INTRODUÇÃO A ANALISE REAL (1)

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V476i Veras, Tiago Mendonça Lucena de.
 Introdução à análise real / Tiago Mendonça 
 Lucena de Veras. – Mossoró: EdUFERSA, 2014.
 80 p. : il.
 ISBN: 978-85-63145-71-0
 1. Matemática. 2. Análise real. 3. Funções de 
 variáveis reais. I. Título.
 RN/UFERSA/BCOT CDD 515.8
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Caro(a) aluno(a);
O curso de introdução a Análise Real é uma primeira abordagem de alto nível do 
curso de matemática. Nele, serão estudados diversos conceitos que já foram vistos 
anteriormente por qualquer aluno de um curso de graduação em matemática, porém 
de forma mais aprofundada. De fato, o caminho exigirá uma dedicação maior do que 
já vista em outras disciplinas, mas ela será o diferencial para a compreensão de uma 
disciplina que é de grande valia para a sua formação profissional. Todo estudante 
de matemática, que realmente ame a matemática certamente contou os dias pela 
chegada desta disciplina.
O curso de Análise Real é parte de uma das grandes áreas da matemática chamada 
de Análise, cujo objetivo é o estudo do conjunto dos números reais, onde estudamos 
os conceitos de sequências, séries e topologia; e funções de uma variável real onde 
estudamos os conceitos de limite, continuidade e derivadas de funções.
Nossa maior referência bibliográfica durante o curso será o livro Análise Real 
volume 1 – Funções de Uma Variável Real, do autor Elon Lages Lima, publicado 
pelo IMPA – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, na coleção Projeto 
Euclides.
Um forte abraço.
SOBRE O AUTOR
Possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal 
Rural de Pernambuco (2007) e Mestrado em Matemática pela Universidade 
Federal do Ceará (2011) onde também foi professor Substituto. Atualmente é 
professor do DCEN da Universidade Federal Rural do Semi-Árido.
Profº. Tiago Mendonça Lucena de Veras
SUMÁRIO 
UNIDADE I
CONJUNTOS 13
Conjuntos e elementos 13
Representação 13
Conjuntos Numéricos 14
Definições e operações entre conjuntos 16
Operações entre conjuntos 17
PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA 21
• Princípio de indução finita 21
Princípio de indução finita (generalização) 23
Princípio da boa ordenação 23
Teorema (Propriedade Arquimediana) 24
NUMEROS REAIS 25
O corpo ordenado dos Números Reais 25
SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS 29
• Limite de uma sequência 31
Operações com limites 33
Sequência de Cauchy 35 
Limites infinitos 36
UNIDADE II
SÉRIES 41
Conceitos e definições 41
Critérios e testes de convergência 44
TOPOLOGIA EM (Conceitos Elementares) 48
Conjuntos abertos 48
R
Conjuntos fechados 50
Pontos de acumulação 51
Conjuntos compactos 52
UNIDADE III
LIMITES DE FUNÇÕES 55
Definições e operações 55
Limites laterais de uma função 60
Limites no infinito 62
FUNÇÕES CONTÍNUAS E DERIVADAS 63
Definições (limites) 64
Derivadas 66
I CONJUNTOS
Na primeira unidade vamos estudar Conjuntos, Princípio de 
Indução Finita, Números Reais e Sequência de Números Reais. 
Tais teorias, além da aprendizagem, nos fornecerão uma base 
e ferramentas importantes para o desenvolvimento do curso, 
elas serão indispensáveis aos alunos para os capítulos que 
estão por vir.
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
IARAutor: Tiago Mendonça Lucena de Veras
13
I - CONJUNTOS
Conjuntos
UN 01
Conjuntos e elementos
Vamos iniciar nosso estudo no curso de Introdução à Análise Real fazendo uma breve abordagem sobre a 
“ingênua” teoria elementar dos conjuntos. Nesta abordagem daremos ênfase às principais noções que serão 
de grande utilidade no decorrer do curso e, em seguida, apresentaremos os principais conjuntos numéricos 
que serão trabalhados. 
SAIBA MAIS
O termo “Ingênua” é uma referência ao livro escrito em 1960 por Halmos.P.R. , sob o título 
Naive Set Theory, traduzido no Brasil como Teoria Ingênua dos conjuntos, um livro não trivial 
sobre conjuntos.
Para iniciar nosso estudo, vamos precisar de três conceitos primitivos que devem ser aceitos sem que haja 
necessidade de prova. São eles: Elemento, Conjunto e Pertinência.
Um conjunto é equivalente a uma coleção, classe ou agrupamento. Os objetos que compõem o conjunto 
são chamados de elementos do conjunto. Por exemplo, no conjunto das vogais, qualquer uma das vogais 
representa um objeto do conjunto e, portanto, recebem o nome de elemento. Denotaremos, em geral, um 
conjunto com letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas.
Dados um conjunto A e um elemento x, temos duas condições: 
i. x é um elemento do conjunto A, neste caso dizemos que x pertence a A e denotamos x A∈ .
ii. x não é um elemento do conjunto A, neste caso dizemos que x não pertence a A e denotamos .x A∉
Obs: A relação de pertinência é a relação básica entre um elemento e um conjunto.
Exemplo 1: Seja A o conjunto das vogais. Então, a A∈ (a pertence ao conjunto A) e x A∉ (x não pertence 
ao conjunto A).
Representação
Dentre as formas de representar conjuntos, há duas que nos interessam:
i. Quando o conjunto possuir uma quantidade pequena, finita ou infinita de elementos, podemos 
representá-lo simplesmente colocando seus elementos entre chaves e usando reticências se possível.
Exemplo 2: O conjunto dado no Exemplo 1, pode ser representado por
 { }, , , ,A a e i o u=
Exemplo 3: O conjunto formado pelas letras do alfabeto, pode ser representado por{ }, , , , , , ,A a b c d e f z= …
Obs: Neste, embora haja o uso de reticências, o conjunto é finito.
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números Naturais (

)
O conjunto dos números naturais (ou simplesmente os naturais) é historicamente o primeiro conjunto 
a ser adotado nas civilizações, seu conceito matemático é um dos mais antigos conhecido pelo homem e 
Exemplo 4: Seja B o conjunto dos segundos que passarão de hoje em diante.
 { }1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A = …
Obs: Neste caso, o conjunto é infinito.
i. Neste caso, o conjunto A é determinado pelos elementos que satisfazem uma determinada 
Propriedade P, logo podemos representá-lo 
{ } ; A x x satisfaz P= ,
onde lê-se: O conjunto A é o conjunto de todos os elementos x , tal que, x satisfaz a propriedade P. Se 
os elementos do conjunto A que satisfazem P são elementos de um conjunto fundamental F, podemos 
rescrever
{ }; A x F x satisfaz P= ∈ .
Exemplo 5: O conjunto dos números que elevados ao quadrado são iguais a eles mesmo.
{ }2; A x x x= = .
Suponha que nenhum elemento do conjunto fundamental F satisfaça uma propriedade V. Neste caso, o 
conjunto dado por
 { }; x F x satisfazV∈
não terá nenhum elemento, isto nos permite realizar a seguinte definição.
Definição (conjunto vazio): O conjunto que não possui nenhum elemento é denominado conjunto vazio 
e será denotado por ∅ ou {} . Observe que pela definição de vazio, .x x F∉∅∀ ∈
Exemplo 6:
6.1) O conjunto dos meses do ano que começa com a letra z.
6.2) O conjunto dos números negativos maiores que zero.
6.3) { };x x x≠ .
6.4) { }2; 0 .x x <
Observe que todos os exemplos são conjuntos vazios, ou simplesmente ∅ .
Definição (Conjunto Unitário): Um conjunto A é dito unitário quando possui um único elemento, ou seja, 
se só existir um único elemento x que satisfaça a propriedade exigida por A dizemos que A é unitário e 
denotaremos
{ }A x= .
Exemplo 7: O conjunto S dos dias da semana que começam com D. 
 { }S domingo=
Exemplo 8: O conjunto dado { };U x x x= = − equivale ao conjunto { }0 .U =
{ }0,1,2,3,4,5,6,7, .= …N
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
IARAutor: Tiago Mendonça Lucena de Veras
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I - CONJUNTOS
inicialmente ele era utilizado para fins de contagem. A necessidade de estudá-lo nos fez formalizar sua 
representação, bem como obter seus axiomas. Portanto, o conjunto dos números naturais será dado e 
denotado da seguinte forma:
{ }0,1,2,3,4,5,6,7, .= …N .
O matemático italiano Giuseppe Peano, foi responsável por estabelecer um conjunto de axiomas para 
os números naturais capaz de definir as propriedades aritméticas de números naturais, tal conjunto é 
conhecido como Axiomas de Peano, embora tenham sido estabelecidos no século XIX, tais axiomas são 
utilizados atualmente em diversos campos de pesquisas sem que haja necessidade de alterações.
Conjunto dos números Inteiros ( )
O conjunto dos números inteiros (ou simplesmente os inteiros) será definido e denotado por
{ }, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3= … − − − − … .
Observe que o conjunto dos número inteiros é um conjunto que contém dentro dele o conjunto dos 
números naturais, logo o que difere os naturais dos inteiros é que o conjunto dos inteiros é composto dos 
números naturais juntamente com os números naturais com sinal negativo.
Conjunto dos números Racionais ( )
O conjunto dos números racionais (ou simplesmente os racionais) será definido e denotado por
 ; 0 .p p eq comq
q
 
= ∈ ∈ ≠ 
 
  
Portanto, os racionais é o conjunto composto das frações (cujo numerador e denominador são números 
inteiros com o denominador diferente de zero), todos os números decimais exatos e periódicos. Observe 
que os números racionais contém dentro dele os números inteiros e, consequentemente, os números 
naturais
Conjunto dos números Irracionais ( )
Definimos o conjunto dos números irracionais ( ou simplesmente os irracionais) como os números que 
não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros. São exemplos dos números irracionais as 
dízimas não periódicas, as raízes não exatas. 
Historicamente, esse conjunto surgiu de um problema onde Pitágoras buscava compreender o comprimento 
da diagonal de um quadrado de lado 1, neste caso a diagonal media 2 . Desta forma, 2 é um número que 
não pertencia ao conjunto dos racionais e, portanto, haveria um outro conjunto ao qual ele deve pertencer. 
São exemplos de números irracionais: 2, 3, π e dízimas não periódicas.
Conjunto dos números Reais ( )R
Podemos definir o conjunto dos números reais (ou simplesmente os reais) como o conjunto formando 
pela união dos racionais com os irracionais. É no conjunto dos números reais que nosso estudo será 
desenvolvido, no próximo capítulo ele será retomado e estudado de forma mais ampla afim investigar as 
propriedades que o mesmo satisfaz e descobrir mais informações sobre o mesmo.
Logo, dado qualquer .x x ou x∈ ⇒ ∈ ∈R  
SAIBA MAIS
Você pode ampliar o seu conhecimento por meio de vários sites que abordam o tema Conjuntos 
Numéricos, entre eles temos:
http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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Definições e operações entre conjuntos
Definições entre conjuntos
DICA
Para compreender os exemplos citados no decorrer desse tópico você deve conhecer os símbolos 
usados na matemática. Estes símbolos podem ser encontrdos em vários sites, entre eles temos:
http://matematicaprofcarla.blogspot.com.br/2011/02/matematica-e-simbolos.html
Antes de realizarmos operações entre conjuntos, precisamos introduzir algumas definições.
Definição (igualdade de conjuntos): Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é igual a B quando todo 
elemento de A também for elemento de B e vice-versa, ou seja,
{ } ;A B x x A x B= ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈ .
Definição (relação de inclusão): Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B e denotamos 
por A B⊂ , quando todo elemento de A também é elemento de B, ou seja, 
A B x x A x B= ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈{ };
Neste caso, dizemos que A está contido em B ou que B contém A ( B A⊃ ). Esta relação entre conjuntos é 
chamada de relação de inclusão.
Exemplo 9: De acordo com o estudado no tópico de conjuntos numéricos temos que ⊂ ⊂ ⊂N   R.
Exemplo 10: Seja R o conjunto dos triângulos retângulos e T o conjunto dos triângulos. Logo,
 .x R x T R T∀ ∈ ⇒ ∈ ∴ ⊂
 
