Cap_4_sistemas e volumes de controle

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Equações Básicas para um volume de Controle 
 
4.1 Conceitos de sistema e volume de controle 
 
Como já mencionando anteriormente a abordagem para o estudo de escoamento de 
fluidos pode ser feita segundo dois métodos distintos: o método de Lagrange e o método de 
Euler. Estes dois métodos são relacionados aos conceitos de sistema e volume de controle. 
O método de Lagrange baseia-se no conceito de sistema de controle. Por definição, um 
sistema é uma certa quantidade de material com identidade fixa (composto sempre pelas 
mesmas partículas de fluido) que pode se mover, escoar e interagir com o meio.Este método 
consiste em isolar o sistema e estudar o comportamento de uma partícula, isoladamente, do 
fluido e, por final, estimar o comportamento do todo. 
O método de Euler por outro lado, baseia-se no conceito de volume de controle 
(VC). Um volume de controle é um volume no espaço (uma entidade geométrica e 
independente da massa) através do qual o fluido pode escoar. Neste método Euler definiu 
que o escoamento pode ser modelado utilizando um volume de controle. 
Usaremos a formulação de volume de controle, por dois motivos, como o sistema 
pode sofrer distorção e deformação continua, é, na maioria das vezes, extremamente difícil 
identificar e acompanhar uma mesma massa do fluido durante todo o tempo. Em segundo 
lugar, na maioria dos casos não nos interessa o movimento de uma dada massa de fluido, e 
sim o efeito do movimento do fluido com um todo sobre certo objeto ou estrutura. Assim é 
mais conveniente aplicar as leis básicas a um volume fixo no espaço, ou seja, analisar pelo 
volume de controle. 
Qualquer volume pode ser considerado como um volume de controle. O volume de 
controle pode ser finito ou infinitesimal e a escolha do tamanho e formato depende do tipo 
de análise que pretendemos realizar. Nós utilizaremos, na maioria das vezes, volumes de 
controle fixos e indeformáveis, mas, em algumas situações, vamos considerar volumes de 
controle que se deslocam com velocidade constante. É muito importante gastar um certo 
tempo na escolha do volume de controle que iremos utilizar a escolha do volume de controle 
apropriado na mecânica dos fluidos é muito parecida com a escolha do diagrama de corpo 
livre na mecânica dos sólidos. Na dinâmica dos sólidos nós isolamos o corpo em que 
estamos interessados, representamos o objeto num diagrama de corpo livre e aplicamos as 
leis pertinentes ao corpo. A facilidade de resolver os problemas de dinâmica depende muito 
do modo como nós escolhemos o diagrama de corpo livre. De modo análogo, a facilidade de 
resolver um problema de mecânica dos fluidos depende da escolha do volume de controle. A 
escolha do melhor volume de controle decorre da experiência pessoal. Nenhum volume de 
controle está errado mais alguns deles são mais adequados que outros. 
 
4.2 Equação de Transformação de Reynolds 
 
Nesta seção iremos relacionar o conjunto de variáveis extensivas existentes em um 
sistema fluido em uma formulação considerando o volume de controle. Para tanto iremos 
considerar uma variável extensiva qualquer do sistema, N (diretamente proporcional à 
quantidade de matéria), e sua correspondente propriedade intensiva (propriedade extensiva 
por unidade de massa e, portanto, independe da massa) será definida como . Desta forma, 
qualquer uma das propriedades extensivas poderá ser representada por N. 
A quantidade de uma propriedade extensiva que um sistema apresenta num dado 
instante, Nsistema, pode ser determinada pela somatória da quantidade associada a cada 
partícula fluida que compõem o sistema. Para uma partícula fluida infinitesimal com tamanho 
d V e massa d V esta somatória (no limite em que d V0) toma a forma de uma 
integração sobre todas as partículas no sistema e pode ser escrita como 
 
   
 sistemai
iii
V
sistema VdVN lim 4.1 
 
Os limites de integração cobrem todo o sistema – usualmente um volume móvel. Nós 
utilizamos o fato de que a quantidade de N numa partícula de massa dV é dada, em função 
de , por N = d V . 
A maioria das leis que descrevem o movimento dos fluidos envolve a taxa de 
variação temporal de uma propriedade extensiva, a taxa com que a massa do sistema varia 
com o tempo, e assim por diante. Portanto, nós sempre encontraremos termos que 
apresentem a seguinte forma 
dt
Vdd
dt
dN sistemasistema











