CENTRO UNIVERSITÁRIO JORGE AMADO - CÁLCULO

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CENTRO UNIVERSITÁRIO JORGE AMADO – UNIJORGE 
 JOBSON DA TRINDADE FRIAS 
 
 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ll 
 SALVADOR 2022
	Funções de várias variáveis: algumas aplicações
	Ao longo das unidades 1 e 2 discutimos algumas possíveis aplicações das funções de várias variáveis. Nas questões abaixo teremos uma noção geral de como tais funções e o conhecimento adquirido até agora podem ser utilizados em algumas áreas do conhecimento.
	1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro.
(a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂t?
A TAXA DE VARIAÇÃO DA TEMPERATURA QUANDO VARIA A LONGITUDE, COM LATITUDE E TEMPOS FIXADOS; A TAXA DE VARIAÇÃO QUANDO VARIA APENAS A LATITUDE; A TAXA DE MUDANÇA QUANDO VARIA APENAS O TEMPO. 
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)).
POSITIVA, NEGATIVA, POSITIVA. POIS DE ACORDO COM O EXPOSTO, NO QUE SE DIZ O VENTO E AS COORDENADAS, A PARABOLA É ABAIXO DA LONGITUDE E VOLTADA PARA CIMA. 
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑧
(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂.
v = i + j - k.
a taxa de variação na direção do vetor V
será o produto escalar entre o vetor  pelo versor de V =
(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?
a derivada direcional tem valor máximo é quando cos(α)=1
logo ela varia mais rapidamente na direção do vetor gradiente
	3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular)
	
Para o lado 1 e 2 temos que área é: A1= 2X (xz)
Para os lados 3 e 4 temos que a área é: A2= 2X (yz) 
Para o fundo da caixa temos que a área é: A3= xy 
ASSIM A ÁREA TOTAL DA CAIXA É: AT= A1 +A2 +A3 = 2xz + 2yz + xy 
 At= 2xz + 2yz + xy 
RESTRITA AO VOLUME: V= xyz = 32000 
Calculando os gradientes da função At e da função V: 
At= 2xz + 2yz + xy 
At= ( 2z + y, 2z + x, 2x+ 2y) 
V = xyz – 32000 = 0
V= ( Yz, Xz. Xy) 
Aplicando Multiplicador de Lagrange: 
A ( x,y,z) = V ( x,y,z) 
40 cm, 40 cm, 20 cm