Observe que nem todo elemento de T é elemento de R, ou seja,
 x T x R∈ ∈ .
Logo, dizemos que T não está contido em R e denotamos por T R⊆ , neste caso, temos R T e R T⊂ ≠ .
Ao dizer que A B⊂ não implica necessariamente que B A⊆ , quando acontecer de A B⊂ e B A⊂ dizemos 
que A B= . Porém, quando A B e A B⊂ ≠ , dizemos que A é subconjunto próprio de B.
Desafio: Fica a cargo do leitor provar os seguintes resultados:
i. Se .A B e B A A B⊂ ⊂ ⇒ =
ii. Se .A B e B C A C⊂ ⊂ ⇒ ⊂
Proposição: Todo conjunto A é subconjunto dele mesmo.
Demonstração: De fato,
 .x A x A A A∀ ∈ ⇒ ∈ ∴ ⊂
Proposição: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A.
Demonstração: Suponha que A∅⊆ , então existe um elemento x tal que x A∈∅ ∉ , absurdo! Logo, o erro 
está em supor que A∅ ⊆ , portanto, A∅⊂ .
Definição (conjunto das partes): Dado um conjunto A, definimos e denotamos por P A( ) o conjunto das
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I - CONJUNTOS
partes de A, onde cada elemento de P(A)é um subconjunto de A. 
Exemplo 11: Dado o conjunto {0, 1, 2, 3}, temos:
(A)={Ø, {0},{1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0,1,2}, {0,1,3}, {0,2,3}, {1,2,3},{0,1,2,3}=A}
Operações entre conjuntos
Vamos definir e obter as principais propriedades referentes às operações de conjuntos.
Reunião de Conjuntos
Definição: Dados os conjuntos A e B, definimos e denotamos a reunião A e B pelo conjunto
{ }; .= ∈ ∈∪A B x x A ou x B
Ou seja,se x A B∈ ∪ 
então x é elemento de A ou x é elemento de B.
Exemplo 12: Segue abaixo alguns exemplos sobre reunião de conjuntos. 
12.1) Dados { }1,2,3,4A = e { } { }4,5,6 1,2,3,4,5,6 .B A B= ⇒ =∪
12.2) Dados { }, ,A a b c= e { } { }1,2,3 , , ,1,2,3 . B A B a b c= ⇒ =∪
12.3) Dados { }, ,A a b c= e { }, ,B A B a b c=∅⇒ =∪
Exemplo 13: Sejam { }; 7A x x é par emenor que= e { }; 5B x x= ≤ , segue que { }0,1,2,3,4,5,6A B =∪ .
Exemplo 14: Sejam { }2;A x x x= = e { }2 1; 1 3B x k k e k= = + ∈ ≤ ≤N , então { }0,1,3,5,7 .A B =∪
Exemplo 15: Sejam { }2; 0A x x= ∈ <R e { }; 0B x x é divisível por= ∈R , então .A B =∅∪
Observe que o Exemplo 15 equivale a .∅ ∅ =∅∪
Propriedades da reunião de conjuntos
Dados quaisquer conjuntos , A B eC , são propriedades da reunião de conjuntos
(i) A A A=∪
(ii) A A∅ =∪
(iii) A B B A=∪ ∪
(iv) ( ) ( )A B C A B C=∪ ∪ ∪ ∪
Demonstração (iii):
De fato, para todo x A B x Aou x B x B A∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈∪ ∪ , logo todo elemento de A B∪ é elemento de B A∪
portanto A B B A=∪ ∪ . Deixaremos as outras demonstrações como exercícios para o leitor.
Intersecção de conjuntos
Definição: Dados os conjuntos A e B, definimos e denotamos a intersecção de A e B pelo conjunto
{ }; .= ∈ ∈∩A B x x A e x B
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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Ou seja, se x A B∈ ∩ então x é elemento de A e x é elemento de B.
Exemplo 16: Segue abaixo alguns exemplo de intersecção de conjuntos.
16.1) Dados { }1,2,3,4A = e { } { }1,2,3,4,5,6 1,2,3,4 .B A B= ⇒ =∩
16.2) Dados { }1,2,3,4A = e { } { }1,2 1,2 .B A B= ⇒ =∩
16.3) Dados { }1,2,3,4A = e { }5,6B A B= ⇒ =∅∩
16.4) Dados { }, ,A a b c= e { }1,2,3 . B A B= ⇒ =∅∩
16.5) Dados { }, ,A a b c= e .B A B=∅⇒ ∩ =∅
Exemplo 17: Sejam { }; 7A x x é par emenor que= ∈N e { }; 5B x x= ∈ ≤N , segue que { }0,2,4A B =∩ .
Exemplo 18: Sejam { }2;A x x x= = e { }2 1; 0 3B x k k e k= = + ∈ ≤ ≤N , então { }1 .A B =∩
Exemplo 19: Sejam { }2;A x x x= = e { }2 1; 1 3B x k k e k= = + ∈ ≤ ≤N , então { }.A B =∩
Exemplo 20: Sejam { }2; 0A x x= ∈ <R e { }; 0B x x é divisível por= ∈R , então .A B =∅∩
Observe que o Exemplo 20, equivale a .∅ ∅ =∅∩
Propriedades da intersecção de conjuntos
Dados quaisquer conjuntos , A B eC , são propriedades da intersecção de conjuntos
i) A A A=∩
ii) A ∅ =∅∪
iii) A B B A=∩ ∩
iv) ( ) ( )A B C A B C=∩ ∩ ∩ ∩
Demonstração (iii):
De fato, para todo x A B x Ae x B x B A∈ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈∩ ∩ , logo todo elemento de A B∩ é elemento de B A∩ 
portanto, A B B A=∩ ∩ . Deixaremos as outras demonstrações como exercícios para o leitor.
Definição (Conjuntos disjuntos): Dados dois conjuntos ,Ae B quando A B =∅∩ dizemos que Ae B são 
con- juntos disjuntos, ou seja, não há elementos em comum entre Ae B .
Os Exemplos 19 e 20 são exemplos de conjuntos disjuntos.
Propriedades que relacionam união e intersecção
Dados quaisquer conjuntos , A B eC , são propriedades que relacionam a união e a intersecção de conjuntos
i) ( )A A B A=∪ ∩
 
ii) ( )A A B A=∩ ∪
iii) ( ) ( ) ( )A B C A B A C=∪ ∩ ∪ ∩ ∪
iv) ( ) ( )A B C A B C=∩ ∩ ∩ ∩
Demonstração (i)
De fato, temos que ( ) x A A B x Aou x A B x A∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈∪ ∩ ∪ . Logo todo elemento de ( ) A A B∪ ∩ é
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I - CONJUNTOS
elemento de A portanto fica provada (i).
Demonstração (ii)
De fato, temos que ( ) x A A B x Ae x A B x A∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈∩ ∪ ∪ . Logo todo elemento de ( ) A A B∩ ∪
 
é 
elemento de A portanto fica provada (ii).
Demonstração (iii)
De fato, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .x A B C x Aou x B C x AouB e x AouC x A B A C∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ 
Logo todo elemento de ( ) A B C∪ ∩ é elemento de ( ) ( )A B A C∪ ∩ ∪ portanto fica provada (iii).
Deixaremos a prova da propriedade (iv) como exercícios para o leitor.
Diferença de conjuntos 
Definição: Dados os conjuntos A e B, definimos e denotamos a diferença entre A e B por
 { }− = ∈ ∉A B x A e x B
 
ou seja, a diferença entre A e B é o conjunto composto por todos os elementos de A que não pertencem a B.
Exemplo 21: Sejam { }2; 17A x x= ∈ <N e { }; B x x é primo= ∈N , então 
 { }0,1,4 .A B− =
Exemplo 22: Considere os conjuntos  e N, então:
22.1) { }, 3, 2, 1− = … − − − N
22.2) ∅− =N 
Complementar de um conjunto 
Definição: Dados os conjuntos A e B com B A⊂ , definimos e denotamos o complementar de B com rela- 
ção a A por
B
A A B= −
ou seja, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertençam a B desde que B esteja contido em A.
Muitas vezes estaremos obtendo o complementar de um conjunto A em relação ao conjunto fundamental 
F, neste caso podemos reescrever
 F
A
AF A= − =
o qual chamaremos simplesmente por complementar de A.
Exemplo 23: Considere os conjuntos  e N, então:
 
A-B 
 A B 
I - CONJUNTOS
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23.1) Dados { } { }0,1,2,3,4 2,3A e B= = , então { }0,1,4BA =
23.2) Dados { }0,1,2,3,4 A e B A= = , então BA =∅
 
23.3) Dados { }0,1,2,3,4 A e B= =∅ , então BA A=
Propriedades do complementar 
Dados os conjuntos A, B e C com B A⊂ e C A⊂ , são satisfeitas as seguintes propriedades:
i) A
A =∅
ii) BA B =∅∩
iii) BA B A=∪ 
iv) 
A A
∅ =
v) ( ) BABA A A B= =   
vi) ( )B C B C
A AA
∩ = ∪  
vii) ( )B C B C
A AA
∪ = ∩  
Faremos aqui o caso (vii), fica a cargo do leitor verificar as demais propriedades.
Demonstração (vii)
De fato, tome 
 ( ) { } { } B CAx x Ae x B C x Ae x B e x Ae x C∪∈ ⇒ ∈ ∉ ⇒ ∈ ∉ ∈ ∉∪ . Logo B CA A∩  .
 