 4.2 
Para formular estas leis na abordagem do volume de controle nós precisamos obter 
uma expressão para a taxa de variação da propriedade extensiva no volume de controle, NVC 
e não num sistema. Isto pode ser escrito do seguinte modo 
 
dt
Vdd
dt
dN VCVC











 4.3 
onde os limites de integração, denotados por VC, cobrem o volume de controle em que 
estamos interessados. Apesar das equações 4.2 e 4.3 possam parecer similares, as 
interpretações físicas de cada uma delas é bastante diferente. Lembre que o VC é um volume 
no espaço (na maioria dos casos é estacionário, mas ele pode se mover e com um 
movimento que não é igual ao sistema). Por outro lado, o sistema é uma quantidade fixa de 
massa identificável que se move com o fluido (de fato, é uma porção especificada do fluido). 
As quantidades dNsistema/dt e dNVC/dt não precisam, necessariamente, ser iguais mesmo nos 
casos quando o sistema e o volume de controle momentaneamente são coincidentes. O 
teorema de transporte de Reynolds fornece uma relação entre a taxa de variação temporal de 
uma propriedade extensiva para um sistema e aquela para um volume de controle, ou seja a 
relação entre as equações 4.2 e 4.3. 
Na Figura 4.1 é representado um escoamento genérico por meio de linhas de 
corrente. Para facilitar o entendimento das grandezas estudadas, o escoamento é imaginado 
como interno a um tubo cilíndrico. 
 
 
 
Figura 4.1 Escoamento de uma grandeza N no espaço. 
 
 No escoamento interno ao tubo é demarcado um volume neste espaço, que é 
exatamente a forma interna do tubo, como indicado na Fig. 4.2, que constitui o Volume de 
Controle (VC), a ser utilizado no estudo de conservação de uma grandeza extensiva 
qualquer N. 
 
 
 
Figura 4.2 Volume de controle adotado, interno ao tubo. 
 
No instante inicial t, a quantidade de matéria se encontra dentro do VC é individualizada 
para constituir o sistema de estudo, como indicado no esquema da Fig. 4.3. 
 
 
Figura 4.3 Individualização da matéria dentro do VC para constituir um sistema. 
 
A Fig. 4.4 ilustra três regiões com diferentes características no interior de um 
cilindro: a região 1, definida pelo espaço do volume de controle, que ficou sem partículas 
do sistema; a região 2, caracterizada pela parte do sistema que ainda se encontra dentro do 
VC; e a região 3, constituída pelos elementos do sistema que saíram do VC. 
 
 
Figura 4.4 Deslocamento do sistema em razão do escoamento. 
 
4.2.1 Derivação do Teorema de Transporte de Reynolds 
 
Por definição, o sistema deve consistir das mesmas partículas fluidas e, 
conseqüentemente deve mover-se com o campo de escoamento. Na Fig 4.4 as fronteiras são 
t e t + ∆t. O objetivo é relacionar a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva 
arbitrária do sistema (N) com as variações temporais dessa propriedade associada com o 
volume de controle. 
Da definição de derivada, a taxa de variação de N é dada por 
 
t
NN
dT
dN ttt
t
Sistema 

 
 0
lim 4.4 
 
Como em t as fronteiras são iguais e em t + ∆t o sistema ocupa a região 2 e 3 
 
Portanto, na saída temos, 
 
ttttttt 3t1ttVC32tt
NNNNNN

  4.5 
 
e na entrada, a quantidade de matéria coincide que entra no sistema no instante t, é a mesma 
contida no VC, conforme mostrado na Figura 4.3 e ratificado na equação 4.4 
 
ttt 21VCt
NNNN  4.6 
 
Substituindo na derivada da equação 4.4, obtemos: 
 
t
NNNN
lim
dt
dN tVC31VC
0t
tttttt





 4.7 
 
Comoo limite da soma é igual à soma dos limites: 
t
N
lim
t
N
lim
t
NN
lim
dt
dN tt1
0t
tt3
0t
tVCttVC
0t
Sistema 





 





 4.8 
 
Interpretando cada termo, temos: 
 
O primeiro termo do segundo membro da equação 4.8 caracteriza a definição da quantidade 
de N no VC. Quanto t tende a zero, o termo representa a derivada parcial da quantidade 
de N no VC, que pode ser obtida em função da grandeza intensiva correspondente por 
intermédio da integração de um elemento de volume no VC. 
 









