por_que_se_ensina_geometria_FONSECA

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CAPA
Jairo Alvarenga Fonseca
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Waldênia Alvarenga Santos Ataide
REVISÃO
Erick Ramalho
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Fonseca, Maria da Conceição F. R., et ai
0 ensino de geometria na escola fundamental: três questões para
a formação do professor dos ciclos iniciais / Maria da Conceição F. R.
Fonseca et a/. - 3. ed. - Belo Horizonte : Autêntica Editora , 2011.
Bibliografia
ISBN 978-85-86583-93-3
1 .Geometria- Estudo e ensino (Ensino fundamental. 2. Professores
- Formação profissionais.
10-11492 CDD-372.7
índices para catálogo sistemático:
1. Geometria : Estudo e ensino : Ensino fundamental 372.7
Agradecemos a todos os educadores da Diretoria de
Normas e Planeiamento Curricular da Secretaria de Estado
da Educação de Minas Gerais e das Escolas Estaduais
que participaram conosco do Projeto Pró-Matemática na
Formação do Professor pela oportunidade da reflexão
coletiva que alimentou nosso trabalho.
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
de que esse número é infinito, desde que se compreenda
a noção de plano como uma superfície plana prolongada
indefinidamente, conforme foi comentado anteriormente.
Finalmente, a questão (1) pretende verificar que
noções têm os professores em formação quanto ao pa
ralelismo e ao perpendicularismo de retas; ressaltamos
que como esses termos freqüentemente fazem parte do
vocabulário (é comum falarem ruas paralelas ou, mesmo,
perpendiculares), é possível que as respostas expressem
corretamente as idéias quanto às retas. Novamente cabe
ao formador, junto com os professores, promover uma
sistematização desses conceitos no final da discussão,
recorrendo a textos didáticos sobre o tema. (Ver suges
tões na Bibliografia no final deste livro).
90
Questão 3
Por que se ensina Geometria
A preocupação em se resgatar o ensino da Geometria
como uma das áreas fundamentais da Matemática tem le
vado muitos professores e pesquisadores a se dedicarem
à reflexão e à elaboração, implementação e avaliação de
alternativas, que busquem superar as dificuldades não raro
encontradas na abordagem desse tema, na escola básica
ou em níveis superiores de ensino.
Este livro quer inserir-se no âmbito desses esforços,
focalizando, de maneira particular, temas (e estratégias
para abordá-los) que consideramos ser fundamental
tratar nas diversas oportunidades de formação (inicial ou
continuada) de professores que hoje se lhes apresentam:
cursos universitários, seminários, minicursos, reuniões
periódicas promovidas pelas escolas em que atuam, etc.
Nesse sentido, a fim de desencadear o processo
de reflexão para o qual nosso trabalho quer colaborar,
procuramos, inicialmente, criar oportunidades para fazer
emergir as informações e opiniões dos professores sobre
o que se ensina de Geometria nas escolas, e sobre o que
eles próprios sabem de Geometria. Acreditamos indis
pensável nesse primeiro momento que os professores se
reconheçam interlocutores privilegiados dessa discussão,
pela experiência e conhecimentos acumulados ao longo
de sua formação e prática vivida no ambiente escolar,
como docentes ou como alunos.^
^ Ver atividades 1. 2, 3 e 4.
91
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
Queremos, agora, convidar os professores a lança
rem seu olhar reflexivo para uma questão fundamental
na seleção dos critérios que nortearão nossas opções
pedagógicas. Trata-se, mais uma vez, de nos aproveitar
mos de nossa experiência refletida e das contribuições
que a literatura nos possa conceder para ampliarmos e
aprofundarmos nossas possibilidades de responder à
inevitável interrogação: Por que ensinar Geometria na
Escola Fundamental?
É comum que para responder a essa questão se
jam enumeradas razões que se apoiam em aspectos
utilitários, evidenciando-se os aportes que os recursos
geométricos oferecem à resolução de problemas da vida
cotidiana, ao desempenho de determinadas atividades
profissionais ou à própria compreensão de outros con
teúdos escolares.
É possível e desejável, todavia, que o argumento da
utilização da Geometria na vida cotidiana, profissional ou
escolar permita e desencadeie o reconhecimento de que
sua importância ultrapassa esse seu uso imediato para
ligar-se a aspectos mais formativos.
Nesse campo, é relevante assinalarmos o papel
da Geometria como veículo para o desenvolvimento
de habilidades e competências tais como a percepção
espacial e a resolução de problemas (escolares ou não),
uma vez que ela oferece aos alunos "as oportunidades de
olhar, comparar, medir, adivinhar, generalizar e abstrair"
(Sherard III, I98I). Tais oportunidades podem, ainda,
favorecer o desenvolvimento de um pensamento crítico
e autônomo nos alunos (Pavanello, 1993). Em relação a
essa mesma potencialidade da Geometria, Freudenthal
(1973) se expressa da seguinte maneira:
A Geometria é uma das melhores oportunidades que
existem para aprender como matematizar a realidade.
92
Questão 3: Por que se ensina Geometria
É uma oportunidade de fazer descobertas como
muitos exemplos mostrarão. Com certeza, os números
são também um domínio aberto às investigações, e
pode-se aprender a pensar através da realização de
cálculos, mas as descobertas feitas pelos próprios
olhos e mãos são mais surpreendentes e convincen
tes. Até que possam de algum modo ser dispensadas,
as formas no espaço são um guia insubstituível para
a pesquisa e a descoberta.^ (p. 407)
Também relacionada à formação humana geral está
uma capacidade potencial do estudo da Geometria - a de
promover valores culturais e estéticos importantes para uma
melhor compreensão e apreciação das obras do homem
(construções e trabalhos artísticos) ou da natureza.
