Conteúdo Interativo aula 10

Prévia do material em texto

Cálculo numérico
Aula 10: Resolução de equações diferenciais ordinárias de 1ª
ordem
Apresentação
Nesta aula, vamos identi�car e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1ª ordem para
problemas de valor de contorno (PVC), utilizando o conhecimento aprendido nas aulas anteriores.
Objetivos
Identi�car e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1ª ordem para problemas de
valor de contorno (PVC).
Conhecer as características do PVC.
Resolução de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem
O PVC tem como característica a de�nição de valores para condições suplementares, porém esta especi�cação existirá em
mais de um ponto. Para entendermos o método de Runge–Kutta, precisamos relembrar, ou mesmo aprender, a série de Taylor.
De�nimos a série de Taylor de y(x) em torno de x = xn como:
Esta entre xn e x. Lembre-se de que h = x - xn. Logo, aproximamos:
O erro de truncamento é dado por:
y(x)  =  y( )  +   y'( )(x − ) +  y''( ) +. . . + ( ) + ( )  ,  xn xn xn xn (x− )xn
2
2!
yk xn
(x− )xn
k
k!
yk+1 εx
(x− )xn
k+1
k+1!
εx
y( )  ≈  onde    =   + hxn+1 yn+1 xn+1 xn
E( ) = ( )xn yk+1 εx h
k+1
k+1!
Métodos de Runge-Kutta de 1ª ordem
A seguir, estudaremos os seguintes métodos de Runge-Kutta de 1ª ordem:
01 Método de Euler
02 Método de Runge-Kutta de ordem p
Método de Euler
Vimos que o método de Euler trabalha com a equação da reta e seu coe�ciente angular de�nido como:
= + h f( , ),  k ∈ ℵ.yk+1 yk xk yk
O método de Euler satisfaz as seguintes condições:
é de passo um;
concorda com a série de Taylor até os termos de ordem h1;
não exige o cálculo de qualquer derivada de f(x,y);
calcula f(x,y) em vários pontos.
Método de Runge-Kutta de ordem p
Observamos que o método de Runge-Kutta de ordem p satisfaz as seguintes condições:
é de passo um;
concorda com a série de Taylor até os termos de ordem hp;
não exige o cálculo de qualquer derivada de f(x,y);
calcula f(x,y) em vários pontos.
Concluímos, então, que o método de Euler é um método de série de
Taylor de 1ª ordem e também é um método de Runge-Kutta de 1ª
ordem. Portanto, o resolveremos da mesma forma que o método de
Euler.
Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem
O método de Runge-Kutta de 2ª ordem pode ser de�nido a partir do método de Euler aperfeiçoado:
Para o método de Euler aperfeiçoado: a1 = 0.5, a2 = 0.5, b1 = 1 e b2 = 1.
= + hf( ,   ) + hf( + h,   + h y )yn+1 yn a1  xn yn a2  xn b1 yn  b2 'n
Modelos dinâmicos
Considere f(xn + b1h, yn + b2hy’n),calculando a série de Taylor em torno de (xn,yn) que de�ne o método de Euler aperfeiçoado.
Então, o método de Runge-Kutta de 2ª ordem será de�nido por:
Sendo w um parâmetro arbitrário: w = a ≠ 0, a = 1 - w e b = b = 1/2w
= + h [(1 − w) f( ) +  w f ( + ,   + f( , ))],  n = 0, 1, 2, . . .yn+1 yn xn,yn xn h2w yn
h
2w
x0 y0
2 1 1 2
Exemplo
Dado o problema de valor inicial xy’ = x - y e y(2) = 2, determine y(2.01), com h = 0.1.
arquiteturais
Dados do problema: 
 (método de Euler)
= 2, = 2 e h  =  0. 1x0 y0
y(2. 1)  ≈ = h + (1 − ) = 2. 0y1 y0 hx0
fundamentais
xy' = x − y y' = 1 −
y
x
= 2 + [(1 − ) + (1 − )] = 2. 0002yn+1 0.12
2
2
2+0.1(1− )2
2
2+0.1
Atividades
Questão 1
Dada a equação y’ = y, sua solução y(x) = e e as condições iniciais y(0) = 1, determine o valor da equação da reta que passa por
(x ,y ), com coe�ciente angular y’(x ), usando o método de Runge-Kutta de 1ª ordem com h = 0.5.
x
0 0 0
Questão 2
Dado o problema de valor inicial xy’ = x - y e y(2) = 2, determine y(2.01) com h = 0.05. Calcule pelo método de Runge-Kutta de 1ª
ordem.
Questão 3
Dado o problema de valor inicial xy’ = x - y e y(2) = 2, determine y(2.01) com h = 0.05. Calcule pelo método de Runge-Kutta de 2ª
ordem.
NotasReferências
ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São
Paulo: Thomson Learning, 2008.
 
BARROSO, Leônidas Conceição et. al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
 
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São
Paulo: Pearson, 2006.
,
Próxima aula
Você chegou ao �nal da disciplina! Parabéns!
Explore mais
Pesquise na internet sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto. Se ainda tiver alguma dúvida, fale com seu
professor online, utilizando os recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.