54520740-Logica-de-Primeira-Ordem

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1º Semestre
Sistemas de Informação
Trabalho de Lógica Matemática
Rodrigo Alves Bravo Salinas, nº 
36
RGM 084624
[LÓGICA DE PRIMEIRA 
ORDEM]
O que é Lógica de Primeira Ordem, classes sintáticas, elementos, construção e 
interpretação de fórmulas usando símbolos lógicos.
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Índice
Introdução ............................................................................. 3
Classes sintáticas – Termos e fórmulas ............................. 4
Elementos .............................................................................. 4
 Constantes ............................................................................ 4
 Variáveis ............................................................................... 4
 Predicados ............................................................................ 4
 Quantificadores ..................................................................... 5
Entendendo a lógica e a fórmula .......................................... 6
 Lógica e fórmula na prática ..................................................... 7
Conclusão ............................................................................... 8
Bibliografia .............................................................................. 9
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Introdução
 Lógica de Primeira Ordem, também chamada de Lógica de Predicados, 
é estendida pela Lógica de Segunda Ordem e é um suplemento para a 
Lógica Proposicional, sendo que a Lógica Proposicional não possui uma 
linguagem adequada para representar relações entre objetos e não 
permite identificar a repetição de certos elementos dentro de um mesmo texto. A 
Lógica de Primeira Ordem é dotada de uma linguagem mais rica, tem várias 
aplicações importantes não apenas para matemáticos e filósofos como também para 
estudantes de Ciência da Computação.
A principal diferença entre Lógica de Primeira Ordem é o compromisso ontológico, 
isto é, o que cada linguagem pressupõe sobre a natureza da realidade. A Lógica 
Proposicional pressupõe que existem fatos que são válidos ou não-válidos no 
Universo enquanto a Lógica de Primeira Ordem pressupõe que o Universo consiste 
em objetos com certas relações entre eles que são válidas ou não-válidas. 
A
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Classes sintáticas – Termos e fórmulas
A Lógica de Primeira ordem é dividida em duas classes sintáticas: a dos termos e a 
das fórmulas.
Os termos denotam os vários objetos de discurso.
As fórmulas denotam as asserções (fatos) sobre os termos.
Na classe sintática encontramos alguns elementos que a lógica proposicional não 
nos permite, tais como constantes, variáveis, predicados e quantificadores.
Elementos
Constantes
Se referem a algum substantivo: uma pessoa, um lugar, um objeto, etc.
 Exemplo:
 Paulo, casa, maçã, Japão, carro, etc.
Também se utiliza para os números
 Exemplo:
 1, 2, 3, etc.
Pode ser representada por qualquer letra minúscula como “a, b, c, ...” para dar valor 
a uma constante e pode-se utilizar números na frente das letras, se necessário, para 
representar maior número de variáveis.
Variáveis
São representadas por letras minúsculas, geralmente representadas pelas letras “x, 
y, z” e são utilizadas para dar valor a algo não identificado no Universo.
 Exemplo:
 Alguém, algo, etc.
Pode-se utilizar números na frente das letras, se necessário, para representar maior 
número de variáveis.
Predicados
São propriedades ou relações, em outras palavras, são aquelas expressões que 
dizemos algo de alguém ou de algum objeto e suas relações entre os mesmos. 
Tipicamente se identificam por meio de um verbo que empregamos a dizer algo de 
certo objeto.
Os predicados são geralmente representados pela letra inicial desta expressão.
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Exemplos:
 Usaremos a e b para representar uma constante e a primeira letra do predicado 
maiúscula.
 Fernanda é linda. = La
 Pedro e Lucas brincaram hoje. = Bab
Os predicados se classificam segundo os números de argumentos.
Exemplos:
 Unário
 Tem um único argumento:
 “José é um menino. = Ma”
 Binário
 Tem dois argumentos:
 “Clara é amiga de Ana. = Aab”
 Ternário
 Tem três argumentos:
 “Jonas está sentado entre Gabriel e Felipe. = Sabc”
Quantificadores
Representados por ∀ (universal) e ∃ (existencial).
Quantificador Universal:  (pronuncia-se “Para todo...”)
 Significado: “para todos”, “para cada”, “para qualquer”, “qualquer que seja”, “para 
todo”, “todos”, “tudo”.
Exemplo:
 Toda árvore tem folhas.
 ∀x(Fx) -> Para qualquer x, Fx --> Para qualquer árvore, árvore tem folhas.
 Quaquer que seja x, Fx --> Quarquer que seja a árvore, árvore tem
 folhas.