Levando em consideração essas duas faces do papel
da Geometria (como, de resto, de toda a Matemática) na
Educação - a utilitária e a formativa - é oportuno enfatizar,
como fazem Fonseca e David (s.d.), dois objetivos básicos
desse estudo na escola fundamental.
O primeiro, a princípio mais ligado à dimensão
instrumental, mas que envolve um conceito básico na
construção do edifício da Matemática, é o desenvolvimento
da capacidade de medir. O segundo, integrado à dimensão
formativa, já que se reporta a habilidades básicas de
percepção e classificação, mas que figura como alicerce
para o exercício de quaisquer atividades que demandem
competências geométricas, é o desenvolvimento da capacidade
de pesquisar regularidades.
Se estamos de acordo quanto à relevância dos
aspectos tanto utilitários quanto formativos da Geometria-
objetivados, no primeiro segmento da Escola Fundamen
tal, para o desenvolvimento das capacidades de medir
e pesquisar regularidades - é preciso conceber e adotar
" Tradução livre das autoras.
93
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
metodologias que orientem a prática pedagógica no sen
tido de considerar e potencializar tais desenvolvimentos,
que, afinal, têm entre si uma ligação íntima.
As atividades que proporemos a seguir procuram
sensibilizar os professores em formação para a relevância
desses aspectos e, embora estejam aqui apresentadas
de modo a serem desenvolvidas no âmbito da formação
docente, poderão ser adaptadas e trabalhadas com os
alunos do primeiro segmento de Ensino Fundamental,
ou mesmo dos níveis posteriores.
Atividade 5
A Geometria na vida pessoal,
profissional e escolar
Esta atividade tem como objetivo provocar uma
reflexão e uma discussão a respeito da presença da
Geometria nas diversas situações de nossa vida pessoal
ou profissional e da necessidade (ou não)de se estudá-la
na escola para desenvolver competências que atendam
às demandas forjadas em tais situações.
As questões propostas pretendem, por isso, estimu
lar os professores em formação (e/ou seus alunos)^ a ex
pressarem suas concepções sobre o papel representado
pelos conhecimentos geométricos na vida diária, escolar,
profissional ou artística. Nossa intenção é que as respos
tas obtidas forneçam subsídios para esboçarmos uma
síntese das diferentes funções que tais conhecimentos
podem desempenhar nesses vários contextos. O exercício
de elaboração dessa síntese, que naturalmente não se
pretende exaustiva, é proposto aqui com a esperança
de contribuir para uma compreensão mais abrangente
^ Esta atividade também pode ser realizada com alunos do Ensino Fundamental.
94
Questão 3: Por que se ensina Geometria
da abordagem dos conteúdos geométricos na Educação
Matemática básica, a qual nos permita questionar práticas
e conceitos estabelecidos, identificar demandas e vis
lumbrar possibilidades.
» Descrição
A turma é dividida em grupos compostos por três ou
quatro membros aos quais são propostas para discussão
as questões a seguir.
Observação: Terem mãos um exemplar completo de
um jornal pode enriquecer o trabalho
com a questão 3.
Cada grupo nomeia um relator que fará os aponta
mentos para orientar a apresentação, a qual será feita
em plenário, das respostas e do debate travado entre
seus membros.
Um mediador (que pode ser o próprio formador) coor
dena as apresentações dos grupos. Para cada pergunta, as
diferentes respostas produzidas são anotadas no quadro,
de modo que se possam observar sua diversidade, suas
recorrências e eventuais omissões. (Neste aspecto, o papel
do formador poderá ser crucial!).
A partir da discussão gerada pelo confronto entre as
respostas dos vários grupos, a plenária elabora coletiva
mente uma lista de razões que justifiquem o ensino da
Geometria na escola fundamental.
Questões
1) a) Faça uma lista das profissões nas quais se usa Geometria.
b) Identifique aquelas em que um ensino formal de Geometria
faz parte da formação do profissional.
2) Na sua vida, para que você usa Geometria? (Para cada situação,
identifique quais os conceitos ou as habilidades de Geometria
requisitados).
95
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
Continuação
3) Ao ler um jornal, em que momentos e qual é a Geometria ne
cessária para compreender o que se lê?
4) Na vida escolar, qual é a contribuição da Geometria para a
aquisição de outros conhecimentos de Matemática ou de outros
campos do conhecimento?
^Comentários
Ao pensar em profissões nas quais se usa a Geo
metria, é provável que os professores apontem imedia
tamente as engenharias, a arquitetura, a astronomia e o
magistério ou pesquisa nas ciências exatas (Física, Quími
ca e Matemática). São menos recorrentes, mas costumam
também ser lembradas, outras atividades tais como as da
costureira, do mestre de obras, do coreógrafo, do artista
plástico ou do desportista (atleta ou técnico).
Entretanto, é provável que somente na formação
profissional relativa às ocupações do primeiro grupo
seja identificada a presença de um ensino formal de
Geometria. No entanto, quando se reflete a respeito
das habilidades ou mesmo do vocabulário próprios dos
profissionais do segundo grupo, as discussões podem
levar à conclusão de que este também necessita de
conhecimentos geométricos em sua formação, ainda que
de maneira menos formal.
Essa questão conduz naturalmente ao reconhecimen
to de uma primeira dimensão da importância do estudo da
Geometria na escola, vinculada à preparação profissional
dos estudantes e ao desenvolvimento de habilidades
indispensáveis para o acesso a determinadas carreiras.
Essas considerações poderiam, no entanto, desen
cadear um posicionamento em defesa de um trabalho
mais cuidadoso com o ensino de Geometria a ser reali
zado tão somente com os postulantes a essas profissões.
96
Questão 3: Por que se ensina Geometria
Como um contra-argumento, na segunda questão, pre
tende-se que sejam identificados a presença e o papel
da Geometria na nossa vida quotidiana, não necessa
riamente associados àquelas atividades profissionais.