VC
VC
tVCttVC
0t
Vd
t
Vd
tt
NN
lim 4.9 
 
O segundo termo do lado direito da equação 4.8 representa a taxa com que o 
parâmetro extensivo N escoa do volume de controle durante o intervalo de tempo t, 
através da superfície de controle. 
Neste ponto iremos fazer algumas considerações sobre a quantidade da grandeza dN 
contida no elemento de fluido, de massa dm, que pode ser calculada por (seguindo-se a 
notação apresentada na Fig. 4.4): 
 
dxdAdmdN  4.10 
 
onde , neste caso é apenas uma variável adimensional relacionada a N. 
 
Como estamos relacionando a taxa com que N escoa no VC, podemos escrever que: 
 
dt
dN
DN  4.11 
Substituindo a equação 4.10 na equação 4.11, temos 
dt
dxdA
dDN

 4.12 
 
O termo dx/dt representa a componente a velocidade com que o fluido escoa através 
da área de saída, Asai, considerando a notação vetorial, passamos a escrever a equação 4.12, 
assim 
 
AdVdDN

 4.13 
 
Assim, a taxa de variação temporal do parâmetro extensivo N, pode ser obtida 
integrando-se a equação 4.13 sobre a área de escoamento Asai. 
 
 
saiA
N AdVD

 4.14 
 
Feito estas considerações poderemos voltar ao segundo termo da equação 4.8, no 
qual percebe-se que o conceito taxa de variação temporal do parâmetro extensivo da 
grandeza N pode ser aplicado, considerando uma determinada quantidade de matéria saindo 
pela SC, desta forma temos, 
 
 


 sai
sai
A
A
N
tt3
0t
AdVAdVD
t
N
lim

 4.15 
 
Aplicando-se o mesmo raciocínio utilizado para relacionar o segundo termo da 
equação 4.8, podemos verificar que o terceiro mesmo desta mesma equação é ligado à taxa 
de variação temporal do parâmetro extensivo da grandeza N existente na região 1 da Fig. 
4.4, e representa quanto de N foi introduzido no VC durante o intervalo de tempo t, 
atravessando a área de entrada Aent do VC. Assim sendo podemos escrever, 
 
 


 ent
ent
A
A
N
tt1
0t
AdVAdVD
t
N
lim

 4.16 
 
Substituindo-se os três termos dados pelas equações 4.9, 4.15 e 4.16 na equação 4.8, 
obtém-se: 
 
 



entsai AAVCsistema
AdVAdVVd
tdt
dN 
 4.17 
 
Comparando-se a equação 4.17 com as equações 4.8, observa-se que o segundo 
termo do segundo membro da equação 4.17 teve seu sinal corrigido imposto pelo produto 
escalar, já que na área de entrada a velocidade tem sentido contrário ao do versor da área, 
dando resultado negativo. 
A equação 4.17 pode ser compactada um pouco mais, observando que as duas 
integrações nas áreas de entrada e saída têm o mesmo integrando e, portanto, podem ser 
agrupadas sob o mesmo sinal de integral, somando-se os limites de integração. Assim como 
a soma das áreas de entrada e saída, mais as áreas que não são atravessadas por escoamento 
(portanto, com integral nula), compõe a superfície total do volume de controle, SC, a 
equação 4.17 reduz-se a: 
 4.18 
 



SCVCsistema
AdVVd
tdt
dN 
 
 
Também pode ser escrita assim, 
 


 Ad.Vdvol
tdt
dN
SCVCsistema

 4.19 
Esta é a relação fundamental entre a taxa de variação de uma propriedade extensiva 
arbitrária de um sistema e as variações dessa propriedade associada com um volume. 
Também conhecida como teorema de Transporte de Reynolds. 
 
