Soluções Numéricas para EDOs

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As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia
e não têm a intenção de substitui o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia.
Soluções Numéricas para Equações Diferenciais Ordinárias
Equações diferenciais → são aquelas que envolvem derivadas de funções . Se a equação dife-
rencial tem apenas uma variável independente temos uma equação diferencial ordinária (EDO).
Exemplos: As equações diferenciais y′ = y + x; fracd2ydx2 = dydx + cos(x) são exemplos de
EDO’s, enquanto que ∂
2u
∂x2
−c∂2u
∂y2
= 0 é uma equação diferencial parcial (EDP), já que u = u(x, t).
Uma solução de uma equação diferencial é uma função que satisfaz à equação . Estudaremos
métodos muméricos para encontrar soluções aproximadas de problemas de valor inicial (PVI)
envolvendo EDO’s.
Um PVI é um conjunto de equações onde são dadas:
• uma equação diferencial de ordem m, F (x, y, y′, . . . , y(m)) = 0, sendo y = y(x),
• a função y(x) e suas derivadas até a ordem m − 1 em x0, ou seja, y(k)(x0), para k =
0, 1, . . . , m− 1.
Basicamente resolveremos PVI’s de ordem 1:
{
y′ = f(x, y)
y(x0) = y0
• Primeiro constrúımos x0, x1, . . . , xn igualmente espaçados ( não é necessário, mas facilita!),
sendo assim, xi+1 − xi = h, i = 0, 1, . . . , n− 1,
• então calculamos as aproximações yi ≈ y(xi).
Se ao calcular yi usamos apenas o valor de yi−1 teremos um método de passo simples ou método
de passo um. Mas, se usarmos mais valores das aproximações de y, então teremos um método
de passo múltiplo.
Para um PVI de ordem 1, um método de passo simples é auto-iniciante, pois sempre podemos
tomar y0 = y(x0) como a primeira aproximação .
1 Métodos de Passo Simples
1.1 Método de Euler
Dado o PVI
{
y′ = f(x, y)
y(x0) = y0
, a reta que passa por (x0, y0) é dada por r : y − y0 =
y′(x0)(x− x0). Escolhido o passo h = xk+1− xk, teremos: y(x1) ≈ y1 = y0 + hy′(x0) logo y1 =
y0 +hf(x0, y0),e então podemos inferir para todo k = 0, 1, 2, . . . , n−1 que yk+1 = yk +f(xk, yk).
Observação: Precisamos de um passo pequeno! Pois o erro é dado por E(x1) = y(x1)− y1 =
y′′(α)h2
2 , onde α ∈ [x0, x1] depende de x0 e de h.
1
Exemplo: Seja o PVI: y′ = y e y(0) = 1. Trabalhar com quarto casas decimais, usar o
Método de Euler para aproximar y(0, 04) com erro ² ≤ 5−4.
Um método numérico é dito de ordem p se existe uma constante C tal que |E(x)| < Chp+1
onde C pode depender das derivadas da função que define a equação diferencial.
1.2 Métodos de Runge-Kutta
Se caracterizam por:
• são de passo simples;
• não exigem o cálculo de qualquer derivada de f(x,y), mas pagam, por isso, o preço de
calcular f(x,y) em vários pontos;
• coincidem com o método de Série de Taylor de mesma ordem.
1. Método de Runge-Kutta de ordem 1 - Método de Euler.
yk+1 = yk + hf(xk, yk), k = 0, 1, 2, . . .
2. Métodos de Runge-Kutta de ordem 2.
• Método de Euler Aperfeiçoado ou Método de Heun
yk+1 = yk +
h
2
[f(xk, yk) + f(xk + h, yk + hy′k)], k = 0, 1, 2, . . .
• Forma geral dos métodos Runge-Kutta de ordem 2.
yk+1 = yk + h[a1f(xk, yk) + a2f(xk + b1h, yk + b2hy′k)], k = 0, 1, 2, . . .
no caso do Método de Euler Aperfeiçoado a1 = a2 = 12 e b1 = b2 = 1. É necessário ter
a2 = w 6= 0, a1 = 1− w, b1 = b2 = 12w .
3. Método de Runge-Kutta de ordem 3.
yk+1 = yk +
2
9
c1 +
1
3
c2 +
4
9
c3
onde
c1 = hf(xk, yk)
c2 = hf(xk + h2 , yk +
c1
2 )
c3 = hf(xk + 3h4 , yk +
3c2
4 ).
4. Método de Runge-Kutta de ordem 4.
yk+1 = yk +
1
6
(c1 + 2c2 + 2c3 + c4)
2
onde
c1 = hf(xk, yk)
c2 = hf(xk + h2 , yk +
c1
2 )
c3 = hf(xk + h2 , yk +
c2
2 )
c4 = hf(xk + h, yk + c3)
Observações:
a) Vantagens:
• São auto-iniciáveis (pois são de passo um).
• Não trabalham com derivadas de f(x,y).
b) Desvantagens:
Não há uma estimativa simples para o erro, e esta estimativa poderia ajudar na escolha do
passo h.
Exemplos
1. Seja o PVI, xy′ = x− y e y(2) = 2. Encontrar y(2.1) pelo Método de Euler com:
a)h = 0.1 b)h = 0.05 c)h = 0.025
2. Análise comparativa. Dado o PVI abaixo estimar y(1) para os Métodos de Runge-Kutta
de ordens 1, 2 e 3, com h = 1, h = 0.5 e h = 0.1.
{
y′ = 0.04y
y(0) = 1000
Exerćıcios:
1. Aplique o método de Euler para aproximar as soluções dos seguintes problemas de valor
inicial:
1. y′(t) = 1 + (t− y)2, 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 1, h = 0, 5
2. y′(t) = 1 + yt , 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, h = 0, 25
3. y′(t) = cos(2t) + sin(3t), 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, h = 0, 25
2. As soluções exatas dos problemas anteriores são dadas abaixo respectivamente. Compare
o erro verdadeiro com o limite de erro em cada passo.
1. y(t) = t + 11−t
2. y(t) = t ln(t) + 2t
3. y(t) = 12 sin(2t)− 13 cos(3t) + 13
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Referências
[1] RUGGIERO, M.A.G. e ROCHA LOPES, V.L. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e
Computacionais. MAKRON Books,1996
[2] CUNHA, M.C.C. Métodos Numéricos. Campinas, Editora da Unicamp, 2000.
[3] CAMPOS Filho,F.F. Algoŕıtmos Numéricos.
[4] SPERANTIO,D. ,MENDES,J.T. ,SILVA,L.H.M. Cálculo Numérico. São Paulo, Prentice
Hall, 2003.
[5] BURDEN,R.L. ,FAIRES,J.D. Análise Numérica. São Paulo, Pioneira Thomson Learning,
2003.
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