Contudo, é verdade que, em geral, as situações men
cionadas pelos professores são de cunho mais utilitário:
medições de comprimentos, áreas e volumes; leitura e
interpretação de mapas e plantas ou de manuais para
a montagem de móveis ou brinquedos, elaboração ou
compreensão de instruções para se chegar a um certo
endereço ou de como adaptar um equipamento para
utilização mais eficiente ou confortável. Nessa categoria
instrumental, podemos colocar também a constatação
de que a existência de um "vocabulário geométrico"
na expressão oral e escrita provoca a necessidade de
seu conhecimento em situações comuns da vida diária.
Como exemplos, podemos falar da comunicação sobre
localizações, tamanhos ou formas de objetos, e mesmo
do uso de terminologia geométrica em sentido figurado,
como nas expressões "círculo vicioso", "triângulo amo
roso", "pessoa quadrada", etc.®
Na terceira questão, ao propor que os professores
identifiquem conhecimentos geométricos que são im
portantes na compreensão dos textos que compõem os
diversos cadernos de um jornal - das notícias de caráter
político, econômico ou esportivo aos classificados -,
queremos alimentar a discussão sobre a contribuição
oferecida pela Matemática, e mais especificamente pela
Geometria, a possibilidades de organização e represen
tação do conhecimento e sua comunicação.
O exame do jornal mostra que a Geometria ne
cessária ao entendimento das reportagens e anúncios
compreende, em geral, algum vocabulário específico,
* Ver atividade 2.
97
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
medidas de comprimentos, áreas e volumes, e repre
sentações como gráficos de setores, barras ou linhas. É
muito freqüente também a presença de mapas e plantas
de imóveis cuja interpretação demanda alguns conheci
mentos geométricos. Mas um aprofundamento na reflexão
suscitada por essa questão poderá levar-nos a investigar
os critérios que orientam a opção por uma ou outra repre
sentação, as vantagens e as desvantagens dos recursos
gráficos e a que interesses servem, colocando em foco
aspectos pragmáticos do conhecimento matemático, em
geral negligenciados por causa da equivocada suposição
da "neutralidade" da Matemática.'
A quarta questão tem como objetivo despertar a
atenção dos professores e/ou dos alunos para a contribui
ção que o conhecimento da Geometria pode dar no que
diz respeito à compreensão de conteúdos de outras áreas
da Matemática e de outros campos do conhecimento, gra
ças, principalmente, à diversificação das representações
que o recurso à Geometria proporciona.
Em relação aos temas da Matemática, podem ser
lembrados, entre outros, a reta numérica, as regiões
e formas geométricas na representação, comparação
e operações com frações, o trabalho com as medidas
de comprimento, área e volume, e os gráficos da Esta
tística. Em particular, os conhecimentos geométricos
têm um papel significativo em campos tais como a
' Na sessão temática sobre "O texto escrito e outras linguagens" que teve lugar
no 12° Congresso de Leitura do Brasil, a professora Dione Carvalho (1999),
falando sobre possibilidades de interpretação de textos que supõem conhe
cimentos matemáticos, discutiu, por exemplo, porque, numa matéria sobre
a evolução da popularidade de um govemante, opta-se ora por um gráfico
de barras, ora por um gráfico de linha. Ela chama a atenção para o sentido de
"tendência" muito mais explícito num gráfico de linha do que no de barras, o
que faz com que representações aparentemente equivalentes, possam ser,
no entanto, interpretadas distintamente pelos leitores.
98
Questão 3: Por que se ensina Geometria
Física, a Química, a Astronomia, a Geografia, e dado
o reconhecimento histórico desse papel, isso, certa
mente, não escapará aos professores em formação
nem a seus alunos.
Assim, a inserção de tópicos da Geometria no
primeiro segmentodo Ensino Fundamental deve con
templar a preocupação em fazê-los interagir com outros
conteúdos escolares. Com efeito, os conhecimentos ge
ométricos possibilitam a elaboração de representações
mais facilmente traduzíveis em recursos visuais (gráficos,
diagramas, organogramas, etc.) para diversos conceitos
relacionados a tais conteúdos. Dessa maneira, a Geo
metria surge também como um aporte relevante para a
compreensão de outros campos do conhecimento.
Atividade 6
Situações que envolvem medições
O propósito desta atividade é despertar os profes
sores em formação para a importância de se promover
o desenvolvimento da capacidade de medir desde o
primeiro segmento do Ensino Fundamental, conside
rando-se a freqüência com que situações envolvendo
as medições surgem na vida diária, ou seja, levando-se
em conta a relevância social dos conhecimentos a elas
referentes. Assim, propomos aos professores questões
que pretendem chamar-lhes a atenção não somente para
a necessidade de resolver esse tipo de situação, mas
também para a diversidade de estratégias que podem ser
usadas para sua resolução, como a simples comparação,
o raciocínio espacial, o emprego de padrões de medição
ou a realização de cálculos.
As situações selecionadas são propositadamente
abertas, de modo a enriquecer a discussão proposta
99
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
pela necessidade de nela se considerarem outros aspec
tos - práticos, econômicos, estéticos - que, embora não
ligados diretamente às medições, apresentam-se muito
freqüentemente nos contextos que as envolvem.
►►Descrição
O formador propõe a cada grupo de três ou quatro
professores uma das questões que se seguem. Caso seja
necessário, o formador esclarece os professores a res
peito da abertura proposital dessas questões. Os grupos
discutem as possíveis soluções para a situação que lhes
couber e escolhem um relator que registra, iunto com essas
soluções, as considerações feitas para obtê-las.
Em seguida, cada grupo apresenta à plenária sua
questão e as maneiras que propôs para solucioná-la. E
fundamental que os professores, nessa reunião, procurem
contribuir com comentários relativos às questões que não
tiveram oportunidade de abordar na primeira parte da
atividade, realizada nos grupos pequenos.
