Cálculo Numérico Prova 2

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1Uma equação não linear é uma equação que contenha termos da forma x², x³, 
termos com raiz entre outros. Um sistema de equações é dito não linear se pelo 
menos uma das equações não é linear. Para resolver um sistema não linear, 
usamos processos interativos. Considere o sistema linear: f(x,y)=0 g(x,y)=0 onde, f 
ou g são funções não lineares. Com relação aos processos interativos usados para 
encontrar a solução dos sistemas não lineares, analise as sentenças a seguir: I- Para 
aplicar o método da Interação Linear, precisamos encontrar as funções F e G 
(chamadas de funções de interação) que satisfazem F(x,y) = x e G(x,y) = y de tal 
forma que sejam contínuas e suas derivadas parciais também são contínuas. II- 
Para aplicar o método de Newton, temos que considerar que f e g sejam contínuas, 
mas não é necessário que suas derivadas primeiras e segundas sejam também 
contínuas. III- Para o método de Interação Linear, podemos considerar qualquer 
ponto inicial (x0, y0), não é preciso estar próximo da solução. IV- Para o método de 
Newton, temos que considerar o ponto inicial (x0, y0) próximo da solução. Assinale 
a alternativa CORRETA: 
A 
II e IV. 
B 
I e IV. 
C 
I e III. 
D 
II e III. 
2O método de Newton ou também chamada de Newton-Rapson é usado para 
determinar os zeros de uma função. Considerando uma função f do quinto grau, 
sabemos que essa função tem no máximo 5 raízes, se uma delas está no intervalo 
fechado [0, 1], encontre essa raiz a partir de x = 0,8 usando o método de Newton 
com uma precisão de 0,01. Lembre-se de usar apenas 3 casas decimais e considere 
a função: 
A 
0,502. 
B 
0,5. 
C 
0,04. 
D 
0,525. 
3Para resolver um sistema linear através do método iterativo, podemos usar o 
método da iteração linear. No entanto, no caso de equações não lineares, nem 
sempre é possível aplicar o método. Para podermos aplicar o método, precisamos 
que ele satisfaça três condições, sendo que uma delas é que as derivadas parciais 
das funções F e G satisfaçam os itens: 
A 
Somente o item I é satisfeito. 
B 
Os itens I e II não são satisfeitos. 
C 
Os itens I e II são satisfeitos. 
D 
Somente o item II é satisfeito. 
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A interpolação é um método que permite definir uma nova função a partir de um 
conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos e que represente a 
função inicial. Com relação à interpolação inversa de uma função f, analise as 
sentenças a seguir: 
 
I- É a operação inversa à interpolação. 
 
II- Pode ser aplicada qualquer que seja a função f. 
 
III- Só podemos aplicar via interpolação linear. 
 
IV- É utilizada quando estamos interessados no valor de x cujo f(x) conhecemos. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
A 
As sentenças I e II estão corretas. 
B 
Somente a sentença IV está correta. 
C 
Somente a sentença I está correta. 
D 
As sentenças I e III estão corretas. 
5Dada uma função y = f(x) uma interpolação da função f é o método que permite 
construir uma nova função mais simples a partir de um conjunto discreto de 
pontos da função f. Sobre os quatro métodos de interpolação, associe os itens, 
utilizando o código a seguir: I- Interpolação Polinomial de Lagrange. II- 
Interpolação Polinomial de Newton. III- Interpolação Linear. IV- Interpolação 
Inversa. ( ) Dado y pertencente à imagem da função f, procuramos o valor x do 
domínio para o qual y = f(x), invertemos os dados da tabela e calculamos o 
polinômio interpolador para a função inversa de f. ( ) Construímos os polinômios 
de Lagrange e de posse deles, construímos o polinômio interpolador de Lagrange. ( 
) Construímos a tabela de Diferenças Divididas finitas e de posse dela, exibimos o 
polinômio interpolador de Newton. ( ) Para obter f(z) para apenas um z no 
intervalo 
A 
IV - II - I - III. 
B 
III - I - II - IV. 
C 
III - II - I - IV. 
D 
IV - I - II - III. 
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Consideremos uma função f e um intervalo [a, b] para o qual f é contínua em todos 
os pontos do intervalo e f(a)·f(b) < 0. Qual o método que consiste em dividir o 
intervalo [a, b] ao meio sistematicamente até que, para um dado ε > 0, o critério de 
parada seja satisfeito? 
A 
Método da ordem de convergências. 
B 
Método simples. 
C 
Método da Gauss. 
D 
Método da bissecção. 
7Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução 
aproximada da solução de um sistema linear. Quando não temos mais um sistema 
linear e sim um sistema não linear devemos fazer uso de outros métodos para 
encontrar uma solução aproximada para o sistema, dois deles são: o método da 
interação linear e o método de Newton. O método da interação linear em geral é 
mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do sistema que o 
método de Newton. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com 
um arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas 
iterações (k = 2) e o ponto inicial (0; - 0,5) usando o método da iteração linear:
 
A 
x = 0,495 e y = 0,124 
B 
x = 0,125 e y = - 0,5 
C 
x = 0,125 e y = - 0,492 
D 
x = 0 e y = - 0,5 
8Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-
comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas 
propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser 
real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E, 
ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz 
complexa, então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com 
base no exposto, considere o polinômio: 
A 
a = 0 
B 
a = - 1 
C 
a = 2 
D 
a = - 2 
9Determinar raízes de polinômios por vezes não é simples se pensarmos em 
polinômios de grau maior que 3, para polinômio de grau 1 basta isolar a variável 
independente, polinômios de grau dois usamos Bhaskara. São métodos interativos 
que na maioria das vezes usamos para determinar raízes de polinômios de grau 
maior e igual a 3, mas para entendê-los precisamos compreender as características 
dos polinômios. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir: I- Todo polinômio 
de grau maior que 1 tem pelo menos uma raiz real. II- Se o polinômio tem grau 
impar, então ele tem pelo menos uma raiz real. III- Se um polinômio de grau n tem 
n - 1 raízes, então uma das raízes tem multiplicidade 2. IV- Se um polinômio de 
grau n tem todas n raízes distintas, então ele pode ser reescrito da seguinte forma:
 
A 
I. 
B 
III. 
C 
II. 
D 
IV. 
10Ao estudar matemática financeira, o professor de Luiz comentou que para 
determinar o prazo em um financiamento no sistema Price é necessário utilizar um 
método numérico. O professor de Luiz passou o seguinte problema: suponha que 
um financiamento no sistema Price no valor de R$ 20.000,00 está aplicado a uma 
taxa de 2% ao mês e o valor de cada parcela seja de R$ 609,05, determine o prazo 
desse financiamento. Luiz, lembrando o que seu professor falou em sala, resolveu 
usar o Método da Bissecção para encontrar o prazo. Luiz fez as seguintes 
anotações: 
A 
53,75 e 54,0625. 
B 
55 e 52,5. 
C 
52,5 e 53,75. 
D 
53,75 e 54,375.