária 
de 1,5 mg por um quilograma de massa corpórea, devendo ser administrado três vezes ao dia, em doses 
iguais. Se a criança tem massa equivalente a 12 kg, cada dose administrada deve ser de 
(A) 7,5 mg. 
(B) 9,0 mg. 
(C) 4,5 mg. 
(D) 6,0 mg. 
 
02. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra 
preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra 
passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na 
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
03. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no 
início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
 
163 
 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
04. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 
4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um 
país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para 
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais 
próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
 
05. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será 
totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma 
perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 
30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas 
peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
07. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Um veículo tem capacidade para 
transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
 
08. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Observe que 1,5mg é a dose diária para cada quilograma da criança, como ele é aplicado 3x ao dia, 
teremos 0,5mg por aplicação, a criança possui 12kg, assim a quantidade de remédio por aplicação será 
de: 
 
164 
 
0,5 . 12 = 6,0mg 
 
02. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
03. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
 
04. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
05. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
06. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
07. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg ➔ 2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
08. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
SISTEMA DE MEDIDAS NÃO DECIMAIS (TEMPO) 
 
Antigamente, para saber o melhor momento de caçar e plantar, entre outras atividades, as civilizações 
observavam a natureza, ou seja, utilizavam-se de fenômenos naturais periódicos. 
A unidade básica para a contagem do tempo é o dia, que corresponde ao período de tempo entre dois 
eventos equivalentes sucessivos: por exemplo, o intervalo de tempo entre duas ocorrências do nascer do 
Sol, que corresponde, em média (dia solar médio), a 24 horas. 
 
165 
 
O ano solar é o período de tempo decorrido para completar um ciclo de estações (primavera, verão, 
outono e inverno). O ano solar médio tem a duração de aproximadamente 365 dias, 5 horas, 48 minutos 
e 47 segundos (365,2422 dias). Também é conhecido como ano trópico. A cada quatro anos, as horas 
extras acumuladas são reunidas no dia 29 de fevereiro, formando o ano bissexto, ou seja, o ano com 366 
dias. 
Temos uma maneira prática de verificar se um ano é bissexto: 
- Se o número que indica o ano é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for divisível 
por 400. 
- Se o número que indica o ano não é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for divisível 
por 4. 
Exemplo: 
O ano de 2000, por exemplo, foi bissexto porque 2000 termina em 00 e é divisível por 400. 
 
Os calendários antigos baseavam-se em meses lunares (calendários lunares) ou no ano solar 
(calendário solar) para contagem do tempo. Eles ainda podem definir outras unidades de tempo, como a 
semana, para o propósito de planejar atividades regulares que não se encaixam facilmente com meses 
ou anos. 
O Ano é dividido em 12 meses, os meses, em semanas, e cada semana, em 7 dias. 
O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o de 3 meses a um trimestre e o de 6 meses, a um 
semestre. 
Concluindo: 
- 1 ano tem 365 a 366(bissexto) dias; 
- 1 ano está dividido em 12 meses; 
- 1 mês tem de 30 a 31 dias; 
- 1 dia tem 24 horas 
 
Para medirmos o tempo durante o dia, utilizamos o relógio, que pode ser de ponteiros ou digital. 
 
 
Em geral, os relógios marcam as HORAS, os MINUTOS e os SEGUNDOS. 
- 1 dia tem 24 horas. 
- 1 hora tem 60 minutos. 
- 1 minuto tem 60 segundos. 
 
Observe-se que não écorreto escrever 3,20 horas como forma de representar 3h20min, pois o sistema 
de medida de tempo não é decimal. O 0,20h representa 12 minutos, pois 0,20.60 min = 12, logo 3,20h = 
3horas 12 minutos. 
 
- Adição e Subtração de Medida de tempo 
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos 
os exemplos: 
 
A) 1 h 50 min + 30 min 
 
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, 
temos, então acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos: 
 
 
166 
 
 
 
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. 
 
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min 
 
 
 
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) dos 2 para 
a coluna minutos. 
 
 
Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80: 
 
 
Logo o valor encontrado é de 50 min. 
 