Finalmente, será proveitoso que o formador propo
nha a cada grupo pequeno a produção de um texto que
sistematize o conteúdo das considerações tecidas em
relação à sua questão original durante toda a atividade.
Alternativamente, o trabalho de discussão das ques
tões e proposição de suas soluções poderá ser solicitado
aos grupos pequenos durante um dos encontros de for
mação para ser realizado fora de sala de aula após um
prazo a ser negociado com os professores, reunindo-se a
plenária, neste caso, em um outro encontro. Essa forma
de realização da atividade fornece, eventualmente, a
oportunidade de maior enriquecimento das respostas às
questões por propiciar a oportunidade de os professores
fazerem uso de outros recursos além dos disponíveis no
local dos encontros.
100
Questão 3: Por que se ensina Geometria
Questões
1) Numa sala retangular há apenas uma tomada na parede oposta
àquela em que você quer encostar seu televisor. Como deter
minar quanto de fio será necessário para ligá-lo?
2) Como se pode desenhar um quadrado de 4 cm de lado exata
mente no centro de uma folha de papel A4?
3) Como se pode determinar quanto de plástico será preciso para
encapar os cadernos e livros de um aluno?
4) O que é melhor: azulejar as paredes de um banheiro ou pintá-las
com tinta impermeável?
5) Num quintal em que se pode armar uma piscina plástica com
capacidade de 2000 litros é sempre possível armar duas piscinas
com capacidade de 1000 litros?
6) Que preocupações se deve ter na escolha de um aparelho de ar
condicionado para um determinado ambiente?
►►Comentários
Como se pode perceber imediatamente, as situa
ções presentes na atividade referem-se a medições de
comprimento, superfície e capacidade que, entre as vá
rias grandezas a serem focalizadas no primeiro segmento
do Ensino Fundamental, são as diretamente ligadas a
idéias geométricas.
A primeira questão apresenta uma situação bastante
comum no dia a dia, que é em geral resolvida mediante
o uso de uma extensão conectada ao fio do aparelho que
deve ser ligado. Evidentemente, há extensões de compri
mentos variados que possibilitam a conexão do televisor
à tomada e, portanto, o problema não tem solução única.
Ao examinar a situação, os professores podem responder
que basta medir a distância entre a tomada e o lugar onde
o televisor deve ficar e usar um fio cujo comprimento seja
essa medida. No entanto, essa situação tão simples dá
margem a diversas considerações. Por exemplo, os profes
sores poderão discutir duas possibilidades: na primeira.
101
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
O fio fica solto no chão; na segunda, fica preso ao rodapé
e deverá então percorrer uma parte do contorno da sala.
Em ambos os casos, mais comumente o televisor não será
colocado no chão e, sim, sobre um móvel a certa distância
do solo-, também a tomada está a uma certa altura do chão
e assim essas distâncias devem ser levadas em conta.
Um outro aspecto que deve ser discutido é o que
diz respeito ao instrumento a ser utilizado para medir o
comprimento que o fio deve ter; os professores poderão
propor que se use uma trena, uma fita métrica ou mesmo
uma régua, isto é, que se trabalhe com uma unidade padrão
de medida. Porém, é interessante também discutir como
se pode resolver o problema no caso de nenhum desses
instrumentos estar disponível. Assim, é possível utilizar
a comparação com comprimentos não padronizados, ou
seja, vale medir com um barbante ou um cinto, por exem
plo. Essa discussão chama a atenção para os três aspectos
fundamentais da medição: a comparação entre grandezas
de mesma natureza, a realização dessa comparação com
uma unidade padrão e a medida, que é o número que
expressa o resultado dessa última comparação.
A resposta à segunda questão são os valores das dis
tâncias que devem existir entre cada lado do quadrado e
o lado da folha de papel que será paralelo a ele. Pode-se
chegar a tais valores por meio de um cálculo simples para
o qual é necessário conhecer as dimensões da folha de
papel A4 que não são dadas na questão para chamar a
atenção dos professores para dimensões padronizadas,
em geral apresentadas na embalagem dos produtos ou
para que eles mesmos as meçam.
Contudo, outra solução interessante é aquela que se
obtém usando dobraduras muito simples para localizar
o centro de uma folha de papel A4 e de um quadrado
recortado em papel. Fazendo coincidir os dois centros.
102
Questão 3; Por que se ensina Geometria
O quadrado estará exatamente no centro da folha de pa
pel, e poderá ser desenhado conforme se pede. Nesse
caso, as distâncias desejadas são encontradas por uma
medição direta.
Uma situação como a abordada nessa segunda
questão ocorre freqüentemente na prática: por exemplo,
muitas vezes é necessário apresentar um texto estando
fixadas as dimensões da "mancha" que o mesmo deve
ocupar numa página de determinado tipo de papel.
Nesse caso, é por meio de um cálculo das margens (que
essencialmente é o mesmo feito para resolvera segunda
questão) que se pode fazer uso das instruções de um
processador de textos como o Worá.
Situações como a da terceira questão ocorrem na
prática para o professor quando elabora a lista de ma
terial escolar dos alunos ou quando alguém encapa os
próprios livros e cadernos ou os de seus filhos. Como a
questão não contém dados numéricos, os professores
podem propor sua solução com valores hipotéticos para
a largura do plástico e o número e as dimensões dos
livros e cadernos, e efetuar ou descrever os cálculos
correspondentes, naturalmente considerando as dobras
que serão feitas ao encapar o material. Podem ainda
propor uma solução empírica envolvendo uma simples
comparação - dispõem-se todos os livros e cadernos
sobre o rolo de plástico abertoe toma-se a medida do
comprimento necessário, mais uma vez levando as do
bras em consideração. É interessante que os professores
comparem essas duas soluções entre si ou com outras
que podem ser eventualmente propostas, discutindo a
sua praticidade e conveniência.