 Todas x, Fx --> Todas árvores, árvore tem folhas.
Quantificador Existencial:  (pronuncia-se “Existe...”)
 Significado: “existe”, “existe um elemento”, “existe pelo menos um elemento”, 
“existe um elemento tal que”, “algo”, “alguma coisa”.
Exemplo:
 Algumas árvores tem folhas.
 ∃ x(Fx) -> Para algum x, Fx --> Para alguma árvore, árvores
 tem folhas.
 Existe pelo menos um x tal que Fx --> Há pelo menos uma árvore tal
 que árvores tem folhas.
 Há um x que é F --> Há uma árvore que tem folhas.
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Entendendo a lógica e a fórmula
Considere o seguinte conjunto de frases:
 1. Marcos é um homem.
 2. Marcos é brasileiro.
 3. Dilma é presidente
 4. Todos os brasileiros são leais a Dilma ou odeiam Dilma.
 5. Os brasileiros vaiam presidentes a quem não sejam leais.
 6. Marcos vaiou a Dilma.
Estes fatos podem ser representados como um conjunto de FBF (Fórmula Bem 
Formulada):
 1. homen(Marcos)
 2. brasileiro(Marcos)
 3. presidente(Dilma)
 4. ∀ x brasileiro(x) → leal(x,Dilma) v odeia(x,Dilma)
 5. ∀ x y brasileiro(x) ^ presidente(y) ^ vaia(x,y) → ~leal(x,y)
 6. vaia(Marcos, Dilma).
Símbolos utilizados na Lógica de Primeira Ordem:
Conectivos:
Variáveis:
Constantes:
Símbolos de predicados:
Quantificadores:
Parênteses:
Termos:
~ • → ↔ ∨ ∧
x, y, z, ... , x1, y2, z3, ...
a, b, c, ... , a1, b2, c3, ...
P, Q, R, S, ...
∀ (universal), ∃ (existencial)
() , [] , {}
as variáveis e as constantes são 
designadas pelo nome genérico de 
termos os quais serão designados por 
 t1 , t2 , ... , tn ...
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Exemplos:
"Maria é inteligente" : 
 I(m) ; onde "m" está identificando Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente".
"Alguém gosta de Maria" :
 G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém".
De modo geral temos:
P(x) : significa que x tem a propriedade P .
(∀x)P(x): significa que a propriedade P vale para todo x, ou ainda, que todos os 
objetos do Universo considerado tem a propriedade P.
(∃x)P(x): significa que algum x tem a propriedade P, ou ainda, que existe no mínimo 
um objeto do Universo considerado que tem a propriedade P.
Lógica e fórmula na prática:
1. Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas.
 Pedro não é amigo de Jonas.
 Logo, Pedro não é amigo de Carlos.
 ∀(x) (P(x,c) → P(x,j))
 ~ P(p,j) 
 ~ P(p,c)
Onde P(x,y) significa que x é amigo de y e c, p, j são constantes que representam 
Carlos, Pedro e Jonas respectivamente.
2. Todos os humanos são racionais. 
 Alguns animais são humanos. 
 Portanto, alguns animais são racionais.
 ∀(x) (P(x) → Q(x))
 (x) (R(x) ∧ P(x)) 
 ∃ (x) (R(x) ∧ Q(x))
Onde P, Q, R simbolizam as propriedades de: ser humano, ser racional e ser animal 
respectivamente.
Conclusão
A Lógica de Primeira Ordem é mais elevada que a Lógica Proposicional e 
suplemento da mesma por possuir uma linguagem mais avançada tendo uso de 
variáveis, constantes e predicados.
As variáveisrepresentam objetos que não estão identificados no Universo 
considerado ("alguém", "algo", etc.).
As constantes representam objetos identificados no Universo ("Thiago", "o ponto A", 
etc. ).
Os predicados representam propriedades ou relações entre os objetos do Universo.
Os quantificadores são representados pelos símbolos  e  que são utilizados para 
expressar “Para todo...” e “Existe...”, respectivamente, sobre um objeto do Universo.
As fórmulas são representadas por símbolos que em sequência lógica expressam 
algo do Universo.
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Bibliografia
http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm
http://iblogbox.com/pig/docview/v.php?url=http
%3A//www.lcmat.uenf.br/page_attachments/0000/0136/AulaRevisao_IA-
UENF2010.ppt
Youtube – Lógica de predicados
Texto - Lógica de Primeira Ordem – Carlos Bacelar Almeida
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