Questões 
 
01. (SESAP – RN – Técnico em Enfermagem – COMPERVE/2018) Uma profissional de enfermagem 
deve administrar 250 ml de soro fisiológico em um paciente durante 90 minutos. Para obter a vazão 
correta do soro em gotas por minuto, ela deverá utilizar a fórmula de gotejamento, dividindo o volume do 
soro em mililitros pelo triplo do tempo em horas. De acordo com essa fórmula, a quantidade de gotas por 
minuto dever ser de, aproximadamente, 
(A) 28. 
(B) 42. 
(C) 56. 
(D) 70. 
 
02. (Pref. Camaçari/BA – Téc. Vigilância Em Saúde NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 minutos 
para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a mesma prova. 
Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? 
(A) 67 minutos. 
(B) 75 minutos. 
(C) 88 minutos. 
 
167 
 
(D) 91 minutos. 
(E) 94 minutos. 
 
03. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, 
aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática. 
 
 
O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou. 
 
 
 
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi 
(A) 4h e 48min. 
(B) 5h e 12min. 
(C) 5h e 28min. 
(D) 5h e 42min. 
(E) 6h e 08min. 
 
04. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um 
pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de secagem 
rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar a 
aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser 
aplicada a partir das 15h 40min.” 
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís 
iniciou o serviço? 
(A) 12h 25 min 
(B) 12h 35 min 
(C) 12h 45 min 
(D) 13h 15 min 
(E) 13h 25 min 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
Para resolver esta questão temos que estar atentos ao enunciado, pois é dividir a quantidade em ml 
pelo tempo em horas, então 90min = 1,5hora. 
Logo, 250 : 4,5 = 55,555... que é aproximadamente 56. 
 
02. Resposta: C. 
 
Como 1h tem 60 minutos. 
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 
 
168 
 
03. Resposta: D. 
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 = 
 = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min 
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 
 
04. Resposta: B. 
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min 
 
 
 
Introdução 
Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. 
Desde a Antiguidade muitos povos já faziam uso dos recursos da Estatística, através de registro de 
número de óbitos, nascimentos, número de habitantes, além das estimativas das riquezas individuais e 
sociais, entre muitas outras. 
Na Idade Média as informações colhidas tinham como finalidade tributária e bélica. 
Somente a partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos sociais, 
originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos. 
No século XVII o estudo de tais fatos foi adquirido, aos poucos, feição verdadeiramente científica. 
Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, determinando o seu 
objetivo e suas relações com as ciências. 
A estatística não se limita somente a compilar tabelas de dados e os ilustrar graficamente. Ela é, hoje 
em dia, um instrumento útil e, em alguns casos, indispensável para tomadas de decisão em diversos 
campos: científico, econômico, social, político…. 
Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para tomadas de decisão, há que proceder a 
um indispensável trabalho de recolha e organização de dados, sendo a recolha feita através de 
recenseamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou sondagens. 
Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. No nosso cotidiano, 
precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas. 
Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão através 
da análise dos dados que possuímos. 
Podemos ainda dizer que a Estatística é: 
 
É a ciência que se ocupa de coletar, organizar, analisar e interpretar dados para que se tomem 
decisões. 
 
 
Em resumo: 
 
A ESTATÍSTICA é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, 
organização, análise e interpretação de dados e para utilização dos mesmos na tomada de 
decisões. 
 
Divisão da estatística 
- Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados. Ela preocupa-se com a forma 
pela qual podemos apresentar um conjunto de dados em tabelas e gráficos, e também resumir as 
informações contidas nestes dados mediante a utilização de medidas estatísticas. 
 
- Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e a interpretação desses dados. A inferência estatística 
baseia-se na teoria das probabilidades para estabelecer conclusões sobre todo um grupo (chamado 
população), quando se observou apenas uma parte (amostra) representativa desta população. 
Fundamentos de Estatísticas 
 
 
169 
 
Método Estatístico 
Atualmente quase todo acréscimo de conhecimento resulta da observação e do estudo. A verdade é 
que desenvolvemos processos científicos para seu estudo e para adquirirmos tais conhecimentos, ou 
seja desenvolvemos maneiras ou métodos para tais fins. 
 
Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. 
Podemos destacar dois métodos: 
- Método experimental: consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e 
variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. Muito utilizado 
no estudo da Física, da Química etc 
 
- Método estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas 
causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, 
que influências cabem a cada uma delas. 
 
Fases do método estatístico 
- Coleta de dados: após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características 
mensuráveis do fenômeno que se quer pesquisar, damos início à coleta de dados numéricos necessários 
à sua descrição. 
 
A coleta pode ser: 
Direta: quando é feita sobre elementos 
informativos de registro obrigatório (nascimento, 
casamentos e óbitos, importação e exportação de 
mercadorias), dados coletados pelo próprio 
pesquisador através de inquéritos e questionários, 
como por exemplo o censo demográfico. A coleta 
direta de dados pode ser classificada em fator do 
tempo: 
(i) contínua (registro) – quando feita 
continuamente. 
(ii) periódica – quando feita em intervalos 
constantes de tempo (exemplo o censo de 10 em 10 
anos, etc) 
(iii) ocasional – quando feita extemporaneamente, 
a fim de atender uma conjuntura ou a uma 
emergência (caso de epidemias) 
 
Indireta: quando é indeferida de elementos 
conhecidos (coleta direta) e/ou de 
conhecimento de outros fenômenos 
relacionados com o fenômeno estudado. 
Exemplo: pesquisas de mortalidade infantil, 
que é feita através de dadoscolhidos por uma 
coleta direta (número de nascimentos versus 
números de obtidos de crianças) 
 
- Crítica dos dados: depois de obtidos os dados, os mesmos devem ser cuidadosamente criticados, 
à procura de possível falhas e imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo 
vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados. 
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má 
interpretação das perguntas que lhe foram feitas. 
A crítica é interna quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta. 
 
- Apuração dos dados: soma e processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios 
de classificação, que pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. 
 
- Exposição ou apresentação de dados: os dados devem ser apresentados sob forma adequada 
(tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico. 
 
- Análise dos resultados: realizadas anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos 
resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por base a indução 
ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões. 
 
Mais alguns conceitos devem ser aprendidos para darmos continuidade ao nosso entendimento sobre 
Estatística. 
 
 
170 
 
- Variáveis: conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
As variáveis podem ser: 
1) Qualitativas – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino), cor 
da pele, entre outros. Dizemos que estamos qualificando. 
2) Quantitativas – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos 
alunos, etc). Uma variável quantitativa que pode assumir qualquer valor entre dois limites recebe o nome 
de variável contínua; e uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto 
enumerável recebe o nome de variável discreta. 
 
- População estatística ou universo estatístico: conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma 
característica comum. 
Exemplos: estudantes (os que estudam), concurseiros (os que prestam concursos), ... 
Podemos ainda pesquisar uma ou mais características dos elementos de alguma população, as quais 
devem ser perfeitamente definidas. É necessário existir um critério de constituição da população, válido 
para qualquer pessoa, no tempo ou no espaço. 
 
- Amostra: é um subconjunto finito de uma população. 
 
 
 
A Estatística Indutiva tem por objetivo tirar conclusões sobre as populações, com base em resultados 
verificados em amostras retiradas dessa população. É preciso garantir que a amostra possua as mesmas 
características da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar. 
 
Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população. 
Principais propriedades: 
- Admite erros processual zero e tem 100% de confiabilidade; 
- É caro; 
- É lento; 
- É quase sempre desatualizado (visto que se realizam em períodos de anos 10 em 10 anos); 
- Nem sempre é viável. 
 
Estimação: é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base em um estimador através do cálculo 
de probabilidades. 
Principais da Estimação: 
- Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que 100%. 
- É barata. 
- É rápida. 
- É atualizada. 
- É sempre viável. 
 
Dados brutos: quando observamos ou fazemos n perguntas as quais nos dão n dados ou respostas, 
obtemos uma sequência de n valores numéricos. A toda sequência denominamos dados brutos. 
 