A quarta questão, como a anterior, está relacionada
à noção de medida de uma superfície. Na forma como
está proposta (pergunta-se ao professor qual entre dois
103
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
procedimentos para revestir as paredes de um banheiro
é melhor) pretendemos favorecer as discussões quanto à
praticidade, à estética e ao valor a ser dispendido no ser
viço, já que é preciso refletir sobre o que é esse "melhor"
sob diversos ângulos. Evidentemente, também neste
caso os professores podem trabalhar com dados hipoté
ticos criados por eles próprios em relação às dimensões
do banheiro e ao preço dos dois materiais sugeridos na
questão. Podem ainda coletar informações a respeito
do preço real de alguns tipos de tinta impermeável e
do metro quadrado de algumas variedades de azulejo,
avaliando os gastos nos dois casos.
A quinta e a sexta questões exigem considerações
relativas à ocupação do espaço físico tridimensional,
isto é, ao volume e à capacidade. A capacidade é uma
grandeza geralmente associada a um recipiente - ela se
refere à porção do espaço que esse recipiente pode con
ter. Já o volume é associado à porção do espaço ocupada
por um corpo. Dessa maneira, o volume de uma piscina é
maior que sua capacidade, pois devemos considerar que
suas paredes e seu fundo também ocupam parte do
espaço. Na prática, porém, esses valores são confundi
dos, isto é, considera-se que a capacidade e o volume
de um recipiente qualquer são iguais. Assim, ao estudar
a situação proposta na quinta questão, os professores
precisam analisar a relação entre a área ocupada no
quintal e a profundidade das piscinas, ou seja, distinguir
as situações em que a resposta da questão é afirmativa
daquelas em que é negativa. É também interessante
pensar na situação proposta no caso de piscinas retan
gulares (mais usuais no mercado) e piscinas redondas;
além de ser uma oportunidade para fazer referência
ao volume do paralelepípedo retângulo e do cilindro,
essa consideração das duas possibilidades enseja a
104
Questão 3: Por que se ensina Geometria
discussão quanto aos aspectos práticos do formato das
piscinas, que não é fixado na atividade.
Quanto à sexta questão, o que nela pretendemos
é chamar a atenção dos professores em formação para o
dimensionamento de um aparelho de ar condicionado,
de modo que fique clara a relação entre sua potência e
o volume do ambiente em que deve ser instalado, consi
derado igual à capacidade de ar que o mesmo contém. A
questão oportuniza o debate/pesquisa sobre a unidade
de potência geralmente usada para esses aparelhos e
a sua escolha, pesquisa essa que pode ser feita junto
ao comércio e às fábricas que os produzem. De forma
análoga à que sugerimos em outras das questões desta
atividade, os professores podem propor a solução para
esta questão utilizando dados hipotéticos referentes às
dimensões de diversos ambientes e dados reais relativos
aos condicionadores de ar existentes no mercado.
Como pode ser facilmente percebido, ao elaborar
as questões aqui propostas, não foi nossa preocupação
incluir problemas do tipo mais convencional de cálculo de
perímetros, áreas ou volumes. Conforme já ressaltamos
anteriormente, nosso principal interesse é despertar os
professores para a freqüência e a variedade de situações
de medições geométricas que nos são apresentadas na
vida diária. A relevância social desses conhecimentos
é, de fato, o maior motivo para considerarmos essencial
desenvolver nos alunos dos ciclos iniciais do Ensino
Fundamental a capacidade de medir, apesar de as pes
quisas indicarem dificuldades dos mesmos naquilo que
se refere ao domínio de algumas situações de medição
(David, 1987). Cabe-nos mencionar tais dificuldades de
vido à grande divulgação, entre os professores e seus
formadores, dos estudos de Piaget e seus colaboradores
a respeito do desenvolvimento mais tardio das noções
105
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
métricas nas crianças quando comparado ao desenvolvi
mento das noções topológicas e projetivas.
Todavia, queremos ainda chamar a atenção para a
relevância dos conhecimentos sobre as medidas, consi
derando-os na perspectiva do desenvolvimento histórico
das sociedades humanas. Tendo sua motivação em ne
cessidades práticas como as construções, as demarcações
de propriedades, o comércio, o abastecimento de água e
o saneamento, as medições são importantes também nas
muitas manifestações artísticas do homem. Sabemos que
a interrogação do ambiente levou os antigos babilônicos
e gregos a desenvolverem a Astronomia e a Geometria,
campos cujos fundamentos encontram-se nas medições.
As situações de medição alicerçaram, portanto, a evolução
da Matemática como ciência desde os primórdios das
civilizações humanas. Considerando que a Educação Ma
temática nos primeiros anos da escolarização tem, entre
seus objetivos, caracterizar a Matemática como campo
científico desenvolvido historicamente, cabe acrescentar
um comentário a respeito da importância da noção de
medida acentuando seu papel como articuladora dos dois
ramos fundadores da ciência matemática - a Aritmética e
a Geometria. Com efeito, a noção de medida
é o fio que tece a junção dos dois grandes temas
geradores, é o cimento na construção da noção de
número e na arquitetura das relações geométricas
mais básicas. Prescindindo-se dela ou relativizando
demasiadamente seu papel, a noção de número ca
rece de consistência, passando a se constituir apenas
a partir de grandezas discretas, enquanto a Geome
tria freqüentemente tende a limitar-se aos aspectos
lúdicos ou a um formalismo espontâneo. (São Paulo,
1992, p. II)
Para finalizar estes comentários reforçamos nossa
posição de desacordo com certas abordagens do tema.