Nos capítulos seguintes trabalharemos com os subconjuntos X ∈R, tal simplificação nos permitirá 
denotar 
X X= −R como o complementar de X com relação a R, sem que haja necessidade de mencionar 
o conjunto .R
1. Dados X, Y subconjuntos do conjunto fundamental F, prove que: 
a) YX ⊂  se, e somente se, X Y =∅∩ .
b) X Y F=∪ se, e somente se, X Y⊂ .
c) X Y⊂ se, e somente se, YX =∅∩ .
d) Se X Y =∅∩ e X Y F=∪ então XY =  .
2. Prove que X Y= se, e somente se, ( ) ( )Y XX Y =∅∩ ∪ ∩  . 
3. Considere os conjuntos , ,A B X tais que A ⊂ X e B ⊂ X . Se K é um conjunto tal que A K⊂ e B K⊂ , 
então X K⊂ . Prove que X A B= ∪ . 
4. Mostre que ( ) ( )B AA B A B A B= −∪ ∪ ∩  .
EXERCÍCIO PROPOSTO
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I - CONJUNTOS
Princípio de indução finita
UN 01
Considere a seguinte afirmação: Dada a expressão ( ) 2 *41, f n n n n= − + ∀ ∈N temos que ( )f n é um número 
primo. Até o presente momento, você certamente não pode dizer se a afirmação está ou não correta, mas 
você certamente irá tentar verificá-la substituíndo valores na expressão afim de obter alguma resposta ao 
menos negativa. 
Porém, ao realizar alguns testes você terá que:
Para ( )1 1 41 .n f é primo= ⇒ =
Para ( )2 2 43 .n f é primo= ⇒ =
Para ( )3 3 47 .n f é primo= ⇒ =
 .
 .
 .
Segue que se 40n = podemos dizer que ( )40 .f é primo é primo isto nos conduz a impressão de que se tal informação é válida para tantos números, deve realmente ser verdadeira. Mas para ( )41 41 .n f nãoé primo= ⇒ Isto 
significa que embora uma afirmação seja válida para uma quantidade incalculável de casos, porém se 
existir um caso que contrarie a afirmação esta deixa de ser verdadeira. Além disto, vimos que tal método é 
ineficaz para garantir a veracidade de nossa afirmação. 
Na matemática, verificar se uma informação é verdadeira para um grande número de casos não nos 
permite concluir que a mesma é válida, porém é bem mais fácil verificar a sua não validade, para isto 
basta descobrir que para algum momento ela não é verdadeira. No exemplo anterior, se nós tivéssemos 
descoberto que 41n = é um caso onde a afirmação é falsa é suficiente para negar a nossa afirmação. 
Por exemplo, ao afirmarmos que a expressão *2 10 0 n n− > ∀ ∈N , verificaremos que a afirmação é falsa 
simplesmente fazendo 3n = ,mesmo que ela seja verdade para outros valores de n, a afirmação é falsa.
Portanto, para solucionar casos desse tipo recorreremos ao famoso princípio de indução finita que será a 
ferramenta matemática capaz de nos garantir que uma afirmação é verdadeira para um número infinito 
de casos.
Princípio de indução finita
Seja ( )P n uma proposição relativa aos números reais. Provar que ( )P n é válida para todos os números 
naturais consiste em três passos:
i. Mostre que a afirmação ( )1P é verdadeira.
ii. Suponha que ( )P n é verdadeira para algum *n∈N .
iii. Verifique se ( )1P n+ é verdadeira.
Se ( )1P n+ for verdadeira então a afirmação ( )P n é válida para todos os números naturais, ou seja, 
mostrar que ( )P n é uma afirmação verdadeira para todos os números naturais equivale a mostrar que é 
verdadeira para 1n = , supor verdadeira para o valor n e provar que 1n+ é verdadeira.
Ao que segue, daremos diversos exemplos de como utilizar o princípio de indução para verificar a 
veracidade de proposições relativas aos números naturais.
Exemplo 24: A proposição 
( ) ( )
n n 1
P n 1 2 3 4 n
2
+
= + + + +…+ =
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
IAR Autor: Tiago Mendonça Lucena de Veras
22
é verdadeira para todo número natural positivo?
De fato, segue do princípio de indução que 
i. ( )1 1P = 
ii. Suponha que ( )P n é verdadeira para algum *n∈N .
iii. Vamos verificar ( )1P n+ .
Por hipótese, temos de acordo com (ii) que segue 
Mas observe que
logo, têm-se que 
 
e, portanto, a afirmação é verdadeira.
Exemplo 25: Prove que
( ) 2( ) 1 3 5 2 1 .p n n n= + + +…+ − =
Demonstração: 
i. Veja que ( ) 21 1 1 1n P= ⇒ = = . 
ii. Suponha que a proposição é verdadeira para algum *n∈N . 
iii. Vamos verificar que é verdadeira para ( 1)p n+ .
e, portanto, 
Logo, pelo princípio de indução fica provado que
 
Exemplo 26: Prove que para todo número natural maior do que 4 tem-se n 22 n .>
Demonstração:
i. Para 5n = , temos 5 22 32 25 5= > = , logo a afirmação é verdadeira para este valor inicial. 
ii. Suponha que para algum n 5> seja verdadeira n 22 n> . 
iii. Então precisamos verificar que é verdade para n 1+ , ou seja
p n n n n n( ) ... ( ) ( )( )= + + + + + = + +1 2 1 1 2
2
( )
2
,
2
+
=
n nP n
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2 2
2
n 1 n 1 1
1
2
n 1 n 1 1 1 2
2 2
3 2 2 2
2 2 2
1
2
 + + + + =
 + + + + + = =
+ + + +
= = +
+
= + +
P n
n n
 
n n n n n 
n n n
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 3 4 n n 1+ = + + = + + + +…+ + +P n P n n
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
1 1 3 5 2 1 2 1 1 1
1 3 5 2 1 2 2 1 2 1
1 3 5 2 1 2 1 2 1 ,
 + = + + +…+ − + + − = + 
= + + +…+ − + + − = + +
= + + +…+ − + + = + +
P n n n n
 n n n n
 n n n n
( ) ( )221 2 1 1+ = + + = + P n n n n
( ) ( ) 21 3 5 2 1 .= + + +…+ − =P n n n
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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23
I - CONJUNTOS
 ( )2n 12 n 1 .+ > +
Uma vez que n 3> , multiplicando ambos os lados por n temos
 2 2n 3 2 2 1 2 1.n n n n n n> = + > + ⇒ > +
Além disto, n 1 n 22 2.2 2.n+ = > . Logo
 ( )2n 1 n 2 2 2 22 2.2 2.n 2 1 1 .n n n n n+ = > = + > + + = +
Portanto, pelo princípio de indução temos n 22 n , 4.n> ∀ >
Observe que em nosso último exemplo, começamos testando inicialmente n 5= e não n 1= como 
de costume, embora possa não parecer o efeito é o mesmo, mas ele será melhor justificado com uma 
generalização do princípio de indução que daremos a seguir.
Princípio de indução finita(generalização)
Seja ( )P n uma proposição relativa aos números reais. Provar que ( )P n é válida para todos os números 
naturais consiste em três passos:
i. Mostre que a afirmação ( )P k é verdadeira, onde *k∈N .
ii. Suponha que ( )P n é verdadeira para algum *n∈N .
iii. Verifique se ( )1P n+ é verdadeira.
Se ( )1P n+ for verdadeira então a afirmação ( )P n é válida para todos os números naturais. Ou seja, 
mostrar que ( )P n é uma afirmação verdadeira para todos os números naturais equivale mostrar que é 
verdadeira para n k= , supor verdadeira para o valor n e provar que 1n+ é verdadeira.
Princípio da boa ordenação
Dizemos que um número x é o menor elemento de um subconjunto X ⊂N se , .x n n X≤ ∀ ∈ Vamos agora 
enunciar o Teorema do Princípio da Boa Ordenação, uma demonstração do mesmo pode ser encontrada no 
livro Curso de Análise Vol.1, do autor Elon Lajes Lima.
Teorema (Princípio da Boa Ordenação): Seja X um subconjunto qualquer não vazio de N. Então X 
possui um menor elemento.
Além disto, neste mesmo livro pode ser obtido o seguinte teorema.
Teorema: O princípio de indução vale se, somente se, o princípio da boa ordem vale.
Ambos os teoremas são importantes ao que segue no nosso estudo, porém uma demonstração dos mesmos 
não é de interesse do nosso curso.
Exemplo 27: Prove que um polígono convexo de n lados possui ( ) ( )
3
2
n n
P n
−
= diagonais.
Demonstração:
O conjunto { }3,4,5, ..,P n= … representa o conjunto dos números de lados de um polígono convexo, 
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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24
o mesmo é subconjunto de N e pelo princípio da boa ordem P possui um menor elemento, que será 3, 
vamos então utilizar o princípio de indução para validar nossa informação sabendo que 3n = será nosso 
caso inicial.
i. Para 3n = , temos um triângulo e o mesmo não possui diagonais, satisfazendo nossa afirmação pois 
 ( ) ( )
3 3 3
3 0
2
P
−
= = . 
ii. Suponha ( )P n verdadeira para algum *n∈N .
iii. Vamos verificar ( )1 .P n+
Logo,
( )
( ) ( )1 1 3
1
2
n n
P n
 + + − + =
( )( )1 2
 
2
n n+ −
=
 
2 2 
2
n n− −
=
2 3 2 2 
2
n n n− + −
=
2 3 2 2 
2 2
n n n− −
= +
( )
2 3 1 .
2
n n n−= + −
Observe que ao adicionarmos um lado num polígono convexo estamos adicionando 1n− diagonais ao 
polígono anterior. Como 
 ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 1 1
2
n nP n n P n n−+ = + − = + −
temos que ( )1 P n+ possui um total de ( ) ( )1P n n+ − diagonais o que prova nossa afirmação. Portanto, 
( )P n nos fornece o número de diagonais de um polígono convexo.
Teorema (Propriedade Arquimediana)
Se a e b são números naturais tal que .a b< Então existe 0n ∈N tal que 0 .n a b≥
Demonstração:
 
Suponha por absurdo que seja falso o teorema, então dados ,a b∈Rcom a b< então n∀ ∈N temos na b< .
Considere o conjunto
 { }; .X b an n= − ∈N
Veja que se X =∅, nosso resultado está provado. Se X ≠∅ então *X ∈N , portanto pelo princípio da boa 
ordem ele possui um menor elemento, o qual chamaremos de 0b n a− . Observe que ( )0 1b n a X− + ∈ uma 
vez que 0 1n + ∈N .
Mas
 ( )0 0 01 ,b n a b n a a b n a− + = − − < −
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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25
I - CONJUNTOS
isto nos diz que 0b n a− não é o menor elemento de X que é um absurdo. Tal fato contradiz o princípio da boa 
ordem e o absurdo foi supor que era falsa a propriedade arquimediana, o que conclui nossa demonstração.
EXERCÍCIO PROPOSTO
1) Usando o princípio de indução, verifique as afirmações.
a) ( ) ( )( )
1 4 3
2 5 8 2 3 , .
2
n n
n n
+ +
+ + +…+ + = ∀ ∈N
b) 
4
3 3 3 3 *1 2 3 , .
4
nn n+ + +…+ > ∀ ∈N
c) 
( )( )2 2 2 2 *1 2 11 2 3 , .
6
n n n
n n
+ +
+ + +…+ = ∀ ∈N
d) 2 1 2 , 3.nn n+ ≤ ∀ ≥
e) 
( )
1 1 1 1 , *.
1.2 2.3 3.4 1 1
n n
n n n
+ + +…+ = ∀ ∈
+ +
N
2) Demonstre que 2 !, 4.n n n< ∀ ≥
3) Demonstre que 3 22 3 3 1, 3.n n n n> + + ∀ ≥
4) Mostre que 23 1n − é divisível por *8 . n∀ ∈N
5) Mostre que ( )( )1 2n n n+ + é divisível por * 6 .n∀ ∈N
Números reais
UN 01
O que é um número real?
Se você realizar este questionamento a um estudante do ensino médio, ele certamente dirá que é um 
elemento que pertence ao conjunto, denotado por R, formado pela união dos Racionais com os Irracionais. 
Tal resposta não esta incorreta, porém neste capítulo vamos estudar o conjunto dos números reaisde 
forma mais ampla do que a vista no ensino médio, afim de descrever suas propriedades “elementares” e 
suas consequências. 
Nos capítulos seguintes, trataremos de limites e somas de números reais; funções definidas e tomando 
valores em R; além de limites, continuidade e derivadas dessas funções. Justificando, assim, a importância 
deste capítulo para o curso.
O corpo ordenado dos Números Reais
Definição (corpo): Um conjunto A, é dito um corpo se ele satisfaz duas propriedades:
i. Dados , x y A∈ , então x y A+ ∈ .
ii. Dados , , x y A∈ então . x y A∈ .
 