4.2.2 Conservação de Massa 
 
 Quando iniciamos a dedução da equação da Transformação de Reynolds a primeira 
consideração que fizemos foi que N poderia ser qualquer variável extensiva com influência 
em um sistema de fluidos. Partindo-se deste pressuposto, podemos considerar que N poderia 
assumir estas dimensões: 
 
N = M,  = 1 
N = P

,  = V

 
N = E,  = e 
N = S,  = s 
Onde M é a massa, P

 é a quantidade de movimento, E é a energia e S a entropia. 
 
 Assim sendo, da Transformação de Reynolds permite a demonstração da 
conservação de massa de um sistema, uma vez que M é uma grandeza extensiva que pode 
ter sua correspondente grandeza intensiva dividindo-a pela massa, portanto  = 1. Então, 
como um sistema tem massa constante e individualizada, a aplicação da Transformação de 
Reynolds para a massa m fornece: 
 
0Ad.VVd
tdt
dM
SCVC  




 4.20 
Portanto, ao considerarmos o escoamento através de um volume de controle, percebemos 
que, se durante um intervalo de tempo a quantidade de massa escoando para dentro do 
volume de controle não for a mesma que a quantidade de massa escoando para fora do 
volume de controle, haverá um mudança na quantidade de massa no volume de controle. Se 
o escoamento para fora for maior do que o escoamento para dentro, haverá um decréscimo 
na quantidade de massa no volume de controle; inversamente, haverá um aumento de massa 
no volume de controle se o escoamento para dentro for maior do que o escoamento para 
fora. Assim, em termos puramente físicos, podemos fornecer um enunciado para 
escoamento de massa: 
 
0= - + 
 
Como a diferença entre a taxa de escoamento de massa para fora e a taxa de escoamento de 
massa para dentro é igual a taxa de massa resultante (para fora) através do volume de 
controle, o enunciado acima para a conservação da massa poderia ser escrito assim: 
 
 
0 = + 
Taxa de escoamento 
de massa para fora do 
volume de controle 
Taxa de escoamento 
de massa para dentro 
do volume de controle 
Taxa de variação de 
massa no volume de 
controle 
Taxa de fluxo de massa resultante 
(para fora) através do volume de 
controle 
Taxa de variação de massa para 
dentro do volume de controle 
 
 A equação 4.20 também conhecida como Equação da Continuidade e representa 
extrema importância na resolução de problemas, como por exemplo, os de medidores de 
vazão, nos quais alia-se à Equação de Bernoulli. 
Exemplo 
Considere o escoamento de um fluido incompressível em regime permanente, interno a uma 
tubulação, atravessando um acessório convergente utilizado para ligar um tubo de maior 
dimensão a um tubo menor. A Fig. E.4.1.1 é usada para ilustrar o escoamento comentado. 
Utilize a equação da continuidade para caracterizar a velocidade em cada região do 
escoamento e defina o tipo de aceleração existente em cada uma. Faça as hipóteses que 
julgarem necessárias. 
 
Figura E.4.1.1 Escoamento através de uma convergência. 
 
Exemplo 
4.2 Na junção de duas tubulações, como indicado na Fig. E.4.2.1, são misturados dois 
fluidos. Na tubulação (1) escoa um fluido de massa específica 1, submetido a uma 
vazão Q1. Na tubulação (2) escoa um fluido de massa específica 2 submetido a 
uma vazão Q2. Sabendo que a vazão na tubulação (3) é Q3, calcule a massa 
específica do produto obtido na mistura. 
 
 
 
Figura E.4.2.1 Reator de mistura e volume de controle VC. 
Exemplo 
 
4.3 Considere o escoamento permanente de água através do dispositivo mostrado na Fig. 
E.4.3.1. As áreas são: A1 = 0,2 ft
2
, A2 =0,5ft
2
 e A3 = A4 = 0,4 ft
2
. A vazão em massa 
através da seção (3) é dada como 3,88 slug/s. A vazão em volume entrando pela seção 
(4) é dada como 1 ft
3
/s, e î10V1  ft/s. Se as propriedades forem consideradas 
uniformes através de todas as entradas e saídas de fluxo, determine a velocidade do 
escoamento na seção 2. 
 
Figura E.4.3.1 Escoamento atravésde vários dispositivos com múltiplas entradas e saídas. 
 