106
Questão 3: Por que se ensina Geometria
ainda presentes na prática escolar do primeiro segmento
da Escola Fundamental, as quais destacam, desneces
sariamente, o estudo das unidades e subunidades de
medidas e as conversões das mesmas e/ou insistem na
apresentação ou dedução de fórmulas para o cálculo da
área e do volume de algumas figuras e sólidos geomé
tricos. Reconhecemos o valor social do conhecimento
de unidades de medida usuais e de suas relações com
seus múltiplos e submúltiplos "mais famosos", bem como
das fórmulas e procedimentos para o cálculo de áreas e
volumes. No entanto, é fundamental que a abordagem
da questão da medida não se reduza a um treinamento
de técnicas, em detrimento dos aspectos históricos e
epistemológicos que lhe são essenciais.
Atividade 7
Pesquisando embalagens
Considerando que o provimento de recursos que
permitam conceber ou compreender modos de organizar
o espaço seja uma contribuição relevante da Matemática
na Educação Fundamental, parece-nos essencial que, em
seu ensino, preocupemo-nos em promover situações em
que os alunos sejam orientados para a percepção de regu-
laridades, com vistas ao estabelecimento ou à identificação
de critérios para essa organização.
Diversas atividades ligadas à Geometria podem
servir a este objetivo de capacitar para a identificação de
invariantes. Pode-se dizer que praticamente todo o estudo
das formas geométricas que se faz no primeiro segmento
do Ensino Fundamental insere-se nessa perspectiva da
percepção de regularidades. Ao propor esta atividade
com caixas e embalagens aos professores em formação,
pretendemos chamar a atenção para aspectos - sejam
107
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
funcionais, sejam estéticos, sejam econômicos - que es
tabelecem critérios para definição das formas e conferem
sentido às classificações.
^Descrição
Para a realização desta atividade é necessário dispor
de uma boa quantidade de caixas e embalagens vazias.
Pode-se pedir que os próprios professores as tragam paraos encontros de formação. É sempre bom, entretanto,
adquirir o hábito de "colecionar"(e sugerir aos professores
em formação que façam o mesmo) embalagens "típicas" e
embalagens "exóticas", já intencionalmente selecionadas
para provocar discussões ou sugerir abordagens e realizar
diversas atividades.
É bom contar ainda com um "kit" de modelos dos
sólidos geométricos, confeccionados em acrílico, madeira
ou mesmo em papelão.
Inicialmente, para que os professores (e o mesmo
vale para a execução desta atividade com alunos do
Ensino Fundamental) adquiram, ativem ou exibam certa
intimidade com aquele material, propõe-se que eles
mesmos apresentem sugestões ou contem experiências
de atividades usando as embalagens ali disponíveis.
Pede-se, então, que procedam a uma organização das
embalagens, pensando num comerciante que busca ar
rumar seus produtos em sua loja de modo que, quando
um freguês fizer um pedido, seja fácil encontrar e pegar
o que ele deseja.
Depois de se discutirem os critérios de classificação
que orientaram as organizações propostas, os professores
preencherão um quadro em que se cruzam informações
sobre a natureza do produto e a forma e o material de
que é feita sua embalagem (ver quadro). Havendo opor
tunidade, pode-se até realizar uma pesquisa para o
108
Questão 3: Por que se ensina Geometria
preenchimento desse quadro no próprio supermercado,
ou nos encartes de propaganda distribuídos por esses
estabelecimentos comerciais.
FORMA DA
EMBALAGEM
MATERIAL DE QUE É FEITA A EMBALAGEM
Papelão Alumínio Vidro Plástico
Cilindro
(incluindo
garrafas)
-óleo de sofá
-achocoíatado
-refrigerante
-cerveja -água
mineral
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Paralelepípedo
-água de
coco
-sabão
em pó
-biscoito
-azeite
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Prisma
triangular
-chocolate
{Toblerone]
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Incluir outras
formas,
conforme
a necessidade
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Total de
produtos:
Total de
produtos:
A partir dos resultados registrados nos quadros, são
propostos alguns questionamentos
• sobre a maior freqüência de certas formas de embala
gens - especialmente, paralelepípedos e cilindros - em
relação a outras, como cones, esferas, pirâmides-.
109
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
• sobre possíveis relações entre a forma e o material
do qual a embalagem é feita;
• e sobre relações entre forma e material da emba
lagem e a natureza do produto que ela contém.
No final, o grupo deverá redigir algumas "conclu
sões", depreendidas da análise dos quadros ou confir
madas por ela.
►►Comentários
Quando os professores são chamados a propor ou
narrar atividades que já realizaram ou que poderiam
realizar com as embalagens, pode surgir um leque varia
do de sugestões didáticas para o trabalho com diversos
conceitos e relações relevantes na Matemática Elementar,
não apenas referente ao formato das embalagens, mas
também ligados às informações veiculadas pelos "textos"
impressos nas embalagens. Nos rótulos estão expressos,
em diferentes tipos de textos, uma grande variedade de
dados sobre o produto: medidas de diversas grandezas
(capacidade, massa, "peso líquido", comprimento, área,
volume, temperatura, energia, prazos, preços), local de
fabricação, advertências quanto ao consumo, ao trans
porte ou acondicionamento, instruções de preparo, có
digos de registro ou estratégias publicitárias. Assim, um
trabalho que envolva a leitura de rótulos pode gerar ou
incorporar-se a projetos pedagógicos interdisciplinares
amplos, que, naturalmente, deverão adequar-se ao nível
e aos interesses dos alunos.
Aqui, entretanto, a ênfase será direcionada para a
consideração do formato das embalagens, já que nosso
objetivo é discutir a percepção de regularidades como
uma contribuição relevante do ensino da Geometria no
Ensino Fundamental. Porém nossa opção de suscitar essa
discussão, a partir de uma atividade utilizando embalagens.
110
Questão 3: Por que se ensina Geometria
e não apenas os modelos padronizados dos sólidos geo
métricos, já denuncia nossa intenção de recomendar que,
no tratamento dessa questão, se procure relacioná-la a
aspectos de natureza funcional e estética que conferem
sentidos próprios aos modos de organizar e de compreen
der as organizações do espaço.