Logo R é um corpo e além disto satisfaz os seguintes axiomas.
I - CONJUNTOS
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26
A1 (Associatividade): 
, ,x y z∀ ∈R temos ( ) ( )x y z x y z+ + = + + .
A2 (Comutatividade): 
, ,x y z∀ ∈R temos x y y x+ = + e . .x y y x= .
A3 (Existência do elemento neutro da soma): 
 ( ) ; 0 .x x a a x∃ ∈ + = =R
A4 (Existência do elemento neutro do produto): 
 ;y∃ ∈R ( ). 1 .y a a y= =
A5 (Inverso da soma): 
 ( ), ; 0 .x y x y y x∀ ∈ ∃ ∈ + = = −R   R
A6 (Inverso do produto): 
 ( )1, ; . 1 .x y x y y x−∀ ∈ ∃ ∈ = =R   R
A7 (Distributividade): 
 ( ), , . . . .x y z temos x y z x y x z∀ ∈ + = +R
Exemplo 28: Mostre que se . 0 0 0x y então x ou y= = =
Suponha 1 0 y y−≠ ⇒ está definido. Multiplique . 0x y = por 1 y− temos:
 1 1. . 0. 0 0.x y y y x− −= = ⇒ = 
Exemplo 29: Mostre que o produto de um número real positivo com negativo é negativo.
De fato, veja que ( ) ( ) ( )0 .0 . . 0x x y y x y x y x y x y= = − + = − + ⇒ − + = . Logo ( ) .x y x y= − = − .
Obs: Utilize o exemplo dois para provar as demais propriedades de regras de sinais.
Desafio 1: Mostre que se 2 2x y= então x y= ± . 
Definição (corpo ordenado): Sejam K um corpo e K K+ ⊂ um subconjunto dos elementos positivos de 
K que satisfaz as seguintes condições:
i. A soma e o produto de elementos positivos são positivos. Ou seja,
, .x y K x y K e x y K+ + +∀ ∈ ⇒ + ∈ ∈ .
ii. Dado x ∈ K, exatamente uma das três alternativas ocorre:
0, x x K ou x K+ += ∈ − ∈ .
Logo R é um corpo ordenado. 
Exemplo 30: Todo ; 0x x∈ ≠R tem quadrado positivo.
De fato, se x +∈R por (i) temos 2 .x x x += ∈R . Se x x+ +∉ ⇒ − ∈R R e novamente por (i) temos 
( ) ( )2 .x x x += − − ∈R .
Desafio 2: Seja + ⊂  o subconjunto dos Racionais positivos, ou seja, 0 p peq
q
> ⇒ tem o mesmo sinal. 
Verifique que  é um corpo ordenado.
Como R é um corpo ordenado, podemos definir uma relação de ordem em seus elementos. Dados ,x y∈R, 
quando afirmamos que y é maior que x (ou x menor que y), denotamos esta relação de ordem por x y< . 
Isto, equivale a afirmar y x +− ∈R , ou seja, y x z= + onde z +∈R . Em particular, ao escrevermos 0x > 
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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27
I - CONJUNTOS
significa que x +∈R , ou seja, x é positivo. Caso 0x < significa que –x +∈R , ou seja, x é negativo.
Proposição: Dado o corpo ordenado R, então a relação < tem as seguintes propriedades:
i. Tricotomia: Dados x,y∈R, ocorre exatamente uma das alternativas:
x y< , ou x y= , ou x y> .
De fato, veja que ou y x x y+− ∈ ⇒ <R , ou x y 0 x y, ou x y x y+− = ⇒ = − =∈ ⇒ >R .
ii. Transitividade: Se x y< e y z< então x z< .
De fato, veja que y x +− ∈R e z y +− ∈R , somando ambos temos z x x .z+− ∈ ⇒ <R
iii. Monotonicidade da adição: Se x y< então z∀ ∈R temos x z y z+ < + .
De fato, veja que ( ) ( )y x y z z x x z y z+− = + − + ∈ ⇒ + < +R .
iv. Monotonicidade da multiplicação: Se x y< então z 0∀ > temos x.y .y z<
Desafio 3: Cabe ao leitor tentar provar o item (iv).
A desigualdade obtida pelo matemático Jacques Bernoulli, é conhecida como desigualdade de Bernoulli 
é de grande relevância para estabelecer e obter alguns teoremas e resultados da análise matemática. 
Segundo Bernoulli, temos a seguinte desigualdade
Desigualdade de Bernoulli: Para todo número real 1x ≥ − e n∈N, tem-se
 ( )1 1 .nx nx+ ≥ +
De fato, mas para provar que tal afirmação é verdadeira, usaremos o princípio de indução finita sobre N.
Demonstração:
Afirmamos que ( ) ( )1 1 , .nP n x nx n= + ≥ + ∀ ∈N Segue do princípio de indução
i. Para 1n = temos, ( )1 1 1 1.P x x= + = + é verdadeira.
ii. Suponha ( )P n verdade para algum n∈N.
iii. Precisamos verificar que ( )1P n+ é verdadeira.
Veja que
 ( ) ( ) 11 1 nP n x ++ = +
 ( ) ( ) 1 1nx x= + +
 ( )( ) 1 1nx x≥ + +
 2 1 x nx nx= + + +
uma vez que 2 0nx ≥ , temos
 ( ) ( ) 1 21 1 1 1nP n x x nx nx x nx++ = + = + + + ≥ + +
segue que
 ( ) ( ) ( )11 1 1 1nP n x n x++ = + ≥ + +
é verdadeira, portanto fica provada a desigualdade de Bernoulli. 
Definição: O módulo (valor absoluto) de um x∈R, denotado por x , é dado por:
i. , 0.x x se x= >
ii. , 0.x x se x= − <
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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28
iii. 0 0.=
Teorema: Para todo x,y∈R, temos x y x y+ ≤ + .
A demonstração deste teorema pode ser obtida em qualquer livro de análise, porém o leitor deve tentar 
prová-la sem a consulta de livro utilizando somente a definição de módulo de um número real.
Teorema: Se ,a x e ε são números reais, temos que
 .x a a x aε ε ε− < ⇔ − < < +
Demonstração: 
Veja que ( ){ }, x a máx x a x a− = − − − , pela definição de módulo observe que se
 ( )
 x a
x a
x a
ε
ε
ε
− <
− < ⇒ − − <
 
 
 
x a
x a
ε
ε
− <
⇒  − > −
o que nos fornece x a ε< + e .x a x a a x aε ε ε ε> − ∴ − < ⇔ − < < +
Obs: Afirmar que x a ε− < significa que todo elemento x pertence ao conjunto aberto ( ),a aε ε− + , 
teríamos [ ],x a aε ε∈ − + se x a ε− ≤ .
No que segue daremos algumas definições que serão importantes nos capítulos posteriores, até o momento 
temos que o conjunto dos números reais é um corpo ordenado, porém vamos assumir que o conjunto dos 
número reais é um corpo ordenado completo, tal prova pode ser facilmente encontrada em diversos livros 
de análise na reta. Para maior aprofundamento da definição de corpo ordenado completo e de outros 
conteúdos referentes à disciplina, recorra a seguinte leitura: LIMA, Elon Lages. Análise Real: funções de 
uma variável. 8 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2006.
Definição: Um conjunto X é dito limitado superiormente quando existe um elemento ; xβ β∈ ≤R para 
todo . x X∈ Quando β satisfaz tal condição, diremos que β é uma cota superior de X, além disto, se Xβ ∈ 
temos que β é dito o elemento máximo (maior elemento) de X.
Definição: Um conjunto X é dito limitado inferiormente quando existe um elemento ; xα α∈ ≤R para 
todo . x X∈ Quando α satisfaz tal condição, diremos que α é uma cota inferior de X, além disto, se Xα ∈ 
temos que α é dito o elemento mínimo (menor elemento) de X.
Definição: Quando um conjunto X é limitado superiormente e inferiormente dizemos que X é um 
conjunto limitado. 
Definição: Seja X um subconjunto de R limitado e não vazio. Um número β é dito supremo de um 
conjunto X quando ele satisfaz duas condições: 
 
i) Temos que , x xβ≤ ∀ ∈R.
 
ii) Se existir ; x x Xθ θ∈ ≤ ∀ ∈R então β θ≤ .
Neste caso, dizemos que β é a menor das cotas superiores do conjunto X e denotaremos por ( )Sup Xβ = .
Definição: Seja X um subconjunto de R limitado e não vazio. Um número α é dito ínfimo de um 
conjunto X quando ele satisfaz duas condições: 
 
i) Temos que , x xα ≤ ∀ ∈R . 
ii) Se existir ; x x Xφ φ∈ ≤ ∀ ∈R então φ α≤ .
Neste caso, dizemos que α é a maior das cotas inferiores do conjunto X e denotaremos por ( )Inf Xα = .
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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29
I - CONJUNTOS
Exemplo 31: O conjunto *
1 , X n
n
 = ∈ 
 
N é limitado superiormente por 1 (um) e inferiormente por 0 (zero), 
pois um é cota superior de X e zero é cota inferior. como 1 X∈ e ( )1 Sup X= temos que 1 é o elemento 
máximo de X. Já ( )0 Inf X= mas 0 X∉ logo, X não possuí elemento mínimo.Exemplo 32: Se A é limitado superiormente e B A⊂ então ( ) ( ).Sup B Sup A≤
Demonstração: Como B A⊂ , temos que toda cota superior de A é cota superior de B, logo ( )Sup A é cota 
superior de B. Como ( )Sup B é a menor das cotas superiores de B segue que ( ) ( ).Sup B Sup A≤
Exemplo 33: Prove que ( ) ( ) ( ).Inf A B Inf A Inf B+ = +
Seja ( )a Inf A= e ( )b Inf B= , então , ,x y A B∀ ∈ respectivamente, temos a x≤ e b y≤ o que nos fornece 
a b x y+ ≤ + , logo, a b+ é cota inferior de A B+ . Assim, , ,x y A B∃ ∈ tal que 
2
x a ε< + e 
2
y b ε< + 
uma vez que , a b são as maiores cotas inferiores. Somando as duas desigualdade temos
 
x y a b ε+ < + +
isto implica em a b+ ser a maior das cotas inferiores e portanto o ínfimo. 
EXERCÍCIO PROPOSTO
1) Mostre que se 1xy = então 1y x−= .
2) Mostre que se ,a b são números reais não nulos então ( ) 1 1 1. .ab a b− − −=
3) Prove que se ,x y são números racionais tais que x y< então existe z racional 
 tal que .x z y< <
4) Mostre que se , 0x y ≥ , então 
2
x yxy +≤ .
5) Prove que x y x y− ≤ − .
6) Prove que x∀ ∈R , temos ( )21 1 2nx nx+ ≥ + .
7) Sejam 0comβ β∈ <R e ,A A⊆ ≠∅R  e limitado, então ( ) ( ).Inf A Sup Aβ β=
8) Se A é limitado inferiormente e B A⊂ então ( ) ( )inf A inf B≤
9) Prove que ( ) ( ) ( )Sup A B Sup A Sup B+ = + 
Sequências de Números Reais
UN 01
Na análise real, os principais conceitos e resultados que serão trabalhados são ou estão relacionados com 
limites. Durante o curso vamos estudar diversos tipos de limites, mas essa seção abordará o conceito 
mais simples de limite que é o que envolve números reais. Estudar limites em números reais, pode ser 
compreendido como analisar um número infinito de números reais e estudar o comportamento do mesmo 
ao longo do tempo.
Definição: Uma sequência de números reais é uma função
 
:x →N R
 ( ) nn x n x→ =
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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30
ou seja, é uma função que associa a cada número natural n um número real ( ) nx n x= . O número real nx 
é chamado de n-ésimo número da sequência ou termo geral da sequência.
Uma sequência de números reais cujo termo geral é nx será denotada por ( )1 2 3, , , , ,nx x x x… … ou 
( )n nx ∈N . Quando desejarmos representar o conjunto dos elementos da sequência denotaremos o mesmo 
por { }1 2 3, , , , ,nx x x x… … ou { }, nx n∈N , não confunda a sequência com conjunto de seus elementos. 
 