Dados brutos é uma sequência de valores numéricos não organizados, obtidos diretamente da 
observação de um fenômeno coletivo. 
Rol: é uma sequência ordenada dos dados brutos. 
Exemplo: Um aluno obteve as seguintes notas no ano letivo em Matemática: 5,5 ; 7 ; 6,5 ; 9 
Os dados brutos é a sequência descrita acima 
Rol: 5,5 – 6,5 – 7 – 9 (ordenação crescente das notas). 
 
 
171 
 
Referências 
CRESPO, Antônio Arnot – Estatística fácil – 18ª edição – São Paulo - Editora Saraiva: 2002 
SILVA, Ermes Medeiros, Elio Medeiros...- Estatística para os cursos de: Economia, Administração, Ciências Contábeis - 3ª edição – São Paulo – Editora Atlas 
S. A: 1999 
TAVARES, Prof. Marcelo – Estatística Aplicada à Administração – Sistema Universidade Aberta do Brasil- 2007 
Reis, Marcelo Menezes - Estatística aplicada à administração / Marcelo Menezes Reis. –Florianópolis: Departamento de Ciências da Administração /UFSC, 
2008. 
Questões 
 
01. (Câmara Munic. Itatiba/SP – Analista de Recursos Humanos – VUNESP) Em estatística, a 
técnica que nos permite fazer inferências sobre uma população, a partir da análise de uma parte dela, 
denomina-se 
(A) dedução. 
(B) amostragem. 
(C) probabilidade. 
(D) descrição. 
(E) extração. 
 
02. (EBSERH – Analista Administrativo – Estatística (HE-UFSCAR) – INSTITUTO AOCP) Que 
parte da estatística se preocupa apenas em descrever determinada característica da população? 
(A) Regressão estatística. 
(B) Estatística contínua. 
(C) Estatística descritiva. 
(D) Estatística amostral. 
(E) Estatística inferencial. 
 
03. (EBSERH – Médico do Trabalho – IADES) “Costuma ser encontrada com maior frequência em 
jornais, revistas ou relatórios. Essa parte da estatística utiliza números para descrever fatos. Seu foco é 
a representação gráfica e o resumo e organização de um conjunto de dados, com a finalidade de 
simplificar informações.” O texto faz referência à: 
(A) Estatística inferencial 
(B) Estatística de probabilidade 
(C) Estatística por amostragem 
(D) Estatística descritiva 
(E) Média aritmética 
 
04. (ANS – Ativ. Téc. de Complexidade Intelectual - Administração – FUNCAB) A estatística 
descritiva: 
(A) permite descrever os fenômenos aleatórios, ou seja, aqueles em que está presente a incerteza; 
estuda as técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, das informações e 
conclusões obtidas a partir da amostra. 
(B) é um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e 
interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento. 
(C) é a etapa inicial da análise, utilizada para descrever e resumir os dados, que foi revigorada pela 
disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes. 
(D) é a etapa conclusiva da análise, utilizada para descrever e resumir os dados e permite descrever 
os fenômenos aleatórios ou seja, aqueles em que está presente a incerteza. 
(E) é a etapa inicial da análise, utilizada para descrever e resumir dados; estuda as técnicas que 
possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, das informações e conclusões obtidas a 
partir da amostra. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
 
02. Resposta: C. 
 
03. Resposta: D. 
 
04. Resposta: C. 
 
 
172 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
 
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os 
elementos de A. 
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o 
resultado da operação citada seja o mesmo diz – se, por definição, que x será a média dos elementos de 
A relativa a essa operação. 
 
Média Aritmética Simples13 
 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética. 
 
Cálculo da média aritmética 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por 
definição: 
 
 
A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus 
elementos, dividida pelo número de elementos n. 
Exemplos: 
1) Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13. 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 
elementos, dividida por 5. Assim: 
 
𝑥 = 
3 + 4 + 6 + 9 + 13
5
↔ 𝑥 = 
35
5
↔ 𝑥 = 7 
 
A média aritmética é 7. 
 
2) Os gastos (em reais) de 15 turistas em Porto Seguroestão indicados a seguir: 
65 – 80 – 45 – 40 – 65 – 80 – 85 – 90 
75 – 75 – 70 – 75 – 75 – 90 – 65 
 
Se somarmos todos os valores teremos: 
 
𝑥 =
65 + 80 + 45 + 40 + 65+, , , +90 + 65
15
=
1075
15
= 71,70 
 
Assim podemos concluir que o gasto médio do grupo de turistas foi de R$ 71,70. 
 
