gabarito_prova4_2020 2

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UFPB – Universidade Federal da Paráıba
CEAR – Centro de Energias Alternativas e Renováveis
DEE – Departamento de Engenharia Elétrica
Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas (2020.2)
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
Aluno(a): Gabarito da Silva
Quarta Avaliação
1a Questão: (2,5 pontos) Um sinal com duração finita L é dado por
x[n] =
{
1, 0 ≤ n ≤ L− 1,
0, caso contrário.
Use a definição para mostrar que a Transformada de Fourier desse sinal é dada por
X(ω) =
sen(ωL/2)
sen(ω/2)
· e−jω(L−1)/2.
Calcule X(ω) para L = 1. Explique esse resultado.
Resp.:
X(ω) =
+∞
∑
n=−∞
x[n]e−jωn =
L−1
∑
n=0
1 · e−jωn =
L−1
∑
n=0
(
e−jω
)n
=
1− e−jωL
1− e−jω
=
e−jωL/2(e+jωL/2 − e−jωL/2)
e−jω/2(e+jω/2 − e−jω/2)
= e−jω(L−1)/2 ·
(e+jωL/2 − e−jωL/2)
(e+jω/2 − e−jω/2)
= e−jω(L−1)/2 ·
2jsen(ωL/2)
2jsen(ω/2)
X(ω) =
sen(ωL/2)
sen(ω/2)
· e−jω(L−1)/2
Para L = 1, X(ω) se torna
X(ω) =
sen(ω · 1/2)
sen(ω/2)
· e−jω(1−1)/2 =
sen(ω/2)
sen(ω/2)
· e−j·0 = 1.
Este resultado já é esperado pois x[n] = δ[n] quando L = 1, ou seja, a Transformada de Fourier do
Impulso Unitário é 1.
2a Questão: (2,5 pontos) Assinale a resposta correta (não é necessário justificar) em cada uma das perguntas
abaixo:
??.1) Um sistema linear invariante no tempo com resposta ao impulso h[n] = 2δ[n − 1]. A sua
resposta à entrada u[n− 1] é
(a) 2u[n] (b) u[n− 2] (c) u[n]− 2δ[n − 1] (d) n.d.a.
??.2) A DTFT de x[n] = 2nu[n] é
(a) e−j2n (b) δ(2ω) (c) 1/(1 − e−j2n) (d) n.d.a.
??.3) A equação de diferença de um sistema é y[n] = x[n]− y[n− 2]. A resposta em frequência desse
sistema é
(a) 1/(1 + e−2jω) (b) 1− e−j2ω (c) 1 + e−2jω (d) n.d.a.
??.4) A DTFT de (0, 1)nu[n] é
(a) (1/10)e−jωn/10 (b) 1/(1− 10e−jωn) (c) 1/(1 − 0, 1e−jω) (d) n.d.a.
??.5) A DFT e a FFT de qualquer sequência x[n] resultam no mesmo valor numérico.
(a) Verdadeiro (b) Falso (c) Não sei (d) n.d.a.
3a Questão: (2,5 pontos) Considere um sistema discreto no tempo, causal, linear e invarinte no tempo tem resposta
y[n] = 2u[n − 3]
quando a entrada é
x[n] = δ[n] + δ[n − 1].
Determine H(z). Este sistema é estável? Justifique sua resposta.
Resp:
Y (z) = 2 ·
1
1− 1 · z−1
· z−3 = 2 ·
z
z − 1
· z−3 =
2z−2
z − 1
X(z) = 1 + z−1 = 1 +
1
z
=
z + 1
z
H(z) =
Y (z)
X(z)
=
2z−2
z − 1
·
z
z + 1
Assim,
H(z) =
2
z(z − 1)(z + 1)
Como o sinal é causal, a ROC é externa ao ćırculo de raio igual ao módulo do polo de maior módulo.
Nesse caso, existem três polos localizados em z = 0 e z = ±1. Logo, a ROC será |z| > 1 e o sistema
será instável pois a ROC não inclui o ćırculo unitário.
4a Questão: (2,5 pontos) Considere um sistema LTI em que são dadas os seguintes Transformadas Z dos sinais de
entrada e sáıda, respectivamente,
X(z) =
1
1 + z−2 + z−4
e Y (z) =
1
2
+
1
4
z−1.
(a) Determine e esboce a resposta ao impulso, h[n], desse sistema;
(b) Determine a Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT) de h[n];
(c) Determine a região de convergência de H(z).
Resp:
(a)
H(z) =
Y (z)
X(z)
=
1
2
+
1
4
z−1
1
1 + z−2 + z−4
=
(
1
2
+
1
4
z−1
)
·
(
1 + z−2 + z−4
)
=
1
2
+
1
4
z−1 +
1
2
z−2 +
1
4
z−3 +
1
2
z−4 +
1
4
z−5
H(z) =
∞
∑
n=−∞
x[n] · z−n =
1
2
+
1
4
z−1 +
1
2
z−2 +
1
4
z−3 +
1
2
z−4 +
1
4
z−5
Assim,
h[n] =























0, n ≤ −1
1/2, n = 0
1/4, n = 1
1/2, n = 2
1/4, n = 3
1/2, n = 4
1/4, n = 5
0, n ≥ 6
0
1/4
54321−1
h[n]
1/4
1/21/2 1/2
1/4
n6
(b)
H(ω) = H(z)
∣
∣
∣
∣
z=ejω
=
1
2
+
1
4
e−jw +
1
2
e−2jω +
1
4
e−3jω +
1
2
e−4jω +
1
4
e−5jω
(c) Como o sinal x[n] tem duração finita, a ROC é todo plano complexo excetuando-se z = 0 em
virtude das potências negativas de z em H(z).
Boas férias!
W. T. A. Lopes