Exemplo 34: A sequência ( )n nx ∈N, cujo termo geral é dado por ( )1
n
nx = − é dada por ( )1, 1,1, 1, ,1, 1,− − … − … . 
Observe que o conjunto de seus elemento é dado por { }1, 1− .
Exemplo 35: São exemplos de sequências:
1) ( ) 2 n∈N ou ( )2,2,2, ,2,… …
2) 
* 
1 
nn ∈
 
 
  N
 ou 1 1 11, , , , ,
2 3 n
 … … 
 
3) ( ) 2n n∈N ou ( )
0 1 2 32 , 2 , 2 , 2 , , 2 ,n… …
Definição: Uma sequência de números reais ( )n nx ∈N é dita limitada inferiormente se existe a∈R tal 
que ,na x n≤ ∀ ∈N.
Definição: Uma sequência de números reais ( )n nx ∈N é dita limitada superiormente se existe b∈R tal que 
 , nx b n≤ ∀ ∈N.
Definição: Uma sequência de números reais ( )n nx ∈N é dita limitada quando ela é limitada inferior e 
superiormente, ou seja, existe um número real 0c > tal que , .nx c n< ∀ ∈N
Exemplo 36: A sequência ( ) 2n n∈N é uma sequência limitada inferiormente, visto que 1 2 , 
n n< ∀ ∈R e 
ilimitada superiormente. Já a sequência ( ) 2 1 nn ∈− + N é ilimitada inferiormente e limitada superiormente 
por 1.
A sequência 
* 
1
nn ∈
 
 
  N
 é um exemplo de sequência limitada, visto que 10 1
n
< < ou, se preferir, 1 1 .n
n
< ∀ ∈N 
A sequência, cujo termo geral é dado por ( )1 !nnx n= − é ilimitada inferior e superiormente.
Exemplo 37: Seja 1a > , considere a sequência cujo n-ésimo termo é dado por .nnx a= Logo, a 
sequência 
( )1 2 3, , , , ,na a a a… … é limitada inferiormente e ilimitada superiormente.
De fato, como 1a > então multiplicando ambos os lados da desigualdade por na obtemos 1 n na a a n+ > > ∀ ∈N 
portanto a sequência é limitada inferiormente por a.
Só nos falta mostrar que ela é ilimitada superiormente, para isto faça 1a x= + , com 0x > . Pela 
desigualdade de Bernoulli temos
 ( )1 1 , .nx nx n+ > + ∀ ∈N
Isto nos garante que dado qualquer número α ∈R, é sempre possível na α> , basta que tomemos 1 nx α+ > , 
o que prova nossa afirmação.
Definição: Uma sequência ( )n nx ∈N é dita monótona quando ela satisfaz um dos dois itens:
i. 1 , n nx x n+≤ ∀ ∈N .
ii. 1 , n nx x n+≥ ∀ ∈N .
Quando ( )n nx ∈N satisfaz o item (i), dizemos que a sequência é monótona não decrescente, quando 
satisfaz o item (ii) dizemos que a sequência é monótona não crescente. 
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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31
I - CONJUNTOS
Porém, quando tivermos que ( )n nx ∈N é tal que 1n nx x +< diremos que a sequência é monótona crescente 
(ou estritamente crescente), caso 1n nx x +> diremos que a sequência é monótona decrescente (ou 
estritamente decrescente).
Exemplo 38: A sequência 
* 
1
nn ∈
 
 
  N
é monótona decrescente, a sequência ( ) 2n n∈N é monótona crescente.
Exemplo 39: A sequência ( ) n nx ∈N dada por:
 
2
2 1
 0, 
2 1, 
p
p
p
x se p é par
x
x p se p é ímpar+
==  = +
pode ser expressa (0,1,0,3,0,5,...), logo a sequência é limitada inferiormente, mas não é limitada 
superiormente. Além disto, ( ) n nx ∈N não é monótona.
Considere a sequência
 
:x →N R
 ( ) . nn x n x→ =
Seja  ⊂N N, um subconjunto infinito dado por { }1 2 3, , , , ,kn n n n= … …N .
Definição: Uma subsequência de ( )n nx ∈N é uma restrição da função x ao subconjunto N , ou seja, é a 
sequência ( )nk kx ∈N ou ( )1 2 3, , , , ,n n n nkx x x x… … .
Exemplo 40: Dada a sequência ( ) ( )1,2,3,4, , ,n nx n∈ = … …N , temos que a sequência ( ) ( )1,3,5,7, ,2 1,nk kx n∈ = … + …N 
é uma subsequência composta pelo números impares de ( )n nx ∈N .
No que segue, adotaremos a notação ( )nx para denotar uma sequência de números reais onde fica implícito 
que n∈N .
Limite de uma sequência
Uma vez que definimos uma sequência de números reais e alguns conceitos e características de seu 
comportamento, vamos abordar o que há de mais importante no que se refere ao estudo de sequências 
de números reais. Intuitivamente, queremos estudar como se comporta uma dada sequência de números 
reais a medida que fazemos o n→∞.
Dizer que um número real L é o limite de uma sequência ( )nx equivale a afirmar que a medida que n 
cresce suficientemente ( )n→∞ , os termos nx tornam e se mantém suficientemente próximos de L quanto 
desejarmos ( )nx L→ . Em outras palavras, significa que a distância nx L− torna-se tão pequena quanto 
quisermos (tendendo a zero) desde que tomemos n suficientemente grande ( n tendendo ao infinito).
Quando uma sequência ( )nx tem como limite um número real L, quando fazemos n suficientemente 
grande, dizemos que a sequência ( )nx é convergente, em outras palavras
 lim .nn
x L
→∞
=
Caso contrário, dizemos que a sequência é divergente.
Definição: Dizemos que uma sequência ( )nx converge para um número L, se dado qualquer número real 
0ε > , é sempre possível obter 0n ∈N tal que
 0 .nn n x L ε> ⇒ − <
Logo, se a sequência ( )nx converge para L, significa que para todo número real 0ε > , 
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
IAR Autor: Tiago Mendonça Lucena de Veras
32
dado arbitrariamente, é sempre possível obter 0n ∈N tal que todos os elementos da sequência cujo índice 
0n n> satisfaçam nx L ε− < , ou seja, todos os termos nx estão dentro do intervalo ( ), a aε ε− + .
Tratando de limites, uma pergunta natural que será levantada é: Se uma sequência é convergente, seu 
limite é único? Mostraremos que tal limite, quando existir, é único.
Teorema: Seja ( )nx uma sequência convergente, então seu limite é único.Demonstração: De fato, suponha que tenhamos 1lim nn
x L
→∞
= e 2lim nn
x L
→∞
= com 1 2L L≠ . Uma vez que 1L e 
2L são números reais distintos, é sempre possível obter um 0ε > , tal que os intervalos ( )1 1 1,I L Lε ε= − + 
e ( )2 2 2,I L Lε ε= − + são disjuntos. Mas pela definição de limite de uma sequência, existem 1 2 n en ∈Ntal 
que, 1 2,n n n∀ > temos que os termos 1nx I∈ e 2nx I∈ o que é um absurdo pois os intervalos são disjuntos. 
Logo, nosso erro foi supor que uma sequência convergente que possui dois limites distintos. Portanto fica 
provada a unicidade do limite de uma sequência convergente.
Uma consequência imediata desse teorema é a seguinte:
Corolário: Seja ( )nx uma sequência que converge para um número L, então toda subsequência ( )nkx 
também converge para L.
Desafio: Deixamos como desafio ao leitor tentar demonstrar tal resultado, a ideia da demonstração segue 
a mesma lógica da prova do teorema anterior.
Exemplo 41: Mostre que a sequência 1
n
 
 
 
 é convergente e seu limite é zero.
Demonstração: De fato, tome 0n ∈N tal que 0 1n < , assim para todo 0
0
1 1 n n
n n
> ⇒ < .
Portanto, 0ε∀ > dado, existe 0n ∈N (satisfazendo 0 1n ε < ) tal que
 0 
0
1 10 .n n
n n
ε> ⇒ − < <
De acordo com a definição de limite temos que a sequência tem limite igual a zero.
Exemplo 42: Prove que a sequência 
1
n
n
 
 + 
 é convergente e seu limite é 1.
Demonstração: De fato, veja que 
 11 .
1 1
n
n n
− =
+ +
Mas, dado arbitrariamente 0ε > temos
 1 1 .
1
n
n
εε
ε
−
⇔
+
Portanto, 0ε∀ > dado, arbitrariamente, existe 0
1n ε
ε
−
= tal que
 0 1 ,1
nn n
n
ε> ⇒ − <
+
pela definição de limite de uma sequência, temos que nosso resultado está provado.
Teorema: Toda sequência convergente é limitada.
Demonstração: Seja ( )nx uma sequência que converge para um número real L, então por definição
 0 00, ; .nn n n x Lε ε∀ > ∃ ∈ > ⇒ − <N
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
IARAutor: Tiago Mendonça Lucena de Veras
33
I - CONJUNTOS
Mas, isto equivale dizer que todos os termos da sequência cujo índice seja maior que 0n são tais que 
( ),nx L Lε ε∈ − + , assim esses termos são limitados. Agora, considere
 { }1 2 3 0 , , , , , , .nk máx x x x x L Lε ε= … − +
então os termos da sequência de índice menor ou igual a 0n , também serão limitados e portanto
 , ,nx k n≤ ∀ ∈N
o que prova nosso teorema.
Teorema: Seja ( )nx uma sequência monótona limitada, então ( )nx é convergente.
Demonstração: Considere 1 2 nx x x≥ ≥…≥ ≥… , como a sequência é limitada e não-crescente temos que 
ela possui um ínfimo ζ então lim .nn
x ζ
→∞
= De fato, veja que 0, ε ζ ε∀ > + não é cota inferior de nx . Logo 
existe 0n ∈N tal que 0nx ζ ε< + . Por hipótese 
 