 
 
Exempo 4.1 (Fox) pág. 83 
Exemplo 3.1 (Roma) pág.57 
Exempro 3.2 (Roma) pág 58 
 
Exemplo: 
4.4 Um fluido incompressível se escoa de modo estacionário através de um duto 
com duas saídas. O escoamento é unidimensional nas seções (1) e (2), porém o 
perfil de velocidades é parabólicos na seção (3). Calcule a velocidade V1. 
 
 
 Figura E.4.4.1 Escoamento através de um tubo com ramificação. 
Solução: 
Uma vez que o escoamento é permanente: 
 
 cs dAV 0. E.4.4.1 
 
onde a integral representa a superfície de controle inteira, isto é: 
 
0.....
4321
  dAVdAVdAVdAVdAVcs  E.4.4.2 
 
e a integral sobre a superfície 4 é zero, uma vez que α = π/2, fornecendo cós α = 0 
 A densidade ρ pode ser cancelada, considerando-se que o fluido é incompressível, 
fornecendo 
 
0...
321
  dAVdAVdAV E.4.4.3 
 
Na seção (1), α = π, porém α = 0 nas seções (2) e (3), já que α é o ângulo que a normal 
exterior faz com o vetor velocidade. E, como o escoamento é unidimensional em 1 e 2, 
).2(.
.
.
3
3
3
2
2
2
1
1
1
drrVdAV
AVdAV
AVdAV






 E.4.4.4 
Usando estas relações simplificadas, obtemos: 
sftAV
RV
R
rr
V
dr
R
r
rAVAV
R
/
3
4
)1(
3
2
)1(23
0
42
823
0.8
31
2
1
2
42
1
0
2
3
2211















 


 E.4.4.5 
 
4.3 Conservação da Quantidade de Movimento 
 
Uma grande parte dos problemas da mecânica dos fluidos pode ser analisada com um 
volume de controle fixo e indeformável. Assim, nossa dedução para a equação da 
continuidade será restrita a esta condição, qual seja um VC fixo no espaço em relação a um 
sistema de coordenadas xyz que não está acelerando em relação a um referencial 
estacionário em XYZ. 
Por tratar-se também de uma grandeza extensiva, a equação da Conservação da 
Quantidade de Movimento será gerada a partir da Transformada de Reynolds, bem como da 
formulação da segunda lei de Newton a um sistema fluido, que coincide, naquele instante, 
com um volume de controle. 
Da 2ª lei de Newton temos que, a.mF

 e que VmP

 , ao derivamos a P

 
aplicando a regra da cadeia, temos: 
dt
Vd
mV
dt
dm
dt
Pd



 4.21 
Analisando esta equação, se consideramos um sistema com massa fixa, teríamos o 
segundo termo do segundo membro da equação 4.21 igual a zero o que nos leva a, 
 
sistema
dt
Pd
F


 4.22 
onde a quantidade de movimento, P

, do sistema é dada por 
 
 
 )sistema()sistema(M
sistema dVdmVP 4.23 
 
e a força resultante, F

, inclui todas as forças de campo e de superfície atuando sobre 
o sistema, 
BS FFF

 4.24 
Para obter a formulação para volume de controle da segunda lei de Newton estabelecemos 
N= P

 e  = V

 na equação 4.19. Assim, fornecemos a formulação da segunda lei de 
Newton para um volume de controle não submetido à aceleração 
 
AdVVdV
t
FFF
SCVC
BS   




 4.25 
 
Essa equação estabelece que a soma de todas as forças atuando sobre um volume de 
controle não submetido à aceleração, é igual a soma da taxa de variação da quantidade de 
movimento no interior do volume de controle com a taxa líquida do fluxo de quantidade de 
movimento saindo da superfície de controle. 
Ao utilizar qualquer equação básica para uma análise de volume de controle, o 
primeiro passo deve ser desenhar as suas fronteiras e designar os sentidos apropriados do 
sistema de coordenadas. Na equação 4.25, a força, F

, representa todas as forças atuando 
sobre o volume de controle. Inclui tanto as de superfície, SF