Questões 
 
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) Na festa de seu aniversário em 2014, todos os sete filhos de João estavam 
presentes. A idade de João nessa ocasião representava 2 vezes a média aritmética da idade de seus 
filhos, e a razão entre a soma das idades deles e a idade de João valia 
(A) 1,5. 
(B) 2,0. 
(C) 2,5. 
(D) 3,0. 
(E) 3,5. 
 
02. (TJ/SC - Técnico Judiciário - Auxiliar TJ-SC) Os censos populacionais produzem informações 
que permitem conhecer a distribuição territorial e as principais características das pessoas e dos 
domicílios, acompanhar sua evolução ao longo do tempo, e planejar adequadamente o uso sustentável 
 
13IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
 
173 
 
dos recursos, sendo imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de decisões de 
investimento. Constituem a única fonte de referência sobre a situação de vida da população nos 
municípios e em seus recortes internos – distritos, bairros e localidades, rurais ou urbanos – cujas 
realidades socioeconômicas dependem dos resultados censitários para serem conhecidas. 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.shtm 
(Acesso dia 29/08/2011) 
Um dos resultados possíveis de se conhecer, é a distribuição entre homens e mulheres no território 
brasileiro. A seguir parte da pirâmide etária da população brasileira disponibilizada pelo IBGE. 
 
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php 
(Acesso dia 29/08/2011) 
O quadro abaixo, mostra a distribuição da quantidade de homens e mulheres, por faixa etária de uma 
determinada cidade. (Dados aproximados) 
Considerando somente a população masculina dos 20 aos 44 anos e com base no quadro abaixo a 
frequência relativa, dos homens, da classe [30, 34] é: 
 
 
(A) 64%. 
(B) 35%. 
(C) 25%. 
(D) 29%. 
(E) 30%. 
 
03. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais - Todas as Áreas – EB) Em uma turma a média 
aritmética das notas é 7,5. Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos 
homens é 6. Se o número de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o número total 
de alunos da turma é 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 12. 
(D) 16. 
(E) 20. 
 
04. (SAP/SP - Oficial Administrativo – VUNESP) A altura média, em metros, dos cinco ocupantes de 
um carro era y. Quando dois deles, cujas alturas somavam 3,45 m, saíram do carro, a altura média dos 
que permaneceram passou a ser 1,8 m que, em relação à média original y, é 
(A) 3 cm maior. 
(B) 2 cm maior. 
(C) igual. 
(D) 2 cm menor. 
(E) 3 cm menor. 
 
05. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma empresa com 5 funcionários, a soma dos 
dois menores salários é R$ 4.000,00, e a soma dos três maiores salários é R$ 12.000,00. Excluindo-se o 
menor e o maior desses cinco salários, a média dos 3 restantes é R$ 3.000,00, podendo-se concluir que 
a média aritmética entre o menor e o maior desses salários é igual a 
 
174 
 
(A) R$ 3.500,00. 
(B) R$ 3.400,00. 
(C) R$ 3.050,00. 
(D) R$ 2.800,00. 
(E) R$ 2.500,00. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E. 
Foi dado que: J = 2.M 
 
𝐽 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
7
= 2. 𝑀 ( I ) 
 
Foi pedido: 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
= ? 
 
Na equação ( I ), temos que: 
 
7 = 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝐽
 
 
7
2
= 
𝑎+𝑏+⋯+𝑔
𝑀
 
 
𝑎 + 𝑏 + ⋯ + 𝑔
𝑀
= 3,5 
 
02. Alternativa: E. 
 [30, 34] = 600, somatória de todos os homens é: 300+400+600+500+200= 2000 
 
600
300+400+600+500+200
=
600
2000
= 0,3 . (100) = 30% 
 
03. Alternativa: D. 
Do enunciado temos m = h + 8 (sendo m = mulheres e h = homens). 
 
A média da turma é 7,5, sendo S a soma das notas: 
𝑆
𝑚+ℎ
= 7,5 → 𝑆 = 7,5(𝑚 + ℎ) 
 