00 .n nn n x x∀ > ⇒ ≤
Logo, 0n n∀ > , temos
 
0
lim .n n nn
x x xζ ε ζ ε ζ
→∞
− < ≤ < + ∴ =
A seguir apresentaremos um corolário do teorema acima, de tão importante tal corolário é conhecido 
como o Teorema de Bolzano-Weierstrass, um dos mais importantes teoremas da teoria de sequência 
de números reais, ele garante que se uma sequência de números reais for limitada então existirá uma 
subsequência desta convergente, isto é de se esperar pois como a sequência será limitada, ela possuirá 
vários elementos da sequência se acumulando próximo a um ou mais números. Dessa forma poderemos 
obter alguma subsequência que convirja para um determinado número.
Corolário (Teorema Bolzano-Weierstrass): Seja ( )nx uma sequência limitada de números reais, então 
( )nx possuí uma subsequência convergente.
Demonstração: Fica a cargo do leitor verificar tal demonstração. Existem diversas versões desta 
demonstração nos diversos livros e materiais de Análise na Reta, por exemplo, o leitor pode verificar uma 
versão no livro já mencionado anteriormente do autor Elon Lages Lima.
Operações com limites
A esta altura, você deve ter dois questionamentos sobre a teoria de sequências: será que são válidas as 
operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de sequências de números reais? Além disto, caso 
sejam válidas, sob quais circunstâncias isso acontece? Antes de responder tais questionamentos, iremos 
provar um teorema que nos auxiliará a obter essas repostas.
Teorema: Seja ny uma sequência limitada e nn
lim x 0
∞→
= . Então lim . 0n nn
x y
→∞
= , independentemente da 
existência do limite de ny .
Demonstração: Como ny é limitada, existe k∈R tal que ny k≤ , além disto pela convergência de nx 
temos 0ε∀ > dado existe 0n ∈N tal que 0 nn n x k
ε
∀ > ⇒ < . Logo, 0n n∀ > temos
 . . .n n n nx y x y kk
ε ε= < =
Portanto, dadas as hipóteses temos lim . 0n nn
x y
→∞
= .
Exemplo 43: O limite da sequência ( )1 cos 20nx nn π= é zero.
Para verificar a demonstração da versão desse teorema para o caso da reta (R) você pode visualizar 
o seguinte link abaixo: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bolzano--Weierstrass.
SAIBA MAIS
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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34
De fato, tome .n n nx y h= onde 
1
ny n
= e ( )cos 20nh nπ= . Veja que ny converge para zero e | | 1nh ≤ 
(limitada). Segue do teorema anterior que lim 0nn
x
→∞
= .
Teorema (Propriedades aritméticas dos limites ): Sejam lim lim n nn n
x k e y s
→∞ →∞
= = então:
1. lim( )n nn
x y k s
→∞
± = ±
2. lim( . ) .n nn
x y k s
→∞
=
3. lim n
n n
x k
y s→∞
= , desde que 0s ≠ .
Demonstração:
i. Faremos o caso do limite da soma das sequências. Dado 0ε > , existem 0 0 n en ∈N tais que para 0n n> 
temos 
2n
x k ε− < e para 0n n> temos 
2n
y s ε− < . 
Logo,
 ( ) .
2 2n n n n n n
x y k s x k y s x k y s ε ε ε+ − + = − + − ≤ − + − < + =
Portanto, fica provado que o limite da soma das sequências é a soma dos limites. Para o caso da subtração 
a construção é análoga.
ii. Observe que
 ( ) ( ).n n n n n n n n nx y ks x y x s x s ks x y s s x k− = − + − = − + −
Logo, provar que 
 lim . . 0n nn
x y k s
→∞
− =
equivale a provar
 
( ) ( )lim 0.n n nn x y s s x k→∞ − + − =
Mas veja que nx é limitada e a sequência ny s− converge para zero, logo do teorema anterior temos 
( )lim 0n nn x y s→∞ − = . Além disto, a sequência nx k− converge para zero e tome s como uma sequência 
constante e consequentemente limitada, temos pelo mesmo argumento que ( )lim 0. nn s x k→∞ − = Portanto 
 
( ) ( )lim 0,n n nn x y s s x k→∞ − + − =
o que prova nosso teorema. 
iii. Fica a cargo do leitor realizar a prova do item iii, é um exercício valioso para desenvolver sua 
habilidade em realizar demonstrações. Em caso de dúvidas, você pode obter tal demonstração nos 
principais livros de análise real, em particular nos livros já mencionados.
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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35
I - CONJUNTOS
Sequência de Cauchy
Algumas vezes é importante saber se uma sequência é convergente mesmo que não conheçamos seu 
limite. Além disto, precisamos de uma critério mais preciso sobre a convergência de uma sequência. Assim 
apresentaremos uma classe de sequências especiais chamadas sequências de Cauchy. verificarmos, que 
uma sequência é de Cauchy será necessário e suficiente para garantir que a sequência seja convergente.
Definição: Uma sequência de números reais ( )nx é dita uma sequência de Cauchy se 0ε∀ > dado, é 
possível 0n ∈N tal que 0,m n n∀ > ∈N implique 
 .n mx x ε− <
Lema: Toda sequência de Cauchy é limitada.
Demonstração: Tome Lε = , então existe 0n ∈N tal que 
, o n mm n n x x L> ⇒ − < .
Em particular temos, 
0o n nn n x x L> ⇒ − < .
Segue que, para 0n n> temos ( )0 0,n n nx x L x L∈ − + . Pondo ,α β o mínimo e máximo elemento, 
respectivamente, do conjunto { }0 01 2, , , , n nx x x L x L… − + concluímos que [ ],nx α β∈ e portanto a sequência é limitada.
Lema: Seja ( )nx uma sequência de Cauchy que possui uma subsequência convergindo para um número 
k, então lim .nn
x k
→∞
=
Demonstração: Por hipótese, 0ε∀ > dado existe 0n ∈N tal que se 0,m n n> temos .2n m
x x ε− < Seja 
( )
inx uma subsequência de ( )nx queconverge para k, então existe 1 0n n> ∈N tal que 1 2nx k
ε
− < .
Logo, 
 
1 10 .2 2n n n n
n n x k x x x k ε ε ε> ⇒ − ≤ − + − < + =
 
Portanto, lim .nn
x k
→∞
=
Teorema: Uma sequência de números reais ( )nx é convergente se, e somente se, é de Cauchy.
Demonstração:
( )⇒
Seja ( )nx uma sequência que converge para o número real k , ou seja, lim nn
x k
→∞
= . Logo, 0ε∀ > dado existe 
uma 0n ∈N tal que se 0,m n n> ∈N temos 
2n
x k ε− < e 
2m
x k ε− < . Logo, para 0,m n n> temos
x x x k x kn m n m− ≤ − + − < + =
ε ε
ε
2 2
.
Portanto, toda sequência convergente é de Cauchy.
Surge agora uma questão natural: A recíproca é válida? Ou seja, será que toda sequência de Cauchy é 
convergente? Para responder tal questionamento temos:
( )⇐ 
I - CONJUNTOS
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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36
Supondo ( )nx uma sequência de Cauchy, pelo lema 4.4.2 ela é limitada, além disso pelo Teorema de 
Bolzano-Weierstrass como ( )nx é limitada ela possui uma subsequência convergente. Por fim, pelo lema 
4.4.3 ( )nx é convergente.
Limites infinitos
Definição: Dizemos que uma sequência ( )nx tende para +∞ , e denotamos
 ( )lim ,n nn x ou x→∞ = +∞ →+∞
quando para todo número real 0M > dado é sempre possível obter 0n ∈N tal que sempre que 0 .nn n x M> ⇒ >
Definição: Dizemos que uma sequência ( )nx tende para −∞ , e denotamos
 ( )lim ,n nn x ou x→∞ = −∞ →−∞
quando para todo número real 0N < dado é sempre possível obter 0n ∈N tal que sempre que 0 .nn n x N> ⇒ <
 
Teorema (Propriedades aritméticas de limites no infinito):
i. Sejam ( )nx →+∞ e ( ) ny é limitada inferiormente, então ( )n nx y+ →+∞ . 
ii. Se ( )nx →+∞ e ( 0)ny nα α> ∀ ∈ >N , então ( . )n nx y →+∞ . 
iii. Se 0 ( ) 0 n nx n x> ∀ ∈ ⇒ →N se, e somente se, 
1 .
nx
 
→ +∞ 
 
 
iv. Considere as sequências de números positivos ( )nx e ( )ny , então:
 
a) Se ( ) 0ny → e 0; nx nα α∃ > < ∀ ∈N então .n
n
x
y
 
→ +∞ 
 
b) Se ( )nx é limitada e ( )ny →+∞ então 0.n
n
x
y
 
→ 
 
Demonstração:
i. Dado 0M > , seja α ∈R tal que ny nα> ∀ ∈N . Logo, existe 0 ;n ∈N sempre que 0n n> tenhamos 
nx M α> − . Portanto, para 
 0 ,n nn n x y M> ⇒ + >
o que conclui nossa prova.
iv(a). Para todo 0M > dado, é sempre possível obter 0 ;n ∈N 
 0 0 .nn n y M
α
> ⇒ < <
Segue que, para 0
n
n
x
n n A
y
> ⇒ > . O que conclui nossa prova.
Fica a cargo do leitor realizar a demonstrações dos itens ii, iii, iv(b). As mesmas podem ser 
encontradas no livro de Análise Real já citado anteriormente do autor Elon Lages Lima.
DICA
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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37
I - CONJUNTOS
1) Mostre que se ( )nx k→ então ( )nx k→ . 
2) (Teorema da permanência do sinal) Prove que se ( ) 0nx k→ > então existe 0 0; 0.nn n n x∈ > ⇒ >N 
3) Sejam ( )nx e ( )ny sequências convergentes. Se n nx y n≤ ∀ ∈N então lim lim .n nx y≤ 
4) Sejam .n n nx z y n≤ ≤ ∀ ∈N Se ( )nx e ( )ny convergem para k então ( ) .nz k→ 
5) Se ( )nx é uma sequência de Cauchy não pode convergir pra dois valores distintos (unicidade).
6) A sequência ( )
2sin n
n
 é convergente?
7) Seja ( )nx uma sequência de termos positivos e que exista ,α β ∈R tais que 0n n∀ > tenhamos 
0 nxα β< < < . Então 1.n nx →
8) A sequência 
!
n
n
kx
n
= é convergente?
9) Mostre que se nx a→ e nx b→ então .a b=
10) Verifique a convergência da sequência 21 ,nnx a a a= + + +…+ onde 0 1.a< <
11) Se ( )2nx k→ e ( )2 1nx k− → então ( ) .nx k→
12) Se ( )nx a→ e ( ) 0n nx y− → então ( ) .ny a→
13) Prove que 1nnx n= →
EXERCÍCIO PROPOSTO 
II SÉRIES
Na segunda unidade iniciaremos estudando séries finitas de 
números reais, tal conceito surge com o objetivo de tentar generalizar 
a soma dos termos de uma sequência infinita. Em seguida, no tópico 
de Topologia na Reta serão estudados diversos conceitos relativos 
a conjuntos, tais conceitos são fundamentais nos tópicos seguintes. 
Para finalizar esta unidade trabalharemos com o conteúdo de 
Limite de Funções Reais onde nosso objetivo principal é estudar 
o comportamento de uma função quando fazemos nosso valores 
do domínio se aproximarem suficientemente de um determinado 
número real.
41
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
IARAutora: Tiago Mendonça Lucena de Veras
II - SÉRIES
Séries
UN 02
Conceitos e definições
Considere a sequência 
( )
1
1 ,
10n n n
x
= …+∞
 =  
 
temos
1
1 , 
10
x =
2 2
1 , 
10
x =
3 3
1 , 
10
x =
 
 
 1 ,
10n n
x =
Supondo que você deseja somar os n primeiros termos dessa sequência, certamente você não teria 
dificuldade alguma em fazê-la, basta observar 
 1 2 0,111 1,n ns x x x= + +…+ = …
onde ns denota a soma dos n primeiros termos da sequência nx . Porém, se quiséssemos realizar a soma 
dos infinitos termos da sequência teríamos algum resultado? 
Ao estudarmos uma sequência é natural o surgimento de algumas questões tais como: Posso somar todos 
os seus termos? Caso seja possível, qual será o resultado desta soma? A primeira pergunta nos fornece a 
definição de série numérica e a segunda tratará do que definiremos por convergência de uma série. Em 
tese, a definição de séries surge dessa tentativa de realizar a soma dos termos de uma sequência infinita e 
generalizar tal procedimento.
Definição: Considere a sequência de números reais ( )1 2, , , ,nx x x… … , definimos por série a soma dos 
termos de uma sequência infinita e denotamos 
 1 2
1
n n
n
x x x x
∞
=
= + +…+ +…∑
Porém nem sempre é possível obter um valor resultante s para a soma em questão. Dessa forma vamos 
associar a existência (ou não) de s a um limite de uma sequência formada a partir da sequência ( )n nx ∈N 
dada da seguinte forma:
Defina a sequência, 
 1 1 , s x=
 2 1 2 , s x x= +
 3 1 2 3 , s x x x= + +
 