, quanto as de campo, BF

. Se 
denotarmos como B

 as forças de campo, podemos escrever, para uma unidade de massa 
  VCB BdmBF

 4.26 
Quando a força da gravidade é a única força de campo atuante, então a força de 
campo por unidade de massa é g

. A força de superfície decorrente da pressão é dada por 
  AS ApdF

 4.27 
A natureza das forças que atuam sobre o volume de controle influenciará, 
indubitavelmente, na escolha das suas fronteiras. 
Todas as velocidades da equação 4.25, são medidas em relação ao volume de 
controle. O fluxo da quantidade de movimento AdVV

 , através de um elemento de área 
da superfície de controle, Ad

, é um vetor. O sinal do produto escalar, AdV

 , dependerá 
do sentido do vetor velocidade, V

, em relação ao vetor área, Ad

. O sinal do vetor 
velocidade, V

, depende do sistema de coordenadas escolhido. 
A equação da quantidade de movimento é vetorial. Como com todas as quantidades 
vetoriais, pode ser escrita na forma de três equações componentes escalares. Em relação a 
um sistema de coordenas xyz, as componentes escalares da equação 4.25 são 
 



SCVCBSx
AdVuVdu
t
FFF
xx

 4.28a 
 



SCVCBySy
AdVVd
t
FFF
y

 4.28b 
 



SCVCBSz
AdVwVdw
t
FFF
zz

 4.28c 
É sugerido que se proceda em duas etapas para determinar o fluxo da quantidade de 
movimento através de uma porção qualquer de uma superfície de controle: 
1- a primeira etapa é determinar o sinal de AdV  
 Por convenção, nesta apostila a área, A

, estará sempre apontando de dentro para 
fora do sistema, o sentido da velocidade será sempre determinado em relação ao eixo de 
coordenadas. 
2-a segunda etapa é determinar o sinal de cada componente da velocidade,u, v e w. 
 
Exemplo: 
4.5 Um recipiente de metal com 2 ft de altura, com uma seção reta 
interna de 1 ft
2
, pesa 5 lbf quando vazio. O recipiente é colocado sobre 
uma balança e a água escoa para dentro através de uma abertura no topo; 
e para fora, através de duas aberturas laterais, conforme mostrado na Fig. 
E.4.5.1. Sob condições de escoamento permanente, a altura da água no 
tanque é 1,9 ft.Determine a leitura da balança. 
 
 
Figura E.4.5.1 Força da Pressão Hidrostática. 
 
Exempo 4.5 (Fox) pág 91 
Exemplo: 
4.6 Água escoa em regime permanente através do cotovelo redutor de 
90° mostrado na Fig. E.4.6.1. Na entrada do cotovelo, a pressão 
absoluta é 221 kPa e a seção reta tem 0,01 m
2
. Na saída, a seção reta 
tem 0,0025 m
2
 e a velocidade é 16 m/s. A pressão de saída é a 
atmosférica. Determine a força necessária para manter o cotovelo no 
lugar. 
 
 
Figura E.4.6.1 Cotovelo redutor 
Exemplo 4.7 (Fox) pág 93 
 
Exemplo: 
4.7 Determine a força que o escoamento em regime permanente, interno 
a uma tubulação, exerce sobre a curva com redução de diâmetro mostrada 
na Fig. 4.7.1. O diâmetro da tubulação na seção a jusante da curva é d, o 
diâmetro a montante é D e o ângulo da curva, em relação ao eixo da 
tubulação a montante, é representado por . A vazão transportada pela 
tubulação é Q e o fluido escoando tem massa específica  constante. 
 
 
Figura E.4.7.1 Volume de controle sugerido para solução. 
 
 
Figura E.4.7.2 Volume de controle isolado. 
 
Exemplo 6.1 (Roma) pág 136 
Exemplo: 
4.8 Determine a força necessária para imobilizar um bocal cônico 
instalado na seção de descarga de uma torneira de laboratório (veja a Fig. 
E.4.8.1) sabendo que a vazão de água na torneira é igual a 0,6 L/s. A 
massa do bocal é 0,1 kg e os diâmetros das seções de alimentação e 
descarga do bocal são, respectivamente, iguais a 16 mm e 5 mm. O eixo 
do bocal está na vertical e a distância axial entre as seções 91) e (2) é 30 
mm. A pressão na seção (1) é 464 kPa. 
 
