AUL 8

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Cálculo numérico
Aula 8: Integração Numérica
Apresentação
Nesta aula, calcularemos o valor aproximado, com maior precisão, de uma integral de�nida para sua primitiva. Para isso,
recorreremos ao método de extrapolação, presente na resolução de problemas em Engenharia.
Realizaremos também a comparação entre os métodos aprendidos e o método de extrapolação.
Objetivos
Identi�car e aplicar diferentes métodos para integração numérica, ou seja, métodos de extrapolação.
Método de Romberg
O Método de Romberg permite que se calcule com grande precisão a integral de�nida f(x)dx.∫ h
a
Além de ser um Método mais preciso do que o método dos trapézios, o
método de Romberg exige um esforço computacional menor.
Este método utiliza a Regra do Trapézio repetida para obter aproximações preliminares. Em seguida, aplica um processo de
extrapolação de Richardson para melhorar a aproximação, ou seja, aplica sucessivamente a extrapolação de Richardson, onde
duas aproximações são usadas para se de�nir uma terceira. Vejamos:
O Método dos Trapézios repetido, que já estudamos anteriormente, de�nido como:
Esse método pode ser escrito como:
Logo, a aproximação será de�nida como:
Vejamos, a seguir, os passos para a aplicação do Método de Romberg.
I = [f(x0) + 2 [f(xl) + f(x2)+. . . +f(xm)],  i = 0, 1, . . . ,  m − 1]h
2
f(x) d x = − (b − a) (ε)∫ b
a
In
h2k
12
f ''
I = ( f( )) f( ) + f( )+. . . + f( ) + f( ) = [f(a) + f(b) + 2 f(a + i )]hk 12 x0 x1 x2 xm
1
2
xm
hk
2
∑ −12
k−i
i=1 hk
Clique nos botões para ver as informações.
Para calcular as aproximações preliminares via Regra do Trapézio, passaremos a usar a notação R , onde k = 1, 2,...
Para k = 1, temos:
Para k = 2, temos:
Para k qualquer, temos:
1º passo 
k,1
= [f(a) + f(b)] = [f(a) + f(b)]R1,1 h12
(b−a)
2
= [f(a) + f(b) + 2f(a+ ] = [f(a) + f(b) + 2f(a+ ] = [ − f(a+ )]R2,1 h22 h2
(b−a)
4
b−a
2
1
2
R11 h1 h2
= [ − f(a+ (2i− 1) ),k = 2, 3. . . ,n]Rk1 12 Rk−1,1 hk−1 ∑
2k−2
i=l h2
Para acelerar a convergência, utilizaremos a extrapolação de Richardson.
Dessa forma, obtemos:
Os resultados podem ser visualizados mais facilmente por meio da seguinte tabela n x n de Romberg:
R
R R
R R R
R R ... R
... ... ... ... ...
R ... ... ... ... R
2º passo 
= +Rk,j Rk,j−1
−Rk,j−1 Rk−1,j−1
−14j−l
1,1
2,1 2,2
3,1 3,2 3,3
4,1 4,2 4,4
n,1 n,n
Política de segurança operacional
Exemplo
Calcule a aproximação da integral de�nida , com n = 6.
Calculando os R , preenchemos a tabela a seguir.
0
1.57079633 2.09439511
1.89611890 2.00455976 1.99857073
1.97423160 2.00026917 1.99998313 2.00000555
1.99357034 2.00001659 1.99999975 2.00000001 1.99999999
1.99839336 2.00000013 2.00000000 2.00000000 2.00000000 2.00000000
Logo, podemos concluir que a convergência da integral será 2.0000000.
Observe que a escolha do n de�ne o tamanho da tabela. Porém, observe que, nesse exemplo, atingimos a convergência antes
mesmo de terminar de preencher a tabela. Para evitar trabalho desnecessário, podemos de�nir um critério de parada para o
cálculo como sendo uma tolerância de erro, ou seja, quando a diferença entre vizinhos for menor do que o erro, paramos o
procedimento.
sen x dx∫ ''0
= [f(a) + f(b)] = [f(0) + f(π)] = 0R1,1 (b−a)2
(π−0)
2
= [ + f(a + )] = [0 + πf(0 + )] = [πf( )] = 1. 5707963267  = ,   =R2,1 12 R1 h1 h2
1
2
π
2
1
2
π
2
π
2
hk
b−a
mk
mn 2
n−1
= Rk,  j − l +R3,2
−Rk,j−1 Rk−1,j−1
−14j−1
n,n
Atividades
QUESTÃO 1
Usando o Método de Romberg, encontre o valor aproximado da integral , com n = 3.dx∫ 10 e
−x2
QUESTÃO 2
Usando o Método de Romberg determine o erro, ou seja, a diferença entre o valor exato e o valor encontrado da integral 
, com n = 3, sabendo que o valor exato é 0,746824.dx∫ 10 e
−x2
QUESTÃO 3
Encontre o erro cometido pelo Método dos Trapézios, ou seja, a diferença entre o valor encontrado e o valor exato dado, e
compare o Método de Romberg da integral , com n = 3, trabalhado nas questões anteriores.dx∫ 10 e
−x2
NotasReferências
ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São
Paulo: Thomson Learning, 2008.
BARROSO, Leônidas Conceição et. al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São
Paulo: Pearson, 2006.
Próxima aula
Resolução de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, usando modelos dinâmicos e método de Euler.
Identi�cação e aplicação de métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1ª ordem para problemas
de valor inicial (PVI).
Implementação do algoritmo.
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