 1 2 .n ns x x x= + +…+
cujos elementos são chamados das somas reduzidas da série nx∑ e o termo nx é chamado de termo geral 
(ou n-ésimo ) termo da série nx∑ . Assim, definida a sequência ( )ns temos que se existir o limite
 
lim nn
s s
→+∞
=
42
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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II - SÉRIES
dizemos que a série nx∑ é convergente e converge para s, ou seja, 
 1 2
1
n n
n
s x x x x
∞
=
= = + +…+ +…∑
Caso o limite não exista diremos que a série diverge. Em outras palavras, a soma infinita dos termos da 
sequência ( )nx não converge para o número s. 
Exemplo: A série ( )1 n−∑ não converge, pois sua soma parcial de índice par 2 0ns = enquanto que sua 
soma parcial de índice ímpar 2 1 1ns + = − e dessa forma não existe limite e assim a série não converge.
Propriedade aritméticas de séries
Sejam nx∑ e ny∑ séries convergente e λ um escalar, então:
1) ( )n n n nx y x y+ = +∑ ∑ ∑ 
2) n ny yλ λ=∑ ∑
No estudo de séries, o problema central é determinar se a série é ou não convergente. Quando a série é 
convergente nem sempre é possível obter seu valor de convergência, porém em muitos casos é suficiente 
saber se a série diverge ou converge. Apresentaremos a seguir um teorema que nos fornecerá uma garantia 
imediata de divergência para a série, porém o mesmo não garante a convergência da mesma.
Teorema: Se a série nx∑ é convergente então seu termo geral converge para zero, ou seja, lim 0 nn
x
→+∞
= .
Demonstração: De fato, como nx∑ é convergente, temos nn
lim s s
∞→+
= e 1lim nn
s s+→+∞
= , logo
 1 10 lim lim lim ( ) lim .n n n n nn n n n
s s s s s s x+ +→+∞ →+∞ →+∞ →∞
= − = − = − =
Portanto, se nx∑ é convergente então lim 0nn
x
→∞
= . 
Exemplo 45: Estude a convergência da série 1
10n
∑ .
Pelo teorema anterior, temos 1lim 0
10nn→∞
= , portanto a série converge. Vamos agora tentar obter seu valor 
de convergência.
Temos
 2 3
1 1 1 1 
10 10 10 10n n
s = + + +…+
é a soma dos n primeiros termos da sequência, como a série é convergente temos que o limite da sequência 
ns vai nos fornecero valor da convergência. Para isto, observe que
1
1
1
1 1 1
10 10 10
9 1 1
10 10 10
10 1 1
9 10 10
1 1
9 9.10
+
+
+
− = −
= −
 
= − 
 
= −
n n n
n n
n n
n n
s s 
s 
 s
 s
43
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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II - SÉRIES
então temos 
1lim
9nn
s
→∞
= , e portanto a série 1 1 
910n
=∑ . 
Uma questão natural ao estudarmos o último teorema é que se lim 0nn
x
→∞
= então nx∑ é convergente? 
Daremos tal resposta com um exemplo a seguir.
Exemplo 46: (Série harmônica): Estude a convergência da série 1
n
∑ .
Primeiramente temos que 1lim 0
n n→∞
= , então observe que
 1 1 1 1 1 1 1 11
2 3 4 5 6 7 8n
= + + + + + + + +…∑
 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7 8
   = + + + + + + + +…   
   
 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 4 8 8 8 8
   ≥ + + + + + + + +…   
   
 1 1 1 1 
2 2 2
= + + + +…
porém a série 
 
1 1 1 1 1 1 1 11 1 .
2 2 2 2 2 2 2 2
n+ + + + + + + +…= +
que claramente diverge. Logo como a série harmônica é maior que uma série divergente temos que a série 
harmônica diverge. 
Portanto, o limite do termo geral tender a zero não é suficiente para concluirmos que uma série é 
convergente. Logo, dada uma série nx∑ com lim 0nn
x
→∞
= temos apenas a garantia que nossa série pode ser 
convergente e caso lim 0nn
x
→∞
≠ temos a garantia que a série diverge. 
Exemplo: 47 ( Série geométrica): Estude a convergência da série na∑ .
Para 1a ≥ a série diverge, pois o limite do termo geral não converge para zero. Se 1a < aplicando limite 
a soma parcial que é uma PG (Progressão Geométrica) teremos que seu termo geral converge para zero e 
segue da fórmula da soma dos termos de uma PG infinita que
 
1
1
n aa
a
=∑
−
Exemplo 48: Estude a convergência da série 3 , 1
2n
n ≥∑ .
Observe que
 3 3 3 3 3 
2 4 8 5122n
= + + +…+ +…∑
é uma série geométrica cuja razão é 1 1
2
a a= ∴ <
 
e primeiro termo a1
3
2
= , segue do exemplo anterior que 
a série é convergente e converge para 
 
 
3
3 2 3
12 1
2
n = =∑
−
Este exemplo será primoroso pra introduzir o famoso Teorema do critério de comparação de 
séries uma ferramenta muito útil na busca de respostas para a convergência ou divergência de 
uma determinada série.
DICA
44
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
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II - SÉRIES
Exemplo 49: Estude a convergência da série 2 .n∑
A série é uma geométrica de razão igual a dois e seu termo geral não converge para zero. Portanto a série 
é divergente.
Critérios e testes de convergência
Muitas vezes, temos dificuldade em obter o valor de convergência de uma série ou afirmar que ela diverge. 
Porém, em nosso estudo, muitas vezes, é suficiente que saibamos apenas se a série converge ou diverge. 
Para isto vamos apresentar a seguir alguns critérios e testes que poderão nos fornecer esta resposta de 
uma forma mais objetiva. 
Teorema (Critério de comparação): Sejam nx∑ e ny∑ séries de termos não negativos. Se existem um 
número real 0c > e 0n ∈N tal que n nx c y<∑ ∑ então:
1) A convergência de ny∑ implica na convergência de nx∑ .
2) A divergência de nx∑ implica na divergência de .ny∑
Demonstração: Tome ns a reduzida de nx∑ e nS a reduzida de ny∑ , então para todo 0n n> temos
 n ns cS<
Portanto, se nS converge então ns convergirá implicando na convergência de nx∑ ; Se ns diverge então nS 
divergirá implicando ny∑ diverge.
Exemplo 50: A série 3
2 4
n
n∑ +
 é convergente?
Observe que o limite do termo geral é ∞
∞
 o que não nos fornece nenhuma conclusão sobre a convergência 
ou divergência da série. Mas veja 2 4 4n n+ > então
 3 3 3 .
42 4 4
nn n
n n
 < =  +  
Mas, a série 3
4
n
 
∑ 
 
 é uma série geométrica de razão 3 1
4
< e, portanto, ela converge. Logo, pelo critério de 
comparação, pondo 1,c = temos que a série 3
2 4
n
n∑ +
 é convergente.
Exemplo 51: A série 1
!n
∑ é convergente?
De fato, observe que
 1
1 1 1 1 .
! 2.3.4 . 2.2.2 2 2nn n −
= ≤ =
… …
Mas, a série 1
1
2n−
∑ é convergente, segue do critério de comparação que 
1
!n
∑ é convergente.
Teorema (Critério de Leibniz): Seja ( )nx uma sequência decrescente de termos positivos tal que lim 0nn x→∞ = . 
Então ( ) 11 n nx
+−∑ converge.
Demonstração: Vamos analisar 2nS e 2 1nS − , que são as reduzidas de ordem par e ímpar, respectivamente, 
da série nx∑ . 
Temos
45
INTRODUÇÃO À ANÁLISE REAL
IARAutora: Tiago Mendonça Lucena de Veras
II - SÉRIES
 2 1 2 3 2 1 2n n nS x x x x x−= − + −…− +
mas observe que podemos escrever
 ( ) ( )2 1 2 3 4 2 1 2( )n n nS x x x x x x−= − + − +…+ −
onde cada termo entre parênteses é positivo, portanto a sequência 2nS é crescente de termos positivos, ou 
seja, 2nS é uma sequência monótona. Além disto, 2 0 nS n> ∀ ∈N.
Por outro lado, escrevendo 
 ( ) ( )2 1 2 3 2 1 2n n nS x x x x x−= − − −…− −
onde cada termo entre parênteses é positivo, temos que 2 1nS x< . Logo 2nS é uma sequência monótona e 
limitada, portanto, convergente para algum número S.
Agora, observe que
 2 1 2 2n n nS S x− = −
então 
 2 1 2 2lim lim lim 0n n nn n n
S S x S−→∞ →∞ →∞
= − = −
logo
 2 1lim nn
S S−→∞
=
onde concluímos que ( )nS converge para S e, portanto, ( )
11 n nx
+−∑ converge. Tal teorema obviamente 
é válido para o caso ( )1 k kx−∑
Desafio: O que o leitor pode afirmar sobre a convergência da série 
( )1 n
n
−
∑ ? 
Teorema (Critério de Cauchy): A série nx∑ é convergente se, somente se, a sequência
 0 1 20, n n n n rtal que x x xε ε+ + +∀ > ∃ ∈ + +…+ <N
para quaisquer 0n n> e .r∈N
Demonstração: De fato, observe que nx∑ é convergente se, somente se a sequência 1 2n ns x x x= + +…+ 
é convergente. Porém, ns é convergente se, somente se é de Cauchy. Mas, ns é de Cauchy se, somente se
 0 0 0, ; .n r nn semprequen r n n s sε ε+∀ > ∃ ∈ + ≥ > ⇒ − <N
Mas isto equivale a dizer 1 2n n n rx x x ε+ + ++ +…+ < , o que prova nosso teorema.
Definição: Uma série nx∑ é dita absolutamente convergente quando nx∑ é convergente. 
Será provado mais a diante que toda série absolutamente convergente é convergente. Por exemplo: a série 
3
2 4
n
n∑ +
 é absolutamente convergente! De fato, basta observar que seus termos são todos positivos e a 
série é convergente. 
Será que toda série convergente é absolutamente convergente? Não. Por exemplo, a série 
( ) 11 n
n
+−
∑ é 
uma série convergente, sua demonstração pode ser facilmente obtida nos livros indicados no texto, 
porém 
( ) 11 n
n
+−
∑ é a série harmônica que é divergente. Quando isto acontece, diremos que a série é 
condicionalmente convergente.
Teorema: Seja a série ny∑ é absolutamente convergente com 0 .ny n≠ ∀ ∈N Se existe um 0c > tal que 
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 n
n
x
c n
y
≤ ∀ ∈N então a série nx∑ é absolutamente convergente.
Demonstração: De fato, veja que
 
