QUARTIS, DECIS E PERCENTIS_21_22

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MEDIDAS SEPARATRIZES
❖QUARTIS E MEDIANA
❖DECIS
❖PERCENTIS
MEDIDAS SEPARATRIZES
✓Os quartis dividem a série ordenada em quatro partes
iguais. Assim, o primeiro quartil corresponde a 25% da
série e assim sucessivamente.
✓Os decis dividem a série ordenada em 10 partes iguais
(cada uma com 10%).
✓Os percentis dividem o conjunto ordenado de dados em
100 partes iguais (cada uma com 1%).
MEDIDAS SEPARATRIZES
Observação:
𝑀𝑑 = 𝑄2 = 𝐷5 = 𝑃50
MEDIDAS SEPARATRIZES
Observação:
𝑸𝟏
𝑫𝟒
𝑷𝟗𝟎
25% 75%
40% 60%
90% 10%
QUANTIS
Define-se quantil de ordem p, com 0<p<1, como sendo o valor
tal que 100p% dos elementos da amostra são menores ou iguais a
os restantes 100(1-p)% elementos da amostra são maiores ou iguais
a
Obs.: Tal como a mediana, o quantil de ordem p, é uma medida que
se calcula a partir da amostra ordenada.
PQ
pQ
pQ
QUANTIS
A obtenção do quantil de ordem p faz-se da seguinte forma:
se np não é inteiro
se np é inteiro
Onde representamos por [b] a parte inteira de b.
 
( )




+
=
+
+
nnpnnp
nnp
P
XX
X
Q
:1:
:1
2
1
EXEMPLOS
Considera a seguinte amostra, que representa o número de
disciplinas realizadas com aproveitamento, no 1º semestre:
Calcula e interpreta:
a) O quarto decil (𝐷4).
b) O percentil 40 (𝑃40).
c) O percentil 15 (𝑃15).
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 5 5 5 5 5 6
QUARTO DECIL
a)
𝑝 =
4
10
= 0,40 → 𝑛𝑝 = 50 × 0,40 = 20 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜)
Então: 𝑫𝟒 =
1
2
𝑋𝑛𝑝:𝑛 + 𝑋𝑛𝑝+1:𝑛 =
1
2
𝑋20:50 + 𝑋21:50
=
1
2
3 + 3 =
6
2
= 3
Interpretação:
40% dos alunos realizaram com aproveitamento 3 disciplinas ou
menos, os restantes 60% realizaram com aproveitamento 3
disciplinas ou mais.
PERCENTIL 40
b)
𝑝 =
40
100
= 0,40 → 𝑛𝑝 = 50 × 0,40 = 20 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜)
Então: 𝑷𝟒𝟎 =
1
2
𝑋𝑛𝑝:𝑛 + 𝑋𝑛𝑝+1:𝑛 =
1
2
𝑋20:50 + 𝑋21:50
=
1
2
3 + 3 =
6
2
= 3
Obs.: 𝐷4 = 𝑃40
PERCENTIL 15
c)
𝑝 =
15
100
= 0,15 → 𝑛𝑝 = 50 × 0,15 = 7,5 (𝑛ã𝑜 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜)
Então: 𝑷𝟏𝟓 = 𝑋 𝑛𝑝 +1:𝑛 = 𝑋 7,5 +1:50 = 𝑋8:50 = 2
Interpretação:
15% dos alunos realizaram com aproveitamento 2 disciplinas ou 
menos, os restantes 85% realizaram com aproveitamento 2 
disciplinas ou mais.
QUARTIS
Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis
usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando
substituir, na fórmula da mediana, por:
Sendo k a ordem do quartil calculado.
2
 in
4
 ink
QUARTIS
Assim, temos:












−
+=






−
+=


f
hantF
n
lQ
e
f
hantF
n
lQ
i
i
)(
4
3
)(
4
3
1
QUARTIS
Observação:
- é o limite inferior da classe ;
- é a frequência simples da classe ;
- é a amplitude do intervalo da classe ;
F(ant) - é a frequência acumulada da classe imediatamente
anterior à classe ;
l
f
h
iQ
iQ
iQ
iQ
QUARTIS
Exemplo:
1Qclasse
3Qclasse
10
4
40
4
1
==
 in
30
4
403
4
3
=

=
 in
in iN
QUARTIS
Exemplo (continuação):
cmQ
Q
33,158
33,15833,3155
9
30
155
9
5)410(
155
1
1
=
=+=
+=
−
+=
cmQ
Q
75,168
75,16875,3165
8
30
165
8
5)2430(
165
3
3
=
=+=
+=
−
+=
DECIS
Quando os dados são agrupados, para determinar os decis usamos
a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na
fórmula da mediana, por:
Sendo k a ordem do decil calculado.
2
 in
𝑘 σ𝑛𝑖
10
DECIS
Assim, temos:
𝐷𝑘 = 𝑙
∗ +
𝑘σ𝑛𝑖
10
− 𝐹(𝑎𝑛𝑡) ℎ∗
𝑓∗
CÁLCULO DO 𝑫𝟑
Exemplo:
3σ𝑛𝑖
10
=
3 ∗ 40
10
= 12
Altura (cm) 𝒏𝒊 𝑵𝒊
[160 , 162[ 7 7
[162 , 164[ 4 11
[164 , 166[ 8 19
[166 , 168[ 9 28
[168 , 170[ 12 40
classe 𝐷3
CÁLCULO DO 𝑫𝟑
Exemplo (continuação):
𝐷3 = 164 +
(12 − 11) × 2
8
𝐷3 = 164 +
2
8
𝐷3 = 164 + 0,25 = 164,25
𝐷3 = 164,25 𝑐𝑚
PERCENTIS
Quando os dados são agrupados, para determinar os percentis
usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando
substituir, na fórmula da mediana, por:
Sendo k a ordem do percentil calculado.
2
 in
𝑘 σ𝑛𝑖
100
PERCENTIS
Assim, temos:
𝑃𝑘 = 𝑙
∗ +
𝑘σ𝑛𝑖
100
− 𝐹(𝑎𝑛𝑡) ℎ∗
𝑓∗
CÁLCULO DO 𝑷𝟖
Exemplo:
8σ𝑛𝑖
100
=
3 × 40
100
= 3,2
Altura (cm) 𝒏𝒊 𝑵𝒊
[150 , 154[ 4 4
[154 , 158[ 9 13
[158 , 162[ 11 24
[162 , 166[ 8 32
[166 , 170[ 5 37
[170 , 174[ 3 40
𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑃8
CÁLCULO DO 𝑷𝟖
Exemplo (continuação):
𝑃8 = 150 +
(3,2 − 0) × 4
4
𝑃8 = 150 +
12,8
4
𝑃8 = 150 + 3,2
𝑃8 = 153,2 𝑐𝑚