Isso não quer dizer que vamos dispensar os modelos
padronizados dos sólidos geométricos, de que muitas
escolas dispõem, feitos em madeira ou acrílico, ou que o
professor poderá confeccionar em papel ou papelão.'" A
comparação das embalagens com esses modelos pode
auxiliar na definição das categorias a partir das quais se
vai classificar as formas das embalagens e subsidiar a
discussão sobre a relação entre a forma e a finalidade
dos objetos.
Por exemplo, é comum que os professores observem
que as embalagens devem ter uma certa estabilidade, de
forma que fiquem "quietinhas" nas prateleiras. Portanto, é
mais freqüente optar-se por formas que "não rolam", em
pelo menos uma posição. A manipulação dos diversos
modelos deve auxiliar a constatação de que nesse grupo
estariam todos os sólidos que têm, pelo menos, uma face
plana. Naturalmente, é possível que essa conclusão não
seja formulada em tais termos, mas trata-se, aqui, de uma
boa oportunidade para se ir introduzindo o vocabulário
próprio da Geometria, de maneira que ele se apresente
como um recurso que facilita a expressão e não como
um preciosismo de linguagem. Além do mais, começa
a despontar aí um possível critério de classificação dos
sólidos geométricos (possuir faces planas, possuir todas
' Moldes para a confecção desses sólidos podem ser encontrados em diversas
publicações, inclusive em livros didáticos e paradidáticos. A confecção dos
sólidos a partir do molde plano ou, inversamente, a planificação a partir
do modelo sólido são também atividades muito interessantes para serem
realizadas com os professores em formação e com seus aiunos.
111
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
as faces planas, não possuir faces planas, possuir apenas
uma face plana, etc.), que não mais será tomado como
meramente arbitrário porque legitimado pela percep
ção e pela funcionalidade.
Outro aspecto que é considerado pelo fabricante
na definição da forma da embalagem de um produto é
a economia de espaço. Isso será tanto mais importante,
conforme as exigências das condições de acondiciona-
mento e transporte. Mais uma vez, a manipulação dos
modelos e das embalagens ajuda a identificar quais são
os formatos das embalagens que propiciam que, no em-
pilhamento, aproveite-se o espaço da melhor maneira
possível, deixando poucos "buracos" entre elas.
Confrontando os aspectos da estabilidade em diver
sas posições e a economia do espaço no empilhamento, as
embalagens mais práticas parecem ser mesmo as "caixas
tradicionais", ou seja, aquelas em forma de paralelepípedo.
Essa conclusão pode sugerir a exploração dos motivos
pelos quais no empilhamento de algumas formas sempre
aparecerão buracos e no de outras, não. A preocupação
com o formato das pontas (vértices) e das dobras (arestas)
vem então aliar-se à consideração das faces, suscitando,
mais uma vez, questionamentos para cuja abordagem o
estudo da Geometria pretende contribuir.
Contudo, a pesquisa e a distribuição dos produtos
pelo quadro elaborado a partir dela há de evidenciar que
aparecem, também com muita freqüência, embalagens com
forma cilíndrica. Os professores podem argumentar que as
embalagens cilíndricas, aparentemente, não têm tantas
vantagens porque podem rolar, e, quando as empilhamos,
deixam sempre algum espaço entre elas. Por que seriam tão
comuns então? Essa pergunta pode levar a pesquisas
interessantes sobre a confecção das embalagens, onde
se devem considerar as facilidades e dificuldades de
112
Questão 3: Por que se ensina Geometria
execução levando em conta o material utilizado e também
a economia desse material,o que nos coloca diante das
relações entre volume e superfície externa.
Para explorar essa questão, pode-se propor que
os professores em formação "desmontem" embalagens
cilíndricas e paralelepipédicas para ver como elas foram
construídas. Essa é mais uma oportunidade de desve-
lamento de aportes que conceitos e procedimentos da
Geometria podem trazer à organização do espaço. Esta
remos tratando aí do estabelecimento de relações entre
as figuras sólidas e planas, e apontando para a contribui
ção que a passagem de um sistema ao outro (no caso, a
planificação de sólidos) pode trazer à compreensão do
espaço tridimensional em que vivemos.
Ao executarem a remontagem dos sólidos, os professo
res em formação percebem que em papel ou em cartão, o
paralelepípedo parece mais fácil de construir, a construção da
caixa cilíndrica exige mais habilidade na hora de ajustar
as duas "tampas" circulares. No entanto, deve-se consi
derar que a confecção de embalagens cilíndricas é feita
com equipamentos e em escala industriais. A consulta
ao quadro permite observar ainda que as embalagens
paralepipédicas são, em geral, de papelão, enquanto as
cilíndricas são de metal, vidro ou matéria plástica.
O formador deve aconselhar os professores a sempre
anotarem essas observações depreendidas dos quadros
e da manipulação de modelos e embalagens, tomando-
as como pistas para o estabelecimento de relações que
permitem identificar critérios de organização do espaço e
assim conferem sentidos ao reconhecimento, à classifica
ção, e à utilização das formas.
O envolvimento dos professores em formação (ou
de seus alunos) por vezes leva a pesquisa mais adiante.
Pode-se ter como desdobramento, por exemplo, uma
113
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
visita a uma fábrica para se conhecerem os processos de
confecção das embalagens dos produtos, acompanhada
de uma entrevista com o fabricante por meio da qual se
procure saber as razões da escolha daquele formato de
embalagem, que podem envolver questões funcionais
ou econômicas como as mencionadas acima, ou mesmo
razões culturais como a tradição, a aceitação no mercado
e outras estratégias de marketing.