.nn n n
n n
xx
c x c y
y y
= ≤ ⇒ ≤
Pelo critério de comparação, temos que a série nx∑ é absolutamente convergente.
Exemplo 52: Estude a convergência da série 
( )3 1
!
n
n
+ −
∑ .
Observe que
 
( )3 1 4 .
! !
n
n n
+ −
≤
Segue do exemplo 51, que a série 4
!n
∑ é convergente, logo, a série 
( )3 1
!
n
n
+ −
∑ é convergente e, portan-
to,
( )3 1
!
n
n
+ −
∑ é absolutamente convergente.
Veja que obtivemos que a série 
( )3 1
!
n
n
+ −
∑ é absolutamente convergente, porém podemos afirmar se a 
mesma é convergente? O próximo teorema responderá tal questão.
Teorema: Toda série absolutamente convergente é convergente.
Demonstração: De fato, seja nx∑ absolutamente convergente, então n∀ ∈N temos:
 n n nx x x− ≤ ≤
o que implica
 0 2. .n n nx x x≤ + ≤
Por hipótese, nx∑ é convergente, segue do critério de comparação que ( )n nx x+∑ é convergente. Uma 
vez que nx−∑ é convergente temos
 ( )n n n n n n nx x x x x x x= + − = + + −∑ ∑ ∑ ∑
e, portanto, nx∑ é convergente.Segue deste teorema que a série do exemplo anterior é convergente.
Teorema (Teste da Raiz): Dada a série nx∑ , suponha que lim | |n nn
x L
→∞
= , então:
1. Se 1L < a série nx∑ é absolutamente convergente.
2. Se 1L > a série nx∑ é divergente.
3. Se 1L = não podemos afirmar nada.
Demonstração: Para o primeiro item, tome k∈R tal que 1L k< < . Logo, existe 0n ∈N tal que
 0,| | , 
nn
n nx k x k n n< ⇒ < ∀ ≥
que nos fornece
 nnx k<∑ ∑
Uma vez que 1k < , a série nk∑ é uma série geométrica e, portanto, convergente, isto implica que nx∑ é 
absolutamente convergente.
47
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Se 1L > , vai existir um 0n ∈N tal que 0n n∀ ≥ temos 1nx > , o que nos fornece lim 0nn
x
→∞
≠ , fazendo com 
que a série nx∑ diverge.
Fica a cargo do leitor verificar o fato de ser inconcluso o caso onde, tal verificação pode ser feita 
por meio de exemplos. (Dica use as séries). 
DICA
Exemplo 53: Prove que a série 2
n
nn
∑ converge.
De fato, usando o teste da raiz, temos
 
1
2 2lim lim 0 1.
n n
nn n nn→∞ →∞
 
= = <  
 
Logo, pelo teste da raiz a série converge.
Exemplo 54: Podemos afirmar que a série ( )1 !
!
n
n
+
∑ 
diverge?
Observe que 
 
( )1 !
!
n
n
n
+
=
 
Usando o teste da raiz, temos
 
( )
1
11 !
lim lim 1.
!
n
n
n n
n
n
n→∞ →∞
 +
= =  
  
Logo, pelo teste da raiz não podemos afirmar que a série diverge.
Teorema (Teste da razão): Considere a série nx∑ , suponha que 
1lim n
n n
x
L
x
+
→∞
= , então
1. Se 1L < a série nx∑ é absolutamente convergente.
2. Se 1L > a série nx∑ é divergente.
3. Se 1L = não podemos afirmar nada.
Demonstração: A demonstração deste teorema é análoga ao teste da raiz, deixaremos a cargo do leitor 
verificar tal prova. Além disto, no terceiro caso, a dica das séries dadas no teste da raiz vale para o teste da 
razão.
Exemplo 55: Mostre que a série 
( )1
!
n
n
−
∑ é absolutamente convergente.
De fato, usando o teste da razão temos
 
( ) ( )
( ) ( )
1
1
11
1 !| | ! 1
1 1 ! 11
!
n
n
nn
nx n
x n n
n
+
+
−
+
= = =
+ +−
segue
 1lim 0
1n n→∞
=
+
1L =
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pelo teste da razão, como 1lim 1n
n n
x
x
+
∞→
< , temos 
( )1
!
n
n
−
∑ é absolutamente convergente.
EXERCÍCIO PROPOSTO 
1) Prove que ,k∀ ∈R a série 
( ) ( )
2 2 2
2
2 22 2
 
1 1 1
n n
k k ks k
k k k
= + + +…+
+ + +
 é convergente.
 
2) Mostre que se ( )2nx∑ converge, então n
x
n
∑ converge. (dica: faça nx x= e 
1y
n
= , desenvolva 
( )2 0x y− ≥ e use o critério de comparação)
3) Usando o critério de comparação, mostre que se nx∑ converge com 0nx > , então 1
n
n
x
x
∑
+
.
4) Mostre que se nx∑ converge com 0nx > , então ( )
2
nx∑ converge.
5) Usando o critério de Leibniz, mostre que 
( )cos
.
n
n
π
∑
6) Mostre que a série 
5
5n
n
∑ é absolutamente convergente.
7) Mostre que a série 
3 1
nn
n
− 
∑ + 
 é absolutamente convergente.
8) A série 1 !
n
n
n
 
∑ 
 
 converge ou diverge?
9) A série 3
!
n
n
∑ converge ou diverge?
10) Usando o teste da razão, estude a convergência da série 
( )
1
1n n
∑
+
.
11) Prove que a série 
n
n
e
n
∑ converge.
 
Na matemática, a topologia é o campo que estuda, de forma generalizada, propriedades de subconjuntos 
de R, noções de limites, propriedades de funções contínuas e subconjuntos de R onde as funções estão 
definidas e tomam valores. Para esta seção, utilizaremos conteúdos abordados nos primeiros capítulos a 
fim de definir e desenvolver conceitos elementares da topologia de R, tais conceitos são indispensáveis 
para os próximos capítulos. No que segue, o conjuntos dos números reais será tratado como uma reta e um 
número real como um ponto da reta.
Conjuntos abertos
Definição: Dado um conjunto X ⊆ R, um ponto x∈R é dito ponto interior ao conjunto X se existir um 
intervalo aberto ( ),a b ⊆ R tal que x∈R, ou seja, todos os pontos suficientemente próximos de x (uma 
vizinhança de x) ainda estão contidos em X.
Uma definição mais formal: Dado um conjunto X ⊆ R, um ponto x∈R é dito ponto interior ao conjunto X se 
existe um número 0ε > tal que o intervalo ( ), x x Xε ε− + ⊆ , ou seja, ( ) 0; , .se y x y x xε ε ε ε∃ > − < ⇒ ∈ − +
Denotaremos por int X (interior do conjunto X) o conjunto dos pontos interiores a X, se x X∈ , diremos que 
Topologia em R (conceitos elementares)
UN 02
49
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X é uma vizinhança de x. Segue que um conjunto A⊆ R é dito aberto se A int A= , ou seja, todo ponto de 
A é ponto interior de .A
Afirmação: O conjunto vazio é aberto.
Demonstração: De fato, um conjunto A só deixa de ser aberto se x A∈ tal que x intA∉ , ou seja, se existe 
em A um ponto que não seja interior. Como não há ponto algum no conjunto vazio, temos que admitir que 
o vazio é aberto.
Afirmação: A reta R é aberta.
Demonstração: Observe que para todo elemento x temos x int∈ R, logo a reta é um conjunto aberto.
Exemplo 56: Os conjuntos ( ),A a b= , ( ),A b= −∞ e ( ),A a= +∞ são abertos, pois A int A= , além disto é fácil 
verificar que todo ponto x A∈ é ponto interior de A (Verifique).
56.1: Dado o conjunto X= [0, 1] temos int(X)=(0,1).
56.2: Dado o conjunto X1= (-2, -1] temos int(X1)=(-2,-1).
56.3: Dado o conjunto X2= [a, b) temos int(X2)=(a,b).
56.4: Dado o conjunto X3= (-∞, d] temos int(X3) = ( -∞, n).
56.5: Dado o conjunto X4= [c, + ∞) temos int (X4) = (c, + ∞). 
Exemplo 57: Seja A um conjunto, então int(A)=int(int(A)).
De fato, se A é um conjunto aberto temos A=int(A) ⟹ int(A) = int (int (A)). Porém, se A não for um conjunto 
aberto, sabemos que int (int (A) ) ⊂ int(A). Então, precisamos mostrar que int (A) ⊂ int (int (A)), ou seja, 
todo ponto pertencente ao int (A) pertence ao int (int (A)).
Tome a ∈ int(A), existe ϵ > 0, tal que (a - ϵ, a + ϵ) ⊂ A então (a - ϵ, a + ϵ) ⊂ int (A) = B (que é aberto). Então, 
a ∈ B ⟹ a ∈ int(B) = int (int (A)). Portanto, se a ∈ int (A) ⟹ a ∈ int (int (A)). Fica provado assim que int 
(A) = int (int (A)).
Teorema: Sejam A, B subconjuntos abertos de números reais, então A B∩ é aberto.
Demonstração: De fato, para todo x A B x Ae x B∈ ⇒ ∈ ∈∩ . Como A e B são abertos, temos que existem 
abertos ( )1 1,a b e ( )2 2,a b tais que ( )1 1,x a b A∈ ⊂ e ( )2 2,x a b B∈ ⊂ . Ponha { }1 2,a mín a a= e { }1 2,b máx b b= 
segue que ( ), .x a b A B∈ ⊂ ∩ Portanto, A B∩ é aberto.
Exemplo 58: Prove int (A ∩ B) = int (A) ∩ int (B).
Inicialmente, vamos provar que int (A ∩ B) ⊂ int (A) ∩ int (B) e posteriormente que int (A) ∩ int (B) ⊂ 
int ( A ∩ B). 
Para o primeiro caso, tome a ∈ int ( A ∩ B), então, existe ϵ > 0 tal que ( a - ϵ, a + ϵ) ⊂ A ∩ B, isto implica 
que (a - ϵ, a + ϵ) ⊂ A e B, que implica (a - ϵ, a + ϵ) ⊂ int (A) e (a - ϵ, a + ϵ) ⊂ int (B). Logo, a ∈ int (A) e 
a ∈ int (B), então a ∈ int (A) ∩ int (B). 
Para o segundo caso, tome a ∈ int (A) ∩ int (B). Pelo teorema anterior int (A) ∩ int (B) é um aberto, 
portanto existe ϵ > 0 tal que (a - ϵ, a + ϵ) ⊂ int (A) ∩ int (B). Logo (a - ϵ, a + ϵ) ⊂ int (A) ⟹ a ∈ A e (a - ϵ, 
a + ϵ) ⊂ int (B) ⟹ a ∈ B, assim a ∈ A ∩ B ⟹ a ∈ int (A ∩ B).
Teorema: Seja ( )a MAα ∈ uma família arbitrária de subconjuntos abertos da reta. O conjunto MA Aα α∈= , 
formado pela união desses abertos, é um conjunto aberto.
Demonstração: De fato, tome x A∈ então x Aα∈ para algum Mα ∈ . Como Aα é aberto podemos obter 
um intervalo aberto ( ),a b tal que ( ), x a b A Aα∈ ⊂ ⊂ , logo todo ponto de A é ponto interior e, portanto, A 
é aberto.
Uma indagação natural que surge é quanto a questão da interseção de abertos. Vimos anteriormente que 
a interseção de dois abertos ainda é um conjunto aberto. Porém, a grande questão é se a tivermos uma 
quantidade muito grande de abertos ou uma quantidade infinita de aberto, a interseção deles continuará