A média das mulheres é 8, sendo S1 a soma das notas: 
𝑆1
𝑚
= 8 → 𝑆1 = 8𝑚 
 
A média dos homens é 6, sendo S2 a soma das notas: 
𝑆2
ℎ
= 6 → 𝑆2 = 6ℎ 
 
Somando as notas dos homens e das mulheres: 
S1 + S2 = S 
8m + 6h = 7,5(m + h) 
8m + 6h = 7,5m + 7,5h 
8m – 7,5m = 7,5h – 6h 
0,5m =1,5h 
𝑚 =
1,5ℎ
0,5
 
𝑚 = 3ℎ 
h + 8 = 3h 
8 = 3h – h 
8 = 2h → h = 4 
m = 4 + 8 = 12 
Total de alunos = 12 + 4 = 16 
 
 
 
 
175 
 
04. Alternativa: A. 
Sendo S a soma das alturas e y a média, temos: 
 
𝑆
5
= 𝑦 → S = 5y 
 
𝑆−3,45
3
= 1,8 → S – 3,45 = 1,8.3 
S – 3,45 = 5,4 
S = 5,4 + 3,45 
S = 8,85, então: 
5y = 8,85 
y = 8,85 : 5 = 1,77 
1,80 – 1,77 = 0,03 m = 3 cm a mais. 
 
05. Alternativa: A. 
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 
x1 + x2 = 4000 
x3 + x4 + x5 = 12000 
 
 
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4
3
= 3000 
 
x2 + x3 + x4 = 9000 
 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 4000 + 12000 = 16000 
 
Sendo 𝑥1 𝑒 𝑥5 o menor e o maior salário, respectivamente: 
 𝑥1 + 9000 + 𝑥5 = 16000 
 
 𝑥1 + 𝑥5 = 16000 − 9000 = 7000 
 
Então, a média aritmética: 
𝑥1 + 𝑥2
2
=
7000
2
= 3500 
 
Média Aritmética Ponderada 
 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um 
“determinado peso” é chamada média aritmética ponderada14. 
 
Cálculo da média aritmética ponderada 
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com 
“pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição: 
 
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn ↔ (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x = 
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto, 
 
 
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então 𝑥 =
𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; …; 𝑥𝑛
𝑛
: que é a média aritmética simples. 
 
A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos de 
cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos. 
 
 
 
 
14IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
 
176 
 
Exemplos: 
1) Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, 
respectivamente. 
 
Se x for a média aritmética ponderada, então: 
 
𝑥 = 
2 .35 + 3 .20 + 5 .10
2 + 3 + 5
↔ 𝑥 = 
70 + 60 + 50
10
 ↔ 𝑥 = 
180
10
 ↔ 𝑥 = 18 
 
A média aritmética ponderada é 18. 
 
2) Em um dia de pesca nos rios do pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes 
capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado em Campo Grande. 
 
Tipo de peixe Quilo de peixe pescado Preço por quilo 
Peixe A 18 R$ 3,00 
Peixe B 10 R$ 5,00 
Peixe C 6 R$ 9,00 
 
Vamos determinar o preço médio do quilograma do peixe vendido pelos pescadores ao supermercado. 
Considerando que a variável em estudo é o preço do quilo do peixe e fazendo a leitura da tabela, 
concluímos que foram pescados 18 kg de peixe ao valor unitário de R$ 3,00, 10 kg de peixe ao valor 
unitário de R$ 5,00 e 6 kg de peixe ao valor de R$ 9,00. 
Vamos chamar o preço médio de p: 
 
𝑝 =
18𝑥3,00 + 10𝑥5,00 + 6𝑥9,00
18 + 10 + 6
=
54 + 50 + 54
34
=
158
34
= 4,65 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
Neste caso o fator de ponderação foi a quantidade de peixes capturadas de cada espécie. 
 
A palavra média, sem especificações (aritmética ou ponderada), deve ser entendida como média 
aritmética. 
 