 
Figura E.4.8.1 Bocal cônico e volume de controle sugerido. 
 
 
Exemplo 5.10 (munson) pág. 209 
 
Exemplo: 
4.9 Água escoa na curva mostrada na Fig. E.4.9.1. A área da seção 
transversal da curva é constante e igual a 9,3 x 10
-3
 m
2
. A velocidade é 
uniforme em todo o campo de escoamento e é igual a 15,2 m/s. A pressão 
absoluta nas seções de alimentação e descarga da curva são, 
respectivamente, iguais a 207 kPa e 165 kPa. Determine os componentes 
da força necessária para ancorara curva nas direções x e y. 
 
Exemplo 5.11 (munson) pág. 213 
Exemplo: 
4.10 Determinar a força dirigida na direção n pela descarga permanente 
de 300 lbm/min de ar do ventilador centrífugo, sabendo que a velocidade 
de descarga ue =40ft/s. 
 
 
 
Figura E.4.10.1 Ventilador centrífugo ilustrado a convenção de sinal para a equação 
da continuidade. 
 
A equação do momento linear 
 
AdVVdV
t
FFF
SCVC
BS 


 

 4.25 
onde a variação do momento linear dentro do volume de controle é nula, porque o 
escoamento é permanente, logo, 
 
))(())(( eeeee muAuueFx   
,6
60
min
2,32
²
min)/300).(/40( 
slbmff
lbfs
lbmsftFx 22lb 
 
Esta é a força que atua sobre o volume de controle. Podemos imaginar que ela é a força 
necessária para manter o resultado fixo. 
 
Ex2. Um jato de água incide sobre uma ventoinha fixa. Encontre a força F exercida sobre a 
ventoinha. O escoamento são: 
 
)(
)(
 
 


cv
cv
VdAvFy
VdAuFx


 
 
As força de pressão do fluido e a s forças da ventoinha sobre o jato são submetidas pó Rx, 
Ry. Seja Av a área molhada projetada sobre a ventoinha. 
2021010 AVAVAV i   
De acordo com a eq equação de continuidade: 
)(cos)()( 20201011 AVVAVVRApatmFx xxv   
)(²)(
)1(cos²)(
0
01
WsenAVApatmRy
AVApatmRx
iy
in




 
Os componentes da força sobre a ventoinha são iguais e opostos, isto é, 
jRiRFv yx  
Caso a ventoinha esteja submetida à pressão atmosférica em todas as partes, a pressão 
atmosférica não entra nas eqs. Resultantes são: 
WsenVRy
VRx




²
)1²(cos
0
0
 
 
 
Exemplo: 
4.11 A Fig. E.4.11.1 mostra uma aleta com ângulo de curvatura de 
60º. Ela se move à velocidade constante V = 10 m/s e recebe um jato de 
água que deixa um bocal estacionário com velocidade V = 30 m/s. O 
bocal tem uma área de saída de 0,003 m
2
. Determine a força que deve ser 
aplicada para manter a velocidade da aleta constante. 
 
 
Figura E.4.11.1 Aleta movendo-se a velocidade constante. 
 
Solução: 
 
Equações básicas: 
 


SC
xyzxyz
VC
xyzBS AdVVdV
t
FFF

. 
 


SC
xyz
VC
AdVd
t

.0  
 
Hipóteses: (1) O escoamento é permanente em relação à aleta 
 (2) A magnitude da velocidade relativa ao longo da aleta é constante 
UVVV  21

 
Encontramos a componente x da equação da quantidade de movimento, 
considerando que não há força líquida de pressão, obtemos: 
 
    222111
21
AVuAVuVdAuVdAuR
AA
X    
 
Da equação da continuidade: 
 
    2211
21
0 AVAVVdAVdA
AA
   
2211 AVAV   
 
  1112 AVuuRX  
 
Todas as velocidades devem ser medidas em relação ao volume de controle, com 
isso obtemos: 
 
 NRX 599 (para a esquerda) 
 
Escrevendo a componente y e denotando a massa VC como M, obtemos: 
 
kNRy 04,1 {para cima} 
 
Então a força líquida necessária para manter a velocidade constante da aleta é: 
 
kNjiR

04,1599,0 