A relação entre superfície exterior e volume pode ser
colocada como um fator dos mais determinantes, especial
mente no caso de o material de fabricação das embalagens
ser mais caro. Isso pode encaminhar o grupo para investigar
essa relação, o que pode ser feito, por exemplo, a partir da
observação da quantidade de "dedais de areia" que enchem
diversas embalagens, comparada com a área extema da
embalagem (ver São Paulo, 1991,v.3, p. 124). Se os profes
sores em formação se interessarem pela exploração desse
aspecto, vários conceitos da Geometria serão mobilizados
e pode-se sugerir a consulta de livros de Geometria para
que alguns procedimentos de cálculo de área e volume
sejam rememorados.
A utilização de outros formatos mais incomuns tam
bém pode despertar a curiosidade dos professores em
formação: por exemplo, a caixa de Toblerone tem a forma
de um prisma triangular, as de certos tipos de chá são como
prismas fiexagonais; uma determinada loja embala presentes
em caixas piramidais. Essas embalagens podem ser sub
metidas às mesmas análises das condições de empilha-
mento, confecção, aproveitamento do material, além das
considerações dos aspectos estéticos e de comercialização.
Quando a atenção se dirige para as formas geométricas
cuja utilização em embalagens não é tão usual, podem
surgir novas especulações sobre que uso se costuma fazer
114
Questão 3: Por que se ensina Geometria
de cada uma delas e em que situações (e por quê) elas
aparecem, quer construídas pelo homem, quer moldadas
pela natureza.
Todo o desenvolvimento desta atividade e seus vá
rios desdobramentos devem, enfim, procurar identificar
elementos para a constituição de relações que definem
os modos de classificação empregados no estudo da Geo
metria. Tomados não como um saber de natureza sobre-
humana ou como fruto de arbitrariedades individuais, mas
como construções históricas, demandadas e legitimadas
por necessidades da prática social e formatadas por cri
térios de âmbito cultural, esses modos de categorização
e de estabelecimento de relações próprios da Geometria
querem apresentar-se como uma contribuição para a
formação humana, na medida em que, acatando deman
das sociais e influências culturais, proveem o sujeito de
critérios e estratégias para organizar e/ou compreender
modos diversos de organização do espaço. E esse é um
argumento que julgamos fundamental para respondera
questão: Por que ensinar Geometria?
115
Considerações finais
Neste livro procuramos colocarem evidência apenas
três entre as muitas questões básicas que precisam ser
consideradas em relação ao ensino da Geometria na
formação do educador matemático dos primeiros anos
da Escola Fundamental. Jamais será excessivo chamar a
atenção para a importância da formação desse profissio
nal se nos lembrarmos de que, cursando o nível inicial
da escolarização básica, encontram-se, nas mais diversas
circunstâncias socioeconômicas e culturais, milhões de
crianças brasileiras. Em nosso país, além dessa popula
ção, é especialmente relevante pensar também na gran
de parcela de adultos que, não tendo tido na infância a
oportunidade do acesso ao Ensino Fundamental, nele
buscam inserir-se na atualidade, e precisam, da mesma
forma, contar com educadores bem formados.
A importância da Educação Matemática na formação
dos cidadãos vem sendo geralmente reconhecida, e, em
particular, a Educação Geométrica tem sido apontada como
possibilitadora do desenvolvimento de habilidades e com
petências essenciais a essa formação, conforme podemos
constatar ao ler os comentários referentes aos Parâmetros
Curriculares Nacionais na atividade I deste livro.
A despeito de toda a argumentação em favor da pre
sença da Geometria no primeiro segmento do Ensino Fun
damental contida nas propostas curriculares e nos muitos
e diversificados materiais didáticos concebidos para sua
117
o ensino de Geometria na Escola Fundamental
abordagem, acreditamos que não seja supérfluo focali
zar, nestas considerações, ainda que assumindo o risco
da repetição, um aspecto primordial. Trata-se de olhar a
Geometria para além de sua dimensão como conteúdo
escolar - vê-la como experiência dos homens desde a
pré-história, processo e produto de suas necessidades
materiais e de seu pensamento. Ao lado da Aritmética,
freqüentemente privilegiada na prática das salas de aula
da Educação Fundamental brasileira, a Geometria é uma
das raízes da Matemática como campo científico, e, ao
mesmo tempo, um conhecimento básico do patrimônio
cultural de todos os grupos humanos. É por considerar
a importância de tal dimensão que não podemos deixar
de lhe fazer referência num livro cujo propósito é servir
à formação de educadores.
As experiências de formação de professores a que
nos temos dedicado mostram, todavia, que muitos dos
educadores em exercício no primeiro segmento do Ensino
Fundamental encontram-se distantes de todas essas con
siderações quanto à Geometria; uma parte dessa situação
deve-se, sem dúvida, às experiências que viveram em sua
própria escolarização. Como mostram muitas pesquisas,
a Educação Matemática brasileira, a partir do Movimento
da Matemática Moderna, teve como uma de suas marcas
um quase total abandono do ensino da Geometria.
Contudo, se faltam aos professores conhecimentos
em relação aos conteúdos da Geometria que se lhes
propõe que ensinem, cremos que esse estado não po
derá ser modificado pela via da realização de cursos de
caráter prescritivo, sejam de cunho teórico expositivo,
sejam calcados na mera execução de atividades propostas
pelos formadores.
Nossa experiência com os professores tem mostrado,
ao contrário, a necessidade de um trabalho mobilizador
118
Considerações finais
de todos os tipos de conhecimentos e práticas dos do
centes para que a tarefa de formação seja mais adequada.
Como procuramos mostrar nos comentáriosque
elaboramos em todas as atividades deste livro, uma
observação cuidadosa da postura, das reações e das
respostas dos professores revelou-se muito rica para o
aperfeiçoamento de nossa própria formação. Ao escre
ver os textos, tivemos sempre em mente esse tipo de
interação entre formadores e professores em formação.
Conscientes das limitações do que conseguimos realizar,
ficaremos satisfeitas se o trabalho conseguir refletir, ainda
que parcialmente, tal preocupação.
119