Questões 
 
01. (EPCAR – Cadete – EPCAR) Um líquido L1 de densidade 800 g/l será misturado a um líquido L2 
de densidade 900 g/l Tal mistura será homogênea e terá a proporção de 3 partes de L1 para cada 5 partes 
de L2 A densidade da mistura final, em g/l, será 
(A) 861,5. 
(B) 862. 
(C) 862,5. 
(D) 863. 
 
02. (TJM-SP – Oficial de Justiça – VUNESP) Ao encerrar o movimento diário, um atacadista, que 
vende à vista e a prazo, montou uma tabela relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia com 
o respectivo prazo, em dias, para que o pagamento seja efetuado. 
 
PORCENTUAL DO 
FATURAMENTO 
PRAZO PARA 
PAGAMENTO (DIAS) 
15% À vista 
20% 30 
35% 60 
20% 9010% 120 
 
O prazo médio, em dias, para pagamento das vendas efetuadas nesse dia, é igual a 
(A) 75. 
(B) 67. 
(C) 60. 
 
177 
 
(D) 57. 
(E) 55. 
 
03. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Uma loja de roupas de malha vende camisetas 
com malha de três qualidades. Cada camiseta de malha comum custa R$15,00, de malha superior custa 
R$24,00 e de malha especial custa R$30,00. Certo mês, a loja vendeu 180 camisetas de malha comum, 
150 de malha superior e 70 de malha especial. O preço médio, em reais, da venda de uma camiseta foi 
de: 
(A) 20. 
(B) 20,5. 
(C) 21. 
(D) 21,5. 
(E) 11. 
 
04. (CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO/SP – Programador de Computador – 
FIP) A média semestral de um curso é dada pela média ponderada de três provas com peso igual a 1 
na primeira prova, peso 2 na segunda prova e peso 3 na terceira. Qual a média de um aluno que tirou 
8,0 na primeira, 6,5 na segunda e 9,0 na terceira? 
(A) 7,0 
(B) 8,0 
(C) 7,8 
(D) 8,4 
(E) 7,2 
 
05. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática 
– FUNCAB) A tabela abaixo mostra os valores mensais do Imposto Predial e Territorial Urbano (IPTU) 
pagos pelos apartamentos de um condomínio. Determine a média aritmética desses valores. 
 
Número de Apartamentos Valor de IPTU Pago 
5 R$ 180,00 
5 R$ 200,00 
10 R$ 220,00 
10 R$ 240,00 
4 R$ 300,00 
6 R$ 400,00 
 
(A) R$ 248,50 
(B) R$ 252,50 
(C) R$ 255,50 
(D) R$ 205,50 
(E) R$ 202,50 
 
06. (SAP/SP - AGENTE DE SEGURANÇA PENITENCIÁRIA DE CLASSE I – VUNESP) Em uma 
seção de uma empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários mensais, segundo os cargos que 
ocupam, é a seguinte: 
 
Sabendo-se que o salário médio desses funcionários é de R$ 1.490,00, pode-se concluir que o salário 
de cada um dos dois gerentes é de 
(A) R$ 2.900,00. 
(B) R$ 4.200,00. 
(C) R$ 2.100,00. 
(D) R$ 1.900,00. 
(E) R$ 3.400,00. 
 
178 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Em um concurso existem provas de 
Português, Matemática, Informática e Conhecimentos Específicos, com pesos respectivos 2, 3, 1 e 4. Um 
candidato obteve as seguintes notas nas provas de Português, Matemática e Informática: 
 
Disciplina Nota 
Português 77 
Matemática 62 
Informática 72 
 
Se a nota do candidato no concurso foi 80, qual foi a sua nota na prova de Conhecimentos Específicos? 
(A) 95 
(B) 96 
(C) 97 
(D) 98 
(E) 99 
 
08. (VUNESP – FUNDUNESP – Assistente Administrativo) Um concurso teve duas fases, e, em 
cada uma delas, os candidatos foram avaliados com notas que variaram de zero a dez. Para efeito de 
classificação, foram consideradas as médias ponderadas de cada candidato, uma vez que os pesos da 
1.ª e da 2.ª fases foram 2 e 3, respectivamente. Se um candidato tirou 8 na 1.ª fase e 5 na 2.ª, então é 
verdade que sua média ponderada foi 
(A) 6,2. 
(B) 6,5. 
(C) 6,8. 
(D) 7,1. 
(E) 7,4. 
 
09. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) A tabela mostra os valores de algumas latinhas de 
bebidas vendidas em um clube e a quantidade consumida por uma família, em certo dia. 
 
Bebidas (latinha) Valor unitário Quantidade Consumida 
Refrigerante R$ 4,00 8 
Suco R$ 5,00 6 
Cerveja X 4 
 
Considerando-se o número total de latinhas consumidas por essa família nesse dia, na média, o preço 
de uma latinha saiu por R$ 5,00. Então, o preço de uma latinha de cerveja era 
(A) R$ 5,00. 
(B) R$ 5,50. 
(C) R$ 6,00. 
(D) R$ 6,50. 
(E) R$ 7,00. 
 
10. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP) Em um edifício residencial, 14 
unidades pagam uma taxa mensal de condomínio no valor de 930 reais. Para as 28 unidades restantes, 
que são menores, a taxa mensal de condomínio também é menor. Sabendo-se que o valor médio da taxa 
mensal de condomínio, nesse edifício, é de 750 reais, é correto afirmar que o valor em reais que cada 
unidade menor paga mensalmente de condomínio é igual a 
(A) 600. 
(B) 620. 
(C) 660. 
(D) 700. 
(E) 710. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: C. 
 
3.800+5.900
3+5
=
2400+4500
8
=
6900
8
= 862,5 
 
179 
 
02. Alternativa: D. 
Média aritmética ponderada: multiplicamos o porcentual pelo prazo e dividimos pela soma dos 
porcentuais. 
 
15.0+20.30+35.60+20.90+10.120
15+20+35+20+10
= 
 
=
600+2100+1800+1200
100
= 
 
=
5700
100
= 57 
 
03. Alternativa: C. 
 Também média aritmética ponderada. 
 
180.15+150.24+70.30
180+150+70
= 
 
=
2700+3600+2100
400
= 
 
=
8400
400
= 21 
 
04. Alternativa: B. 
Na média ponderada multiplicamos o peso da prova pela sua nota e dividimos pela soma de todos os 
pesos, assim temos: 
𝑀𝑃 = 
8.1 + 6,5.2 + 9.3
1 + 2 + 3
=
8 + 13 + 27
6
=
48
6
= 8,0 
 
05. Alternativa: B. 
 
𝑀 =
5.180 + 5.200 + 10.220 + 10.240 + 4.300 + 6.400
5 + 5 + 10 + 10 + 4 + 6
=
10100
40
= 252,50 
 
06. Alternativa: C. 
 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
1490 =
2𝑥 + 8 ∙ 1700 + 10 ∙ 1200
20
 
 
2𝑥 + 13600 + 12000 = 29800 
2𝑥 = 4200 
𝑥 = 2100 
Cada um dos gerentes recebem R$ 2100,00 
 
07. Alternativa: C. 
 
2.77 + 3.62 + 1.72 + 4. 𝑥
2 + 3 + 1 + 4
= 80 
 
412 + 4. 𝑥
10
= 80 
 
4x + 412 = 80 . 10 
4x = 800 – 412 
x = 388 / 4 
x = 97 
 
 
180 
 
08. Alternativa: A. 
𝑀𝑝 = 
2.8 + 3.5
2 + 3
 = 
16 + 15
5
 = 
31
5
 = 6,2 
 
09. Alternativa: E. 
 
8.4 + 6.5 + 4. 𝑥
8 + 6 + 4
= 5 
 
62 + 4. 𝑥
18
= 5 
 
4.x = 90 – 62 
x = 28 / 4 
x = R$ 7,00 
 
10. Resposta: C. 
 
𝟏𝟒 . 𝟗𝟑𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟏𝟒 + 2𝟖
= 𝟕𝟓𝟎 
 
𝟏𝟑𝟎𝟐𝟎 + 𝟐𝟖 . 𝒙
𝟒𝟐
= 𝟕𝟓𝟎 
 
13020 + 28.x = 42 . 750 
28.x = 31500 – 13020 
x = 18480 / 28 
x = R$ 660,00